全等三角形动态几何问题

三角形中常见动态问题

1、①如图，将∠A的顶点沿直线BC翻折到角内点D处，利用三角形内外角的关系探究∠

A、∠1与∠2的关系。请说明理由。

②若点D落在射线AB上，我们可以看出此时∠2=0°，那此时∠1与∠A的关系又是怎么样的？请说明理由。

③若点D落在∠A外，那此时∠1与∠2、∠A的关系又是怎么样的？请说明理由。

2.如图（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从

C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；

（2）如果把原题中“动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，”

改为“动点D ，P 在射线CA 和射线BC 上运动”，其他

条件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP 的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°；

Q

P

B

C

A

D

（3）如果把原题中“动点P 在边BC 上”改为“动点P 在AB 的延长线上运动，连接PD

交BC 于E ”，其他条件不变，如图（3），则动点D ，P 在运动过程中，DE 始终等于PE 吗？写出证明过程．

3．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；

C

B

A

E D

N

M

C M

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

4、如图，在正方形ABCD中，点F为射线AD上一动点，连接BF并过点F作FG垂直BF，交正方形ABCD的外角平分线于点G。

①当F为线段AD中点时，求证：BF=FG.

②如图，若F为线段AD上任一点时，上面的结论还成立吗？请说明理由。

③如图，若F为线段AD的延长线上时，上面的结论还成立吗？请说明理由。

A

C

B

E

D

N

M

图3

5、如图，已知∠AOB=120°，OM平分∠AOB，将等边三角形的一个顶点P放在射线OM 上，两边分别与OA、OB（或其所在直线）交于点C、D．

（1）如图①，当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时，证明：PC=PD．

（2）如图②，当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时，线段PC和PD相等吗？请说明理由．

（3）如图③，当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时，线段PC和PD 相等吗？直接写出你的结论，不需证明．

6.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD .把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线

相交于点E ，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

7.在ABC △中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧．．作ADE △，使AD AE DAE BAC =∠=∠，，连接CE ．

（1）如图1，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=°，则BCE ∠=度； （2）设BAC α∠=，BCE β∠=．

①如图2，当点D 在线段BC 上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D 在BC 边的延长线上时有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使

BPD △与CQP △全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？