排列组合典型例题ppt课件
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排列组合ppt课件
在工程领域，排列组合用于优化设计 、规划、调度等问题，如计算机科学 、信息论、控制论等。
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
02
排列组合基础
排列数公式与组合数公式
排列数公式
从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，用符号A(n,m)表示，公式 为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n×(n-1)×...×3×2×1。
给定一个无向图，用k种颜色对图 中的边进行染色，使得每条边的 颜色都不相同，求所有可能的染 色方案。
染色问题的解法
使用递归和回溯法，从全不染色的 情况开始，逐渐增加染色的边数， 直到全部染色。
染色问题的应用
在解决一些组合优化问题时，染色 问题可以用来计算不同方案的数量 。
平均分组
平均分组的定义
将n个元素平均分成m组，每组k 个元素，求所有可能的分组方案
反序：若在排列a中有i<j，且 a(i)=a( j)，则称a中i和j为反序
。
奇偶性：若n个元素全排列的 排法数为偶数，则称n个元素 全排列为偶排列，否则称为奇
排列。
组合的定义与性质
组合的定义：从n个不同元素中取出m个 元素的所有组合的个数，记作C(n,m)。
结合律：C(n,k)C(n-k,m)=C(n,m)C(nm,k)。
03
排列组合进阶
错位重排
错位重排的定义
在n个元素中，如果有m个元素互不相邻，则称这 个排列为错位重排。
错位重排的公式
$n!(1-1/2!+1/3!-...+(-1)^n/n!)$
错位重排的应用
在解决一些排列组合问题时，错位重排公式可以 用来计算某些元素不在一起排列的总数。
染色问题
染色问题的定义
等待时间
大学排列组合ppt课件
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过综合实例，理解排列与组合在实际 问题中的应用。
VS
详细描述
通过一个复杂的问题，如安排一场活动或 者组织一次旅行，综合运用排列和组合的 知识来解决实际问题，并强调排列与组合 在解决实际问题中的重要性和关联性。
05
排列组合的解题技巧
解题思路分析
明确问题要求
01
首先需要清楚题目是关于排列还是组合的问题，排列需要考虑
04
排列组合的实例解析
排列实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解排列的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如学生选课、物品的排列等，解释排列的概念，并介绍排列的计算公式，以及如何应用 这些公式解决实际问题。
组合实例解析
总结词
通过具体实例，深入理解组合的概念和计算方法。
详细描述
通过实际生活中的例子，如彩票中奖概率、选举代表等，解释组合的概念，并介绍组合的计算公式， 以及如何应用这些公式解决实际问题。
少？
答案解析
答案1
从5个人中选3个人参加会议共有 $C_{5}^{3} = 10$种不同的选法。
答案3
大于2000的三位数，首位数字可以为 2，3或4，共有$A_{3}^{1} times A_{4}^{2} = 36$种。
答案2
将4把椅子排好，共有$A_{5}^{3} = 60$种坐法。
答案4
不同的分法种数为$A_{5}^{4} = 120$种。
常见错误解析与避免方法
混淆排列与组合
遗漏情况
排列和组合是不同的概念，需要明确 题目要求，正确使用公式。
在解题过程中，需要注意不要遗漏某 些情况，例如在排列时需要考虑元素 的顺序，在组合时需要考虑元素的取 法。
排列组合问题17种方法ppt课件
C
6 9
一
二
三
四
五
六
七
班
班
班
班
班
班
班
30
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
C m 1 n 1
31
练习题
1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一 有多少装法？
C4 9
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解 的组数
A
5 5
A A A
2 4
1 4
5 5
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
前排
后排
20
练习题
有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并 且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______
346
21
重排问题求幂策略
把6名实习生分配到7个车间实习,共有 多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配 到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
7 6 数原理共有 种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究 对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排 各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限 制地安排在m个位置上的排列数为 种
一个盒子装1个 （6）每个盒子至少1个
25
练习题 一个班有6名战士,其中正副班长各1人 现从中选4人完成四种不同的任务,每人 完成一种任务,且正副班长有且只有1人 参加,则不同的选法有________ 种 192
排列组合的ppt课件免费
题目2：从7个不同元素 中取出4个元素的组合数 ，其中某特定元素可以 不被取出。
答案1：$A_{7}^{4} A_{6}^{3} = 7 times 6 times 5 times 4 - 6 times 5 times 4 = 336$
答案2：$C_{7}^{4} C_{6}^{3} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} - frac{6 times 5 times 4}{3 times 2 times 1} = 28$
排列组合问题的变种与拓展
排列组合问题的变种
如“带限制的不同元素的排列组合” 、“重复元素的排列组合”等，需要 进一步拓展学生的思路。
拓展方法
通过变种问题的解析，引导学生深入 思考排列组合问题，并掌握其变化规 律，为解决更复杂的问题打下基础。
04
CATALOGUE
排列组合的数学原理
排列组合的数学原理简介
数学教育的核心
排列组合是数学教育中的 重要内容，对于培养学生 的数学素养和解决问题的 能力具有重要意义。
解决排列组合问题的方法与技能
乘法原理
加法原理
乘法原理是解决排列组合问题的基础，通 过将各个独立事件的产生概率相乘，可以 计算出复合事件的产生概率。
加法原理用于计算具有互斥性的事件的概 率，通过将各个互斥事件的产生概率相加 ，可以得到总的产生概率。
解析方法
通过实例演示和讲授，帮助学生理解排列组合的基本概念和计算方法，同时引导 学生思考如何解决实际问题。
实际问题的排列组合解决方案
实际问题的排列组合
如“安排会议”、“排定演出节目单”、“安排生产计划” 等，需要结合具体情境进行分析。
排列组合典型例题ppt课件
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
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7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
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4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
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7
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法．
【答案】 B
21
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4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合
方法有( )种．
A．C25C26
B．C52A26
C．C52A22C26A22
D．A52A26
【解析】 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C25种方法；第 2 步，
【答案】 C
20
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3．(2015·青岛高二检测)将标号为 1,2，…，10 的 10 个球放入标号为 1,2，…，
10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不
一致的放入方法种数为( )
A．120
B．240
C．360
D．720
【解析】 先选出 3 个球有 C310＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2
(2)分两类：第 1 类，6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中；第 2 类，6 个小球分 2,2,1,1 放入盒中，共有 C36·C14·A33＋C26·C42·A24＝1 500(种)不同放法．
高二数学排列组合概率PPT课件
轮船2
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问题2 某人从甲地出发，经过乙地到达丙地，从甲 地到乙地有3条路可走，从乙地到丙地有2条路可走。那 么，从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
B
a
甲
乙
A
丙
C
b
显然，从甲地经过乙地到丙地的不同走法，正好是完成两个 步骤的方法种数的乘积，即3×2=6（种）
第2页/共64页
由问题1可得 分类计数原理： 若完成一件事有n类办法，在第一类办法中有k1种
N=3×2=6
第6页/共64页
单击鼠标继续
1．在读书活动中，指定不同的政治书3本、文艺书5本、 科技书7本，某同学任意选读其中1本，共有多少种不同 的选法？
2．某班有男三好学生5人，女三好学生4人，从中任选1 人去领奖，共有多少种不同的选法？从中任选男女三好 学生各1人去参加座谈会，共有多少种不同的选法？
第8页/共64页
扩展：快速调整魔方
问题1 北京、上海、广州3个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的飞机票？
这个问题，就是从3个民航站中，每次取出2个，按 照起点在前、终点在后的顺序排列，求一共有多少种不 同排法的问题。
起点站 北京 上海 广州
终点站
上海 广州
北京 广州
北京 上海
飞机票
北京→上海 北京→广州
N k1 k2 ... kn 种不同的方法。
第3页/共64页
例题解析
例1 书架上层放有5本不同的语文书，中层放有6本不 同的数学书，下层放有4本不同的外语书。求：
（1）从中任取1本，有多少种不同取法？ （2）从中任取语文、数学和外语书各1本，有多少种 不同的取法？
解 （1）从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法是从上层取
种排列组合方法PPT课件.ppt
同的盒内有_A__44种方法.
C 根据分步计数原理装球的方法共有__52_A__44 种方法.
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法.
C C C C C C C ____32__32_+___15__13 __42 _+____52 __52 _种.
三.排列组合混合问题先选后排策略
例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 至少装一个球,共有多少不同的装法?
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C__52 种
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有
A
5 5
A
2 2
A
2 2
=480
种不同的排法
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
A 个有元A 素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排好4 的不6
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺6序
A 共有
A
5 5
4 6
种
相 独 独独相
六.固定顺序问题用除法策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
分法？
C
C 根据分步计数原理装球的方法共有__52_A__44 种方法.
练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和 2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少 种不同的分配方法？
四.相邻元素捆绑策略 例2.7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共 有多少种不同的排法.
C C C C C C C ____32__32_+___15__13 __42 _+____52 __52 _种.
三.排列组合混合问题先选后排策略
例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒 至少装一个球,共有多少不同的装法?
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C__52 种
方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元 素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进 行排列，同时对相邻元素内部进行自排.
甲乙 丙丁
由分步计数原理可得共有
A
5 5
A
2 2
A
2 2
=480
种不同的排法
五.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞 蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
A 个有元A 素55 中种间，包第含二首步尾将两4舞个蹈空插位入共第有一种步排好4 的不6
同的方法.由分步计数原理,节目的不同顺6序
A 共有
A
5 5
4 6
种
相 独 独独相
六.固定顺序问题用除法策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不 同的排法?
分法？
C
1.2排列与组合PPT课件
C
4 7
⑵
C
7 10
CA (3 )已 知3 2,求 n．
n
n
(4)求 C33n8-n+C231n+n的值.
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4
A 第 二 步 ，3（ 6 ） 个 ； 3
A C A 根 据 分 步 计 数 原 理 ， 3 4
3 3
4 3 .
A 从 而 3 C A C 4
3
C43 34 3
P3 4
P3 3
如何计算:
m n
-
34
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列
A3 10
其中以0为排头的排列数为
A
2 9
.
∴
所求的三位数的个数是
A A 3 10
2 9
1 0 9 8 - 9 8
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？
一般地，求从 n个不同元素中取出 m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出 m个元素
的组合数 C
m n
．
第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数
A
m n
．
根据分步计数原理，得到： AnmCnmAm m
因此：C n mA A m n m mnn 1 n2 m !nm 1
排列组合公式PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
例题
C(4,2)-4+C(4,4) × 2=4 C(10,2)-10+C(10,4) × 2=455
C(5,2)-5+C(5,4) × 2=15
4、可重组合
• n个元素旳r-可重组合 • 例子 • 计算 • 一一相应旳思想
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 旳非负整数解旳个数。 • n≤r时，此方程旳正整数解旳个数 • n元集合旳r-可重组合数，要求每个元素至少
例题
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，求市场上能买到多少种该厂出品旳盒 装糕点？
• 某糕点厂将8种糕点装盒，若每盒有一打糕 点，且要求每种糕点至少放一块。求市场 上能买到多少种该厂出品旳盒装糕点？
例题
• 摇三个不同旳骰子旳时候，可能旳成果旳个数是多 少？
• 63=216。 • 假如这三个骰子是没有区别旳，则可能成果旳个数
排列组合公式
• 排列组合公式 • 非降途径问题 • 组合恒等式
排列与组合
• 从五个候选人中选出两个代表 • 把5本不同旳书安排在书架上 • 从五个候选人中选出两个代表时，有10种
可能旳成果。 • 把5本不同旳书安排在书架上有120种措施 • 选出-组合；安排-排列
一、排列组合公式
• 排列问题：从某个集合中有序地选用若干 个元素旳问题
• 组合问题：从某个集合中无序地选用若干 个元素旳问题
• 注意：能够反复 不能反复
排列
• 无重排列 • 可重排列 • 从{1,2,…,9}中选用数字构成四位数，使得
每位数字都不同，有多少个？ • 从{1,2,…,9}中选用数字构成四位数，使得
不同数位上旳数字能够相同，有多少个？
排列组合经典例题总结ppt课件
共 有 A 4 2 A 5 5 种 不 同 的 . 排 法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可一求先个将某复甲几合乙元个两素元元，素素同必捆时须绑丙成排丁整在也体看一并成起看一的成个问题, 可复合以元用素捆，绑再法与来其解它决元素问进题行.即排将列，需要相
解 (C 3 1 ： C 5 4C 3 2C 5 3)A .5 5
（2）男生只能担任数学化学物理课代表；
解C 5 2 ： A 3 2.A 3 3C 5 3A 3 3.A 3 2
.
5综合问题
练习10：3张卡片正反面分别写着数字0与1、 3与4、5与6，将三张卡片并排组成三位数， 共可以组成多少个不同的三位数？
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
.
两个原理的区别与联系：
做一件事，完成它可以有n类办 法，第i类办法中有mi种不同的 方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的 方法
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的 方法.
行的平面有3种； 故取4个不共面的点有 C . 140-(4C6 4+6+3)=141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
C84- 12= 58
.
解排列组合题的常用方法
1.特殊元素优先考虑 2.不相邻问题插空法 3.相邻问题捆绑法 4. 定序问题缩倍法 5.多排问题直排法 6.排列组合混合题先选后排法 7.相同元素分配问题隔板法 8.正难则反间接法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
解：要可一求先个将某复甲几合乙元个两素元元，素素同必捆时须绑丙成排丁整在也体看一并成起看一的成个问题, 可复合以元用素捆，绑再法与来其解它决元素问进题行.即排将列，需要相
解 (C 3 1 ： C 5 4C 3 2C 5 3)A .5 5
（2）男生只能担任数学化学物理课代表；
解C 5 2 ： A 3 2.A 3 3C 5 3A 3 3.A 3 2
.
5综合问题
练习10：3张卡片正反面分别写着数字0与1、 3与4、5与6，将三张卡片并排组成三位数， 共可以组成多少个不同的三位数？
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
.
两个原理的区别与联系：
做一件事，完成它可以有n类办 法，第i类办法中有mi种不同的 方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的 方法
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的 方法.
行的平面有3种； 故取4个不共面的点有 C . 140-(4C6 4+6+3)=141
练习8
以一个正方体的顶点为顶点，能 组成多少个不同的四面体？
C84- 12= 58
.
解排列组合题的常用方法
1.特殊元素优先考虑 2.不相邻问题插空法 3.相邻问题捆绑法 4. 定序问题缩倍法 5.多排问题直排法 6.排列组合混合题先选后排法 7.相同元素分配问题隔板法 8.正难则反间接法
排列组合经典例题总结ppt课件
解一：分两步完成； 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置
有A53种排法第二步排其余的位置：有A44种排法
共有A53 A44种不同的排法
解二：第一步由葵花去占位： 有A42种排法 第二步由其余元素占位：有A55种排法
共有A42 A55种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
为主然,后需排先首安位排共特有殊_C元_41_素,再处理其它元素.
若以最位后置排分其析它为位主置,共需有先_A满_43_足C41特殊位A43置的要C31
求,由再分处步理计其数它原位理置得。C31
C
1 4
A43
=288
练习1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类
办法，第i类办法中有mi种不同
定
义
的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方
法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
有A53种排法第二步排其余的位置：有A44种排法
共有A53 A44种不同的排法
解二：第一步由葵花去占位： 有A42种排法 第二步由其余元素占位：有A55种排法
共有A42 A55种不同的排法
二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
为主然,后需排先首安位排共特有殊_C元_41_素,再处理其它元素.
若以最位后置排分其析它为位主置,共需有先_A满_43_足C41特殊位A43置的要C31
求,由再分处步理计其数它原位理置得。C31
C
1 4
A43
=288
练习1 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若 两种葵花不种在中间，也不种在两端的 花盆里，问有多少不同的种法？
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.
练习题6
某种产品有4只次品和6只正品，每只均不 同且可区分，今每次取出一只测试，直到 4只次品全部测出为止，则最后一只次品恰 好在第五次测试中被发现的不同情况有多少 种？
知识结构网络图：
排列 基 本 原 理
组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
组合数性质
两个原理的区别与联系：
名称 内容
分类原理
做一件事，完成它可以有n类
办法，第i类办法中有mi种不同
定
义
的方法，那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方
法
分步原理
做一件事，完成它可以有n个步 骤，做第i步中有mi种不同的方 法，那么完成这件事共有
一般地,元素分成多排的排列问题, 可归结前排为一排考虑后,再排分段研究.
排列组合(一)PPT课件
A.26 C.20 B.24 D.19 B 6
3
4 7
6
12 A 12
6
8 （ 12 ）从正方体的 6个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相 邻的选法共有( ) （A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
小结:
1.对事件的结构特点的分析;
2.对事件中特殊元素/特殊位置的分析; 3.分类与分步的标准要一致,不遗漏,不 重复.
4.如图, 3种作物要在4块实 验田中试种,要求4块田都要 种,但相邻的实验田只能种 不同的作物,问有几种种法?
答案:18 答案:12
答案:(1)15
(2)20
能力拓展:
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网 线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同 时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 ( ) 5
巩固练习
1.将5封信投入3个信箱中,不同的投法共有( A.53种 B.35种 C.3种 D.15种
2.有数学书5本，语文书4本，英语书3本，现从 47 种不同 这些书中选2本不同科目的书，有_____ 选法。
48 3.由数字 0,1，2，3，4可以组成_________ 个无 重复数字三位数 .
)
例1.电视台在“欢乐今宵”节目中,拿 出两个信箱.其中存放着先后两次竞猜 中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有30 封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖 确定幸运观众,若先确定一名“幸运之 星”,然后再从两信箱中各确定一名幸 运伙伴,有多少种不同的结果?
染色问题
练习.如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同 一种颜色.现有四种颜色可 供选择,则不同的着色方法 共有_________种.
3
4 7
6
12 A 12
6
8 （ 12 ）从正方体的 6个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相 邻的选法共有( ) （A）8种（B）12种（C）16种（D）20种
小结:
1.对事件的结构特点的分析;
2.对事件中特殊元素/特殊位置的分析; 3.分类与分步的标准要一致,不遗漏,不 重复.
4.如图, 3种作物要在4块实 验田中试种,要求4块田都要 种,但相邻的实验田只能种 不同的作物,问有几种种法?
答案:18 答案:12
答案:(1)15
(2)20
能力拓展:
1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线 表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网 线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A 向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同 时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 ( ) 5
巩固练习
1.将5封信投入3个信箱中,不同的投法共有( A.53种 B.35种 C.3种 D.15种
2.有数学书5本，语文书4本，英语书3本，现从 47 种不同 这些书中选2本不同科目的书，有_____ 选法。
48 3.由数字 0,1，2，3，4可以组成_________ 个无 重复数字三位数 .
)
例1.电视台在“欢乐今宵”节目中,拿 出两个信箱.其中存放着先后两次竞猜 中成绩优秀的观众来信.甲信箱中有30 封,乙信箱中有20封.现由主持人抽奖 确定幸运观众,若先确定一名“幸运之 星”,然后再从两信箱中各确定一名幸 运伙伴,有多少种不同的结果?
染色问题
练习.如图,一个地区分为5 个行政区域,现给地图着色, 要求相邻区域不得使用同 一种颜色.现有四种颜色可 供选择,则不同的着色方法 共有_________种.
排列与组合ppt课件
C34C11A22
C24C22
A
2 2
A22
）=84种.
探究提高 排列、组合综合题目，一般是将符合 要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的 元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意 “平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标 准. 知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现 对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止. （1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第 十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法 数是多少？ （2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品， 则这样的不同测试方法数是多少？
女生或没有女生，故可用间接法进行，
∴有 C152 C15 C74 C57=596种选法. （5）分三步进行：
第一步：选1男1女分别担任两个职务为 C17·C15 ；
第二步：选2男1女补足5人有
C
2 6
·
C14
种；
第三步：为这3人安排工作有
A
3 3
.
由分步乘法计数原理共有
C17 C15 C62 C14 A33 =12 600种选法.
列数公式即可.但要看清是全排列还是选排列；有
限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、
“邻与不邻”问题，可分别用相应方法.
解 （1）从7个人中选5个人来排列，
有
A
5 7
=7×6×5×4×3=2
520种.
（2）分两步完成，先选3人排在前排，有 A种37方法，
余下4人排在后排，有 种A方44法，故共有
所以共有2
C
4 8
+
C83
=196种选法.
9分
方法二 间接法：
从10人中任选5人有C150种选法.
《排列组合复习》课件
进阶练习题
在5个不同元素中取出3个元素进行排列，其中某一个 特定元素必须被取到，这样的排列数是多少？
输入 标题
答案解析
首先从5个元素中取出一个特定元素，然后从剩下的4 个元素中取出2个元素进行排列，即$A_{5}^{1} times A_{4}^{2} = 5 times 24 = 120$。
题目1
详细描述
特殊元素优先法是指在解决排列组合问题时，优先考虑特殊元素或特定条件，将 其先固定下来，再对其他元素进行排列或组合。这种方法可以简化问题，降低计 算难度，提高解题效率。
分组法
总结词
分组法是一种将问题分解成若干个较小 的部分，分别解决后再综合的解题技巧 。
VS
详细描述
分组法在排列组合问题中，常常用于处理 有特定分组要求的问题。首先将问题分解 成若干个较小的部分，对每一部分进行排 列或组合，然后再根据问题的具体要求， 将各部分的解进行综合，得出最终答案。 这种方法可以降低问题的复杂度，使问题 更容易解决。
感谢您的观看
05
练习题与答案解析
基础练习题
题目1
从5个不同元素中取出3个元素的排列数是多少？
答案解析
从5个不同元素中取出3个元素进行排列，即$A_{5}^{3} = 5 times 4 times 3 = 60$。
题目2
从7个不同元素中取出4个元素的组合数是多少？
答案解析
从7个不同元素中取出4个元素进行组合，即$C_{7}^{4} = frac{7 times 6 times 5 times 4}{4 times 3 times 2 times 1} = 35$。
详细描述
排列组合的分组问题通常涉及到将一组元素分成若干个不同的组，并考虑这些组之间的 排列或组合关系。解决这类问题需要理解分组的基本原则，并能够根据实际情况选择合
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【解析】 (1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A77种不同的排 法；
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A66种不同的排法； (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A22A55种；
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A66种不同的排法； 甲不站排尾，共有 A15A15A55种不同的排法； 故共有 A66＋A15A15A55＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲排头，共有 A66种不同的排法； 乙排尾，共有 A66种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A55种不同的排法； 故共有 A77－2A66＋A55＝3 720 种不同的排法．
(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人，共有 A44种排法，产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 个元素)与丙排入有 A25种，再将甲、乙全排，有 A22，∴共有 A22A44A25＝960 种．
(11)(消序法)共有A277种． 【答案】 (1)A77 (2)A66 (3)A25A55 (4)3 720 (5)1 440 (6)960 (7)3 600 (8)1 440 (9)4 320 (10)960 (11)12A77
再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A55种方法，最后将 甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有 A14A55A22＝960 种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有： 方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600 种． 方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A55种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分 别插入这六个位置(空)有 A26种方法，所以一共有 A55A26＝3 600 种方法．
排列组合典型例题ppt课件
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．
【解析】 (1)从余下的 34 件商品中，选取 2 件有 C234＝ 561 种，
∴某一件假货必须在内的不同取法有 561 种． (2)从 34 件可选商品中，选取 3 件，有 C334种或者 C335－ C234＝C334＝5 984 种． ∴某一件假货不能在内的不同取法有 5 984 种．
(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有 C120C215＝2 100 种．
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种． (4)选取 2 件假货有 C120C215种，选取 3 件假货有 C315种，共 有选取方式 C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555 种． ∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种． (5)选取 3 件的总数有 C335种，因此共有选取方式 C335－C315＝6 545－455＝6 090 种． ∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．
【讲评】 组合问题常有以下两类题型：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这 些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再 从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十 分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用 直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维， 用间接法处理．
方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素．
若丙站在排头或排尾有 2A55种方法，所以丙不能站在排头 和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A14种方法．
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A44种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有 A35种方法，所以一共有 A44A35＝1 440 种． (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A77种不同的排法； 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A55A33＝720 种． 故共有 A77－A55A33＝4 320 种不同的排法．
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
题型三 组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A66种方法；再将甲、 乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的排法 一共有 A66A22＝1 440 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有：
方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A25 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A44种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A22种方法，所以这样的 排法一共有 A25A44A22＝960 种方法．