立体几何中的体积问题(精编版)
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立体几何
题型一：求体积/距离类
• 熟练掌握公式（柱体、锥体、台体、球……） • 掌握一些方法与技巧：等体积法（换顶点）、
割补法、转移法（转移高）
• 直接法（公式法）：几何体形状整齐，有 较明显的垂直关系且长度已知
例2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求点C到截面C1BD的距离.
谢谢观赏！
BAC 90 ，且 AB AA1 ， D, E, F 分别是 B1 A, CC1 , BC 的中点。
（1）求证： DE / / 平面 ABC ； （2）求证： B1 F 平面 AEF ；
C1
B1
（3）设 AB a ，求三棱锥 D AEF 的体积。
A1
E D
F B
C A
总结
• 公式法 • 等体积法 • 割补法 • 转移法（平行、中点）（距离类）
D1
A1
B1
C1
D A
C B
• 等体积法（换顶点）：大多用于与棱锥体 积有关的问题中
例3
• 割补法：通过分割或者补全几何体，可将 所求几何体体积表示成若干几何体体积的
和或差（有时无法用等体积法做时，可考 虑割补法）
变式1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是BB1，DD1的中点，求四 棱锥D1-AEC1F的体积？
M ， N 分别是棱 CC1 ， AB 中点. （Ⅰ）求证： CN 平面 ABB1A1 ； （Ⅱ）求证： CN // 平面 AMB1 ；
（Ⅲ）求三棱锥 B1 AMN 的体积．
C1
A1 M
B1
C
A
N
B
例4（2）
35. 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱 AA1 平面 ABC ， ABC 为等腰直角三角形，
Fra Baidu bibliotek
D1
C1
A1 F
B1
D A
E C
B
变式1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是BB1，DD1的中点，求四 棱锥D1-AEC1F的体积？
D1
C1
A1 F
B1
D A
E C
B
例4（1）
34. 如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1 底面 ABC ，AC BC 2，AA1 4 ，AB 2 2
题型一：求体积/距离类
• 熟练掌握公式（柱体、锥体、台体、球……） • 掌握一些方法与技巧：等体积法（换顶点）、
割补法、转移法（转移高）
• 直接法（公式法）：几何体形状整齐，有 较明显的垂直关系且长度已知
例2.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求点C到截面C1BD的距离.
谢谢观赏！
BAC 90 ，且 AB AA1 ， D, E, F 分别是 B1 A, CC1 , BC 的中点。
（1）求证： DE / / 平面 ABC ； （2）求证： B1 F 平面 AEF ；
C1
B1
（3）设 AB a ，求三棱锥 D AEF 的体积。
A1
E D
F B
C A
总结
• 公式法 • 等体积法 • 割补法 • 转移法（平行、中点）（距离类）
D1
A1
B1
C1
D A
C B
• 等体积法（换顶点）：大多用于与棱锥体 积有关的问题中
例3
• 割补法：通过分割或者补全几何体，可将 所求几何体体积表示成若干几何体体积的
和或差（有时无法用等体积法做时，可考 虑割补法）
变式1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是BB1，DD1的中点，求四 棱锥D1-AEC1F的体积？
M ， N 分别是棱 CC1 ， AB 中点. （Ⅰ）求证： CN 平面 ABB1A1 ； （Ⅱ）求证： CN // 平面 AMB1 ；
（Ⅲ）求三棱锥 B1 AMN 的体积．
C1
A1 M
B1
C
A
N
B
例4（2）
35. 如图，三棱柱 ABC A1 B1C1 中，侧棱 AA1 平面 ABC ， ABC 为等腰直角三角形，
Fra Baidu bibliotek
D1
C1
A1 F
B1
D A
E C
B
变式1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是BB1，DD1的中点，求四 棱锥D1-AEC1F的体积？
D1
C1
A1 F
B1
D A
E C
B
例4（1）
34. 如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1 底面 ABC ，AC BC 2，AA1 4 ，AB 2 2