传热学第三章

θ ( x ,τ ) x = f ( Bi, Fo, ) θ0 δ
13
可以证明：若保持过余温度的定义不变，上述公式 14 同样适用于加热过程
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
若Fo≥0.2：
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo β n + sin β n cos β n δ
τ =0
t = t0 τ = 0
τ3
τ2
τ1
t = t0 τ = 0
τ1 > 0
t = t0
τ1 > 0
τ2
τ2 > τ1
τ
2
>τ1
t∞
−δ
Bi→0 是一个极限情况，工程上把 Bi<0.1看作是接近这种极限的判 据。 Bi<0.1时，平壁中心温度与表 面温度的差别≤5%，接近均匀一致 29 —— 可用集总参数法求解
θ ( x,τ ) = θ 0
2 sin β1 x 2 cos(β1 )e −β1 Fo β1 + sin β1 cos β1 δ
Bi和位置 x/δ 的函数
Bi =
hδ λ
2
ln θ = − mτ + K ( Bi,
a δ2
与时间无关；只取决于第三类边界条 件、平壁的物性与几何尺寸 当平壁及其边界条件给定后，m 为一 个 常数，它与时间 τ 、地点 x/δ 无关 表明：Fo≥0.2时（τ* ≥ 0.2δ2/a） 平壁内所有各点过余温度的对 数都随时间按线性规律变化， 变化曲线的斜率都相等 正规状况阶段：初始温度分布 的影响已消失 22
x ) δ
两边取对数：
m = β1
ln θ = − ( β 1
2
a x 2 sin β 1 )τ + ln θ 0 cos( β 1 ) 2 δ δ β1 + sin β 1 cos β 1
2
令 : m = β1
a δ2
x K = f ( Bi, ) δ
ln θ = −mτ + K ( Bi,
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
7
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定； 墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快； 经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布
8
四
学习非稳态导热的目的：
§3-2 一维非稳态导热问题的分析解
一、加热或冷却过程的分析解法（分离变量法） 厚度 2δ 的无限大平壁， λ、a为已知常数； τ=0时温度为 t0; 突 然 把两 侧 介质温度降 低为 t∞并保持不变； 壁 表面 与介质 之 间的 表 面传热系数为h。 两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。
x =δ
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
n =1
∞
2 sin β n cos( ε n x ) exp( − aε n2τ ) β n + sin β n cos β n
β = εδ ; ε n =
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo n =1 β + sin β cos β δ n n n
三、Bi准则对温度分布的影响
Bi = hδ λ hδ δ λ Bi = = λ 1h
— 毕渥准则
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无限大平板在冷却时，其 第三类边界条件:
Bi = hδ λ hδ δ λ Bi = = λ 1h
— 毕渥准则
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
无限大平板在冷却时，其 第三类边界条件:
Qτ = ρc ∫−δ (t0 − t )dx = ρc ∫−δ (θ 0 − θ )dx ∞ 2 sin 2 β n 2 = 2 ρcδθ 0 1 − ∑ 2 e −βn Fo [J m 2 ] n =1 β + β n sin β n cos β n n
+δ
(Bi, Fo) ⇒
分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法：集总参数法、积分法、瑞利-里兹法 数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
导热微分方程：
∂t ∂ 2t =a 2 ∂τ ∂x
初始条件：
τ = 0, t = t0
x = 0, ∂t ∂x = 0 x = δ , - λ ∂ t ∂ x = h (t
4
三、瞬态非稳态导热的特点
温度分布：
δ
τ4 τ3
τ2
导热过程分为三个不同的阶段：
非正规状况阶段 (起始阶段) 正规状况阶段 新的稳态
5 6
t
1
温度分布主要受初 始温度分布控制 温度分布主要取决 于边界条件及物性
τ1
t
0
τ0
1
三、瞬态非稳态导热的特点
热量变化：
采暖房屋外墙墙内温度变化过程
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的
第三章 非稳态导热 (Transient Conduction)
1
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
一 、非稳态导热定义
t = f(τ) 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ) 例如：冶金、热处理与热加工：工件被加热或冷却 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况 供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度
-
∂t ∂x
=
x =δ
t x=δ − t∞ λ h
=
t x=δ − t ∞ δ Bi
x ' = λ h = δ Bi
第三类边界条件的定向点O’: （δ+ λ/h，t∞）或（δ +δ /Bi，t∞）
∂t ∂x
= tgα = − tgϕ
x=δ
即： −
而 tgϕ = t x=δ − t∞ x'
∂t ∂x
= tgϕ
θ ( x,τ ) θ ( x,τ ) θ m (τ ) = ⋅ ; θ0 θ m (τ ) θ 0
f (Bi,
x ) f (Bi, Fo) δ
θ ( x,τ ) 2 sin β1 x 2 = cos(β1 )e −β1 Fo θ0 β1 + sin β1 cos β1 δ
( Bi, x θ ( x, τ ) ) ⇒ δ θ m (τ )
f (Bi,
x ) f (Bi, Fo) δ
对于Fo<0.2时无限大平壁的非稳态导热过程： 温度场按前面原始的计算式计算：
θ ( x ,τ ) = θ 0 ∑
2 sin β n 2 x cos( β n )e −β n Fo n =1 β + sin β cos β δ n n n
∞
+δ
经过 τ 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：
x =δ
∴ x' = λ h = δ Bi
点O’距壁面的距离为 λ/h 或 δ/Bi 任何时刻，壁表面温度分布的切线都通过坐标为 27 （δ+ λ/h，t∞）的O’点 — 第三类边界条件的定向点
1）当 Bi→∞ 时 意味着表面传热系数 h →∞（Bi=hδ /λ ），对流 换热热阻趋于0。平壁的 表面温度几乎从冷却过程 一开始，就立刻降到流体 温度 t∞ 。 定向点O’就在平壁表面上
傅里叶准则的物理意义：
Fo =
τ 换热时间 = δ 2 a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部 ，因而，物体各点地温度就越接近周围介质的 温度。 对于第一类和第二类边界条件下无限大平壁的加热 19 或冷却过程的分析解与计算线图可参见有关文献
20
1）、Fo≥0.2时无量纲温度可以表达为：
11
x = 0, ∂θ ∂x = 0; x = δ , - λ ∂θ ∂x = hθ
采用分离变量法求解：取
θ = X ( x) ⋅ φ (τ )
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2
∂θ ∂ 2θ =a 2 ∂τ ∂x τ = 0, θ = t 0 -t ∞ = θ 0
x = 0, ∂θ ∂x = 0 x = δ , - λ ∂θ ∂x = hθ
对于 Fo≥0.2 时无限大平壁的非稳态导热过程：温度场 可按上式计算；也可用计算线图（诺谟图）
θ ( x,τ ) θ ( x,τ ) θ m (τ ) = ⋅ θ0 θ m (τ ) θ 0 f ( Bi, x ) f (Bi, Fo) δ
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θ ( x,τ ) θ ( x,τ ) θ m (τ ) = ⋅ ; θ0 θ m (τ ) θ 0
总之： Fo≥0.2 时，正规状况阶段；各处 m 相同，不 随时间变化；m 数值取决于物体的物性、几何形状与 尺寸以及表面传热系数 不仅无限大平壁，其他形状的物体温度也具有类似的 变化规律 23
非稳态导热过程可 以分为三个阶段： a)初始阶段 b) 正规状况阶段 c) 新的稳态
24
4
三、Bi准则对温度分布的影响
δ
Bi →∞
−δ
δ
−δ
δ Bi →0
0 < Bi < ∞
Bi 准则对无限大平壁温度分布的影响
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§3-2集总参数法
（Lumped capacitance method） 一 定义
集总参数法：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致 的分析方法。 此时， Bi → 0 ，温度分布只与 时间有关，即 t = f (τ ) ，与空间 位置无关，因此，也称为零维问 题。
∞
βn δ
Fo = aτ δ 2
傅里叶准则 无量纲时间
θ = X ( x) ⋅ φ (τ )
只为 τ 的函数