曲线的方程和轨迹问题
巧用微分方程解曲线轨迹问题
微分方程可以用来描述物理系统的运动规律，因此在解决曲线轨迹问题时，可以巧用微分方程。
具体来说，如果你想要求解某一物体在某一力场作用下的轨迹，可以先根据物理原理来推导出运动方程。
例如，如果是一个自由落体的运动，则运动方程可以表示为：
x'' = -g
其中x'' 表示物体的加速度，g 表示重力加速度。
然后，你可以使用常用的微分方程求解方法来求解这个方程，得到轨迹的函数表达式。
需要注意的是，不同的物理系统可能会有不同的运动方程，因此在使用微分方程解决曲线轨迹问题时，需要先确定物理系统的运动方程。
求曲线的轨迹方程的方法
成都市新都香城中学数学组
李发林
2014年2月25日星期二
几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性 质而得出)的动点所满足的几何条件列 出等式，再用坐标代替这等式，化简 得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1：已知一曲线是与两个定 点O(0,0)、A(3,0)距离的比为 1/2 的点的轨迹，求此曲线 的方程。教材P.86例5
3、过点P（2,4）作两条互 相垂直的直线l1,l2, l1交x轴 于A点，l2交y轴于点B，求 线段AB的中点M的轨迹方 程。
4、已知方程
x y 2(m 3) x 2(1 4m ) y 16m 9 0
2 2 2 4
表示一个圆。求圆心的轨迹方程。
结论：到两个定点A、B的距离之比等于常 数的点的轨迹：当＝1时，轨迹是线段AB的 垂直平分线；当 1时，轨迹是圆。
练习：设两点A、B的距离 为8，求到A、B两点距离 的平方和是50的动点的轨 迹方程。
2．相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点 Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可 用x、y表示，则将Q点坐标表达式代 入已知曲线方程，即得点P的轨迹方 程．这种方法称为相关点法(或代换 法)．
Y
p
o
A
X
变式2：如图，已知点P是圆x2＋ y2=16上的一个动点，点A是x轴上的 定点，坐标为（12,0）.若D点是AOP 的平分线与PA的交点，当点P在圆上 运动时，求点D的轨迹方程。Y Nhomakorabeap
o
A
X
练习：三角形ABC的两个顶点A， B的坐标分别是A（0,0），B （6,0）顶点C在曲线y=x2+3上 运动，求三角形ABC的重心G的 轨迹方程。
数学高中双曲线轨迹方程
在高中数学中，双曲线是一种常见的曲线形式。
它的轨迹方程可以表示为：
1.水平轴的双曲线：(a^2)(x^2) - (b^2)(y^2) = c^2
其中，a、b和c是正实数，并且a > b > 0。
这个方程描述了一个在x轴上开口的双曲线。
2.垂直轴的双曲线：(a^2)(y^2) - (b^2)(x^2) = c^2
同样地，a、b和c是正实数，并且a > b > 0。
这个方程描述了一个在y轴上开口的双曲线。
在这些方程中，a控制着双曲线的扁平度，b决定了双曲线的开口大小，c是双曲线的焦距。
需要注意的是，这里给出的是标准形式的双曲线轨迹方程。
在实际问题中，可能会遇到其他形式的双曲线方程，例如顶点形式或极坐标形式，具体的表达式取决于问题的背景和要求。
专题 求曲线方程和动点轨迹归类
专题7-2求曲线方程与动点轨迹归类目录题型01定义法求轨迹：动直线圆型 (2)题型02定义法求轨迹：椭圆型 (4)题型03定义法求轨迹：双曲线型 (6)题型04定义法求轨迹：抛物线型 (8)题型05直接法：所见即所得型 (9)题型06点带入法：相关点型 (10)题型07交轨法 (12)题型08消参型 (13)题型09空间轨迹：截面型 (15)题型10空间轨迹：双球模式 (17)题型11空间轨迹：定角模式 (19)高考练场 (20)题型01定义法求轨迹：动直线圆型【解题攻略】如果动点 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，可直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法.平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．(1)若直线含参，参数在x 系数出，则不包含竖直，如y=k （x-1）+1，不含想x=1(2)若直线含参，参数在y 的系数出，则不含水平，如x+m （y-1）+2=0，不含y=1(3)若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x 平行【典例1-1】（2024上·福建泉州高三校考阶段练习）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A ．5B ．10C ．102D ．17【典例1-2】（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知m ∈R ，直线1l ：20mx y m ++=与2l ：20x my m -+=的交点P 在圆C ：()()22224x y r -+-=()0r >上，则r 的最大值是（）A ．42B ．32C ．22D ．2【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）设R m ∈，过定点A 的动直线0x my m ++=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（）A ．[5,25]B ．[10,25]C ．[10,45]D ．[25,45]【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=相交于点(,P P A B 与不重合），则PAB △面积的最大值是（）A ．10B ．5C ．25D ．52【变式1-3】（2022·四川南充高三（理））过定点M 的直线10ax y +-=与过定点N 的直线320x ay a -+-=交于点P ，则||||PM PN +的最大值为（）A ．2B ．22C ．4D ．8题型02定义法求轨迹：椭圆型【解题攻略】平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知定圆A 的半径为4，B 是圆A 内一个定点，且2AB =，P 是圆上任意一点.线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹是（）A ．面积为π的圆B ．面积为2π的圆C ．离心率为14的椭圆D ．离心率为12的椭圆【典例1-2】．（2023·江苏高三专题练习）若点(),M x y 满足方程()()22222212x y x y +-+++=，则动点M 的轨迹方程为（）A ．2213632x y +=B ．2213620x y +=C ．2213632y x +=D ．22114416y x +=【变式1-1】（2023秋高三课时练习）已知动点(),P x y 满足()()2222522x y x y a a+-+++=+（a 为大于零的常数）﹐则动点P 的轨迹是（）A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．直线【变式1-2】（2023·江苏高三专题练习）已知动圆过定点()30A -,，并且在定圆B ：()22364x y -+=的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）A ．221167x y +=B ．221167y x +=C ．2212516y x +=D ．2212516x y +=【变式1-3】（2020秋·山东淄博高三校考）已知图O 的半径为定长r,A 是圆O 内一个定点,P 是圆上任意一点,线段AP 的垂直平分线和半径OP 相交于点Q,当点P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是（）A ．圈B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．双曲线的两支CB题型03定义法求轨迹：双曲线型【解题攻略】平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【典例1-1】四川省内江市2022届高三第三次模拟考试数学（文）已知()2,0A -，()2,0B ，若曲线()00,0x y x y a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上存在点P 满足2PA PB -=，则b a 的取值范围是___________.【典例1-2】（2023上·四川凉山高三校联考）已知点()2,0M ，()2,0N -，动点P 满足条件2PM PN -=，则动点P 的轨迹方程为（）A ．()22133x y x -=≥B ．()22133x y x -=≤-C ．()22113y x x -=≥D ．()22113y x x -=≤-【变式1-1】（2023上·北京高三北京市陈经纶中学校考阶段练习）化简方程()()2222558x y x y ++--+=的结果是（）A ．22143x y -=B ．221916x y -=C ．2262511x y -=D ．221169x y -=【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0),(5,0)M N -作圆C 的切线并交于点P (点P 不在x 轴上)，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4169x y x -=>或4)x <-D ．221169x y -=【变式1-3】（2023上·江苏连云港高三统考）方程()()2222222x y x y ++-+-=可化简为（）A ．2213y x +=B ．()22103y x x -=>C ．2213x y +=D ．()22103x y y -=>题型04定义法求轨迹：抛物线型【解题攻略】平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．【典例1-1】若动点(,)M x y 满足()()225123412x y x y -+-=-+，则点M 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【典例1-2】已知动点M 的坐标满足方程2234125x y x y +-+=，则动点M 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆【变式1-1】.已知动点(),M x y 的坐标满足()2222-+=+x y x ，则动点M 的轨迹方程为_____________．【变式1-2】若动点(),P x y 满足()()223412155x y x y -+-=--，则P 点的轨迹应为（）A ．椭圆B ．抛物线C ．双曲线D ．圆【变式1-3】.若点(,)M x y 满足22|341|5x y x y +-+=，则动点M 的轨迹是（）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线题型05直接法：所见即所得型【解题攻略】如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含,x y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．（1）到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线．（2）到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线．（3）平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径．求解过程：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点 騈ࢯ（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含 騈ࢯ的代数式表示，（5）检验：对某些特殊值应另外补充检验．【典例1-1】（2024上·安徽合肥高三合肥一中校考阶段练习）平面上动点P 到定点()2,0F 的距离比点P 到y 轴的距离大2，则动点P 的轨迹方程为（）A ．0y =B ．28y x=C ．0y =或28y x=D ．()00y x =<或()280y x x =≥【典例1-2】（2024·浙江温州·统考一模）动点(),M x y 到定点()4,0F -的距离与M 到定直线l ：254x =-的距离的比等于45，则动点M 的轨迹方程是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221259y x +=D ．2212516y x +=【变式1-1】（2022上高三课时练习）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若·AC BC =2，则点C 的轨迹为（）A ．椭圆B ．射线C ．圆D ．直线【变式1-2】（2021上·广东深圳高三统考）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，动点P 满足223PA PB =，则点P 的轨迹方程为（）A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22410x y x ++-=D ．22410x y x +-+=【变式1-3】（2022上·上海浦东新高三华师大二附中校考阶段练习）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若1AC BC ⋅=，则点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线题型06点带入法：相关点型【解题攻略】如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 騈ࢯ,用 騈ࢯ表示出相关点 的坐标,然后把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程.第一步：设所求轨迹的点()M x y ,，曲线上的动点()00,Q x y ；第二步：找出()M x y ,与()00,Q x y 的关系，由,x y 表示00,x y ，即()()00,,,x f x y y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩；第三步：()00,Q x y 满足已知的曲线方程，将00,x y 代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．【典例1-1】（2022上·北京高三北京二中校考阶段练习）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =，则点P 的轨迹方程是（）A ．2212x y +=B ．2212y x +=C ．222x y +=D ．221x y +=【典例1-2】（2024下·江西·高三校联考开学考试）已知面积为9的正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，2132OP OA OB =+，则动点P 的轨迹方程是（）A ．22132x y +=B ．22148x y +=C ．224149x y +=D ．22184x y +=【变式1-1】（2021上·河南安阳高三安阳市第三十九中学校考）已知3AB =，A 、B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，1233OP OA OB =+，则动点P 的轨迹方程是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【变式1-2】（2024·全国高三专题练习）当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点()2022,0B ，则AB 的中点P 的轨迹方程为（）A ．()2220221164x y -+=B ．()2220221164x y ++=C ．()22101114x y -+=D ．()22101141x y -+=【变式1-3】（2023上·湖南湘潭高三湘潭大学附属实验学校校考）已知圆22:3C x y +=，直线l 过点()2,0A -.线段AB 的端点B 在圆C 上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为（）A ．()22314x y -+=B ．()22314x y ++=C ．()22314x y +-=D ．()22413x y ++=题型07交轨法【解题攻略】求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法.该法经常与参数法并用.1.求两条动直线交点轨迹方程一般用交轨法2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程，关键是参数的选取，困难是参数的消去．怎么把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程？如何选取参数？怎样消去参数？【典例1-1】（2019上·江西鹰潭高三统考）过抛物线28x y =的焦点作直线l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作抛物线的切线12,l l ，则12l l 与的交点P 的轨迹方程是A ．=2y -B ．1y =-C ．1y x =-D ．=1y x --【典例1-2】（2020上·辽宁沈阳·高三校联考）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A ．22184y x -=B ．22184x y -=C ．22148y x -=D ．22148x y -=【变式1-1】（2021上·北京高三校考）已知定点(1,0),(1,0),A B P -是动点且直线,PA PB 的斜率之积为,0λλ≠，动点P 的轨迹不可能．．．是（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【变式1-2】（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系Oxy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13，则动点P 的轨迹方程为（）A ．2232x y -=-B ．2232(1)x y x -=≠±C ．2232x y -=D ．2232(1)x y x -=-≠±【变式1-3】．（2023上·全国高三专题练习）已知在ABC ∆中，点()2,0A -，点()2,0B ，若tan tan 2CAB CBA ∠⋅∠=，则点C 的轨迹方程为（）A ．22148x y +=B ．22148x y +=（2x ≠±）C ．22148x y -=D ．22184x y +=（2x ≠±）题型08消参型【解题攻略】有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，截距或时间等）的制约，即动点坐标 騈ࢯ中的 騈ࢯ分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，进而通过消参化为轨迹的普通方程 騈ࢯ .（1）选择坐标系，设动点坐标(),P x y ；（2）分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）；（3）建立参数方程；（4）消去参数得到普通方程；（5）讨论并判断轨迹．【典例1-1】（2022上·河南信阳高三信阳高中校考）已知椭圆2212x y +=，作垂直于x 轴的垂线交椭圆于A 、B两点，作垂直于y 轴的垂线交椭圆于C 、D 两点，且AB =CD ，两垂线相交于点P ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．抛物线【典例1-2】（2020下·四川成都高三树德中学校考）已函数3211()32f x x ax bx =-+的两个极值点是sin θ和cos ()R θθ∈，则点(,)a b 的轨迹是（）A ．椭圆弧B ．圆弧C ．双曲线弧D ．抛物线弧【变式1-1】（2020·全国·高三专题练习）过点()1,3P 的动直线交圆22:4C x y +=于A ，B 两点，分别过A ，B 作圆C 的切线，如果两切线交于点Q ，那么点Q 的轨迹是（）A ．直线B ．直线的一部分C ．圆的一部分D ．双曲线的一支【变式1-2】（2023上·全国高三）在矩形ABCD 中，4AB =，43B C =，点G ，H 分别为直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P .若12,2DH DC CG CB λλ==（01λ<<），则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线【变式1-3】（2022·浙江·高三专题练习）已知12,F F 是双曲线2220x y a a -=>（）的左右焦点，P 为圆2222x y a +=上一动点（纵坐标不为零），直线12,PF PF 分别交两条渐近线于,M N 两点，则线段MN 中点的轨迹为（）A ．平行直线B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分题型09空间轨迹：截面型【典例1-1】（2023春·江西抚州高三金溪一中校联考）如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．【典例1-2】（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考开学考试）如图所示，（直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA ，则椭圆的离心率为．【变式1-1】（2023·上海高三专题练习）已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，则截面上的椭圆离心率为．【变式1-2】如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，4OE =．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e =__________．【变式1-3】1822年，比利时数学家Dandelin 利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占1A 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得1AA 与小球相切．若15A A =，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A ．23B ．45C ．13D ．25题型10空间轨迹：双球模式【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinal dandelin （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E ，F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C ，B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE=AC ，AF=AB ，于是AE+AF=AB+AC=BC ．由B ，C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E ，F 为焦点的椭圆．如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的离心率为．【典例1-2】（2023·湖北·校联考模拟预测）在圆锥内放入两个大小不等的外离的球1O 与球2O ，半径分别为r 和R ，且4R r =，使得它们与圆锥侧面和截面相切，两个球分别与截面相切于点E ，F ，在截口上任取一点A ，又过点A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,B C ，则可知线段,AE AF 的长度之和为常数.若圆锥轴截面为等边三角形，则截口曲线的离心率是.【变式1-1】（2023秋·四川乐山高三统考）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为16，底面半径为3的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为.【变式1-2】（2023秋·四川乐山高三统考）比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面､底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点）.如图，圆锥的锥角为60︒，斜截面与圆锥轴所成角为60︒，则椭圆的离心率为.题型11空间轨迹：定角模式【典例1-1】（2022春·福建龙岩高三福建省长汀县第一中学校考阶段练习）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为π4，B 为斜足．平面α上的动点P 满足π6PAB ∠=，则点P 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分【典例1-2】（2021春·浙江湖州高三浙江省德清县第三中学校考开学考试）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是底面正方形ABCD 的中心，点P 是底面ABCD 所在平面内的一个动点，且满足130MC P ∠=︒，则动点P 的轨迹为（）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆【变式1-1】（2019秋·浙江高三校联考）斜线段PA 与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 与直线PA 成β（β＜α）角，交平面M 于点B ，动点B 的轨迹图形为（）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个半圆D ．一个椭圆【变式1-2】（2017秋·江西吉安高三阶段练习）如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足o 30PAB ∠=，则点P 的轨迹是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支1.（2021·湖南·益阳平高学校高二）设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）33A ．25B ．32C ．3D ．62.（2023·江苏高三专题练习）在ABC 中，已知()()1,0,1,0A C -，若a b c >>，且满足2sin sin sin B A C =+，则顶点B 的轨迹方程是（）A ．()221043x y x +=<B ．()221034x y x +=<C ．()221043x y x +=>D ．()221034x y x +=>3.（2022上·江苏盐城高三盐城中学校考）已知P 是圆()221:316F x y ++=上的一动点，点()23,0F ，线段2PF 的垂直平分线交直线1PF 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（）A ．22154x y -=B ．22149x y -=C ．22145x y -=D ．()221045x y x -=>4.已知实数x ，y 满足2222p p x y y ⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，其中常数0p >，则动点(),P x y 的轨迹是（）A ．射线B ．直线C ．抛物线D ．椭圆5.（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，若定点()1,2A 与动点(),P x y 满足向量OP 在向量OA 上的投影为5-，则点P 的轨迹方程为（）A ．250x y -+=B ．250x y +-=C ．250x y ++=D ．250x y --=6.（2023·全国高三专题练习）已知面积为16的正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，O 为坐标原点，3142OP OA OB =+，则动点P 的轨迹方程是（）A ．22132x y +=B ．22194x y +=C ．22148x y +=D ．22184x y +=7.（2023下·上海普陀高三上海市晋元高级中学校考）在直角坐标平面内，点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-，则满足tan tan PAB PBA ∠⋅∠=(m m 为非零常数）的点P 的轨迹方程是（）A ．221(0)y x y m -=≠B ．221y x m -=C ．221(0)y x y m +=≠D ．221y x m +=8.（2022高三课时练习）已知()2cos ,4sin A θθ，()2sin ,4cos B θθ-，当R θ∈时，线段AB 的中点轨迹方程为（）A ．22128x y -=B ．22128x y +=C ．22182y x -=D ．22182x y +=9.如图，平面ABC α⊥，D 为AB 的中点，||2AB =，60CDB ∠=︒，P 为α内的动点，且P 到直线CD 的距离为3，则cos APB ∠的最小值为.10.（2022秋·广东广州高三校联考）如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球1O ，球2O 的半径分别为4和2，球心距离12210O O =，截面分别与球1O ，球2O 相切于点,E F （,E F 是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于.11.长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，P 为该长方体侧面11CC D D 内(含边界)的动点，且满足tan tan 22PAD PBC ∠+∠=，则四棱锥P ABCD -体积的取值范围是.。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
曲线轨迹方程的求法
于 设四 形４ ｃ 的 积 ．Ｊ 是， 边 日Ｄ 面 为ｓ贝 『
｜ ｓ
：
肝
．
２
ｌ ４ ＝ｌ ・４ ．ｏ 肋 ｃｌ ２ｌ ＿ｘＴｔ ．— 酬 ／ ２ ｉ２ ＋ｓｎ
。 ’
・ ＋ １
Ｓ ０￣ ２
且 。 科 叫 早
且 。 ６ ｏ ｅ ２一４ｓ２ 叫 ＋ ｓｓ ｏ ２ ｉ ａ‘ ｃ２ｉ ｅ ＋ｎ ｏｎ ２
Ｚ Ｂ的垂 直平分线 ． 是 Ｚ 上 内切 ；３动 圆 与 圆 Ｃ内切 ， （） 与圆 外切 ；４ 动 圆 中心 的任 意弦 ，是线段 Ａ （）
与圆 Ｃ外切 ， 圆 内切 ． 。 与
异于椭圆中心的点． Ｉ Ｏ ｌＡ 若 Ｍ ＝ ｌ（ ｌ ０为坐标原
， 求点 的轨迹方程． 在情况 （）（ ） ， １ 、２下 动圆圆心 的轨迹方程为 ｘＯ － ． 点 ）当点 Ａ在椭 圆 Ｃ 上运动时 ，
４Ｘ＃３
．
、 ／ ～ ／
２
．
例 ２ （０８年全 国 Ｉ卷理科第 ｌ 题 ）已知 Ｆ Ｉ ｚ＋ｃ ２０ Ｉ ５ ＡＣＩ －
设
ｉ
翰
¨
。ｓ
抛 线ｃｙ ｘ 焦点过Ｆ 率为１ 直 Ｉ 为 物 ： ４的 ． 且斜 ￣ ＝ 的 线交
＞膪 。 。 。 ’ 则 ‘ 。 船 的比
８
３ ． 用动点和相关点的坐标表示以上关系； 代点．
因为 为 Ａ Ｂ中点 ， Ａ（ ，） （， ） 则 ０， Ｏ２ ． Ｂ ｙ 又因
ｌ
４ ． 把以上关系式化简； 化简．
５ 明． 明所得方程为所求 曲线的轨迹方程 ． ． 证 证
ｚ ｚ ｚ ｚ过点 Ｐ ２ ４ ， Ｐ Ｐ． ｋ ・ ２ 上且 ， （ ， ）则 Ａ上 Ｂ即
曲线方程求法
抚松一中 姜民和
学习目标：
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.总结求曲线的方程的方法和步 骤；
•
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种
条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数
解建立了如下的关系：
•
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
•
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
5
2
mx 2 ny 2 1
直接法（第二定义）
3.已知点P到定点F (3,0)的距离与到l：x 25的距离之比 3
为 3，求P的轨迹方程 5
基本步骤： 建，设，现，代，化
4.已知过圆 x2 y2 25上的动点 p向x轴做垂线，垂足为 Q 点R满足PR 1 PQ,求点R的轨迹方程
5
5.已知点P在直线y 164 上移动，直线l过点A(0,4)且与 9
分析作业：
已知曲线的类型，可 先设出曲线的方程
曲线与方程
和 x2 y2 25交于点P, Q过点P作x轴的平行线 l1, 过点Q做 x轴的垂线 l2 , l1交l2与点R，求点 R的轨迹方程。
方法小结：
求曲线的轨迹方✓参数法 ✓定义法
所求动点随另 一动点在已知 曲线上的运动 而运动，称为 相关点法.
✓待定系数法
AP垂直，通过点B(0,4)及点P的直线m和直线l相交于点Q 求点Q的轨迹方程
一、复习回顾
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：
曲线方程与轨迹问题专题复习讲义-2024届高考数学一轮复习专题讲义 (学生版)
目录曲线与轨迹问题 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：求曲线方程】 (4)【典型例题】 (4)考点一：定义法 (4)考点二：直接法 (5)考点三：相关点法 (6)考点四：参数法 (7)【小试牛刀】 (8)【巩固练习——基础篇】 (9)【巩固练习——提高篇】 (9)曲线与轨迹问题【课前诊断】成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差1． 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定2． 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能3． 直线10xky与圆221x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切4． 设m ＞0，则直线)10l xy m与圆22:O x y m 的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切5． 直线l 与圆22240(3)x y x y a a 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(2,3)C ，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝06． 与圆22:420C x y x 相切，且在,x y 轴上的截距相等的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7． 过原点O 作圆2268200x y x y 的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ的长为________．8．已知两圆分别为圆C 1：x 2＋y 2＝81和圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋9＝0，这两圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切9．两圆222x y r ，222(3)(1)x y r 外切，则正实数r 的值是( )D ．510．圆22616480x y x y 与圆2248440x y x y 的公切线条数为( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条11．圆22460x y x y 和圆2260x y x 交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y ＋3＝0B ．2x －y －5＝0C ．3x －y －9＝0D ．4x －3y ＋7＝0【知识点一：求曲线方程】一、求曲线方程的常用方法：（1）定义法；（2）直接法；（3）相关点法；（4）参数法；【典型例题】考点一： 定义法例1. 已知ABC Rt ∆中，C ∠为直角，且),0,1(),0,1(B A -求满足条件的C 的轨迹方程。
轨迹方程的求法及典型例题含答案
轨迹方程的求法及典型例题(含答案) 轨迹方程是描述一条曲线在平面上的运动轨迹的方程。
在二维平面上，轨迹方程通常由一元二次方程、三角函数方程等形式表示。
在三维空间中，轨迹方程可能会更加复杂，可以由参数方程或参数化表示。
一、轨迹方程的求解方法：1. 根据题目给出的条件，确定轨迹上的点的特点或特殊性质。
2. 将轨迹上的点的坐标表示为一般形式。
3. 将坐标表示代入到方程中，消去多余的变量，得到轨迹方程。
二、典型例题及其解答：【例题1】已知点P(x,y)到坐标原点O的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，根据勾股定理，可以得到点P到原点O的距离公式：d = √(x^2 + y^2)3. 将坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：d^2 = x^2 + y^2【例题2】已知点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为定值d，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，点P到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d = |Ax+By+C| / √(A^2 + B^2)3. 将点P的坐标表示代入到距离公式中，得到轨迹方程：(Ax+By+C)^2 = d^2(A^2 + B^2)【例题3】已知点P(x,y)满足|x|+|y|=a，求点P的轨迹方程。
解答：1. 设点P(x,y)的坐标表示为一般形式。
2. 根据题目给出的条件，可以得到两种情况下的轨迹方程：当x≥0，y≥0时，有x+y=a，即y=a-x；当x≥0，y<0时，有x-y=a，即y=x-a；当x<0，y≥0时，有-x+y=a，即y=a+x；当x<0，y<0时，有-x-y=a，即y=-a-x。
3. 将上述四种情况合并，得到轨迹方程：|x|+|y|=a【例题4】已知点P(x,y)满足y = a(x^2 + b)，求点P的轨迹方程。
轨迹方程求法及经典例题汇总
轨迹方程求法及经典例题汇总一、轨迹为圆的例题：1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程：必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为21，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论）2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。
（2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。
（1）求圆心的P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线x y =的距离为22，求圆P 的方程。
如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x－4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2,241+=+y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得244)2()24(22+⋅-++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案
第八节 曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点 曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二 定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8， 又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三 代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切． 当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ， 即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切． 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】 已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组 考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
求曲线方程的常用方法
曲线的方程摘要：通过曲线方程常见题型的分析，归纳总结曲线的方程的解题巧，对于常见的一些问题，给出规律性的解答.关键词：曲线的方程 轨迹曲线的方程是高考中常出现的问题，要熟练掌握求曲线方程的基本步骤，能利用图像将题目中所给的条件转化为数学表达式. 下面介绍五种求解曲线方程的方法.求轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法（或称代入法）、参数法.一、直接法建立适当的坐标系后，设动点为),(y x P ，根据几何条件直接寻求y x ,之间的关系，其一般步骤为：（1）建立坐标系（选取原点位置及坐标轴的方位）；（2）设动点坐标为),(y x P ；（3）依据题意找出等量关系，列出方程；（4）化简方程，并讨论取值范围，说明轨迹曲线特征.【例1】已知两点)0,3(-A ，)0,3(B ，动点M 与A 、B 的连线的斜率之积是32，则点M 的轨迹方程为 .讲解：设点M 的坐标为),(y x ，点M 属于集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅=32|MB MA k k M P . 由经过两点的直线的斜率公式，得3233=-⋅+x y x y ，化简，整理得)3(0183222±≠=--x y x . 此即为所求的轨迹方程.练习1：已知两定点)0,1(-A ，)0,2(B ，动点P 满足21||||=PB PA ，求P 点的轨迹方程. 答案：4)2(22=++y x .二、定义法如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的定义，建立动点的方程，化简整理即得轨迹方程.【例2】一动圆过定点)0,2(-A 且与定圆12)2(22=+-y x 相切. 求动圆圆心C 的轨迹M 的方程.解：设动圆与定圆的切点为T ，定圆的圆心为B ，由题意知动圆内切于定圆，则22||32||||||||||=>==+=+AB BT CT CB CB CA ，∴点C 的轨迹方程是以A 、B 为焦点的椭圆， 则322=a ，222=c . 3=∴a ，2=c . 12=∴b .∴动圆圆心C 的轨迹M 的方程为1322=+y x . 练习2：ABC ∆中，已知的方程)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则点C 的轨迹方程是（ ） 1124.22=+y x A )0(1124.22<=-x y x B )0(1124.22<=+x y x C )0(14_12.22<=x y x D 答案：B .三、待定系数法当已知动点的轨迹方程是所学过的曲线，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程，其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.【例3】已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）0)(=x f 的两根的立方和等于17，求)(x f 的解析式.解：由已知，可设)0(15)1()(2<+-=a x a x f ，即152)(2++-=a ax ax x f ，设方程01522=++-a ax ax 的两根分别为21,x x ，由韦达定理得221=+x x ，ax x 15121+=⋅.而aa x x x x x x x x 902151232)(3)(321213213231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-=+-+=+， 17902=-∴a，6-=∴a . 9126)(2++-=∴x x x f .练习3：已知函数)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(且)(x f 在区间]4,1[-上的最大值是12. 求)(x f 的解析式.答案：)(102)(2R x x x x f ∈-=.四、转移法（或称代入法）若已知动点),(1βαP 在曲线0),(:11=y x f C 上移动，动点),(y x P 依动点1P 而动，它满足关系：（1）⎩⎨⎧==),(),(βαβαy y x x 则关于βα,反解方程组（1）得 （2）⎩⎨⎧==),(),(y x h y x g βα 代入曲线方程0),(1=y x f ，即可得动点P 的轨迹方程0),(:=y x f C .【例4】已知直线134:=+y x l ，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，求把有向线段AB 分成的比2=λ的动点P 的轨迹方程.解：设),(00y x M ，),(y x P ，则)0,(0x A ，),0(0y B ，点P 分有向线段AB 分成的比2=λ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.233,2120,2100000y y x x y y x x 又 )23,3(y x M 在直线134:=+y x l 上， ∴132343=+y x ，即0423=-+y x .练习4：求曲线x y 42=关于点)3,1(M 对称的曲线方程.答案：)2(4)6(2x y -=-.五、参数法当动点),(y x P 中坐标y x ,之间的关系直接找不出时，可设动点),(y x P 满足关于参数t 的方程组⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （t 是参数），则由方程消去参数t ，即求得动点),(y x P 的普通方程：0),(=y x f .【例5】设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：动点P 的轨迹方程.解：线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .设),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得：032)4(22=-++kx x k ， 由韦达定理得：22142k k x x +-=+ ∴22148k y y +=+ 于是，)44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=. 设点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2244,4k y k k x消去参数k 得0422=-+y y x .当斜率不存在时，A 、B 中点为坐标原点)0,0(，也满足上式，所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x .练习5：已知抛物线x y C 4:2=，O 为原点，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点，求满足+=的点M 的轨迹方程.答案：)2(842>+=x x y .参考文献：[1] 任志鸿《十年高考分类解析与应试策略》南方出版社2006年7月第2版[2] 曲一线《高中习题化知识清单数学》首都师范大学出版社2007年5月第3版[3] 曲一线《5年高考3年模拟》（2009B版）首都师范大学出版社2007年7月第1版[4] 贾鸿玉《高考绿色通道数学》中国致公出版社2007年3月第6版[5] 全日制普通高级中学教科书《数学》第二册（必修）人民教育出版2006年11月第2版。
8.8曲线与方程(含轨迹问题)
考 情
·
考 向
·
考 题
·
关 注 基 础
·
相同)称为平面的斜坐标系.在平面的斜坐标系xOy中,若 OP=xe1 +ye2 (其中 e1 ,e2 分别是斜坐标系x轴、y轴正方向
上的单位向量,x、y∈R,O为坐标原点),则称有序数对(x,
研 究 课 时 提 能 演 练 教 师 精 品 题 库
知 能
·
回 扣 热 点
·
典 例
·
突 破
目 录 考 点
·
3.（2010·焦作模拟）设点A为圆（x-1）2+y2=1上的动点，
考 情
·
考 向
·
PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（
（A）y2=2x （C）y2=-2x （B）(x-1)2+y2=4 （D）(x-1)2+y2=2
）
考 题
·
关 注 基 础
·
典 例
·
突 破
目 录 考 点
·
考 情
·
考 向
·
考 题
·
关 注 基 础
·
研 究 课 时 提 能 演 练 教 师 精 品 题 库
知 能
·
回 扣 热 点
·
典 例
·
突 破
目 录 考 点
·
考 情
·
考 向
·
考 题
·
关 注 基 础
·
研 究 课 时 提 能 演 练 教 师 精 品 题 库
知 能
·
回 扣 热 点
考 题
·
关 注 基 础
·
研 究 课 时 提 能 演 练 教 师 精 品 题 库
高三数学轨迹方程50题及答案
求轨迹方程求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、交轨法，待定系数法。
(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法 若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程. (6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=122+--x x 表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=1B 、x 2+y 2=1(x ≠±1）C 、x 2+y 2=1(x ≠1）D 、y=21x -4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y) 5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆C 、中点在原点的双曲线D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0) 10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、x 2+y 2=21 B 、x 2+y 2=41 C 、x 2+y 2=21(x<21) D 、x 2+y 2=41（x<41) 11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A 、(x －2)2+(y+4)2=16 (0)y ¹B 、(x －2)2+4(y+2)2=16 (0)y ¹C 、(x －2)2－(y+4)2=16D 、(x －2)2+4(y+4)2=1612、椭圆C 与椭圆14)2(9)3(22=-+-y x 关于直线x+y=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A 、22(2)(3)149x y +++= B 、22(2)(3)194x y --+= C 、22(2)(3)194x y +++= D 、22(2)(3)149x y --+= 13、设A 1、A 2是椭圆4922y x +=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为 ( )A.14922=+y xB.14922=+x y222214、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为 ( ) 12575 D. 17525C.1252752 B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x15、已知⊙O ：x 2+y 2=a 2, A(－a, 0), B(a, 0), P 1, P 2为⊙O 上关于x 轴对称的两点，则直线AP 1与直线BP 2的交点P 的轨迹方程为 （ ） A 、x 2+y 2=2a 2 B 、x 2+y 2=4a 2 C 、x 2－y 2=4a 2 D 、x 2－y 2=a 2 二、填空题：16、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。
轨迹问题
解析几何中的轨迹问题 一、定义法：1．已知M 是直线l ：x =−1上的动点，点F 的坐标是(1,0)，过M 的直线l′与l 垂直，并且l′与线段MF 的垂直平分线相交于点N ． （Ⅰ）求点N 的轨迹C 的方程； 试题解析：（Ⅰ）依题意，|NM|=|NF|，即曲线C 为抛物线，其焦点为F(1,0)，准线方程为l ：x =−1，所以曲线C 的方程为y 2=4x ．2．已知圆()22:11M x y ++=，圆()22:19N x y -+=，动圆ρ与圆M 外切并与圆N 内切，圆心ρ的轨迹为曲线C . （1）求C 的方程；试题解析：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =，设圆ρ的圆心为(),P x y ，半径为R .（1）因为圆ρ与圆M 外切并且与圆N 内切，所以由椭圆的定义可知，曲线C 是以,M N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为顶点除外）……5分 3．动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .（1）求轨迹E 的方程；试题解析： （1所以圆内切于圆，所以点的轨迹为椭圆，，所以1b =，所以轨迹的方程为 4．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P 满足条件|PM|－|PN|＝P 的轨迹为W ． ⑴求W 的方程； 【解析】 试题分析：（1）利用双曲线的定义，可求W 的方程；（2）设点的坐标，利用向量的数量积公式，N M N E试题解析：(1)P 的轨迹是以M,N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长，半焦距2c =，故徐半轴长W5．已知圆()22:116E x y ++=，点()1,0,F P 是圆E 上任意一点，线段PE 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹P 的方程； 【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆方程；（2）通过设而不求法，列方程，解得2λ=.试题解析：（1）连结，故动点Q 的轨迹Γ是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆可知2,1a c ==，则所以点Q 的轨迹Γ的方程为 6．已知椭圆的左、右焦点分别为21F F 、，过点作垂直于轴的直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点． （1）求点的轨迹的方程；试题解析：解：（1）∵，∴点到定直线：的距离等于它到定点的距离，∴点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线． ∴点的轨迹的方程为．7．已知点C 为圆()2218x y ++=的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点QF 1C 1F x 1l 2l 1l P 2PF 2l M M 2C ||||2MF MP =M 1l 2-=x )0,2(2F M 2C 1l 2F M 2C x y 82=()1,0A 和AP 上的点M ，满足0,2MQ AP AP AM ==．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以，所以点Q 的轨迹是以点,CA 为焦点，焦距为28．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F的距离比它到轴的距离多1. (Ⅰ)求点的轨迹的方程；试题解析：（Ⅰ）依题意，点P 到点()1,0F 的距离与它到直线1x =-的距离相等，∴点P 的轨迹E 是以F 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，∴E 的方程为24yx =；9、已知点M(-3,0)，N （3,0），B （1,0），动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相较于点P ，则P 点轨迹方程是 。
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在 x 轴和y 轴上移动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程:1必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点(0,0)，A ( 3,0 )的距离之比为 _ ,求点M 的轨迹方程；(一般地：必修 2课2本P i4启组2：已知点M(x , y )与两个定点 的距离之比为一个常数 m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分 m =i .为22，在y 轴上截得线段长为 2・..3。
( 1)求圆心的P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y = x 的距离为—，求圆P 的方程。
2如图所示，已知 R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A B 是圆上两动点，且满足/ APB 90°，求矩 形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R 坐标为(x ,y ),则在Rt △ ABP 中，|AR =| PR .又因为R 是弦AB 的中点, 依垂径定理：在 Rt △ OAF 中，| AR 2=|AQ 2—| OR 2=36— (x 2+y 2)又| AR =| PR = - (^4)2 y 2 所以有(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即x 2+y 2 — 4x — 10=0因此点R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运 动.设 Qx , y ) , Rx 1,y 1),因为 R 是 PQ 的中点，所以X 1= _ , y 1= ―，代入方程 ^+y 2 — 4x — 10=0,得 2 2(宁)2 •(寸)2 -4 —10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线丨：y = 2x-4 •设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直 线y = x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA =2MQ ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.与2进行讨论)戈（2013陕西卷理20）已知动圆过定点 A （4,0），且在y 轴上截得弦 MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点B （_1,0），设不垂直于x 轴的直线|与轨迹C 交于不同的两点 P,Q ，若x 轴是.PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点。
求曲线轨迹方程
=
=
此即点 M 的轨迹方程.
2
+
,
2
消去
-,
k,得 y2=p(x-2p),
2 2
,
2
,
对点训练3过圆O:x2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线,求割线被圆截得的弦
BC的中点M的轨迹方程.
解:设点M(x,y),B(x1,y1),C(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-4),
求轨迹方程的常用方法
代入法
参数法
交轨法
点差法
一、定义法
如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、
抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,确定方程中的常数,
即可得到轨迹方程.
例1.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin A
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
答案:D
解析:=(-2-x,-y),=(3-x,-y),∴ ·=(-2-x)(3-x)+y2=x2-x-6+y2.
由条件,x2-x-6+y2=x2,整理得y2=x+6,此即点P的轨迹方程,
∴点P的轨迹为抛物线,故选D.
)
对点训练 2 动点 P(x,y)到两定点 A(-3,0)和 B(3,0)的距离的比等于 2 即
解:由题意,设 A
2
4
, ,B
2
4
, ,所以
4
4
kOA= ,kOB= ,
由 OA 垂直 OB 得 kOAkOB=-1,得 yAyB=-16p2,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲线的方程和轨迹问题【考纲要求】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【基础知识】1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义在直角坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）。
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
2、求简单的曲线方程的一般步骤（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；（2）设点：用有序实数对),(y x 表示曲线上任意一点M 的坐标（不要把其它的点的坐标设成),(y x ）；（3）列式：用坐标表示条件)(M P ,列出方程0),(=y x f ； （4）化简：化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。
3、求简单的曲线方程的主要方法：轨迹四法 待代直参（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个圆锥曲线的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。
（2）代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程。
（3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。
（4）参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()x f y g ϕϕ=⎧⎨=⎩，再消参。
4、轨迹和轨迹方程轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征。
【例题精讲】例1 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=可得：222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以)1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）例2 已知椭圆C ：x y 221691+=和点P （1，2），直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当l 倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。
解：设弦中点为M （x ，y ），交点为A x y B x y ()()1122，、，。
当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线。
∴()()()()y y x x x y 212112--=-- ① 由x y x y 1212222216911691+=+=，，两式相减得 ()()()()x xx x y yy y 12121212169-++-+= 又x x x y y y 121222+=+=， ∴216291212x x x y y y ()()-=-- ②由①②可得：032916922=--+y x y x ③当点M 与点P 重合时，点M 坐标为（1，2），适合方程③。
PO 1O2NM∴弦中点的轨迹方程为：032916922=--+y x y x15.5曲线的方程和轨迹问题强化训练【基础精练】1. 已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点D. 两个点2 在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A. 圆B. 不完整的圆C. 抛物线D. 抛物线的一部分3. 如图,定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点。
且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点4. 如图3，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线图35. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线6. 已知异面直线a,b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a,b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程。
7. 已知圆E 的方程为 (x -1)2 + y 2= 1, 四边形PABQ 为该圆的内接梯形，底AB 为圆的直径且在x 轴上，以A 、B 为焦点的椭圆C 过P 、Q 两点．(1) 若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨迹； (2) 当梯形PABQ 周长最大时，求椭圆C 的方程．8. 已知双曲线的两个焦点分别为F 1、F 2，其中F 1又是抛物线 y 2= 4 x 的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．(1)求点F 2的轨迹;(2)是否存在直线y = x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，若不存在，说明理由．9. 已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O ，以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A(0 , a)，以i - 2λc 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ，试问：是否存在两个定点E , F ，使得 | PE| + | PF | 为定值，若存在，求出E, F 的坐标，若不存在，说明理由．10. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=点(11)T -，在AD 边所在直线上． （I ）求AD 边所在直线的方程； （II ）求矩形ABCD 外接圆的方程；（III ）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．11. 如图，设抛物线2:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.12. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是DTNOABCMxyx y OABPFl椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明xaca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.13. 过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.求△AOB 的重心G 的轨迹C 的方程.14. 已知圆22:1C x y +=和点(2,0)Q ，动点M 到圆C 的切线长与||MQ 的比等于常数(0)λλ>，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？【拓展提高】1．设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线2.三峡工程需修建一个土石基坑，基坑成矩形ABCD ，按规定，挖出的土方必须沿道路PA 或PB 送到P 点处。
已知m AB m BC m PB m PA 160,60,150,100====，能否在池中确定一条界线，使得位于界线一侧的点沿道路PA 送土方较近，而另一侧的点沿道路PB 送土方较近？如果能，请说明这条界线是什么曲线，并求出轨迹方程。
【基础精练参考答案】1. 如图1，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4。
在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上。
又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点。
因此所求点的轨迹是四个点，故选C 。
2. 因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP 。
又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠， 可得CPB tan PBCBPA AD APD tan ∠===∠， 即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B （3，0）。
设点P （x,y ），则有2y)3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B 。
3. 因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB 。
所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B 。
4. 因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等。
由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D 。
5. 以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系。
设P （x,y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=。