2021高考数学7天练第5天《平面解析几何》专题训练附答案解析1

第5天 平面解析几何专题训练

[基础题训练]

1．已知直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →

的

值为( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．与P 的位置有关

解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 20－4y 2

0＝4，则直线l 的方程是x 0x 4－y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12

x .

①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 24－y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON →

＝3.

②当y 0

≠0时，直线l 的方程是y ＝1

4y 0

(x 0

x －4)．由⎩⎨⎧y ＝1

4y 0

（x 0

x －4）

x

2

4－y 2

＝0

，得(4y 20

－x 20

)x 2

＋8x 0

x －16＝0(*)，

又x 20－4y 2

0＝4，因此(*)即是－4x 2＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3

4

x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON →

＝3，故选A.

2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →

＝0，则

1k AB

＋

1k AC ＋1

k BC

＝________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，由F A →＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1

＝

2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3

，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3

2p ＝0.

答案：0

3．(2020·重庆模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.点M 在椭圆C 上滑动，

若△MF 1F 2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M 使得△MF 1F 2为直角三角形．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点P (0，1)的直线l 与椭圆C 分别相交于A ，B 两点，与x 轴交于点Q .设QA →＝λP A →，QB →＝μPB →

，求证：λ＋μ为定值，并求该定值．

解：(1)由对称性知，点M 在短轴端点时，

△MF 1F 2为直角三角形且∠F 1MF 2＝90°，且S △MF 1F 2＝4，所以b ＝c 且S ＝1

2·2c ·b ＝bc ＝4，

解得b ＝c ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝8， 所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2

4

＝1.

(2)证明：显然直线l 的斜率不为0，设直线l ：x ＝t (y －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2

8＋y 2

4＝1，

x ＝t （y －1），

消去x ，得(t 2＋2)y 2－2t 2y ＋t 2－8＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2t 2

t 2＋2，y 1y 2＝t 2－8t 2＋2.

令y ＝0，则x ＝－t ，所以Q (－t ，0)， 因为QA →＝λP A →

，所以y 1＝λ(y 1－1)， 所以λ＝y 1

y 1－1

.

因为QB →＝μPB →

，所以y 2＝μ(y 2－1)，所以μ＝y 2y 2－1.

所以λ＋μ＝y 1y 1－1＋y 2

y 2－1＝2y 1y 2－（y 1＋y 2）y 1y 2－（y 1＋y 2）＋1＝83

.

4．(2020·甘肃白银联考)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为

坐标原点，点O 到直线AF 2的距离为

2

2

，△AF 1F 2为等腰直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．

解：(1)由题意可知，直线AF 2的方程为x c ＋y

－b

＝1，

即－bx ＋cy ＋bc ＝0，则

bc b 2＋c 2＝bc a

＝2

2.

因为△AF 1F 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)证明：由(1)知A (0，－1)．

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠±1)， 代入x 22＋y 2

＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，

所以Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＞0，即t 2－2k 2＜1. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt

1＋2k 2，

x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2

.

因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，

所以k AM ＋k AN ＝

y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋t ＋1x 1＋kx 2＋t ＋1x 2＝2k ＋（t ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －（t ＋1）·4kt

2t 2－2

＝2， 整理得t ＝1－k .

所以直线l 的方程为y ＝kx ＋t ＝kx ＋1－k ＝k (x －1)＋1，显然直线y ＝k (x －1)＋1经过定点(1，1)．