贴现现金流量

208 1.08 224.64
利用时间线求多期现金流终值
A. 时间线：
0 现金流量 100元 1 100元 2
时间（年）
B. 累计终值：
0 现金流量 100元 终值合计
1 100元 108 208
2 时间（年）
224.64
图3-1：时间线
例题3.1 储蓄问题
• 你觉得可以在接下来的3年的每一年年末， 在一个利率为8%的银行账户中存入4000元， 目前该账户已经有7000元，3年后你将拥有 多少钱？4年后呢？
查年金现值系数表，第10期这一行，发现8%的年 金现值系数为6.7101。因此，保险公司提供的是 8%的报酬率。
3.2.2 年金终值
• 有年金现值系数就有年金终值系数。根据 公式：
终值系数 1 年金终值系数 1 r t 1 r
r
例题3.6：退休金
假定计划每年将2000元存入利率为8%的退休金帐 户，那么30年后退休时，将有多少钱呢？ 这里，年数是30年，利率r是8%，可以计算年金 终值系数如下：
假设你以12%的利率借入一笔汽车贷款 22000 元，要在未来的 6 年内还清。每年末 等额分期偿还一次，每次偿还额多少？ 根据附表，查贴现率12%的6年期的年金现 值系数为4.1114。所以根据年金现值计算公 式： 22000=4.1114C C=5351元
分期偿还贷款表
年末 分期偿还额 （ 1） 年末所欠本金 年息（3） （ 2） （2）t-1×r 支付的本金（1） -（ 3）
1 1 t 1 现值系数 1 r C 年金现值 C r r
年金现值系数
C后面的系数叫做年金现值系数，缩写为
PVIFA r, t
1 年金现值系数看起来复杂，但注意 t 就 1 r 是现值系数，所以
引言
在前一章中，我们讲述了贴现现金流量估 价的基本知识。然而，到目前为止，只是 针对单一现金流量。在实务中，大部分投 资都不只一笔现金流量。本章，我们就来 学习如何评价复杂现金流量的投资。
本章学习之后能解决的问题
学习完这一章，你就会掌握一些非常实用的 技巧： • 如计算汽车贷款的付款额，助学贷款的付 款额； • 你还将知道如果你每个月都只付最低的付 款额，你将需要多长时间才能还清信用卡 账单； • 如何比较利率，以及决定哪个利率最高， 哪个利率最低。
两种计算方法
当我们计算多期存款的终值时，有两种计算 方法： • 计算每年年初的余额，然后再向前滚1年； • 第2种方法是计算每一笔现金流量的终值， 再把它们加总起来。
例题3.2：投资问题
• 考虑接下来的5年中每年年末投资2000元的终值， 贴现率为10%。
0
1 2000
2 2000
3 2000
4 2000
例题3.1：解答
第1年年末，你将拥有：
7000 1.08 4000 11560
第2年年末，你将拥有： 11560 1.08 4000 16484.8 第3年年末，你将拥有： 16484.8 1.08 4000 21803.58
第4年年末，你将拥有：
21803.58 1.08 23547.87
例题3.4：
我们知道年金C是每月80元，利率r是每月 2%，期数未知。现值是1200元（你今天所 借的钱）。
PVIFA r , t 现值
1 PVIF r , t PVIFA r , t PVIF r , t 0.7
C
15
r
查现值系数表，发现2%利率下，第18期对应的系数为0.7。 所以需要大约1年半你能还清信用卡的贷款。
财务管理
贴现现金流量
引言
假设，火箭队和姚明签订了一份1000万美元的合 约，仔细看看，1000万美元的数字表明姚明的待 遇很优厚，但是实际的待遇却和报出的数字相差 甚远。合约价值的1000万美元，确切地讲要分好 几年支付，包括200万美元的奖金和800万美元的 工资，奖金和工资又要分好几年支付，因此，一 旦我们考虑到货币的时间价值，实际所得就没有 报出的数目那么多。
3.2：多期现金流量的现值
我们经常需要确定一系列未来现金流量的 现值，和求终值一样，我们可以采用两种 方法：要么每次贴现一期，要么分别算出 现值，再全部加总起来。
例题3.3
假如有一项投资将在未来5年的每年末支付 1000元，贴现率为6%，要计算现值，可以 将每一笔1000元贴现回来，再全部加总在 一起。也可以将最后一笔现金流量贴现至 前一期，然后将它加总到前一期。
例题3.3：求年金现值
假设你的预算是在未来4年每月能支付700 元，当前的月利率是1%，如果你想按揭一 辆汽车，那么你可以为该汽车向银行申请 多少贷款？
例题3.3：解答
1 PVIF 1%, 48 PVIFA 1%, 48 1 1 48 1.01 1 0.6203 37.974 r
永续年金的现值
• 对上述求年金现值的公式求极限，当t趋向 于无穷时，公式可以表达成如下：
1 1 t 1 r C 永续年金现值 lim C t r r
永续年金——优先股
优先股(preferred stock)是永续年金的一个重 要例子。当一家公司发行优先股时，承诺 就是持续地获得每期（通常是每季）的固 定现金股利。这种股利一般是在普通股利 之前发放的，所以叫优先股。
例题3.5：求年金的贴现率
• 保险公司提出，只要先一次性支付6710元， 那么它就在10年中每年给你1000元。这个 10年期的年金所隐含的利率是多少呢？
例题3.5：解答
本例中，已经知道现值6710元、年金1000元和时 间10年，求利率。 1 现值系数 6710 1000 r 1 1 10 1 r 6710 6.71 1000 r


0.01
0.01
PVIFA 700 37.974 26581.8
26581.8元就是你所能借得到，也能还得起的金额。
每年多次计复利情况下年金的现值
• 当年计复利大于1时，必须按照与终值计算 公式相同的方式来修订年金现值公式。在 每年一次复利时，现值的计算是通过用 (1+r)t去除未来现金流量，当每年计复利时， 现值就应该用公式：
0 1 2 3 4 5 6
5351 5351 5351 5351 5351 5351 32106
22000 19289 16253 12853 9044 4778 0
2640 2315 1951 1542 1085 573 10106
2711 3036 3400 3809 4266 4778 22000
5 2000
例题3.2：解答
第1年2000元的终值：
2000 1.14 2928.2
第2年2000元的终值：
2000 1.13 2662
2
第3年2000元的终值： 第4年2000元的终值： 第5年的终值：
2000 1.1 2420
2000 1.11 2200
2000 2200 2420 2662 2928.2 12210.20
PV Cn
mt r 1 1 m r m

多次计复利下的汽车贷款偿还
假设上例，以 12% 的利率借入一笔汽车贷 款 22000 元，要在未来的 4 年内还清。假设 每月等额分期偿还一次，每次偿还额多少？
12%的年利率每月计息一次，则月息为1%， 共有4×12=48期 查现值系数表，得到 PVIF(1%,48)=1/(1+1%)48= 0.7101
多次计复利下的汽车贷款偿还
根据年金现值系数计算公式，得到：
PVIFA 1%, 48 1 1 源自文库8 r 38 1 r 22000 38C C 580
例题3.4： 求付款期数
• 你在春节期间因为手头紧张，从信用卡里 透支了1200元，每个月你只能付80元，假 设信用卡的利率是每月2%，你需要多长时 间才能还清这笔1200元的借款呢？
0 现金流量
1 100元
2 200元
3 时间（年） 300元
如假定一个3年期的投资，第1年的现金流量为100元， 第2年的现金流量为200元，第3年的现金流量为300元， 那么画出时间线，在没有别的信息时，应该如上图。
3.2 均衡现金流量：年金和永续年金
我们经常遇到的情况是多期现金流量，而 且每一期的金额都一样。例如，非常普遍 的住房贷款和汽车贷款要求借款人在某段 时间，每期偿还固定的金额，而且通常是 每个月只付一次。
例题3.3：解答
0 1 1000
2
1000
3
1000
4
1000
5
1000
943.4
1 1.06
1 1.062
890 839.62
792.09 747.26
1 1.063
1 1.064
1 1.065
4212.37
关于现金流量时点的说明
在求在求现值和终值时，现金流量的时点非常重要。几乎所 有这种计算中，都隐含地假设现金流量发生在每期期末。实 际上，所有的公式，现值表和终值表中，都假设现金流量发 生在期末。除非另有说明，否则假设就包含这个意思。
• 年金现值系数=（1-现值系数）/r
分期偿还贷款
年金现值概念的一个重要应用就是确定分 期偿还贷款所需的偿付额。在房贷、汽车 贷款等商业贷款中分期偿还贷款的情况很 普遍，其特点是以等额的方式定期偿还， 一般是每月、每季、每半年或每年偿还一 次，因此符合年金现值的定义。我们举例 来看一下如何计算。
运用年金现值系数计算分期偿还贷款
终值系数 1 年金终值系数 10.0627 1 0.08 113.283 r 1.08
30
1
0.08
年金终值 2000 113.28 226566.4
3.2.4 永续年金
已经知道，一系列均衡现金流量被称为年 金。年金的一种重要的特例是现金流量无 限地持续下去，这种情况叫做永续年金 （perpetuity）。
3.1 多期现金流量的现值和终值 上次课已经讲述了一个总现值的终值，或 者单一的未来现金流量的现值。本节课， 将拓展这些基本的结果来处理多期现金流 量。
3.1.1 多期现金流量的终值
假设在一个利率为8%的帐户中以后三年每 年存入100元，那两年后将有多少钱？ • 第1年年末：108元，加上第2年存入的100 元，共有208元 • 这208元在8%的帐户中存1年，到第2年年末， 价值为：
3.2.1 年金流量的现值
用这种方法在期数较少的情况下还不错， 但我们经常遇到的情况是期数非常多， 如，典型的住房贷款需要逐月付款30年， 总共付360次。如果我们想要确定这些付款 的现值，采用简便的方法帮助很大。
3.2.1 年金流量的现值
既然现金流量都一样，就可以利用基本现 值等式的一个变化形式。 当报酬率或利率为r，持续期为t，每期C元 的年金现值是：
3.2.1 年金流量的现值
一般来说，这种在固定期间内，发生在每 期期末的一系列固定现金流量叫做年金 （annuity）。由于年金在期末的现金流量 是固定的，所以确定年金的价值时，有简便 的方法 。
3.2.1 年金流量的现值
假设以后三年每年年末收到 1元，使用10% 的贴现率，此现金流量序列现值的计算过 程为： 一年后收到1元的现值=0.90909 二年后收到1元的现值=0.82645 三年后收到1元的现值=0.75131 现金流量序列的现值
例题3.7：优先股股利
假设公司想要以100元发行优先股，已经流 通在外的类似优先股的每股价格是40元， 每季发放1元的股利。如果公司要发行这支 优先股，它必须提供多少股利？
例题3.7：解答
• 已发行的优先股的现值是40元，现金流是永续 的1元，因此根据永续年金现值公式有：