第五章曲线拟合与最小二乘法.ppt
最小二乘法拟合原理
最新资料推荐最小二乘法拟合原理最小二乘法拟合原理最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x与y之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x与y之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x与y之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y的误差。
设x和y的函数关系由理论公式y = f (x; cl , c2 , cm) (0-0-1 ) 给出，其中cl , c2 , cm是m个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据(xi , yi ) i = 1, 2 , , N。
都对应于xy平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m组测量值代入式（0-0-1 ）,便得到方程组yi1 / 12=f （x; cl , c2 , cm）（0-0-2 ）式中i = 1,2 , , m.求m个方程的联立解即得m个参数的数值。
显然Nm时，参数不能确定。
在Nm的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着糸统误差，或者说已经修正，则y 的观测值yi围绕着期望值f （x ；cl ,c2 , cm）摆动，其分-布为正态分布，则yi的概率密度为p yi 1 yi f xi;c1, c2, ............................... , cm exp 2 2 i2 i2 ，式中i是分布的标准误差为简便起见，下面用C代表（cl，c2，cm）。
最小二乘拟合 原理
最小二乘拟合原理
最小二乘拟合是一种常用的数学方法，用于找到一条曲线或者函数来最好地拟合一组具体的数据点。
它的原理是通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和，来确定曲线的参数。
首先，我们假设拟合曲线是通过一个函数表示的，例如一个多项式函数或者指数函数。
然后我们用该函数来预测每个数据点的值，并计算预测值与真实值之间的差距，即误差。
为了找到最佳拟合曲线，我们需要找到使得误差平方和最小的参数。
最小二乘拟合的关键思想在于将误差平方和作为一个目标函数，并使用数学优化方法来找到使得该目标函数最小化的参数。
通常情况下，最小二乘拟合会使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）来求解参数。
OLS方法通过求解目标函数对参数的偏导数，并令其等于零，来得到参数的解析解。
这样就可以找到使得误差平方和最小的参数。
然而，在某些情况下，目标函数可能不具备解析解，或者解析解存在但不易计算。
这时候，可以使用数值优化方法来近似求解参数。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、牛顿法等。
最小二乘拟合的一个重要应用是线性回归分析。
线性回归模型假设拟合曲线是一个线性函数，通过最小二乘拟合可以求解出最佳的线性参数。
线性回归分析在统计学和机器学习中经常被用于建立预测模型。
总而言之，最小二乘拟合是一种常用的数学方法，可以用于寻找最佳拟合曲线或函数。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差平方和，我们可以求解出最佳拟合参数，从而得到一个最优的拟合结果。
2.6-曲线拟合的最小二乘法
第2页，共29页。
由观测得到的实验数据不可避免地带有误差，甚至是
较大的误差，此时要求近似函数P(x)过全部已知点，
相当于保留全部数据误差，所以使用插值法不合理。 对逼近函数P(x)不必要求过给定的点，只要求总体上
尽可能小，即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体 趋势，在某种意义（要求或标准）下与函数最“逼近”。
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问题
数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本 初等函数及其他特殊函数；(连续情形)
当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集
的区间上用公式给出函数的简单表达式.(离散情形)
这些都涉及到在已知区间上用简单函数逼近已 知复杂函数或未知函数的问题，这就是函数逼
近问题
插值方法就是一种逼近，要求在给定的节点处P(x) 与 f (x)相等（甚至导数值相等），因此在节点附近，逼近效
(1
,n
)
a1
(
f
,
1
)
(n
,
n
)
an
( f ,n )
称为法方程. 但是0 (x), ,n (x)在C[a, b]上线性无关，
不能保证其系数矩阵非奇异.
例如，0 sin x,1 sin 2x, x [0, 2 ], xk k , k 0,1, 2.
G
(0 ,0 )
(1
,
t 9 10 11 12 13 14 15 16
y 10.0 10.2 10.3 10.4 10.5 10.5 10.5 10.6
0
0
2
2
0
5
8
0
第20页，共29页。
第5章曲线拟合
大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测
提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次 数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
换句话说 :求一条曲线,使数据点均在离此曲线的 为此 ,我们希望从给定的数据 (xi,yi)出发,构造 上方或下方不远处 ,所求的曲线称为拟合曲线 ,它 一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所 ( x) ( x) 既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大 有的数据点，只要求所得的近似曲线能反映数 的波动,更能反映被逼近函数的特性 据的基本趋势，如图 5-7所示。 ,使求得的逼 近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方
（3）可化为线性拟合的非线性拟合
有些非线性拟合曲线可以通过适当的变量替
换转化为线性曲线，从而用线性拟合进行处理，
对于一个实际的曲线拟合问题，一般先按观测值 在直角坐标平面上描出散点图，看一看散点的分 布同哪类曲线图形接近，然后选用相接近的曲线 拟合方程。再通过适当的变量替换转化为线性拟
合问题，按线性拟合解出后再还原为原变量所表
,
（4）超定方程组的最小二乘解 A (aij ) mn ,b是m维已知 设线性方程组Ax=b中， 向量，x是n维解向量，当m＞n，即方程组中 方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组 为超定方程组。一般来说，超定方程组无解（ 此时为矛盾方程组),这时需要寻求方程组的一 个“最近似”的解. 记 r b Ax ,称使 r 2 ,即 r 最小的解 x * 为 方程组Ax=b的最小二乘解。
m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i )xi 0 a1 i 1
线性拟合方法ppt课件
y
a2
c2 b2 (T
45) 2
5
第一节 问题的提出
y a1 b1T c1T 2
y
a2
c2 b2 (T
45)2
如何求取上述模型中的参数，并判断两种模型的 优劣,是化学化工工作者经常要碰到的问题，这个问题 的求解将在本章下面的有关章节中进行详细的讲解。
6
第二节 拟合的标准
第五章 实验数据及模型参数拟合方法
1
第五章 实验数据及模型参数拟合方法
第一节 问题的提出
2
第一节 问题的提出
在化工设计及化工模拟计算中，需要大量的物性参数及各
种设备参数。这些参数有些可以通过计算得到，但大量的参
数还是要通过实验测量得到。实验测量得到的常常是一组离
散数据序列（xi ,yi）。
如果数据序列（xi ,yi）(为一般起见), i=1,2, …,m ,含有不 可避免的误差（或称“噪声” ，如图5-1所示），或者无法
9
第二节 拟合的标准__实例1
实验测得二甲醇（DME）的饱和蒸气压和温度的关系，见表5-2。
表5-2 DME饱和蒸气压和温度的关系
图5-3 DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合
1.0
序号
温度 ℃
蒸气压 MPa
1
-23.7
0.101
0.8
2
-10
0.174
3
0
0.254
4
10
0.359
0.6
5
20
0.495
得注意的是在此法方程的构建过程中，进行了变量的代换。首先是拟合 函数中变量的代换: x3 x, x5 x2。
第5章最小二乘法
(5-37) 这正是不等精度测量时加权算术平均值原理所给出的结果。
对于等精度测量有
则由最小二乘法所确定的估计量为
此式与等精度测量时算术平均值原理给出的结果相同。 由此可见，最小二乘法原理与算术平均值原理
是一致的，算术平均值原理可以看做是最小二乘 法原理的特例。
第三节 精度估计
用矩阵表示的正规方程与等精度测量情况类似，可表示为
即
（5-27）
上述正规方程又可写成 （5-28）
该方程的解，即参数的最小二乘法处理为 （5-29）
令
则有
（5-30）
例5—2
• 某测量过程有误差方程式及相应的标准差如下：
试求x1，x2的最小二乘法处理正规方程的解。 解： （1）首先确定各式的权
（2）用表格计算给出正规方程常数项和系数
三、线性参数最小二乘法的正规方程
为了获得更可取的结果，测量次数n总要多于未 知参数的数目t，即所得误差方程式的数目总是要 多于未知数的数目。因而直接用一般解代数方程 的方法是无法求解这些未知参数的。
最小二乘法则可以将误差方程转化为有确定解 的代数方程组(其方程式数目正好等于未知数的个 数)，从而可求解出这些未知参数。这个有确定解 的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程(或 称为法方程)。
将ti，li，值代人上式，可得残余误差为
（二）不等精度测量数据的精度估计
不等精度测量数据的精度估计与等精度测量数据的精 度估计相似，只是公式中的残余误差平方和变为加权的 残余误差平方和，测量数据的单位权方差的无偏估计为
（5-44） 通常习惯写成
测量数据的单位权标准差为
（5-45）
（5-46）
二、最小二乘估计量的精度估计
1．线性参数的最小二乘法处理的基 本程序
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
求所需系数，得到方程： 29.139a+17.9b=29.7076 17.9a+11b=18.25
通过全选主元高斯消去求得：
a=0.912605
b=0.174034
所以线性拟合曲线函数为： y=0.912605x+0.174034
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
曲线拟合的最小二乘法
1.曲线拟合的意思
Y
.
.
.
.
y=ax+b y=ax2+bx+c
X
y=ax+b y=ax2+bx+c 就是未知函数的拟合曲线。
2最小二乘法原理
观测值与拟合曲线值误差的平方和为最小。
yi y0 y1 y2 y3 y4…… 观测值 y^i y^0 y^1 y^2 y^3 y^4…… 拟合曲线值
拟合曲线为： y=(-11x2-117x+56)/84
x
yHale Waihona Puke 1.61 1.641.63 1.66
1.6 1.63
1.67 1.7
1.64 1.67
1.63 1.66
1.61 1.64
1.66 1.69
1.59 1.62
最小二乘法与曲线拟合-PPT
量的矛盾方程组
0 + 1 1 + 2 12 + ⋯ + 1 = 1
其矩阵形式为
Ԧ =
0 + 1 2 + 2 22 + ⋯ +
其中
1
= 1
⋮
1
1
2
⋮
12
22
⋮
2
⋯
⋯
⋱
最小二乘法与曲线拟合
§5.0 问题的提出
如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很
好地” 逼近f(x)的话，运用插值函数有时就要失败。
另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身有
一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差的点，
势必使插值结果更加不准确。
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值
不为零，从而有rankA=m＋1。由引理2知，正则方程
组有唯一解。
证毕
四、最小二乘法拟合曲线的步骤
1..通过观察、分析得到拟合曲线的数学模型，或
根据经验公式确定数学模型。
2.将拟合曲线的数学模型转换为多项式。
3.写出矛盾方程组。
4.写出正则方程组。（可由多项式模型直接得到）
5.求解正则方程组，得到拟合曲线的待定系数。
多项式的次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似
表达式y=(x)，要求近似表达式能够反映数据的基本
趋势而又不一定过全部的点(xi,yi)，这就是曲线拟合
问题，函数的近似表达式y=(x)称为拟合曲线。本章
介绍用最小二乘法求拟合曲线。
§5.1 用最小二乘法求解矛盾方程组
《数值分析》第5章 曲线拟合与函数插值
例如用函数
y Aebx
(5.8)
去拟合一组给定的数据，其中 A和 b是待定参这数时. ，可以在 (5.8) 式两端取
对数，得
ln y ln A bx
记 y ln y，a ln A，则上式可写成 y a b. x这样，仍可用最小二乘法解出
和 a (从而b 也就确定了 和 A) ，于b 是得到拟合函数
区间 [a,b]上是存在的，但往往不知道其具体的解析表达式，只能通过观察、
测量或实验得到一些离散点上的函数值.
我们希望对这种理论上存在的函数用一个比较简单的表达式近似地给出整体 上的描述.
此外，有些函数虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂而不便于进行理论 分析和数值计算，我们同样希望构造一个既能反映函数特性又便于计算的简 单函数，近似替代原来的函数.
图5-1 人口增长的线性模型
5.1.1 最小二乘问题
设人口 y 与年份 x之间的函数关系为
y a bx
（5.1）
其中 a和 b 是待定参数. 由图5-1可知， (xi , yi并) 不是严格地落在一条直线上，
因此，不论怎样选择 和 a，都b不可能使所有的数据点
(x均i ,满yi )足关系
式 (5.1) .
s0 10, s1 545, s2 29785, u0 18.09, u1 987.78
于是正规方程组为
10 545 a 18.09 545 29785 b 987.78
5.1.2 最小二乘拟合多项式
解得 a 0.570，4 b 0.02，27于是 A ea 1.76，90所求拟合函数为
21 91
441
a1
163
91 441 2275 a2 777
解得 a0 26.8，a1 14.08，57 a2 ，2因此所求拟合多项式为
第五章曲线拟合PPT课件
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
曲线拟合的概念
在科学和工程试验中，经常产生一组数据 (x1,y1),…,(xN,yN),如果所有的数值 {xk}, {yk} 有多位有效数字精度，则能用多项式插值； 若数据的精度不高，或者有试验误差，则 只能使用多项式拟合。
问题：如何找到一个经过数据点附近（不总是穿过） 的最佳逼近表达式？
线性最小二乘法（续2）
矩阵形式：构造矩阵F
f1(x1)
f1(x2 )
F
f1(x3 )
f1(xN )
f2 (x1) f2 (x2 ) f2 (x3 )
f2 (xN )
fM (x1)
f
M
(
x2
)
f
M
(
x3
)
fM (xN )
f1(x1)
则
F'
f2(x1)
f1(x2) f2(x2)
f1(x3) f2(x3)
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
多项式拟合
使用函数集合{fj(x)=xj-1}, j=1,…, M+1作线性最小 二乘，则得到的拟合函数f(x)为M阶多项式 f(x)=c1+c2x+c3x2+…+cM+1xM
使用最小二乘多项式拟合非线性数据的方法简单有 效，但如果数据不具有多项式特性，则求出的曲线可 能产生大的振荡。这种现象称为多项式摆动，它在高 阶多项式情况下更容易发生。由于这个原因，一般很 少使用超过6阶的多项式，除非已知被拟合的曲线是 真实的多项式。
几何意义是：数据点到曲线的垂直距离平方和最小
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
最小二乘拟合直线
定理5.1 设{(xk, yk)}kN1有N个点，其中横坐标{xk}是
最小二乘法的原理及应用
最小二乘法的原理及应用
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和解决回归问题。
它的基本原理是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线或直线。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各种领域，如经济学、物理学、工程学等。
最小二乘法的原理
最小二乘法的核心思想是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线或直线。
误差平方和是指实际观测值与拟合值之间的差的平方和。
最小二乘法的目标是找到一条曲线或直线，使得误差平方和最小。
最小二乘法的应用
最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用： 1. 线性回归
线性回归是最小二乘法的一种应用。
它用于建立一个线性模型，以预测一个因变量与一个或多个自变量之间的关系。
最小二乘法可以用来确定最佳拟合直线，以最小化误差平方和。
2. 曲线拟合
最小二乘法可以用于拟合各种类型的曲线，如多项式曲线、指数曲
线、对数曲线等。
通过最小二乘法，可以找到最佳拟合曲线，以最小化误差平方和。
3. 数据分析
最小二乘法可以用于数据分析，以确定数据之间的关系。
例如，可以使用最小二乘法来确定两个变量之间的相关性，或者确定一个变量如何随时间变化。
4. 信号处理
最小二乘法可以用于信号处理，以估计信号的参数。
例如，可以使用最小二乘法来估计信号的频率、幅度和相位。
总结
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和解决回归问题。
它的基本原理是通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线或直线。
在实际应用中，最小二乘法被广泛应用于各种领域，如经济学、物理学、工程学等。
曲线拟合
可做变换
Y ln y ,
X
1 x
,
A ln a ,
B b
Y A BX 就是个线性问题
将( xi , yi ) 化为( X i ,Yi ) 后易解 A 和B
a eA , b B , P(x) a eb/x
二、 一般的最小二乘法
2
2
m
2 i
m
m
[S*(
xi
)
yi
]2
min
S ( x )
则 勒 让 德 多 项 式 为:
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[(x2
1)n ]
勒 让 德 多 项 式 有 以 下 几个 重 要 性 质 ：
性 质1： 正 交 性
1 1
Pn
(
x)Pm
(
x)d(
x)
0, 2
2n
1
,
m n; m n.
性 质2： 奇 偶 性 Pn ( x) (1)n Pn ( x) 性 质3： 递 推 关 系 (n 1)Pn1( x) (2n 1)xPn ( x) nPn1( x) 性 质4： 在 所 有 最 高 项 系 数 为1的n次 多 项 式 中 ， 勒 让 德 多项 式
条件.
可以证明,如果0(x), 1(x),… n(x)C[a,b]在{xi}0m上满
足哈尔(Haar)条件,则法方程(5.6)的系数矩阵G非奇异.
用最小二乘法得到的法方程组(3. 6)，其系数矩阵G是
病态的,但如果0(x), 1(x),… n(x)是关于点集 {xi}(i=0,
l, ..., m)带权(xi) (i=0,l,...,m) 正交的函数族，即
课堂练习
第5章曲线拟合
非线性最小二乘拟合 思想：非线性——线性化 例如 对拟合函数 y aeb / x 两边取对数
ln y ln a ln e
x 1/ x
b/ x
ln a b
x
y ln y, a ln a
y a bx
例
在某化学反应里,测得生成物浓度y%与时间t的 数据如下，试建立y关于t的经验公式
第五章 曲线拟合法
对于例5.1中可将这7个点在图中近似看在一条直线上，设 此直线方程为： （1.1）
r a bt
式中，a,b待定。 对于各个点（tj,rj）不一定正好落在直线上，其误差为： R j a bt j rj （j=1,2,……，7） 一般不全为零。我们希望选择 7a，b,使 7 Rj 的平方和尽可能 2 2 的小，即求a*,b*,使 R R(a, b) R j (a bt j rj )
0 (t) 1,
1 (t) t
a 0.011325
解正规方程组得 a 4.48072, b 1.0567
最小二乘解 y 0.011325e
2
1.0567
t
平方误差为
1 * 2 0.11631
第五章 曲线拟合
§ 5.2 超定方程的最小二乘解
设线性方程组
t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 y=4.00, 6.40, 8.00, 8.80, 9.22, 9.50, 9.70, 9.86, 10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60
解: 画出时间t与浓度y的散点图
（2）取得最小值问题：
7
最小二乘法
(1)正交性的有关性质
在线性代数欧氏空间理论中 , 将 R 3 中两个向量 x,y之间的夹角φ满足的关系式 xTy=‖x‖2‖y‖2cosφ 推广到Rn. T
x y 1 设x,y∈Rn, 由Cauchy不等式 1 || x ||2 || y ||2
从而得到Rn中两个向量之间的夹角为
x y arccos || x ||2 || y ||2
(i , f ) ( xk )i ( xk ) f ( xk )
k 0
m
则:
(i , f ) ci (i ,i )
拟合函数 f ( x) c00 ( x ) c11 ( x ) cnn ( x)
例1
设函数y=f(x)的离散数据如下表所示, 试用二次 多项式拟和上述数据,并求平方误差. i 0 xi 0 yi 1.000 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718
T
定理1
设x, y是Rn中的向量, x与y正交的充分必要条
件为xＴy=0.
证明 必要性. 当x与y正交，它们的夹角φ=π/2， 有xＴy=0. 充分性. 当xＴy=0, φ=π/2, 即x与y正交. 注：如果x与y正交, 记为x⊥y
定理2
设x, y∈Rn, 且x⊥y, 那 么： ‖x+y‖22＝‖x‖22＋‖y‖22．
假设x⊥R(A), 即αiＴx=0 (i=1,2,…,k). 从而AＴx=0 另一方面,如果AＴx=0, 那么有z∈Rk, 使Az=y∈R(A). 这时，yＴx=zＴAＴx=0,即x⊥y. 由z的任意性， 得Az是任意的， 因此x⊥R(A). 由这个定理， 容易得到： 推论1 设A是n×k阶矩阵， 那么R(A)有唯一的正交 补子空间N(AＴ).
利用最小二乘法求解拟合曲线
实验三 函数逼近一、 实验目标1. 掌握数据多项式拟合的最小二乘法。
2. 会求函数的插值三角多项式。
二、实验问题（2）求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的插值三角多项式。
三、 实验要求1. 利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。
2. 求函数()2cos f x x x =在区间[,]ππ-上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与()f x 的图形比较。
3. 对函数()2cos f x x x =，在区间[,]ππ-上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。
《数值分析》实验报告【实验课题】 利用最小二乘法求上述问题所给数据的2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线 【实验目标】（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解 （2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；【理论概述与算法描述】在函数的最佳平方逼近中()[,]f x C a b ∈ ,如果()f x 只在一组离散点集{,0,1,,}i x i m =⋅⋅⋅上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅的曲线拟合，这里(),0,1,,i i y f x i m ==⋅⋅⋅，要求一个函数*()y S x =与所给数据{(,),0,1,,}i i x y i m =⋅⋅⋅拟合，若记误差*()(0,1,,)i i i S x y i m δ=-=⋅⋅⋅,()01,,,Tm δδδδ=⋅⋅⋅,设01(),(),,()n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅是[,]C a b 上的线性无关函数族，在01{(),(),,()}n span x x x ϕϕϕϕ=⋅⋅⋅中找一个函数*()S x ，使误差平方和|2222*2()0|||[()][()]min mmmii i i i S x i i i S x y S x y ϕδδ∈=====-=-∑∑∑这里0011|()()()()()n n S x a x a x a x n m ϕϕϕ=++⋅⋅⋅+<这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘法线性详细说明
利用最小二乘法计算出b, a得出回归方程即两个变 量之间的关系式。
计算 s ，并利用肖维涅准则判断有无粗差。
如果有粗差，剔除后重复①，②，③步骤计算。
如无粗差，计算b , a ，给出最后的回归方程。
26
〔例题〕
用伏安法测电阻，测量数据如表。问能否拟 合成线性关系曲线？若可以，试判断有无粗
只有相关系数 R≥ R时0 ，才能用线性回归方程
y=a+bx来描述数据的的分布规律。否则毫无 意义。
24
回归方程的精密度
根据统计理论还可以求出a和b的标准偏差分别 为：
b s
sx x
a b
xi2 n
xi2
s
nsxx
25
回归分析法的运算步骤
首先计算R，判断是否能拟合成线性曲线。 R≥ R0
b2 s11 s2 y s12 s1y
s s s 11 22
2 12
a y b1x1 b2 x 2
32
公式中：
s11
x2 1i
(
x1i)2 n
s22
x2 2i
(
x2i)2 n
s12
b=0,a= y , 从而得到y= y 的错误结论。这说明数据点
的分布不是线性,不能拟合为线性关系曲线。
最小二乘法
最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是一种统计学上常用的参数估计方法，通过最小化观测数据与理论模型之间的误差的平方和，来估计模型的参数。
在统计学和数学中，最小二乘法被广泛应用于曲线拟合、回归分析、数据处理以及信号处理等领域。
最小二乘法的基本思想是，通过找到可以使得各观测数据与理论模型预测的数据之间的差异最小的参数估计值，从而得到最佳的拟合结果。
它是一种数学上比较成熟且有效的方法，可以用来解决具有一定误差的线性和非线性函数拟合问题。
在应用最小二乘法时，首先需要建立数学模型来描述观测数据与自变量之间的关系。
这个数学模型可以是线性的，也可以是非线性的，根据实际问题的特点来确定。
然后，根据观测数据和数学模型，利用最小二乘法的原理来求解模型的参数估计值。
最小二乘法的基本步骤如下：1. 建立数学模型：通过分析问题的背景和要求，确定观测数据与自变量之间的关系，并建立数学模型。
2. 确定误差函数：定义误差函数，它是观测数据与数学模型之间的差异度量。
3. 最小化误差函数：通过最小化误差函数，即求解误差函数的导数为0的参数估计值，来得到最佳的模型拟合结果。
4. 评估拟合结果：通过各种统计指标和图示分析来评估最小二乘拟合的效果，并对结果进行解释和验证。
最小二乘法的优点在于它是一种数学上比较简单和直观的方法，并且在实际应用中得到了广泛的应用。
它能够充分考虑观测数据的误差，通过最小化误差的平方和来估计模型的参数，从而得到较为可靠的拟合结果。
最小二乘法的应用非常广泛，涵盖了许多学科领域，如物理学、经济学、工程学、生物学和地球科学等。
在曲线拟合中，最小二乘法可以用来拟合直线、曲线和曲面等；在回归分析中，最小二乘法可以用来建立回归模型，并进行参数估计和显著性检验；在数据处理中，最小二乘法可以用来进行信号滤波和数据平滑等。
总之，最小二乘法是一种重要的数学和统计方法，在许多实际问题中起着重要的作用。
它不仅可以用来拟合曲线和回归分析，还可以应用于信号处理、数据处理和参数估计等领域。
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计 算
作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢
？一般希望各
方 法
实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这
与 实
就是最小二乘原理。
习
》 两种逼近概念:
插值: 在节点处函数值相同.
拟合: 在数据点处误差平方和最小
第五章 曲线拟合与最小二乘法
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节处函数值
相同,即 P(xi ) f (xi ) (i 0,1,, n)而曲线拟合函数(x)不
i0
n
i0
(xi )
f (xi)
2 2
》即
n
n
2
e 2 2
2 i
(xi ) f (xi )
i0
i0
为最小。这种要求误差（偏差）平方和最小的拟合
称为曲线拟合的最小二乘法。
（1）直线拟合
第五章 曲线拟合与最小二乘法
设已知数据点 xi , yi , i 1,2,, m,分布大致为一条直线
与 实
，如果要求所得的近似函数曲线精确无误地通过所有的
习 》
点(xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差。当个别数据
的误差较大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验
或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得
到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
换句话说:求一条曲线,使数据第点五章均曲在线离拟合此与曲最小线二的乘上法
根据最小二乘原理，应取 a0 和 a1 使 F(a0 , a1)
，故 a0 和 a1 应满足下列条件：
有极小值
F (a0 , a1 )
F
a0 (a0 ,
a1
)
a1
m
2 (a0
i 1
m
2 (a0
i 1
a1 xi a1 xi
yi ) 0 yi )xi
0
第五章 曲线拟合与最小二乘法
即得如下正规方程组
范数 e 最小,如 e的1-范数 e 或∞-范数 1
e
即
第五章 曲线拟合与最小二乘法
n
n
e 1
i
(xi ) f (xi )
i0
i0
或
e
max i
i
max i
(
xi
)
f (xi)
《 最小。为了便于计算、分析与应用，通常要求 e的
计
算 2-范数
方
1
1
法 与 实 习
e
2
n
2 i
2
i 1
j 0
由于Q可以看作是关于 ( j=0,1,2,…, m)的多
《
计 算
a0 a1
m
m
m a1 xi yi
i 1
i 1
m
m
m
xi2 a0 xi
i 1
i 1
i 1
xi
yi
例5. 1 设有某实验数据如下：
方 法
i
1
2
与 实 习 》
xi
1.36
1.37
yi
14.094 16.844
(5.1)
3 1.95 18.475
4 2.28 20.963
用最小二乘法求以上数据的拟合函数
将以上数据代入上式正规方程组,得
4a0 7.32a1 70.376 7.32a0 13.8434a1 132.12985
（2）多项式拟合
第五章 曲线拟合与最小二乘法
有时所给数据点的分布并不一定近似地呈一条直
线,这时仍用直线拟合显然是不合适的,可用多项式
拟合。对于给定的一组数据 xi , yi , i 1,2,, N
解:把表中所给数据画在坐标纸上,将会看到数据点
的分布可以用一条直线来近似地描述,设所求的 。
第五章 曲线拟合与最小二乘法
拟解合得直线为ay0(x) 3a.90 37a41x,记x1=a11.367, .x426=216.37, x3 =1.95
x4即=得2.2拟8,合y1直=线14.094y, y2=3.9163.78444, y73.=41682.467x5,
第五章 曲线拟合与最小二乘法
第五章 曲线拟合与最小二乘法
如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处
的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近
似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种
《
计 算
情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值
方 法
是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差
y4=20.963
《计算则正规方程组为4a04
a1
4 i 1
xi
4
4 i 1
yi
4
方 法 与
a0 i1 xi a1 i1 xi2 i1 xi yi
实
习
其中
4
xi 7.32
4
xi2 13.8434
4
yi 70.376
4
xi yi 132 .12985
》
i 1
i 1
i1
i 1
《
计 寻求次数不超过m (m<<N ) 的多项式，
算 方 法
y a0 a1x a2 x 2 an x m
与
实 习
来拟合所给定的数据，与线性拟合类似，使偏差的
》 平方和
为最小
NmLeabharlann Q ( yi a j xij )2
i 1
j0
第五章 曲线拟合与最小二乘法
N
m
Q ( yi a j xij ) 2
。作拟合直线 y(x) a0 a1x ,该直线不是通过所有的
数据点 xi , yi ,而是使偏差平方和
《
m
计
算 方
F (a0 , a1 ) (a0 a1xi yi )2
为最小，其中每组数i据1 与拟合曲线的偏差为
法
与 实 习 》
y(xi ) yi a0 a1xi yi i 1,2,, m
计
算 方
到最小,这就是最小二乘法。
法 与
y
•
实
••
习
••
》 图5-1
•
• •
曲线拟合示意图
••
•
•
•
•
••
o
x
第五章 曲线拟合与最小二乘法
与函数插值问题不同,曲线拟合不要求曲线通过
所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的
基本关系。在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。
《
在对给出的实验(或观测)数据 (xi , yi )(i 0,1,, n)
要求严格地通过所有数据点 (xi,也yi )就是说拟合函数(x)在
《 xi 处的偏差(亦称残差）
计 算
i (xi ) f (xi ) (i 0,1,, n)
方
法 不都严格地等于零。但是,为了使近似曲线能尽量反
与
实 习
映所给数据点的变化趋势,要求
i
按某种度量标准
》 最小。若记向量e 0 ,1,,n T ,即要求向量e 的某种
为方此或,我下们方不希远望处从,所给求定的的曲数线据称为(xi拟,yi)合出曲发线,构,它造既一能个
近反似映函数数据的(总x),体不分要布求,又函不数至于(x出) 完现全局通部较过大所的有波的
数动据,更点能，反只映要被求逼近所函得数的的近特似性曲,使线求能得反的逼映近数函据数的
《 基与本已趋知势函，数如从总图体5-上1所来示说。其偏差按某种方法度量达