《数学分析》教案.doc
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
数学分析22第六章 微分中值定理及其应用-微分中值定理.DOC
第六章 微分中值定理及其应用引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。
§1.微分中值定理[教学目的] 掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。
[教学要求] 深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。
[教学重点] 中值定理。
[教学难点] 定理的证明。
[教学难点] 系统讲解法。
一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景，我们可作以下叙述：弧AB 上有一点P ，该处的切线平行与弦AB 。
如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”，故如建立坐标系，则弧 AB 的函数是y=f(x)，x [a,b]的图像，点P 的横坐标为x 。
如点P 处有切线，则f(x)在点x 处可导，且切线的斜率为()f ；另一方面，弦AB 所在的直线斜率为()()f b f a b a ，曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦AB ()()()f b f a f b a。
撇开上述几何背景，单单观察上述数量关系，可以发现：左边仅涉及函数的导数，右边仅涉及函数在端点的函数值。
这样这个公式就把函数及其导数联系起来。
在二者之间架起了一座桥梁，这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础。
鉴于(,)a b ，故把类似公式称为“中值公式”；把类似的定理称为中值定理。
数学分析教案大学
课时：3课时教学对象：大学本科生教学目标：1. 让学生理解数学分析的基本概念和原理，掌握数学分析的基本方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 培养学生运用数学分析解决实际问题的能力。
教学内容：1. 数学分析的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 连续性的概念和性质4. 导数的概念和性质5. 微分学的应用教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾高中数学知识，如函数、极限等。
2. 引入数学分析的概念，强调数学分析在数学领域中的重要性。
二、教学内容1. 数学分析的概念和性质- 解释数学分析的定义和研究对象。
- 举例说明数学分析在数学各领域中的应用。
2. 极限的概念和性质- 介绍极限的定义，包括数列极限和函数极限。
- 讲解极限的性质，如保号性、保序性等。
三、课堂练习1. 让学生完成一些与极限相关的习题，巩固所学知识。
第二课时：一、复习上节课内容1. 回顾极限的概念和性质。
二、教学内容1. 连续性的概念和性质- 介绍连续性的定义，包括函数在一点连续、在区间上连续等。
- 讲解连续性的性质，如保号性、保序性等。
2. 导数的概念和性质- 介绍导数的定义，包括函数在某一点的导数、函数在区间上的导数等。
- 讲解导数的性质，如保号性、保序性等。
三、课堂练习1. 让学生完成一些与连续性和导数相关的习题，巩固所学知识。
第三课时：一、复习上节课内容1. 回顾连续性和导数的概念和性质。
二、教学内容1. 微分学的应用- 介绍微分学在解决实际问题中的应用，如求曲线的切线、求解最值等。
- 讲解微分学在实际问题中的应用实例。
三、课堂小结1. 总结本节课的主要内容，强调数学分析在解决实际问题中的重要性。
四、布置作业1. 让学生完成一些与微分学应用相关的习题，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂练习和作业，评价学生对数学分析基本概念和原理的掌握程度。
2. 通过实际问题的解决，评价学生运用数学分析解决实际问题的能力。
大学优秀教案数学分析
课程名称：数学分析授课班级：XX级XX班授课教师：XXX教学时间：2课时教学目标：1. 让学生掌握数学分析的基本概念、基本方法和基本定理；2. 培养学生分析问题、解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。
教学重点：1. 数学分析的基本概念；2. 数学分析的基本定理；3. 数学分析的基本方法。
教学难点：1. 数学分析中的抽象概念；2. 数学分析中的证明技巧。
教学内容：一、数学分析的基本概念1. 数学分析的定义；2. 数学分析的研究对象；3. 数学分析的研究方法。
二、数学分析的基本定理1. 极限的概念及性质；2. 连续性的概念及性质；3. 微分学的概念及性质；4. 积分学的概念及性质。
三、数学分析的基本方法1. 极限的计算方法；2. 连续性的证明方法；3. 微分学的应用；4. 积分学的应用。
教学过程：一、导入1. 回顾初等数学中的极限、连续性、微分学、积分学等概念；2. 引入数学分析的研究对象和方法。
二、讲解数学分析的基本概念1. 数学分析的定义：数学分析是研究函数的极限、连续性、微分、积分等问题的数学分支；2. 数学分析的研究对象：函数、极限、连续性、微分、积分等；3. 数学分析的研究方法：归纳法、演绎法、反证法、极限法、微分法、积分法等。
三、讲解数学分析的基本定理1. 极限的概念及性质：极限的定义、极限的性质；2. 连续性的概念及性质：连续性的定义、连续性的性质；3. 微分学的概念及性质：导数的定义、导数的性质；4. 积分学的概念及性质：不定积分的定义、定积分的定义。
四、讲解数学分析的基本方法1. 极限的计算方法：夹逼定理、洛必达法则、洛必达定理等；2. 连续性的证明方法：直接证明法、反证法、定义法等；3. 微分学的应用：求导数、求切线、求函数的极值等；4. 积分学的应用：求原函数、求定积分、求不定积分等。
五、课堂练习1. 给出一些数学分析中的基本概念、定理、方法，让学生进行判断、选择、填空等练习；2. 给出一些数学分析中的典型例题，让学生进行解答。
数学分析教案
数学分析教案教案名称：数学分析教学教学目标：1. 学习和掌握数学分析的基本概念、原理和方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3. 增强学生对数学的兴趣和热情。
4. 培养学生的数学分析思维习惯。
教学内容：单元1：数列与极限1. 数列的定义、收敛性、发散性。
2. 数列极限的定义、性质和判定方法。
3. 数列的常用极限性质和计算方法。
单元2：函数与连续性1. 函数的定义、性质和分类。
2. 函数极限的定义和性质。
3. 连续函数的定义和性质。
4. 连续函数的计算方法和判定方法。
单元3：导数与微分1. 导数的定义和性质。
2. 函数的可导性和导数的计算方法。
3. 微分的定义和性质。
4. 常用函数的导数和微分计算。
单元4：定积分与不定积分1. 定积分的定义和性质。
2. 定积分的计算方法和性质。
3. 不定积分的定义和性质。
4. 不定积分的计算方法和性质。
教学重点：1. 数列与极限的概念和计算方法。
2. 函数与连续性的定义和性质。
3. 导数与微分的计算方法和应用。
4. 定积分与不定积分的计算方法和性质。
教学方法：1. 综合运用讲授、实验、探究、讨论、分组合作等多种教学方法。
2. 鼓励学生独立思考和解决问题的能力。
3. 提供案例分析和实践操作，帮助学生理解和应用知识。
教学评价：1. 对学生的课堂表现进行观察和评价。
2. 组织小组讨论、作业和实验报告等形式的评价。
3. 定期组织小测验和考试，检验学生的掌握程度。
教学资源：1. 教材：数学分析教材。
2. 辅助教材：数学分析习题集。
3. 多媒体教学设备：投影仪、电脑等。
教学时长：根据课程设置，共计XX课时。
备注：教案只是教学计划的一个简要概述，具体的教学内容和教学活动可以根据实际情况进行调整和完善。
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数学分析（一）电子教案杨小康第一章 实数集与函数本章教学要求:1.加深理解实数的稠密性、绝对值不等式。
2.深入理解一元函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析定义），掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；3.理解反函数、周期函数；4.对基本初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet 函数，符号函数，Gauss 函数等要熟悉。
5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。
§ 1实数教学目的：熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。
教学内容：实数的基本性质和绝对值的不等式． 基本要求：1）掌握实数的基本性质：实数的有序性，稠密性，阿基米德性，实数的四则运算。
2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。
一．实数及其性质：有理数：(,0)p q q ⎧≠⎪⎨⎪⎩p 能用互质分数 为整数，表示的数；q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 例1 设 p 正整数，若p 不是完全平方数，则p 是无理数证明：反证法。
若p 是有理数，则p 可表示成：mnp =，从而整数p 可表示成： 22mn p =⇒ p 是完全平方数，矛盾若规定： 012012..(1)999n n a a a a a a a a =-L L L L 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。
例如：001.2 记为 Λ999000.2 ；0 记为 Λ000.0 ；8- 记为 999.7- 实数大小的比较定义1 给定两个非负实数ΛΛΛΛn n b b b b y a a a a x 210210.,.==其中 k k b a , 为非负整数，9,0≤≤k k b a 。
若有1） Λ,2,1,0,==k b a k k 则称 x 与 y 相等，记为 y x =2） 若存在非负整数 l ，使得),,2,1,0(,l k b a k k Λ==，而11++>l l b a ，则称x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 y x >（或x y <）。
《数学分析》教案《数学分析》教案
《数学分析》教案《数学分析》教案教案标题：数学分析教学目标：1.了解数学分析的基本概念和方法；2.掌握数学分析的基本技巧和解题方法；3.培养学生的数学思维和分析能力；4.提高学生的数学推理和问题解决能力。
教学内容：1.数集及其运算：数集的基本概念，数集的运算及其性质；2.数列及其极限：数列的概念和性质，数列的极限及其性质；3.函数及其极限：函数的概念和性质，函数的极限及其性质；4.一元函数的导数：导数的概念和性质，函数的可导性、连续性及其关系；5.一元函数的微分：微分的概念和性质，函数的微分与导数的关系；6.一元函数的积分：积分的概念和性质，函数的可积性与连续性的关系；7.多元函数的极限、连续性和偏导数；8.多元函数的积分；9.无穷级数。
教学手段：1.讲授：通过讲解，向学生传授基本概念和方法；2.演示：通过演示例题，引导学生掌握解题方法；3.实践：给学生提供大量的练习题，锻炼学生的分析能力和解题技巧；4.讨论：进行小组或全班讨论，培养学生的合作和交流能力；5.课堂练习：布置一些课堂练习题，检测学生的学习效果；6.作业布置：布置一些练习题或探究性作业，巩固课堂所学内容。
教学过程：第一课：数集及其运算1.引入：通过举例说明数集的概念；2.介绍数集的运算：交集、并集、差集和补集；3.讲解数集的性质和运算法则；4.练习：解决一些与数集及其运算相关的问题。
第二课：数列及其极限1.引入：通过例题引出数列的概念；2.讲解数列的性质和分类；3.介绍数列的极限的概念和性质；4.讲解数列极限的收敛和发散的判定方法；5.练习：解决一些数列极限相关的问题。
第三课：函数及其极限1.引入：通过例题讲解函数的概念；2.介绍函数的性质和分类；3.讲解函数的极限的概念和性质；4.讲解函数极限的极限定理和计算方法；5.练习：解决一些函数极限相关的问题。
第四课：一元函数的导数1.引入：通过例题引出导数的概念；2.介绍导数的性质和计算方法；3.讲解函数的可导性和连续性以及它们之间的关系；4.讲解导数的求导法则和应用；5.练习：解决一些函数导数相关的问题。
数学分析教案(华东师大版)第一章实数集与函数
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算32sin、实数定义等问题引入.2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记,但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
大学数学分析教案
课时安排：2课时教学目标：1. 理解数学分析的基本概念和基本理论。
2. 掌握数学分析的基本方法和技巧。
3. 能够运用数学分析解决实际问题。
教学内容：一、数学分析简介1. 数学分析的定义和作用2. 数学分析的发展历程3. 数学分析的研究内容二、实数集与函数1. 实数的定义和性质2. 实数集的完备性3. 函数的定义、性质和分类4. 函数的极限与连续三、导数与微分1. 导数的定义和性质2. 导数的计算方法3. 微分的概念和计算4. 高阶导数教学过程：第一课时：一、导入1. 通过实际例子引入数学分析的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 介绍数学分析的发展历程和作用，使学生了解数学分析的重要性。
二、实数集与函数1. 讲解实数的定义和性质，通过实例说明实数的完备性。
2. 讲解函数的定义、性质和分类，通过实例讲解函数的极限与连续。
三、导数与微分1. 讲解导数的定义和性质，通过实例讲解导数的计算方法。
2. 讲解微分的概念和计算，通过实例讲解高阶导数。
第二课时：一、复习上节课内容1. 通过提问的方式复习上节课所学的实数集、函数、导数与微分等概念。
2. 检查学生对基本概念的理解程度。
二、练习与应用1. 让学生通过练习题巩固所学知识，提高解题能力。
2. 引导学生运用数学分析解决实际问题。
三、总结与拓展1. 总结本节课所学的重点内容，强调数学分析在实际应用中的重要性。
2. 拓展相关知识点，如积分、级数等，为后续学习打下基础。
教学评价：1. 通过课堂提问、课堂练习和课后作业等方式，了解学生对数学分析知识的掌握程度。
2. 根据学生的学习情况，及时调整教学方法和进度，确保教学目标的实现。
教学资源：1. 教材：《大学数学数学分析》2. 辅助资料：数学分析习题集、数学分析相关网站和书籍教学反思：1. 关注学生的学习需求，及时调整教学内容和方法。
2. 注重培养学生的实际应用能力，提高学生的综合素质。
优秀数学分析教案设计模板
一、教学目标1. 知识目标：使学生掌握数学分析的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2. 能力目标：培养学生逻辑思维、抽象思维和创新能力，提高学生的数学素养和综合应用能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨求实的科学态度和团结协作的精神。
二、教学内容1. 数学分析的基本概念：极限、连续、导数、微分、积分等。
2. 数学分析的基本原理：洛必达法则、泰勒公式、中值定理等。
3. 数学分析的应用：求解实际问题的方法、技巧和策略。
三、教学重难点1. 教学重点：掌握数学分析的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2. 教学难点：理解数学分析中的抽象概念，灵活运用数学分析方法解决实际问题。
四、教学准备1. 教学课件2. 练习题3. 教学工具：电子白板、黑板、投影仪等五、教学过程（一）导入1. 回顾学生已学过的数学知识，引导学生关注数学分析在实际生活中的应用。
2. 提出问题：如何运用数学分析方法解决实际问题？（二）新课讲解1. 讲解数学分析的基本概念，如极限、连续、导数、微分、积分等。
2. 介绍数学分析的基本原理，如洛必达法则、泰勒公式、中值定理等。
3. 结合实例，讲解数学分析方法在解决实际问题中的应用。
（三）课堂练习1. 学生独立完成课后习题，教师巡视指导。
2. 针对学生的练习情况，进行个别辅导和讲解。
（四）总结与拓展1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 引导学生思考数学分析方法在实际生活中的应用，拓展学生的思维。
六、作业布置1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 收集生活中与数学分析相关的问题，尝试运用所学知识解决。
七、教学反思1. 教师课后对教学过程进行反思，总结教学中的亮点和不足。
2. 教师根据学生的反馈，调整教学方法和策略，提高教学质量。
八、板书设计1. 标题：数学分析教案2. 教学目标3. 教学内容4. 教学重难点5. 教学过程6. 作业布置九、教学评价1. 学生对数学分析知识的掌握程度。
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案一、引言1.1 课程背景数学分析是数学专业的一门基础课程，主要研究函数、极限、微分、积分等基本概念和性质。
本课程旨在帮助学生掌握数学分析的基本理论、方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
1.2 课程目标（1）理解数学分析的基本概念，如函数、极限、微分、积分等；（2）掌握数学分析的基本理论和方法，如泰勒公式、洛必达法则等；（3）学会运用数学分析解决实际问题，提高数学建模能力；二、教学内容2.1 函数与极限（1）函数的定义与性质；（2）极限的概念与性质；（3）无穷小与无穷大；（4）极限的运算。
2.2 微分学（1）导数的定义与性质；（2）求导法则；（3）高阶导数；（4）微分在实际问题中的应用。
2.3 积分学（1）不定积分的概念与性质；（2）积分法则；（3）定积分的概念与性质；（4）定积分的计算与应用。
2.4 微分方程（1）微分方程的定义与分类；（2）一阶微分方程的解法；（3）高阶微分方程的解法；（4）微分方程在实际问题中的应用。
2.5 泰勒公式与洛必达法则（1）泰勒公式的定义与性质；（2）泰勒公式的应用；（3）洛必达法则的定义与性质；（4）洛必达法则的应用。
三、教学方法3.1 授课方式采用讲授与讨论相结合的方式进行授课。
3.2 教学手段（1）利用多媒体课件进行教学，提高课堂效果；（2）布置适量的课后习题，巩固所学知识；（3）组织课堂讨论，培养学生的思维能力。
四、课程考核4.1 考核方式课程考核分为期末考试和平时成绩两部分，其中期末考试占80%，平时成绩占20%。
4.2 期末考试内容期末考试涵盖本课程全部内容，包括选择题、填空题、解答题等。
4.3 平时成绩评定平时成绩包括课堂表现、课后习题、课堂讨论等。
五、教学进度安排5.1 授课时间本课程共计32课时，每周2课时。
5.2 授课计划（1）第1-4周：函数与极限；（2）第5-8周：微分学；（3）第9-12周：积分学；（4）第13-16周：微分方程；（5）第17-20周：泰勒公式与洛必达法则。
(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学
第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。
教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。
教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。
数学分析 第四章函数的连续性
第四章函数的连续性教学目的：1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念；2.熟练连续函数的性质并能加以应用；3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明；4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。
教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。
教学时数：14学时§ 1 函数的连续性（4学时）教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。
教学要求：1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述；2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。
教学重点：函数连续性概念。
教学难点：函数连续性概念。
一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。
二、讲授新课：（一）函数在一点的连续性：1．连续的直观图解：由图解引出解析定义.2.函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.定义用例如 [1]P87例1和例2, P88 例3.定义用和定义用先定义定义连续的Heine定义.定义( “”定义.)（注：强调函数在点连续必须满足的三个条件。
）例1 用“”定义验证函数在点连续.例2 试证明: 若则在点连续.3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th ( 单、双侧连续的关系 )例3讨论函数在点的连续或单侧连续性.（二）间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况或中至少有一个不存在称为第二类间断点.即例5延拓函数使在点连续.例6举出定义在[0,1]上且仅在点三点间断的函数的例.例7讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性.（三）区间上的连续函数：开区间上连续，闭区间上连续, 按段连续.§ 2 连续函数的性质（6学时）教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。
数学分析教案大学生
课时：2课时教学目标：1. 理解数学分析的基本概念，如极限、连续、导数、积分等。
2. 掌握数学分析的基本方法和技巧。
3. 培养学生运用数学分析解决实际问题的能力。
教学重点：1. 极限的概念和性质2. 导数的概念和计算3. 积分的概念和计算教学难点：1. 极限的运算法则2. 导数的应用3. 积分的计算教学过程：第一课时一、导入1. 通过实际生活中的例子，引入数学分析的概念。
2. 引导学生思考数学分析在生活中的应用。
二、新课讲授1. 极限的概念和性质a. 定义极限b. 极限的性质c. 极限的运算法则2. 导数的概念和计算a. 定义导数b. 导数的计算方法c. 导数的应用三、课堂练习1. 学生独立完成课本上的例题，巩固所学知识。
2. 教师针对学生的练习情况进行讲解和指导。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 对学生的课堂表现进行评价。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学的极限和导数知识。
2. 通过提问的方式，检查学生对知识的掌握程度。
二、新课讲授1. 积分的概念和计算a. 定义积分b. 积分的计算方法c. 积分的应用2. 数学分析在实际问题中的应用a. 举例说明数学分析在物理学、经济学等领域的应用b. 引导学生思考数学分析在实际问题中的重要性三、课堂练习1. 学生独立完成课本上的例题，巩固所学知识。
2. 教师针对学生的练习情况进行讲解和指导。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 对学生的课堂表现进行评价。
教学反思：1. 本节课通过实际生活中的例子，激发了学生的学习兴趣。
2. 在讲授过程中，注重了理论与实践相结合，提高了学生的实际应用能力。
3. 通过课堂练习和课堂小结，巩固了学生对知识的掌握程度。
4. 在今后的教学中，应进一步加强对学生的引导和启发，提高学生的自主学习能力。
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1J]1J1J ] 1 2 3 4《数学分析》教案SF 01（数）ChO数学分析课程简介Chi实数集与函数计划课时：ChO 2时Chi 6 时说明:1.这是给数学系2001届学生讲授《数学分析》课编制的教案.该课程开设两学期，总课时为1 8 0学时，是少课时型教案（后来又开设了一学期，增加了80学时）・按照学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容.本教案共2 7 9页，分2 1章.2.取材的教材：华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；马振民，吕克璞，微积分习题类型分析，兰州大学出版社，1999；We Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0 数学分析课程简介(2时)一・数学分析(mathematical analysis)简介：1.背景：从切线、面积、计算sin32\实数定义等问题引入.2.极限(limit) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究实变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算，利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数，并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别. .%1.数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪，Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期，是微积分思想的发展、成果的积累时期:3.十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期：参阅《数学分析选讲》讲稿(1997.8.10.)第三讲P72.4.十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：参阅《数学分析选讲》讲稿第三讲P72—75.%1.数学分析课的特点：逻辑性很强，很细致，很深刻；先难后易，是说开头四章有一定的难度，倘能努力学憧前四章(或前四章的80%),后面的学习就会容易一些；只要在课堂上专心听讲，一般是可以听得懂的，但即便能听懂，习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法，不辅以相应的技巧，是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的，也是里要的内容之一，也是最难的内容之一.一般憧得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此, 理解证明的思维方式，学习基本的证明方法，掌握叙述和书写证明的一般语言和格式，是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此，建议的学习方法是：预习，课堂上认真听讲，必须记笔记，但要注意以听为主，力争在课堂上能听憧七、八成.课后不要急于完成作业，先认真整理笔记，补充课堂讲授中太简或跳过的推导，阅读教科书，学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后，再去做作业.在学习中，要养成多想问题的习惯.1.关于教材：没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方，本课程主要从以下教科书中取材：fl］华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，1996；［2］郑英元，毛羽辉，宋国东，数学分析习题课教程，高等教育出版社，1991；［3］马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；14］马振民，吕克璞，微积分习题类型分析，兰州大学出版社，1999；［5］ W. Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本课程基本按［1］的逻辑顺序，主要在［1］、［4］、［3］中取材.在讲授中，有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求，只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了［1］中第八、十五、十九和二十二等四章，相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多，课时紧：大学课堂教学与中学不同的是，这里每次课介绍的内容很多，因此，内容重复的次数少，讲课只注重思想性与基本思路，具体内容或推导，特别是同类型或较简的推理论证及推导计算，可能讲得很简，留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点：概念的意义与理解，几何直观，理论的体系，定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路，具有代表性的证明方法，解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中，可能会写出某些定理证明，以后一般不会做特别具体的证明叙述.五.要求、辅导及考试：1.学习方法：尽快适应大学的学习方法，尽快进入角色.课堂上以听为主，但要做课堂笔记.课后一•定要认真复习消化，补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1:3（国外这个比例通常是1:4.参《西北师大报》No］91, 2000.9.30.第二版：本科节段如何培养高素质创新人材一一伯利克大学的启示.注：伯利克大学乃美国加州大学伯利克分校.）对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说，课堂听讲的内容应该更为丰富: 要认真评价教师的课堂教学，把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业：作业以［1］的练习题中划线以上的部分习题和［4］中的计算题为主要内容.大体上每两周收一次作业，一次收清.每次更点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记，缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业，最好用西北师大稿纸.要有作业封面，尺寸为19.5x27.5cm.作业布置方式：［1］P..., ［4］P...3.辅导：大体每周一•次，第一学期要求辅导时不缺席.4.考试：按学分制的要求，只以最基本的内容进行考试，大体上考课堂教学和所布置作业的内容，包括［1］和［4］中的典型例题.考试题为标准化试题.§1 实数集与确界 （3时） Chi 实数集与函数（6时）一. 实数集R :回顾中学中关于实数集的定义.1. 四则运算封闭性：2. 三歧性（即有序性）：3. Rrchimedes 性：Pa,b e R, h > a > 0, Bn e N, 3 na > h.4. 稠密性：有理数和无理数的稠密性，给出稠密性的定义.5. 实数集的几何表示——数轴：6. 两实数相等的充要条件：O =A,O V£>0, \a-b\<s.7. 区间和邻域：二.几个重要不等式：1. 绝对值不等式：定义|o| = max{3,o }.[1JP2的六个不等式.2. 其他不等式：（1） a 2 +b 2 > 2ah, sinx <1. sinx < x .⑵ 均值不等式：对g",,・・・q3RL 记 M (%•)=-——= ------------- - =_>%,（算术平均值）n〃 ；=i G(q)二寸"2- 'a n = i fh ，k /=! /（几何平均值） H(%)= ―pn_ 1 _ 〃 1 一 1 3 1 一 3 1 -・（调和平均值） 1 1 1 1《1f 1 一+—+•..+— -V — y —a \ a 2 a n 〃 /=! a i/=1 a i 有平均值不等式：H （q ）<G （q ）MM （《），等号当且仅当％ =% =... =《,时成立.A? GN.3!1.⑶ Bernoulli 不等式：（在中学己用数学归纳法证明过）Vx > -1,有不等式(I +X )H > 1 +HX, 当x>-\ H iwO, 〃cN 旦〃 Z2时，有严格不等式（l + x ）n >\ + nx.（现采用《数学教学研究》1991.N? I 马德尧文“均值不等式妙用两则”中的证明） 证 山 1 + x > 0且 1 + xoO, n (l + x)〃+〃一1 = (1 + Q 〃+1 + 1 + ・・・ + 1〉> n 《(1 + x)" =/?(! + x). n (1 + x)n > 1 + nx.⑷ 利用二项展开式得到的不等式：XJ- V/2 > 0,山二项展开式(1 + /?)〃=1 + 湖 + ^^2 + 〃(〃 一顷"2山+... + /,2! （1 +力）〃 >上式右端任何一项.有界数集与确界原理:数集：定义（上、下有界，有界），闭区间、（a,b ）0,b 为有限数）、邻域有界等都是有界数集,y = sinx, XE (-8, + oo)}也是有界数集无界数集：定义，(-00,4-00), (-oo,0), (0, + oo)等都是无界数集, 集合E = | y = —, x G (0,1 )|也是无界数集.2. 确界：给出直观和刻画两种定义.例 1 (1) S = [l+ ---------------- >,则supS =, inf S =.(2) E = [y y = sin x, x G (0,^)}.则sup E =, inf E =.例2非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3设S和A是非空数集，旦有S D*.则有supS2supA, infSVinfA..例4设A和3是非空数集.若对V A-G A和\/)，《&都有xVy,则有sup A < inf B.证Vy e B, y是A的上界，=> sup A < y. => sup A是B的下界，=> sup A < inf B.例5 A和B为非空数集，S = AU8 .试证明：infS = min{inf A,infB}.证Vx G S,有x E A或尤E B,山inf A和inf B分别是A和B的下界，有x > inf A 或工2 inf B. n x > min( inf A, inf B }.即min{ inf A, inf B }是数集S的下界，=> inf S > min( inf A,inf B },又S :D A, = S 的下界就是A 的下界,inf S 是S的下界，n inf S是0的下界，n inf S < inf A;同理有inf 5<inffi.于是有inf S < min{ inf /4 , inf B }.综上，有inf S = min(inf X ,inf B ).3.数集与确界的关系：确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系：设E为数集.(1) 已的最值必属于但确界未必，确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下血的确界原理)，但未必有最值.⑶若maxE存在，必有max E = sup E.对下确界有类似的结论.Th (确界原理).Ex [1JP4 3, 4, 9, 10； P9 2, 4, 7(0(3).§2初等函数(3时)3.【的表示4.反函数：——对应，反函数存在定理.二.分段函数：以函数/(x) =1 -工,2,X <\,X = 1,和g(x)= <X > I为例X > 1•X — 3,/ [/("5)1(答案为8)•初等函数:函数:1.函数：11JP10—12的五点说明.2.定义域：定义域和存在域.函数的代数运算:介绍概念./(x) = 3-|2x-l|,去掉绝对值符号./(0), /(I), /(2).x > 10,—求/(5). x<10.三.函数的复合:例4/(")=而,〃 = g(x) =1-尸.求(f g\x) = f[g(x)]^求定义域.例5(1)f(D =x2 + x+ 1,fM = ___________________ .(2)(1、f x + -2 1则/(x)=( )k X)A. x2，B・x2 +1, C. x~— 2, D. x~ + 2.f4]P407 E62.3.初等函数的几个特设函数/⑴ 和g ⑴都是初等函数，则 5x2X 2+31.基本初等函数:2.初等函数:⑴I /w I 是初等函数，因为=⑵ O(x) = max(/(x), g(x)}和 ^(x) = min(/(x), g(x)}都是初等函数, 因为 0)⑴=max(/(x), g(x)} = ^[/(x) + g ⑴ + |/(x) 一幺(尤)|], ^(x) = min{/(x),g(x)} = + g(x)-|/(x)-g(x)|].(3) 幕指函数(/⑴严)(/(x) > 0)是初等函数，因为(y(l))g(x) _ €，ln(/(x)X 1A ，_ e g(x)ln/(x)五.有界函数：有界函数概念.5%例6验证函数/(、)= 一在R 内有界.2X 2+3解法一 山 2^2 + 3 = (V2x)2 + (V3)2 > 2|V2x-Vs| = 2^6|4 当 x^O 时，有 5 x 5 x 5 ―1——< ---------- =< 32『+3 141 x 2^6 /(0) =0<3,对VxeR ，总有| f(x) | < 3,即f 3)在R 内有界.5 x 解法二 令y = — - ，=>关于X 的二次方程2y?—5x + 3y = 0有实数根. . 2^+3- , 25A = 52 -24y 2>0,=>)至慕<4, => |y| < 2.[3" ( 4 兀、解法三 令x = \ TgL t e ——，—对应X E (-8,+ 3).于是 V 2 I 2 2 /关于奇偶函数、周期函数和单调函数，参阅[1JP22—25, [4JP19-24.Ex [1JP19—20 1(5), 3, 4, 6；P25 1, 2, 5, 8, 12； [4] P34—36 54, 55, 56, 67, 68, 71, 81. 5x 2x 2 +3 3 tgt a®+i 5 sin ， 1 2 cos t sec t —Usin2r, 2V6。