旋度和散度
旋度散度梯度计算公式
旋度散度梯度计算公式在物理学和工程学中，旋度、散度和梯度是描述场的重要概念。
它们可以用于描述矢量场的变化情况，从而帮助我们更好地理解自然界中的各种现象。
本文将介绍旋度、散度和梯度的计算公式。
旋度旋度是矢量场的一个性质，用于描述一个场在某点旋转的强度和方向。
一般来说，旋度表示矢量场的局部旋转性质。
对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其旋度计算公式如下：$abla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R \end{vmatrix} $其中$abla \times \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} 的旋度， \vec{i} 、 \vec{j} 和 \vec{k}分别表示x、y和z$方向的单位矢量。
散度散度描述了矢量场的流出或流入程度，它表示一个矢量场在某点的流出量与该点周围的体积之比。
对于一个三维矢量场$ \vec{F} = (P, Q, R) $，其散度计算公式如下：$abla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} +\frac{\partial R}{\partial z} $其中$abla \cdot \vec{F} 表示矢量场 \vec{F} $的散度。
梯度梯度描述了标量场在某点的变化率和方向，它表示一个标量场在某点的最大变化率和该点的方向。
对于一个标量场$ \phi $，其梯度计算公式如下：$abla \phi = \begin{pmatrix} \frac{\partial \phi}{\partial x} \\ \frac{\partial\phi}{\partial y} \\ \frac{\partial \phi}{\partial z} \end{pmatrix} $其中$abla \phi 表示标量场 \phi $的梯度。
散度和旋度
§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。
柱坐标系散度旋度的计算公式
柱坐标系散度旋度的计算公式在物理学和工程学领域中，柱坐标系是一种常用的坐标系，通常用于描述具有圆柱对称性的问题。
在柱坐标系中，有两个重要的概念，即散度和旋度。
散度描述了矢量场的收敛或发散情况，而旋度描述了矢量场的旋转情况。
在柱坐标系中，散度和旋度的计算公式如下：柱坐标系中的散度对于柱坐标系中的矢量场F，其散度的计算公式如下：散度公式：$\ abla \\cdot \\mathbf{F} = \\frac{1}{r}\\frac{\\partial}{\\partial r}(rF_r) + \\frac{1}{r} \\frac{\\partialF_{\\theta}}{\\partial \\theta} + \\frac{\\partial F_z}{\\partial z}$其中，F r、$F_{\\theta}$和F z分别为矢量场F在柱坐标系中r、$\\theta$和z方向的分量。
$\\frac{\\partial}{\\partial r}$、$\\frac{\\partial}{\\partial\\theta}$和$\\frac{\\partial}{\\partial z}$分别表示对r、$\\theta$和z的偏导数。
柱坐标系中的旋度对于柱坐标系中的矢量场F，其旋度的计算公式如下：旋度公式：$\ abla \\times \\mathbf{F} = \\left(\\frac{1}{r}\\frac{\\partialF_z}{\\partial \\theta} - \\frac{\\partial F_{\\theta}}{\\partialz}\\right)\\mathbf{e_r} + \\left(\\frac{\\partial F_r}{\\partial z} - \\frac{\\partial F_z}{\\partial r}\\right)\\mathbf{e_{\\theta}} +\\frac{1}{r}\\left(\\frac{\\partial}{\\partial r}(rF_{\\theta}) - \\frac{\\partialF_r}{\\partial \\theta}\\right)\\mathbf{e_z}$其中，$\\mathbf{e_r}$、$\\mathbf{e_{\\theta}}$和$\\mathbf{e_z}$分别为柱坐标系中r、$\\theta$和z方向的单位矢量。
散度和旋度
散度和旋度散度：运算的对像是向量，运算出来的结果会是纯量散度的作用对像是向量场，如果现在我们考虑任何一个点（或者说这个点的周围极小的一块区域），在这个点上，向量场的发散程度，如果是正的，代表这些向量场是往外散出的。
如果是负的，代表这些向量场是往内集中的。
一样，举例子：因为散度的作用对像是向量场，所以就不能用上面所讲的山来想象，这次要想象一个大广场里挤了很多人，如果每个人都在到处走动，是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量，假如现在某人放了一个屁，周围的人（可能包含他自己）都想要赶快闪远一点，就会发现，在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动。
对啦…这就是散度（你也可以想说是闪远一点的闪度…冷…），大家如果散得越快，散得人越多，这个散度算出来就就越大。
旋度：运算的对像是向量，运算出来的结果会是向量旋度的作用对象也是向量场，这次直接用上面的例子来讲：如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开，这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状？？不过事实上，每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道屁到底是来自哪个方向的。
而可能会走错方向，试过之后才发现不对劲，越找越臭。
这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状（大家都径向移动），而可能有一些切向移动的成份在（以屁发点为中心来看）旋度对应的就是这些切向移动的情况，相对来讲，散度对应的其实就是径向移动的情况。
而一个屁，虽然可能会像上述的造成一些切向的移动，但理论上来讲，并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转，或逆时钟转。
在这种情况，顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消，因此，在这情况下，旋度仍然是零。
也就是说，一个屁能造成散度，而不会造成旋度…而甚么时候是有旋度的呢？？如果这时候音乐一放，大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞（当然是要绕着营火转的那种啦）这时候就会有旋度没有散度啦。
（刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外）以上这三个，有一点一定要记得的。
点电荷产生电场的散度和旋度
点电荷产生的电场散度和旋度是电场性质的重要描述。
首先，散度描述的是电场在某一点处的发散程度，也就是电场的源头——电荷在该点的分布情况。
对于点电荷来说，其电场散度可以通过计算得到。
在点电荷所在的位置，电场散度是无穷大，因为电荷在该点处集中，电场线从该点向外发散。
而在其他位置，由于电场线分布均匀，电场散度为零。
其次，旋度描述的是电场在某一点处的旋转程度，也就是电场在该点附近是否存在旋涡状的结构。
对于点电荷产生的电场来说，其旋度为零。
这是因为点电荷的电场线是径向分布的，不存在旋涡状的结构，因此电场在该点附近的旋转程度为零。
综上所述，点电荷产生的电场散度在电荷所在位置为无穷大，在其他位置为零；而其旋度处处为零，表示该电场是一个无旋场。
这些性质为我们理解和描述点电荷产生的电场提供了重要的理论基础。
散度、旋度、梯度释义
散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。
1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。
如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。
数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。
散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。
2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。
如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。
数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。
旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。
3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。
如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。
数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。
梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。
散度和旋度物理意义
散度和旋度物理意义散度的物理意义嘿，朋友！今天咱们来聊聊散度这个有趣的概念。
你知道吗？散度就像是一个小侦探，专门负责探寻矢量场中“源”和“汇”的情况。
想象一下，矢量场就像是一群忙碌的小蜜蜂在空间中飞来飞去。
散度呢，就是看看这些小蜜蜂是在某个地方聚集得越来越多（汇），还是从某个地方源源不断地飞出去（源）。
比如说，在电场中，如果散度大于零，那就意味着这个地方有正电荷，是个“源”，电荷在往外发散；要是散度小于零，那就是有负电荷，是个“汇”，电荷在往里聚拢。
散度还能帮我们理解流体的流动呢。
如果流体在某个区域的散度是正的，那就说明流体在这个地方是在往外扩散；反过来，散度是负的，就是在往内收缩。
呀，散度让我们能搞清楚矢量场中那些神秘的“源头”和“归宿”，是不是很神奇呢？再想想，生活中也有类似散度的情况哟。
比如说，人群在广场上的分布，有时候会在某个地方聚集很多人，这就有点像散度大；有时候又会从某个热闹的地方散开，这就像散度小。
哈哈，是不是觉得物理和生活还挺贴近的？旋度的物理意义嗨呀，亲爱的！今天咱们来唠唠旋度的那些事儿。
旋度呢，就像是个小陀螺，专门衡量矢量场的旋转情况。
你可以把矢量场想象成一个大漩涡，旋度就是来告诉我们这个漩涡转得有多厉害。
比如说在磁场中，旋度能告诉我们磁力线是怎么绕圈圈的。
如果旋度不为零，那就说明有磁场在旋转，而且旋度越大，旋转得就越猛烈。
在流体力学里，旋度也很重要哦。
它能告诉我们水流或者气流是不是在打转转。
要是旋度很大，那可能就是个强烈的漩涡，像龙卷风一样；要是旋度小，可能就是些轻微的旋转。
你看，旋度就像是个小魔法，让我们能看到那些看不见的旋转力量。
而且哦，旋度在生活中也有影子呢。
比如跳舞的时候，舞者旋转的速度和力度，也可以用类似旋度的概念来感受一下。
还有骑自行车时车轮的转动，也有旋度的感觉哟。
怎么样，旋度是不是很有趣呀？。
旋度的散度
旋度的散度旋度和散度是向量函数的两个重要的概念，它们在数学、物理等领域中有着广泛的应用。
其中，旋度是描述向量场的旋转性质，而散度则是描述向量场的源或汇性质。
本文将围绕着“旋度的散度”这一主题，详细介绍旋度和散度的概念、计算方法、物理背景以及它们之间的关系。
一、旋度旋度是描述向量场的旋转性质的量，通常用符号$\nabla\times\mathbf{A}$来表示，其中$\mathbf{A}$为向量场。
如果一个向量场在某一点上存在旋转，那么它的旋度不为零，否则为零。
具体来说，向量场在某一点上的旋度是该点上该向量场的环流密度，即单位面积的环流量。
可以将向量场的环路分成许多长得很像线段的小段，然后将每一个小段的环流密度相加，例如：$$\nabla\times\mathbf{A}=\lim_{S\rightarrow 0}\frac{\oint_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}{S}$$其中$S$表示小面元的面积，$C$表示小面元的边界，$\mathbf{l}$表示边界上的微小线段。
当环路趋于无穷小时，旋度可以通过以下公式进行计算：$$\nabla\times\mathbf{A}=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\\\\frac{\partial}{\partialx}&\frac{\partial}{\partialy}&\frac{\partial}{\partial z}\\\\ A_x&A_y&A_z\end{vmatrix}$$该公式也被称为“莱布尼茨公式”，它的意义是在$x$、$y$、$z$三个方向上计算向量场的旋度，进而得到旋度的大小和方向。
旋度与各向同性的介质中的运动有关。
比如说，当一个粒子在磁场中运动时，其受到一个横向作用力，这个作用力就是磁场的旋度。
同样的，当有电流通过一定区域时，这个区域内的磁场也会有一定的旋度。
电磁场 旋度 散度
电磁场旋度散度电磁场是一种物理场，由电荷和电流的运动产生。
其作用相当广泛，包括光、电等电磁现象。
电磁场是由电场和磁场构成的。
电场是指由电荷带有的势能区域，电荷的存在会在周围产生电场。
电场不断的改变在周围的传播，形成电磁波。
电场的大小与电荷的性质、电量大小、距离等有关。
通常用电场强度E表示。
单位为牛/库仑。
磁场是产生磁力的区域，磁荷存在会在周围产生磁场，磁力线会形成回路和环状图形。
磁场的大小与磁荷的性质、磁感应强度大小、距离等有关。
通常用磁感应强度B表示。
单位为特/韦伯。
旋度是描述矢量场旋转强度的物理量，描述矢量场在某一点的个体旋转率。
它是一个矢量，方向沿着法向(又称法线)，大小等于单位面积上矢量场所围成的环量除以该面积。
在电磁场的物理量中，旋度很重要，因为它可以描述电场和磁场的变化率。
电场的旋度不等于零，切线的长度是磁场的演化，而与磁场的大小无关。
磁场的旋度不被电流产生的电场所受。
在处理电磁场问题的时候，往往需要求出电场和磁场的旋度。
散度是一个矢量场的通量密度的本质，描述矢量场占据的空间对通量的贡献。
在电磁场的物理量中，散度也很重要，因为它可以描述电场和磁场的变化率。
电场和磁场的散度的变化率，可以体现有无电荷源或磁荷源。
如果某一空间内有电荷，其产生的电场的散度，就不为零。
如果该空间内没有电荷，其内部的电场的散度就为零。
在电磁场中，磁场的散度始终等于零，但会受到电流变化所产生的电势的影响。
总之，电磁场的旋度和散度是研究电磁场的两个重要物理量，这两个物理量对于研究电场和磁场的演化规律以及电磁波的传播有很大的作用。
在现代物理学中，它们应用相当广泛。
了解它们的物理意义，有助于我们更好地理解电磁场。
散度和旋度的计算公式高数
散度和旋度的计算公式高数在高等数学中，散度和旋度是矢量场的两个重要性质，它们可以帮助我们理解矢量场的性质和变化规律。
本文将介绍散度和旋度的定义及计算公式。
1. 散度（Divergence）散度是矢量场在单位体积内，每单位体积所包含矢量的增量随体积元体积趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\cdot F = \\lim_{\\Delta V\\to 0} \\frac{\\iint_{S} F \\cdot ndS}{\\Delta V} $$其中，F为矢量场，S为封闭曲面，n为曲面的法向量。
矢量场F的散度计算公式为：$$ \ abla \\cdot F = \\frac{\\partial P}{\\partial x} + \\frac{\\partialQ}{\\partial y} + \\frac{\\partial R}{\\partial z} $$其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
2. 旋度（Curl）旋度是矢量场在单位面积内，每单位面积所包含矢量的增量随面积元趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\times F = \\lim_{\\Delta S\\to 0} \\frac{\\oint_{C} F \\cdotdr}{\\Delta S} $$其中，F为矢量场，C为封闭曲线，dr表示曲线的微元位移向量。
矢量场F的旋度计算公式为：$$ \ abla \\times F = \\left( \\frac{\\partial R}{\\partial y} - \\frac{\\partial Q}{\\partial z} \\right) \\mathbf{i} + \\left( \\frac{\\partial P}{\\partial z} -\\frac{\\partial R}{\\partial x} \\right) \\mathbf{j} + \\left( \\frac{\\partialQ}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} \\right) \\mathbf{k} $$ 其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
梯度,散度,旋度
梯度,散度,旋度
梯度是指函数在某一点处的切线斜率，它可以用来表示函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的变化趋势。
散度是指函数在某一点处的二阶导数，它可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率，可以用来描述函数的变化趋势的变化趋势。
旋度是指函数在某一点处的三阶导数，它可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率的变化率，可以用来描述函数的变化趋势的变化趋势的变化趋势。
梯度可以用一阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的梯度
可以表示为f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的一阶导数。
散度可以用二阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的散度
可以表示为f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)在点x处的二阶导数。
旋度可以用三阶导数的形式表示，即函数f(x)在点x处的旋度
可以表示为f'''(x)，其中f'''(x)表示函数f(x)在点x处的三阶导数。
梯度、散度和旋度都可以用来描述函数的变化趋势，但它们之间有着明显的区别。
梯度可以用来表示函数在某一点处的变化率，散度可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率，而旋度可以用来表示函数在某一点处的变化率的变化率的变化率。
因此，梯度、散度和旋度都可以用来描述函数的变化趋势，但它们之间有着明显的区别。
散度定理和旋度定理
如果场域有限，给定边界条件后，矢量场就唯一地被确定了。
2、无论是静态场，还是时变场，关注的重点都是围绕着它 们的旋度、散度和边界条件展开研究的。
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§1.6 基本规律
§1.6.1 （Gauss）散度定理 一、内容
任意矢量场 A 的散度在场中任意一个体积 V 内的体积分等
于矢量场 A 穿出限定该体积的闭合曲面 S 的通量，即 ( A)dv A ds
S
实现面积分和体积分相互转换的公式
§1.6.2 （Stokes）旋度定理 一、内容
任意矢量场 A 的旋度在场中任意一个曲面S 内的面积分等于
矢量场 A 围绕限定该面积的闭合曲线L 的环量，即
二、意义
L
A dl ( A) ds
S
实现线积分和面积分相互转换的公式
§1.6.3 亥姆霍兹定理 一、内容
在空间有限区域 V 内某一矢量场 A ，由它的散度、旋度
和边界条件唯一地确定
边界条件：包围区域 V的闭合面 S 上的矢量场的分布。
二、实质
矢量场中如果场的分布一定，若其散度源和旋度源一定
（场源一定），则该矢量场唯一确定。
三、意义
1、当矢量场的散度和旋度给定后，就确定了“源”的分布。
散度梯度旋度的定义
散度梯度旋度的定义
散度、梯度和旋度是向量场中三个重要的概念。
散度表示向量场在某一点的发散程度，梯度表示向量场在某一点的变化率和变化方向，旋度则表示向量场在某一点的旋转程度。
散度是一个标量，用符号“div”表示。
在三维空间中，一个向
量场的散度可以用以下公式计算：
div F = Fx/x + Fy/y + Fz/z
其中，Fx、Fy和Fz分别表示向量场F在x、y和z方向上的分量，/x、/y和/z表示对x、y和z的偏导数。
梯度也是一个向量，用符号“grad”表示。
一个标量场的梯度可以用以下公式计算：
grad φ = (φ/x)i + (φ/y)j + (φ/z)k
其中，φ表示标量场，i、j和k分别表示x、y和z方向上的单位向量。
旋度也是一个向量，用符号“curl”表示。
在三维空间中，一个向量场的旋度可以用以下公式计算：
curl F = (Fz/y - Fy/z)i + (Fx/z - Fz/x)j + (Fy/x - Fx/y)k 其中，i、j和k分别表示x、y和z方向上的单位向量。
这三个概念在物理学、工程学、数学等领域中有广泛的应用，可以用来描述流体力学、电场、磁场等现象。
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【基础科学】旋度和散度(共111页)
Curl
[ A nˆ lim
l A dl ]max
S 0
S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
s
ds
q
4 r2
4
r2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
解：
Sr ds
r x y z 3 x y z
r ds rdv 3 dv 3 4 r3 4 r3
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式一、旋度的计算公式旋度是描述向量场旋转性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的回旋情况。
旋度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的旋度为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
旋度的含义如下：当旋度∇×F=0时，称向量场F为无旋场，表示向量场在任一闭合曲线上的环量为零。
反之，当旋度∇×F≠0时，称向量场F为有旋场。
旋度的计算公式可以通过矢量分析中的叉乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
旋度在电磁学中有重要应用，可以描述磁场的旋转情况，通过计算旋度可以得到磁场的环量。
同时，在流体力学中，旋度可以用来描述流体的涡旋性质，通过计算旋度可以得到流体的涡度。
二、散度的计算公式散度是描述向量场收敛性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的扩散情况。
散度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的散度为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
散度的含义如下：当散度∇·F>0时，称向量场F为发散场，表示向量场从给定点向外扩散。
当散度∇·F<0时，称向量场F为收敛场，表示向量场向给定点收敛。
当散度∇·F=0时，称向量场F为无散场，表示向量场在任一闭合曲面上的通量为零。
散度的计算公式可以通过矢量分析中的点乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
旋度和散度
物教101 林晗
散度
例如：一个灯泡向为通量的体密度。
证明高斯定理：
在一个体积V内包围的矢量场A，将该 体积划分为N个微元，总通量为每个 微元的通量之和，当N趋近无穷大的 时候，高斯定理得证。
旋度
鞭炮点燃之后放置于地上，火花会不 断旋转，将旋转面分析为旋度。过空 间一点，在空间场里，环量面密度的 最大值为旋度。 定义：旋度为环量面密度
证明斯托克斯定律
取一个闭合回路L放置于矢量场中，将L 所围成的面积划分为N个微元。L的环流 为所有面积微元边线的环流之和。当N趋 近无穷大时，斯托克斯定律得证。
矢量的散度旋度
矢量的散度旋度
矢量的散度和旋度是矢量场的两个重要概念，它们在物理学和工程学中有着广泛的应用。
首先，让我们来谈谈矢量场的散度。
在物理学中，矢量场通常用来描述流体的速度或者电场的强度等物理量。
矢量场的散度描述的是该场在某一点的流出量，也可以理解为该点的“发散”程度。
如果一个矢量场在某一点的散度为正，那么这个点就是一个“发散点”，意味着流体从这个点流出；如果散度为负，那么这个点就是一个“汇聚点”，意味着流体向这个点汇聚。
散度的概念在流体力学和电磁学中有着重要的应用，能够帮助我们理解流场和电场的分布情况。
接着，我们来讨论矢量场的旋度。
矢量场的旋度描述的是场的自旋性质，它在物理学中也有着广泛的应用。
在流体力学中，旋度可以帮助我们理解流场的旋转情况，比如在旋转的漩涡中，旋度的值会很大；而在无旋的流场中，旋度的值会很小。
在电磁学中，磁场的
旋度描述了磁感线的闭合情况，能够帮助我们理解磁场的分布规律。
总的来说，矢量场的散度和旋度是描述矢量场性质的重要工具，它们在物理学和工程学中有着广泛的应用。
通过对散度和旋度的理解，我们可以更好地理解矢量场的分布规律和性质，从而更好地应用于实际问题的研究和解决中。
希望大家能够深入学习矢量的散度和旋度，从而更好地理解物理世界的奥秘。
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。
本文将介绍旋度和散度的计算公式及其应用。
一、旋度旋度是一个向量场的旋转程度，它描述了向量场在某一点的旋转强度和旋转方向。
旋度的计算公式如下：旋度 = ∇ × F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。
旋度的结果是一个向量，它的大小表示旋转强度，方向表示旋转方向。
旋度在物理学中有广泛的应用，例如在电磁学中，旋度可以用来描述电场和磁场的相互作用。
在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋。
二、散度散度是一个向量场的发散程度，它描述了向量场在某一点的扩散强度和扩散方向。
散度的计算公式如下：散度 = ∇ · F其中，∇表示向量微分算子，F表示向量场。
散度的结果是一个标量，它的大小表示扩散强度，正负号表示扩散方向。
散度在物理学中也有广泛的应用，例如在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。
在电磁学中，散度可以用来描述电场和磁场的源和汇。
三、应用举例1. 电场和磁场的相互作用在电磁学中，电场和磁场的相互作用可以用旋度来描述。
电场和磁场的旋度分别为：旋度(E) = -∂B/∂t旋度(B) = μ0J + ε0μ0∂E/∂t其中，E表示电场，B表示磁场，J表示电流密度，μ0表示真空磁导率，ε0表示真空电容率。
2. 流体的流量和流速在流体力学中，散度可以用来描述流体的流量和流速。
流体的速度场为：v = (u, v, w)其中，u、v、w分别表示流体在x、y、z方向上的速度分量。
流体的流量为：流量= ∫∫S v· n dS其中，S表示流体的流过的面积，n表示面积法向量。
流体的流速为：流速 = ∇ · v其中，∇表示向量微分算子。
旋度和散度是向量分析中的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解和描述物理现象。
旋度和散度的计算公式可以应用于各种物理学领域，例如电磁学、流体力学等。
旋度的散度等于零证明
旋度的散度等于零证明旋度的散度等于零是一个基本的物理现象，在电磁学、流体力学和其他领域都有重要的应用。
本文将证明旋度的散度等于零。
首先定义旋度和散度。
旋度可以理解为矢量场的旋转程度，而散度可以理解为矢量场的源汇关系。
设一个矢量场为$A(x,y,z)=(A_x,A_y,A_z)$。
它的旋度可以表示为：$$abla times A =begin{vmatrix}hat{i} & hat{j} & hat{k}frac{partial}{partial x} & frac{partial}{partial y} & frac{partial}{partial z}A_x & A_y & A_zend{vmatrix}=left ( frac{partial A_z}{partialy}-frac{partial A_y}{partial z} right )hat{i}+left( frac{partial A_x}{partial z}-frac{partial A_z}{partial x} right )hat{j}+left ( frac{partial A_y}{partialx}-frac{partial A_x}{partial y} right )hat{k}$$它的散度可以表示为：$$abla cdot A =frac{partial A_x}{partial x}+frac{partial A_y}{partial y}+frac{partial A_z}{partial z}$$现在我们来证明旋度的散度等于零。
根据上面的公式，我们有： $$frac{partial}{partial x}left ( frac{partialA_z}{partial y}-frac{partial A_y}{partial z}right )+frac{partial}{partial y}left ( frac{partialA_x}{partial z}-frac{partial A_z}{partial x}right )+frac{partial}{partial z}left ( frac{partialA_y}{partial x}-frac{partial A_x}{partial y} right )$$ 对于上式中的每一项，我们可以使用混合偏导数的性质来简化它们。
散度和旋度在生活中的应用
散度和旋度在生活中的应用散度和旋度是微积分中的两个重要概念，它们在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。
在本文中，我将探讨散度和旋度在生活中的应用，并分享我对这些应用的观点和理解。
一、散度在生活中的应用散度是描述一个向量场中流出或流入某一点的量。
我们可以将散度理解为向量场的源或汇的强度。
散度的应用涉及流体力学、电磁学等多个领域。
1. 流体力学中的散度应用在流体力学中，散度常被用来描述液体或气体在空间中的流动情况。
在工程领域中设计水流系统时，我们需要考虑水流的散度。
通过计算水流速度场的散度，我们可以判断在某一点是否存在流出或流入的情况，从而有助于优化系统设计。
另外，散度还可以用来研究流体的源和汇。
在环境工程中，我们需要考虑大气污染物的传播情况。
通过计算污染物浓度场的散度，我们可以了解污染物源和汇的位置，从而制定相应的治理措施。
2. 电磁学中的散度应用在电磁学中，散度在电场和磁场的研究中起着重要的作用。
对于电场而言，散度描述了电荷的分布情况。
通过计算电场的散度，我们可以判断电荷是集中在某一区域还是分散在空间中。
对于磁场而言，散度为零，即磁场无源。
这意味着磁场的产生并不依赖于磁荷，而是由电流所产生。
在电磁学中，通过计算磁场的散度，我们可以判断电流的分布情况。
二、旋度在生活中的应用旋度是描述一个向量场中旋转程度的量。
我们可以将旋度理解为向量场的涡旋或旋转强度。
旋度的应用涉及流体力学、电磁学等多个领域。
1. 流体力学中的旋度应用在流体力学中，旋度常被用来描述流体的旋转情况。
在空气动力学中，我们需要研究飞机的气动性能，包括飞机翼上的升力和阻力。
通过计算气流速度场的旋度，我们可以了解气流的旋转情况，从而优化飞机的设计和飞行控制。
另外，旋度还可以用来研究流体的涡旋。
在海洋学中，我们需要了解海洋中的涡旋系统，如海洋温度和盐度的涡旋。
通过计算海洋速度场的旋度，我们可以探测涡旋的位置、大小和强度，从而研究海洋的运动和环境变化。
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r (x2 y2 x2 )1/2
求任意点处电通量密度的散度▽·D，并求穿出r为半径的球面
的电通量 e
[解]
D
q
4
xˆx yˆy zˆz (x2 y2 z2 )3/2
xˆDx
yˆDy
zˆDz
Dx x
q
4
x
(
x
2
x
y2
z2
)3/ 2
q
4
(
x
2
1 y2
z2 )3/2
(x2
3x2 y2
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
divA A
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
3、直角坐标系中散度的表示
divA Ax Ay Az x y z
散度可用算符 哈密顿 表示为
❖ 在旋度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对与其 垂直方向的坐标变量求偏导数，所以矢量场的旋度描述的是 场分量在与其垂直的方向上的变化规律；
❖ 在散度公式中，矢量场的场分量Ax、Ay、Az分别只对x、y 、z求偏导数，所以矢量场的散度描述的是场分量沿着各自方 向上的变化规律。
通过闭合面S的通量的物理意义：
a) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通
量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的正源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通
量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的负源；
c) 若 ψ 0 ，闭合面无源。
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值
相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋
Curl
[ A nˆ lim
l A dl ]max
S 0
S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
s
q
4 r2
s
ds
q
4 r2
4 r 2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
试利用散度定理计算 r ds
解：
S
r x y z 3 x y z
r ds rdv 3 dv 3 4 r3 4 r3
A (B C) B (C A) C ( A B)
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求 A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
解：
xˆ yˆ zˆ
A B 2 3 4 13xˆ 22yˆ 10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
A BC 25 14.43
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X ， P A X
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
3、旋度的计算
矢量A的旋度可表示为密勒算子与A的矢量积, 即
curl A A
计算▽×A时, 先按矢量积规则展开, 然后再作微分运算, 得
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
( xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
xˆ
Az y
Ay z
yˆ Ax z
Az x
zˆ
Ay x
Ax y
第一章 矢 量 分 析 即
xˆ yˆ zˆ A
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
z
2
)
5
/
2
q r2 3x2
4
r5
Dy q r 2 3y2 ,
y 4 r5
Dz z
q
4
r2
3z2 r5
D
Dx x
Dy y
Dz z
q
4
3r 2
3(x2 r5
y2
z2)
0
可见，除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电通量密度散 度均为零。
e
s
D
ds
q
4 r3
r rˆds
❖从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
❖从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区 域 V 的闭合面 S 上的场之间的关系。 ❖如果已知区域 V 中的场，根据高斯定理即可求出边界 S 上的
场，反之亦然。
例
点电荷q在离其r处产生的电通量密度为
D
q
4 r3
r,
r xˆx yˆy zˆz,
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
❖|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 ❖B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
3、
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
1、定义： 为反映给定点附近的环量情况, 我们把封闭曲线收小, 使它包围的 面积ΔS趋近于零, 取极限
lim l A dl
S0 S
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。
由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系, 因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度( curl或rotation ):
B 0 B A
❖任何旋度场一定是无散场
4、旋度与散度的区别：
❖ 一个矢量场的旋度是一个矢量函数，而一个矢量场的散度 是一个标量函数；
❖ 旋度描述的是矢量场中各点的场量与涡旋源的关系，而散 度描述的是矢量场中各点的场量与通量源的关系；
❖ 如果矢量场所在的全部空间中，场的旋度处处为零，则这 种场中不可能存在旋涡源，因而称之为无旋场（或保守场） ；如果矢量场所在的全部空间中，场的散度处处为零，则这 种场中不可能存在通量源，因而称之为无源场（或管形场） ；
divA A
哈密顿
xˆ yˆ zˆ x y z
拉普拉斯2
2 2 2 x2 y2 z 2
divA 0 正源
divA 0 负源
divA 0 无源
散度的基本运算公式
•C 0
k A k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u
u为标量
1 .2 .3 散度定理 The divergence theorem
散度定理：
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可 知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封 闭面的总通量, 即
V Adv A ds
上式称为散度定理, 也称为高斯公式。 散度定理的物理意义：
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u
• 单位矢量：小写上加倒勾xˆ
ex
ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
在直角坐标系中，通量可以写成
ψ AdS Axdydz Aydzdx Azdxdy
S
S