数值分析期末实验报告

数值计算方法论文

论文名称：数值计算方法期末总结

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摘要：数值计算方法是数学的一个重要分支，以用计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。本文是我对本学期数值分析这门课程中所学到的内容以及所作的工作的总结。通过一学期的学习，我深入学习了线性方程组的解法，非线

性方程的求根方法，矩阵特征值与特征向量的计算，函数的插值方法，最佳平方逼近，数值积分与数值微分，常微分方程初值问题的数值解法。通过陶老师课堂上的讲解和课下的上机训练，对以上各个章节的算法有了更深刻的体会。

最后做了程序的演示界面，使得程序看起来清晰明了，便于查看与修改。通过本学期的学习。

关键词：数值计算方法、演示界面

第一章前言

随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。

第二章基本概念

2.1算法

算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。

2.2 误差

计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表2.1

表2.1

第三章泛函分析

2.1泛函分析概要

泛函分析（Functional Analysis）是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间变换（映射）的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽象为元素和空间。如：距离空间，赋范线性空间，内积空间。

2.2 范数

范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。

这里以Cn空间为例，Rn空间类似。最常用的范数就是p-范数。若

，那么

当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：

1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│

2-范数：║x║2=（│x1│2+│x2│2+…+│xn│2）1/2

∞-范数：║x║∞=max（│x1│，│x2│，…，│xn│）

其中2-范数就是通常意义下的距离。

对于这些范数有以下不等式：║x║∞≤ ║x║2≤ ║x║1≤ n1/2║x║2≤ n║x║∞

另外，若p和q是赫德尔（Hölder）共轭指标，即1/p+1/q=1，那么有赫德尔不等式：

|| = ||xH*y| ≤ ║x║p║y║q

当p=q=2时就是柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式

一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。

如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。

注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到Mincowski定理以外的信息。

第四章算法总结

本学期讲解过的主要算法列举如下：线性方程组的解法（高斯消元法，列主消元法，Doolittle分解法，追赶法，LDL'分解法，Jacobi分解法，Seidel迭

代法）；非线性方程的求根方法（二分法，简单迭代法，Newton 迭代法，Newton+下山因子，Newton 迭代法2，Newton 非线性方程）；矩阵特征值与特征向量的计算（householder 矩阵，反幂法，幂法，QR 分解）；函数的插值方法（三次样条插值，Lagrange 插值法，Newton 差商插值法）；最佳平方逼近（chebyshev 最小二乘法，曲线拟合最小二乘法）；数值积分与数值微分（simpson 求积分式算法，Romberg 算法，外推法）；常微分方程初值问题的数值解法（欧拉改进法、龙格库塔法和修正的Adams 法）。下面对主要算法进行分析。

4.1线性方程组的解法

本章学习了一些求解线性方程组的常用方法，其中Gauss 消元法，列主元消元法，LU 分解法，追赶法和LDL ’分解法都是解线性方程组的直接方法；而Jacobi 迭代法和SOR 法则是解线性方程组的基本迭代法。求解线性方程组时，应该注意方程组的性态，对病态方程组使用通常求解方程组的方法将导致错误。迭代求精法可用于求解某些病态方程。

4.1.1高斯列主元LU 分解法求解线性方程组

高斯消元法和LU 分解法是直接法求解线性方程组中的两种方法。其中高斯消元法的基本思想是将线性方程组(1.1)通过消元，逐步化为同解的三角形方程组，然后用回代法解出n 个解。高斯列主元消元法则是在高斯消元法的基础上提出的先选主元再消元的方法，避免了

(1)0k kk a -=时消元无法进行或者是当(1)k kk a -的绝对值与其下方的元素(1)(1,2,,)k ik a i k k n -=++的绝对值之比很小时，引起计算机上溢或产生很大的舍入误差而导致所求出的解失真的问题。LU 分解法是将矩阵A 用一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积来表示，即A LU =，然后由A LU =，Ax b =，得LUx b =，将线性方程组的求解化为对两个三角形方程组Ly b =和Ux y =的求解，由此可解出线性方程组（1.1）的n 个解12,,,n x x x 。这两种求解线性方程组的方法在处理单个线性方程组时没有差别，只是方法的不同，但在处理系数矩阵A 相同，而右端项不同的一组线性方程组时，LU 分解法就有明显的优势，因为它是将系数矩阵A 和右端项b 分开处理的，这样就可以只进行一次分解。例如，求解线性方程组,1,2,,i Ax b i m ==，用高斯消元法求解的计算量大约为313mn ，而用LU 分解求解的计算量约为32

13n mn +，后者计算量显然小很多。但是LU 分解法同样有可能由于jj u 的绝对值很小而引起计算机上溢或产生很