2021高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量第6节空间向量的应用第1课时利用空间向量证明平行与垂直练习

第1课时 利用空间向量证明平行与垂直[A 级 基础巩固]1．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，1，1)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α或l ∥αD ．l 与α斜交解析：因为a ＝(1，0，2)，n ＝(－2，1，1)， 所以a·n ＝0，即a ⊥n ， 所以l ∥α或l ⊂α. 答案：C2．平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－2解析：因为α∥β，所以两平面的法向量平行， 所以－21＝－42＝k－2，所以k ＝4.答案：C3．在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析：由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)， 所以AB →＝－3CD →，所以AB →与CD →共线． AC →＝(2，0，－2)与AB →不平行，故四点不共线，所以AB ∥CD . 答案：B4．设u ＝(－2，2，t )，v ＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：因为α⊥β，所以u·v ＝－2×6＋2×(－4)＋4t ＝0， 所以t ＝5. 答案：C5.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由于A 1M ＝AN ＝2a 3， 则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a 3，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，2a 3，a ，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3.又C 1D 1⊥平面BB 1C 1C ，所以C 1D 1→＝(0，a ，0)为平面BB 1C 1C 的一个法向量． 因为MN →·C 1D 1→＝0，所以MN →⊥C 1D 1→，又MN ⊄平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B6．(2020·西安调研)已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧3＋5－2z ＝0，x －1＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4，所以x ＋y ＝407－157＝257.答案：2577．(2020·济南质检)已知平面α内的三点A (0，0，1)，B (0，1，0)，C (1，0，0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．解析：设平面α的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由m ·AB →＝0，得x ·0＋y －z ＝0⇒即y ＝z ， 由m ·AC →＝0，得x －z ＝0即x ＝z ，取x ＝1， 所以m ＝(1，1，1)，m ＝－n ， 所以m ∥n ，所以α∥β. 答案：平行8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下面给出四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°； ④此正方体体积为|AB →·AA 1→·AD →|. 则错误命题的序号是________．解析：③异面直线AD 1与A 1B 的夹角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，注意方向．④因为AB →·AA 1→＝0，正确的应是|AB →|·|AA 1→|·|AD →|. 答案：③④9．(2020·韶关质检)正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·DA 1→＝0，且n ·DB →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1. 所以n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，所以MN →⊥n .又MN ⊄平面A 1BD ，所以MN ∥平面A 1BD .10.如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .证明：(1)易知AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA ＝AB ＝BC ＝1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，P (0，0，1)．因为∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设D (0，y 0，0)，由AC ⊥CD ，得AC →·CD →＝0. 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0－32，0＝0，解得y 0＝233.所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，36，0.又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，所以AE →·CD →＝－12×14＋36×34＋0＝0，所以AE →⊥CD →，即AE ⊥CD .(2)由(1)知AB →＝(1，0，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12.设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0， 令y ＝2，则z ＝－3，所以平面ABE 的一个法向量为n ＝(0，2，－3)． 因为PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n ，所以PD →∥n ，所以PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .[B 级 能力提升]11．如图所示，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A ．(1，1，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫23，23，1C.⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫24，24，1 解析：设AC 与BD 相交于O 点，连接OE ，由AM ∥平面BDE ，且AM ⊂平面ACEF ，平面ACEF ∩平面BDE ＝OE ，所以AM ∥EO ，又O 是正方形ABCD 对角线交点，则O 为AC 中点， 所以M 为线段EF 的中点．在空间坐标系C-xyz 中，E (0，0，1)，F (2，2，1)． 由中点坐标公式，知点M 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1. 答案：C12．(2020·成都十中月考)给出下列命题：①直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，直线m 的方向向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－12，则l 与m垂直；②直线l 的方向向量a ＝(0，1，－1)，平面α的法向量n ＝(1，－1，－1)，则l ⊥α； ③平面α、β的法向量分别为n 1＝(0，1，3)，n 2＝(1，0，2)，则α∥β； ④平面α经过三点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量，则u ＋t ＝1.其中真命题的是_________(把你认为正确命题的序号都填上)． 解析：对于①，因为a ＝(1，－1，2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，－12，所以a·b ＝1×2－1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，所以a ⊥b ，所以直线l 与m 垂直，①正确；对于②，a ＝(0，1，－1)，n ＝(1，－1，－1)， 所以a·n ＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0， 所以a ⊥n ，所以l ∥α或l ⊂α，②错误； 对于③，因为n 1＝(0，1，3)，n 2＝(1，0，2)， 所以n 1与n 2不共线，所以α∥β不成立，③错误；对于④，因为点A (1，0，－1)，B (0，1，0)，C (－1，2，0)，所以AB →＝(－1，1，1)，BC →＝(－1，1，0)， 向量n ＝(1，u ，t )是平面α的法向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0n ·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＋u ＋t ＝0，－1＋u ＝0.则u ＋t ＝1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④. 答案：①④13．(2020·首都师范大学附中模拟)如图所示，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，点D ，E ，F 分别为棱A 1C 1，B 1C 1，BB 1的中点．(1)求证：AC 1∥平面DEF ； (2)求证：平面ACB 1⊥平面DEF ；(3)在线段AA 1上是否存在一点P ，使得直线DP 与平面ACB 1所成的角为30°？如果存在，求出线段AP 的长；如果不存在，说明理由．(1)证明：以点C 为原点，CA →，CB →，CC 1→为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得A (2，0，0)，C 1(0，0，2)，D (1，0，2)，E (0，1，2)，F (0，2，1)，所以DE →＝(－1，1，0)，EF →＝(0，1，－1)，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DE →，n ⊥EF →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，y －z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，1，1)，又因为AC 1→＝(－2，0，2)，所以AC 1→·n ＝0，所以AC 1→⊥n ， 又因为AC 1⊄平面DEF ，所以AC 1∥平面DEF .(2)证明：设平面ACB 1的法向量为m ＝(a ，b ，c )，CA →＝(2，0，0)，CB 1→＝(0，2，2)， 则m ⊥CA →，m ⊥CB 1→，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＋c ＝0，令b ＝1，则m ＝(0，1，－1)， 因为n·m ＝0，所以n ⊥m ， 所以平面ACB 1⊥平面DEF .(3)解：设直线DP 与平面ACB 1所成角为θ，则θ＝30°，设AP →＝λAA 1→，0≤λ≤1，则AP →＝(0，0，2λ)，DP →＝(1，0，2λ－2)， 所以|sin θ|＝|DP →·m ||DP →|·|m |＝|2－2λ|2·1＋（2－2λ）2＝sin 30°＝12， 解得λ＝12或32(舍)．所以存在符合题意的点P ，即AA 1的中点，此时AP ＝1.[C 级 素养升华]14．(2020·福州市联考)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点．下列结论中，正确结论的序号是________．①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②B 1D 1∥平面EFG ； ③BD 1⊥平面ACB 1；④异面直线EF 与BD 1所成角的正切值为22； ⑤四面体ACB 1D 1的体积等于12a 3.解析：①正确．因E ，F ，G 为棱AB ，AA 1，C 1D 1的中点，设A 1D 1的中点为M ，BB 1的中点为N ，B 1C 1的中点为P ，连接点M ，F ，E ，N ，P ，G 可得截面为正六边形，所以①正确．②错误．通过以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，求出B 1D 1→，面EFG 法向量是n 1，B 1D 1→·n 1≠0.③正确．同上建系，求出BD 1→，平面ACB 1的法向量为n 2，BD 1→＝λn 2，所以BD 1⊥平面ACB 1. ④正确．同上建系，求出EF →，BD 1→，设夹角为θ，则cos θ＝EF →·BD 1→|EF →|·|BD 1→|，由sin 2θ＋cos 2θ＝1，tan θ＝sin θcos θ，得tan θ＝22.⑤错误．同上建系，求出平面AB 1C 法向量是n 3，得D 1到平面AB 1C 距离为d ＝|D 1A →·n 3||n 3|，求出S △AB 1C ，由V ＝13Sh 验证其体积不等于12a 3，故⑤不正确．答案：①③④。