水平宽铅垂高求三角形面积

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法

------------二次函数教学反思

铅垂高

如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

A 的旋转120°，得到线段O

B .（1）求点B 的坐标；（2）求

经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1

（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（

a

，因此2

y x

=

（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=—1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小.

设直线AB为y=kx+b.

所以

20.

k

k b

k b

b

⎧

⎪

⎧+=

⎪⎪

⎨⎨

-+=

⎪⎩⎪

=

⎪⎩

解得，因此直线AB

为y，当x=－1

时，y=，因此点C的坐标为（－1

）.

（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D.

当x=－1

2

时，△PAB

，此时1,

2

P

⎛

-

⎝⎭

.

例2．(2014益阳)如图2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及

CAB S ∆；(3)是否存在一点P ，使S △PAB =8

9

S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存

在，请说明理由.

解：(1)设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y 把A （3,0）代入解析式求得1-=a 所以

324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为：

b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0( 把

)0,3(A ，)3,0(B 代入b kx y +=2中

解得：

3,1=-=b k 所以32+-=x y

(2)因为C 点坐标为(１,4)所以当x ＝１时，y 1＝4，y 2＝2所以CD ＝4-2＝23232

1=⨯⨯=∆CAB S (平方单位)

(3)假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△PAB 的铅垂高为h ，则

x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89

S △CAB 得3

8

9)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得：091242=+-x x 解得，23=x 将2

3

=x 代入3221++-=x x y 中，解得P 点坐标

为)4

15,23(

例3．（2015江津）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨

--+=⎩＝∴2

3b c =-⎧⎨=⎩

∴抛物线解析式为：223y x x =--+

(2)存在。 理由如下：由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点， 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+

∴C 的坐标为：(0，3) 直线BC 解析式为：3y x =+ Q 点坐标即为1

3x y x =-⎧⎨=+⎩

的解

∴1

2

x y =-⎧⎨

=⎩∴Q(－1，2)

（3）答：存在。理由如下：

设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<，

∵9

2

BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ∆就最大，∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形＝11

()22

BE PE OE PE OC =

⋅++ ＝2211(3)(23)()(233)22

x x x x x x +--++---++＝23

3927()2

2

2

8

x -+++ 当32

x =-时，BPCO S 四边形最大值＝9272

8+ ∴BPC S ∆最大＝9279272828

+-= 当32x =-时，215234x x --+=

∴点P 坐标为315

( )24

-， 同学们可以做以下练习：

OABC 的长

1．（2015浙江湖州）已知如图，矩形