全国初中数学竞赛《圆》历届真题
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题及答案
全国初中数学竞赛试题汇编---几何解答题1、如图，圆O 与圆D 相交于,A B 两点，BC 为圆D 的切线，点C 在圆O 上，且AB BC =.（1）证明：点O 在圆D 的圆周上.（2）设△ABC 的面积为S ，求圆D 的的半径r 的最小值.解:（1）连,,,OA OB OC AC ，因为O 为圆心，AB BC =，所以△OBA ∽△OBC ，从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥，所以9090DOB OBA OBC DBO ∠=°−∠=°−∠=∠，所以DB DO =，因此点O 在圆D 的圆周上.（2）设圆O 的半径为a ，BO 的延长线交AC 于点E ，易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤，OE x =，AB l =，则222a x y =+，()S y a x =+，22222222()2222()aSl y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=.因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =，所以△BDO ∽△ABC ，所以BD BO AB AC =，即2r a l y =，故2alr y=.所以22223222()4422a l a aS S a Sr y y y y ==⋅=⋅≥，即r ≥其中等号当a y =时成立，这时AC 是圆O 的直径.所以圆D 的的半径r .2、如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明．因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB =⋅．同理可得CEEG AD AB=⋅．又因为tan AD BEACB CD CE ∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅，于是可得DF EG =．解法2：结论是DF EG =．下面给出证明连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=°，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故CED ABC ∠=∠．又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠．所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC ？证明你的结论．解：存在满足条件的三角形．当△ABC 的三边长分别为6=a ，4=b ，5=c 时，B A ∠=∠2．………………5分如图，当B A ∠=∠2时，延长BA 至点D ，使b AC AD ==．连接CD ，则△ACD 为等腰三角形．因为BAC ∠为△ACD 的一个外角，所以2BAC D ∠=∠．由已知，2BAC B ∠=∠，所以D B ∠=∠．所以△CBD 为等腰三角形．又D ∠为△ACD 与△CBD 的一个公共角，有△ACD ∽△CBD ，于是BDCDCD AD =，即cb aa b +=，所以()c b b a +=2．而264(45)=×+，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形．………………15分说明：满足条件的三角形是唯一的．若B A ∠=∠2，可得()c b b a +=2．有如下三种情形：（i ）当b c a >>时，设1+=n a ，n c =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()()21121n n n +=−−，解得5=n ，有6=a ，4=b ，5=c ；（ⅱ）当b a c >>时，设1+=n c ，n a =，1−=n b （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()n n n 212⋅−=，解得2=n ，有2=a ，1=b ，3=c ，此时不能构成三角形；（ⅲ）当c b a >>时，设1+=n a ，n b =，1−=n c （n 为大于1的正整数），代入()c b b a +=2，得()()1212−=+n n n ，即0132=−−n n ，此方程无整数解．所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内角等于另一个内角的2倍的三角形存在，而且只有三边长分别为4，5，6构成的三角形满足条件．4、△ABC 的三边长,,,,,BC a AC b AB c a b c === 都是整数，且,a b 的最大公约数是2.点G和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且90oGIC ∠=，求△ABC 的周长.解：如图，连结GA ，GB ，过G ，I 作直线交BC 、AC 于点E 、F ，作△ABC 的内切圆I ，切BC 边于点D 。
全国初中数学联赛真题 圆(09-18)
2018年联赛第1试B卷第3题
1.已知D是△ABC内一点，E是AC的中点，AB=6,BC=8,∠BAD=∠BCD,∠EDC=∠ABD,则DE=.
运用四点共圆解决
第2试A卷
2.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°,OA=12,点C在OA上，AC=4,点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F.
（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；
（2）求CE+2DE的最小值.
2017年联赛
第1试A卷
3.设A是AB为直径的圆上的一点，AD⊥BC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足∠BAF=∠CAE.已知BC=15，BF=6，BD=3，则AE=.
第1试B卷
4.设O是锐角三角形ABC的外心，DE分别为线段BC，OA的中点，∠ACB=7∠OED，∠ABC=5∠OED，则∠OED=.
答案：48°
第2试A卷
18.如图，在□ABCD中，E为对角线BD上一点，且满足∠ECD=∠ACB，AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F.证明：∠DFE=∠AFB.
第2试B卷
19.如图，已知O为△ABC的外心，AB=AC，D为△OBC的外接圆上一点，过点A作直线OD的垂线，垂足为H.若BD=7，DC=3，求AH.
第2试A卷
27.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点.求证：（1）∠PBD=30°；（2）AD=DC.
第2试B卷
28．如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，对角线AC，BD交于点S，且DS=2SB，P为AC的中点.求证： AD=DC.
初中数学圆试题及答案
初中数学圆试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 圆的半径是5，那么圆的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B2. 已知圆的直径是10，那么圆的周长是多少？A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π答案：B3. 一个圆的周长是31.4厘米，那么这个圆的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A4. 圆的直径增加一倍，面积增加多少倍？A. 2倍B. 4倍C. 6倍D. 8倍答案：B5. 如果一个圆的半径是3厘米，那么它的直径是多少？A. 6厘米B. 9厘米C. 12厘米D. 15厘米答案：A6. 圆的周长公式是C=2πr，其中C表示周长，r表示半径，π是一个常数，那么π的值是多少？A. 2B. 3C. 3.14D. 3.14159答案：C7. 一个圆的半径是4厘米，那么这个圆的面积是多少？A. 16π平方厘米B. 64π平方厘米C. 100π平方厘米D. 256π平方厘米答案：B8. 圆的面积公式是A=πr²，其中A表示面积，r表示半径，如果一个圆的半径是2厘米，那么它的面积是多少？A. 4π平方厘米B. 8π平方厘米C. 12π平方厘米D. 16π平方厘米答案：B9. 如果一个圆的周长是25.12厘米，那么它的半径是多少？A. 4厘米B. 5厘米C. 6厘米D. 8厘米答案：B10. 圆的直径是半径的多少倍？A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 圆的周长是半径的______倍。
答案：2π2. 如果一个圆的半径是7厘米，那么它的直径是______厘米。
答案：143. 圆的面积是半径平方的______倍。
答案：π4. 圆的直径是半径的______倍。
答案：25. 如果一个圆的面积是28.26平方厘米，那么它的半径是______厘米。
答案：3三、解答题（每题5分，共25分）1. 已知圆的半径是8厘米，求这个圆的周长和面积。
初中数学竞赛：圆与圆(附练习题及答案)
初中数学竞赛：圆与圆圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下三种方法：1．通过两圆交点的个数确定；2．通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定；3．通过两圆的公切线的条数确定．为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、共切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=22，那么∠BAF= 度．思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数．注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素．(2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解．【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( )A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系．【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N．(1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE；(2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长．思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系．【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=24，大、小两圆半径差为2．(1)求大圆半径长；(2)求线段BF的长；(3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切．思路点拨 (1)设大圆半径为R ，则小圆半径为R-2，建立R 的方程；(2)证明△EBC ∽△ECF ；(3)过B 、F 、C 三点的圆的圆心O ′，必在BF 上，连O ˊC ，证明∠O ′CE=90°．注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相似三角形等丰富的知识．作出圆中基本辅助线、运用与圆相关的角是解本例的关键． 【例5】 如图，AOB 是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O 1的圆心O 1在OA 上，并与弧AB 内切于点A ，半圆O 2的圆心O 2在OB 上，并与弧AB 内切于点B ，半圆O 1与半圆O 2相切，设两半圆的半径之和为x ，面积之和为y ． (1)试建立以x 为自变量的函数y 的解析式； (2)求函数y 的最小值．思路点拨 设两圆半径分别为R 、r ，对于(1)，)(2122r R y +=π，通过变形把R 2+r 2用“x =R+r ”的代数式表示，作出基本辅助线；对于(2)，因x =R+r ，故是在约束条件下求y 的最小值，解题的关键是求出R+r 的取值范围．注：如图，半径分别为r 、R 的⊙O l 、⊙O 2外切于C ，AB ，CM 分别为两圆的公切线，O l O 2与AB 交于P 点，则：(1)AB=2r R ；(2) ∠ACB=∠O l M O 2=90°； (3)PC 2=PA ·PB ；(4)sinP=rR rR +-； (5)设C 到AB 的距离为d ，则dR r 211=+．专题训练1．已知：⊙O l 和⊙O 2交于A 、B 两点，且⊙O l 经过点O 2，若∠AO l B=90°，则∠A O 2B 的度数是 ．2．矩形ABCD 中，AB=5，BC=12，如果分别以A 、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围 ． 3．如图；⊙O l 、⊙O 2相交于点A 、B ，现给出4个命题：(1)若AC 是⊙O 2的切线且交⊙O l 于点C ，AD 是⊙O l 的切线且交⊙O 2于点D ，则AB 2=BC ·BD ； (2)连结AB 、O l O 2，若O l A=15cm ，O 2A=20cm ，AB=24cm ，则O l O 2=25cm ；(3)若CA 是⊙O l 的直径，DA 是⊙O 2 的一条非直径的弦，且点D 、B 不重合，则C 、B 、D 三点不在同一条直线上，(4)若过点A 作⊙O l 的切线交⊙O 2于点D ，直线DB 交⊙O l 于点C ，直线CA 交⊙O 2于点E ，连结DE ，则DE 2=DB ·DC ，则正确命题的序号是 (写出所有正确命题的序号) ．4．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O l 与AB 切于点M ，设⊙O l 的半径为y ，AM 的长为x ，则y 与x 的函数关系是 ，自变量x 的取值范围是 ．5．如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是( ) A ．2 B ．221+C ．231+D ．231+6．如图，已知⊙O l 、⊙O 2相交于A 、B 两点，且点O l 在⊙O 2上，过A 作⊙O l l 的切线AC 交B O l的延长线于点P ，交⊙O 2于点C ，BP 交⊙O l 于点D ，若PD=1，PA=5，则AC 的长为( ) A ．5 B ．52 C ．52+ D ．537．如图，⊙O l 和⊙O 2外切于A ，PA 是内公切线，BC 是外公切线，B 、C 是切点①PB=AB ；②∠PBA=∠PAB ；③△PAB ∽△O l AB ；④PB ·PC=O l A ·O 2A ． 上述结论，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．两圆的半径分别是和r (R>r)，圆心距为d ，若关于x 的方程0)(222=-+-d R rx x 有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是( )A ．一定内切B ．一定外切C ．相交D ．内切或外切9．如图，⊙O l 和⊙O 2内切于点P ，过点P 的直线交⊙O l 于点D ，交⊙O 2于点E ，DA 与⊙O 2相切，切点为C ．（1）求证：PC 平分∠APD ； (2)求证：PD ·PA=PC 2+AC ·DC ； (3)若PE=3，PA=6，求PC 的长．10．如图，已知⊙O l 和⊙O 2外切于A ，BC 是⊙O l 和⊙O 2的公切线，切点为B 、C ，连结BA 并延长交⊙O l 于D ，过D 点作CB 的平行线交⊙O 2于E 、F ，求证：(1)CD 是⊙O l 的直径；(2)试判断线段BC 、BE 、BF 的大小关系，并证明你的结论．11．如图，已知A是⊙O l、⊙O2的一个交点，点M是 O l O2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交⊙O l、⊙O2于B、C．(1)求证：AB=AC；(2)若O l A切⊙O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为d l、d2，求证：d l+d2=O1O2；(3)在(2)的条件下，若d l d2=1，设⊙O l、⊙O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2= R2r2．12．已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为．13．如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为．14．如图，⊙O l和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦AB经过⊙O l的圆心O l，交⊙O l于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则⊙O l与⊙O2的直径之比为( )A．2：7 B．2：5 C．2：3 D． 1：315．如图，⊙O l与⊙O2相交，P是⊙O l上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是( )A．1，2 B．1，3 C．1，2，3 D．1，2，3，416．如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作一直线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立( )A．有内切圆无外接圆 B有外接圆无内切圆C．既有内切圆，也有外接圆 D．以上情况都不对17．已知：如图，⊙O与相交于A，B两点，点P在⊙O上，⊙O的弦AC切⊙P于点A，CP 及其延长线交⊙P P于点D，E，过点E作EF⊥CE交CB的延长线于F．（1）求证：BC是⊙P的切线；(2)若CD=2，CB=22，求EF的长；(3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使△PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由．18．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．(1)若PC=PD，求PB的长；(2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，如果存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；如果不存在，说明理由；(3)当点F在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD 具有何种关系)时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论．19．如图，D、E是△ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，∠DAE=∠CAF．(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论；(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长．20．问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面．操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求，画示意图) ．方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；，探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径；(2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径；(3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试判断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特殊四边形，并加以证明．参考答案。
全国初中数学竞赛《圆》历届真题
初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2B 1C 1 （第3题图）＋QO 2，即22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以 KPKE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段（第4题）C（第3题答案图）CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △ABD中，由射影定理得22PA AC AE AB==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。
历届初中数学竞赛试题及答案
历届初中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 16答案：C3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数列1, 1, 2, 3, 5, ...，每个数都是前两个数的和，这个数列的第6个数是多少？A. 8B. 13C. 21D. 34答案：B5. 如果一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________。
答案：非负数7. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，它的体积是________。
答案：24立方厘米8. 一个分数的分子和分母同时乘以一个相同的数，这个分数的值________。
答案：不变9. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是________。
答案：1，-1，010. 一个圆的周长是2πr，其中r是圆的半径，π是圆周率，π的值约等于________。
答案：3.14三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个班级有50名学生，其中30名学生参加了数学竞赛，20名学生参加了英语竞赛，并且有5名学生同时参加了数学和英语竞赛。
请问只参加数学竞赛的学生有多少人？答案：只参加数学竞赛的学生有30-5=25人。
12. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
答案：等差数列的公差d=5-2=3，第10项a10=a1+(10-1)*d=2+9*3=29。
13. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边长。
答案：根据勾股定理，另一条直角边长b=√(13²-5²)=12。
历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
圆的初中数学竞赛题选
圆的初中数学竞赛题选文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]关于圆的问题圆的有关问题是与直线型紧密结合在一起的，因而综合性强，富于变化.圆的有关计算与证明例1 圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.例2 在边长为1cm的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1c m的点,求余下部分的面积.例3三个全等的圆有一个公共点O，并且都在一个已知△ABC内.每个圆与△ABC 的两边相切.求证：△ABC的内心、外心和O点共线.例4如图35-4，在△ABC中，BD、CE为高，F、G分别为ED、BC的中点，O为外心，求证：AO∥FG.例5已知在凸五边形ABCDE中，∠BAE=3a,BC=CD=DE，且∠BCO=∠CDE=180°-2a，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.例6如图35-6，AB 为定圆O 中的定弦，作⊙O 的弦C 1D 1，C 2D 2，…C 1988D 1988，对其中每一i （i=1，2，…,1988），C i D i 都被弦AB 平分于M i .过C i 、D i 分别作⊙O 的切线，两切线交于P i .求证：点P 1，P 2，…，P 1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点.例7若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形内接于圆. 托勒密逆定理例8如图35-8，已知AD 、BC 是⊙O 的两条相交的弦，且B 在劣弧AD 上，⊙O 的半径为5，BC=6，AD 被BC 平分；又设从A 出发的弦只有AD 能被BC 等分，这样可以知道AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数nm，求mn. 例9(1962年北京中学生数学竞赛题)任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.例10（第21届国际中学生数学竞赛题）如图35-10，平面上两圆相交，其中一交点为A.两动点各以匀速自A 点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到A 点.求证平面上有一定点P ，它不论在何时皆和两动点等距离.关于圆的问题例1 （第3届全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.解 由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边排列的顺序无关.不妨设八边形ABCDEFGH 如图35-1，且有AB=CD=EF=GH=2， BC=DE=FG=HA=1. 双向延长AH 、BC 、DE 、FG得正方形KLMN.故S 八边形ABCDEFGH =S 正方形KLMN -4S △ABK=.245)2(214)122(22+=⋅-+例2 （第19届全苏中学生竞赛题）在边长为1cm 的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1cm 的点,求余下部分的面积.解 以A 为圆心,1cm 长为半径的扇形ABE 内的点到点A 的距离都小于1cm.分别以正五边形的各顶点为圆心,1cm 长为半径作弧,以五段圆弧为边界的“曲边五边形”MNPQR 内的点到正五边形ABCDE 各顶点的距离小于1cm.五边形内余下的部分是五个等积的“曲边三角形”BMC 、CND 、DPE 、EQA 、ARB （如图35-2）.考察“曲边三角形”BMC 与以∠BAM 为圆心角(等于60°)的扇形BAM 的面积之和,恰等于等边三角形ABM 与以∠CBM 为圆心角（等于108°-60°=48°）的扇形CBM 的面积之和.所以，所要求的面积为： 5S 曲边△BMC=5(S △ABM +S 扇形CBM -S 扇形BAM ) =5)615243(ππ-+=).(64352cm π-例3 （第22届国际数学竞赛题）三个全等的圆有一个公共点O ，并且都在一个已知△ABC 内.每个圆与△ABC 的两边相切.求证：△ABC 的内心、外心和O 点共线.证明 如图35-3,设三等圆为⊙A ′、⊙B ′和⊙C ′.故A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，C ′A ′∥CA.于是△A ′B ′C ′∽△ABC.由于三等圆分别与△ABC 的两边相切，故AA ′、BB ′、CC ′相交于△ABC 内心I.显然，I 也是△A ′B ′C ′的内心.因此，△ABC 的外心E ，△A ′B ′C ′的外心又O 是三等圆的公共点，OA ′=OB ′=OC ′，因此O 即是△A ′B ′C ′的外心E ′.故E ，O 、I 三点共线.四点共圆例4 （1980年哈尔滨初中数学竞赛题）如图35-4，在△ABC 中，BD 、CE 为高，F 、G 分别为ED 、BC 的中点，O 为外心，求证：AO ∥FG.证明 过A 作⊙O 的切线AT.∵BD 、CE 为高，∴B 、C 、D 、E 四点共圆.∴∠TAC=∠ABC=∠ADE∴AT ∥ED.又AO ⊥AT ，∴AO⊥ED.又∵G 为BC 中点，∴DG=21BC=EG.而EF=DF ，∴FG ⊥ED.故AO∥FG.例5（1990年全国初中数学竞赛题）已知在凸五边形ABCDE 中，∠BAE=3a,BC=CD=DE ，且∠BCO=∠CDE=180°-2a ，求证：∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明 连结BD 、CE.∵BC=CD=DE ，∠BCD=∠CDE ，∴△BCD ≌△CDE.又∠BCD=180°-2a,∴∠CBD=∠CDB=∠DCE=∠DEC=a,∴B 、C 、D 、E 四点共圆，且BC=CD=DE=2a.∴BCDE=6a.又∠BAE=3a ， ∴A 、B 、C 、D 、E 共圆.∴∠BAC=∠CAD=∠DAE=a.例6 （1988年广州等五市数学联赛题）如图35-6，AB为定圆O中的定弦，作⊙O的弦C1D1，C2D2，…C1988D1988，对其中每一i（i=1，2，…,1988），CiDi都被弦AB平分于Mi.过Ci、Di分别作⊙O的切线，两切线交于Pi.求证：点P1，P2，…，P1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点.证明连OCi 、ODi，对每个i（i=1，2，…1988），∵Ci Di均被AB平分于Mi，∴Ci Mi·DiMi=AMi·BMi.①又PiCi,PiDi分别切⊙O于Ci、Di，故知O、Ci、Pi、Di共圆，且OPi通过CiDi的中点Mi.∴CiMi·DiMi=PiMi·OMi. ②由①、②得OMi·MiPi=MiA·MiB.∴Pi和O、A、B共圆.但O、A、B为定点，∴Pi和⊙OAB的圆心距离相等.即点P1，P2，…，P1988与定点等距离，这定点为⊙OAB的圆心.例7若凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和，则此四边形人接于圆.证明如图35-7，在凸四边形ABCD中，设AC·BD=AB·CD+AD·BC.（※）作∠ECD=∠ACB，∠EBC=∠CAD，于是△BEC∽△ADC，∴ACBCADBE=ACBCDCEC=②由①得BE·AC=AD·BC. ③由②及∠1=∠2,可得△ABC∽△DCE.∴∠3=∠4，.DCACDEAB=③+④即有(BE+DE)·AC=AD ·BC+AB ·DC. ⑤比较⑤式与(※)式 得BE+DE=BD. 这说明，E 在BD 上，∠3与∠BDC 重合. ∴∠BDC=∠BAC.故A 、B 、C 、D 四点共圆. 此例是托勒密逆定理.1．杂题例8（第1届美国数学邀请赛题）如图35-8，已知AD 、BC 是⊙O 的两条相交的弦，且B 在劣弧AD 上，⊙O 的半径为5，BC=6，AD被BC 平分；又设从A 出发的弦只有AD 能被BC 等分，这样可以知道AB 劣弧对应的圆心角的正弦是一个有理数.如果把这个有理数化为最简分数n m，求mn.分析设AD 、BC 交于M ，M 为AD 中点，则点M 的轨迹是在A 点与⊙O 内切的半径为25的⊙P ，依题意BC 与⊙P 切于点M. 要求mn ，须求sin ∠AOB=nm，亦是求cos ∠AOB 之值.作ON ⊥BC 于N ，连OB ，则 BN=BC 21=3，ON=.422=-BN OB作PQ ⊥ON 于Q,连PM,则PQNM 为矩形,故有QN=PM=OP=21AO=25,OQ=ON-QN=,23 MN=PQ=,222=-OQ OP BM=BN-MN=1 BP=.22922=+PM BM 在△POB 中,由余弦定理, cos ∠AOB=BOPO BP BO PO⋅⋅-+2222=5252)2921(5)25(222⋅⋅-+=2524,∴sin ∠AOB=AOB ∠-2cos 1=.257)2524(12=-∴mn=7×25=175.例9(1962年北京中学生数学竞赛题)任意剪六个圆形纸片放在桌面上,使得没有一个纸片的中心落在另一纸片上或被另一纸片盖住,然后用一枚针去世扎这一堆纸片.证明:不论针尖落在哪一点,总是不能一次把六个纸片全部扎中.分析 这命题等价于：平面上有六个圆，每个圆心都在其余各圆的外部，证明平面上任意一点都不会同时在这六个圆内部. 证明 （反证法）如图35-9，设平面上有一点M 同时在这六个圆内部，连结六个圆心： MO 1，MO 2，…，MO 6.则∠O 1MO 2+∠O 2MO 3+…+∠O 6MO 1=360°.因此，至少有一个角不大于60°，不妨设∠O1MO2≤60°，即γ≤60°.又，α+β+γ=180°则α,β中必有一个不小于60°.不妨设β≥60°，则β≥γ.∴O1O2≤O1M＜r1(r1为圆⊙O1的半径).故O2在⊙O1内，这与题设矛盾，这就证明了M点不可能同时在六个圆的内部.例10（第21届国际中学生数学竞赛题）如图35-10，平面上两圆相交，其中一交点为A.两动点各以匀速自A点出发在不同的圆周上同向移动，这两点移动一周后同时返回到A点.求证平面上有一定点P，它不论在何时皆和两动点等距离.解设⊙O1与⊙O2相交于A和A′并设两动点Q1和Q2分别在⊙O1和⊙O2上，使∠AO1Q1=∠AO2Q2.连Q1A′Q2A′.因为圆周角等于同弧所对圆心角的一半，故∠AA′Q1=∠21AO1Q1,∠AA′Q2=π-∠AXQ2=π-21∠AO2Q2.∴∠AA′Q1+∠AA′Q2=π.即有Q1、B、Q2三点共线.过A点作MN⊥AA′分别交两圆于M、N，（如图35-11），设Q1和Q2表示两动点在任一时刻的位置.由圆内接四边形两对角互补可知∠MQ1A′=∠A′Q2N=.2作Q1Q的中垂线，交MN于它的中点P，点P就是所求的定点.它显然和Q1，Q2等距离.后记;。
2018全国各地中考数学试题《圆》试题汇编（解答题）
2018全国各地中考数学试题《圆》试题汇编（解答题）2018全国各地中考数学试题《圆》解答题汇编1.（2018?黄冈）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．（1）求证：∠CBP=∠ADB．（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长．2.（2018?长春）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求AD的长．（结果保留π）3.（2018?德州）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是BF的中点．（1）求证：AD⊥CD；（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，⼀只蚂蚁从点B出发，沿着BE-EC-CB爬回⾄点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，3≈1.73，结果保留⼀位⼩数）．4.（2018?北京）如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外⼀点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．（1）求证：OP⊥CD；（2）连接AD，BC，若∠DAB=50°，∠CBA=70°，OA=2，求OP的长．5.（2018?昆明）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．6.（2018?兰陵县⼆模）如图，已知三⾓形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆⼼O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．（1）求证：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．7.（2018?⾚峰）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O在AB上，⊙O经过A、D两点，交AC于点E，交AB于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径是2cm，E是AD的中点，求阴影部分的⾯积（结果保留π和根号）8.（2018?天津）已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC=38°，（I）如图①，若D为AB的中点，求∠ABC和∠ABD的⼤⼩；（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的⼤⼩．9.（2018?福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂⾜为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂⾜为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；⼩．10.（2018?潍坊）如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；11.（2018?邵阳）如图所⽰，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，过点B作BD⊥CD，垂⾜为点D，连结BC．BC平分∠ABD．求证：CD为⊙O的切线．12.（2018?襄阳）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上⼀点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；13.（2018?孝感）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB 的延长线于点G．（1）求证：DF是⊙O的切线；，CF=2，求AE和BG的长．14.（2018?抚顺）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上⼀点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．15.（2018?泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上⼀点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的⾯积．15.（2018?攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的⾯积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．16.（2018?扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆⼼，OE为半径作半圆，交AO于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的⾯积；（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最⼩值时，直接写出BP的长．17.（2018?云南）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB 的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的⾯积．18.（2018?聊城）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为2.5，BE=4，求BC，AD的长．19.（2018?长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE ∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三⾓形．（3）求△ABC的外接圆圆⼼P与内切圆圆⼼Q之间的距离．20.（2018?河南）如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC 交DO于点F．（1）求证：CE=EF；（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：21.（2018?咸宁）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=5，求DE的长．22.（2018?齐齐哈尔）如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BF=BC=2，求图中阴影部分的⾯积．23.（2018?郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上⼀点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂⾜为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24.（2018?陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．25.（2018?宿迁）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．26.（2018?淮安）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点．（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的⾯积．27.（2018?随州）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O，分别交AC、CN于D、M两点．（1）求证：MD=MC；（2）若⊙O的半径为5，AC=45，求MC的长．27.（2018?湖北）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上⼀点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．28.（2018?宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE⾄点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的⾯积．29.（2018?黄⽯）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2 3，∠BCD=120°，A为BE的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．（1）求线段BD的长；（2）求证：直线PE是⊙O的切线．30.（2018?衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB 的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求BD的长度．（结果保留π）31.（2018?怀化）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点F，C是⊙O上两点，连接AC，AF，OC，弦AC平分∠FAB，∠BOC=60°，过点C作CD⊥AF交AF 的延长线于点D，垂⾜为点D．（1）求扇形OBC的⾯积（结果保留π）；（2）求证：CD是⊙O的切线．32.（2018?达州）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若等边△ABC的边长为8，求由DE、DF、EF围成的阴影部分⾯积．33.（2018?湖州）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC的长．34.（2018?临沂）如图，△ABC为等腰三⾓形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=3，BE=1．求阴影部分的⾯积．35.（2018?常德）如图，已知⊙O是等边三⾓形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有⼀点F，使DF=DA，AE∥BC 交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．36.（2018?沈阳）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A 作⊙O的切线交BE延长线于点C．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．37.（2018?官渡区⼆模）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点D是AM上⼀点，连接OD，过点B作BE∥OD 交⊙O于点E，连接DE并延长交BN于点C．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=l，BC=4，求直径AB的长．38.（2018?⾦⽔区校级模拟）如图所⽰，PB是⊙O的切线，B为切点，圆⼼O在PC上，∠P=30°，D为弧BC的中点．（1）求证：PB=BC；（2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．39.（2018?历城区⼀模）某居民⼩区的⼀处圆柱形的输⽔管道破裂，维修⼈员为更换管道，需要确定管道圆形截⾯的半径．如图，若这个输⽔管道有⽔部分的⽔⾯宽AB=16cm，⽔最深的地⽅的⾼度为4cm，求这个圆形截⾯的半径．40.（2018?昌平区⼆模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C 的切线交AB的延长线于点F，连接DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）连接BC，若∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．41.（2018?天⽔模拟）已知，如图AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦BC平分∠PBD，且BD⊥PD于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）若AB=8cm，BD=6cm，求CD的长．42.（2018?葫芦岛⼀模）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC 是平⾏四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若∠F=30°，EB=8，求图中阴影部分的⾯积．（结果保留根号和π）43.（2018?内乡县⼀模）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD=OC．（1）求证：四边形OCAD是平⾏四边形；（2）探究：②当∠B满⾜什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．43.（2018?资中县⼀模）如图，AB是⊙O的⼀条弦，OD⊥AB，垂⾜为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；（2）若OC=3，OA=5，求AB的长．44.（2018?合肥模拟）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．（1）求证：AB=CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE=1，求AE的长．。
全国初中数学竞赛圆历届真题
初中数学竞赛《圆》历届考题外接圆上一是△ABC的边．D是△ABCAB上的一点，使得AB=3AD，P1（04）PB的值.点，使得，求ACBADP???PD解：连结AP，则，ADP??ACB?APB??分）…………………………（5APB ∽△ADP，所以，△ABAP∴，?APAD22，所以AD3AB?ADAP??AP?3AD，∴…………………………（10分）PBAP.…………………………（15所以分）3??PDAD BA12、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是D 点I关于边BC，CA，AB的对称点。
若点B在△A1B1C1的外接C1圆上，则∠ABC等于（）IA、30°B、45°C、60°D、90° AC答：CB1解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1 2ID，＝°°，同理，∠所以∠IBD＝30IBA＝30°，于是，∠ABC＝60，．若QP=QOQ上，连结DP，交AC于点AB，正方形．3（06）ABCD内接于⊙O点P在劣弧QC的值为（则）D CQA3?32?2323?12）））（D（B （A（）C O．答：D QBAm＋，QP=mr的半径为，QO=m，则，QC=rO解：如图，设⊙P．QD·QC=QP·QA中，根据相交弦定理，得O．在⊙m－QA=r题图）3（第22m?r22－DOQD=QD=．连结DOr，由勾股定理，得m)(r＋m)=m·QD，所以即(m222??mr?313?QCr?m222??rm?mr??2?3???即＋QO，解得所以，，??3m mQAr?13???A，B．过点外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A064．（）如图，点P为⊙O于点AE交PBO于点E；连结AE，并延长作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙··KBK．求证：PE．AC=CE P∥O的切线，ACE．又PA证明：因为AC是⊙PB，所以∠KPE=∠KAP，于是∠ACE，故∠KPE=∠所以∠KAP=K，∽△KAP△KPEEKPKE2KP?KE?KA?．，即所以KAKPBA2KB?KE?KA由切割线定理得OKP?KB．…………………………10分所以∥PB，△KPE∽△ACE，于是因为ACPEKPPEKB??，故 CACCECEAC··（第4题）………………………………即PE15AC=CE分KB．OABC经过点B，C，且与边AB，AC5（07）已知△分别相交于点为锐角三角形，⊙D，OOABCADE的（一定经过△E．若⊙）的半径与△．的外接圆的半径相等，则⊙（A）内心（B）外心（C）重心（D）垂心答：（B）．ABC?BAC，为锐角三角形，所以解：如图，连接BE，因为△OABE?ADE的外接圆的半径相等，的半径与△均为锐角．又因为⊙?BAC??ABEDE．为两圆的公共弦，所以且?BEC??BAC??ABE?2?BAC．于是，（第3题答案图）OABCABC2?AC?BBOC?O一定过△若△的外心为，则⊙，所以，11 B的外心．故选（）．上的任意一点．以AB为直径P的直径，点O为半圆AB．已知6．点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别（第13A题答案图）E,F?ACB??ADB?90?ABC△所以在Rt．，则CE ∥DF．因为AB是⊙O的直径，为22?AE??ACPAAB ABD，定理和Rt△得中，由射影22?BF??BDPBAB．……………5分??22BFABPA??PBAE?，两式相减可得??22PBPAPB)?AB?)(PA?PB?(PA?PBPA?又，AE?BF?PA?PBPA?AE?PB?BF，，即于是有CDFEPF?PE的中位是直角梯形的中点．因此，MP，也就是说，点P所以是线段EF AB?MP 相切．BA和⊙，从而可得MP线，于是有分别与⊙DEAD?．若的延长线上，且满足的边AD，BCF7．如图，点E，分别在四边形ABCD CFBC CDGDEGCFGFE的外接圆的另一个交点为点，，△的延长线相交于点的外接圆与△P，连接PA，PB，PC，PD．求证：ADPD?（1）；BCPC PDCPAB．∽△（2）△?PDG??PEG，，因为1）连接PE，PF，PG证明：（?PDC??PEF．所以?PCG??PFGPDCPEF，∽△，所以△又因为PDPE?,?CPD??FPE PCFPDE，所∽△于是有，从而△PFPCPDDEADADPDDE???分………………10 ，所以，．以．又已知PCBCBCPCCFCF PCB?PCB??PGE??PDAPDA，从而有）由于，结合（1）知，△∽△（2PDPA,?PDB????DPA?CPB?APPAB以△所，，因此△∽PCPB PDC………………15分．8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，16A分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为。
历届全国初中数学联赛试题15套
一九九一年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ） ２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４． 已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，q pn m xx x x )1(1)1(+=-+恒成立，则=++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=， CD = 6，则AD = ．第二试3S =1x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且 BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________. 3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.一九九三年第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于 (A)cb a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D ,E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ;(3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c 是不全相等的任意实数，若x=a 2-bc,y=b 2-ca,z=c 2-ab,则x,y,zA ．都不小于0B ．都不大于0C ．至少有一个小0于D ．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC=2，DA=3，则AB 的长A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定〔答〕( )A ．1B ．-1C ．22001D ．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF ，MN 与相交直线AB ，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A ．4对B ．8对C ．12对D ．16对〔答〕( )〔答〕( ) 7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
圆——竞赛题
第7题图圆中的竞赛例题与习题1．已知:如图,△ABC 的外接圆直径AE 交BC 于D.求证：.DEAD tgC tgB =⋅2．G 是ΔABC 的重心，过A 和G 作圆与BG 相切于G ，延长CG 交圆于D ，求证：DG CG AG ∙=23．在锐角ΔABC 的BC 边上取D 、E 两点，使∠BAD=∠CAE ，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AC 于N ，AD 的延长线交ΔABC 的外接圆于P ，求证：BAC AC AB MN AP ∠∙∙=∙sin 。
4．⊙O 半径为2，半径OA ⊥OB ，C 是半径OB 上异于O 、B 的任一点，AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线交OB 的延长线于E ，设OC=x ，DE=y ，点C 是否存在这样的位置，使ΔBCD ∽ΔDCE ？若存在，求出此时2tan E ∠的值；若不存在，请说明理由。
5．（2004年全国初中数学联赛成都初赛）如图，不等边ΔABC 内接于⊙O ，I 是其内心并且AI ⊥OI 。
求证：AB+AC=2BC 6．（1999年全国初中数学联赛）如图，设△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD ＝4DC 。
已知圆过点C 且与AC 相交于F ，与AN 相切于AB 的中点G 。
求证：AD ⊥BF 。
7．（1995年全国初中数学联赛）已知∠ACE ＝∠CDE ＝90°，点B在CE 上，CA ＝CB ＝CD ，经A 、C 、D 三点的圆交AB 于F （如图）求证F 为△CDE 的内心。
8．（2003年全国初中数学联赛天津复赛）如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等？证明你的结论．第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图 第6题图 第8题图PE DCBA O9．（2004年全国初中数学竞赛）D 是△ABC 边AB 上的一点，使得AB ＝3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点（P 在弧AC 上），使得∠ADP ＝∠ACB ，求PB/PD 的值。
初三圆经典真题及答案详解
圆经典重难点真题一．选择题（共10小题）1．（2015•安顺）如右图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．2 B．4 C．4D．82．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°3．（2015•兰州）如右图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定4．（2015•包头）如右图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π5．（2015•黄冈中学自主招生）如右图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（）A．B．C．D．6．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A．3 B．8 C． D．27．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤58．（2015•衢州）如右图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．D．9．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．810．（2015•海南）如右图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°二．填空题（共5小题）11．（2015•黔西南州）如右图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．12．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=°．13．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为．14．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=．15．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是．三．解答题（共5小题）16．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．17．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．18．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．19．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为（）A．2 B．4 C．4D．8【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．【解答】解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【考点】圆周角定理．【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．3．（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，∴∠AOB=∠ACB，∵∠AOB=90°，∴∠ACB=90°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．4．（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．5．（2015•黄冈中学自主招生）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B 是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．【分析】首先连接AC，OA，由直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），可得△OAC 是等边三角形，继而可求得∠OAC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠OBC的度数，则可求得答案．【解答】解：连接AC，OA，∵点C（0，5）和点O（0，0），∴OC=5，∵直径为10，∴AC=OA=5，∴AC=OA=OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAC=60°，∴∠OBC=∠OAC=30°，∴∠OBC的正弦值为：sin30°=．故选A．【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．6．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A．3 B．8 C． D．2【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．【专题】计算题．【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．【解答】解：连接CA、CD；根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，又∵所对的圆周角是∠CBA，∵∠CBD=∠CBA，∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；∴△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E．∵AD=4，则AE=DE=2；∴BE=BD+DE=7；在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：BC2=BE•AB=7×9=63；故BC=3．故选A．【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．7．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．【解答】解：当AB与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴AB=2=8．∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故选：A．【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．8．（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（）A．3 B．4 C．D．【考点】切线的性质．【专题】压轴题．【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．【解答】解：如图1，连接OD、BD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，又∵AB=BC，∴AD=CD，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC，∵CD=5，CE=4，∴DE=，∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，∴5BD=3BC，∴，∵BD2+CD2=BC2，∴，解得BC=，∵AB=BC，∴AB=，∴⊙O的半径是；．故选：D．【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．9．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．【解答】解：∵CE=2，DE=8，∴OB=5，∴OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，∴AB=2BE=8．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．10．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（）A．45°B．30°C．75°D．60°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】计算题；压轴题．【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=OC=OA，∴∠OAD=30°，而OA=OB，∴∠CBA=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=∠AOB=60°．故选D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．二．填空题（共5小题）11．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=CD=2，∠OEC=90°，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，即22+（x﹣1）2=x2，解得：x=；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．12．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=100°．【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】计算题．【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．【解答】解：∵∠A+∠C=180°，∴∠A=180°﹣130°=50°，∴∠BOD=2∠A=100°．故答案为100．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．13．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为110°．【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．【解答】解：∵∠A=50°，∴∠BOC=2∠A=100°，∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，故答案为110°．【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．14．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，∠E=30°，则∠F=40°．【考点】圆内接四边形的性质；三角形内角和定理．【专题】计算题．【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，∴∠EBF=∠A+∠E=85°，∵∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°﹣55°=125°，∵∠BCD=∠F+∠CBF，∴∠F=125°﹣85°=40°．故答案为40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．15．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是6．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．【解答】解：连接AO，∵半径是5，CD=1，∴OD=5﹣1=4，根据勾股定理，AD===3，∴AB=3×2=6，因此弦AB的长是6．【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．（1）求证：BE=CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．【分析】（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．【解答】（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=x，∵BC=8，AD=10，∴42=x（10﹣x），解得：x=2或x=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．17．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=．【解答】解：（1）连结OQ，如图1，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB，在Rt△OBP中，∵tan∠B=，∴OP=3tan30°=，在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，∴PQ==；（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，PQ==，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP=OB=，∴PQ长的最大值为=．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．18．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求的长．（2）求弦BD的长．【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ABC中，∵，∴∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，∴的长=．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD，∴AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45°，在Rt△ABD中，BD=AB×sin45°=10×．【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．19．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM．【考点】切线的性质；扇形面积的计算．【专题】证明题．【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．【解答】（1）解：如图，连接OD，∵CD是⊙O切线，∴OD⊥CD，∵OA=CD=2，OA=OD，∴OD=CD=2，∴△OCD为等腰直角三角形，∴∠DOC=∠C=45°，∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】几何综合题．【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE 的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，则CE=DE，AE=BE，∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，∴CE===2，AE===8，∴AC=AE﹣CE=8﹣2．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．学习好资料欢迎下载。
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初中数学竞赛《圆》历届考题1（04）．D 是△ABC 的边AB 上的一点，使得AB =3AD ，P 是△ABC 外接圆上一点，使得ACB ADP ∠=∠，求PD PB的值.解：连结AP ，则ADP ACB APB ∠=∠=∠，所以，△APB ∽△ADP ， …………………………（5分） ∴AD APAP AB =，所以223AD AD AB AP =∙=，∴AD AP 3=， …………………………（10分） 所以3==ADAPPD PB . …………………………（15分）2、（05）已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A1，B1，C1点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点。
若点B 在△A1B1C1圆上，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答：C解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r （r 为△ABC 的内切圆半径），所以 点I 同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC 的交点为D ，则IB ＝IA1＝2ID ，所以∠IBD ＝30°，同理，∠IBA ＝30°，于是，∠ABC ＝60°3．（06）正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若QP=QO ，则QAQC的值为（ ） （A ）132-（B ）32 （C ）23+（D ）23+答：D ．解：如图，设⊙O 的半径为r ，QO=m ，则QP=m ，QC=r ＋m ， QA=r －m ．在⊙O 中，根据相交弦定理，得QA ·QC=QP ·QD ．即 (r －m )(r ＋m )=m ·QD ，所以 QD=mm r 22-．连结DO ，由勾股定理，得QD 2=DO 2B 1C 1 （第3题图）＋QO 2，即22222m r mm r +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，解得r m 33=所以， 231313+=-+=-+=m r m r QA QC 4．（06）如图，点P 为⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ．过点A 作PB 的平行线，交⊙O 于点C ．连结PC ，交⊙O 于点E ；连结AE ，并延长AE 交PB 于点K ．求证：PE ·AC=CE ·KB ．证明：因为AC ∥PB ，所以∠KPE=∠ACE ．又P A 是⊙O所以∠KAP=∠ACE ，故∠KPE=∠KAP ，于是△KPE ∽△KAP ，所以 KPKE KA KP =， 即 KA KE KP ⋅=2． 由切割线定理得 KA KE KB ⋅=2所以 KB KP =． …………………………10分因为AC ∥PB ，△KPE ∽△ACE ，于是AC KP CE PE = 故 ACKBCE PE =， 即 PE ·AC=CE ·KB ． ………………………………15分5（07）已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）．（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 答：（B ）．解： 如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以BAC ∠，ABE ∠均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，且DE 为两圆的公共弦，所以BAC ABE ∠=∠． 于是，2BEC BAC ABE BAC ∠=∠+∠=∠．若△ABC 的外心为1O ，则12B O C B A C ∠=∠，所以，⊙O 一定过△ABC的外心．故选（B ）．6．已知AB 为半圆O 的直径，点P 为直径AB 上的任意一点．以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，⊙A 与半圆O 相交于点C ；以点B 为圆心，BP 为半径作⊙B ，⊙B 与半圆O 相交于点D ，且线段（第4题）C（第3题答案图）CD 的中点为M ．求证：MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．证明：如图，连接AC ，AD ，BC ，BD ，并且分别过点C ，D 作AB为,EF ，则CE ∥DF ．因为AB是⊙O 的直径，所以90ACB ADB ∠=∠=和Rt △ABD中，由射影定理得22PA AC AE AB==⋅，22PB BD BF AB ==⋅． ……………5分两式相减可得()22PA PB AB AE BF -=-，又 ()22()()PA PB PA PB PA PB AB PA PB -=+-=-， 于是有 AE BF PA PB -=-，即PA AE PB BF -=-，所以PE PF =，也就是说，点P 是线段EF 的中点．因此，MP 是直角梯形CDFE 的中位线，于是有MP AB ⊥，从而可得MP 分别与⊙A 和⊙B 相切．7．如图，点E ，F 分别在四边形ABCD 的边AD ，BC 的延长线上，且满足DE ADCF BC=．若CD ，FE 的延长线相交于点G ，△DEG 的外接圆与△CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接P A ，PB ，PC ，PD ．求证：（1）AD PDBC PC=； （2）△PAB ∽△PDC ．证明：（1）连接PE ，PF ，PG ，因为PDG PEG ∠=∠， 所以PDC PEF ∠=∠．又因为PCG PFG ∠=∠，所以△PDC ∽△PEF ，于是有,PD PECPD FPE PC PF=∠=∠，从而△PDE ∽△PCF ，所以PD DE PC CF =．又已知DE AD CF BC =，所以，AD PDBC PC=． ………………10分 （2）由于PDA PGE PCB ∠=∠=∠，结合（1）知，△PDA ∽△PCB ，从而有,PA PDPB PC= DPA CPB ∠=∠，所以A P B D P ∠=∠，因此△PAB ∽△PDC ． ………………15分8、△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心l 作DE ∥BC ，分别与AB 、AC 相交于点D ，E ，则DE 解：如图，设△ABC 的三边长为,,a b c ， 内切圆l 的半径为r ，BC 边上的高为a h ，则C（第8题）11()22a ABC ah S a b c r ∆==++，所以a r a h a b c=++， 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此,a a h r DEh BC-= 所以DE ＝()(1)(1)a a a h r r a a b c a a a h h a b c a b c-+⋅=-=-=++++ 故 DE ＝8(79)168796⨯+=++。
9、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ B ）。
A、B 、1 C、D 、a 解：如图，连接OE ，OA ，OB ，设∠D ＝a ，则 ∠ECA ＝120°－a ＝∠EAC又因为∠ABO ＝11(601802)12022ABD a a ∠=︒+︒-=︒-所以 △ACE ≌△ABO ，于是AE ＝OA ＝110．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AHAB的值为 ．解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ．由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中，90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠ 所以Rt△FHA∽Rt△EF A，AH AF AF AE =.而AF AB =，所以AH AB 13=.（第9题）11（10）．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=． 证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EFAHBC AP =， 从而E FP DB CA P=， 所以 t a n P D E FPAD AP BC∠==. …………（20分）12（11）、如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点。
证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q连结AH ，BD ，QC ，QH∵AB 为直径 ∴∠ADB ＝∠BDQ ＝900 ∴BQ 为⊙2O 的直径 于是CQ ⊥BC ，BH ⊥HQ∵点H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ，BH ⊥AC ∴AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACHQ 为平行四边形 则点P 为CH 的中点。
A。