立体几何体积问题-

立体几何体积问题

未命名

一、解答题

1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

2．如图，多面体中，为正方形，，

,且.

（1）证明：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

3．在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.

（1）证明：；

（2）若多面体的体积为，求线段的长.

4．如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.

（1）证明：平面平面；

（2）当时，求四棱锥的表面积.

5．如图,在四棱锥中,是等边三角形,,,.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若平面平面,,求三棱锥的体积

6．如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.

（1）求证：平面;

（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.

7．如图，在几何体中，平面底面，四边形是正方形，，是的中点，且，.

（1）证明：；

（2）若，求几何体的体积.

8．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，面面，..

（1）求证：平面平面；

（2）设为线段上一点，，试问在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?

（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.

9．已知直三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，，为棱的中点，在棱上，且．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

10．如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.

（1）求证：平面⊥平面PAC.

（2）求三棱锥的体积.

11．在矩形所在平面的同一侧取两点、，使且，若

.

，，.

（1）求证：

（2）取的中点，求证

（3）求多面体的体积.

12．如图，在菱形中，，平面，，是线段的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求多面体的表面积.

13．如图，在三棱柱中，，，

为的中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求到平面的距离．

.

14．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，，平面平面，点分别是棱上的点，平面平面

（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；

.

（Ⅱ）求三棱锥的体积.

15．如图,三棱柱中,侧面侧面,,,,为棱的中点,为的中点.

(1) 求证:平面；

(2) 若,求三棱柱的体积.

参考答案

1．解：

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．

连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以点C到平面POM的距离为．

【解析】分析：（1）连接，欲证平面，只需证明即可；（2）过点作，垂足为，只需论证的长即为所求，再利用平面几何知识求解即可.

详解：（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．

连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以点C到平面POM的距离为．

点睛：立体几何解答题在高考中难度低于解析几何，属于易得分题，第一问多以线面的证明为主，解题的核心是能将问题转化为线线关系的证明；本题第二问可以通过作出点到平面的距离线段求解，也可利用等体积法解决.

2．（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）证明面面垂直可通过证明线面垂直得到，证A平面即可，（2）由已知，连接交于，作于，由等体积法：，进而

可得出结论.

（1）证明：∵，由勾股定理得：

又正方形中，且

∴平面，又∵面，

∴平面平面

（2）由已知，连接交于

作于，则

又由（1）知平面平面，平面平面，

.

面，得面

由，知四边形为平行四边形，即，而，进而

又由，

所以，三棱锥的体积.

点睛：考查面面垂直、几何体体积，能正确分析线条关系，利用等体积法转化求体积是解题关键.

3．(1)证明见解析；(2).

【解析】分析：（1）通过证明AB平面ACFE得到；（2）作于点G，设，

分别计算出四棱锥的体积，再根据已知条件，求出的值，在直角三角形CFG 中求出CF的值。

详解：(1)∵平面，∴

作于点，在中，，，得，

在中，

∴

∴且，

∴平面

又∵平面

∴.

（2）设，作于点，

则平面，且，

又，