几个内插算子的性质

几个内插算子的性质

现代数学和物理中的许多问题都可以归结为研究某些算子在相应函数空间上的有界性，而算子内插理论是研究算子在某些函数空间上有界的强有力的工具.本文在整理已有文献的基础之上，总结了几个算子内插定理，主要包括：Riesz-Thorin插值定理，Marcinkiewicz插值定理，以及它们的一些推广.

关键词：算子内插定理, Riesz-Thorin,Marcinkiewicz

第一章引言

现代分析学与偏微分方程等数学分支和理论中的众多问题均可归结为研究某些特殊算子在相应函数空间上的有界性.然而，算子内插理论是研究算子在某些函数空间上有界的强有力工具之一.正因为内插理论在理论研究中有如此重要的意义.算子内插理论一直是现代数学的热点课题之一，例如，可参见文献【1，2，3,7,9】的相关内容.

本文在已有研究工作的基础之上，通过收集关于算子内插定理的文献资料，对文献进行整理，归结和总结了几个算子内插定理并给出了它们的证明.在整理文献的过程中，本文主要参考了文献【2,3】中关于算子内插定理的内容.此外，本论文的主要内容具体包括：

•Riesz-Thorin插值定理;

•Marcinkiewicz插值定理;

•内插定理的一些推广.

第二章算子内插定理

在本章，我们主要总结和归纳了Riesz-Thorin 插值定理，Marcinkiewicz 插值定理以及内插定理的一些推广.关于Riesz-Thorin 插值定理的内容以及内插定理的一些推广,我们主要参考了文献[2，4,6,8]的相关内容，关于Marcinkiewicz 插值定理的内容，我们主要参考了文献[3]的内容.

2.1ξRiesz-Thorin 算子内插定理

在本节，我们主要回顾Riesz-Thorin 内插定理.为此,首先回顾一些相关定义. 定义 2.1 设,[1,]p q ∈∞.

(i)称算子T ：()p n q L R L →是（p ，q ）型算子（或是（p,q ）有界的），如果存在

一个正常数C>0,使得，对所有的

(),P n

f L R ∈ ||()||||||,

p T f C f ≤

满足以上不等式的最小常数C 称作T 的（p,q ）范数，记为

(,)||||.

p q T

(ii)将

()p n

L R 空间中的函数映到n R 上可测函数空间的算子T 称为弱（p,q ）型算子（或（p,q ）有界的），如果以下两条成立：

(b)||()||||||,().

q p T f C f q ≤=∞

以上常数(0,)C ∈∞与函数f 无关，且满足以上条件的最小常数C 称为T 的弱（p,q ）范数，记为(,)

||||w p q T .

注 2.1 从定义2.1可以看到，T 为弱(,)p ∞型算子等价于T 为(,)p ∞型算子.此外，

由不等式

(:()())

[]{:|()()|}[]|()()|n q n q x R T f x x R T f x T f x dx

ααα∈>∈>≤⎰

||()||q q

T f ≤

可以推出（p ，q ）型算子必为弱（p,q ）型的且有(,)(,)||||||||,

w p q p q T T ≤

为了陈述Riesz-Thorin 内插定理，我们首先回顾线性算子的概念.称算子T 是线

性的，若对任意的,()D T μν∈及,C μλ∈

()()(),T T T λμμνλμμν+=+

其中D （T ）表示T 的定义域. 定理 2.2 令T 为线性算子，且对1,,0,1,i i p q i ≤≤∞=假定T 为(,)i i p q 型的.则对任意

的

(0,1)t ∈且

算子T 也是（p,q ）型的，进一步且有

00111(,)(,)||||||||||||.

t t p q p q p q T T T --≤

为了证明定理2.2，我们需要如下的一个辅助性引理.该引理也被称为Phragmen-Lindelof 三线定理. 引理 2.1 令

:{:(0,1),}.S z x iy C x y R ==+∈∈∈

若复值函数F

S 内解析，且F 满足，对任意的y R ∈

01|(),|(1)|.

F iy K F iy K ≤+≤

则对任意的

101,|()|.x x

x y S F x iy K K -+∈+≤ 证明 不妨设

010.K K >令

101():().z z G z F z K K --=

为了证明该引理的结论.只需证明.如果G S 内解析，且对任意的

,y R ∈

|()|1G iy ≤且|(1)| 1.G iy +≤

则有，对任意的,x iy S +∈

|()| 1.G x iy +≤

首先证明，若有

lim max{|()|:[0,1]}0.

y G x iy x →∞

+∈=

则（2.1）成立.事实上，如果（2.2）成立，则存在

00y >使得，

[0,1]x ∈且0||,y y ≥，|()| 1.G x iy +≤

从而在以

0000,1,1,iy iy iy iy +--为顶点的矩形Q 的边界Q ∂上有界|G （z ）| 1.≤由此及

2.3）进一步可知，（2.1）成立.

对于一般情形，只需将上面结果应用于函数

2

(1)/():(),,

x

m

m G z G z e m N -=∈

从而可知对任意的,|()| 1.z S G z ∈≤进一步令m →∞，便可得（2.1）成立.

下面我们利用引理2.1来证明定理2.2