理论力学06点合成运动
理论力学：第6章 点的合成运动
2 2 r
，
aeτ 0 ，解出 aa＝142r。所以小环 M 的加速度为 142r。
6-23 已知 O1 A O2 B l 1.5 m，且 O1A 平行于 O2 B ，题 6－23 图所示位置，
滑道 OC 的角速度=2 rad/s，角加速度 =1 rad/s2，OM = b =1 m。试求图示位置
第 6 章 点的合成运动
6-7 题 6－7 图所示曲柄滑道机构中，杆 BC 为水平，而杆 DE 保持铅直。 曲柄长 OA=10 cm，以匀角速度 = 20 rad/s 绕 O 轴转动，通过滑块 A 使杆 BC 作 往复运动。求当曲柄与水平线的交角为 = 0、30、90时，杆 BC 的速度。
·8·
由图得 vr＝ve＝b＝2 m/s， va O1 l 。
得到 O1
l
b cos 45
21
1.5
2 2
1.89 rad/s 。
（2）求加速度。动点，动坐标系的选择不变，则动点 M 的加速度图如图（c）
所示。由加速度合成定理
aa ae ar aC
即 aan aaτ aeτ aen ar aC
时 O1A 的角速度和角加速度。
M
45 45
vr
ve
va
x
ae
ane
ana
45
ar
aC
aa
（a）
（b）
（c）
题 6-23 图
解：（1）求速度。
选取 M 为动点，动坐标系固连于滑道 OC 上，则动点 M 的速度图如图（b）
所示。由速度合成定理
va＝ve＋vr
沿 OC 轴的垂直方向投影得
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动，于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图6-13所示。
以A 点为基点，分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动，故相对加速度a r =a BA ，其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ，故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和，因此，式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中，相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直，相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ；仅当点A 和B 的运动轨迹已知时，才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时，只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时，要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时，将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影，即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2：半径为R 的车轮沿直线滚动，某瞬时轮心O 点的速度为v O ，加速度为a O ，如图a 所示。
理论力学基础点的合成运动
1
平动和转动的区别
2
它们之间的关系对于理解合成运动具有
重要意义；
3
运动学基本公式
4
位置、速度、加速度等运动学基本公式 是研究合成运动的基础知识。
牛顿第二定律
合力产生加速度，加速度与力成正比。 一切合成运动都符合牛顿第二定律；
匀速圆周运动的分解
它是所有曲线合成运动的基础，掌握分 解方法可以为其他曲线合成运动的研究 提供启示；
结论和总结
合成运动是力学基础点之一，但不同于其他运动，它是由多个运动步骤组 成的复杂过程，因此有其独特的研究方法和工具。对合成运动理论及其实 际应用的深度理解和掌握，具有重要意义。 ——陈晓明，中国科技大学教授
机器人动作设计
机器人动作设计中需要进行多种复杂的合成运动分析与控制。合成运动理论可以指导机器人 的运动规划、轨迹跟踪和动作执行。
运动传感设计
合成运动分解是一种重要的运动测量技术。在车辆安全、物流配送、航空监控等领域，合成 运动传感器为复杂运动测量提供了有效手段。
合成运动的实验方法和技术
1
高速相机
观测高速运动的一种重要方法。运用指定的曝光时间和快门速度，拍摄合成运动 过程中的关键帧。
2
追踪仪器
用于测量运动物体的位置、速度和加速度等多种参数，对于合成运动的分析和控 制有着重要作用。
3
动力学仿真软件
自动地计算合成运动的轨迹、速度、加速度等参数。可以模拟物体的运动过程， 为结构设计和工艺分析提供有力支持。
合成运动的分类和特点
线性合成运动
由两个或两个以上直线运动叠 加而成；
圆周合成运动
由两个或两个以上曲线运动叠 加而成；
复合合成运动
由不同类型直线运动或曲线运 动叠加而成。
点的合成运动
种位移之间的关系为
MM'' =MM' + M' M''
目录
刚体的运动\点的合成运动
将上式两边分别除以Δt ,并取Δt→0 时的极限，得
y Ox
lim lim lim MM
MM
M M
t0 t
t0 t
t0 t
式在中绝：对lit运m0动M中Mt 的 表速示度动，点称在为瞬动时点t的、
y
vr
va
系相固结的物体的运动，因而是指一个刚体的运动，它可以是平移、
转动或其他复杂的运动。
目录
刚体的运动\点的合成运动
1.2 点的速度合成定理
以图示桥式起重机为例，研究
y Ox
绝对运动、相对运动和牵连运动三
者速度之间的关系。设在瞬时t，动 点在位置M。假如动点不作相对运
y
M''
动，则经Δt时间后，动点随动系运
理论力学
刚体的运动\点的合成运动
点的合成运动
在研究刚体的平面运动之前，先介绍点的合成运动的有关概念 及点的速度合成定理，这既是研究点的运动的又一种方法，又是研 究刚体复杂运动的基础。
1.1 点的合成运动的概念
在不同的物体上观察同一物体的运动时，会得出不同的结果。 例如，当火车行驶时，在车厢上观察车轮上一点的运动是圆周运动， 在地面上观察则是复杂的曲线运动，若在车轮上观察则是静止的。 因此，在研究一个物体的运动时，必须指明是相对于哪个物体而言， 即必须选定参考体或参考系。在工程上如果没有特别的说明，都是 以地面作为参考系。
目录
刚体的运动\点的合成运动 【例6.5】 凸轮机构（如图）中，导
杆AB可在铅垂管D内上下滑动，其下端 与凸轮保持接触。凸轮以匀角速度ω绕O 轴逆时针转动，在图示瞬时OA=a ，凸轮
理论力学第六章 点的合成运动 [同济大学]
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解： 从例6-2已知得： 1 =
vr r 3 , 2
ω 4
O
解： 从上例已知得： 1 =
r
M
ω 4
va
A
aaτ =0 ，
3 , 4
aan=2r aen=
ωr 8
x’
2
ac 21vr 2 r
va
30°
3 1 1/ s2 8
2
动点取A，
va v A
ar
dvr d 2 x ' ' d 2 y ' ' d 2 z ' ' 2 r 2 j 2 k dt dt dt dt
dx ' di ' dy ' dj' dz ' dk ' dt dt dt dt dt dt
ar ω vr
a a ae a r ac； ac= 2vr
ve
a n a ae a rn a rτ
矢量
1.瞬时状态； 2.可解两个未知量 (大小，方向)。
例6-5 曲柄滑道机构，OA=01A=r=10cm, =30°,=4, 求: 转到30°时直杆的加速度a。 va vr 动点取A； 绝对:圆周； ve 解：相对:圆周；牵连:直线。 [速度] =
a a ae a r ac； aa a an ae aen ar arn ac；
例6-8 曲柄绕O转动，並通过滑块M带动滑槽绕O′摆动， ’ y 求摆动到30°时的角加速度1。
例6-9 将例6-8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
vr
dv e dω dr r ω dt dt dt α r ω v e ω v r ae ω v r
理论力学(第6章)
t 已知：O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 求： va , aa s BM
π
加速度合成定理的矢量形式向 直角坐标轴x、y上投影，得：
π aax a a cos 6.67cm / s 2 6 π n n aay ar ae sin 20cm / s 2 6
绝对：大圆周（半径R）
相对：沿OA的直线运动 牵连：定轴转动（绕o轴）
2.速度分析 v a ve 大小 ? 方向 √
ve va 2Rω cos
vr
OM√?√ Nhomakorabeavr ve tan 2 R ω sin ω t
6.3 牵连运动为平移时点的加速度合成定理
点的加速度合成定理：
解：（1） 动点：取顶杆AB的A点 动系：固连在凸轮上。 绝对运动：沿AB竖直方向 的平移。 相对运动：A点沿凸轮边 缘的圆周运动。 牵连运动：动系凸轮沿水 平面向右平移。
已知:
v0
30
2.速度分析
va ve vr
由几何关系可以得到：
3 vB vA v tan 30 v 3
例6-5 平面机构中直杆O1A、O2B平行且等长，分别 绕O1、O2轴转动，直杆的A、B连接半圆形平板，动 点M沿半圆形平板ABD边缘运动，起点为点B。已知 π t， O1A=O2B=18cm，AB=O1O2=2R，R=18cm ， 18 t2 。 s BM
求：当 t 3s 时， 动点M的绝对速度 和绝对加速度。
方向竖直向上
例6-2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度ω绕固 定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距 离OO1=l。 B 求： O ① 曲柄在水平位 A 置时摇杆的角 速度 1 。 ② 滑块A对于摇 杆 的相对角 O1 速度
理论力学-点的合成运动
第六章点的合成运动一、是非题1、不论牵连运动的何种运动，点的速度合成定理v a=v e+v r皆成立。
（）2、在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
（）3、当牵连运动为平动时，相对加速度等于相对速度对时间的一阶导数。
（）4、用合成运动的方法分析点的运动时，若牵连角速度ωe≠0，相对速度υr≠0，则一定有不为零的科氏加速度。
（）5、若将动坐标取在作定轴转动的刚体上，则刚体内沿平行于转动轴的直线运动的动点，其加速度一定等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。
（）6、刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。
（）7、当牵连运动定轴转动时一定有科氏加速度。
（）8、如果考虑地球自转，则在地球上的任何地方运动的物体（视为质点），都有科氏加速度。
（）二、选择题1、长L的直杆OA，以角速度ω绕O轴转动，杆的A端铰接一个半径为r的圆盘，圆盘相对于直杆以角速度ωr，绕A轴转动。
今以圆盘边缘上的一点M为动点，OA为动坐标，当AM垂直OA时，点M的相对速度为。
①υr=Lωr，方向沿AM；②υr=r（ωr－ω），方向垂直AM，指向左下方；③υr=r（L2+r2）1/2ωr，方向垂直OM，指向右下方；④υr=rωr，方向垂直AM，指向在左下方。
2、直角三角形板ABC，一边长L，以匀角速度ω绕B轴转动，点M以S=Lt的规律自A向C运动，当t=1秒时，点M的相对加速度的大小αr= ；牵连加速度的大小αe = ；科氏加速度的大小αk = 。
方向均需在图中画出。
①Lω2；②0；③3Lω2；④23 L ω2。
3．圆盘以匀角速度ω0绕O 轴转动，其上一动点M 相对于圆盘以匀速u 在直槽内运动。
若以圆盘为动系，则当M 运动到A 、B 、C 各点时，动点的牵连加速度的大小 ，科氏加速度的大小 。
①相等；②不相等；③处于A ，B 位置时相等。
大学本科理论力学课程第9章 点的合成运动
在任意瞬时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点。 注意动点相对动系运动，故牵连点不是动系上的某个固定点。
有了牵连点的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下： 牵连运动中,某瞬时牵连点的速度和加速度称为该瞬时动
点的牵连速度 ve 和牵连加速度 ae 。
下面通过例子来说明以上的各个概念:
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则M点速度大小：
v R O1M (OM sin ) r sin
由此，据线性代数知
v rOM
O1 R v
θ
M
r
O
上式是转动刚体上点的速度矢
积表达式。
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第九章 点的合成运动
由于角速度矢量与角加速度矢量共线，故
d
dt
又 v r
a dv dt
a dv d r
第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
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第九章 点的合成运动
不同动点的选择会有不同的运动分析结果，尤其是相对运动 轨迹有时简单明了有时复杂难辩，从而影响速度、加速度分析。 例如下面各例：
详例1：
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动点：AB杆上A点 动系：固结于偏心凸轮C上 定系：固结在地面上
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第九章 点的合成运动
下面介绍点的合成运动中的重要基本概念：“一点两系三运动” 一 点： 即动点，所研究的点。 P175 两 系：定（静）坐标系和动坐标系。 定（静）坐标系 — 固结于地面（地球）上的坐标系，
简称定（静）系。 动坐标系 — 建立在相对于地面运动着的物体上的坐标系，
简称动系。例如建立在行驶的火车上的坐标系。
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第九章 点的合成运动
理论力学第7章(点的合成运动)
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向
六个元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。 二、应用举例
[例] 桥式吊车 已知：小
车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v。求物块A的 运行速度。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面 相对运动: 直线; 相对速度vr =v 方向 牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向 绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小, 方向待求。
由速度合成定理 va= vr+ ve ， 作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30 0 2 3 e 3 v AB 2 3 e ( ) 3
动点：AB杆上的A点 动系：偏心轮
绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
铰接四边形O1A=O2B=100mm， O1O2=AB，杆 O1A以等角速度 ω =2rad/s绕轴O1转动。 AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接 ，机构的各部件都在同一铅垂平面内。
）
[例3] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O、A、B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e , 方向 OA
y
O C
x
x
合成运动：相对某一参考体的运动可由相对于其它参考 体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动
动点：要研究的点
两个参考系： 一般把固定在地球上的坐标系称为静参考系； 用 Oxyz表示； 固定在相对地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系； 用 Oxyz 表示。
理论力学《点的合成运动》答案
4
动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动， v A = v CBDE = v BC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。
→ → →
vr
900 − ϕ A
120 0
va
ϕ
ve = vBC
ϕ O
5
相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。
ve = OC ⋅ ω =
→ → →
0.4 × 0.5 = 0.231( m / s ) cos 30 0
va = ve + vr va = ve 0.2 = = 0.267( m / s ) 0 cos 30 cos 2 30 0
BC作平动，故
v BC = v a = 1.155lω 0
[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动， 其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ 。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时， ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解： 动点：Ｂ。 动系：固连于凸轮Ａ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。
θ = 40.930
→ →
即 v 与 v1 之间的夹角为 θ = 40.93 。 种子走过的水平距离为：
0
s = v x t = v cos θ ⋅ t h = vyt +
1 2 gt 2 1 2 gt 2
h = v sin θt +
0.25 = 2.65 sin 40.930 t + 0.5 × 9.8t 2
理论力学第八章点的合成运动
运动学/点的合成运动
▼曲柄摇杆机构运动分析
动 点：套筒A
动 系：摇杆OC 定 系： 地面 绝对运动：圆周（O1） 相对运动：直线（沿
OC）
牵连运动： 定轴转动 （绕O）
运动学/点的合成运动
▼平底凸轮机构运动分析
动点：凸轮圆心点C 动系:平底挺杆 静系：地面 绝对运动：圆周（C） 相对运动：直线
运动学/点的合成运动
飞机螺旋桨上点P的运动分析
飞机上观察 P点为圆周 运动
当飞机直线 平移时地面 上观察P点的 运动为曲线 运动。
P点的运动可看成随飞机的平移与绕螺旋桨轴心转动的合成。
运动学/点的合成运动
本章利用运动的分解、合成的方 法对点的速度、加速度进行分析，研 究点在不同参考系中的运动，以及它 们之间的联系。
运 动 ， 带 动 顶 杆 AB 沿 铅
A
R φ
v0
垂方向运动，如图所示。
试求φ=60º时，顶杆AB的
速度。
n
运动学/点的合成运动
解： 1. 选择动点、动系与定系
B
y
y A
v0
R
o φ
x
o
n
x
动点：AB 杆的端点A 动系：固连于凸轮
定系：固连于水平 轨道
2. 运动分析
绝对运动：直线运动
相对运动：沿凸轮轮 廓曲线运动
▼牵连点指某瞬时动系上与
动点相重合的点，不同瞬时 牵连点的位置不同。
▼动点相对动系、定系必
须有运动，不能和动系在同 一物体上。
▼以上可归结为一点、两
系、三运动。
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
理论力学 点的合成运动
例1. 梯子 AB 长 L , 重 P，一端 B 靠在光滑的铅垂墙上， 另一端 A 放在摩擦系数为 f 的水平地面上，问梯子与水 平线所成的倾角 多大时，梯子能处于平衡？
y
解：
对象：梯子 P , NB , NA , FAmax
B
P m NA RAmax
分析力：
NB
L 列方程： m A ( F ) N B L sin P cos 0 2
摩擦角和自锁现象
2.利用摩擦角判断物体是否平衡的两条规律
全约束力的作用线范围
0 m
m
m
R
若某接触面上的主动力的合力作用线在摩 擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体 将永远平衡。－－自锁现象
螺旋千斤顶 tg 1 f
m
f 0.1
5 43
例2. 已知排挡齿轮宽为 b，自重忽略不计，能在直径为 d 的轴上左右滑动。若齿轮与轴之间的摩擦系数为 f，求不 使齿轮被卡住，水平推力 P 的作用线离轴线的距离 a 的 y 范围。
解：
对象：排挡齿轮
d
NA A
P
a FA b
B m
分析力： P , NB , NA , FB , FA
FB NB
x
列方程：
Y N N 0 Y P F F 0
A B A B
RBmax
d mA ( F ) P(a ) N Bb FB d 0 2 FB fN B 摩擦定律： FA fN A
由式得 NA = NB 代入式
b a 2f
由式得 FA = FB = P/2 齿轮平衡
B A RBAmax RAmax RAmax RBAx 画封闭力三角形：
理论力学06点的合成运动
第六章 点的合成运动
§6–1 点的合成运动的概念 §6–2.1 点的速度合成定理 §6–2.2 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §6–3 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 习题课
2
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
9
若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
10
§6－２点的速度、加速度合成定理
绝对、相对和牵连速度之间的关系就是速度合成定理，它表明： 三个速度矢量的任何一个可以由其余两个叠加得到，表达式为：
牵连加速度: aeτ 0 , ae aen 2r , 方向指向轴心O ;
科氏加速度:ak 2vr 2 2r/cos ,
方向//n, 指向与n 相反。
29
由牵连运动为转动时的加速度合成定 理
aa
ae
at r
an r
ak
作出加速度矢量图如图示
向 n 轴投影： aa cos ae cos arn ak
3.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
3
二．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。
理论力学：第6章 点的合成运动
·1·第6章 点的合成运动6.1 主要内容6.1.1 点的绝对运动、相对运动和牵连运动1．定系和动系若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。
但工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。
2．动点和牵连点动点为研究的对象，牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点。
3．三种运动的关系动点相对于定系的运动定义为绝对运动；动点相对于动系的运动定义为相对运动；动系相对于定系的运动定义为牵连运动。
本章的主要任务就是建立这三者之间的定量关系，从而用来解决工程实际某些运动分析问题。
6.1.2 点的速度合成定理动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。
这就是点的速度合成定理。
a e r =+v v v6.1.3 牵连运动为平移时，点的加速度合成定理当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。
a e r =+a a a6.1.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和，这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
a e r C =++a a a a其中r C v a ⨯=ω2。
当取平动动系时0=e ω；0=C a 。
6.2 基本要求1．掌握运动合成与分解的基本概念和方法，准确理解本章阐述的若干概念。
2．明确动点与动系的选择原则，能在具体问题中恰当地选择动点与动系，并正确地分析三种运动。
3．熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理及其应用。
4．掌握科氏加速度的概念和计算，准确应用牵连运动为转动时的加速度合成定理及其应用。
6.3 重点讨论应用点的合成运动理论解决实际问题时，其关键是正确地选择动点和动系。
选择原则因具体情况不同而略有区别。
常见的问题有三种题型。
1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动。
理论力学-点地合成运动
6．已知半径为R的圆盘平面与铅直轴成30°角，以匀角速度ω转动。轮缘上有一点M，以相对于盘的速度 r沿圆盘边缘运动。则M点经过水平直径AB的端点A时的科氏加速度为（方向在图上表示）。
8．在图示平面机构中，已知：AD=BE=L，且AD平行BE，OF与CE杆垂直。当=60°时，BE杆的角速度为ω、角加速度为。试求止瞬时OF杆的速度与加速度。
9．具有半长R=0.2m的半圆形槽的滑块，以速度u0=1m/s，加速度0=2m/s2水平向右运动，推动杆AB沿铅垂方向运动。试求在图示=60°时，AB杆的速度和加速度。
15．半径r的圆环以匀角速度ω绕垂直于纸面的O轴转动，OA杆固定于水平方向，小环M套在大圆环及杆上。试用点的合成运动方法求当OC垂直于CM时，小环M的速度和加速度。
16．已知：OA杆以匀角速度ω0=2rad/s绕O轴转动，半径r=2cm的小轮沿OA杆作无滑动的滚动，轮心相对OA杆的运用规律b=4t2（式中b以cm计，t以s计）。当t=1s时，=60°，试求该瞬时轮心O1的绝对速度和绝对加速度。
3．杆CD可沿水平槽移动，并推动杆AB绕轴A转动，L为常数。试用点的合成运动方法求图示位置θ=30°时，CD杆的绝对速度u。
4．沿铅直轨道运动的T字杆AB，其上的销钉C插在半径为R的圆槽内，带动物块D沿水平方向运动。在图示位置，AB杆的速度为 ，方向如图示，=30°。试求此瞬时物块D的速度。
5．联合收获机的平行四边形机械在铅垂面内运动。已知：曲柄OA=O1B=500mm，OA转速n=36r/min，收获机的水平速度u=2km/h。试求在图示位置=30°时，AB杆的端点M的水平速度和铅垂直速度。
理论力学作业六
理论力学作业（六）
点的合成运动
一、填空题
1、在点的合成运动分析中，有牵连运动是指动系相对于定系 的运动。
2、牵连加速度和加速度是指动力系上在该瞬时与动点对于静系的运动速度和加速度。
3、e e r r dv dv a a dt dt
==和两式其中对t 的导数为绝对值，则这两式只有牵连运动为时才成立。
4、在应用点的合成运动方法进行加速度分析时，若牵连运动为转动，动系得角速度用w 表示，动点的相对速度用r v 表示，则在某瞬时 W 不等于0，Vr 不等于0，动点在该瞬时也有可能有c a =0。
5、当直杆与铰支套筒连接时，杆上与套筒重合的点的绝对速度方向沿杆的轴线。
二、简答题
1、动点和动系的选择应遵循的一般原则是什么？
⑴ 动点动系不能选在同一个刚体上，以保证动点相对于动系的运动。
⑵ 相对运动轨迹要明显，简单，否则将给求解带来困难（尤其是加速度分析）。
由于合成运动的题目类型多种多样，动点动系的选取因情况不同而有所区别，下面将就常见问题进行举例和归纳。
2、什么是参考系？
指研究物体运动时所选定的参照物体或彼此不作相对运动的物体系。
理论力学06_2基点法
§6.2 平面运动刚体上点的速度1 基点法任何平面图形的运动都可视为随同基点的平移和绕基点转动的合成运动。
随着平面图形运动的分解与合成，图形上任一点的运动也相应地分解与合成。
应用点的合成运动的方法，便可求出图形上任一点的速度。
如图6-6所示，设某一瞬时图形上A 点的速度v A ，图形的角速度为ω。
若选A 点为基点，则根据点的速度合成定理，图形上任一点B 的绝对速度为v (6.2.1) r e v v +=B 由于牵连运动为动坐标系随同基点的平移，故牵连速度v e =v A 。
相对运动为图形绕基点A 的转动，即图形上各点以基点A 为中心作圆周运动，故相对速度为以AB 为半径绕A 点作圆周运动时的速度，记为v BA ，其大小为v BA =AB ⋅ω，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向一致。
B 点的速度可表示为v (6.2.2) BA A B v v +=即平面图形内任一点的速度，等于基点速度与该点绕基点转动速度的矢量和。
基于该结论计算平面图形内任一点速度的方法称为基点法。
例6.2-1图图6-6 平面运动刚体上点的速度的合成在应用时，应该注意到式(6.2.2)是一个矢量表达式，各矢量均有大小和方向两个要素，式中共有六个要素。
由于相对速度的方向总是已知的，它垂直于线段AB 。
因此还应知道另外三个要素，方可求解剩余的两个要素。
特别是若已知或求得平面图形角速度，以点A 为基点，用式(6.2.2)可求出图形上任意点的速度。
此外，应用式(6.2.2)作速度平行四边形时，必须注意应为速度平行四边形的对角线。
BA v B v 例6.2-1：曲柄滑块机构如图所示。
曲柄OA =20cm ，绕O 轴以等角速度ω0=10rad/s 转动，连杆AB =100cm 。
当曲柄与连杆相互垂直并与水平线间各成α=45°和β=45°时，求滑块B 的速度和AB 杆的角速度。
解：曲柄OA 作定轴转动，连杆AB 作平面运动，滑块B 作平移。
哈工大理论力学教研室《理论力学》复习大全(点的合成运动)
第7章 点的合成运动7.1 复习笔记一、合成运动 1．基本概念（1）合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
（2）定参考系：习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。
（3）动参考系：固定在其他相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，简称动系。
（4）绝对运动：动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动。
（5）相对运动：动点相对于动参考系的运动，称为相对运动。
（6）牵连运动：动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
（7）动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度，称为相对轨迹、相对速度r v 和相对加速度r a 。
（8）动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，称为绝对轨迹、绝对速度a v 和绝对加速度a a 。
（9）在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度，用符号e v 和e a 表示。
二、点的速度合成定理 1．点的速度合成定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
表达式为a e r v v v =+由此公式画出的平行四边形也称为速度平行四边形。
2．用速度合成定理解决问题步骤与注意事项（1）选取动点、动参考系和定参考系。
所选的动参考系应能将动点的运动分解成为相对运动和牵连运动。
因此，动点和动参考系不能选在同一个物体上，一般应使相对运动易于看清。
动点与动参考系直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点），牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
（2）分析三种运动和三种速度。
相对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？牵连运动是怎样的一种运动(平移、转动或其他的某一种刚体运动)？绝对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某种曲线运动)？各种运动的速度都有大小和方向两个要素，只有已知四个要素时才能画出速度平行四边形。
理论力学第六章点的合成运动
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例6－6：三角楔块可在光滑地面滑动，现在楔块上放一物块可
沿光滑斜面滑下，当t=0,x=0,y=h,v2=0,a1=10cm/s2 , a2=10 2cm/s2，试求：物块轨迹方程。
解： aax= a1+ a2 cos450 =20cm/s2；
υϖa = υϖe +υϖr
绝对速度
相对速度
牵连速度
速度合成定理 —— 动点的绝对速度等于其牵连速 度与相对速度的的矢量和。
22
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例6－1：雨铅垂下落,客车以匀速v行驶,在无风时下雨打在 窗玻璃上 的夹角为θ，试求:雨的速度。
10
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运动的分解:动点动系的选择
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若选杆为动系,圆上一点为动点
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例6－5：曲柄滑道机构，OA=O1A=r=10cm, θ= ϕ , ω=4π, 试求:ϕ 转到300时直杆的加速度a。
解：动点取A； 绝对:圆周；
va
vr
相对:圆周；牵连:平动；
ve
ω
[速度]
y: vacos300=vrcos300;
va= ω r=40 π; vr= va= ω r=40 π ，
选法2 Х
19
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若动点A在偏心轮上时
动点：A(在AB杆上)
A（在偏心轮上）
动系：偏心轮
AB杆
静系：地面
地面
绝对运动：直线
圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知）
牵连运动：定轴转动
平动
[注] 要指明动点应在哪个 物体上， 但不能选在 动系上。
10
§6－２点的速度、加速度合成定理
哈工大教材，我们的详细证明在最后做
1
第六章 点的合成运动
§6–1 点的合成运动的概念 §6–2.1 点的速度合成定理 §6–2.2 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §6–3 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 习题课
2
前两章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的参 考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车上观看飞 机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是向后斜落的等。
分析上式：可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度 a a 并不
等于牵连加速度 a e 和相对加速度 a r 的矢量和。那么他们
之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？牵连运动
为转动时点的加速度合成定理的证明留待以后。
16
绝对、相对和牵连加速度之间的关系就是加速度合成定理，表达
z
rM
r'
ro '
o' x'
y'
dt
绝对速度为：
d r v o a' d x d r'M i • 't y d'( • jr'o d ' zt'rk • ')' x • 'i ' y • 'x jO' z • 'k '
y
dt
所以有：
• • • vex'i'y'j'z'k'
va ve vr
3.动参考系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系，
称为动坐标系，简称动系。例如在行驶的汽车。
3
二．三种运动及三种速度与三种加速度。
１．绝对运动：动点对静系的运动。 ２．相对运动：动点对动系的运动。
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动。
３．牵连运动：动系相对于静系的运动
刚体的运动
例如：行驶的汽车相对于地面的运动。
定系：Oxyz
动系：O’x’y’z’ O’点 在定系中矢径：ro '
动点 M在动系中的矢径： r' x 'i' y 'j' z'k '
M z'
z rM
r'
o' y'
ro '
x'
求相对导数得相对速v 度r：d d r ' tx •'i' y •' j'z•'k '
O x
y
此与牵动时动连点牵点速M连度M在点在：定定M系’系v 在中e 中定的 的系矢d 矢中径d r 径M 的：相'矢 同r径M t ：d d r o 'rr M o''x •t 'i r • r'' o' y •'r • j'' z •'k • ' x • 'i ' y • ' j' z • 'k '
为什么在不同的坐标系或参考体上观察物体的运动会有不 同的结果呢？我们说事物都是相互联系着的。下面我们就将研 究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究，下面先 来介绍有关的概念。
§6-1 点合成运动的基本概念
一．动点、坐标系：
1、动点： 所研究的点（运动着的点）。
2.静参考系：把固结于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 v a 与绝对加速度 a a 相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 v r 与相对加速度a r
牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度v e与牵连加速度 a e
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。
式为：
aaaear2vr
4
三．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有
运动的点。 四．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，
或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念：
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系：固结在地面上
5
绝对运动： 直线 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
6
绝对速度 ：v a 相对速度 ： v r
牵连速度 ：v e
7
绝对加速度：a a 相对加速度：a r
牵连加速度：a e
8
动点：A1（在O'A1 摆杆上) 动系：圆盘 静系：机架 绝对运动：曲线（圆弧） 相对运动：曲线 牵连运动：定轴转动
动点：A（在圆盘上) 动系：O'A摆杆 静系：机架 绝对运动：曲线（圆周） 相对运动：直线 牵连运动：定轴转动
veR, ae2R （方向如图）
相对运动为匀速圆周运动，
有vr
常数 ,ar
vr2 R
（方向如图）
由速度合成定理可得出
vavevrRvr常数
即绝对运动也为匀速圆周运动，所以
a av R a2(RR vr)2R2v R r2 2vr
方向指向圆心Ｏ点
15
a av R a2(RR vr)2R2v R r2 2vr
13
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
当牵连运动为转动时，加速度合成定理是怎样表达？下面我们 来分析一特例。
设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ顺
时针转动，盘上圆槽内有一点M以大 小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那 么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？
14
选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动
v rd d r ' tx •'i'y •' j'z•'k '
12
绝对、相对和牵连速度之间的关系就是速度合成定理，它表明： 三个速度矢量的任何一个可以由其余两个叠加得到，表达式为：
va ve vr
(6.1)
即在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的 矢量和，这就是点的速度合成定理。
动系平动时的加速度合成 a d d vatd(ve dv tr)a ea r
注意在动系中牵连点导数为零： x'i'y' j'z'k'0
11
• • •
所以牵连速度为：
x'i'y' j'z'k'0
M z'
v e dd d rr oo '' xtx ''i•i • ' ' yy ''•j • j' ' zz ''k•k • '' x • 'i ' y • ' j' z • 'k '