黄有度-矩阵理论及其应用习题答案
矩阵论 黄有度1
p2 n L
或( β1 , β 2， , β n ) = (α1 , α 2， , α n ) P L L
p11 p21 (1.2) 其中P = M M 过渡矩阵 pn1
p12 L p22 L
pn 2 L
p1n p2 n M M pnn
例 求线性空间Cn [ x] （复数域C上次数不超过n的 一元多项式全体）的基、维数及向量p的坐标。
解 空间的一个基为 p1 = 1, p 2 = x, p3 = x 2 ,L , p n +1 = x n 其维数为n + 1.任何次数不超过n的多项式 p = a n x n + a n −1x n −1 + L + a1x + a 0 可表示为 p = a 0 p1 + a1p 2 + L + a n p n +1 因此，p在这个基下的坐标为 p = (a 0 , a1 ,L , a n )
第一章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间
1.1.1 线性空间的定义
是一个包含0,1的数集 定义 设F是一个包含 的数集，且若 中的 是一个包含 的数集，且若F中的 任两个数的和， (除数为 除数为0外)仍在 仍在F 任两个数的和，差，积，商(除数为0外)仍在F 对这些运算封闭)， 为一数域 中(即F对这些运算封闭 ，则称 为一数域。 即 对这些运算封闭 则称F为一 有理数集，实数集， 例 有理数集，实数集，复数集都是 数域，而整数集不是数域。 数域，而整数集不是数域。
2. 子空间的交与和
定义 设V1 , V2为线性空间V 的两个子空间，我们分别称 V1 I V2 = {α ∈ V α ∈ V1 且α ∈ V2 }， V1 + V2 = {α ∈ V α = α1 + α 2 , α1 ∈ V1 , α 2 ∈ V2 } 为V1与V2的交与和。
矩阵论 黄有度42
解
2 1 2 6 0 1 3 2 A( ) 1 3 0 1 1 1 1 4 1 1 4
0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 2 0 1 3 2 0 0 2 2 1
例 将下面的 矩阵化为Sm ith 标准形： 1 A( ) 1 2
2 。 2 2
解 1 A( ) 1 2
2
2
1 2 c c 1 3 0 1 2 2
A的各阶行列式因子为 D1 ( ) 1, D2 ( ) 1, D3 ( ) ( 1)
3
定理 矩阵A( )的各阶行列式因子Dk( )在初等变换下 等价的 -矩阵有相同的秩.
不变,即等价的 矩阵有相同的行列式因子Dk( )特别地, .
定理 矩阵A( )的Smith标准形 diag[d1 ( ), d 2 ( ), , d r ( ), 0, , 0] Dk ( ) 是唯一的，且d k ( ) , k 1, 2, , r.而当k r时， Dk 1 ( ) d k ( ) 0. 称d k ( )为A( )的第k 个不变因子.
定义 将A( )的每个次数大于零的不变因子在复数域内分解为 互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次因式的 方幂(相同的必须按出现次数计算)，称为A( )的初等因子。
若A( )的不变因子为 d1 ( ) 1, d 2 ( ) ( 1) , d3 ( ) ( 2)( 1) ，
习题 将下面的 矩阵化为Smith标准形： 1 2 6 A( ) 1 3 。 1 1 4
矩阵论简明教程课后习题与答案解析
习 题 一13. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵。
证明A 是Hermite 正定矩阵的充分必要条件是，存在Hermite 正定矩阵B ，使得A=B 2。
解：若A 是Hermit 正定矩阵,则由定理1.24可知存在n 阶酉矩阵U , 使得U H AU =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21, i λ﹥0, I =1, 2, ,Λn . 于是A =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO 21U H= U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλO 21U H U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 令B =U ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλO21U H 则 A =B 2.反之,当 A =B 2且B 是Hermit 正定矩阵时,则因Hermit 正定矩阵的乘积仍为Hermit 正定矩阵,故A 是Hermit 正定的.14. 设A ∈ C n n ⨯是Hermite 矩阵，则下列条件等价:（1）A 是Mermit 半正定矩阵。
（2）A 的特征值全为非负实数。
（3）存在矩阵P ∈ C n n ⨯,使得A=P HP解：(1)⇒(2). 因A 是Hermit 矩阵,则存在酉矩阵U,使得U H AU =diag(n λλλ,,,21Λ)令x =Uy , 其中 y =e k . 则 x ≠0. 于是x H Ax =y H (U H AU )y =k λ≧0 (k =1, 2, ,Λn ).(2)⇒(3). A =U diag(n λλλ,,,21Λ)U H =U diag(n λλλ,,,21Λ)diag(n λλλ,,,21Λ)U H 令 P =diag(n λλλ,,,21Λ)U H , 则 A =P H P . (3)⇒(1). 任取x ≠0, 有x H Ax =x H P H Px =22Px ≧0.习 题 二1.求向量x=（1+i ，-2,4i ，1,0）的1、2、∞范数。
解：1x =01i 42i 1+++-++=7+2, 2x =1i)4i(4)2(i)1i)(1(2+-+-+-+=23, ∞x =max {}1i 42i 1,,,-+=4.2. 设1ω，2ω…..n ω是一组给定的正数，对任意x=（1ξ,2ξ…..n ξ）T ∈ C n , 规定x =∑=nk kk 12ξω 。
(江苏版)2018年高考数学一轮复习专题11.6矩阵与变换(讲)理-含答案
从而 a＝ b＝－ 1.
0 -1
故矩阵 M＝
.
-1 0
-1 a
5. 已知 a，b∈ R，矩阵 A＝
所对应的变换 TA 将直线 x－y－ 1＝ 0 变换为自身，求 a，b 的值 .
b3
解 设直线 x－y－ 1＝ 0 上任意一点 P( x，y) 在变换 TA作用下变成点 P′（x′， y′) ，
3
【题根精选精析】
，
cd cd 01
－a －b 1 0
1
即 2c 2d
＝ 0
1 ，故 a＝－ 1，b＝ 0，c＝ 0， d＝2，
从而 A 的逆矩阵为
－1 0
A－ 1＝ 0
1， 2
－1 0
所以 A－1B＝
1
0 2
1 2 -1 -2
＝
.
06 03
10
12
3. 已知矩阵 A＝
，B＝
，若矩阵 AB－1 对应的变换把直线 l 变为直线 l ′： x＋ y－ 2＝0，求直线 l
02
01
的方程 .
12
解 因为 B＝
，
01
所以
B－
1
＝
1
-2 ，
01
所以 AB－ 1
2
0a
4. 已知矩阵 M＝
满足： Mα i ＝ λ i ai ，其中 λ i ( i ＝1， 2) 是互不相等的实常数， α i ( i ＝ 1， 2) 是非零的
b0
1 平面列向量， λ 1＝ 1， α 2＝ ，求矩阵 M.
.
【课前检测训练】
【练一练】
-1 2
11
2
1. 已知矩阵 A＝
， B＝
，向量 α ＝ ， x， y 为实数 . 若 Aα ＝ Bα ，求 x＋ y 的值 .
考博必备 研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题共73页
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走
研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
2 5
5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 其中1,…, ArA=n是=UUdAdi的iaag特g((征1r1,,值…….,,于nn是r))U,U**,=0 蕴∴涵Air==U0d,iia=g1(,0…,…,n,.0后)U者*=又0.蕴涵 1=…=n=0.
研究生矩阵理论及其应用课后答案——黄有度
研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A 是n 阶实数矩阵.A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数乘；（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法⊕和数乘运算：),,(),(),(ac d b c a d c b a +++=⊕)2)1(,(),(2a k k kb ka b a k -+= （4）设R +是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：,k a b ab k a a ⊕==其中,,a b R k R +∈∈；（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；（6）设{}12sin sin 2sin ,,02k i V x x c t c t c kt c R t π==+++∈≤≤，V 中元素对于通常的加法与数乘，并证明：{}sin ,sin 2,,sin t t kt 是V 的一个基，试确定i c 的方法.● 解 （1）是.● 令{}矩阵为是实系数多项式，n n x f f V ⨯=A A )()(1.由矩阵的加法和数乘运算知,●),()(),()()(A A A A A d kf h g f ==+● 其中k 为实数，)(),(),(x d x h x f 是实系数多项式.1V 中含有A 的零多项式，为1V 的零元素.)(A f 有负元1)(V f ∈-A .由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故1V 关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.● （2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.任取该集合中的三个元素，设为),(),,(),,(g f d c b a ===γβα,以及任意实数l k ,,则有① αββα+=+++=⊕),(ac d b c a ; ② γγβα⊕+++=⊕⊕),()(ac d b c a))()(,)((f c a g ac d b f c a +++++++=))()(),((f c a cf g d b f c a +++++++= )(),(γβαα⊕⊕=+++⊕=cf f d f c ;③存在(0,0),使得),()00,0()0,0(),(b a a b a b a =+++=⊕,即(0,0)为零元;④存在),(2b a a --,使得)0,0())()(,(),(),(22=-+-+-=--⊕a a b a b a a b a a b a ,即),(2b a a --是),(b a 的负元;⑤),()2)11(11,1(),(12b a a b a b a =-+= ⑥)2)1(,()),(()(2a l l lb la k b a l k l k -+== α))(2)1()2)1((),((22la k k a l l lb k la k -+-+=α )(),()()2)1()(,(2kl b a kl a kl kl b kl kla ==-+=;⑦)2)1))((()(,)((),()()(2a l k l kb l k a l k b a l k l k -+++++=+=+ α )))(()2)1(()2)1((,(22la ka a l l lb a k k kb la ka +-++-++=)2)1(,()2)1(,(22a l l lb la a k k kb ka -+⊕-+= αα l k b a l b a k ++=+=),(),(;⑧),()(ac d b c a k k +++=⊕ βα))(2)1()(),((2c a k k ac d b k b a k +-++++= )))(()2)1(()2)1((,(22kc ka c k k kd a k k kb kb ka +-++-++=)2)1(,()2)1(,(22c k k kd kc a k k kb ka -+⊕-+=)()(βα k k ⊕=.（4）是.对任意a ，b ∈R +，有+∈=⊕R ab b a ；又对任意R k ∈和+∈R a ，有+∈=R a a k k ，即R +对所定义的加法与数乘运算封闭。
研究生矩阵理论课后答案第5章
按范数收敛
定义:赋范空间V的序列{x(n)|n=1,2,…}按范数 ‖‖α收敛于aV,如果 limn‖x(n)-a‖α=0 命题:对赋范空间V的任意两个等价向量范数 ‖‖α, ‖‖β, 都有 limn‖x(n)-a‖α=0 limn‖x(n)-a‖β=0 (即按任意两个向量范数的收敛实质上等价) 因 0 limn‖x(n)-a‖α d limn‖x(n)-a‖β 0 limn‖x(n)-a‖β(1/c)limn‖x(n)-a‖α
1=|yk|(i=1n|yi|p)1/p =‖y‖p n1/p (*) (i|yi|=|xi|/|xk|1) 1=limp1limp‖y‖p limpn1/p=n0=1 1=limp‖y‖p=limp‖x‖p/‖x‖ ‖x‖=limp‖x‖p
同一向量的三种范数之间的大小关系
Frobenius 矩阵范数
例5.2.2:矩阵的Frobenius范数定义为 ‖A‖F=(i=1mj=1n|aij|2)1/2. (ACmn的向量2-范数蕴含前3条公理)不难证明4 条范数公理全部满足.因非负性和齐次性是显 然的;③的证明见课本.我们只讲④的证明. ‖AB‖F2=i=1mj=1n|k=1paikbkj|2 i=1mj=1n((k=1p|aik|2)(k=1p|bkj|2))(C-S不等
则
n
1 ak 1 bk a k bk a b p q q b p a
1 a k bk a b k 1 pa
p
n k 1
ak
p
1 qb
q
b k 1 k
n q
1 1 ab ab q xn|}=|k‖x‖; ‖x+y‖= max{|x1+y1|,…,|xn+yn|} max{|x1|+|y1|,…,|xn|+|yn|} max{|x1|,…,|xn|}+max{|y1|,…,|yn|} =‖x‖+‖y‖
矩阵理论与应用题目和答案
11.设4是宛阶矩阵.对任总O ≠r ∈ F”均HAT≠ x.址明/ 一 A对逆并求其逆.12.设〃阶矩阵/1可逆.R与“足八维列向虽.如果(A + r<∕∙)-1可逆.证明SherUIan-MQrrhoii'5公式:μ÷x∕Γ=.4--±±⅛≤l.'八 1 +旷心Jr(提示；可用上题的结论•)13.设门阶矩昨人可逆.ZrGD分别½∏ X m,m X n.τn × m矩阵•证明=∖A∖∖D-CA^l B∖.15.设炬阵/1与A-BG均可逆，试用A9A^∖β.C^^(Λ-BCΓ∖(提不：研宛廿块矩阵(：的逆矩陈•)30.对工=(zι,x2)τ, y = @1皿几规定(4") = Olly l+ biι y2 + bx2yι + Ci22/2 ・证明S2/)是酬的内积=α > O1αc > b2.31.设U= {αco6f+ bsinf,其中α,b为任意实数}是实二维线性空间.对任意/,g W匕定义(/.<7)= /(OMO)+ /(∣)<7(^).证明(/,g)是V■上的内积,并求仇⑴=3∣cos(f + 7) + 4 Sin (t + 9)的长度•32.设欧氏空间昭刃2中的内枳为1(/,g) = J f(χ)g(χ)dx.-J⑴求棊1・以2的度虽矩阵：(2)用矩阵乘法形式计算/U) = l-ι + F与ff(x)= l-4x-5F的内积.12.设线性空间V = R2是欧氏空间(未必是逋常的欧氏空间)∙‰1 = (l,l)τ,α2 = (1,-1)T与內=(0,2)Γ,A¾ = (6,12)r½V的两纽疥.设術巧与仇的内积分别为(αiw4ι) = 1. (a\.02)= 15. (az.βι) = -1∙(Q2.旳)=3∙(L)求阴组丛的度呈屯阵：(2)求U的一个标准IE交基.44・设A是反对称实矩阵(即ST = -A),证明；(1)A的特征值为0或纯虚数；(2)设α + 0i是4的属于一个非零特征值的特征向量，其中α,&均为实向量，则a与0正交.&设2是所竹次数小于71的实系数多项式爼成的实块性空间.U= {∕(r) ∈ V 1/(1) = 0}∙证明UiLV的子空间，并求V的一个补空间・9.设(/ = [(1,2,X6)τ. (4, -L3,6)τ, (5∙ L 6.12)T b W = [(1.-LLI)T,(2∙-13,5)τ]足R4的恃个子空何.(1)求UnW的基；(2)扩充U∩ IV的菇，使其成为D的基；(3)扩ftu∩ Vr的施，便其成为W的皐；(4)求U + W的基.Io-设U = {(τ,ι∕7 2. w) ∣τ + y + 2 + w = 0}1Ir = {(ι∙7y, 2τ w) |r —y÷2-tr = O}.求U ∩ W z, U + W 的维数与基•12.设/1是“阶方阵.证用(1)4∏f以唯4⅛衣乐成个对称炉阵和个反对称炉PnrJ和.试用f z空何的直和分鮒理论斛种这菇果(2)∙2J以唯一地农加成一个HCnnltC矩障和一个反HcrmItc舱阵的和.比用于空间的自和分鮮埋论解释这一(3)解释定义域为R的任盘实函敢可以咁•地衣示成个偶函数与•个奇函数的和；(4)请举一个类似于上曲(1)-(3)的例子并解释之・27. (1)求例2222屮的幕零变换丁的幕零指数及其在标准基下的矩阵；(2)设ST∈ EIKl”分别是线性空何"的同构变换和峯零变换，证∏JJσ÷ T&V的同构变换;(3)设AD是可逆矩阵，£,C是導零矩阵，证明分块矩阵(2 可逆.29.设V r = K3. σ(τ. t/, Z)=(工 + 2y -Z, # + z, @ + M — 2z)・求(1)。
矩阵理论课后习题答案习题二
3 0 1 λ⎤ 0 0 ⎡ 2λ ⎡ 0 ⎢ 4λ ⎥ ⎢ 3λ + 6 0 λ + 2 2λ ⎥ c − 2c ⎢ 0 0 0 ⎢ c −3 c ⎢ 0 6λ λ 2λ 0 ⎥ ⎯⎯⎯ →⎢ 0 0 λ ⎢ ⎥ ⎢ 0 λ −1 0 0⎥ 0 λ −1 ⎢ λ −1 ⎢ λ −1 ⎢ ⎢ 0 0⎥ ⎣3λ − 3 1 − λ 2 λ − 2 ⎦ ⎣3 λ −3 1 − λ 2 λ −2
于是不变因子为
d1 (λ ) = d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,d 4 (λ ) =
Smith 标准形为
D4 (λ ) D (λ ) = λ (λ − 1),d 5 ( λ )= 5 = λ2 ( λ − 1) 故 该 矩 阵 的 D3 ( λ ) D4 ( λ )
0 1 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ 0 0 0 ⎥ 1 0 0 ⎥. ⎥ 0 λ (λ − 1) 0 ⎥ 0 0 λ 2 (λ − 1) ⎥ ⎦
0 0 0 ⎡1 ⎤ ⎢0 λ (λ − 1) ⎥ 0 0 ⎢ ⎥； ⎢0 0 λ( λ − 1) 0 ⎥ ⎢ 2 2⎥ 0 0 λ (λ − 1) ⎦ ⎣0
（3）对矩阵作初等变换
⎡3λ 2 + 2 λ − 3 2 λ −1 λ 2 + 2 λ − 3 ⎤ c − c ⎡3 λ 2 − 2 3 ⎢ 2 ⎥ c1 ⎢ 2 3 − c2 → ⎢4 λ 2 −3 ⎢4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3 λ − 4 ⎥ ⎯⎯⎯ ⎢ λ2 + λ − 4 ⎢ λ2 − 2 λ −2 λ −1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ 4 2 3 2 ⎡ −λ + 7 λ − 6 −λ + 2λ + 4λ − 5 0 ⎤ ⎢ ⎥ r2 − r1 ⎯⎯⎯⎯→ λ 2 −1 λ −1 0⎥ r1 −( λ 2 −2) r3 ⎢ ⎢ λ2 −2 λ −2 1⎥ ⎣ ⎦ 4 2 3 2 ⎡ −λ + 7λ − 6 −λ + 2λ + 4λ − 5 0 ⎤ 2 ⎢ ⎥ c1 −( λ −2) c 3 ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ λ 2 −1 λ −1 0⎥ c2 −( λ − 2) c3 ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡ −λ 3 + λ 2 − λ −1 −λ3 + 2λ 2 + 4λ − 5 0 ⎤ ⎢ ⎥ c1 −( λ +1) c 2 ⎯⎯⎯⎯ →⎢ 0 λ −1 0⎥ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡λ 3 − λ 2 − λ +1 0 0⎤ ⎡1 2 ⎢ ⎥ r1 ↔ r3 ⎢ r1 + (λ −λ − 5)r2 ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎢ 0 λ −1 0 ⎥ ⎯⎯⎯ → ⎢0 r1× (− 1) c1 ↔ c3 ⎢ ⎢ 0 0 1⎥ ⎣0 ⎣ ⎦
矩阵论 黄有度43
(3) 设k为常数，则 lim[ kA(t )] = kA = k lim A(t ). 为常数，则
t →t0 t →t0
定义 设函数矩阵A(t )中所有元素aij (t )在t0处连续，则称 A(t )在t0处连续。如果所有元素aij (t )在(a, b)内每一点都连 续，则称A(t )在(a, b)内连续。如果A(t )在(a, b)内连续，并且 所有的aij (t )在a点右连续，在b点左连续，则称A(t )在[a, b]上 连续。
3.3 向量和矩阵的范数
向量范数
定义 设V 是数域P上的线性空间，若∀x ∈V , 都有一个数 x ∈ P 与之对应，且满足条件：
(1)正定性：x ≥ 0，且 x = 0 ⇔ x = 0； (2)齐次性： = k x , k ∈ P; kx (3)三角不等式：对 ∀x,y ∈ V,有 x+ y ≤ x + y ,
t →t 0 t →t0
(1) 如果A(t ), B(t )都是m × n阶矩阵，则 lim[ A(t ) + B (t )] = A + B = lim A(t ) + lim B (t );
t →t0 t →t0 t →t0
(2) 如果A(t ), B (t )分别为m × n阶及n × r阶矩阵，则 lim[ A(t ) B(t )] = AB = lim A(t ) lim B(t );
m→∞
lim a
(m) ij
= aij , i, j =1,2,Ln, 则称矩阵序列 Am}收敛于矩阵 {
m→∞
A = (aij )n×n , 记为lim Am = A;否则, 称矩阵序列 Am}为发散的。 {
矩阵论答案习题 1.2
习题 1.21. 解：因为对2的任一向量(21,x x)，按对应规则都有2中惟一确定的向量与之对应，所以是2的一个变换.(1) 关于x 轴的对称变换； (2) 关于y 轴的对称变换； (3) 关于原点的对称变换； (4) 到x 轴的投影变换； (5) 到y 轴的投影变换.2. 解： (1) 不是.因为(2211ααk k +)＝2211ααk k ++β≠k1(1α)+k2)()()(22112βαβαα+++=k k=2211ααk k ++)(21k k +β(2) 不是.因为(2211ααk k +)＝β≠k1(1α)+k2βα)()(212k k +=(3) 不是.因为取 x =(1 , 0 , 0 ) ,1≠k 时,(k x )=(k 2,0, 0)≠k( x )= k (1, 0, 0)=(k , 0, 0) (4) 是.因为 设x =(321,,x x x ) ,y =(321,,y y y)(k 1x +k 2y )=112(x k),,2(),,1322121322y y y y y k x x x x +-++-=k1(x )+k 2( y )(5) 是.因为()()(2211x f k x f k+)=)1()1(2211+++x f k x f k=k1(f 1(x ))+k2))((2x f(6) 是.因为()()(2211x f k x f k+)=)()(022011x f k x f k+= k1(f 1(x ))+k2))((2x f(7) 不是.因为 设x =(321,,x x x) ,y =(321,,y y y)(k 1x +k 2y )= ()0),sin(),cos(22211211y k x k y k x k ++≠k 1(x )+k2( y )=)0,sin ,(cos )0,sin ,(cos 212211y y k x x k+ =()0,sin sin ,cos cos 22211211y k x k y k x k++.3. 解：1(α+β)=1[()]()11222221,,y x y x y x y x--+=++()()=-+-=1212,,y y x x 1(α)+1(β)1(k α)=1(k (x 1, x 2))()()kx x k kx kx=-=-=1212,,1(α)所以1是线性变换.同理可证2也是线性变换.(1+2)(α)= (1+2)[(x 1, x 2)]=1[(x 1, x 2)]+2[(x 1, x 2)]),(),(),(21212112x x x x x x x x --+=-+-=12(α)=1［2(α)］=1[( x 1, -x 2)]=(- x 2, -x 1)21(α)=2［1(α)］=2[( x 2, -x 1)]=( x 2, x 1) .4. 证：（1）因()()()C B A B A C B A +-+=+()()=-+-=BCCBACCA (A )+(B )()()()()=-=-=ACCA k C kA kA C kA k(A )故是线性变换.（2）(A )B +A (B )()()BC CB A B AC CA -+-==-=ABC CAB (AB )5. 解：令 ()3,,R c b a c c b a a ∈↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ 即可.6. 证：设()[]nx p x f ∈，则(12-21)(f(x))=1［2(f(x))］－2［1(f(x))］=1［xf(x)］－2［f(x)］()()()()x f x f x x f x x f ='-'+=故12－21是恒等变换.7. 证：设2V∈α，则2211e k e k +=α，由于2(e 1)+ 2(e 2)=2(e 1+e 2)=e '1+e '22(e 1)－2(e 2)=2(e 1－e 2)=e '1－e '2所以，2(e 1)=e '1,2(e 2)= e '2于是1(α)=k11(e 1)+k21(e 2)2211e k e k'+'== k12(e 1)+k22(e 2)=2(α)故1=2.8. 解：(1) 因为j i ,在xoy 平面上，其投影不变，故有(i )=i ,(j)=j ,又k 垂直xoy 平面，则0)(=k , 得((i ),(j ),(k ))=(i ，j ，k ) 0010001所求矩阵为A =010001.(2) 因为,001)(γβαα++==i,010)(γβαβ++==j ,,011)(γβαγ++=+=j i所以, 所求矩阵为 A =110101 .(3) 由的定义知,(i )=((1 ,0 ,0 ))= ( 2 ,0 ,1)(j )= ((0 ,1, 0 ))= ( -1, 1 , 0)(k )=((0 ,0 ,1))= ( 0 ,1 , 0)有 ((i ),(j ),(k ))=(),,k j i1110012-所求矩阵为 A =1110012- .(4) 据题设：)())(('t f t f = 则)(1x =(bt eatcos )'=btbebt aeatatsin cos -=21bx ax-)(2x =(bteatsin )'=12bx ax +)(3x =( btteatcos )'=431bx ax x-+ )(4x =(btte atsin )'=342bx ax x++ )(5x =(bte t atcos 212)'=653bx ax x-+)(6x = (btt sin 212)'=564bx ax x++于是 ()(1x ,)(2x ,)(3x ,)(4x ,)(5x ,)(6x )()Dx x x x x x 654321,,,,,= ,所求矩阵为D =abb a a bbaa bba ---000010000100001000019. 解：(1) (123,,e e e)=(321,,e e e )1010100=(321,,e e e)C所求矩阵为 B=C 1-AC =111213212223313233a a a a a a a a a(2) (321,,e ke e)=(321,,e e e )100001k =(321,,e e e)C所求矩阵为B=C1-AC =333231232221131211akaakaakaakaa(3)(3221,,eeee+)=(321,,eee)1111=(321,,eee)C 所求矩阵为B=C1-AC=33323231132312221211222113121211aaaaaaaaaaaaaaaa+----++10. 解：由定义知()()31121,0,2εεε+==212)0,1,1()(εεε+-=-=()()23,1,0εε==所以，所求矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-11112.11. 解：因为()()21121,2εεε'+'==()()1231,3εε'==()()2131,1εεε'+'-=-=所以，所求矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11132.12. 解： (1η,2η,3η)=(321,,εεε)111101011--(321,,εεε)=(1η,2η,3η)111101011--1-= (1η,2η,3η) CB=C 1-AC =111101011--21011101-111101011-- 1-= 12121211---- .13. 解：(1) (1η,2η,3η) = (321,,e e e) C ,过渡矩阵为C=(321,,e e e)1-(1η,2η,3η)=11110121 1-111122221---- =252112323123232---(2) ()(1e ,)(2e ,)(3e )=(1η,2η,3η) = (321,,e e e) C故在基{}ie 下的矩阵就是 C . (3) (()1η,(2η),(3η) ) = (1η,2η,3η) = (321,,e e e) C=()(1e ,)(2e ,)(3e ) C = (1η,2η,3η) C故在基{}iη下的矩阵仍为C . 14. 解：（1） 由于()21111110cE aE c aE +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()22121210cE aE c a E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()211121100dE bE db E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=()2212221dE bE d b E +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=故1在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d cd c b a b a A 00000001类似地，可得2在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=d bc ad bc a A 00000002.由于3=12，所以3在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==2222213d bdcdbccd ad cac bd bad abbc ab ac a A A A同理，可得4在该基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a ca cb a b aA 0200022000204（2）由于由简单基E 11，E 12，E 21，E 22改变为给定基E 1，E 2，E 3，E 4的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=001110011000001C于是，4在给定基下的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==-a bca b c cc a b b a C A C B 002202204115. 解： （1）将题给关系式写成矩阵形式为(()1e ,(2e ),(3e ) )()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11011101,,423312121321εεε即()()()B e e e 3211321321,42331212111011101,,,,εεεεεε=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-由于()()C e e e 321321,,,,=εεε，所以有(=),,321εεε()()BCC e e e 321321,,,,εεε=故在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==256355123BC A（2）因为(=)1ε()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,,001,,321321A εεεεεε()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=953,,001,,321321e e e CA e e e所以()1ε在基（I ）下的坐标为（3，5，9）.16. 解：（1）取[]2x p 的简单基1，x ，x 2，则有()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==101110102,,1,,1,,22321xx Axx f f f从简单基改变到基f 1，f 2，f 3和g 1，g 2，g 3的过渡阵分别为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5222101011C ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211010112C故有(g 1, g 2, g 3)=(1, x, x 2)C =()211321,,C C f f f -()()21101232121102,,,,1C C A C g g g C C Axx ---==即在基（II ）下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==--11211221211012C C A C A（2）因为()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-321,,321,,1123212C g g g xx x f()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=032,,321g g g所以(f(x))=()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-032,,032,,321321A g g g g g g()23211354,,x x g g g +--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= .17. 证：设在给定基下的矩阵为()ija A =，并设C 为从旧基到新基的过渡矩阵，由于在任一组基下的矩阵相同，则有ACCA 1-=，即AC=CA ，根据“A 与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A 必为数量矩阵()常数k kI A ,=.18. 解：由基321,,ηηη到基321,,εεε的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3103161213121211C故{}i ε在基下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-46846453106111C B C B .那么，+，，， (+ )在基{}iε下的矩阵分别为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+2644241011151061B A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=60127212212661AB ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=123414026215291361BA ，()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=+3612078611442549675181B A B .19. 证：设有可逆方阵P 与Q ，使 B=P 1-AP , D=Q 1-CQ 则DB OO =CQQAPP11--O O=11--OO QPCA OOQP O=QP OO 1-CA OOQP OO即 CA OO 与 DB OO 相似.20. 证：设1r rankA=，2r rankB =，则A ，B 的行向量的极大无关组中分别含有21,r r 个行向量，设分别为11,,r αα 和21,,r ββ ，则A 的每个行向量均可由11,,r αα线性表示，B的每个行向量均可由21,,r ββ线性表示.又可A+B 的每个行向量是A 与B 的相应行向量的和，故A+B 的每个行向量均可由11,,r αα，21,,r ββ 线性表示.因此A+B 的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过21r r+，即()rankBrankA B A rank+≤+.21. 证：设()n B r rankAβββ,,,,21 ==，则()()0,,,,,,2121===n n A A A A AB ββββββ ，所以θβ=1A ，θβ=2A ，…，θβ=n A .这就说明B 的列向量nβββ,,,21 都是以A 为系数矩阵的齐次方程组的解.由于rr a n k A =，所以解空间的维数为r n -，从而知nββ,,1的极大无关组所含向量的个数rn -≤，即rn rankB-≤，因此有nr n r rankB rankA =-+≤+ .22. 证：设A ，B 为同一数域上的n m ⨯与g n ⨯阶矩阵，显然，方程组BX=θ的解向量X 也满足方程组()θ=XAB ，记{}θ==BX X U ， (){}θ==XAB XV则VU⊂，于是dinV AB rank n rankB n U =-≤-=)(dim即()rankBAB rank ≤.又由于()()()TT TAB rank AB rankAB rank ==rankArankAT=≤因此 (){}r a n k B r a n k AAB rank,min ≤.23. 证：由上题知，()rankAA A rank T≤，现在只需证明()rankAA A rank T≥即可.考虑线性方程组θ=AX A T，设()T nx x x X,,,21 =是方程组的一组解，将θ=AX A T两边左乘X T ，得θ=AX A XTT，即()θ=AX AX T，所以θ=AX，即{}{}00=⊂=AX X AX A XT.于是()rankAn A Arankn T-≤-即有()rankAA Arank T≤，故有()rankAA Arank T= ，并且有()()rankArankA A A rankA ArankTTTT T===即有()()TTAA rankA ArankrankA==.注：对复矩阵A ，上式不一定成立.例如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11ii A ,1=rankA .由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00001111i i i i A AT故()=A Arank T.此时，相应的关系式应为()()A A rankAA rankrankA **== .24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX=θ两边左乘A T 即可.25. 证：（1）因为nrankA=，故nm≥，不妨设A 的前n 行线性无关，且构成的n 阶满秩方阵为A 1，后n m -行构成的矩阵为A 2，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A B A B A A AB 2121所以()()rankBB A rankAB rank =≥1，但()r a n k B AB rank ≤，故()r a n k BAB rank =.（2） 同理可证. 26. 解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=0011B ；（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0020B ； （3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B .27. 证：因为()()()n m rankBrankA AB rankrankC,min ,min ≤≤=，但n m >，故m 阶方阵C 的秩mn <≤，所以C 是降秩的.28. 解：先求矩阵A 的特征值和特征向量为 121==λλ，()T20,6,31-=α23-=λ,()T1,0,02=α故的特征值和特征向量为121==λλ，()3212063e e ek +-，0≠k23-=λ，3ke ， 0≠k .29. 解：（1）121==λλ，()T1,0,11=α，()T0,1,02=α，13-=λ，()T1,0,13-=α.(2)1=λ,()T2,1,31-=α，i143,2±=λ，().10,1432,1463,2Ti i -±-±=α（3）121==λλ，()T20,6,31-=α，23-=λ，()T1,0,02=α；（4）2321===λλλ，()T0,0,1,11=α，()T0,1,0,12=α，()T1,0,0,13=α，24-=λ，()T1,1,1,14---=α.以上分别求出了在不同基下所对应矩阵A 的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出不同基下所对应的特征值和特征向量.30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P 分别为（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010101；（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----+---+101021432143211461463i ii i;（4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---11101010011111.31. 证 ： 设在给定基下的矩阵为A ，则()n i A i ni i ,,2,100det 1=≠⇔≠=∏=λλ32. 证：设rrankA =，则存在满秩矩阵P 与Q ，使得()0,r I diagPAQ =，故有()C I diagBPPAQQPABPr 0,111==---其中()ijC BQQC==--11， 这说明AB 与diag （0,rI）相似.另一方面，有()0,111r I C d i a g P A Q BPQBAQ Q==---，说明BA 与()0,r I Cdiag相似.不难验证有()()()()0,det 0,det r r I CdigI C I diagI -=-λλ故AB 与BA 有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹.33. 证：设A 的任一特征值为λ，λ的对应于λ的特征子空间记为λV .对λV 中任意向量Z 有BZZ B BAZ ABZ λλ===故λV BZ ∈，因此λV 为线性变换()BZZ =的不变子空间，即()BZZ =为λV 中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B 的特征向量，但它又属于λV ，由λV 的定义知它又是A 的特征向量，即A 与B 有公共的特征向量.34. 证：设A 的特征值为iλ，则A 2的特征值为2iλ，由12=iλ有1±=i λ，若所有1=i λ，则A+I 为满秩矩阵，故由（A+I ）（A-I ）=A 2-I 2=0，有A=I .35. 证：不失一般性，设B 非奇异，有AB=B -1（BA ）B 即AB 与BA 相似，所以它们有相同的特征多项式.36. 证：设A 为n 阶方阵，具其秩为r ，由于A 2=A ，知A 的列向量都是A 的对应于特征值1的特征向量.因γ=rankA ，故特征值1的几何重复度为r ，其代数重复度至少为r .又θ=AX的基础解系中的向量个数为r n -，即A 的特征值0的几何重复度为r n -，其代数重复度不小于r n -.由于一个n 阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n ，故特征值1和0的代数重复度分别为r 和r n -.可见A 除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n ，故A 为非亏损矩阵，所以A 相似()0,rIdiag .37. 证：用反证法.若A 可相似于对角矩阵，对角元素即为A 的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于λαα=A ，于是θαλα==kkA，因为θα≠，所以0=kλ，故0=λ，即A 的特征值都等于0，矛盾.38. 证：由XAX λ=，有()Xk kX A λ=，XX A kk λ=，从而有()()Xf X A f λ=，即X 也是()A f 的特征向量.显然()A f 的特征值为()λf ，即为λ的多项式.39. 解：取3中的自然基321,,εεε，计算得(1ε)=(0 , -2 ,-2 ) , (2ε)=(-2 , 3 ,-1 ) , (3ε)=(-2 , -1 ,3 )则在基321,,εεε下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=31213222A而A的特征值为2,4321-===λλλ，与之对应的特征向量为()TX0,2,11-=，()TX2,0,12-=，()TX1,1,23=，则有()2,4,41-=Λ=-diagACC，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=112211C.由()321,,ααα=（321,,εεε）C求得3R的另一组基为()0,2,12211-=+-=εεα，()2,0,12312-=+-=εεα，()1,1,223213=++=εεεα，显然在该基下的矩阵为对角阵Λ.40. 解：（1）因为()21xx+=，()21xx+=，()xx+=12，所以在基1，x，x2下的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111A.（2）由于A原特征值为121-==λλ，23=λ，相应的特征向量为()TX01,11-=，()TX1,12-=，()TX11,13=，存在可逆阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111C，使⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-2111AACC，故所求的基321,,eee为()()()2223211,1,1,,1,,xxxxCxxeee+++-+-==.41. 解：（1）对任意的V∈βα,及Rlk∈,，有()()()()()BBlBBkBlklkBlkTTTTTTββααβαβαβα-+-=+-+=+=k ((α))+l ((β))故是线性变换.（2）取V的简单基⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1,1,11321AAA由于(),111⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)(2A,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)(3A,所以在基321,,AAA下的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111111RR的特征值为2,0321===λλλ，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T，（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111111C，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ2则有Λ=-RCC1，由（B1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另一组基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=111211AAB，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=11322AAB，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=11323AAB，在该基下的矩阵为Λ.42. 证：（1）取n的一组基neee,,,21，设1（neee,,,21）=（n eee,,,21）A2（neee,,,21）=（n eee,,,21）B则有 (12)（n e e e ,,,21）=（n e e e ,,,21）（AB ）(1+2)（ne e e,,,21）=（ne e e,,,21）（A+B ）由12=1+2，可得AB=A+B ，从而有B T A T =A T +B T .若1是1的特征值，则 1也是A 的特征值，从而1也是A T 的特征值，设A T 对应于特征值1的特征向量为β，即()0≠=βββTA，由（B T A T ）β=（A T +B T ）β，可得B T β=β+B T β，即β=0，这与β是A T 的特征向量矛盾，故1不是1的特征值.（2）因1有几个不同的特征值，所以1有n 个线性无关的特征向量.记1的对应于特征值nλλλ,,,21的线性无关的特征向量为X 1，X 2，…，X n ，即1ii iXXλ= （i =1，2，…，n ），则X 1，X 2，…，X n 作为n的基时，1的矩阵A =diag （nλλλ,,,21）.再由AB=A+B 及1≠iλ知 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-1,,1,122111n n d i a g A I A B λλλλλλ 即1与2在该基X 1，X 2，…，X n 下的矩阵都为对角阵.43. 证：对任意0λαV ∈，有1(αλα0)∈.由于1(2(α))=2(1(α))=2(λα)所以2()0λαV ∈, 故0λV 是2的不变子空间.44. 解：(1) ('3'2''1,,,ee e e )=( 4321,,,e e e e )C=(4321,,,e e e e)2111011*********---∴ B=C1-AC =242134040168101042699631-----(2) 先求核θ(1-) . 设η=)(1θ-在基{}iε下的坐标为(4321,,,x x x x)，(θη=)在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是A4321x x x x = 000此时A 的秩为２，解之，得基础解系 )1,0,2,1(,)0,1,23,2(21--=--=ξξ,作 421232112,232e e e e e e +--=+--=ηη. 显然，21,ηη为核θ(1-)的一组基，故核由21,ηη所张成，即 θ(1-)=Span (21,ηη) .再求值域(4) . 由于((e 1),(e 2),(e 3),(e 4)) = (4321,,,e e e e) A而A 的秩为２，所以(e 1),(e 2),(e 3),(e 4)的秩也为２，且(e 1),(e 2)线性无关，故组成(4)的基，从而(4)=Span ((e 1),(e 2)) .(3) 由(2)知21,ηη是核θ(1-)的一组基，易知2121,,,ηηe e为4的一组基，由于有(2121,,,ηηe e)=(4321,,,e e e e )1100223101201---- = (4321,,,e e e e) D所以在此基下的矩阵为B=D 1-AD =220021001290025-(4) (2)知(e 1),(e 2)是值域(4)的一组基，又知(e 1),(e 2),43,e e为4的一组基，有((e1),(e2),43,e e )=(4321,,,e e e e )122012100210001--=(4321,,,e e e e) T所以在此基下的矩阵为B=T 1-A T =00002231291225 .45. 证：取3中的自然基321,,εεε，因为(+ )(1ε)=(1ε)+ (1ε)=（1，0，0）+（0，0，1）=（1，0，1）同理有(+ )(2ε)=（2，0，0），(+ )(3ε) =（1，1，0）这表明+ 将基321,,εεε变换成3中的另一组基1e =（1，0，1），2e =（2，0，0），3e =（1，1，0）（易证它们线性无关）. 又因（+ ）（3）是3的子空间，而321,,e e e是（+ ）（3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的结果知（+ ）（3）=3（此时取V 2=3）.46. 解：因为2［(321,,a a a)］=(［(321,,a a a)］)=()[]21,,0a a =（0，0，1a ）所以2的像子空间为R (2)(){}R a a ∈=,0,核子空间为N (2)(){}R a a a a ∈=2232,,,因此，dimR (2)=1，其一组基为（0，0，1）；dim N (2)=2，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）.47. 证 ：（1）由的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以它为线性变换.又因2[(nx x x,,,21)]=[()()2111,,,0,0],,,0--=n n x x x x ，…推知n[()()0,,0,0],,,21==n x x x，即nϑ=（零变换）.（2）若[()()()0,,0,0,,,0],,,1121==-n n x x x x x，则1x =2x =…=1-n x=0即()θ1-为由一切形如（0，0，…，n x ）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，…，0，1）是它的基.又由维数关系 dim (V)+dim1-(θ)=n便得 (V) 的维数等于 n-1 .48. 证 ：（1）必要性.若(V)= (V)，对任V∈α，则∈)(α（V ）=(V) ，故存在V∈β，使=)(α)(β，=)(α2)(β= )(β=)(α ，由α的任意性有 = .同理可证= .充分性.若= ,=, 对任(∈)α(V )V ⊂，=)(α)(α= ()(α)∈ (V ) , 故(V)⊂ (V) ；同理可证 (V)⊂(V).(2)必要性.若()=-θ1)(1θ-，对任V∈β,作-β)(β，因（-β)(β）=)(β-2)(β=)(β-)(β=θ ，所以，-β)(β∈()θ1- =)(1θ- ，则 （-β)(β）= θ，故=)(β )(β，由β的任意性有 =. 同理，通过作β- )(β， 可得=.充分性.若= , =, 对任 ∈α()θ1-，由=)(α=)(α（)(α）= （θ）=θ ，故()⊂-θ1)(1θ-；同理，由任∈β)(1θ- ，可得 ()⊂-θ1)(1θ-.。
矩阵及其运算课后习题答案
第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换． 解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换．解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算下列乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛;(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ;(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121.解(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876 (5)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x ()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解(1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148 但=++222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫⎝⎛=27151610故2222)(B AB A B A ++≠+(3)=-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫⎝⎛7182 故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明下列命题是错误的: （１）若02=A ,则0=A ;（２）若A A =2,则0=A 或E A =; （３）若AY AX =,且0≠A ,则Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A ,02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A ,A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠. 7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,则1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 首先观察⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---kk k k k k kk k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明: 当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，则1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =则 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T =B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB T T =⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求下列矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解(1)⎪⎭⎫⎝⎛=5221A ,1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A .*-=A A A 11⎪⎭⎫⎝⎛--=1225(2)01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3)2=A , 故1-A 存在 024312111==-=A A A1613322212-==-=A A A21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012 (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解下列矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311111012112X ;(3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2) 1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122 (3) 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x 解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k=(k 为正整数),证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面，)()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=-两端同时右乘1)(--A E 就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 满足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两端同时取行列式:22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 所以A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由O E A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒ 11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。
矩阵论试题及答案可编辑全文
2006矩阵论试题答案一．填空（每题4分，共40分）1． 设−−=41311221222832A ，则A 的值域4(){,R }R A y y Ax x ==∈的维数=)(dim A R 2 .2． 设A 的若当标准型−−−=10000011000001100000020000012000002J ，则A 的最小多项式=)(λψm 32(1)(2)λλ+−.3． 设110430102A −=−，则()5432333h A A A A A A =−++−=110430102−− −−. 4． 设埃尔米特阵为 −−+=2005111i i i i A ， 则矩阵A 为 正定的 埃尔米特阵.5． 在3R 中有下列两组向量：()13,1,2Tα=−−，()21,1,1Tα=−，()32,3,1Tα=−； ()11,1,1Tβ=，()21,2,3Tβ=，()32,0,1Tβ=，则由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵=P 619113421270−−−−−− −− .6．设33CA ×∈，21332211{}ij m j i A a ===∑∑，H AA 的非零特征值分别为15 ,5 ,3，则=2mA.7． 设12102101, 11111137A B −== −−，12,V V 分别为齐次线性方程组 0Ax =，0Bx =的解空间，则=)dim(21V V ∩ 1 .8． 设1(1)1(1)121()321nn n n n n n A n n n n +−−=++ −，则lim n n A →∞=1311e .9． 设213121202A −=，则A 的 LDU 分解为 A =100121012/51 2001123205200115004/5001− − − 10．设 −=5221A ，=0242B ，则2448204048102040100A B−−−⊗=. 二．（10分）设T 为n 维欧氏空间V 中的线性变换，且满足：),(),(Ty x y Tx −=，试证明：T 在标准正交基下的矩阵A 为反对称阵（T A A −=）证明：设n ααα,,,21 为V 的标准正交基，n n ij a A ×=}{，下证：ji ij a a −=： 由=),,,(21n T ααα A n ),,,(21ααα 知n ni i i i a a a T αααα+++= 2211，n nj j j j a a a T αααα+++= 2211， ),(),(j i j i T T αααα−=；=),(j i T ααji j n ni i i a a a a =+++),(2211αααα ， =),(j i T ααij n nj j j i a a a a =+++),(2211αααα , 所以：ji ij a a −=.三．（10分）在复数域上求矩阵−−−=7137341024A 的若当标准形J ，并求出可逆矩阵P 使得J AP P =−1.解： A 的若当标准形210021002J=. 令123(,,)P p p p =，则有112123232,2,2Ap p Ap p p Ap p p ==+=+;1213262100621062104170,417,4173150315315p p p p p −−−−=−=−= −−−解得：123(2,1,1),(0,1,0),(1,2,1)T T Tp p p ===− , 201112101P=−.四. （10分）已知 =654321x x x x x xX ，162534()sin()x x f X e x x x x =++，求dXdf . 解答：16161234652543225516cos()cos()x x x x ff f x x x df dX ff f x x x x e x x x x x x x x x e ∂∂∂∂∂∂== ∂∂∂ ∂∂∂. 五.（10分）已知311202113A −=−−−，求4sin()A π，Ae .解：3||(2)E A λλ−=−，A 的最小多项式2)2()(−=λλϕ .待定系数一：令24sin ()(2)q a b πλλλλ=−++，则21,0a b b +==,4sin()A E π=;令2()(2)e q a b λλλλ=−++，则222,a b e b e +==.222211212112A e e e E e A −−=−+=− −−.待定系数二：令324sin ()(2)q a b c πλλλλλ=−+++，则22222414018,8,32216a b c b c a b c c ππππ ++=+=⇒=−==− =− ; 224sin()(44)32A E E A A E ππ=−−+=.令32()(2)e q a b c λλλλλ=−+++，则2222222414,,22a b c e b c e a e b e c e c e++= +=⇒==−== ; 2221()2211212112A e e E A A e −−− =− +−−= .六.（10分）设−=01200110A ，求A 的奇异值分解. 解答一：=5002A A H ，A 的奇异值为5,2; 00Σ= , 25H HV A AV = ，1001V =; 1100100100200100U AV −−− =Σ==; 00000000U− =; 0000010001 0 000 0 000A=.解答二：=5002A A H ，那么A 的奇异值为5,2，A A H对应于特征值5，2的标准特征向量为 = =01,1021x x ，=0110V ; 再计算H AA 的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的四个标准正交特征向量=0520511υ， −=2102102υ，−=0510523υ，=2102104υ，−−=210210051052210210052051U ; 所以=∆=HV UA 0000000000000110.七．（10分）设n n i A ×∈≠C 0，2rank rank i i A A =),,2,1(n i =，且当i j ≠时),,2,1,(0n j i A A j i ==.试用归纳法证明存在同一个可逆阵n n P ×∈C 使 得对所有的i ),,2,1(n i =有1−=P PE a A ii i i ，其中C ∈i a . 证明：1n =时，命题显然.假设n k ≤时，命题成立. 当1n k =+时，设1rank A r =.由若当分解11111000D A P P − =，其中1C r rD ×∈可逆; 当2,,j n = 时，由110j j A A A A ==可得1(1)(1)1100, C 0n n j jj A P P B B −−×− =∈(直接推出的j B 为()()n r n r −×−的) 再由0i j A A =得0i j B B =(,,2,,)i j i j n ≠= ;0j B ≠,2rank rank j j B B =也是明显的.由假设知存在可逆阵(1)(1)C n n Q −×−∈使得1j j jj B a QE Q −=，其中C j a ∈，2,,j n = .此时,再由110j j A A A A ==得到11111111110101010000000a A P P a P P Q Q −−− == ; 记1100P P Q =，则 11111111100000000 (2,,).0 j j j jj j j jj jj A P P P P B a QE Q a P P a P E P j n E −−−−− =====由归纳原理知命题为真.。
黄有度-矩阵理论及其应用习题答案
习题18.在4R 中，求由基n x x x ,,,21⋯到基n y y y ,,,21⋯的过渡矩阵A ，并求向量a 在指定基下的坐标，设（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=−=−=−=T T T T x x x x )1,0,1,1()1,1,2,1()1,1,1,1()0,1,2,1(4321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−===T T T T y y y y )2,1,3,1()2,1,1,2()2,2,1,0()1,0,1,2(4321下的坐标在基4321,,,)0,0,0,1(x x x x a T =.（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−=−−=−−==T T T T x x x x )1,1,1,1()1,1,1,1()1,1,1,1()1,1,1,1(4321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−====T T T T y y y y )1,1,1,0()0,0,1,1()1,3,1,2()1,0,1,1(4321下的坐标在基4321,,,)1,0,0,1(y y y y a T −=.解：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−=−0100111010*********11120311112028723143243155623131222111203111120211100111121211111A TT x x x x a ）下的坐标为（在基设43214321,,,,,,)0,0,0,1(µµµµ=,则有：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−000111100111121211114321µµµµ解方程得：133,132,135,1334321−=−===µµµµTT y y y y a 133,132,135,133(:,,,)1,0,0,1(4321−−−=下的坐标为在基（2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−1011103112111273411011103011110121111111111111111141101110301111012111111111111111111A TT y y y y a ）下的坐标为（在基设43214321,,,,,,)1,0,0,1(µµµµ−=,则有：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡•⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−100110111030111101214321µµµµ解方程得：23,4,21,24321−==−=−=µµµµTT y y y y a 23,4,21,2(:,,,)1,0,0,1(4321−−−−=下的坐标为在基9.设{}3322131233,0)(a a a a R a A M ij ==+∈==×，（1）验证M 是33×R 的一个子空间；（2）求M 的维数和一组基；（3）求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=315034221A 在所求出的基下的坐标。
矩阵论及其应用_黄有度习题3解答
a a
k 1 m k 1 m
m
1k
xk 2 xk 2
2k
a
k 1
m
mk k 2
x
xkn k 1 m a2 k xkn k 1 m amk xkn k 1
a
m
1k
tr ( X T AX ) ( xl1 alk xk1 ) ( xlj alk xkj ) ( xln alk x kn )
T
证明： （1）设矩阵
( m) Am (aij ) nn , m 1,2,,
则
T Am (a (jim) ) nn , Am (aij( m) ) nn , nn ,
则
AT (a ji ) nn ， A (aij ) nn ,
3t 2et cos t 3 sin t (t cos t sin t ) .
4．设函数矩阵
e 2 x A( x) e x 3x
计算
xe x 2e 2 x 0
x2 0 ， 0
1
0
A( x)dx 和
d x2 0 A(t )dt . dx
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn ，
而
Am
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
) ( m) ( m) a1( m j a 2 j a njn ，
A
故
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a 2 j2 a njn ,