电磁场理论期末复习总结

标量场的梯度，或 者说，任何梯度场一定是无旋场。
常用电场分布
1. 线类 1）无限长细线 2）无限长圆柱体（取轴线为参考点）
2 . 平面类 1）圆线：（轴线上一点）
2）圆环：（轴线上一点）
3）圆盘：（轴线上一点）
3）无限长圆柱面（取面为参考点）
4）无限大平面：（离开平面一点） 3. 球类 3）球壳
1）球面
D )dS t

BdS 0
B1n B2n
e n ( B 2 B1 ) 0
H 2t H1t J S
e n ( H 2 H1 ) J S
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麦克斯韦方程的复矢量形式
瞬时形式( r , t )
复数形式( r )
麦克斯韦方程的复矢量形式
对电荷守恒定律和媒质的本构关系，也可用复数 形式表示
电流强度
电容器漏电导 若d1=d2=d/2则
I JS
U
σ 1 2 US d1 σ2 d 2σ1 I 1 2 G S2 U d1 d 2 1 G S d 22 2 11
σ 1 2 U d1 σ2 d 2σ1
计算平板电容器在静电场中的电容：
C来自百度文库
1 2 2q q q q U E1d1 E2 d 2 D d D d (1 2 ) Dd 1 2 2 2
D H J t
H J j D
B E t
E j B
B 0
D
B 0
D
J j Dm Em
Bm H m
J m Em
J , E , , , I
5
电流密度 J −电通密度 D 电流线 −电场线
7
已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其介电
常 数分别为 1 和 2 ，电导率分别为 1 和 2 ，厚度分别为 d1
和 d2 。 电流密度
1, 1 2, 2
d1
d2
J 1 E 1 2 E2
e m l E dl l (v B ) dl

S
BdS 0

对于各向同性的线性媒质，由上式求 得
1H1n 2 H 2n
B dS (v B ) dl e et em S l t B E (v B ) t 11
求得常电流系统中的广义力F为
F
I 常数
第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变， 这种情况称为常磁通系统。
0 dWm Fdl
由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过 程中不会产生新的电动势，因而外源 作的功为零。即 求得常磁通系统中广义力为
Wm F l
常数
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麦克斯韦方程
无散场和无旋场
散度处处为零的矢量场称为无散场(或管型场)，旋度处 处为零的矢量场称为无旋场（或保守场） 两个重要公式：
( A) 0
( ) 0
左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此，任一无散场可以表示为另一矢量场
的旋度，或者说， 任何旋度场一定是无散场。 右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。 因此，任一无旋场一定可以表示为一个 1
10
第一，若电流I 1和I 2不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为
dW m
1 1 I 1d 1 I 2 d 2 22
两个回路中外源作的功分别为 两个回路中的外源作的总功 2dWm
dW1 I1d1
Wm l
dW2 I 2d2
dW 为
dW dW1 dW2 即 2d Wm dWm Fdl
D
磁通连续性原理
高斯定律
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S
DdS q
面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量 位分别如下：
r r S r, t v 1 (r , t ) 4 S r r dS r r J S r, t v A(r , t ) 4 S r r dS
向分量是连续的，即
H1t H 2t
df dq(v B )
E df
B1t B2t vB dq 1 2 （磁感应强度的大小发生变化） （3）B 变化，S也 变 (2) 磁感应强度的法向分量是连续的，
即
B1n B2n
对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为
存在比拟关系：
1 2 2q 1 2 2 S 1 2 2 S (1 2 ) d (1 2 ) d 1 2 d
C G

6
8
9
恒定磁场的边界条件
感应电动势
（1）导电回路固定不动，B 随时间变化 恒定磁场边界条件的推导与静电场的情况完全类 B 似。结果如下：(1) 当边界上不存在表面（传导 dS e B dS S ）电流时 t S t （即 H d l I 0 ），磁场强度的切 （2）B 恒定不变，导电回路的全部或一部分有相对运动 l
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梯度，散度，旋度的区别
③ 梯度描述标量场的最大变化率，即在标量场中各点的最 大方向导数；散度描述矢量场中各点的场
量和通量源的 关系；而旋度则描述矢量场中各点的场量与漩涡源的关 系。 ④ 在散度计算式中，矢量场的场分量分别只对x，y，z求 偏导数，故矢量场的散度描述的是场分量沿 各自方向上 的变化规律；而在旋度计算中，矢量场的场分量分别对 其垂直方向的坐标变量求偏导 数，故矢量场的旋度描述 的是场分量在其垂直方向的变化规律。
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时变电磁场的边界条件
电场的边界条件

l
B E dl dS S t

S
D dS q
D2n D1n S
e n ( D 2 D1 ) S
磁场的边界条件
E1t E2t
en ( E 2 E1 ) 0

l
H dl
S

S
(J
er
A 1 r 2 sin r Ar A
re
rA
e r sin
r sin A
2
1 1 1 2 A 2 r Ar r sin A sin r sin r r
恒定电场的边界条件 已知恒定电场方程的积分形式（环量和通量）分别为 J J dS 0 dl 0 S l 导出边界两侧电流密度的切向和法向分量关系分别为 J J1t J 2t dl 0 E1t E2t l 1 2
re
rA
ez
z Az
球坐标系
dS er r sin d d e r sin dr d e rdr d
dV r 2 sin dr d d
1 1 e e e r r r sin r
1 1 A Az rA r r r r z
圆柱坐标系dS e d dz e d dz ez d d
dV d d dz
dl er dr e rd e r sin d
er
A 1 r r Ar
r r l r , t v 1 dl (r , t ) l 4 r r
r r I r ,t v dl A(r , t ) l 4 r r
能量密度与能流密度矢量
电场能量密度 损耗功率密度
4
恒定电场与静电场的比拟
静电场(无源区) 基本方程： D 0 E 0 物性方程：
D E
( 0)
导出方程： 边界条件：
对应关系：
2 0 D1n D2n，E1t E2t
D, E , , , q
恒定电场(电源外) J 0 E 0 J E 2 0 J 1n J 2n，E1t E2t

S
J dS 0
J1n J 2n
1 E1n 2
E2n
J1t J 2t 1 2
J1n J 2n
J1n 1 J 2 n 2 J1t J 2t
分界面上的自由电荷面密度为 J 1 J s e n ( 1 E1 2 E 2 ) e n ( 1 2 2 ) Jn ( 1 2 ) 1 2 1 2
1 we (r , t ) E 2 (r , t ) 2 pl (r , t ) E 2 (r , t )
磁场能量密度
1 wm (r , t ) H 2 (r , t ) 2
因此，时变电磁场的能量密度为
w (r , t )
1
E 2 (r , t ) H 2 (r , t ) 2
2）球体 3
直角坐标系
dl e x dx e y dy e z dz dS e x dy dz e y dxdz e z dxdy dV dx dy dz
er A
1 e ez r z r
dl e d e d ez dz
静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变 电磁场仍然成立。
积分形式 微分形式

l
D H dl ( J )dS S t E d l B dS S t
H J E
D t
全电流定律
电磁感应定律

l


B t
S
BdS 0
B 0