上海高考数学 函数大题
2024年高考数学真题分类汇编09：函数与导数(含详细答案解析)
函数与导数一、单选题1.(2024·全国)已知函数为f (x )=-x 2-2ax -a ,x <0e x+ln (x +1),x ≥0，在R 上单调递增，则a 取值的范围是()A.(-∞,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+∞)2.(2024·全国)已知函数为f (x )的定义域为R ，f (x )>f (x -1)+f (x -2)，且当x <3时f (x )=x ，则下列结论中一定正确的是()A.f (10)>100B.f (20)>1000C.f (10)<1000D.f (20)<100003.(2024·全国)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.24.(2024·全国)设函数f (x )=(x +a )ln (x +b )，若f (x )≥0，则a 2+b 2的最小值为()A.18B.14C.12D.15.(2024·全国)曲线f x =x 6+3x -1在0,-1 处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.32C.12D.-326.(2024·全国)函数f x =-x 2+e x -e -x sin x 在区间[-2.8,2.8]的大致图像为()A. B.C. D.7.(2024·全国)设函数f x =e x +2sin x1+x 2，则曲线y =f x 在0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.238.(2024·北京)已知x 1,y 1 ，x 2,y 2 是函数y =2x图象上不同的两点，则下列正确的是()A.log 2y 1+y 22>x 1+x22 B.log 2y 1+y 22<x 1+x22C.log 2y 1+y 22>x 1+x 2D.log 2y 1+y 22<x 1+x 29.(2024·天津)下列函数是偶函数的是()A.y=e x-x2x2+1B.y=cos x+x2x2+1C.y=e x-xx+1D.y=sin x+4xe|x|10.(2024·天津)若a=4.2-0.3，b=4.20.3，c=log4.20.2，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a11.(2024·上海)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x+cos xB.sin x cos xC.sin2x+cos2xD.sin2x-cos2x12.(2024·上海)已知函数f(x)的定义域为R，定义集合M=x0x0∈R,x∈-∞,x0,f x <f x0，在使得M =-1,1的所有f x 中，下列成立的是()A.存在f x 是偶函数B.存在f x 在x=2处取最大值C.存在f x 是严格增函数D.存在f x 在x=-1处取到极小值二、多选题13.(2024·全国)设函数f(x)=(x-1)2(x-4)，则()A.x=3是f(x)的极小值点B.当0<x<1时，f(x)<f x2C.当1<x<2时，-4<f(2x-1)<0D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x)14.(2024·全国)设函数f(x)=2x3-3ax2+1，则()A.当a>1时，f(x)有三个零点B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴D.存在a，使得点1,f1为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题15.(2024·全国)若曲线y=e x+x在点0,1处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=.16.(2024·全国)已知a>1，1log8a -1log a4=-52，则a=．17.(2024·全国)曲线y=x3-3x与y=-x-12+a在0,+∞上有两个不同的交点，则a的取值范围为．18.(2024·天津)若函数f x =2x2-ax-ax-2+1有唯一零点，则a的取值范围为．19.(2024·上海)已知f x =x,x>01,x≤0,则f3 =．四、解答题20.(2024·全国)已知函数f(x)=ln x2-x+ax+b(x-1)3(1)若b=0，且f (x)≥0，求a的最小值；(2)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；(3)若f (x )>-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围．21.(2024·全国)已知函数f (x )=e x -ax -a 3．(1)当a =1时，求曲线y =f (x )在点1,f (1) 处的切线方程；(2)若f (x )有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．22.(2024·全国)已知函数f x =a x -1 -ln x +1．(1)求f x 的单调区间；(2)若a ≤2时，证明：当x >1时，f x <e x -1恒成立．23.(2024·全国)已知函数f x =1-ax ln 1+x -x ．(1)当a =-2时，求f x 的极值；(2)当x ≥0时，f x ≥0恒成立，求a 的取值范围．24.(2024·北京)已知f x =x +k ln 1+x 在t ,f t t >0 处切线为l ．(1)若切线l 的斜率k =-1，求f x 单调区间；(2)证明：切线l 不经过0,0 ；(3)已知k =1，A t ,f t ，C 0,f t ，O 0,0 ，其中t >0，切线l 与y 轴交于点B 时．当2S △ACO =15S △ABO ，符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10，1.60<ln5<1.61，1.94<ln7<1.95)25.(2024·天津)设函数f x =x ln x ．(1)求f x 图象上点1,f 1 处的切线方程；(2)若f x ≥a x -x 在x ∈0,+∞ 时恒成立，求a 的取值范围；(3)若x 1,x 2∈0,1 ，证明f x 1 -f x 2 ≤x 1-x 2 12．26.(2024·上海)若f x =log a x (a >0,a ≠1)．(1)y =f x 过4,2 ，求f 2x -2 <f x 的解集；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，求a 的取值范围．27.(2024·上海)对于一个函数f x 和一个点M a ,b ，令s x =(x -a )2+f x -b 2，若P x 0,f x 0 是s x取到最小值的点，则称P 是M 在f x 的“最近点”．(1)对于f (x )=1x(x >0)，求证：对于点M 0,0 ，存在点P ，使得点P 是M 在f x 的“最近点”；(2)对于f x =e x ,M 1,0 ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在f x 的“最近点”，且直线MP 与y =f (x )在点P 处的切线垂直；(3)已知y =f (x )在定义域R 上存在导函数f (x )，且函数g (x )在定义域R 上恒正，设点M 1t -1,f t -g t ，M 2t +1,f t +g t ．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，试判断f x 的单调性．参考答案：1.B【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【解析】因为f x 在R上单调递增，且x≥0时，f x =e x+ln x+1单调递增，则需满足--2a2×-1≥0-a≤e0+ln1，解得-1≤a≤0，即a的范围是[-1,0].故选：B.2.B【分析】代入得到f(1)=1,f(2)=2，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【解析】因为当x<3时f(x)=x，所以f(1)=1,f(2)=2，又因为f(x)>f(x-1)+f(x-2)，则f(3)>f(2)+f(1)=3,f(4)>f(3)+f(2)>5，f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21，f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89，f(11)>f(10)+f(9)>144,f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987，f(16)>f(15)+f(14)>1597>1000，则依次下去可知f(20)>1000，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用f(1)=1,f(2)=2，再利用题目所给的函数性质f(x)>f(x-1)+ f(x-2)，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.3.D【分析】解法一：令F x =ax2+a-1,G x =cos x，分析可知曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令h x =f(x)-g x ,x∈-1,1，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a=2，并代入检验即可.【解析】解法一：令f(x)=g x ，即a(x+1)2-1=cos x+2ax，可得ax2+a-1=cos x，令F x =ax2+a-1,G x =cos x，原题意等价于当x∈(-1,1)时，曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得F0 =G0 ，即a-1=1，解得a=2，若a=2，令F x =G x ，可得2x2+1-cos x=0因为x∈-1,1，则2x2≥0,1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，可得2x2+1-cos x≥0，当且仅当x=0时，等号成立，则方程2x2+1-cos x=0有且仅有一个实根0，即曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点，所以a=2符合题意；综上所述：a=2.解法二：令h x =f(x)-g x =ax2+a-1-cos x,x∈-1,1，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4.C【分析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，分类讨论-a 与-b ,1-b 的大小关系，结合符号分析判断，即可得b =a +1，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln (x +b )的符号，进而可得x +a 的符号，即可得b =a +1，代入可得最值.【解析】解法一：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；若-a ≤-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-b <-a <1-b ，当x ∈-a ,1-b 时，可知x +a >0,ln x +b <0，此时f (x )<0，不合题意；若-a =1-b ，当x ∈-b ,1-b 时，可知x +a <0,ln x +b <0，此时f (x )>0；当x ∈1-b ,+∞ 时，可知x +a ≥0,ln x +b ≥0，此时f (x )≥0；可知若-a =1-b ，符合题意；若-a >1-b ，当x ∈1-b ,-a 时，可知x +a 0,ln x +b 0，此时f (x )<0，不合题意；综上所述：-a =1-b ，即b =a +1，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12；解法二：由题意可知：f (x )的定义域为-b ,+∞ ，令x +a =0解得x =-a ；令ln (x +b )=0解得x =1-b ；则当x ∈-b ,1-b 时，ln x +b <0，故x +a ≤0，所以1-b +a ≤0；x ∈1-b ,+∞ 时，ln x +b >0，故x +a ≥0，所以1-b +a ≥0；故1-b +a =0，则a 2+b 2=a 2+a +1 2=2a +12 2+12≥12，当且仅当a =-12,b =12时，等号成立，所以a 2+b 2的最小值为12.故选：C .【点睛】关键点点睛：分别求x +a =0、ln (x +b )=0的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.5.A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【解析】f x =6x 5+3，所以f 0 =3，故切线方程为y =3(x -0)-1=3x -1，故切线的横截距为13，纵截距为-1，故切线与坐标轴围成的面积为12×1×13=16故选：A .6.B【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入x =1可得f 1 >0，可排除D .【解析】f -x =-x 2+e -x -e x sin -x =-x 2+e x -e -x sin x =f x ，又函数定义域为-2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又f 1 =-1+e -1e sin1>-1+e -1e sin π6=e 2-1-12e >14-12e>0，故可排除D .故选：B .7.A【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点0,1 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【解析】fx =ex+2cos x 1+x 2 -e x +2sin x ⋅2x1+x 22，则f0 =e 0+2cos0 1+0 -e 0+2sin0 ×01+02=3，即该切线方程为y -1=3x ，即y =3x +1，令x =0，则y =1，令y =0，则x =-13，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S =12×1×-13 =16.故选：A .8.A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB ；举例判断CD 即可.【解析】由题意不妨设x 1<x 2，因为函数y =2x 是增函数，所以0<2x 1<2x 2，即0<y 1<y 2，对于选项AB ：可得2x1+2x 22>2x 1·2x 2=2x 1+x 22，即y 1+y 22>2x 1+x 22>0，根据函数y =log 2x 是增函数，所以log 2y 1+y 22>log 22x 1+x22=x 1+x22，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如x 1=0,x 2=1，则y 1=1,y 2=2，可得log 2y 1+y 22=log 232∈0,1 ，即log 2y 1+y 22<1=x 1+x 2，故C 错误；对于选项D ：例如x 1=-1,x 2=-2，则y 1=12,y 2=14，可得log 2y 1+y 22=log 238=log 23-3∈-2,-1 ，即log 2y 1+y 22>-3=x 1+x 2，故D 错误，故选：A .9.B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【解析】对A ，设f x =e x -x 2x 2+1，函数定义域为R ，但f -1 =e -1-12，f 1 =e -12，则f -1 ≠f 1 ，故A 错误；对B ，设g x =cos x +x 2x 2+1，函数定义域为R ，且g -x =cos -x +-x 2-x 2+1=cos x +x 2x 2+1=g x ，则g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设h x =e x -xx +1，函数定义域为x |x ≠-1 ，不关于原点对称，则h x 不是偶函数，故C 错误；对D ，设φx =sin x +4x e |x |，函数定义域为R ，因为φ1 =sin1+4e ，φ-1 =-sin1-4e ，则φ1 ≠φ-1 ，则φx 不是偶函数，故D 错误.故选：B .10.B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.【解析】因为y =4.2x 在R 上递增，且-0.3<0<0.3，所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a <1<b ，因为y =log 4.2x 在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，所以log 4.20.2<log 4.21=0，即c <0，所以b >a >c ，故选：B 11.A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【解析】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．12.B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数f x =-2,x <-1x ,-1≤x ≤11,x >1即可判断.【解析】对于A ，若存在y =f (x )是偶函数, 取x 0=1∈[-1,1],则对于任意x ∈(-∞,1),f (x )<f (1), 而f (-1)=f (1), 矛盾, 故A 错误；对于B ，可构造函数f x =-2,x <-1,x ,-1≤x ≤1,1,x >1,满足集合M =-1,1 ，当x <-1时，则f x =-2，当-1≤x ≤1时，f x ∈-1,1 ，当x >1时，f x =1，则该函数f x 的最大值是f 2 ，则B 正确；对C ，假设存在f x ，使得f x 严格递增，则M =R ，与已知M =-1,1 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在f x ，使得f x 在x =-1处取极小值，则在-1的左侧附近存在n ，使得f n >f -1 ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B .13.ACD【分析】求出函数f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数f x 在1,3 上的值域即可判断C ；直接作差可判断D .【解析】对A ，因为函数f x 的定义域为R ，而f x =2x -1 x -4 +x -1 2=3x -1 x -3 ，易知当x ∈1,3 时，f x <0，当x ∈-∞,1 或x ∈3,+∞ 时，f x >0函数f x 在-∞,1 上单调递增，在1,3 上单调递减，在3,+∞ 上单调递增，故x =3是函数f x 的极小值点，正确；对B ，当0<x <1时，x -x 2=x 1-x >0，所以1>x >x 2>0，而由上可知，函数f x 在0,1 上单调递增，所以f x >f x 2 ，错误；对C ，当1<x <2时，1<2x -1<3，而由上可知，函数f x 在1,3 上单调递减，所以f 1 >f 2x -1 >f 3 ，即-4<f 2x -1 <0，正确；对D ，当-1<x <0时，f (2-x )-f (x )=1-x 2-2-x -x -1 2x -4 =x -1 22-2x >0，所以f (2-x )>f (x )，正确；故选：ACD .14.AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为x =0,x =a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出f (x )在(-1,0),(0,a ),(a ,2a )上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，则f (x )=f (2b -x )为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【解析】A 选项，f (x )=6x 2-6ax =6x (x -a )，由于a >1，故x ∈-∞,0 ∪a ,+∞ 时f (x )>0，故f (x )在-∞,0 ,a ,+∞ 上单调递增，x ∈(0,a )时，f (x )<0，f (x )单调递减，则f (x )在x =0处取到极大值，在x =a 处取到极小值，由f (0)=1>0，f (a )=1-a 3<0，则f (0)f (a )<0，根据零点存在定理f (x )在(0,a )上有一个零点，又f (-1)=-1-3a <0，f (2a )=4a 3+1>0，则f (-1)f (0)<0,f (a )f (2a )<0，则f (x )在(-1,0),(a ,2a )上各有一个零点，于是a >1时，f (x )有三个零点，A 选项正确；B 选项，f (x )=6x (x -a )，a <0时，x ∈(a ,0),f (x )<0，f (x )单调递减，x ∈(0,+∞)时f (x )>0，f (x )单调递增，此时f (x )在x =0处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，即存在这样的a ,b 使得f (x )=f (2b -x )，即2x 3-3ax 2+1=2(2b -x )3-3a (2b -x )2+1，根据二项式定理，等式右边(2b -x )3展开式含有x 3的项为2C 33(2b )0(-x )3=-2x 3，于是等式左右两边x 3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的a ,b ，使得x =b 为f (x )的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简f (1)=3-3a ，若存在这样的a ，使得(1,3-3a )为f (x )的对称中心，则f (x )+f (2-x )=6-6a ，事实上，f (x )+f (2-x )=2x 3-3ax 2+1+2(2-x )3-3a (2-x )2+1=(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a ，于是6-6a =(12-6a )x 2+(12a -24)x +18-12a即12-6a =012a -24=018-12a =6-6a，解得a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，f (x )=2x 3-3ax 2+1，f (x )=6x 2-6ax ，f (x )=12x -6a ，由f (x )=0⇔x =a 2，于是该三次函数的对称中心为a 2,f a2，由题意(1,f (1))也是对称中心，故a2=1⇔a =2，即存在a =2使得(1,f (1))是f (x )的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：(1)f (x )的对称轴为x =b ⇔f (x )=f (2b -x )；(2)f (x )关于(a ,b )对称⇔f (x )+f (2a -x )=2b ；(3)任何三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是f (x )=0的解，即-b 3a ,f -b3a 是三次函数的对称中心15.ln2【分析】先求出曲线y =e x +x 在0,1 的切线方程，再设曲线y =ln x +1 +a 的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，求出y ，利用公切线斜率相等求出x 0，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【解析】由y =e x +x 得y =e x +1，y |x =0=e 0+1=2，故曲线y =e x +x 在0,1 处的切线方程为y =2x +1；由y =ln x +1 +a 得y =1x +1，设切线与曲线y =ln x +1 +a 相切的切点为x 0,ln x 0+1 +a ，由两曲线有公切线得y =1x 0+1=2，解得x 0=-12，则切点为-12,a +ln 12 ，切线方程为y =2x +12 +a +ln 12=2x +1+a -ln2，根据两切线重合,所以a -ln2=0，解得a =ln2.故答案为：ln216.64【分析】将log 8a ,log a 4利用换底公式转化成log 2a 来表示即可求解.【解析】由题1log 8a -1log a 4=3log 2a -12log 2a =-52，整理得log 2a 2-5log 2a -6=0，⇒log 2a =-1或log 2a =6，又a >1，所以log 2a =6=log 226，故a =26=64故答案为：64.17.-2,1【分析】将函数转化为方程，令x 3-3x =-x -1 2+a ，分离参数a ，构造新函数g x =x 3+x 2-5x +1,结合导数求得g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令x 3-3x =-x -1 2+a ，即a =x 3+x 2-5x +1，令g x =x 3+x 2-5x +1x >0 ,则g x =3x 2+2x -5=3x +5 x -1 ，令g x =0x >0 得x =1，当x ∈0,1 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，g 0 =1,g 1 =-2，因为曲线y =x 3-3x 与y =-x -1 2+a 在0,+∞ 上有两个不同的交点，所以等价于y =a 与g x 有两个交点，所以a ∈-2,1.故答案为：-2,1 18.-3,-1 ∪1,3【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数g x =2x 2-ax 与h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，则两函数图象有唯一交点，分a =0、a >0与a <0进行讨论，当a >0时，计算函数定义域可得x ≥a 或x ≤0，计算可得a ∈0,2 时，两函数在y 轴左侧有一交点，则只需找到当a ∈0,2 时，在y 轴右侧无交点的情况即可得；当a <0时，按同一方式讨论即可得.【解析】令f x =0，即2x 2-ax =ax -2 -1，由题可得x 2-ax ≥0，当a =0时，x ∈R ，有2x 2=-2 -1=1，则x =±22，不符合要求，舍去；当a >0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥a 或x ≤0，当x ≤0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =2时，即4x +1=0，即x =-14，当a ∈0,2 ，x =-12+a 或x =12-a>0(正值舍去)，当a ∈2,+∞ 时，x =-12+a <0或x =12-a<0，有两解，舍去，即当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤0时有唯一解，则当a ∈0,2 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥a 时需无解，当a ∈0,2 ，且x ≥a 时，由函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在1a ,2a上单调递减，在2a ,3a上单调递增，令g x =y =2x 2-ax ，即x -a 2 2a 24-y 2a 2=1，故x ≥a 时，g x 图象为双曲线x2a 24-y 2a2=1右支的x 轴上方部分向右平移a2所得，由x2a 24-y 2a2=1的渐近线方程为y =±aa 2x =±2x ，即g x 部分的渐近线方程为y =2x -a 2，其斜率为2，又a ∈0,2 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x ≥2a 时的斜率a ∈0,2 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在a ,+∞ 上单调递增，故有1a <a 3a>a，解得1<a <3，故1<a <3符合要求；当a <0时，则2x 2-ax =ax -2 -1=ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a，即函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a有唯一交点，由x 2-ax ≥0，可得x ≥0或x ≤a ，当x ≥0时，则ax -2<0，则2x 2-ax =ax -2 -1=1-ax ，即4x 2-4ax =1-ax 2，整理得4-a 2 x 2-2ax -1=2+a x +1 2-a x -1 =0，当a =-2时，即4x -1=0，即x =14，当a ∈-2,0 ，x =-12+a <0(负值舍去)或x =12-a0，当a ∈-∞,2 时，x =-12+a >0或x =12-a>0，有两解，舍去，即当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≥0时有唯一解，则当a ∈-2,0 时，2x 2-ax -ax -2 +1=0在x ≤a 时需无解，当a ∈-2,0 ，且x ≤a 时，由函数h x =ax -3,x ≤2a1-ax ,x >2a关于x =2a 对称，令h x =0，可得x =1a 或x =3a ，且函数h x 在2a ,1a上单调递减，在3a ,2a上单调递增，同理可得：x ≤a 时，g x 图象为双曲线x 2a 24-y 2a 2=1左支的x 轴上方部分向左平移a2所得，g x 部分的渐近线方程为y =-2x +a 2，其斜率为-2，又a ∈-2,0 ，即h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a在x <2a 时的斜率a ∈-2,0 ，令g x =2x 2-ax =0，可得x =a 或x =0(舍去)，且函数g x 在-∞,a 上单调递减，故有1a >a 3a<a，解得-3<a <-1，故-3<a <-1符合要求；综上所述，a ∈-3,-1 ∪1,3 .故答案为：-3,-1 ∪1,3 .【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数f x 的零点问题转化为函数g x =2x 2-ax 与函数h x =ax -3,x ≥2a1-ax ,x <2a的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.19.3【分析】利用分段函数的形式可求f 3 .【解析】因为f x =x ,x >01,x ≤0, 故f 3 =3，故答案为：3.20.(1)-2(2)证明见解析(3)b ≥-23【分析】(1)求出f x min =2+a 后根据f (x )≥0可求a 的最小值；(2)设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，可证P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n 也在函数的图像上，从而可证对称性；(3)根据题设可判断f 1 =-2即a =-2，再根据f (x )>-2在1,2 上恒成立可求得b ≥-23.【解析】(1)b =0时，f x =ln x2-x+ax ，其中x ∈0,2 ，则f x =1x +12-x =2x 2-x+a ,x ∈0,2 ，因为x 2-x ≤2-x +x 2 2=1，当且仅当x =1时等号成立，故f x min =2+a ，而f x ≥0成立，故a +2≥0即a ≥-2，所以a 的最小值为-2.，(2)f x =ln x2-x+ax +b x -1 3的定义域为0,2 ，设P m ,n 为y =f x 图象上任意一点，P m ,n 关于1,a 的对称点为Q 2-m ,2a -n ，因为P m ,n 在y =f x 图象上，故n =ln m2-m+am +b m -1 3，而f 2-m =ln 2-m m +a 2-m +b 2-m -1 3=-ln m2-m +am +b m -1 3 +2a ，=-n +2a ，所以Q 2-m ,2a -n 也在y =f x 图象上，由P 的任意性可得y =f x 图象为中心对称图形，且对称中心为1,a .(3)因为f x >-2当且仅当1<x<2，故x=1为f x =-2的一个解，所以f1 =-2即a=-2，先考虑1<x<2时，f x >-2恒成立.此时f x >-2即为lnx2-x+21-x+b x-13>0在1,2上恒成立，设t=x-1∈0,1，则ln t+11-t-2t+bt3>0在0,1上恒成立，设g t =ln t+11-t-2t+bt3,t∈0,1，则g t =21-t2-2+3bt2=t2-3bt2+2+3b1-t2，当b≥0，-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，故g t >0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当-23≤b<0时，-3bt2+2+3b≥2+3b≥0，故g t ≥0恒成立，故g t 在0,1上为增函数，故g t >g0 =0即f x >-2在1,2上恒成立.当b<-23，则当0<t<1+23b<1时，g t <0故在0,1+2 3b上g t 为减函数，故g t <g0 =0，不合题意，舍；综上，f x >-2在1,2上恒成立时b≥-2 3 .而当b≥-23时，而b≥-23时，由上述过程可得g t 在0,1递增，故g t >0的解为0,1，即f x >-2的解为1,2.综上，b≥-2 3 .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.21.(1)e-1x-y-1=0(2)1,+∞【分析】(1)求导，结合导数的几何意义求切线方程；(2)解法一：求导，分析a≤0和a>0两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知f (x)=e x-a有零点，可得a>0，进而利用导数求f x 的单调性和极值，分析可得a2+ln a-1>0，构建函数解不等式即可.【解析】(1)当a=1时，则f(x)=e x-x-1，f (x)=e x-1，可得f(1)=e-2，f (1)=e-1，即切点坐标为1,e-2，切线斜率k=e-1，所以切线方程为y-e-2=e-1x-1，即e-1x-y-1=0.(2)解法一：因为f(x)的定义域为R，且f (x)=e x-a，若a≤0，则f (x)≥0对任意x∈R恒成立，可知f (x )在R 上单调递增，无极值，不合题意；若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，则g a =2a +1a>0，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ ；解法二：因为f (x )的定义域为R ，且f (x )=e x -a ，若f (x )有极小值，则f (x )=e x -a 有零点，令f (x )=e x -a =0，可得e x =a ，可知y =e x 与y =a 有交点，则a >0，若a >0，令f (x )>0，解得x >ln a ；令f (x )<0，解得x <ln a ；可知f (x )在-∞,ln a 内单调递减，在ln a ,+∞ 内单调递增，则f (x )有极小值f ln a =a -a ln a -a 3，无极大值，符合题意，由题意可得：f ln a =a -a ln a -a 3<0，即a 2+ln a -1>0，构建g a =a 2+ln a -1,a >0，因为则y =a 2,y =ln a -1在0,+∞ 内单调递增，可知g a 在0,+∞ 内单调递增，且g 1 =0，不等式a 2+ln a -1>0等价于g a >g 1 ，解得a >1，所以a 的取值范围为1,+∞ .22.(1)见解析(2)见解析【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x >1时，e x -1-2x +1+ln x >0即可.【解析】(1)f (x )定义域为(0,+∞)，f (x )=a -1x =ax -1x当a ≤0时，f (x )=ax -1x <0，故f (x )在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，x ∈1a,+∞ 时，f (x )>0，f (x )单调递增，当x ∈0,1a时，f (x )<0，f (x )单调递减.综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,+∞)上单调递减；a >0时，f (x )在1a ,+∞ 上单调递增，在0,1a上单调递减.(2)a ≤2，且x >1时，e x -1-f (x )=e x -1-a (x -1)+ln x -1≥e x -1-2x +1+ln x ，令g (x )=e x -1-2x +1+ln x (x >1)，下证g (x )>0即可.g (x )=e x -1-2+1x ，再令h (x )=g (x )，则h (x )=e x -1-1x2，显然h (x )在(1,+∞)上递增，则h (x )>h (1)=e 0-1=0，即g (x )=h (x )在(1,+∞)上递增，故g (x)>g (1)=e0-2+1=0，即g(x)在(1,+∞)上单调递增，故g(x)>g(1)=e0-2+1+ln1=0，问题得证23.(1)极小值为0，无极大值.(2)a≤-12【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.(2)求出函数的二阶导数，就a≤-12、-12<a<0、a≥0分类讨论后可得参数的取值范围.【解析】(1)当a=-2时，f(x)=(1+2x)ln(1+x)-x，故f (x)=2ln(1+x)+1+2x1+x-1=2ln(1+x)-11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=-11+x+1在-1,+∞上为增函数，故f (x)在-1,+∞上为增函数，而f (0)=0，故当-1<x<0时，f (x)<0，当x>0时，f (x)>0，故f x 在x=0处取极小值且极小值为f0 =0，无极大值.(2)f x =-a ln1+x+1-ax1+x-1=-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，设s x =-a ln1+x-a+1x1+x,x>0，则s x =-ax+1-a+11+x2=-a x+1+a+11+x2=-ax+2a+11+x2，当a≤-12时，sx >0，故s x 在0,+∞上为增函数，故s x >s0 =0，即f x >0，所以f x 在0,+∞上为增函数，故f x ≥f0 =0.当-12<a<0时，当0<x<-2a+1a时，sx <0，故s x 在0,-2a+1 a上为减函数，故在0,-2a+1a上s x <s0 ，即在0,-2a+1 a上f x <0即f x 为减函数，故在0,-2a+1 a上f x <f0 =0，不合题意，舍.当a≥0，此时s x <0在0,+∞上恒成立，同理可得在0,+∞上f x <f0 =0恒成立，不合题意，舍；综上，a≤-1 2 .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.24.(1)单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)证明见解析(3)2【分析】(1)直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；(2)写出切线方程y-f(t)=1+k1+t(x-t)(t>0)，将(0,0)代入再设新函数F(t)=ln(1+t)-t1+t，利用导数研究其零点即可；(3)分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S ABO 得到13ln (1+t )-2t -15t1+t=0，再设新函数h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)研究其零点即可.【解析】(1)f (x )=x -ln (1+x ),f (x )=1-11+x =x1+x(x >-1)，当x ∈-1,0 时，f x <0；当x ∈0,+∞ ，f x >0；∴f (x )在(-1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.则f (x )的单调递减区间为(-1,0)，单调递增区间为(0,+∞).(2)f (x )=1+k 1+x ，切线l 的斜率为1+k1+t，则切线方程为y -f (t )=1+k1+t (x -t )(t >0)，将(0,0)代入则-f (t )=-t 1+k 1+t,f (t )=t 1+k1+t ，即t +k ln (1+t )=t +t k 1+t ，则ln (1+t )=t 1+t ，ln (1+t )-t1+t =0，令F (t )=ln (1+t )-t1+t，假设l 过(0,0)，则F (t )在t ∈(0,+∞)存在零点.F (t )=11+t -1+t -t (1+t )2=t(1+t )2>0，∴F (t )在(0,+∞)上单调递增，F (t )>F (0)=0，∴F (t )在(0,+∞)无零点，∴与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).(3)k =1时，f (x )=x +ln (1+x ),f (x )=1+11+x =x +21+x>0.S △ACO =12tf (t )，设l 与y 轴交点B 为(0,q )，t >0时，若q <0，则此时l 与f (x )必有交点，与切线定义矛盾.由(2)知q ≠0.所以q >0，则切线l 的方程为y -t -ln t +1 =1+11+t x -t ，令x =0，则y =q =y =ln (1+t )-tt +1.∵2S △ACO =15S ABO ，则2tf (t )=15t ln (1+t )-t t +1，∴13ln (1+t )-2t -15t 1+t =0，记h (t )=13ln (1+t )-2t -15t1+t(t >0)，∴满足条件的A 有几个即h (t )有几个零点.h(t )=131+t -2-15(t +1)2=13t +13-2t 2+2t +1 -15(t +1)2=2t 2+9t -4(t +1)2=(-2t +1)(t -4)(t +1)2，当t ∈0,12 时，h t <0，此时h t 单调递减；当t ∈12,4 时，h t >0，此时h t 单调递增；当t ∈4,+∞ 时，h t <0，此时h t 单调递减；因为h (0)=0,h 120,h (4)=13ln5-20 13×1.6-20=0.8>0，h (24)=13ln25-48-15×2425=26ln5-48-725<26×1.61-48-725=-20.54<0，所以由零点存在性定理及h (t )的单调性，h (t )在12,4 上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h (t )有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.25.(1)y =x -1(2)2(3)证明过程见解析【分析】(1)直接使用导数的几何意义；(2)先由题设条件得到a =2，再证明a =2时条件满足；(3)先确定f x 的单调性，再对x 1,x 2分类讨论.【解析】(1)由于f x =x ln x ，故f x =ln x +1.所以f 1 =0，f 1 =1，所以所求的切线经过1,0 ，且斜率为1，故其方程为y =x -1.(2)设h t =t -1-ln t ，则h t =1-1t =t -1t，从而当0<t <1时h t <0，当t >1时h t >0.所以h t 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增，这就说明h t ≥h 1 ，即t -1≥ln t ，且等号成立当且仅当t =1.设g t =a t -1 -2ln t ，则f x -a x -x =x ln x -a x -x =x a 1x -1-2ln 1x=x ⋅g 1x.当x ∈0,+∞ 时，1x的取值范围是0,+∞ ，所以命题等价于对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0.一方面，若对任意t ∈0,+∞ ，都有g t ≥0，则对t ∈0,+∞ 有0≤g t =a t -1 -2ln t =a t -1 +2ln 1t ≤a t -1 +21t -1 =at +2t-a -2，取t =2，得0≤a -1，故a ≥1>0.再取t =2a ，得0≤a ⋅2a +2a 2-a -2=22a -a -2=-a -2 2，所以a =2.另一方面，若a =2，则对任意t ∈0,+∞ 都有g t =2t -1 -2ln t =2h t ≥0，满足条件.综合以上两个方面，知a 的取值范围是2 .(3)先证明一个结论：对0<a <b ，有ln a +1<f b -f ab -a<ln b +1.证明：前面已经证明不等式t -1≥ln t ，故b ln b -a ln a b -a =a ln b -a ln ab -a +ln b =ln b a b a -1+ln b <1+ln b ，且b ln b -a ln a b -a =b ln b -b ln a b -a +ln a =-ln a b 1-a b +ln a >-ab-1 1-a b+ln a =1+ln a ，所以ln a +1<b ln b -a ln ab -a <ln b +1，即ln a +1<f b -f a b -a<ln b +1.由f x =ln x +1，可知当0<x <1e 时f x <0，当x >1e时f x >0.所以f x 在0,1e 上递减，在1e,+∞ 上递增.不妨设x 1≤x 2，下面分三种情况(其中有重合部分)证明本题结论.情况一：当1e≤x 1≤x 2<1时，有f x 1 -f x 2 =f x 2 -f x 1 <ln x 2+1 x 2-x 1 <x 2-x 1<x 2-x 1，结论成立；情况二：当0<x 1≤x 2≤1e时，有f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2.对任意的c ∈0,1e，设φx =x ln x -c ln c -c -x ，则φx =ln x +1+12c -x.由于φx 单调递增，且有φ c 2e1+12c=ln c2e1+12c+1+12c -c2e1+12c<ln1e1+12c+1+12c -c2=-1-12c +1+12c=0，且当x ≥c -14ln 2c-1 2，x >c 2时，由12c -x≥ln 2c -1可知φ x =ln x +1+12c -x >ln c 2+1+12c -x =12c -x-ln 2c -1 ≥0.所以φ x 在0,c 上存在零点x 0，再结合φ x 单调递增，即知0<x <x 0时φ x <0，x 0<x <c 时φ x >0.故φx 在0,x 0 上递减，在x 0,c 上递增.①当x 0≤x ≤c 时，有φx ≤φc =0；②当0<x <x 0时，由于c ln 1c =-2f c ≤-2f 1e =2e <1，故我们可以取q ∈c ln 1c,1 .从而当0<x <c1-q 2时，由c -x >q c ，可得φx =x ln x -c ln c -c -x <-c ln c -c -x <-c ln c -q c =c c ln 1c-q <0.再根据φx 在0,x 0 上递减，即知对0<x <x 0都有φx <0；综合①②可知对任意0<x ≤c ，都有φx ≤0，即φx =x ln x -c ln c -c -x ≤0.根据c ∈0,1e和0<x ≤c 的任意性，取c =x 2，x =x 1，就得到x 1ln x 1-x 2ln x 2-x 2-x 1≤0.所以f x 1 -f x 2 =f x 1 -f x 2 =x 1ln x 1-x 2ln x 2≤x 2-x 1.情况三：当0<x 1≤1e ≤x 2<1时，根据情况一和情况二的讨论，可得f x 1 -f 1e≤1e -x 1≤x 2-x 1，f 1e -f x 2 ≤x 2-1e ≤x 2-x 1.而根据f x 的单调性，知f x 1 -f x 2 ≤f x 1 -f 1e 或f x 1 -f x 2 ≤f 1e-f x 2 .故一定有f x 1 -f x 2 ≤x 2-x 1成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合f x 的单调性进行分类讨论.26.(1)x |1<x <2(2)a >1【分析】(1)求出底数a ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；(2)存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列等价于a 2=21x +342-18在0,+∞ 上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求a 的取值范围．【解析】(1)因为y =f x 的图象过4,2 ，故log a 4=2，故a 2=4即a =2(负的舍去)，而f x =log 2x 在0,+∞ 上为增函数，故f 2x -2 <f x ，故0<2x -2<x 即1<x <2，故f 2x -2 <f x 的解集为x |1<x <2 .(2)因为存在x 使得f x +1 、f ax 、f x +2 成等差数列，故2f ax =f x +1 +f x +2 有解，故2log a ax =log a x +1 +log a x +2 ，因为a >0,a ≠1，故x >0，故a 2x 2=x +1 x +2 在0,+∞ 上有解，由a 2=x 2+3x +2x 2=1+3x +2x 2=21x +34 2-18在0,+∞ 上有解，令t =1x ∈0,+∞ ，而y =2t +34 2-18在0,+∞ 上的值域为1,+∞ ，故a 2>1即a >1.27.(1)证明见解析(2)存在，P 0,1 (3)严格单调递减【分析】(1)代入M (0,0)，利用基本不等式即可；(2)由题得s x =(x -1)2+e 2x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；(3)根据题意得到s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，对两等式化简得f x 0 =-1g (t )，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明x 0=t ，最后得到函数单调性.【解析】(1)当M (0,0)时，s x =(x -0)2+1x -0 2=x 2+1x2≥2x 2⋅1x 2=2，当且仅当x 2=1x 2即x =1时取等号，故对于点M 0,0 ，存在点P 1,1 ，使得该点是M 0,0 在f x 的“最近点”．(2)由题设可得s x =(x -1)2+e x -0 2=(x -1)2+e 2x ，则s x =2x -1 +2e 2x ，因为y =2x -1 ,y =2e 2x 均为R 上单调递增函数，则s x =2x -1 +2e 2x 在R 上为严格增函数，而s 0 =0，故当x <0时，s x <0，当x >0时，s x >0，故s x min =s 0 =2，此时P 0,1 ，而f x =e x ,k =f 0 =1，故f x 在点P 处的切线方程为y =x +1.而k MP =0-11-0=-1，故k MP ⋅k =-1，故直线MP 与y =f x 在点P 处的切线垂直．(3)设s 1x =(x -t +1)2+f x -f t +g t 2，s 2x =(x -t -1)2+f x -f t -g t 2，而s 1x =2(x -t +1)+2f x -f t +g t f x ，s 2x =2(x -t -1)+2f x -f t -g t f x ，若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是M 1,M 2在f x 的“最近点”，设P x 0,y 0 ，则x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则x 0也是两函数的极小值点，则存在x0,使得s 1 x 0 =s 2 x 0 =0，即s 1 x 0 =2x 0-t +1 +2f x 0 f x 0 -f (t )+g (t ) =0①s 2 x 0 =2x 0-t -1 +2f x 0 f x 0 -f (t )-g (t ) =0②由①②相等得4+4g (t )⋅f x 0 =0，即1+f x 0 g (t )=0，即f x 0 =-1g (t )，又因为函数g (x )在定义域R 上恒正，则f x 0 =-1g (t )<0恒成立，接下来证明x 0=t ，因为x 0既是s 1x 的最小值点，也是s 2x 的最小值点，则s 1x 0 ≤s (t ),s 2x 0 ≤s (t )，即x 0-t +1 2+f x 0 -f t +g t 2≤1+g t 2，③x 0-t -12+f x 0 -f t -g t 2≤1+g t 2，④③+④得2x 0-t 2+2+2f x 0 -f (t ) 2+2g 2(t )≤2+2g 2(t )即x 0-t 2+f x 0 -f t 2≤0，因为x 0-t 2≥0,f x 0 -f t 2≥0则x 0-t =0f x 0 -f t =0，解得x 0=t ，则f t =-1g (t )<0恒成立，因为t 的任意性，则f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到f x 0 =-1g (t )，再利用最值点定义得到x 0=t 即可.。
上海高考数学函数压轴题解析详解
，
化简得 ．
当 时，上式恒成立．
因此，在 轴上存在定点 ，使 ．（12分）
9．(本小题满分14分)
已知数列 各项均不为0，其前 项和为 ，且对任意 都有 （ 为大于1的常数），记 ．
(1)求 ；
(2)试比较 与 的大小（ ）；
(3)求证： ，（ ）．
解：(1)∵ ，①
∴ ．②
②－①，得
，
即 ．（3分）
∴ ．（当且仅当 时取等号）．
综上所述， ，（ ）．（14分）
在①中令 ，可得 ．
∴ 是首项为 ，公比为 的等比数列， ．（4分）
(2)由(1)可得 ．
．
∴ ，（5分）
．
而 ，且 ，
∴ ， ．
∴ ，（ ）．（8分）
(3)由(2)知 ， ，（ ）．
∴当 时， ．
∴
，（10分）
（当且仅当 时取等号）．
另一方面，当 ， 时，
．
∵ ，∴ ．
∴ ，（当且仅当 时取等号）．（13分）
又MN⊥MQ， 所以
直线QN的方程为 ，又直线PT的方程为 ……10分
从而得 所以
代入（1）可得 此即为所求的轨迹方程.………………13分
6．（本小题满分12分）
过抛物线 上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）已知点F（0，1），是否存在实数 使得 若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由.
40若u[0，1]，v[–1，0],同理可证满足题设条件.
综合上述得g(x)满足条件.
3. (本小题满分14分)
已知点P( t , y )在函数f ( x ) = (x –1)的图象上，且有t2– c2at + 4c2= 0 ( c 0 ).
2022年上海市高考数学试卷真题+参考答案+详细解析
2022年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z = ．2．（4分）双曲线2219x y -=的实轴长为 ．3．（4分）函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 ． 4．（4分）已知a R ∈，行列式1||32a 的值与行列式0||41a 的值相等，则a = ． 5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 ． 6．（4分）0x y -，10x y +-，求2z x y =+的最小值 ．7．（5分）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n = ．8．（5分）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为 ．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为 ．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，⋯，100)中不同的数值有 个．11．（5分）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ= ．12．（5分）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0,)x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为 ．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．（5分）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = )A ．{2-，1-，0，1}B ．{1-，0，1}C ．{1-，0}D ．{1}-14．（5分）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是( ) A．a b +>B．a b +<C．22ab +> D．22ab +< 15．（5分）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q16．（5分）设集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈， ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧； ②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；( ) A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==． （1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．18．（14分）33()log ()log (6)f x a x x =++-．（1）若将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a ，m 的值． （2）若3a >-且0a ≠，求解不等式()(6)f x f x -．19．（14分）在如图所示的五边形中，6AD BC ==，20AB =，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称，MO AB ⊥； （1）若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S 的最大值．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:420l x y +-=，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(2,0)F -、2(2,0)F ．（1）2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM ∆中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．21．（18分）数列{}n a 对任意*n N ∈且2n ，均存在正整数[1,1]i n ∈-，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =． （1）求4a 可能值； （2）命题p ：若1a ，2a ，，8a 成等差数列，则930a <，证明p 为真，同时写出p 逆命题q ，并判断命题q 是真是假，说明理由；（3）若23m m a =，*()m N ∈成立，求数列{}n a 的通项公式．2022年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．（4分）已知1z i =+（其中i 为虚数单位），则2z = 22i - ． 【解析】1z i =+，则1z i =-，所以222z i =-．故答案为：22i -． 【评注】本题考查了共轭复数的概念，是基础题．2．（4分）双曲线2219x y -=的实轴长为 6 ．【解析】由双曲线2219x y -=，可知：3a =，所以双曲线的实轴长26a =．故答案为：6．【评注】本题考查双曲线的性质，是基础题．3．（4分）函数22()cos sin 1f x x x =-+的周期为 π ．【解析】2222222()cos sin 1cos sin cos sin 2cos cos21f x x x x x x x x x =-+=-++==+，22T ππ==． 故答案为：π．【评注】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．4．（4分）已知a R ∈，行列式1||32a 的值与行列式0||41a 的值相等，则a = 3 ． 【解析】因为1||2332a a =-，0||41a a =，所以23a a -=，解得3a =．故答案为：3． 【评注】本题考查了行列式表示的值，属于基础题．5．（4分）已知圆柱的高为4，底面积为9π，则圆柱的侧面积为 24π． ．【解析】因为圆柱的底面积为9π，即29R ππ=，所以3R =，所以224S Rh ππ==侧．故答案为：24π． 【评注】本题考查了圆柱的侧面积公式，属于基础题． 6．（4分）0x y -，10x y +-，求2z x y =+的最小值 32． 【解析】如图所示：由0x y -，10x y +-，可知行域为直线0x y -=的左上方和10x y +-=的右上方的公共部分， 联立010x y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即图中点11(,)22A ，当目标函数2z x y =+沿着与正方向向量(1,2)a =的相反向量平移时，离开区间时取最小值， 即目标函数2z x y =+过点11(,)22A 时，取最小值：1132222+⨯=．故答案为：32．【评注】本题考查了线性规划知识，难点在于找到目标函数取最小值的位置，属于中档题． 7．（5分）二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，则n = 10 ．【解析】二项式(3)n x +的展开式中，2x 项的系数是常数项的5倍，即220353n n n n C C -⨯=⨯，即(1)592n n -=⨯，10n ∴=，故答案为：10．【评注】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8．（5分）若函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，求参数a 的值为 1 ．【解析】函数210()000a x x f x x a x x ⎧-<⎪=+>⎨⎪=⎩，为奇函数，()()f x f x ∴-=-，(1)(1)f f ∴-=-，21(1)a a ∴--=-+，即(1)0a a -=，求得0a =或1a =． 当0a =时，1,0()0,0,0x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，不是奇函数，故0a ≠；当1a =时，1,0()0,01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，是奇函数，故满足条件，综上，1a =，故答案为：1．【评注】本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，属于中档题．9．（5分）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为37． 【解析】从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有112121134134C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅种，而所有的抽取方法共有48C 种，故每一类都被抽到的概率为11212113413448303707C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅==，故答案为：37．【评注】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题．10．（5分）已知等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，若50S =，则(0i S i =，1，2，⋯，100)中不同的数值有 98 个．【解析】等差数列{}n a 的公差不为零，n S 为其前n 项和，50S =，∴5154502S a d ⨯=+=，解得12a d =-， 21(1)(1)2(5)222n n n n n dS na d nd d n n --∴=+=-+=-， 0d ≠，(0i S i ∴=，1，2，100)中050S S ==，233S S d ==-，142S S d ==-，其余各项均不相等，(0i S i ∴=，1，2，100)中不同的数值有：101398-=．故答案为：98．【评注】本题考查等差数列的前n 项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 11．（5分）若平面向量||||||a b c λ===，且满足0a b ⋅=，2a c ⋅=，1b c ⋅=，则λ【解析】由题意，有0a b ⋅=，则a b ⊥，设,a c θ<>=， 21a c b c ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩⇒2,1,2a c cos b c cos θπθ⎧=⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩①② 则②①得，1tan 2θ=，由同角三角函数的基本关系得：cos θ=，则||||cos 2a c a c θλλ⋅==⋅=，2λ=λ=． 【评注】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．12．（5分）设函数()f x 满足1()()1f x f x=+对任意[0,)x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有{|()y y f x =，0}f x a A =，则a 的取值范围为)+∞ ． 【解析】法一：令11x x =+，解得x =，当1x ∈时，2111x x =∈+，当1)x ∈+∞时，2111x x =∈+，且当1)x ∈+∞时，总存在2111x x =∈+，使得12()()f x f x =，故51{|(),0}2fy y f x x A -==，若a <易得{}|(),0f y y f x x a ∉=，所以512a -，即实数a 的取值范围为)+∞； 法二：原命题等价于任意10,()()1a f x a f x a >+=++，所以11(1)1a x a x a a⇒-+++恒成立，即1(1)0a a -+恒成立，又0a >，所以512a -，即实数a的取值范围为)+∞． 故答案为：)+∞． 【评注】本题考查了抽象函数的性质的应用，同时考查了集合的应用，属于中档题． 二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项. 13．（5分）若集合[1A =-，2)，B Z =，则(A B = )A ．{2,1,0,1}--B ．{1,0,1}-C ．{1,0}-D ．{1}-【解析】[1A =-，2)，B Z =，{1,0,1}A B ∴=-，故选：B ．【评注】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．14．（5分）若实数a 、b 满足0a b >>，下列不等式中恒成立的是( ) A．a b +>B．a b +<C．22ab +> D ．22ab +< 【解析】因为0a b >>，所以2a b ab+，当且仅当a b =时取等号， 又0a b >>，所以a b+>A 正确，B 错误，22222a a b b +⨯=22a b =，即4a b =时取等号，故CD 错误，故选：A ． 【评注】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．15．（5分）如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AB 、BC 、1BB 、CD 的中点，联结1A S ，1B D ．空间任意两点M 、N ，若线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，则称MN 两点可视，则下列选项中与点1D 可视的为( )A ．点PB ．点BC ．点RD ．点Q【解析】线段MN 上不存在点在线段1A S 、1B D 上，即直线MN 与线段1A S 、1B D 不相交， 因此所求与1D 可视的点，即求哪条线段不与线段1A S 、1B D 相交，对A 选项，如图，连接1A P 、PS 、1D S ，因为P 、S 分别为AB 、CD 的中点，∴易证11//A D PS ，故1A 、1D 、P 、S 四点共面，1D P ∴与1A S 相交，A ∴错误；对B 、C 选项，如图，连接1D B 、DB ，易证1D 、1B 、B 、D 四点共面， 故1D B 、1D R 都与1B D 相交，B ∴、C 错误；对D 选项，连接1D Q ，由A 选项分析知1A 、1D 、P 、S 四点共面记为平面11A D PS ，1D ∈平面11A D PS ，Q ∉平面11A D PS ，且1A S ⊂平面11A D PS ，点11D A S ∉，1D Q ∴与1A S 为异面直线，同理由B ，C 选项的分析知1D 、1B 、B 、D 四点共面记为平面11D B BD ，1D ∈平面11D B BD ，Q ∉平面11D B BD ，且1B D ⊂平面11D B BD ，点11D B D ∉，1D Q ∴与1B D 为异面直线，故1D Q 与1A S ，1B D 都没有公共点，D ∴选项正确．故选：D ．【评注】本题考查新定义，共面定理的应用，异面直线的判定定理，属中档题． 16．（5分）设集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈， ①存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧； ②存在直线l ，使得集合Ω中存在无数点在l 上；( ) A ．①成立②成立 B ．①成立②不成立 C ．①不成立②成立D ．①不成立②不成立【解析】当0k =时，集合222{(,)|()()4||,}{(0,0)}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈=， 当0k >时，集合222{(,)|()()4||,}x y x k y k k k Z Ω=-+-=∈，表示圆心为2(,)k k ，半径为r =2y x =上，半径()r f k ==相邻两个圆的圆心距d =，相邻两个圆的半径之和为l =，因为d l >有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，当0k <时，同0k >的情况，故存在直线l ，使得集合Ω中不存在点在l 上，而存在点在l 两侧，故①正确， 若直线l 斜率不存在，显然不成立，设直线:l y mx n =+，若考虑直线l 与圆222()()4||x k y k k -+-=的焦点个数，2d =，r = 给定m ，n ，当k 足够大时，均有d r >，故直线l 只与有限个圆相交，②错误．故选：B ． 【评注】本题考查了动点的轨迹、直线与圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）.17．（14分）如图所示三棱锥，底面为等边ABC ∆，O 为AC 边中点，且PO ⊥底面ABC ，2AP AC ==． （1）求三棱锥体积P ABC V -；（2）若M 为BC 中点，求PM 与面PAC 所成角大小．【解析】（1）在三棱锥P ABC -中，因为PO ⊥底面ABC ，所以PO AC ⊥，又O 为AC 边中点，所以PAC ∆为等腰三角形，又2AP AC ==．所以PAC ∆是边长为2的为等边三角形，PO ∴=，三棱锥体积2112133P ABC ABC V S PO -∆=⋅==，（2）以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则P，B ，(0,1,0)C，1,0)2M，31(,22PM =， 平面PAC 的法向量(3,0,0)OB =，设直线PM 与平面PAC 所成角为θ， 则直线PM 与平面PAC所成角的正弦值为3sin ||||||3PM OBPM OB θ⋅==⋅ 所以PM 与面PAC 所成角大小为 【评注】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）33()log ()log (6)f x a x x =++-．（1）若将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，图像经过(3,0)，(5,0)，求实数a ，m 的值． （2）若3a >-且0a ≠，求解不等式()(6)f x f x -． 【解析】（1）因为函数33()log ()log (6)f x a x x =++-，将函数()f x 图像向下移(0)m m >后，得33()log ()log (6)y f x m a x x m =-=++--的图像， 由函数图像经过点(3,0)和(5,0)，所以33log (3)10log (5)00a m a m ++-=⎧⎨++-=⎩，解得2a =-，1m =．（2）3a >-且0a ≠时，不等式()(6)f x f x -可化为3333log ()log (6)log (6)log a x x a x x ++-+-+， 等价于060600()(6)(6)a x x a x x a x x x a x +>⎧⎪->⎪⎪+->⎨⎪>⎪+-+-⎪⎩，解得660(3)0x ax x a x a x >-⎧⎪<⎪⎪<+⎨⎪>⎪-⎪⎩，当30a -<<时，03a <-<，366a <+<，解不等式得3a x -<， 当0a >时，0a -<，66a +>，解不等式得36x <；综上知，30a -<<时，不等式()(6)f x f x -的解集是(,3]a -，0a >时，不等式()(6)f x f x -的解集是[3,6)．【评注】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题． 19．（14分）在如图所示的五边形中，6AD BC ==，20AB =，O 为AB 中点，曲线CD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称，MO AB ⊥； （1）若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小；（2）P 在何位置，求五边形MQABP 面积S 的最大值．【解析】（1）点P 与点C 重合，由题意可得10OB =，6BC =，120ABC ∠=︒， 由余弦定理可得22212cos 361002610()1962OP OB BC OB BC ABC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以14OP =，在OBP ∆中，由正弦定理得sin120sin OP BPPOB=︒∠，6sin POB=∠，解得sin POB ∠POB ∠的大小为；（2）如图，连结QA ，PB ，OQ ，OP ，曲线CMD 上任意一点到O 距离相等，14OP OQ OM OC ∴====，P ，Q 关于OM 对称，P ∴点在劣弧CM 中点或劣弧DM 的中点位置，QOM POM S S α∆∆==，则2BOP AOQ BOP S πα∆∠=∠==-，则五边形面积112()2[sin()sin ]196sin 140cos 222AOQ QOM S S S OQ OA OQ OM παααα∆∆=+=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+)αϕ=+，其中5tan 7ϕ=，当sin()1αϕ+=时，MQABP S 五边形取最大值，∴五边形MQABP 面积S 的最大值为．【评注】本题考查了扇形的性质、正、余弦定理和面积公式在解三角形问题中的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于中档题．20．（16分）设有椭圆方程2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>，直线:0l x y +-，Γ下端点为A ，M 在l 上，左、右焦点分别为1(F 、2F ．（1）2a =，AM 中点在x 轴上，求点M 的坐标；（2）直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM ∆中有一内角余弦值为35，求b ；（3）在椭圆Γ上存在一点P 到l 距离为d ，使12||||6PF PF d ++=，随a 的变化，求d 的最小值．【解析】（1）由题意可得2,a b c ==22:1,(0,42x y A Γ+=，AM 的中点在x 轴上，M ∴0x y +-=得M ．（2）由直线方程可知B ，①若3cos 5BAM ∠=，则4tan 3BAM ∠=，即24tan 3OAF ∠=，∴234OA OF ==∴b =②若3cos 5BMA ∠=，则4sin 5BMA ∠=，4MBA π∠=，∴34cos()55MBA AMB ∠+∠=∴cos BAM ∠=tan 7BAM ∴∠=．即2tan 7OAF ∠=，∴OA ，∴b ，综上b =．（3）设(cos ,sin )P a b θθ62a =-，很明显椭圆在直线的左下方，则62a =-，即)θϕ+=，222a b =+，∴)θϕ+=-，据此可得)22a θϕ+=-，|sin()|1θϕ+=，整理可得(1)(35)0a a --，即513a，从而58626233d a =--⨯=．即d 的最小值为83．【评注】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．21．（18分）数列{}n a 对任意*n N ∈且2n ，均存在正整数[1i ∈，1]n -，满足12n n i a a a +=-，11a =，23a =． （1）求4a 可能值； （2）命题p ：若1a ，2a ，，8a 成等差数列，则930a <，证明p 为真，同时写出p 逆命题q ，并判断命题q 是真是假，说明理由；（3）若23m m a =，*()m N ∈成立，求数列{}n a 的通项公式． 【解析】（1）32125a a a =-=，43227a a a =-=或43129a a a =-=．（2）1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 为等差数列，∴*2,21([1,8],)n d a n n n N ==-∈∈， 9823030i i a a a a =-=-<．逆命题q ：若930a <，则1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a ，7a ，8a 为等差数列是假命题，举例： 11a =，23a =，35a =，47a =，59a =，611a =，713a =，875217a a a =-=，987221a a a =-=．（3）23m m a =，∴12222213,2(2)m m m m i a a a a i m ++++==-，2122(21)m m j a a a j m +=--， 22242m m j i a a a a +∴=--，∴12222244333m m m j i m m m a a a a a +++=-=⨯-==，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明1n n a a +>恒成立： 当1n =，21a a >明显成立，假设n k =时命题成立，即11210k k k a a a a a -->>>>>>，则120k k k i k k i a a a a a a a +-=--=->，则1k k a a +>，命题得证． 回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1．若2j =1m -，则2212122m j i m i m i a a a a a a a --=+=+>-矛盾， 2．若2j =2m -，则13m j a -=，∴1323m m i j a a -=-=，22i m ∴=-， 此时11212223353m m m m m j a a a --+=-=⨯-=⨯，∴3*2*2115321,32,n n nn a n k k N n k k N -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩， 3．若2j <2m -，则1223m j a -<⨯，∴1323m m i j a a -=->，21j m ∴=-，2221212m m m a a a ++-∴=-（由（2）知对任意m 成立），6532a a a =-，事实上：6522a a a =-矛盾． 综上可得3*2*2115321,32,n n nn a n k k N n k k N -=⎧⎪⎪=⨯=+∈⎨⎪⎪=∈⎩． 【评注】本题主要考查数列中的递推关系式，数列中的推理问题，数列通项公式的求解等知识，属于难题．。
上海市(新版)2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷
上海市（新版）2024高考数学人教版考试(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是 ( )A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)第(2)题设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．B．C．D．第(3)题已知集合，则=A．B．C．D．第(4)题若、是非零向量，且，，则函数是A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数第(5)题函数的部分图象如图所示，现将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向下平移1个单位所得图象对应的函数为，则下列结论正确的是（）A．函数在区间单调递减B．C ．点是函数图象的一个对称中心D ．直线是函数的一条对称轴第(6)题阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序.若输出的为，则判断框中填写的内容可以是（）A．B．C．D．第(7)题在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(8)题函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若圆与圆交于A，B两点，则下列选项中正确的是（）A．点在圆内B．直线的方程为C．圆上的点到直线距离的最大值为D．圆上存在两点P，Q，使得第(2)题如图，在四棱锥中，已知底面，底面为等腰梯形，，，记四棱锥的外接球为球，平面与平面的交线为的中点为，则（）A．B．C．平面平面D．被球截得的弦长为1第(3)题直线是曲线的切线，则实数的值可以是（）A．3πB．πC．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设为抛物线的焦点，、、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、、的面积分别为、、，则___________.第(2)题函数的图象在点处的切线方程为___________.第(3)题的展开式中的系数为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.第(2)题已知点是抛物线上不同三点，直线与抛物线相切.(1)若直线的斜率为2，线段的中点为，求的方程；(2)若为定值，当变动时，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.第(3)题如图，圆台的上、下底面圆半径分别为1，2，圆台的高为，是下底面圆的一条直径，点在圆上，且，点在圆上运动（与在的两侧），是圆台的母线，.(1)求的长；(2)求平面与平面夹角的余弦值.第(4)题已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，且.①求证数列为常数列.②求数列的前项和.第(5)题已知函数．(1)证明：当时，；(2)求在区间上的零点个数．。
2024年上海市高考数学真题试卷及解析
2024年上海市高考数学试卷一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分).1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.二、选择题(本大题共4题,满分18分,13-14题每题4分,第15-16题每题5分).13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x=+ D.22()sin cos f x x x=-15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈ΩB.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值三、解答题(本大题共5题,第17-19题每题14分,第20-21题每题18分,共78分)17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b+不优秀c d c d+合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++其中n a b c d=+++2,( 3.841)0.05Pχ≥≈20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.2024年上海市高考数学试卷解析一、填空题.1.设全集{}1,2,3,4,5U =,集合{2,4}A =,则A =____________.【答案】{1,3,5}A =2.已知0(),(3)1,0x f x f x >==⎪⎩ _____________.3.已知2,230x R x x ∈--<的解集为____________.【答案】(-1,3)【解析】223(1)(3)0(1,3)x x x x x --=+-<⇒∈-4.已知3(),f x x a x R =+∈,若()f x 是奇函数,则a =_____________.【答案】0a =【解析】(0)00f a =⇒=5.已知,(2,5),(6,),//k R a b k a b ∈==,则k 的值为_____________.【答案】15【解析】//25615a b k k ⇒=⨯⇒=6.在(1)n x +的二项展开式中,若各项系数和为32,则2x 项的系数为______.【答案】10【解析】2325n n =⇒=3510C ∴=7.已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9,那么P 到x 轴的距离为_______.【答案】【解析】198P P x x +=⇒=244832P P P y x y ==⨯=⇒=±所以P 到x 轴的距离为8.某校举办科学竞技比赛,有A B C 、、三种题库,A 题库有5000道题,B 题库有4000道题,C 题库有3000道题.小申已完成所有题,他A 题库的正确率是0.92,B 题库的正确率是0.86,C 题库的正确率是0.72,他从所有题中随机选一题,正确率是________.【答案】0.85【解析】5430.920.860.830.85121212⨯+⨯+⨯=9.已知虚数z ,其实部为1,Im 0,z ≠且2()z m m R z+=∈,则实数m 为________.【答案】2【解析】设z a bi=+222(1)111(1)(1)bi z bi bi z bi bi bi -+=++=++++-222222211111bi b bi b i b b b-⎛⎫⎛⎫=++=++-⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭所以22011bb b b-=⇒=±+ 所以2m =10.设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两数之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值是____________.【答案】329【解析】A 中的奇数至多1个A 中的偶数,对于三个数码若个位为0,则有9872⨯=个若个位为2,4,6,8,则有488256⨯⨯=,故A 中最多有329个元素.11.海面上有两个灯塔O T 、和两艘货船A B 、,其中货船A 在O 正东方向,B 在O 的正北方向,观测知O 到A B 、距离相等,16.5o BTO ∠=,37ATO ︒∠=,则BOT ∠=__________.(精确到0.1度)【答案】7.8o【解析】设BOT α∠=,则90AOT α︒∠=-,53A α︒∠=+OT OT OA OB = sin sin sin(53)sin(16.5)sin sin sin 37sin16.5A B ATO BTO αα︒︒︒︒++∴=⇒=∠∠sin cos53cos sin 53sin cos16.5cos sin16.5cos53sin16.5o o o o o o αααα++⇒=sin cos tan 53sin cot16.5cos o o a a a a ⇒+=+7.8oa ⇒≈12.无穷等比数列{}n a 首项10,1a q >>,记集合121{|,[,][,]}n n n I x y x y a a a a +=-∈ ,若对任意正整数,n n I 都是闭区间,则q 的取值范围是__________.【答案】[2,)+∞【解析】由题意,不妨设x y >,若,x y 均在[]12,a a ,则有x y -[]210,a a ∈-,者,x y 均在[]1,n n a a +,则有x y -[]10,n n a a +∈-若,x y 分别在两个区间则211[,]n n x y a a a a +-∈--,又因为1q >,总有ln 是闭区间,则21n n n a a a a +-≤-恒成立即可,化简得1(2)0n q q q --+≥,所以有2q ≥恒成立二、选择题.13.人们通过统计沿海地区的气候温度和海水表层温度的数据,研究发现两者息息相关,且相关系数为正数,对此描述正确的是()A.气候温度高,海水表层温度就高B.气候温度高,海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高,海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】随着气候温度由低到高,海水表层温度呈上升趋势,相关系数为正数所以选C14.下列函数()f x 的最小正周期是2π的是()A.()sin cos f x x x =+ B.()sin cos f x x x =C.22()sin cos f x x x =+ D.22()sin cos f x x x=-【答案】A【解析】A.()cos sin ,24f x x x x T ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,正确B.(f )sin x =cos x 1sin 2x =2,x T π=错误C.2()sin x f x =2cos x +1=,错误;D.22()sin cos cos 2,,f x x x T π=-=-=错误;所以选A15.定义一个集合Ω,集合中的元素是空间内的点集,任取123,,P P P ∈Ω,存在不全为0的实数123,,λλλ,使得1231230.OP OP OP λλλ++=已知(1,0,0)∈Ω,则(0,0,1)∉Ω的充分条件是()A.(0,0,0)∈Ω B.(-1,0,0)∈ΩC.(0,1,0∈Ω)D.(0,0,-1)∈Ω【答案】C【解析】若(0,1,0)-∈Ω,假设(0,0,1)∈Ω取()()()1231,0,0,0, 1,0,0,0,1,P P P -则1122330OP OP OP λλλ++=1230λλλ∴===矛盾！(∴0,0,1)∉Ω所以选C.16.定义集合000{|(,),()()}M x x x f x f x =∀∈-∞<,若[1,1]M =-的所有()f x 中,下列成立的是()A.存在()y f x =是偶函数B.存在()y f x =在2x =处取最大值C.存在()y f x =是严格增函数D.存在()y f x =在1x =-处取到极小值【答案】B 【解析】1M-∈ 1x ∴<-时,()(1)f x f <-1x ∴=-不是极小值点,排除D假设()f x 严格递增,则M R =,矛盾！排除C 任取12,x x ,使得1211x x -≤<≤2x M ∈ 12()()f x f x ∴<() f x ∴在[]1,1-严格递增,排除A所以选B.三、解答题17.如图:正四棱锥,P ABCD O -为底面ABCD 的中心.(1)若5,AP AD ==求POA ∆绕PO 旋转一周形成几何体的体积.(2)若,AP AD E =为棱PD 的中点,求直线BD 与平面AEC 所成角的大小.【答案】(1)12;π(2)4π【解析】(1)因为P ABCD -是正四棱锥,所以底面ABCD 是正方形,且OP ⊥底面ABCD ,因为32AD =,所以3AO OD OB OC ====因为5AP =,所以224PO AP AO =-=所以POA ∆绕OP 旋转一周形成的几何体是以3为底面半径,4为高的圆锥所以211341233V Sh ππ==⨯⨯=.(2)如图建立空间直角坐标系因为AP AD =,由题知P ABCD -是正四棱锥,所以该四梭锥各核长相等,设2AB a=则AO OD OB OC a ====,PO a==则可得(0,0,0),(0,0,),(0,,0),(,0,0),(0,,0),(,0,0),,0,22aa O P a A a B a C a D a E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故(2,0,0),(0,2,0),,22a a BD a AC a AE a ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设111(,,)n x y z =为平面AEC 的法向量,则11112000022a y n AC a ax a y z n AE ⋅=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅+⋅+⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩ ,令11x =,则110,1y z ==-,所以(1,01)n =-则cos ,2n BD n BD n BD ⋅===-⋅设直线BD 与面AEC 所成角为θ,因为sin 2cos ,0,22n BD πθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦,所以.4πθ=18.若()log (0,1).a f x x a a =>≠(1)()y f x =过(4,2)求(22)()f x f x -<的解集;(2)存在x 使得(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,求实数a 的取值范围【答案】(1)(1,2);(2)1a >(1)由()y f x =过(4,2)可得log 42a =,得:242a a =⇒=±, 0a > , 2a ∴=因为2()log f x x =在()0,+∞上是严格增函数()()2202212f x f x x x x -<⇒<-<⇒<<,所以解集为()1,2(2)因为(1)f x +,()f ax ,(2)f x +成等差数列,所以(1)(2)2()f x f x f ax +++=即log (1)log (2)2log ()a a a x x ax +++=有解,化简可得2log (1)(2)log ()a a x x ax ++=得2(1)(2)()x x ax ++=且1020000,1x x x ax a a +>⎧⎪+>⎪⇒>⎨>⎪⎪>≠⎩,则22(1)(2)x x a x++=在(0,)+∞上有解,又222(1)(2)231311248x x x x x x ++⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭,故在(0,)+∞上22(1)(2)31,20148x x x ++⎛⎫>+-= ⎪⎝⎭即211a a >⇒<-或1,0a a >> ,所以 1.a >19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系,从该地区29000名学生中抽取580人,得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:时间范围学业成绩[)0,0.5[)0.5,1[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5合计优秀544423195不优秀1341471374027485合计1391911794328580(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？(2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长(精确到0.1)(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？[)1,2其它合计优秀a b a b +不优秀c d c d +合计a c+b d+a b c d+++附22():()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++其中n a b c d =+++2,( 3.841)0.05P χ≥≈【答案】(1)12500人;(2)0.9h;(3)学业成绩与锻炼时长不小于1小时且小于2两小时有关【解析】(1)580人中体育银炼时长不小于1小时人数占比423113740272558058P +++++==该地区29000名初中学生中体育锻炼时长不小于1小时的人数约为29000×251250058=人(2)该地区初中学生锻炼平均时长约为:10.50.511 1.5 1.52513444147421373405802222[()()()()+++⨯++⨯++++⨯++2 2.5271270.91229()]+⨯+=≈(3)①提出原假设0:H 成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时无关.②确定显著性水平20.05,( 3.841)0.05P αχ=≥≈③()()()()()225804530817750 3.976 3.84145501773084517750308χ⨯⨯-⨯=≈>+⨯+⨯+⨯+④否定原假设,即学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关.20.双曲线22122:1,(0),,y x b A A bΓ-=>为左右顶点,过点(2,0)M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若2e =时,求b 的值(2)若点P 在第一象限,226,3b MA P =∆为等腰三角形时,求点P 的坐标.(3)过点Q 作OQ 延长线交Γ于点R ,若121A R A R ⋅=,求b 取值范围.【答案】(1)b =(2,P ;(3)10(0,3)3,3b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 【解析】(1)因为22222,2, 4.1,4c c e a c a a=∴∴=∴=== 因为222a b c +=,所以23b =,所以b =负含).(2)因为2MA P ∆为等腰三角形①若2MA 为底,则点P 在直线12x =-时,与P 在第一象限矛盾,故合去②若2A P 为底,则2MP MA =,与2MP MA >矛盾,故舍去.③若MP 为底,则22,MA PA =设00(,),P x y 000,0.x y >>3=,即2200(1)9x y -+=,又因为220182y x -=得22008(1)(1)93x x -+-⨯=,得200116320x x --=,得002,x y ==,即(2,P(3)由1(1,0)A -,设1122(,),(,)P x y Q x y ,则22(,)R x y --,设直线1:2()l x my m b =->联立212222222222212222142()1(1)430,311b m x my m y y b b m b m y b my b y b x y y b b m ⎧⎧=->+=⎪⎪-⎪⎪⎪⎪∴--+=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=⋅=⎪⎪-⎩∴⎩122211(1,),(1,)A R x y A P x y =-+-=- ,又由121A R A P ⋅=,得2112(1)(1)1x x y y -+--=即2112(1)(1)1x x y y --+=-,即2112(3)(3)1my my y y --+=-化简后可得到21212(1)3()100m y y m y y +-++=再由韦达定理得2222223(1)1210(1)0b m m b b m +-+-=,化简:2223100b m b +-=所以221010033,b m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦222210103311b b b b ≠+=+得23,b ≠,10(0,3)3,3b ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦21.已知D 是R 的非空子集,()y f x =是定义在R 的函数.对于点(,)M a b ,令22()()(())s x x a f x b =-+-,若对于00(,())P x f x ,满足()s x 在0x x =处取得最小值,则称P 是M 的f 最近点.(1)对于1(),(0,)f x D x==+∞,求证:对于点(0,0)M ,存在点M 的f 最近点;(2)对于(),x f x e D R ==,(1,0)M ,若()y f x =上一点P 满足MP 垂直于()y f x =在点P 处的切线,则P 是否是M 的f 最近点？(3),D R =()y f x =是可导的,()y g x =在定义域R 上函数值恒正,已知,t R ∈12(1,()()),(1,()())M t f t g t M t f t g t --++.若对任意的t R ∈,都存在点P ,满足P 是1M 的f 最近点,也是2M 的f 最近点,试求()y f x =的单调性.【解析】(l)证明:222211()(0)(0)2s x x x w w =-+-=+≥,当且仅当221x w=即1x =时取到最小值,所以对于点(0,0)M 存在点(1,1)P 使得P 是M 在()f x 的最近点(2)设(P 00,xx e ),显然01x ≠00002200000()(),()11011x x x x xMP MP e e f x e f x e k f x k e x x x '''=⇒==∴⋅==-∴+-=-- 设22()1()210x x h x e x h x e '=+-⇒=+>,则显然()h x 在R 严格增,且0(0)00h x =⇒=(0,1)P ∴()S x =22(1)()2x x e S x '-+⇒=(1)x -222x e +=2(1)x e x +-()2S x '=(21)00x e x x +->⇒>2()2(1)00x S x e x x '=⋅+-<⇒<()S x ∴在(,0]-∞递减,[0,)+∞递增0x ∴=是()S x 的最小值点P ∴是M 关于f 的最近点(3)设21()(1)(S x x t =-++()f x -2()()),f tg t +2()(S x =21)(x t --+(f )(x f -)(t g -2))t 设(,())t t P x f x 由题知,t x 是12(),()S x S x 的最小值点,故()()()()()()()()()2221111t t t S t S x g t x t f x f t g t≥⇒+≥-++-+()()()()()()2222211()()()t t t S t S x g t x t f x f t g t ≥⇒+≥-++--两式相加得()()22222(1(()))21(()())()t t g t x t f x f t g t ⎦+-++-⎡⎤⎣≥()()()()220t t x t f x f t ∴-+-≤⇒t x t =()()1()212()()()()S x x t f x f t g t f x ''=-++-+ 2()2(1)2(S x x t '=--+()f x -()())f t g t -()f x 't x 是12(),()S x S x 的最小值点12,(),()S x S x 的定义域为R t x∴ 是12(),()S x S x 的极小值点121()()01()()0()0()S x S x g t f t f t g t ''''∴==∴+=∴=-<()f x ∴在R 上严格递减.。
2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用
2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点， 与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t， 满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在 上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。
高考数学试题上海题及答案
高考数学试题上海题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的值域为[0, +∞)，则该函数的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 3可以写成f(x) = (x - 2)^2 - 1，其最小值为-1，因此值域为[-1, +∞)。
由于值域为[0, +∞)，所以函数的零点个数为2。
2. 若复数z = a + bi（a, b ∈ R）满足|z| = √2，且z的实部与虚部的和为0，则a和b的值分别为：A. a = 1, b = -1B. a = -1, b = 1C. a = 1, b = 1D. a = -1, b = -1答案：A解析：由|z| = √2，得√(a^2 + b^2) = √2，即a^2 + b^2 = 2。
又因为z的实部与虚部的和为0，即a + b = 0。
解得a = 1, b = -1。
3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 0B. 1D. √2答案：B解析：直线的倾斜角为45°，根据斜率的定义，斜率k = tan(45°) = 1。
4. 若向量a = (3, -2)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 1B. -1C. 3D. -3答案：D解析：向量a与向量b的数量积为a·b = 3*(-1) + (-2)*2 = -3 - 4 = -7。
5. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图象是开口向上的抛物线，且f(1) = f(3)，则该函数的对称轴为：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：由于抛物线开口向上，且f(1) = f(3)，根据抛物线的对称性，对称轴为x = (1 + 3) / 2 = 2。
6. 若等比数列{an}的前n项和为S_n，且S_3 = 7，S_6 = 28，则该数列的公比q为：B. 4C. 3D. 1/2答案：A解析：设等比数列的首项为a1，公比为q，则S_3 = a1(1 - q^3) / (1 - q) = 7，S_6 = a1(1 - q^6) / (1 - q) = 28。
历年高考数学函数题库(含答案)
【答案】D，做出点知即,,2121y y x x >-<-方法二：设3()F x x bx =-【答案】Ｃ图像大致是=，则函数题库(1)g -=【答案】330.（2012高考广东文11）函数的定义域为 .1x y x+=【答案】[)()1,00,-+∞U 31.（2102高考北京文12）已知函数，若，则x x f lg )(=1)(=ab f =+)()(22b f a f _____________。
【答案】232.（2102高考北京文14）已知，，若)3)(2()(++-=m x m x m x f 22)(-=xx g ，或，则m 的取值范围是_________。
R x ∈∀0)(<x f 0)(<x g 【答案】)0,4(-33.（2012高考天津文科14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交211x y x -=-y kx =点，则实数的取值范围是 .k 【答案】或。
10<<k 21<<k 34.（2012高考江苏5）函数的定义域为 ．x x f 6log 21)(-=【答案】。
(0 6⎤⎦（【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
35.（2012高考江苏10）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，()f x R [11]-，其中．若，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值为 ．3a b +【答案】。
10-【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函'12cos 2y x =-'12cos 02y x =->1cos 4x <数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C'12cos 0y x =-<1cos x >8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若α（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数),0(+∞的是（ ）A B C D 3x y =1+=x y 12+-=x y xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，x y x y -==和内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性),0(+∞就可以确定。
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31、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.(06上海春)
设函数 .
（1）在区间 上画出函数 的图像；
（2）设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明；
（3）当 时，求证：在区间 上， 的图像位于函数 图像的上方.
已知函数 ＝ ＋ 有如下性质：如果常数 ＞0，那么该函数在 0， 上是减函数，在 ，＋∞ 上是增函数．
（1）如果函数 ＝ ＋ （ ＞0）的值域为 6，＋∞ ，求 的值；
（2）研究函数 ＝ ＋ （常数 ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数 ＝ ＋ 和 ＝ ＋ （常数 ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数 ＝ ＋ （ 是正整数）在区间[ ，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
（3）若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.
30、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分。（05上海春）
已知过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 .
（1）求 的值；
（2）问： 是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；
32、(本题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知函数y=x+ 有如下性质：如果常数a>0,那么该函数在(0, ]上是减函数, 在[ ,0)上是增函数.
(1)如果函数y=x+ 在(0,4]上是减函数.,在[4,+∞)上是增函数,求实常数b的值；
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）若 为正整数，证明： .
34、(本小题满分18分)(03上海春季)
对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0).
(1)当a=1,b= –2时，求函数f(x)的不动点；
(2)设常数c∈[1,4],求函数f(x)=x+ (1≤x≤2)的最大值和最小值；
(3)当n是正整数时,研究函数g(x)= (c>0)的单调性,并说明理由.（06上海文）
33、(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分.（04上海春季）
已知函数 ， （ 为正常数），且函数 与 的图象在 轴上的截距相等。
（三）解答题
28、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。（05上海理）
对定义域是 、 的函数 、 ，规定：函数 。
（1）若函数 ， ，写出函数 的解析式；
（2）求问题（1）中函数 的值域；
（3）若 ，其中 是常数，且 ，请设计一个定义域为R的函数 ，及一个 的值，使得 ，并予以证明。
29、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.(03上海理)
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=Tf(x)成立.
（1）函数f(x)=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=ax∈M；
(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(1)在(2)的条件下，若y=f(x)图上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A,B两点关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.
35、（本题满分18分）（06上海理）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）