2013年高考数学必做客观题——立体几何

2013年高考数学必做客观题——立体几何作者：余飞宏
来源：《数学金刊·高考版》2013年第08期
空间几何体的直观图与三视图
（★★★★）必做1 图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是________.
[4][6][2][2][俯视图] [2][正视图][侧视图]
图1
[牛刀小试] [牛刀小试]
精妙解法由三视图可以构造出空间图形（直观图）如图2所示. 在计算体积时，把左侧面看成底面，长为6的底棱看成高，这样就易得该几何体的体积为36.
极速突击此类试题的突破点在于观察三视图，还原几何体. 如果几何体为锥体，那么只需将锥体的顶点从俯视图中拉起还原就行；如果几何体不是锥体，那么通常先找一个基本几何体，然后将它削出来，我们通常称之为“寄居法”，这个基本几何体就是我们所研究几何体“寄居”的壳.
误点警示注意对得到的直观图，要“压扁”还原检验，看看其三视图是否符合要求.
（★★★）必做2 若某多面体的三视图（单位： cm）如图3所示，则此多面体外接球的表面积是（）
A. 18π cm2
B. 24π cm2
C. 27π cm2
D. 36π cm2
[牛刀小试] [牛刀小试]
精妙解法先还原出该几何体的直观图形. 该题所表达的几何体是一个棱长为3的正方体截去一个正三棱锥剩下的部分（如图4所示），所以这个几何体的外接球与（母体）正方体的外接球是一致的. 正方体的体对角线就是球的一直径. 答案选C.
极速突击在正方体ABCD-A1B1C1D1中（如图5），各棱长为a，一个考生应该具备下面几个知识点：
（1）正方体中有两个重要关系的截面，如截面A1C1B与截面AD1C，两个都是正三角形，且相互平行，都垂直于体对角线B1D，并且三等分B1D.
（2）正方体的体对角线长相等且交于一点，互相平分，交点为O，它到正方体八个顶点的距离相等，所以正方体的外接球（过正方体的八个顶点的球）的球心就是O，直径等于正方体的体对角线的长.
（3）正方体中如A1，C1，B，D四点构成一个正四面体，因此任何一个确定的正方体对应于一种大小确定的正四面体；反过来，任何一个正四面体，只能扩张为一个确定的正方体. 从而在解决正四面体的许多数量关系时可以考虑外延到正方体中进行思考（这种方法容易记忆），如正四面体的高就等于正方体的体对角线长的，正四面体相对棱之间的距离等于正方体的棱长，正四面体的外接球就是正方体的外接球等.
（4）正方体可以分解为所需要的若干几何体，反过来，许多几何体也可以扩展回归到正方体中进行考虑（包括正方体的棱长、对角线以及各种截面等问题）.
以上知识绝大多数都可以推广到长方体中去.
三视图的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方正投影得到的，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 基本原则是“长对正、高平齐、宽相等”.
空间几何体的表面积与体积
（★★★★）必做3 如图6，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A1-BCD，使平面A1BD⊥平面BCD，若四面体A1-BCD的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）
A. π
B. 3π
C. π
D. 2π
[D][A][B][C][A1][B][C][D]
图6
[牛刀小试] [牛刀小试]
精妙解法由四面体A1-BCD可以延伸为一个棱长为1的正方体（如图7），其中△A1BD 为正方体一个底面的一部分（刚好是底面正方形的一半），CD为正方体的侧棱. 故选A.
极速突击高考试题中，解决多面体的外接球问题，大多要依据正方体、长方体以及正四面体等特殊几何体与它们的外接球的关系，但这些关系最后都要归结到正方体与其外接球的关系上去.
（★★★★）必做4 如图8所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4π，则正四面体的体积是_____.
[牛刀小试] [牛刀小试]
精妙解法法1：由已知πR3=4π，所以R=.
设AE为球的直径. 故AD⊥DE，AE⊥O1D.
设AD=a，所以O1D=·a=a，所以AO1=a，
O1E=2R-AO1=2-a.
由射影定理知，O1D2=AO1·O1E，解得a=2. 故V=·a2·AO1=.
法2：正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为球的直径.
由πR3=4π，所以R=，所以正方体棱长为2，
所以AB=2，S△BCD=×2×2sin60°=2.
点A到平面BCD的距离h=×2R=，
所以VA-BCD=S△BCD×h=.
极速突击方法1设法寻求正四面体的棱长与球的半径之间的关系；方法2将正四面体ABCD置于正方体中.
空间的平行关系
（★★★★）必做5 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是（）
A. ①②
B. ②③
C. ①④
D. ③④
[牛刀小试] [牛刀小试]
精妙解法①平行关系的传递性. ②举反例：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥AD，
AB⊥AA1，但AD不平行AA1. ③a与b可能相交. ④垂直于同一平面的两直线互相平行. 故①④正确，选C.
极速突击本题的入手点是借助实体模型进行排除验证，同时也要求我们必须熟练记住关于平行的一些常见结论.
（★★★）必做6 如图10，在三棱柱ABC-A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心. 从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）
[B][A][C][G][H][E][F][K][B′][C′][A′]
图10
A. K
B. H
C. G
D. B′
[牛刀小试] [牛刀小试]
精妙解法假如平面PEF与侧棱BB′平行，则和三条侧棱都平行，不满足题意，而
FK∥BB′，排除A；假如P为B′点，则平面PEF即平面A′B′C，此平面只与一条侧棱AB平行，排除D. 若P为H点，则HF为△BA′C′的中位线，所以HF∥A′C′；EF为△ABC′的中位线，所以EF∥AB；HE为△AB′C′的中位线，所以HE∥B′C′，显然不合题意，排除B，故选C.
极速突击本题主要考查“线面平行”的判定，“线面平行”可由“线线平行”或“面面平行”进行转化. 一般地，我们习惯选择降维处理，即选择用“线线平行”来推出“线面平行”，所以思维的落脚点应该在寻找“线线平行”. 所以在此题中，也可这样考虑，因为EF是△ABC′的中位线，所以EF∥AB∥A′B′，故点P只要使得平面PEF与其他各棱均不平行即可，故选G点.
空间的垂直关系
（★★★★）必做7 如图11，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BAC=90°，
AB=AC=AA1=1，已知G与E分别为线段A1B1和CC1的中点，点D和F分别是线段AC和AB上的动点（不包括端点），若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为（）
[D][A][B][C][E][F][G][A1][B1][C1]
图11
A.
，1
B.
，2
C. [1，）
D.
，
[牛刀小试]
精妙解法由题所揭示的几何体，可以按图所示，以A为原点，AB为x轴、AC为y轴，建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），C（0，1，0），G
，0，1，E0，1
，，D（0，y，0），F（x，0，0）. 所以=x，-1，
-，=-
，y，-1，由GD⊥EF得x+2y=1. 结合x∈（0，1），y∈（0，1），得y∈0
，；又
DF
===∈
，1
. 故选A.
[A][B][C][E][F（x，0，0）][G][A1][B1][C1][z][x][y][D（0，y，0）]
图12
极速突击本题应从垂直、平行关系入手，寻找垂直、平行成立的充分条件. 另外，本题有三个明显特征，启发我们使用空间直角坐标系解题：①有运动的背景；②有长度的取值范围（即函数的值域意义）；③有“空间直三面角”条件.
误点警示该题中，容易忽略求变量y的取值范围，导致所求的取值范围偏大.
（★★★）必做8 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面α与体对角线BD垂直，则正方体在平面α上的射影面积为__________.
精妙解法如图13，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，体对角线BD1与截面正三角形
AB1C、正三角形A1C1D垂直，即这两个三角形所在的平面与平面α是平行的，两个三角形的六个顶点到直线BD1的距离都等于··AB1=，这六个点的分布是均匀的，所以，正方体ABCD-A1B1C1D1在平面α上的射影为正六边形，边长就是前面求得的距离（即正六边形外接圆的半径），所以正方体ABCD-A1B1C1D1在平面α上的射影的面积为6··
=.
极速突击能正确作出相应图形是解题的关键，因此要注意结合图形解题的方法.
空间的角
（★★★★）必做9 在正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的二面角为β，侧棱SB与底面的正方形ABCD的对角线AC所成角为γ，相邻两侧面所成二面角为θ，则α，β，γ，θ之间的大小关系是
（）
A. α
C. α
[S][A][E][D][C][O][B][F]
图14
[牛刀小试]
精妙解法作底面的垂线SO，交底面于点O，则O为AC和BD的交点，BO是侧棱SB在底面ABCD上的射影，而BO垂直AC，因此，γ=；过O作OE⊥AD交AD于点E，连结SE，则sinα=，sinβ=，且SA>SE，故α. 故有α
极速突击本题采用“几何法”求解，其步骤一般为“找角→找角所在的三角形→求三角形各边的长→利用余弦定理（三角函数）求解”.
误点警示做这类试题要杜绝凭感觉胡乱选择，注意异面直线所成角的取值范围为
0，
，所以其余弦值为正值.
（★★★★）必做10 已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连结DM，则DM与平面PAC所成角的大小是__________.
[P][C][A][B][D][M]
图15
[牛刀小试]
精妙解法：法1：取AC中点O，连结DO，PO，MO，则DO⊥平面PAC，所以∠DMO是DM与平面PAC所成角.
因为PB与底面所成角为60°，所以∠PBO=60°，记AB=a，则BO=a，所以
cos∠PBO===，所以PB=a. 在△PAC中，MO=PC=a，所以tan∠DMO==1，所以DM与平面PAC所成角为45°.
法2：如图16建立空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为n=（1，0，0），D
-a，0，0
，M
0，-a，a
，=
a，-a，a
，
所以sinφ=cosθ==，
所以DM与平面PAC所成角为45°.
极速突击本题采用两种方法求解，方法1为“几何法”，可按照“一找、二证、三算”的步骤进行；方法2为“向量法”，先建立空间直角坐标系，再求解“斜线与平面法向量所成角的余弦值”，最后由“斜线与平面法向量所成角的余弦值的绝对值”等于“斜线与平面所成角的正弦值”得出答案.
误点警示本题易错在采用向量法计算时，没有正确理解“斜线与平面法向量所成的角”和“斜线与平面所成的角”的关系，误以为它们是相等的，实则不然.
找异面直线所成的角，一般可以采用平移的方法，把其中一条异面直线平移至与另一条异面直线相交，然后在某个三角形中解他们的夹角；当然，也可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法进行求解.
利用平面法向量求直线与平面的夹角时，应注意直线与平面的夹角θ和两向量夹角（锐角）是互为余角的关系，即sinθ=cosα；利用平面法向量求二面角的平面角时，应注意法向量的方向，或直接从图形中观察出其是钝（或锐）二面角，再利用向量夹角与平面角的互补关系而得.
空间的距离
（★★★）必做11 若正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，E，F分别为PC，PD的中点，则异面直线AC与EF的距离为（）
A. B.
C. D.
[牛刀小试]
精妙解法法1：因为EF∥CD，则异面直线AC与EF的距离即为E到平面ABCD的距离，因为E为PC中点，所以E到平面ABCD的距离为P到平面ABCD的距离的一半，所以d=. 故选B.
法2：以正方形ABCD的中心为原点，与边BC，CD垂直的直线分别为x轴、y轴，OP 为z轴建立空间直角坐标系，则由条件知：C（1，1，0），D（-1，1，0），P（0，0，3），所以E
，，
，F
-，，
，
所以=（1，1，0），=（-1，0，0）. 设n=（x，y，z），
则n·=0，n·=0，
所以x+y=0，-x=0，
所以x=y=0，
取n=（0，0，1），又=
-，-，
，所以d==，故选B.
极速突击求异面直线间的距离时，可以作出两异面直线的公垂线段，然后再求其长度；也可以采用上述的向量方法；有时也可以转化为直线与平面的距离，或者点到平面的距离再求解. 运用向量法求解点A到平面α的距离时，可以采用如下的方法：建立适当的空间直角坐标系→确定点A的坐标→在平面α内取一点B→求出向量→求出平面α的一个法向量n→求出点A到平面α的距离. 运用几何法求点A到平面α的距离时，可以先作平行线或平行平面，将A 点到平面α的距离转移到点B到平面α的距离，或者利用中位线及线段长度的比例关系，将A 点到平面α的距离转移到其他点到平面α的距离，再利用等积变换或直接法求之.
点A（x，y）到平面α距离： d= （P为平面α上任一点，n为平面α的法向量），而线面距离、面面距离都可以转化成点面距离，当题目中的距离难以找出来时，应采用空间向量进行求解，避免耗时过多.a。