同步发电机的基本方程
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电压方程的派克变换形式电机基本方程
ud rs id d q
uq rS iq q d
uo rS io o
u f rf i f f
u D rDiD D 0 uQ rQiQ Q 0
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发电机
的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简化。
➢ 同步发电机各绕组的电压方程为一组变系数的微 分方程；磁链方程则为感应系数随角度变化的代 数方程。
经过派克变换，建立了d、q、0坐标系统的发电 机基本方程。将上述电压方程转化为常系数线性 微分方程组，而磁链方程中的感应系数变为常数。 这两组方程称为同步发电机的基本方程。
➢ 结合相量图，对发电机稳态运行时的电压、电流 关系进行了分析。
5）定子与转子间的互感系数
定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900 ＝2700或
00
＝1800
时，互感为零； 时，互感为正最大 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间
转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转子旋转以
同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁
abc三相数学模型分析的困难
绕组的自感、互感系数
7.1.2 电压方程及磁
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹
角 有关
——a 相轴线与直d 轴 轴的夹角
1）定子绕组的自感系数
900
或＝2700
＝00
或＝1800
Laa l0 l2 cos 2
Lbb l0 l2 cos 2( 120 0 )
时，自感为最小值； 时，自感为最大值；
磁链方程的派克变换形式
d Ld
q
0
0 0 maf maD 0 id
Lq
00
0
maQ
iq
0 f
3 2
0 maf
0 0
L0 0 0 0 Lf mr
0 0
i0 if
Байду номын сангаас
D
3 2
maD
0
0 mr LD
0
iD
Q 0
m 3
2 aQ
0
0
0
LQ iQ
7.2.2 d、q、0坐标系统的发
Lcc l0 l2 cos 2( 120 0 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
由于凸极电机为集中激磁绕 组，其磁动势分布为矩形波， 所以凸极机气隙长度不能均 匀，为此，气隙长度按正弦 规律变化，以保证气隙磁通 按正弦规律变化，进而保证 电枢绕组相电动势按正弦规 律变化
0 2 cos 2
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ
M
bQ
M M
cQ fQ
M
DQ
LQQ
ia
ib
i
ic
f
iD
iQ
式中：
常数
对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数，
M ab M ba , M af M fa
有等可逆关系。
对磁链方程的分析：
uq rSiq &q d rSiq xdid xadi f
Eq xad i f
U&d jI&q xq U&q E&q jI&d xd
发电机端电压为 U Ud Uq Eq jId xd jIq xq
对于隐极机，由于 xd xq
7.3 同步电机的稳态运 行
U&U&d U&q E&q jI&d xd jI&qxq E&q jxd (I&d I&q )
E&q jxd I&
rs 0
U Eq jIxd
内功
率因
ψo
数角
功率 角
对于凸极机:
7.3 同步电机的稳态运 行
EqEq UUjIjdIxddxdjIjqIxq xq qEEQQ jj((xxdd xqq)Id
虚构的电势 EQ
EQ U jIxq
I Id Iq EQ 的方向与q轴同方向
小结
Laa L0 L2 cos 2
L0 傅里叶级数常数项 L2 二次谐波幅值
-q轴
d轴
+q轴
α
0
2
0 d
q
a、b、c 绕组相自感
Laa Lbb
L0 L0
L2 cos 2 L2 cos 2(
120o
)
Lcc L0 L2 cos 2( 120o)
凸极同步发电机双反应理论
Fa
Faq
7.2.3 同步电机派克方程 式的标么制
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁链以及时间的 基准值分别为：
ZB UB IB
B 2f N N LB M B ZB B
B LB I B U B B
tB 1 B
7.2.3 同步电机派克方程
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
ud rS id d q
ra rb rc r
d
dt
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
7.1.2 电压方程及
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡磁链方方程程：
uuDf
Df
r0f
0 rD
0 0
iiDf
uQ Q 0 0 rQ iQ
为交链到转子绕组的磁链
阻尼绕组为短路回路，uD 0 , uQ 0
变系数微分方程 分析困 难
7.2 d、q、0坐标系统的发电 机
基本方程
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统 7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程 7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标 变换的方法。
磁路 磁阻 最大
M ab [m0 m2 cos 2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
7.1.2 电压方程及
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极机
还是隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即转子各绕
组的自感系数为常数，令他们表示为：
f
D
M
Da
M Db
M Dc
M Df
LDD
M
DQ
iD
Q M Qa M Qb M Qc M Qf M QD LQQ iQ
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
转子绕组的 自感
各绕组的磁链方程：
7.1.2 电压方程及 磁链方程
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的 变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
定子绕组的 自感
定子绕组间的互感
a Laa M ab M ac M af M aD M aQ ia
b
M
ba
Lbb
M bc M bf
M aD
M
bQ
ib
c f
M M
ca fa
M cb M fb
Lcc M fc
M cf L ff
M cD M fD
M M
cQ fQ
i
ic
结合相量图，对同步发电机的稳态运行 进行了分析。
7.1 同步发电机的原始方程
7.1.1 前提条件 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1 前提条件
理想同步发电机的假定
电机铁芯部分的导磁系数为常数。 对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。 定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度 电角度，在气隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕 组中感应的空载电势是时间的正弦函数。 假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风 沟等不影响定子及转子的电感。
第二篇
第7章 同步发电机的基本方程
本章提示 7.1 同步发电机的原始方程 7.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程 7.3 同步电机的稳态运行 小结
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的 原始方程；
通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、 q、0坐标系统的转换，得到发电机的基 本方程及其标么制形式；
7.2.3 同步电机派克方程式的标么
制
定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的 幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
UB 2U N IB 2IN 三相功率基准值为
SB
3U N I N
3UB 2
IB 2
3 2
U
B
I
B
定子侧基准值
各绕组的磁链方程：
关于ωt的周期函数
a
b
Laa
M
ba
c f
M M
ca fa
D
Q
M
Da
M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
7.1.2 电压方程及 磁链方程
派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经过 某种变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组量， 即d轴、q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐标系 到d、q、0坐标系的变换。 采用abc坐标系统或dq0坐标系统表示的电量是交直 流互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
Fad
N
S
π
d轴 q轴 d轴 d轴
Laa Lbb
L0 L0
L2 cos 2 L2 cos 2(
120o
)
Lcc L0 L2 cos 2( 120o)
2）定子绕组间的互感系数
300 1500 或
＝大6值00 ； ＝2400
或
最小值；
磁路
磁阻
最小
7.1.2 电压方程及
时， 互感为最 时， 互感为
感谢下 载
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
4）转子各绕组间的互感系数
同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕 组于横轴绕组相互垂直，它们的互感为零，即：
M fD M Df mr M fQ M Qf 0 M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
7.1.2 电压方程及磁
t x
正方向的选取：
7.1.1 前 提 条 件
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
励磁绕组
阻 尼 绕 组
同步发电机各绕组电路图
7.1.2 电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
ua a r 0 0ia
ub
b
0
r
0
ib
uc c 0 0 r ic
uq rS iq q d
u0 rS io 0
u f rf i f f
0 rDiD D 0 rQiQ Q
7.2.3 同步电机派克方程 式的标么制
标么值形式的磁链方程为：
稳定运行时，定子三相电量均为正弦量 令 q轴为虚轴、d轴为实轴，并忽略定子绕组电阻，
ud rSid q rSid xqiq
ud rs id d q
uq rS iq q d
uo rS io o
u f rf i f f
u D rDiD D 0 uQ rQiQ Q 0
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发电机
的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简化。
➢ 同步发电机各绕组的电压方程为一组变系数的微 分方程；磁链方程则为感应系数随角度变化的代 数方程。
经过派克变换，建立了d、q、0坐标系统的发电 机基本方程。将上述电压方程转化为常系数线性 微分方程组，而磁链方程中的感应系数变为常数。 这两组方程称为同步发电机的基本方程。
➢ 结合相量图，对发电机稳态运行时的电压、电流 关系进行了分析。
5）定子与转子间的互感系数
定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900 ＝2700或
00
＝1800
时，互感为零； 时，互感为正最大 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间
转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转子旋转以
同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁
abc三相数学模型分析的困难
绕组的自感、互感系数
7.1.2 电压方程及磁
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹
角 有关
——a 相轴线与直d 轴 轴的夹角
1）定子绕组的自感系数
900
或＝2700
＝00
或＝1800
Laa l0 l2 cos 2
Lbb l0 l2 cos 2( 120 0 )
时，自感为最小值； 时，自感为最大值；
磁链方程的派克变换形式
d Ld
q
0
0 0 maf maD 0 id
Lq
00
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maQ
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0 f
3 2
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Байду номын сангаас
D
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m 3
2 aQ
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7.2.2 d、q、0坐标系统的发
Lcc l0 l2 cos 2( 120 0 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
由于凸极电机为集中激磁绕 组，其磁动势分布为矩形波， 所以凸极机气隙长度不能均 匀，为此，气隙长度按正弦 规律变化，以保证气隙磁通 按正弦规律变化，进而保证 电枢绕组相电动势按正弦规 律变化
0 2 cos 2
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ
M
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M
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式中：
常数
对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数，
M ab M ba , M af M fa
有等可逆关系。
对磁链方程的分析：
uq rSiq &q d rSiq xdid xadi f
Eq xad i f
U&d jI&q xq U&q E&q jI&d xd
发电机端电压为 U Ud Uq Eq jId xd jIq xq
对于隐极机，由于 xd xq
7.3 同步电机的稳态运 行
U&U&d U&q E&q jI&d xd jI&qxq E&q jxd (I&d I&q )
E&q jxd I&
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U Eq jIxd
内功
率因
ψo
数角
功率 角
对于凸极机:
7.3 同步电机的稳态运 行
EqEq UUjIjdIxddxdjIjqIxq xq qEEQQ jj((xxdd xqq)Id
虚构的电势 EQ
EQ U jIxq
I Id Iq EQ 的方向与q轴同方向
小结
Laa L0 L2 cos 2
L0 傅里叶级数常数项 L2 二次谐波幅值
-q轴
d轴
+q轴
α
0
2
0 d
q
a、b、c 绕组相自感
Laa Lbb
L0 L0
L2 cos 2 L2 cos 2(
120o
)
Lcc L0 L2 cos 2( 120o)
凸极同步发电机双反应理论
Fa
Faq
7.2.3 同步电机派克方程 式的标么制
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁链以及时间的 基准值分别为：
ZB UB IB
B 2f N N LB M B ZB B
B LB I B U B B
tB 1 B
7.2.3 同步电机派克方程
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
ud rS id d q
ra rb rc r
d
dt
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
7.1.2 电压方程及
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡磁链方方程程：
uuDf
Df
r0f
0 rD
0 0
iiDf
uQ Q 0 0 rQ iQ
为交链到转子绕组的磁链
阻尼绕组为短路回路，uD 0 , uQ 0
变系数微分方程 分析困 难
7.2 d、q、0坐标系统的发电 机
基本方程
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统 7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程 7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标 变换的方法。
磁路 磁阻 最大
M ab [m0 m2 cos 2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
7.1.2 电压方程及
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极机
还是隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即转子各绕
组的自感系数为常数，令他们表示为：
f
D
M
Da
M Db
M Dc
M Df
LDD
M
DQ
iD
Q M Qa M Qb M Qc M Qf M QD LQQ iQ
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
转子绕组的 自感
各绕组的磁链方程：
7.1.2 电压方程及 磁链方程
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的 变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
定子绕组的 自感
定子绕组间的互感
a Laa M ab M ac M af M aD M aQ ia
b
M
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M bc M bf
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Lcc M fc
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结合相量图，对同步发电机的稳态运行 进行了分析。
7.1 同步发电机的原始方程
7.1.1 前提条件 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1 前提条件
理想同步发电机的假定
电机铁芯部分的导磁系数为常数。 对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。 定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度 电角度，在气隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕 组中感应的空载电势是时间的正弦函数。 假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风 沟等不影响定子及转子的电感。
第二篇
第7章 同步发电机的基本方程
本章提示 7.1 同步发电机的原始方程 7.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程 7.3 同步电机的稳态运行 小结
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的 原始方程；
通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、 q、0坐标系统的转换，得到发电机的基 本方程及其标么制形式；
7.2.3 同步电机派克方程式的标么
制
定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的 幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
UB 2U N IB 2IN 三相功率基准值为
SB
3U N I N
3UB 2
IB 2
3 2
U
B
I
B
定子侧基准值
各绕组的磁链方程：
关于ωt的周期函数
a
b
Laa
M
ba
c f
M M
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D
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M
Da
M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
7.1.2 电压方程及 磁链方程
派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经过 某种变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组量， 即d轴、q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐标系 到d、q、0坐标系的变换。 采用abc坐标系统或dq0坐标系统表示的电量是交直 流互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
Fad
N
S
π
d轴 q轴 d轴 d轴
Laa Lbb
L0 L0
L2 cos 2 L2 cos 2(
120o
)
Lcc L0 L2 cos 2( 120o)
2）定子绕组间的互感系数
300 1500 或
＝大6值00 ； ＝2400
或
最小值；
磁路
磁阻
最小
7.1.2 电压方程及
时， 互感为最 时， 互感为
感谢下 载
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
4）转子各绕组间的互感系数
同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕 组于横轴绕组相互垂直，它们的互感为零，即：
M fD M Df mr M fQ M Qf 0 M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
7.1.2 电压方程及磁
t x
正方向的选取：
7.1.1 前 提 条 件
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
励磁绕组
阻 尼 绕 组
同步发电机各绕组电路图
7.1.2 电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
ua a r 0 0ia
ub
b
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ib
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uq rS iq q d
u0 rS io 0
u f rf i f f
0 rDiD D 0 rQiQ Q
7.2.3 同步电机派克方程 式的标么制
标么值形式的磁链方程为：
稳定运行时，定子三相电量均为正弦量 令 q轴为虚轴、d轴为实轴，并忽略定子绕组电阻，
ud rSid q rSid xqiq