曲线的方程和轨迹问题

曲线的方程和轨迹问题

【考纲要求】

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【基础知识】

1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义

在直角坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上（完备性）。那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 2、求简单的曲线方程的一般步骤

（1）建立直角坐标系：利用垂直性和对称性建立适当的坐标系；

（2）设点：用有序实数对),(y x 表示曲线上任意一点M 的坐标（不要把其它的点的坐标设

成),(y x ）；

（3）列式：用坐标表示条件)(M P ,列出方程0),(=y x f ； （4）化简：化方程0),(=y x f 为最简形式；

（5）检验：检验某些特殊点是否满足题意，把不满足的点排除，把满足的点补充上来。 3、求简单的曲线方程的主要方法：轨迹四法 待代直参

（1）待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个圆锥曲线的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数。

（2）代入法：如果点M 的运动是由于点P 的运动引起的，可以先用点M 的坐标表示点P 的坐标，然后代入点P 满足的方程，即得动点M 的轨迹方程。 （3）直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。

（4）参数法：动点(,)M x y 的运动主要是由于某个参数ϕ的变化引起的，可以选参、设

参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()

()

x f y g ϕϕ=⎧⎨

=⎩，再消参。

4、轨迹和轨迹方程

轨迹和轨迹方程是两个不同的概念，轨迹包含轨迹方程和对轨迹方程表示的曲线的简单特征的描述，而求轨迹方程只求那个方程即可，不需描述曲线的特征。 【例题精讲】

例1 如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P

的轨迹方程．

解：以21O O 的中点O 为原点，21O O 所在的

直线为x 轴，建立平面直角坐标系， 则)0,2(),0,2(21O O - 由已知PN PM 2=

可得：222PN PM =

因为两圆的半径均为1，所以)1(212

22

1-=-PO PO

设),(y x P ，则]1)2[(21)2(222-+-=-+y x x ，即33)6(22=+-y x

所以所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）

例2 已知椭圆C ：x y 22

169

1+=和点P （1，2）

，直线l 经过点P 并与椭圆C 交于A 、B 两点，求当l 倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。

解：设弦中点为M （x ，y ），交点为A x y B x y ()()1122，、，。当M 与P 不重合时，A 、B 、M 、P 四点共线。

∴()()()()y y x x x y 2121

12--=-- ① 由x y x y 12122222

1691169

1+=+=，，两式相减得 ()()()()x xx x y yy y 12121212

169

-++-+= 又x x x y y y 121222

+=+=， ∴

21629

12

12x x x y y y ()()-=-- ②

由①②可得：03291692

2

=--+y x y x ③

当点M 与点P 重合时，点M 坐标为（1，2），适合方程③。

P

O 1

O

2

N

M

∴弦中点的轨迹方程为：032916922=--+y x y x

15.5

曲线的方程和轨迹问题强化训练

【基础精练】

1. 已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为2

9

的点的轨迹是（ ） A. 一个圆 B. 两条平行直线 C. 四个点

D. 两个点

2 在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A. 圆

B. 不完整的圆

C. 抛物线

D. 抛物线的一部分

3. 如图,定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点。且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）

A. 一条线段，但要去掉两个点

B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点

D. 半圆，但要去掉两个点

4. 如图3，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 直线

B. 圆

C. 双曲线

D. 抛物线

图3

5. 已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A. 抛物线

B. 双曲线

C. 椭圆

D. 直线

6. 已知异面直线a,b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a,b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程。

7. 已知圆E 的方程为 (x -1)2 + y 2

= 1, 四边形PABQ 为该圆的内接梯形，底AB 为圆的直径且在x 轴上，以A 、B 为焦点的椭圆C 过P 、Q 两点．

(1) 若直线QP 与椭圆C 的右准线相交于点M ，求点M 的轨迹； (2) 当梯形PABQ 周长最大时，求椭圆C 的方程．

8. 已知双曲线的两个焦点分别为F 1、F 2，其中F 1又是抛物线 y 2

= 4 x 的一个焦点，且点A(-1, 2)，B(3, 2)在双曲线上．

(1)求点F 2的轨迹;

(2)是否存在直线y = x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，若不存在，说明理由．

9. 已知常数a > 0，c = (0, a)，i = (1, 0)，经过原点O ，以c +λi 为方向向量的直线