初中数学八年级上全等三角形练习题
初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案(含解析)
初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案一、计算题(共60题)1、已知ABC中∠BAC=140°, AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，AEF 的周长为10㎝,求BC的长度和∠EAF的度数.2、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC3、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．4、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．5、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．6、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．7、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．8、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．9、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．10、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．11、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC12、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC13、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．14、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．15、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC16、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．17、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC18、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．19、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.20、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．21、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．22、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．23、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC24、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．25、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．26、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．27、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．28、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．29、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．30、如图，在中，，点在边上，且，连接，若，求的度数．31、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．32、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.33、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．34、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．35、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．36、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．37、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC38、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．39、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.40、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．41、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．42、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．43、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．44、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC45、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．46、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．47、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．48、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．49、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．50、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．51、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC52、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．53、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC54、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．55、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．56、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．57、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC58、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．59、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.60、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC参考答案一、计算题(共60题)1、2、4、5、7、8、10、11、12、15、16、17、20、22、23、24、26、31、33、36、37、38、40、42、44、46、51、52、53、57、59、60、。
初中数学八年级上册三角形全等的判定练习题含答案
初中数学八年级上册三角形全等的判定练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 不能确定两个三角形全等的条件是( )A.三边对应相等B.两边及其夹角相等C.两角和任一边对应相等D.三个角对应相等2.如图，MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，垂足分别为S、N、Q，添加下列条件能使△MNS≅△SQP的是( )A.∠A=∠QSPB.∠MSN=∠PC.MS=SPD.MN=QN3. 如图，尺规作图“过点C作CN//OA”的实质就是作∠DOM=∠NCE，其作图依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS4. 下列条件中，能判定△ABC≅△DEF的是（）A.∠A=∠D，∠C=∠F，∠B=∠EB.∠B=∠E，AB=ED，AC=DFC.∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DFD.∠A=∠D，AB=DE，BC=EF5. 下面的语句正确的有()①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③一锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等．A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC和△A′B′C′中，已知条件：①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′；⑥∠C=∠C′．下列各组条件中不能保证△ABC≅△A′B′C′的是（）A.①②③B.②③④C.③④⑤D.③⑤⑥7. 下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形．用两个全等但不是等腰的直角三角形，一定能拼成的是（）A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①②③④⑤8. 如图，点B、E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≅△EFD的是（）A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠ABC=∠EFD，BC=FD9. 如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则他带的是第三块玻璃去，依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS10. 如图所示，在∠AOB的两边上截取AO＝BO，OC＝OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是()①△APC≅△BPD②△ADO≅△BCO③△AOP≅△BOP④△OCP≅△ODPA.②③④B.①②③C.①②③④D.①③④11. 如图，∠1=∠2，要利用“AAS”得到△ABD≅△ACD,需要增加的一个条件是________.12. 把一张正方形纸沿两对角线对折两次，形成了四个同样大小的________三角形．13. 如图，∠1=∠2．（1）当BC=BD时，△ABC≅△ABD的依据是________；（2）当∠3=∠4时，△ABC≅△ABD的依据是________．14. 如图，△ABC的顶点分别为A(0, 3)，B(−4, 0)，C(2, 0)，且△BCD与△ABC全等，则点D坐标可以是________．15. 如图，长方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90∘，AD=BC=8，AB= CD=17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B 为直角三角形时，DE的长为________．16. 如图，用硬纸片剪一个长为16cm，宽为12cm的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是________cm，周长最小的是________cm．17.如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≅△OCD，这个条件是________．18. 如图所示，已知∠AFB=∠CED，AE=CF，要使△ABF≅△CDE，应补充的直接条件是________.（写出所有符合题意的条件）19. 如图所示，∠B=∠D，BC=DC，要判定△ABC≅△EDC，可添加的条件是________．20. 如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．你所添加的条件为：________；得到的一对全等三角形是△________≅△________．21. 如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，DE=DF，连接AD．求证：（1）∠FAD=∠EAD；（2）BD=CD．22. 如图，AD平分∠BAC，点E在AD上，连接BE，CE．若AB=AC,BE=CE，求证：∠1=∠2.23. 如图，AO平分∠BAD，⊙O与AB相切于点C.求证：AD是⊙O的切线.24. 如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC // DF．求证：△ABC≅△DEF．25. 画图：已知线段a，b．(1)画△ABC，使AB=a，BC=b，∠B=45∘；(2)过点D作DE⊥AB，垂足为点E，如果点D到直线AB的垂线段的长度为1.7，那么点D到直线AC的距离为________．26. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，且B′C=3，求CN和AM的长．27. 如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD.28. 如图，△ACD中，以∠ACD=60∘，以AC为边作等腰三角形ABC，AB=AC，E，F 分别为边CD,BC上的点，连结AE,AF,EF, ∠BAC=∠EAF=60∘.(1)求证：△ABF≅△ACE；(2)若∠AED=70∘，求∠EFC的度数；(3)请直接指出：当F点在BC何处时，AC⊥EF?29. 如图，∠B=∠BDC=∠CDE，∠A=∠E．（1）求证：△ABC≌△EDC；（2）若DE⊥AC于F，∠B=78∘，求∠A的度数．30. 已知△ABC和点A′，如图．(1)以点A′为顶点求作△A′B′C′，使△A′B′C′∼△ABC，且S△A′B′C′=4S△ABC;（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D′，E′，F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′，B′C′，A′C′的中点，求证：△DEF∼△D′E′F′．31. 如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，点E，F是垂足，AE=CF，求证：△ABF≅△CDE.32. 如图，AB，CD相交于点O，AO=BO，AC // DB．求证：△AOC≅△BOD．33. 在△ABC中，∠ACB=2∠B．(1)如图①，当∠C=90∘，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证：CD=DE=________；AC+CD=________.（请直接写出结论，不用证明．)(2)如图②，当∠C≠90∘，AD为∠BAC的角平分线时，模仿题(1)的思路，求证：AB=AC+CD；(3)如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．34. （用直尺和圆规作图）已知：线段，求作：，使.35. 折叠矩形的一边AD，点D落在BC边点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，（1）说出图中哪些线段相等？（2）写出全等的三角形；（3）求EC的长．36. 如图，已知B,E,C,F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：(1)△ABC≅△DEF；(2)AB // DE．37. 如图，幼儿园的滑梯有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．（1）△ABC≅△DEF吗？（2）两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？请你说明（1）、（2）两个结论的道理．38. 已知：线段，，求作：，使，．39. 如图，长方形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上的一点，将纸片沿AE翻折，使点B与CD边上的点F重合．求线段EF的长．40. 如图：已知∠DAE=∠CBE，EA=EB，求证：△ABD≅△BAC．参考答案与试题解析初中数学八年级上册三角形全等的判定练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，HL，做题时要结合各选项的已知条件逐个进行验证．【解答】解：A,三条边对应相等，符合SSS，能判定三角形全等，不符合题意；B,两边及其夹角对应相等，符合SAS，能判定三角形全等，不符合题意；C,两角和任一边对应相等，符合ASA或AAS，能判定三角形全等，不符合题意；D,三个角对应相等，不能判定三角形全等，符合题意．故选D．2.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】如图，对所给的四个选项逐一判断、解析，即可解决问题．【解答】解：如图，添加条件MS=SP；理由如下：∵MS⊥PS，MN⊥SN，PQ⊥SN，∴∠M+∠MSN=∠MSN+∠PSQ，∴∠M=∠PSQ；在△MNS与△SQP中，{∠M=∠PSQ∠MNS=∠SQPMS=SP，∴△MNS≅△SQP(AAS)，故选C.3.【考点】边边边证全等【解析】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定.【解答】解：通过尺规作图，作出三边相等，使得△ODM≌≌CNE，∴ ∠ECN=∠MOD，∴ CN∥OD，故选：A.4.【答案】C【考点】全等三角形的判定【解析】全等三角形的判定方法有：SAS，ASA，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、没有边的参与，不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；B、根据SSA不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；C、由全等三角形的判定定理AAS可以证得△ABC≅△DEF，故本选项正确；D、根据SSA不能判定△ABC≅△DEF，故本选项错误；故选：C．5.【答案】C【考点】直角三角形全等的判定【解析】根据直角三角形的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：①两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可利用SAS定理进行判定，说法正确；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；③一锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等，可利用AAS进行判定，故此说法正确；④一锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等，可利用AAS进行判定，故此说法正确；故选：C．6.【考点】全等三角形的判定【解析】根据四个选项所给条件结合判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【解答】解：A、①②③可利用SSS判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项不合题意；B、②③④不能判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项符合题意；C、③④⑤可利用AAS判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项不合题意；D、③⑤⑥可利用AAS判定△ABC≅△A′B′C′，故此选项不合题意；故选：B．7.【答案】A【考点】图形的剪拼【解析】根据等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法进行逐一分析即可．【解答】解：①根据有两条边相等的三角形即为等腰三角形，所以能拼成等腰三角形，如图所示：②根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则可以拼成平行四边形，如图所示：③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，则可以拼成矩形，如图所示：④根据四条边相等的四边形才是菱形，而全等直角三角形的两条直角边不相等，所以不能拼成；⑤根据有一个角是直角的菱形才是正方形，则不能拼成菱形，当然不能拼成正方形．故选：A．8.【答案】C【考点】角边角证全等边边边证全等角角边证全等边角边证全等利用三角形的全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．解：A、增加BC=FD,ACC=ED可利用SAS判定△ABC≅△EFD，故此选项不合题意；B、增加∴ A=∠DEF,AE=ED可利用ASA判定△ABC≅△EFD，故此选项不合题意；C、增加AE=ED,AB=EF，不能判定△ABC≅△EFD，故此选项合题意；D、增加∠ABC=∠EFD,BC=FD，可利用ASA判定△ABC≅△EFD，故此选项不合题意；故选C．【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】全等三角形的应用【解析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．【解答】解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．故选：C．10.【答案】C【考点】角边角证全等边边边证全等角角边证全等边角边证全等【解析】由AO=BO,OC=OD,O=∠O，可证得②△ADO=△BCO，所以有∠COP=∠DOP，又OC=OD,OP=OP，可证得④ΔOO≅△OPP，所以有PC=DD，又∠CAP=∠DBP,∠CPA=∠DBP可证得①△APC≅△BPO，所以有PA=PB，又AO=BO,OP= OP，可证得①△AOP≅△BOP.解：AO=BO,OC=OD20=20△ADQ≅△BCO(SAS)，故②正确；△COP=∠DOPOC=OD,OP=OP△OCP≅ΔOP(SAS)，故④正确；PC=PD∵ EAP=∠DB,,∠CPA=∠DPB△APC≅△BPD(AAS)，故①正确；PA=PBAO=BO,OP=OP△AOP=△BOP(555)，故③正确．【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】∠ABD=∠ACD【考点】全等三角形的判定【解析】根据全等三角形的判定定理“AAS”分析即可解答.【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠ADB=∠ADC.在△ABD和△ACD中，现已经有∠ADB=∠ADC，AD=AD(公共边)，如果要用“AAS”证明△ABD≌≌ACD，需要添加的条件是边AD的对角相等，即∠ABD=∠ACD.故答案为：∠ABD=∠ACD.12.【答案】等腰直角【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】把一张正方形纸沿两对角线对折两次，形成了四个同样大小的三角形，即是被正方形的对角线分成的四个三角形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以四个三角形为等腰直角三角形．【解答】解：由题意知，四个同样大小的三角形，是被正方形的对角线分成的四个三角形，∵正方形的对角线互相垂直平分，∴形成了四个同样大小的等腰直角三角形三角形，故答案为：等腰直角．13.【答案】SAS、ASA．【考点】全等三角形的判定【解析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≅△ABD；（2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≅△ABD．【解答】解：（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD∴△ABC≅△ABD(SAS)；（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4∴△ABC≅△ABD(ASA)．14.【答案】(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).【考点】三角形固定找全等全等三角形的应用坐标与图形性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示,△BCD与△ABC全等，点D坐标可以是(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).故答案为：(−2, 3)或(−2, −3)或(0, −3).15.【答案】2或32．【考点】全等三角形的性质边角边证全等【解析】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．解：如图1，¬C图1折叠，△ADE≅△ADE∴ AD′D=90∘,∵ ∠ADB=90∘，∴B、D′、E三点共线，又ABD′−△BEC,AD′=BC.ABD′≅△BEC，BE=AB=47BD′=√AB2−AD′2=√172−82=15DE=DE=17−15=2如图2，En n∠ABD′+∠CBE=∠ABD′+∠BAD′=90∘∠CBE=∠BAD′在△ABD′和△BEC中，D′=∠BCE,AD′=BC,,CBE=∠BAD′△ABD′≅△BECBE=AB=47DE=D′E=17+15=32综上所知，DE=2或32．故答案为：2或32．“点睛”翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的性质，分类探讨的思想方法是解决问题的关键．【解答】此题暂无解答16.【答案】72,56【考点】图形的剪拼【解析】先根据勾股定理求出对角线的长为√162+122=20(cm)，则得两个全等三角形，其边长为12cm、16cm、20cm，从各边长可以得到周长最长的三角形或四边形的周长为(16+20)×2=72(cm)，周长最小的三角形或四边形的周长为(12+16)×2=56，从而得出问题的答案．【解答】解：根据勾股定理得：矩形的对角线的长为√162+122=20(cm)，那么拼出各种三角形和四边形的周长有以下情况：(12+16)×2=56(cm)，(12+20)×2=64(cm)，(16+20)×2=72(cm)，所以周长最大的是72cm，周长最小的是56cm，故答案为：72，5617.【答案】∠A=∠C或∠B=∠D或OD=OB或AB // CD【考点】全等三角形的判定【解析】本题要判定△OAB≅△OCD，已知OA=OC，∠AOB=∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB // CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≅△OCD．【解答】解：∵OA=OC，，∠AOB=∠COD，∴△OAB≅△OCD(ASA)．∵OA=OC，∠B=∠D，∠AOB=∠COD，∴△OAB≅△OCD(AAS)．∵OA=OC，OD=OB，∠AOB=∠COD，∴△OAB≅△OCD(SAS)．∵AB // CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），∵OA=OC，∴△OAB≅△OCD(AAS)．故答案为：∠A=∠C或∠B=∠D或OD=OB或AB // CD.18.【答案】BF=DE，∠A=∠C，∠B=∠D【考点】全等三角形的判定【解析】先由题意得AF=CE，然后再根据补充的条件，用全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS从而证得△ABF≅△CDE．【解答】解：∵ AE=CF，∴ AE−EF=CF−EF，即AF=CE.①添加BF=DE.在△ABF和△CDE中，{AF=CE，∠AFB=∠CED，BF=DE，∴△ABF≅△CDE(SAS)；②添加∠A=∠C.在△ABF和△CDE中，{∠A=∠C，AF=CE，∠AFB=∠CED，∴△ABF≅△CDE(ASA)；③添加∠B=∠D.在△ABF和△CDE中，{∠B=∠D，∠AFB=∠CED，AF=CE，∴△ABF≅△CDE(AAS).故答案为：BF=DE，∠A=∠C，∠B=∠D.19.【答案】∠A=∠E【考点】全等三角形的判定【解析】由条件可知一组角和一组边对应相等，则可再添加一组角或AB=DE．【解答】解：∵∠B=∠D，BC=DC，∴可添加∠A=∠E，此时两三角形满足AAS，可证明△ABC≅△EDC，故答案为：∠A=∠E．20.【答案】PA=PB,PAD,PBC【考点】全等三角形的判定【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，并且一定有一组对应边相等．【解答】解：所添加条件为PA=PB，得到的一对全等三角形是△PAD≅△PBC.证明如下：∵PA=PB，∴∠A=∠B.又∵AD=BC，∴△PAD≅△PBC．故答案为：PA=PB；PAD；PBC．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【考点】全等三角形的性质角角边证全等角边角证全等【解析】（1）根据BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF可直接得出AD是∠BAC的平分线，由角平分线的定义可知∠FAD=∠EAD（2）由DE=DFAD=AD可知Rt△ADF=Rt△ADE，故可得出∴ ADF=∠ADE，由对顶角相等可知∠BDF=∠CDE，进而可得出∴ ADB=∠ADC，由以上条件可判断出△ABD≅△ACD，由全等三角形的判定定理即可得出BD=CD【解答】（1）BE⊥AC,CF⊥AB,DE=DF…AD是∠BAC的平分线，∠FAD=∠EAD（2）△ADF与△ADE是直角三角形，DE=DFAD=ADRt△ADF=Rt△ADE∴ ADF=∠ADE∠BDF=∠CDE∠ADF+∠BDF=∠ADF+∠CDE即∠ADB=∠ADC在△ABD≅△ACD中，∠FAD=∠EADAD=AD∠ADB=∠ADC△ABD≅△ACDBD=CD.22.【答案】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE与△CAE中，{AB=AC,∠BAE=∠CAE, AE=AE,∴△BAE≅△CAE(SAS)，∴∠AEB=∠AEC，∴∠1=∠2．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】无【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE与△CAE中，{AB=AC,∠BAE=∠CAE, AE=AE,∴△BAE≅△CAE(SAS)，∴∠AEB=∠AEC，∴∠1=∠2．23.【答案】证明：连接OC，作OE⊥AD，垂足为E，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵AO平分∠BAD，∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径，又∵OE⊥AD，∴AD是⊙O的切线.【考点】全等三角形的判定直角三角形全等的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接OC，作OE⊥AD，垂足为E，∵⊙O与AB相切于点C，∴OC⊥AB，∵AO平分∠BAD，∴OE=OC，∴OE是⊙O的半径，又∵OE⊥AD，∴AD是⊙O的切线.24.【答案】证明：∵点B，E，C，F在同一直线上，AC // DF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，AB=DE，∴△ABC≅△DEF(AAS)．【考点】全等三角形的判定【解析】首先根据AC // DF可得∠ACB=∠F，然后再加上条件AB=DE，∠A=∠D可根据AAS 定理判定△ABC≅△DEF．【解答】证明：∵点B，E，C，F在同一直线上，AC // DF，∴∠ACB=∠DFE．在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，AB=DE，∴△ABC≅△DEF(AAS)．25.【答案】解：(1)如图：①作∠B=45◦，分别截取AB=a，AC=b，②连接BC，则△ABC即为所求；1.7【考点】已知两边及夹角作三角形点到直线的距离【解析】（1）首先作出∠B=45∘，再分别截取AB=a，AC=b，即可画出△ABC；（3）根据角平分线的性质，即可求得点D到直线AC的距离．【解答】解：(1)如图：①作∠B=45◦，分别截取AB=a，AC=b，②连接BC，则△ABC即为所求；(3)∵AD是△ABC的角平分线，点D到直线AB的垂线段的长度为1.7，∴点D到直线AC的距离为1.7．故答案为：1.7.26.【答案】解：如图，∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90∘，设CN=x，则NB=9−x，NB′=9−x，在Rt△NCB′，B′C=3，∵NC2+B′C2=NB′2，∴x2+32=(9−x)2，解得x=4，∴CN=4，NB′=9−4=5，∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，∴DB′NC =DEB′C=B′ENB′，而DB′=DC−CB′=6，∴DE3=B′E5=64，∴DE=92，B′E=152，∴A′E=A′B′−B′E=9−152=32，∵∠5=∠4，∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，∴MEB′E =A′EDE，即ME152=3292，∴ME=52，∴AM=AD−ME−DE=9−52−92=2，故CN的长为4，AM的长为2．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】根据折叠的性质得到A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90∘，设CN=x，则NB=9−x，NB′=9−x，在Rt△NCB′，利用勾股定理了计算出x=4，即CN=4，得到NB′=9−4=5，根据三角形相似的判定方法易得Rt△B′DE∽Rt△NCB′，则DB′NC =DEB′C=B′ENB′，可分别计算出DE=92，B′E=152，于是A′E=A′B′−B′E=9−152=32；然后再证明Rt△MA′E∽Rt△B′DE，得到MEB′E =A′EDE，即ME152=3292，可计算出ME=52，最后利用AM=AD−ME−DE可求出AM的长．【解答】解：如图，∵边长为9的正方形纸片，沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点A′，∴A′B′=AB=9，NB′=NB，∠NB′A′=∠B=90∘，设CN=x，则NB=9−x，NB′=9−x，在Rt△NCB′，B′C=3，∵NC2+B′C2=NB′2，∴x2+32=(9−x)2，解得x=4，∴CN=4，NB′=9−4=5，∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∴Rt△B′DE∽Rt△NCB′，∴DB′NC =DEB′C=B′ENB′，而DB′=DC−CB′=6，∴DE3=B′E5=64，∴DE=92，B′E=152，∴A′E=A′B′−B′E=9−152=32，∵∠5=∠4，∴Rt△MA′E∽Rt△B′DE，∴MEB′E =A′EDE，即ME152=3292，∴ME=52，∴AM=AD−ME−DE=9−52−92=2，故CN的长为4，AM的长为2．27.【答案】证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD.在△ABC与△ADC中，{∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，，∴△ABC≅△ADC(AAS)，∴CB=CD.【考点】全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD.在△ABC与△ADC中，{∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，，∴△ABC≅△ADC(AAS)，∴CB=CD.28.【答案】解：(1)∵ ∠BAC=∠EAF=60∘，∴ ∠BAC−∠CAF=∠EAF−∠CAF,∴ ∠EAC=∠BAF,∵ AB=AC,∴ ∠B=∠ACB=(180∘−60∘)÷2=60∘, ∵ ∠ACD=60∘,∴ ∠ACD=∠B,∴ △ABF≅△ACE.(2)由(1)可知，△ABF≅△ACE,∴ AE=AF ∠AEC=∠AFB,∴ ∠AEF=∠AFE=(180∘−60∘)÷2=60∘,∵ ∠AEC+∠AED=∠AFC+∠AFB=180∘, ∴ ∠AED=∠AFC=70∘,∴ ∠EFC=∠AFC−∠AFE=70∘−60∘=10∘ .(3)当F为BC中点时，AC⊥EF，∵ △ABF≅ACE,∴ AE=AF CE=BF,∵ BF=CF,∴ CE=CF,∴ AC⊥EF .【考点】全等三角形的应用全等三角形的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ ∠BAC=∠EAF=60∘，∴ ∠BAC−∠CAF=∠EAF−∠CAF,∴ ∠EAC=∠BAF,∵ AB=AC,∴ ∠B=∠ACB=(180∘−60∘)÷2=60∘,∵ ∠ACD=60∘,∴ ∠ACD=∠B,∴ △ABF≅△ACE.(2)由(1)可知，△ABF≅△ACE,∴ AE=AF ∠AEC=∠AFB,∴ ∠AEF=∠AFE=(180∘−60∘)÷2=60∘, ∵ ∠AEC+∠AED=∠AFC+∠AFB=180∘, ∴ ∠AED=∠AFC=70∘,∴ ∠EFC=∠AFC−∠AFE=70∘−60∘=10∘ .(3)当F为BC中点时，AC⊥EF，∵ △ABF≅ACE,∴ AE=AF CE=BF,∵ BF=CF,∴ CE=CF,∴ AC⊥EF .29.【答案】（1）证明：∵∠B=∠BDC，∴BC=DC（等角对等边），{∠A=∠E（已知）∠B=∠EDC（已知）BC=DC（已证），∴△ABC≌△EDC．（2）解：∵∠B=78∘，∴∠BDC=∠CDE=78∘，∴∠EDB=156∘.∵ED⊥AC，∴∠AFD=90∘.又∵∠FDB为△ADF的外角，∴∠A=156∘−90∘=66∘.【考点】全等三角形的应用【解析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．【解答】（1）证明：∵∠B=∠BDC，∴BC=DC（等角对等边），在△ABC和△EDC中，{∠A=∠E（已知）∠B=∠EDC（已知）BC=DC（已证），∴△ABC≌△EDC．（2）解：∵∠B=78∘，∴∠BDC=∠CDE=78∘，∴∠EDB=156∘.∵ED⊥AC，∴∠AFD=90∘.又∵∠FDB为△ADF的外角，∴∠A=156∘−90∘=66∘.30.【答案】(1)解：如图，作线段A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，得△A′B′C′即为所求．∵A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，∴S△A′B′C′S△ABC =(A′B′AB)2=4.(2)证明：∵D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，∴DE=12AC，DF=12BC，EF=12AB，∴△DEF∼△CAB.同理：△D′E′F′∼△C′A′B′，由(1)可知：△CAB∼△C′A′B′，∴△DEF∼△D′E′F′．【考点】相似三角形的性质与判定已知三边作三角形相似三角形的判定作图—应用与设计作图【解析】（1）分别作A′C′＝2AC、A′B′＝2AB、B′C′＝2BC得△A′B′C′即可所求．（2）根据中位线定理易得∴△DEF∽△ABC，△D′E′F′∽△A′B′C′，故△DEF∽△D′E′F′【解答】(1)解：如图，作线段A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，得△A′B′C′即为所求．∵A′C′=2AC，A′B′=2AB，B′C′=2BC，∴△ABC∼△A′B′C′，∴S△A′B′C′S△ABC =(A′B′AB)2=4.(2)证明：∵ D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，AC 的中点， ∴ DE =12AC ，DF =12BC ，EF =12AB ， ∴ △DEF ∼△CAB .同理：△D ′E ′F ′∼△C ′A ′B ′， 由(1)可知：△CAB ∼△C′A′B′， ∴ △DEF ∼△D ′E ′F ′． 31.【答案】证明：∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴ ∠DEC =∠BFA =90∘． 又∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ， 即AF =CE .在Rt △ABF 与Rt △CDE 中，{AB =CD ，AF =CE ，∴ △ABF ≅△CDE(HL)． 【考点】直角三角形全等的判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】证明：∵ DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴ ∠DEC =∠BFA =90∘． 又∵ AE =CF ，∴ AE +EF =CF +EF ， 即AF =CE .在Rt △ABF 与Rt △CDE 中，{AB =CD ，AF =CE ，∴ △ABF ≅△CDE(HL)． 32.【答案】证明：∵ AC // DB ， ∴ ∠C =∠D ．在△AOC 与△BOD 中，{∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∴△AOC≅△BOD(AAS)．【考点】全等三角形的判定【解析】由平行线的性质易证：∠C=∠D，结合已知条件和对顶角相等，利用判定定理AAS证得结论．【解答】证明：∵AC // DB，∴∠C=∠D．在△AOC与△BOD中，{∠C=∠D，∠AOC=∠BOD，AO=BO，∴△AOC≅△BOD(AAS)．33.【答案】BE,AB(2)证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵ AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵ AD=AD，∴ △ADE≅△ADC(SAS)，∴ ∠AED=∠C, ED=CD，∵ ∠ACB=2∠B，∴ ∠AED=2∠B，∴ ∠B=∠EDB，∴ EB=ED，∴ EB=CD，∴ AB=AE+BE=AC+CD.(3)猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.∵ AD平分∠FAC，∴ ∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD, AD=AD，∴△EAD≅△CAD(SAS)．∴ ED=CD，∠AED=∠ACD，∴ ∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B, ∠FED=2∠B=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B，∴ EB=ED，∴ EA+AB=EB=ED=CD，∴ AC+AB=CD.【考点】角角边证全等角边角证全等【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由题意易得：△ACD≌≌AED(SAS)，∴∠AED=∠C=90∘，CD=DE，AC=AE，∵∠C=90∘，∠ACB=2∠B，∴∠B=45∘，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE=BE，∴AC+CD=AE+EB=AB，故答案为：BE，AB．(2)证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵ AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，∵ AD=AD，∴ △ADE≅△ADC(SAS)，∴ ∠AED=∠C, ED=CD，∵ ∠ACB=2∠B，∴ ∠AED=2∠B，∴ ∠B=∠EDB，∴ EB=ED，∴ EB=CD，∴ AB=AE+BE=AC+CD.猜想：AB+AC=CD．证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED.∵ AD平分∠FAC，∴ ∠EAD=∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD, AD=AD，∴△EAD≅△CAD(SAS)．∴ ED=CD，∠AED=∠ACD，∴ ∠FED=∠ACB．又∠ACB=2∠B, ∠FED=2∠B=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B，∴ EB=ED，∴ EA+AB=EB=ED=CD，∴ AC+AB=CD.34.【答案】见解析【考点】已知两角及夹边作三角形已知三边作三角形已知两边及夹角作三角形【解析】先作∠PAD=∠α，再在射线AD上截取AC=a得到点C，即可得到符合要求的图形．【解答】作法：如图，aA—○以点O为圆心，c长为半径画弧，分别交么○的两边于点E，F；②画一条射线AP，以点A为圆心，毛长为半径画弧，交AP于点B；③以点B为圆心，EF长为半径画弧，与第③步中所画的弧相交于点D；④画射线AD；⑨以点A为圆心，ａ长为半径画弧，交AD于点C；⑥连接BC，则△ABC即为所求作的三角形．35.【答案】解：（1）相等的线段有：AD=AF=BC，AB=CD，DE=EF；（2）全等的三角形：△ADE≅△AFE；（3）在Rt△ABF中，BF=2−AB2=√102−82=6cm，∴FC=BC−BF=10−6=4cm，∵DE=EF，∴EF=8−EC，在Rt△CEF中，EC2+FC2=EF2，即EC2+42=(8−EC)2，解得EC=3cm．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】（1）根据翻折变换的性质和矩形的对边相等解答；（2）根据翻折前后的两个三角形全等解答；（3）在Rt△ABF中，利用勾股定理列式求出BF，然后求出FC，再用EC表示出EF，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）相等的线段有：AD =AF =BC ，AB =CD ，DE =EF ；（2）全等的三角形：△ADE ≅△AFE ；（3）在Rt △ABF 中，BF =√AF 2−AB 2=√102−82=6cm ，∴ FC =BC −BF =10−6=4cm ，∵ DE =EF ，∴ EF =8−EC ，在Rt △CEF 中，EC 2+FC 2=EF 2，即EC 2+42=(8−EC)2，解得EC =3cm ．36.【答案】证明：(1)∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ，AC =DF ，BC =EF ，∴ △ABC ≅△DEF(SSS);(2)∵ △ABC ≅△DEF ，∴ ∠ABC =∠DEF ，∴ AB // DE ．【考点】边边边证全等全等三角形的判定全等三角形的性质平行线的判定【解析】（1）根据已知条件，通过全等三角形的判定定理SSS 证得△ABC ≅△DEF ；（2）△ABC ≅△DEF ，则全等三角形的对应角相等，利用平行线的判定定理得出AB // DE ．【解答】证明：(1)∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC ，即BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ，AC =DF ，BC =EF ，∴ △ABC ≅△DEF(SSS);(2)∵ △ABC ≅△DEF ，∴ ∠ABC =∠DEF ，∴ AB // DE ．37.【答案】解：(1)△ABC与△DEF全等．理由如下：在Rt△ABC与Rt△DEF中，{BC=EFAC=DF，∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL)；（2）∠ABC+∠DFE=90∘，理由如下：由（1）知，Rt△ABC≅Rt△DEF，则∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90∘，∴∠ABC+∠DFE=90∘．【考点】全等三角形的应用【解析】（1）由图可得，△ABC与△DEF均是直角三角形，由已知可根据HL判定两三角形全等；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，可得∠ABC=∠DEF，再由∠DEF+∠DFE=90∘利用等量代换可得∠ABC+∠DFE=90∘．【解答】解：(1)△ABC与△DEF全等．理由如下：在Rt△ABC与Rt△DEF中，{BC=EFAC=DF，∴Rt△ABC≅Rt△DEF(HL)；（2）∠ABC+∠DFE=90∘，理由如下：由（1）知，Rt△ABC≅Rt△DEF，则∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90∘，∴∠ABC+∠DFE=90∘．38.【答案】答案见解析【考点】已知两角及夹边作三角形已知三边作三角形已知两边及夹角作三角形【解析】试题分析：首先作∠ABC=α,进而以B为圆心α的长为半径画弧，再以4为圆心α为半径画弧即可得出C的位置．试题解析：如图所示：△ABC即为所求【解答】此题暂无解答39.【答案】解：根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90∘，AB=AF=10cm，EF=BE，Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm，由勾股定理得：DF=6cm，∴CF=CD−DF=10−6=4cm，在Rt△CEF中，CE=BC−BE=BC−EF=8−EF，由勾股定理得：EF2=CF2+CE2，即EF2=42+(8−EF)2，解得：EF=5cm．【考点】翻折变换（折叠问题）【解析】根据折叠的性质知AB=AF=10cm，可在Rt△ADF中根据勾股定理求出DF的长，进而可求出CF的值；在Rt△CEF中，根据折叠的性质知BE=EF，可用EF表示出CE，进而由勾股定理求出EF的长．【解答】解：根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90∘，AB=AF=10cm，EF=BE，Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm，由勾股定理得：DF=6cm，∴CF=CD−DF=10−6=4cm，在Rt△CEF中，CE=BC−BE=BC−EF=8−EF，由勾股定理得：EF2=CF2+CE2，即EF2=42+(8−EF)2，解得：EF=5cm．40.【答案】证明：∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE=∠CBE，∴∠DAB=∠CBA，在△ABD和△BAC中{∠DAB=∠CBA AB=BA ∠DBA=∠CAB∴△ABD≅△BAC(ASA)．【考点】全等三角形的判定【解析】由EA=EB可求得∠EAB=∠EBA，结合条件证明△ABD≅△BAC．【解答】证明：∵EA=EB，∴∠EAB=∠EBA，∵∠DAE=∠CBE，∴∠DAB=∠CBA，在△ABD和△BAC中{∠DAB=∠CBA AB=BA ∠DBA=∠CAB∴△ABD≅△BAC(ASA)．。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒2．如图O 是ABC 内的一点，且O 到三边AB 、BC 、CA 的距离==OF OD OE ．若70A ∠=︒，则BOC ∠（ ）．A ．125°B ．135°C ．105°D ．100° 3．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 4．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm 6．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE 7．下列判断正确的个数是（ ）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个；⑤两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．A ．4B ．3C ．2D ．18．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形两锐角互余B ．全等三角形对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等 9．如图所示的正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，把ADE 绕点A 顺时针旋转得到ABF ，20FAB ∠=︒．旋转角的度数是（ ）A ．110°B ．90°C ．70°D ．20° 10．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( ) A ．三条中线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点11．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 12．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4C ．∠C ＝90°，AB ＝6D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°13．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，E 、D 、 F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且BE CD =，BD CF =，若 104A ∠=︒，则EDF ∠的度数为（ ）A ．24°B ．32°C ．38°D ．52° 14．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 15．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒二、填空题16．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．17．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．18．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝8cm ，BD ＝5cm ，AB=10cm,则S △ABD =______．19．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．20．如图所示，在ABC 中，AB AC =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中（1）DA 平分EDF ∠；（2）AE AF =，DE DF =；（3）AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；（4）图中共有3对全等三角形．正确的有________ ．21．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度． 22．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．23．如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于点P ，已知AD ＝AE ．若△ABE ≌△ACD ，则可添加的条件为_____．24．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=40cm ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，AD ：DC=5：3，则D 到AB 的距离为__________cm ．25．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上的一个动点，PE AD ⊥交直线BC 于点E ．若35B ∠=︒，85ACB ∠=︒，则E ∠的度数为______．26．如图，已知点(44)A -，，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．三、解答题27．（1）如图，∠MAB ＝30°，AB ＝2cm ，点C 在射线AM 上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC的长约为 cm （精确到0.lcm ）．（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．28．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．（1）求证：ABC ADE △≌△．（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．29．已知ACE △和DBF 中，AE FD =，//AE FD ，AB DC =，请判断CE 与BF 的位置关系，并说明理由．30．已知：在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．（1）直线BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图1），求证：AE ＝CG ；（2）直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图2），找出图中与BE 相等的线段，并说明理由．。
人教版初中数学八年级上册《全等三角形》专项拓展练习题
八年级上册《全等三角形》专项拓展练习题 1.下面两图中PA=PB 一定成立吗？2.下面两图中，PD 垂直平分AB,问：①△APD 与△BPD 全等吗？②△PAD=△3.如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．4. 如图， ΔABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于点E,△A=30°，△ACB=80°，则△BCE=P A BC PA B DE B C FA E BA C D5.已知：QA=QB 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上QA B6.如图，△DBC=△DCB, AB=AC,连结AD，E为AD上任一点，试判断BE与CE的数量关系，并说明理由。
AEB CD7. 如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线l，m交于点O。
求证：O在AC的垂直平分线上8.已知：如图，AB=AC, △BAC=120°，AB 边的垂直平分线交BC 于点F ，连接AF 。
问：△AFC 是什么形状？9. 如图所示，在ΔABC 中，边BC 的垂直平分线MN 分别交AB 于点M,交BC 于点N, ΔBMC 的周长为23,且BM=7,求BC 的长。
10.如图，△ABC 中，△CAB=120º，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则△EAF等于 度。
A CF B E AB C M N11.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。
求证：AD 垂直平分EF 。
12. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的中垂线与AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=______.A FB CD E。
人教初中数学八上《全等三角形》 同步练习(打印版)
全等三角形一．基础知识1、能够______________的图形就是全等图形, 两个全等图形的_________和________完全相同。
2、一个图形经过______、______、_________后所得的图形与原图形。
3、把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做。
“全等”用“”表示，读作。
4、全等三角形有这样的性质：全等三角形的相等，相等。
二、基础训练5、如图所示，△ABC≌△DEF，对应顶点有：点___和点___，点___和点___，点___和点___；对应角有：____和____，_____和_____，_____和_____；对应边有：____和____，____和____，_____和_____．6、如图（1），点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180°,可以与△______重合，这说明△AOB≌△______．这两个三角形的对应边是AO与_____，OB与_____，BA与______；对应角是∠A OB与________，∠OBA与________，∠BAO与________．7、如图（2），已知△ABC中，AB=3，AC=4, ∠ABC＝118°,那么△ABC沿着直线AC翻折，它就和△ADC重合，那么这两个三角形________，即____________所以DA=______，∠ADC＝_____°。
8、如图△ ABD ≌△CDB，若AB=4，AD=5，BD=6，则BC= ，CD=______,三、拓展与提高9、如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,其它的对应边有：，对应角有：。
想一想: ∠ BAD= ∠ CAE吗?为什么?CABDE10、找一找：请指出下列全等三角形的对应边和对应角 1、 △ ABE ≌ △ ACF对应角是： ；对应边是： 。
2、 △ BCE ≌ △ CBF对应角是： ；对应边是： 。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，△ABC ≌△ADE ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠B ＝28︒，∠E ＝95︒，∠EAB ＝20︒，则∠BAD 等于（ ）A ．75︒B ．57︒C ．55︒D ．77︒D解析：D【分析】 先根据全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB 即可得出∠BAD 的度数．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B=∠D=28°，又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，∵∠EAB=20°，∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．2．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．3．MAB ∠为锐角，AB a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC x =，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是（ ）A ．x d =或x a ≥B ．x a ≥C ．x d =D ．x d =或x a > A解析：A【分析】 当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，可确定取值范围．【详解】解：若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则C 点唯一即可，当x ＝d 时，BC ⊥AM ，C 点唯一；当x >a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有一个交点，x =a 时，以B 为圆心，BC 为半径的作弧，与射线AM 只有两个交点，一个与A 重合， 所以，当x ≥a 时，能构成△ABC 的C 点唯一，故选为：A ．【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．4．如图，在ABC 和DEF 中，,B DEF AB DE ∠=∠=，添加下列一个条件后，仍然不能证明ABC DEF ≌，这个条件是（ ）A ．A D ∠=∠B ．BC EF = C ．ACB F ∠=∠D ．AC DF = D解析：D【分析】 根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【详解】解：∵∠B=∠DEF ，AB=DE ，∴添加∠A=∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；添加BC=EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；添加∠ACB=∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；添加AC DF =，不符合任何一个全等判定定理，不能证明△ABC ≌△DEF ；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS 、ASA 、SAS 、AAS 和HL 是解题的关键．5．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，AD 是BC 边上的中线，AD 的取值范围是（ ）A ．1＜AD ＜6B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜8 D ．2＜AD ＜4B解析：B【分析】 先延长AD 到E ，且AD DE =，并连接BE ，由于ADC BDE ∠=∠，BD DC =，利用SAS 易证ADC EDB ≌，从而可得AC BE =，在ABE △中，再利用三角形三边的关系，可得28AE <<，从而易求14AD <<．【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，则AE=2AD ，∵AD DE =，ADC BDE ∠=∠，BD DC =，∴ADC EDB ≌()SAS ，3BE AC ∴==，在AEB △中，AB BE AE AB BE -<<+，即53253AD -<<+，∴14AD <<．故选：B ．【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 6．如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形和ABC 全等的图形是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．只有丙D ．只有乙B解析：B【分析】 甲只有2个已知条件，缺少判定依据；乙可根据SAS 判定与△ABC 全等；丙可根据AAS 判定与△ABC 全等，可得答案．【详解】解：甲三角形只知道两条边长无法判断是否与△ABC 全等；乙三角形夹50°内角的两边分别与已知三角形对应相等，故乙与△ABC 全等；丙三角形72°内角及所对边与△ABC 对应相等且均有50°内角，可根据AAS 判定乙与△ABC 全等；则与△ABC 全等的有乙和丙，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握并充分理解三角形全等的判定定理，注意对应二字的理解很重要．7．如图，AB AC =，AD AE =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．130︒C解析：C【分析】 先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．【详解】在△ABE 和△ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠B=∠C ，∵∠C=35︒，∴∠B=35︒，∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．8．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）A ．AE=CE ；SASB ．DE=BE ；SASC ．∠D=∠B ；AASD ．∠A=∠C ；ASA C解析：C【分析】 根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．【详解】解：A.添加AE=CE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；B.添加DE=BE 后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；C.添加∠D=∠B ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项符合题意；D.添加∠A=∠C ，根据AAS 可证明△ADE ≌△CBE ，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．9．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD C解析：C【分析】 利用全等三角形的判断方法进行求解即可．【详解】A 、因为 BM ∥CN ，所以∠ABM=∠DCN ，又因为∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(AAS)，故A 选项不符合题意；B 、因为∠M=∠N ，∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(ASA)，故B 选项不符合题意；C 、BM=CN ，不能判定△ABN ≅△DCN ，故C 选项符合题意；D 、因为AB=CD ，∠A=∠D ， AM=DN ，所以△ABN ≅△DCN(SAS)，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④B解析：B【分析】 由SAS 证明AOC BOD ≅得出OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，得出40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，由AAS 证明OCG ODH ≅（AAS ），得出OG=OH ，由角平分线的判定方法得出MO 平分BOC ∠，④正确；由AOB COD ∠=∠，得出当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM ，由AOC BOD ≅得出COM BOM ，由MO 平分BMC ∠得出∠=∠CMO BMO ，推出COM BOM ≅，得出OB=OC ，OA=OB ，所以OA=OC ，而OA OC >，故③错误；即可得出结论．【详解】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠即AOC BOD ∠=∠在AOC △和BOD 中OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC BOD ≅（SAS ）∴OCA ODB ∠=∠，=AC BD ，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠，∴40AOB COD ∠=∠=︒，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=，在OCG 和ODH 中OCA ODB OGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴OCG ODH ≅（AAS ），∴OG=OH∴MO 平分BOC ∠，④正确；∴AOB COD ∠=∠∴当∠=∠DOM AOM 时，OM 平分BOC ∠，假设∠=∠DOM AOM∵AOC BOD ≅∴COM BOM ，∵MO 平分BMC ∠∴∠=∠CMO BMO ，在COM 和BOM 中 OCM BOM OM OMCMO BMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴COM BOM ≅（ASA ）∴OB=OC ，∵OA=OB ，∴OA=OC ，与OA OC >矛盾，∴③错误；正确的有①②④；故选：B【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．二、填空题11．如图，已知//AD BC ，点E 为CD 上一点，AE ，BE 分别平分DAB ∠，CBA ∠．若3cm AE =，4cm BE =，则四边形ABCD 的面积是________．【分析】如图延长AEBC 交于点M 通过条件证明再证明可知即可求解出结果【详解】解：如图延长AEBC 交于点MAE 平分又BE 平分BE=BE 故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的综合问题需要熟练掌握全等三角 解析：212cm【分析】如图，延长AE ，BC 交于点M ，通过条件证明()ABE MBE AAS ≅，再证明()ADE MCE ASA ≅，可知ADE MCE SS =，=2ABE ABCD S S 四边形即可求解出结果．【详解】 解：如图，延长AE ，BC 交于点M ，AE 平分DAB ∠，BAE DAE ∴∠=∠，//AD BC ，//AD BM ∴，BAE DAE CME ∴∠=∠=∠，又 BE 平分CBA ∠，ABE MBE ∴∠=∠，BAE CME ABE MBE ∠=∠∠=∠，，BE=BE ，()ABE MBE AAS ∴≅，90BEA BEM AE ME ∴∠=∠=︒=，，DAE CME AE ME ∠=∠=，，AED MEC ∠=∠，()ADE MCE ASA ∴≅，ADE MCE S S ∴=，3cm AE =，4cm BE =，21==2234122ABM ABE ABCD S S S cm ∴=⨯⨯⨯=四边形， 故答案为：212cm ．【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，能根据条件和图像做出合适的辅助线是解决本题的关键．12．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．15【分析】如图过点D 作DE ⊥AB 于E 首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D 作DE ⊥AB 于E 由作图可知AD 平分∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △ 解析：15【分析】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．由作图可知，AD 平分∠CAB ，∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∴S △ABD =12•AB•DE=12×10×3=15， 故答案为15．【点睛】本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．13．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D，若∠D＝20°，则∠A＝_____．40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC∠ACE＝2∠DCE再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE∠A＝∠ACE﹣∠ABC即得出∠A＝2∠D即得出答案【详解】∵∠ABC解析：40°【分析】利用角平分线的性质可知∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE．再根据三角形外角的性质可得出∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∠A＝∠ACE﹣∠ABC．即得出∠A＝2∠D，即得出答案．【详解】∵∠ABC的平分线交∠ACE的外角平分线∠ACE的平分线于点D，∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠A＝∠ACE﹣∠ABC＝2∠DCE﹣2∠DBE＝2（∠DCE﹣∠DBE），∴∠A＝2∠D＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查角平分线和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题中角之间的关系是解答本题的关键．≅，延长BC，分别交AD，ED于点F，G，若14．如图，ABC ADE∠=________︒．∠=︒，10B∠=︒，30EAB120CAD∠=︒，则CFD95【分析】根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE 结合三角形外角的性质和三角形内角和定理即可求解【详解】解：∵∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的性质三角形外角的性质和三角形内角和定解析：95【分析】根据全等三角形的性质，得∠BAC=∠DAE ，结合三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵ABC ADE ≅，∴()12010255BAC DAE ∠=∠=-÷=，∴85ACF BAC B ∠=∠+∠=，∴18085CFA ACF CAD ∠=-∠-∠=，∴1808595CFD ∠=-=．故答案为：95．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理，熟练掌握上述定理和性质，是解题的关键．15．如图，90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥，垂足分别为,D E ，若9,6AD DE ==，则BE 的长为________________________．3【分析】由AD ⊥CEBE ⊥CE 可以得到∠BEC=∠CDA=90°再根据∠ACB=90°可以得到∠BCE=∠CAD 从而求得△CEB ≌△ADC 然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长【详解】解：∵∠A解析：3【分析】由AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，可以得到∠BEC=∠CDA=90°，再根据∠ACB=90°，可以得到∠BCE=∠CAD ，从而求得△CEB ≌△ADC ，然后利用全等三角形的性质可以求得BE 的长．【详解】解：∵∠ACB=90°，BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCE=∠CAD ，在△CEB 和△ADC 中，BCE CAD BEC CDA AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEB ≌△ADC （AAS ）；∴BE=CD ，CE=AD=9．∵DC=CE-DE ，DE=6，∴DC=9-6=3，∴BE=3．故答案为：3【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．如图，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，3AD =，连接BD ，BD CD ⊥，ADB C ∠=∠．若P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为_______．3【分析】过点D 作于点H 先证明BD 是的角平分线然后根据角平分线的性质得到当点P 运动到点H 的位置时DP 的长最小即DH 的长【详解】解：如图过点D 作于点H ∵∴∵∴∴BD 是的角平分线∵∴∵点D 是直线BC 外一解析：3【分析】过点D 作DH BC ⊥于点H ，先证明BD 是ABC ∠的角平分线，然后根据角平分线的性质得到3AD DH ==，当点P 运动到点H 的位置时，DP 的长最小，即DH 的长．【详解】解：如图，过点D 作DH BC ⊥于点H ，∵BD CD ⊥，∴90BDC ∠=︒，∵180C BDC DBC ∠+∠+∠=︒，180ADB A ABD ∠+∠+∠=︒，ADB C ∠=∠，90A ∠=︒，∴ABD CBD ∠=∠，∴BD 是ABC ∠的角平分线，∵AD AB ⊥，DH BC ⊥，∴3AD DH ==，∵点D 是直线BC 外一点，∴当点P 在BC 上运动时，点P 运动到与点H 重合时DP 最短，其长度为DH 长，即DP 长的最小值是3．故答案是：3．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练运用角平分线的性质定理．17．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ≌△ADC ，还需添加条件：_____．（填写一个你认为正确的即可）AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形可以得到∠1＝∠2AC ＝AC 然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件本题得以解决【详解】由已知可得∠1＝∠2AC ＝AC ∴若添加条件AB ＝A解析：AB ＝AD （答案不唯一）【分析】根据题目中条件和图形，可以得到∠1＝∠2，AC ＝AC ，然后即可得到使得△ABC ≌△ADC 需要添加的条件，本题得以解决．【详解】由已知可得，∠1＝∠2，AC ＝AC ，∴若添加条件AB ＝AD ，则△ABC ≌△ADC （SAS ）；若添加条件∠ACB＝∠ACD，则△ABC≌△ADC（ASA）；若添加条件∠ABC＝∠ADC，则△ABC≌△ADC（AAS）；故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，AB＝8cm，AC＝5cm，∠A＝∠B，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向B 运动，同时，点Q以x cm/s的速度从点B出发在射线BD上运动，则△ACP与△BPQ全等时，x的值为_____________2或【分析】由∠A＝∠B可知△ACP与△BPQ全等时CP和PQ是对应边则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可【详解】设动点的运动时间为t秒则AP＝2tBP＝AB－AP＝8－2tBQ＝xt∵∠解析：2或5 2【分析】由∠A＝∠B，可知△ACP与△BPQ全等时，CP和PQ是对应边，则分AP＝BQ和AP＝PB两种情况进行讨论即可．【详解】设动点的运动时间为t秒，则AP＝2t，BP＝AB－AP＝8－2t，BQ＝xt，∵∠A＝∠B，∴CP和PQ是对应边，当△ACP与△BPQ全等时，①AP＝BQ，即：2t＝ xt，解得：x＝2，②AP＝PB，即：2t＝8－2t，解得：t＝2，此时，BQ＝AC，xt＝5，即：2x＝5，解得：x＝5 2故填：2或52．【点睛】本题考查全等三角形的性质，“分类讨论”的数学思想是关键．19．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为___．cm2【分析】如图延长AP 交BC 于T 利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题【详解】解：如图延长AP 交BC 于T ∵BP ⊥AT ∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP ∠PBA=∠PBT ∴△BPA ≌ 解析：12 cm 2 【分析】如图，延长AP 交BC 于T ．利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题．【详解】解：如图，延长AP 交BC 于T ．∵BP ⊥AT ，∴∠BPA=∠BPT=90°，∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ，∴△BPA ≌△BPT （ASA ），∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==，1122PBC ABC S S ∴==， 故答案为12cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．20．如图，ABC ∆中，90,6,8ACB AC cm BC cm ∠=︒==，点P 从点A 出发沿A C -路径向终点C 运动.点Q 从B 点出发沿B C A --路径向终点A 运动．点P 和Q 分别以每秒1cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P 和Q 作PE l ⊥于,E QF l ⊥于F ．则点P 运动时间为_______________时，PEC ∆与QFC ∆全等．或【分析】对点P 和点Q 是否重合进行分类讨论通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：与全等解得:；如图2所示：点与点重合与全等解得:；故答案为:或【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质准确解析：1或7 2【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果；【详解】如图1所示：PEC∆与QFC∆全等，PC QC，683∴-=-t t，解得:1t=；如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC∆全等，638∴-=-t t，解得:72t=；故答案为:1或72．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．三、解答题21．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm，点C在射线AM上，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题，请画出图形，并写出你所选取的BC 的长约为 cm （精确到0.lcm ）．（2）∠MAB 为锐角，AB ＝a ，点C 在射线AM 上，点B 到射线AM 的距离为d ，BC ＝x ，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是 ．解析：（1）见解析，1.2；（2）x=d 或x≥a【分析】（1）可以取BC ＝1.2cm （1cm ＜BC ＜2cm ），画出图形即可； （2）当x ＝d 或x≥a 时，三角形是唯一确定的．【详解】（1）如图，选取的BC 的长约为1.2cm ，故答案是：1.2；（2）若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x 的取值范围是x ＝d 或x≥a ，故答案为：x=d 或x≥a ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”，属于中考常考题型．22．如图，点D 在边AC 上，BC 与DE 交于点P ，AB DB =，C E ∠=∠，CDE ABD ∠=∠．（1）求证：ABC DBE ≌；（2）已知162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CDE ∠的度数．解析：（1）见解析；（2）66°【分析】（1）根据三角形内角和定理说明∠CDE=∠CBE ，再证明∠ABC=∠DBE ，根据AAS 可证明△ABC ≌△DBE ；（2）根据∠ABE 和∠DBC 的度数可以算出∠CBE 和∠ABD 的度数，从而得到∠CDE ．【详解】解：（1）∵∠C=∠E ，∠CPD=∠EPB ，∴∠CDE=∠CBE ，∵∠CDE=∠ABD ，∴∠CBE=∠ABD ，∴∠CBE+∠CBD=∠ABD+∠CBD ，即∠ABC=∠DBE ，又∠C=∠E ，AB=DB ，∴△ABC ≌△DBE （AAS ）；（2）∵162ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，∴∠ABD=∠CBE=（162°-30°）÷2=66°，∴∠CDE=∠CBE=66°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，寻找三角形全等的条件是解题的关键．23．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：CD=2BE ．解析：见解析【分析】根据等角的余角相等求出∠ACD=∠ABF ，再利用“角边角”证明△AFB ≌△ADC 可得CD=BF ，利用“角边角”证明△BCE 和△FCE 全等，根据全等三角形对应边相等BE=EF ，整理即可得证．【详解】证明：∵BE ⊥CD ，∠BAC=90°，∴∠ACD+∠F=180°-90°=90°，∠ABF+∠F=180°-90°=90°，∴∠ACD=∠ABF ，在△AFB 和△ADC 中，90ACD ABF AB ACCAD BAF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△AFB ≌△ADC （ASA ）；∴CD=BF ，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCE=∠FCE ，在△BCE 和△FCE 中，90BCE FCE CE CEBEC FEC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△BCE ≌△FCE （ASA ），∴BE=EF ，∴BF=2BE∴CD=2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明方法并准确识图是解题的关键．24．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：（1）如图1，∠AOB ＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB 内部任意画一条射线OC ；画∠AOC 的平分线OM ，画∠BOC 的平分线ON ；用量角器量得∠MON ＝______． （2）如图2，∠AOB ＝90°，将OC 向下旋转，使∠BOC ＝30°，仍然分别作∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，能否求出∠MON 的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．解析：（1）作图见解析，45；（2）能，45【分析】（1）以点O 为圆心，任意长为半径，画圆弧，并分别交OA 、OC 于点H 、点G ；再分别以点H 、点G 为圆心，以大于12HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ，过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线；同理得∠BOC 的平分线ON ；通过量角器测量即可得到∠MON ；（2）根据题意，得114522COM AOC BOC ∠=∠=+∠，12CON BOC ∠=∠，结合MON COM CON ∠=∠-∠，经计算即可得到答案．【详解】（1）作图如下用量角器量得：∠MON ＝45故答案为：45；（2）∵∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，且∠AOB ＝90°∴()11145222COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12CON BOC ∠=∠ ∴11454522MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+∠-∠=． 【点睛】本题考查了角平分线、射线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质，从而完成求解．25．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，D 是BC 的中点，证明：∠B =∠C ．解析：见解析【分析】通过角平分线上点的性质、D 为BC 中点、DE ⊥AB 、DF ⊥AC 证明出BDE CDF ≌，从而证明∠B =∠C ．【详解】∵AD 是AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∵D 是BC 的中点，∴BD =CD∵△BDE 与△CDF 是直角三角形∴BDE CDF ≌∴∠B =∠C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及角平分线上点的性质，正确证明全等三角形并得出各角之间的关系是本题的关键．26．如图，E 、A 、C 三点共线，//AB CD ，B E ∠=∠，AC CD =．求证：BC ED =．解析：证明见解析【分析】利用AAS 证明△ABC ≌△CED 即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴BAC ECD ∠=∠，在ABC 和CED 中BAC ECD B EAC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC CED AAS △≌△，∴BC ED =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个三角形对应相等的条件是解题的关键．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,A a a b -+，(),0B a ，且()2320a b a b +-+-=，C 为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AD AC =，CAD OAB ∠=∠，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：AOC ABD ∆∆≌；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不变，理由见解析．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a 、b 的值，作AE ⊥OB 于点E ，由SAS 定理得出△AEO ≌△AEB ，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD=∠OAB ，得出∠OAC=∠BAD ，再由SAS 定理即可得出结论； （3）设∠AOB=∠ABO=α，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠AOB=α，故∠OBP=180°-∠ABO-∠ABD=180°-2α为定值，再由OB=2，∠POB=90°可知OP 的长度不变，故可得出结论．【详解】（1）证明：∵()2320a b a b +-+-=，∴30,20,a b a b +-=⎧⎨-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴()1,3A ，()2,0B ．作AE OB ⊥于点E ，∵()1,3A ，()2,0B ，∴1OE =，211BE =-=，在AEO ∆与AEB ∆中，∵,90,,AE AE AEO AEB OE BE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴AEO AEB ∆∆≌，∴OA AB =．（2）证明：∵CAD OAB ∠=∠，∴CAD BAC OAB BAC ∠+=∠+∠∠，即OAC BAD ∠=∠．在AOC ∆与ABD ∆中，∵,,,OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOC ABD ∆∆≌．（3）解：点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设AOB α∠=．∵OA AB =，∴AOB ABO α∠=∠=．由（2）知，AOC ABD ∆∆≌，∴ABD AOB α∠=∠=．∵2OB =，1801802OBP ABO ABD α∠=︒-∠-∠=︒-为定值，90POB ∠=︒，易知POB ∆形状、大小确定，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 28．已知：如图，AOB ∠．求作： A O B '''∠，使A O B AOB '''∠=∠．作法：①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ,OB 于点C ,D ；②画一条射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；③以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点D ；④过点D 画射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠；A OB '''∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接C D ''．由作法可知OC O C ''=,，，∴COD C O D '''≅．（ ）（填推理依据）．∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角．解析：（1）补全图形见解析；（2）OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．【分析】（1）根据题意要求作图即可；（2）根据题意利用SSS 证明COD C O D '''≅即可．【详解】(1)作图：(2)连接C D ''，∵OC O C ''=，OD O D ''= ，CD C D ''=，∴COD C O D '''≅（SSS ），∴A O B AOB '''∠=∠．∴A O B '''∠就是所求作的角故答案为：OD O D ''=，CD C D ''=，SSS ．．【点睛】此题考查作图能力—作一个角等于已知角，全等三角形的判定及性质，根据题意画出图形并确定对应相等的条件证明三角形全等是解题的关键．。
人教初中数学八上《三角形全等的判定SAS》 同步练习
三角形全等的判定(二)SAS要点感知1 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形______(可以简写成“______〞或“______〞). 预习练习1-1 以下图中全等的三角形有( )3 C.图2和图4要点感知2 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形______全等.预习练习2-1 下面各条件中,能使△ABC≌△DEF的条件的是( )A.AB=DE,∠A=∠D,BC=EFB.AB=BC,∠B=∠E,DE=EFC.AB=EF,∠A=∠D,AC=DFD.BC=EF,∠C=∠F,AC=DF知识点1 用“SAS〞判定两个三角形全等1.：如图，OA=OB，OC=OD，求证：△AOD≌△BOC.2.：如图，OA=OB，OC平分∠AOB，求证：△AOC≌△BOC.3.∥ED,AB=CE,BC=ED.求证：△ABC≌△CED.知识点2 利用“SAS〞判定三角形全等来证明线段或角相等4.(武汉中考)如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：DC∥AB.5.(云南中考)如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD=BC，∠DAB=∠CBA，求证：AC=BD.知识点3 利用“SAS〞判定三角形全等来解决实际问题6.如下图,有一块三角形镜子,小明不小心将它打破成1、2两块,现需配成同样大小的一块.为了方便起见,需带上______块,其理由是______.7.如图，AB=AC，AD=AE，假设要得到“△ABD≌△ACE〞，必须添加一个条件，那么以下所添条件不成立的是( )A.BD=CEB.∠ABD=∠ACEC.∠BAD=∠CAED.∠BAC=∠DAE8.(陕西中考)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，假设连接AC、BD相交于点O，那么图中全等三角形共有( )9.如图，点A在BE上，AD=AE，AB=AC，∠1=∠2=30°，那么∠3的度数为______ .10.如下图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1 km，DC=1 km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3 km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相拉桥，测得AE=1.2 km，BF=0.7 km.试求建造的斜拉桥长至少有______km.11.如下图，AD是△ABC的高线，AD=BD，DE=DC，∠C=75°，求∠AEB的度数.12.如图,点A，E，B，D在同一条直线上,AE=DB,AC=DF,AC∥DF.请探索BC与EF有怎样的位置关系？并说明理由.13.如下图,A，F，C，D四点同在一直线上,AF＝CD,AB∥DE,且AB＝DE.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)∠CBF＝∠FEC.挑战自我14.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE，求证：(1)BD=FC；(2)AB∥CF.参考答案课前预习要点感知1 全等边角边 SAS预习练习1-1 D要点感知2 不一定预习练习2-1 D当堂训练1.证明：在△AOD和△BOC中，OA=OB，∠O=∠O(公共角)，OD=OC，∴△AOD≌△BOC(SAS).2.证明：∵OC平分∠AOB，∴∠1=∠△AOC和△BOC中，OA=OB，∠1=∠2(已证)，OC=OC(公共边)，∴△AOC≌△BOC(SAS).3.证明：∵AB∥ED,∴∠B=∠△ABC和△CED中,AB=CE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△CED(SAS).4.证明：∵在△ODC和△OBA中，OD=OB,∠DOC=∠BOA,OC=OA,∴△ODC≌△OBA(SAS).∴∠C=∠A(或∠D=∠B).∴DC∥AB.5.证明：在△ADB和△BAC中，AD=BC，∠DAB=∠CBA,AB=BA，∴△ADB≌△BCA(SAS).∴AC=BD.6.1 有两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 课后作业7.B 8.C 9.30° 10.1.1 11.在△BDE 和△ADC 中，BD=AD,∠ADB=∠ADC ，DE ＝DC ，∴△BDE ≌△ADC(SAS).∴∠BED=∠C=75°.∴∠AEB=105°.12.BC ∥EF.理由：∵AE=DB,∴AE+BE=DB+BE.∴AB=DE.∵AC ∥DF,∴∠A=∠D.∵AC=DF,∴△ACB ≌△DFE.∴∠FED=∠CBA.∴BC ∥EF.13.(1)证明：∵AB ∥DE,∴∠A=∠∵AF ＝CD,∴AF+FC=CD+FC.∴AC=DF.∵AB ＝DE,∴△ABC ≌△DEF(SAS).(2)证明：∵△ABC ≌△DEF,∴BC ＝EF,∠ACB ＝∠DFE.∵FC=CF,∴△FBC ≌△CEF(SAS).∴∠CBF ＝∠FEC. 14.(1)证明：∵E 是AC 的中点，∴△ADE 和△CFE 中，AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE,∴△ADE ≌△CFE(SAS).∴AD=CF.∵D 是AB 的中点，∴AD=BD.∴BD=FC.(2)证明：由(1)知△ADE ≌△CFE,∴∠A=∠ECF.∴AB ∥CF. 【知识稳固】1、 分解因式：7a 2b 2-14ab 3c= 2、 假设xy=6，x-y=5，那么x 2y-xy 2= 3、 在以下四个式子中：①6a 2b=2a 2 .3b ；②x 2-4-3x=(x+2)(x-2)-3x ； ③ab 2-2ab=a b(b-2)； ④-a 2+4=(2-a)(2+a)。
人教版初中数学八年级上册《全等三角形》专题综合练习(提高训练题)
一、选择题
班级：
姓名：
号数：
1.如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. AC=DE
B. ∠BAD=∠CAE
C. AB=AE
D. ∠ABC=∠AED
2.如图，∠ABD=∠EBC，BC=BD，再添加一个条件，使得△ABC≌△EBD，所添加的条件不正确的是（ ）
图①
图②
图③
19.在△ABC 和△DCE 中，CA=CB，CD=CE，∠CAB=∠CED=α， （1）如图 1，将 AD、EB 延长，延长线相交于点 O； ①求证：BE=AD； ②用含α的式子表示∠AOB 的度数（直接写出结果）； （2）如图 2，当α=45o 时，连接 BD、AE，作 CM⊥AE 于 M 点，延长 MC 与 BD 交于点 N，求证：N 是 BD 的中点。
D。若 OM=5cm，CD=3.4cm，则四边形 CDNM 的周长为
。
三、解答题 16.如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB=AC，点 E 是 BD 上一点，且 AE=AD，∠EAD= ∠BAC （1）求证：∠ABD=∠ACD （2）若∠ACB=65o，求∠BDC 的度数。
则∠AFE 的度数是
;
14.已知△ABC 三边长分别为 3，5，7，△DEF 三边长分别为 3， 3x 2 , 2x 1，
若这两个三角形全等，则 x 为
;
15.如图，∠AOB=60o，点 P 在∠AOB 的平分线上，过点 P 作 OA、OB 的垂线，垂
足分别为点 M，N。以点 P 为顶点作∠CPD=60o，两边与 OA、OB 相交于点 C、
的面积是 34，则△ABC 的周长为（ ）
(常考题)人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试(有答案解析)
一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 2．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（ ）A ．2B ．5C ．3D ．73．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝50°，BD ＝CF ，BE ＝CD ，则∠EDF 的度数是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．30°5．下列说法正确的（ ）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.110＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．36．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，AD 与CE 交于点F ．请你添加一个适当的条件，使AEF ≌CEB △．下列添加的条件不正确的是（ ）A ．EF EB = B ．EA EC = C ．AF CB =D ．AFE B ∠=∠ 7．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对8．下列命题中，假命题是（ ）A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等9．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论：①△ABD ≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 10．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 11．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，∠C ＝40°B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4C ．∠C ＝90°，AB ＝6D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°12．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．A ．AC DB = B ．A D ∠=∠C ．B C ∠=∠D ．AB DC =二、填空题13．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．14．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．15．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____16．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15cm ，BC ＝8cm ，AX ⊥AC 于A ，P 、Q 两点分别在边AC 和射线AX 上移动．当PQ ＝AB ，AP ＝_____时，△ABC 和△APQ 全等．18．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______19．如图，9cm AB =，3cm AC =，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以x cm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t （s ）（1）如图①，若AC AB ⊥，BD AB ⊥，当ACP BPQ △≌△，x =________；CPQ ∠=________．（2）如图②，CAB DBA ∠=∠，当ACP △与BPQ 全等，x =________； 20．如图所示，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，∠A=∠F ，AC=FE ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是___________________ ．（只需填一个即可）三、解答题21．如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，BC 与DF 交于点G ，AD BE =，//BC EF ，BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．22．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．23．如图，AD 是ABC 的角平分线，AB AC >，求证：AB AC BD CD ->-．24．直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）（数学思考）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，求证：EF BE AF =-；②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，当α∠与BCA ∠之间满足________关系时，①中结论仍然成立，并给予证明．（2）（问题拓展）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．25．如图，点E ，F 在BC 上，A D ∠=∠，AF DE =，AFC DEB ∠=∠．求证：BE CF =．26．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；C 、添加BE ＝CD 可以利用“边角边”证明△ABE 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；D 、添加DA ＝DE 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．C解析：C【分析】先证明△ACD ≌△BED ，得到CD=ED=2，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵AD BC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFE BDE ADC ∠=∠=∠=︒，∵AEF BED ∠=∠，∴EAF EBD ∠=∠，∵5AD BD ==，∴△ACD ≌△BED ，∴CD=ED=2，∴523AE AD ED =-=-=；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．3．C解析：C【分析】过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA ，根据角平分线的性质得：OE ＝OF ＝OD 然后根据△ABC 的面积是12，周长是8，即可得出点O 到边BC 的距离．【详解】如图，过点O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，连接OA .∵点O 是∠ABC ，∠ACB 平分线的交点，∴OE ＝OD ，OF ＝OD ，即OE ＝OF ＝OD∴S △ABC ＝S △ABO ＋S △BCO ＋S △ACO ＝12AB ·OE ＋12BC ·OD ＋12AC ·OF ＝12×OD×(AB ＋BC ＋AC )＝12×OD×8＝12 OD=3故选：C【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．4．B解析：B【分析】由SAS 证明△BDE ≌△CFD ，得出∠BDE=∠CFD ，∠EDF 可由180°与∠BDE 、∠CDF 的差表示，进而求解即可．【详解】解：在△BDE 与△CFD 中，BD CF B C BE CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△CFD （SAS ）；∴∠BDE=∠CFD ，∴∠EDF=180°-（∠BDE+∠CDF ）=180°-（∠CFD+∠CDF ）=180°-（180°-∠C ）=50°； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 5．B解析：B【分析】根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．【详解】解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1＜3.2，因此③正确；④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；所以正确的只有③，故选：B ．【点睛】本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提． 6．D解析：D【分析】根据垂直关系，可以判断△AEF 与△CEB 有两对角相等，就只需要添加一对边相等就可以了．【详解】解：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，∴∠AEF=∠CEB=90°，∠ADB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠B=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠EAF=∠BCE ．A.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中AEF CEB EAF BCE EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；B.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中AEF CEB EA ECEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AEF ≌CEB △（ASA ），故正确；C.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 AEF CEB EAF BCE AF CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ≌CEB △（AAS ），故正确；D.在Rt △AEF 和Rt △CEB 中 由AEF CEB EAF BCE AFB B ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩不能证明AEF ≌CEB △，故不正确； 故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．7．B解析：B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．【详解】解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．8．D解析：D【分析】根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A 、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；B 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；C 、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；D 、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．D解析：D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即③正确，根据③可判断④正确；【详解】∵ BD 为∠ABC 的角平分线，∴ ∠ABD=∠CBD ，∴在△ABD 和△EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∴△ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故①正确；∵ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故②正确；∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ，∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 是等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，故③正确；作EG ⊥BC ，垂足为G ，如图所示：∵ E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在△BEG和△BEF中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩∴△BEG≌△BEF，∴BG=BF，在△CEG和△AFE中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩∴△CEG≌△AFE，∴ AF=CG，∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；10．C解析：C【分析】利用全等三角形的判断方法进行求解即可．【详解】A、因为 BM∥CN，所以∠ABM=∠DCN，又因为∠A=∠D， AM=DN，所以△ABN≅△DCN(AAS)，故A选项不符合题意；B、因为∠M=∠N ，∠A=∠D， AM=DN，所以△ABN≅△DCN(ASA)，故B选项不符合题意；C、BM=CN ，不能判定△ABN≅△DCN，故C选项符合题意；D、因为AB=CD，∠A=∠D， AM=DN，所以△ABN≅△DCN(SAS)，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：A、根据AB＝3，BC＝4，∠C＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；B、∠A＝60°，AB＝4，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；C、∠C＝90°，AB＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．【详解】根据题意：BE=CE，∠AEB=∠DEC，∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，故选：D．【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．二、填空题13．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时CE的长度最小∵点C在∠AOB的平分线上CD⊥OA∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，∵点C在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．14．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=∴∠A=-∠B-∠C=∵△ABC≌△DEF∴∠D=∠A=故答案为：【点睛】此题考查全等三角解析：70︒【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=180︒，︒-︒-︒=︒，∴∠A=180︒-∠B-∠C=180506070∵△ABC≌△DEF，∴∠D=∠A=70︒，故答案为：70︒【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．15．1＜AC＜17【分析】作出图形延长AD至E使DE＝AD然后利用边角边证明△ABD和△ECD全等根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE再利用三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边解析：1＜AC＜17【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出AC的取值范围．【详解】如图，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ECD (SAS )，∴AB ＝CE ，∵AD ＝4，∴AE ＝4+4＝8，∵AC +CE ＞AC ＞CE -AE ，∴9-8＜AC ＜8+9，∴1＜AC ＜17，故答案为：1＜AC ＜17．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．16．5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时PM 最小∵OP 平分PD=5∴PM=PD=5故答案为：5【点睛】此题考查角平分线的性质垂线段最短掌握点到直线的所有解析：5【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答.【详解】根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，∵OP 平分AOC ∠，PD OA ⊥，PD=5，∴PM=PD=5，故答案为：5.【点睛】此题考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握点到直线的所有连线中垂线段最短是解题的关键.17．8cm 或15cm 【分析】分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；②当P 运动到与C 点重合时Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ）此时AP ＝AC ＝15cm 【详解】解：①当P 运动解析：8cm 或15cm【分析】分情况讨论：①AP ＝BC ＝8cm 时，Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ）；②当P 运动到与C 点重合时，Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），此时AP ＝AC ＝15cm ．【详解】解：①当P 运动到AP ＝BC 时，如图1所示：在Rt △ABC 和Rt △QPA 中，AB QP BC PA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △QPA （HL ），即AP ＝B ＝8cm ；②当P 运动到与C 点重合时，如图2所示：在Rt △ABC 和Rt △PQA 中，AB PQ AC PA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △PQA （HL ），即AP ＝AC ＝15cm ．综上所述，AP 的长度是8cm 或15cm ．故答案为：8cm 或15cm ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．18．5【分析】根据角平分线的性质求出DE根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE⊥AB于点E∵AD平分∠BAC∠C=90°DE⊥AB∴DE=DC=2∵AB=5∴△ABD的面积=×AB×DE=5解析：5【分析】根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可；【详解】如图：作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=2，∵AB=5∴△ABD的面积=12×AB×DE=5，故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键；19．90°2或【分析】（1）根据全等找出对应边利用BP边求得时间再在BQ边上求速度再运用全等三角形的性质即可证明角度；（2）结合条件对与全等时的情况进行分析分类讨论即可【详解】（1）当时又；（2）①当时解析：90° 2或2 3【分析】（1）根据全等找出对应边，利用BP 边求得时间，再在BQ 边上求速度，再运用全等三角形的性质，即可证明角度；（2）结合条件，对ACP △与BPQ 全等时的情况进行分析，分类讨论即可．【详解】（1）当ACP BPQ △≌△时，3AC PB ==，936AP BQ cm ==-=，331cm t s cm /s ∴==，623cm x cm /s s==， 又CPA PQB ∠=∠，90PQB QPB ∠+∠=︒，90CPA QPB ∴∠+∠=︒，18090CPQ ∴∠=︒-︒=90︒；（2）①当ACP BPQ △≌△时，3AC BP ==，936AP BQ ==-=， 此时，331cm t s cm /s ==，623cm x cm /s s==； ②当ACP BQP △≌△时， 3AC BQ ==，92AP BP ==， 此时，99212cm t s cm /s ==，32932cm x cm /s s ==； 综上：当ACP △与BPQ 全等，2x cm /s =或23cm /s ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 20．∠C ∠E 或ABFD(ADFB)或∠ABC ∠FDE 或DE ∥BC 【分析】要判定△ABC ≌△FDE 已知∠A=∠FAC=FE 具备了一组角和一组边对应相等故可以添加∠C ∠E 利用ASA 可证全等（也可添加其它条件解析：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC【分析】要判定△ABC ≌△FDE ，已知∠A=∠F ，AC=FE ，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加∠C =∠E ，利用ASA 可证全等．（也可添加其它条件）．【详解】增加一个条件：∠C =∠E ，在△ABC 和△FDE 中，C E AC FE A F ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△FDE(ASA)；或添加AB =FD(AD =FB) 利用SAS 证明全等；或添加∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC 利用AAS 证明全等．故答案为：∠C =∠E 或AB =FD(AD =FB)或∠ABC =∠FDE 或DE ∥BC （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA 、AAS 、SAS 、SSS 等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．三、解答题21．见解析【分析】由AD BE =，得AB=DE ，由//BC EF ，得ABC E ∠=∠，根据SAS 可证．【详解】证明：∵AD BE =，∴AD BD BE BD +=+，∴AB DE =，∵//BC EF ，∴ABC E ∠=∠，在ABC 和DEF 中，AB DE ABC E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABC DEF SAS ≌．【点睛】本题考查了用“边角边”定理判断两个三角形全等，解题关键是挖掘题目隐含的全等条件，根据判定定理证明．22．32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．【详解】解：∵ AD CE ⊥， BE CE ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，在ACD △与CBE △中，ADCCEB ACDCBE AC BC∴ACD CBE ≌(AAS) ∴ 3CD BE ==， AD CE =，∵ 358CE CD DE =+=+=，∴ 8AD =．ACE 11883222S CE AD △．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键． 23．见解析【分析】在 AB 上取 AE = AC ，然后证明ADC ≌()SAS ADE △，根据全等三角形对应边相等得到DC DE =，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可．【详解】证明：如解图，在AB 上截取AE AC =，连接DE ，∵ AD 是ABC 的角平分线，∴ CAD EAD ∠=∠．在ADC 和ADE 中，,,,AC AE CAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ ADC ≌()SAS ADE △． ∴ DC DE =．∵在BDE 中，BE BD ED >-，∵ AB AE BE -=，∴ AB AC BD CD ->-．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质以及三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）180ACB α∠+∠=︒，证明见解析；（3）EF BE AF =+，证明见解析．【分析】（1）①求出∠BEC ＝∠AFC ＝90°，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；②当∠α＋∠ACB ＝180°，证明∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可；（2）求出∠BEC ＝∠AFC ，∠CBE ＝∠ACF ，根据AAS 证△BCE ≌△CAF ，推出BE ＝CF ，CE ＝AF 即可．【详解】（1）①在图1中，90BEC AFC ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90BCE ACF ∠+∠=︒，90EBC BCE ∠+∠=︒，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-；②当180ACB α∠+∠=︒时，①中结论仍然成立；证明：在图2中，BEC CFA a ∠=∠=∠，180ACB α∠+∠=︒，BCE ACF EBC BCE ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BCE 和CAF 中，EBC ACF BEC AFC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CAF AAS ∴≅，BE CF ∴=，CE AF =，EF CF CE BE AF ∴=-=-．故答案为180ACB α∠+∠=︒；（2）不成立，结论：EF BE AF =+．理由：在图3中，BEC CFA a ∠=∠=∠，a BCA ∠=∠，又180EBC BCE BEC +∠+∠=︒，180BCE ACF ACB ∠+∠+∠=︒，EBC BCE BCE ACF ∴∠+∠=∠+∠，EBC ACF ∴∠=∠，在BEC △和CFA △中，EBC FCA BEC CFA BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEC CFA AAS ∴≅，AF CE ∴=，BE CF =，EF CE CF =+，EF BE AF ∴=+．【点睛】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．25．见详解【分析】先证明∠AFB=∠DEC ，再根据ASA 证明∆AFB ≅∆DEC ，进而即可得到结论． 【详解】∵AFC DEB ∠=∠，∴∠AFB=∠DEC ，又∵A D ∠=∠，AF DE =，∴∆AFB ≅∆DEC （ASA ），∴BF=CE ，∴BF-EF= CE-EF ，∴BE CF =．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握ASA 证明三角形全等，是解题的关键．26．逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；证明见解析．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．【详解】解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt BCE 与Rt CBD △中，BD CE BC CB =⎧⎨=⎩∴()Rt BCE Rt CBD HL ≌，∴DCB EBC ∠=∠．【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．。
初中数学《八上》 第十二章 全等三角形-三角形全等的判定 考试练习题
初中数学《八上》第十二章全等三角形-三角形全等的判定考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：．知识点：三角形全等的判定【答案】见解析【分析】菱形中，四边相等，对角相等，结合已知条件，可利用三角形全等进行证明，得到，再线段之差相等即可得证．【详解】四边形是菱形在和中(ASA)即．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行三角形全等的证明是解题的关键．2、如图，一个由8 个正方形组成的“” 型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点，，，，都在矩形的边上，若8 个小正方形的面积均为 1 ，则边的长为__________ ．知识点：三角形全等的判定【答案】【分析】如图，延长交于点，连接，根据题意求得的长，设，先证明，再证明，，分别求出矩形的四边，根据矩形对边相等列方程组求得的值，进而求得的值．【详解】小正方形的面积为1 ，则小正方形的边长为，如图，延长交于点，连接，，，四边形是正方形，，，设，四边形是矩形，，，，，，，，，，，即①②联立解得故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解二元一次方程组，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．3、如图1 ，在△ABC中，∠C =90° ，∠ABC =30° ，AC =1 ，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60° ，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60° ，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1 ）求证：△BDA ≌△BFE；（2 ）①CD +DF +FE的最小值为；② 当CD +DF +FE取得最小值时，求证：AD ∥BF．（3 ）如图 2 ，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）见解答；（2 ）①；② 见解答；（3 ）是，∠MPN =30° ．【分析】（1 ）由旋转60° 知，∠ABD =∠EBF、AB =AE、BD =BF，故由SAS证出全等即可；（2 ）① 由两点之间，线段最短知C、D、F、E共线时CD +DF +FE最小，且CD +DF +FE最小值为CE ，再由∠ACB =90° ，∠ABC =30° ，AC =1 求出BC和AB，再由旋转知AB =BE，∠CBE =90° ，最后根据勾股定理求出CE即可；② 先由△BDF为等边三角形得∠BFD =60° ，再由C、D、F、E共线时CD +DF +FE最小，∠BFE =120°=∠BDA，最后ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60° ，即证；（3 ）由中位线定理知道MN ∥AD且PN ∥EF，再设∠BEF =∠BAD =α ，∠PAN =β ，则∠PNF =60°-α+β，∠FNM =∠FAD =60°+α-β，得∠PNM =120° ．【详解】解：（1 ）证明：∵∠DBF =∠ABE =60° ，∴∠DBF -∠ABF =∠ABE -∠ABF，∴∠ABD =∠EBF，在△BDA与△BFE中，，∴△BDA ≌△BFE（SAS）；（2 ）①∵ 两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD +DF +FE最小，∴CD +DF +FE最小值为CE，∵∠ACB =90° ，∠ABC =30° ，AC =1 ，∴BE =AB =2 ，BC =，∵∠CBE =∠ABC +∠ABE =90° ，∴CE =，故答案为：；② 证明：∵BD =BF，∠DBF =60° ，∴△BDF为等边三角形，即∠BFD =60° ，∵C、D、F、E共线时CD +DF +FE最小，∴∠BFE =120° ，∵△BDA ≌△BFE，∴∠BDA =120° ，∴∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60° ，∴∠ADF =∠BFD，∴AD ∥BF；（3 ）∠MPN的大小是为定值，理由如下：如图，连接MN，∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，∴MN ∥AD且PN ∥EF，∵AB =BE且∠ABE =60° ，∴△ABE为等边三角形，设∠BEF =∠BAD =α，∠PAN =β，则∠AEF =∠APN =60°-α，∠EAD =60°+α，∴∠PNF =60°-α +β，∠FNM =∠FAD =60°+α -β，∴∠PNM =∠PNF +∠FNM =60°-α +β +60°+α -β =120° ，∵△BDA ≌△BFE，∴MN =AD =FE =PN，∴∠MPN =(180°-∠PNM )=30° ．【点睛】本题是三角形与旋转变换的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定、勾股定理的应用、中位线的性质及等腰、等边三角形的判定与性质是解题关键．4、如图，为的直径，点在上，与交于点，，连接．求证：（1 ）；（2 ）四边形是菱形．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）见解析；（2 ）见解析【分析】（1 ）由已知条件根据全的三角形的判定即可证明；（2 ）首先根据平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明．【详解】解：（1 ）在和中，∵，∴；（2 ）∵为的直径，∴，∵，∴，，∴∥，，∴ 四边形是平行四边形．∵，∴ 四边形是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识，掌握全等三角形的判定和特殊平行四边形的判定是解题的关键．5、如图1 ，正方形的边长为4 ，点在边上（不与重合），连接．将线段绕点顺时针旋转90° 得到，将线段绕点逆时针旋转90° 得到．连接．（1 ）求证：①的面积；②；（2 ）如图 2 ，的延长线交于点，取的中点，连接，求的取值范围．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）① 见详解；② 见详解；（2 ）4≤MN ＜【分析】（1 ）① 过点F作FGl 【详解】（1 ）① 证明：过点F作FG ⊥AD交AD的延长线于点G，∵∠FPG +∠PFG =90° ，∠FPG +∠CPD =90° ，∴∠FPG =∠CPD，又∵∠PGF =∠CDP =90° ，PC =PF，∴（AAS），∴FG =PD，∴的面积；② 过点E作EH ⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠EPH +∠PEH =90° ，∠EPH +∠BPA =90° ，∴∠PEH =∠BPA，又∵∠PHE =∠BAP =90° ， PB =PE，∴（AAS），∴EH =PA，由① 得：FG =PD，∴EH +FG =PA +PD =AD =CD，由① 得：，∴PG =CD，∴PD +GD =CD =EH +FG，∴FG +GD =EH +FG，∴GD =EH，同理：FG =AH，又∵∠AHE =∠FGD，∴，∴；（2 ）过点F作FG ⊥AD交AD的延长线于点G，过点E作EH ⊥DA交DA的延长线于点H，由（1 ）得：，∴∠HAE =∠GFD，∵∠GFD +∠GDF =90° ，∴∠HAE +∠GDF =90° ，∵∠HAE =∠MAD，∠GDF =∠MDA，∴∠MAD +∠MDA =90° ，∴∠AMD =90° ，∵ 点N是EF的中点，∴MN =EF，∵EH =DG =AP，AH =FG =PD，∴HG =AH +DG +AD =PD +AP +AD =2AD =8 ，EH +FG =AP +PD =AD =4 ，当点P与点D重合时，FG =0 ，EH =4 ，HG =8 ，此时EF最大值=，当点P与AD的中点重合时，FG =2 ，EH =2 ，HG =8 ，此时EF最小值=HG =8 ，∴的取值范围是：4≤MN＜．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，添加辅助线，构造直角全等的直角三角形，是解题的关键．6、（知识再现）学完《全等三角形》一章后，我们知道“ 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称HL 定理）” 是判定直角三角形全等的特有方法．（简单应用）如图（1 ），在△ABC中，∠BAC＝90° ，AB＝AC，点D、E分别在边AC、AB上．若CE＝BD，则线段AE和线段AD的数量关系是．（拓展延伸）在△ABC中，∠BAC＝（90° ＜＜180° ），AB＝AC＝m，点D在边AC上．（1 ）若点E在边AB上，且CE＝BD，如图（2 ）所示，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．（2 ）若点E在BA的延长线上，且CE＝BD．试探究线段AE与线段AD的数量关系（用含有a、m的式子表示），并说明理由．知识点：三角形全等的判定【答案】【简单应用】AE＝AD；【拓展延伸】（1 ）相等，证明见解析；（2 ）AE﹣AD＝2AC •cos （180° ﹣），理由见解析【分析】简单应用：证明Rt △ABD ≌Rt △ACE（HL），可得结论．拓展延伸：（1 ）结论：AE＝AD．如图（2 ）中，过点C作CM ⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN ⊥CA交CA的延长线于N．证明△CAM ≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，证明Rt △CME ≌Rt △BND （HL），推出EM＝DN，可得结论．（2 ）如图（3 ）中，结论：AE﹣AD＝2m •cos （180° ﹣）．在AB上取一点E ′ ，使得BD＝CE ′ ，则AD＝AE ′ ．过点C作CT ⊥AE于T．证明TE＝TE ′ ，求出AT，可得结论．【详解】简单应用：解：如图（1 ）中，结论：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90° ，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt △ABD ≌Rt △ACE（HL），∴AD＝AE．故答案为：AE＝AD．拓展延伸：（1 ）结论：AE＝AD．理由：如图（2 ）中，过点C作CM ⊥BA交BA的延长线于M，过点N作BN ⊥CA交CA的延长线于N．∵∠M＝∠N＝90° ，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM ≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90° ，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt △CME ≌Rt △BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2 ）如图（3 ）中，结论：AE﹣AD＝2m •cos （180° ﹣）．理由：在AB上取一点E ′ ，使得BD＝CE ′ ，则AD＝AE ′．过点C作CT ⊥AE于T．∵CE ′ ＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE ′ ，∵CT ⊥EE ′ ，∴ET＝TE ′ ，∵AT＝AC •cos （180° ﹣）＝m •cos （180° ﹣），∴AE﹣AD＝AE﹣AE ′ ＝ 2AT＝2m •cos （180° ﹣）．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题.7、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1 ）求证：△BDE ≌△FAE；（2 ）求证：四边形ADCF为矩形．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）见解析；（2 ）见解析【分析】（1 ）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE ，再根据线段中点的定义得到 AE=DE ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2 ）根据全等三角形的性质得到 AF=BD ，推出四边形 ADCF 是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90° ，于是得到结论．【详解】（1 ）证明：∵AF∥BC ，∴∠AFE=∠DBE ，∵E 是线段 AD 的中点，∴AE=DE ，∵∠AEF=∠DEB ，∴（AAS ）；（2 ）证明：∵，∴AF=BD ，∵D 是线段 BC 的中点，∴BD=CD ，∴AF=CD ，∵AF∥CD ，∴ 四边形 ADCF 是平行四边形，∵AB=AC ，∴，∴∠ADC=90° ，∴ 四边形 ADCF 为矩形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明与矩形证明，熟练掌握相关概念是解题关键.8、点P是平行四边形ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F．点O为AC的中点．（1 ）如图 1 ，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是_______ ；（2 ）当点P运动到如图2 所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1 ）中的结论是否仍然成立？（3 ）如图 3 ，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30° 时，试探究线段CF，AE，OE之间的关系．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）OE＝OF；（2 ）结论仍然成立，理由见解析；（3 ）点P 在线段OA的延长线上运动时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE＝CF +AE【分析】（1 ）由“AAS ” 可证△AEO ≌△CFO，可得OE＝OF；（2 ）由题意补全图形，由“ASA ” 可证△AOE ≌△COG，可得OE＝OG，由直角三角形的性质可得OG＝OE＝OF；（3 ）延长EO交FC的延长线于点H，由全等三角形的性质可得AE＝CH，OE＝OH，由直角三角形的性质可得HF＝EH＝OE，可得结论．【详解】解：（1 ）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，又∵∠AEO＝∠CFO＝90° ，∠A OE＝∠COF，∴△AEO ≌△CFO（AAS），∴OE＝OF，故答案为：OE＝OF；（2 ）补全图形如图所示，结论仍然成立，理由如下：延长EO交CF于点G，∵AE ⊥BP，CF ⊥BP，∴AE ∥CF，∴∠EAO＝∠GCO，∵ 点O为AC的中点，∴AO＝CO，又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE ≌△COG（ASA），∴OE＝OG，∵∠G FE＝90° ，∴OE＝OF；（3 ）点P在线段OA的延长线上运动时，线段CF，AE，OE之间的关系为OE＝CF +AE，证明如下：如图，延长EO交FC的延长线于点H，由（2 ）可知△AOE ≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH，又∵∠OEF＝30° ，∠HFE＝90° ，∴HF＝EH＝OE，∴OE＝CF +CH＝CF +AE．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．9、在一次小制作活动中，艳艳剪了一个燕尾图案（如图所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，为了保证图案的美观，她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麦走过来说：“ 不用量了，肯定相等” ，小麦的说法利用了判定三角形全等的方法是（）A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS知识点：三角形全等的判定【答案】D【分析】根据SSS 判定即可得出答案．【详解】在和中，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解题的关键．10、如图，在中，于点D，于点E，交AD于点F，已知，则线段BF的长是____ ．知识点：三角形全等的判定【答案】【分析】首先证明AD＝BD，求出AC，再证明∠1 ＝∠2 ，再加上条件∠BDA＝∠ADC＝90° ，即可利用ASA证明△BFD ≌△ACD，再根据全等三角形对应边相等可得AC＝BF．【详解】解：∵AD ⊥BC，∠ABD＝45° ，∴∠BAD＝45° ，∴AD＝BD =4 ，∴AC =∵AD ⊥BC，BE ⊥AC，∴∠1 ＋∠3 ＝∠2 ＋∠4 ＝90° ，∵∠3 ＝∠4 ，∴∠1 ＝∠2 ，在△BFD和△ACD中，∴△BFD ≌△ACD（ASA），∴BF＝AC＝．故答案为：．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是证明△BFD ≌△ACD．11、如图，在中，，点D是边AB的中点，过点D作于点M，延长DM至点E，且，连接AE交BC于点N，若，则点N到BE的距离为__________ ．知识点：三角形全等的判定【答案】【分析】首先根据题意证明DM时三角形ABC的中位线，得出CM =BM，然后证明出△CAN ≌△MEN，得出CN =MN ，然后求出EM和NB的长度，然后根据勾股定理求出BE的长度，最后根据等面积法即可求出点N到BE的距离．【详解】解：如图所示，作NH ⊥BE于点H，∵，，∴，又∵ 点D是边AB的中点，∴DM是三角形ABC的中位线，∴CM =BM，∴ 在△ABC中，，∴CM =BM，在△CAN和△EMN中，∴△CAN ≌△MEN，∴CN =MN =，∴，∴，∴，即，解得：．∴ 点N到BE的距离为．【点睛】此题考查了勾股定理，三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，三角形全等的性质和判定方法．12、如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 、 F 分别是 OA 、 OC 的中点．求证：BE ＝ DF知识点：三角形全等的判定【答案】详见解析【分析】根据题意可得BO=DO, 再由 E 、 F 是 AO 、 CO 的中点可得 EO=FO, 即可证全等求出 BE=DF ．【详解】∵ABCD 是平行四边形 ,∴BO=DO,AO=CO,∵E 、 F 分别是 OA 、 OC 的中点 ,∴EO=FO,又∵∠COD=∠BOE,∴△BOE≌△DOF(SAS),∴BE=DF ．【点睛】本题考查三角形全等, 关键在于由平行四边形的性质得出有用的条件 , 再根据图形判断全等所需要的条件．13、如图，在▱ABCD 中，点 E 、 F 分别在 AD 、 BC 上，且 AE ＝ CF ， EF 、 BD 相交于点 O ，求证： OE ＝ OF ．知识点：三角形全等的判定【答案】证明见解析【分析】方法1 、连接、，由已知证出四边形是平行四边形，即可得出结论．方法2 、先判断出，进而判断出即可．【详解】证明：方法1 ，连接、，如图所示：四边形是平行四边形，，，，，，四边形是平行四边形，．方法2 ，四边形是平行四边形，，，，又，，在和中，，，．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；通过作辅助线证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．14、如图，四边形ABCD是平行四边形，AE ⊥BC，AF ⊥CD，垂足分别为点E，F，且BE＝DF．（1 ）求证：四边形ABCD是菱形；（2 ）连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若CEG＝30° ，AE＝4 ，求EG的长．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）见解析；（2 ） 8 ．【分析】（1 ）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，从而得到AB =AD，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2 ）利用平行四边形的性质得到∠G =30° ，∠EAG =90° ，再由直角三角形的性质即可得到结果．l ∵∠CEG =30°，AE ⊥BC，∴∠G =30° ，∠EAG =90° ，又∵AE =4 ，∴EG =2AE =8 ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．15、如图，在矩形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F．（1 ）若，，求的长；（2 ）若G是的中点，连接和，求证：．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）；（2 ）见解析【分析】（1 ）先证明△ABE是等腰直角三角形，得到BE =AB =2 ，同理可得CE =CF，在Rt △CEF中利用勾股定理可求EF；（2 ）连接CG，在等腰直角△ECF中，证明CG =FG，∠F =∠ECG =45° ，然后用SAS证明△BCG ≌△DFG 即可．【详解】解：（1 ）∵ 四边形ABCD是矩形，∴AD ∥BC，∠DAB =∠ABC =∠BCD =90° ，BC =AD =3 ．∴∠DAE =∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE =∠BAE =45° ，∴∠BEA =∠BAE =45° ，∴BE =AB =2 ．∴CE =BC -BE =1 ．∵∠CEF =∠AEB =45° ，∠ECF =90° ，∴∠F =∠CEF =45° ，∴CE =CF =1 ．在Rt △CEF中，利用勾股定理可得（2 ）连接CG，∵△CEF是等腰直角三角形，G为EF中点，∴CG =FG，∠ECG =45° ．∴∠BCG =∠DFG =45° ．又DF =BC =3 ，∴△BCG ≌△DFG（SAS）．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质，解决这类问题时，特殊四边形中有角平分线一般涉及了等腰三角形性质，证明线段相等一般利用全等三角形的性质．16、如图，已知平分，．（1 ）求证：；（2 ）若点在上，且，求证：四边形是菱形．知识点：三角形全等的判定【答案】（1 ）见解析；（2 ）见解析．【分析】（1 ）证明，由全等三角形的性质得出；（2 ）同理（1 ）可得，结合已知，可得菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形可得出结论．【详解】证明：（1 ）平分，，在和中，，，；（2 ）同理（1 ）可得，∴，∵，，∴，四边形是菱形．本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，能熟记菱形的性质和判定定理是解此题的关键．17、如图，△ABC≌△DEF ， DF 和 AC ， FE 和 CB 是对应边．若∠A=100° ，∠F=47° ，则∠DEF 等于（）A ．100°B ．53°C ．47°D ．33°知识点：三角形全等的判定【答案】D【详解】解：∵△ABC ≌△DEF，DF和AC，FE和CB是对应边，∴∠A =∠FDE，又∵∠A =100° ，∴∠FDE =100° ；∵∠F =47° ，∠FDE +∠F +∠DEF =180° ，∴∠DEF =180° ﹣∠F﹣∠FDE =180° ﹣47° ﹣100°=33° ；故选 D ．点睛：本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．18、学了全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“ 已知：如图，，，，求证：” ，老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： ______________ ．知识点：三角形全等的判定【答案】或/或【分析】根据三角形全等的判定定理，为公共边，，根据ASA 即可证明，或者根据SSS 证明即可求得答案【详解】根据题意，若，，又（SAS ）或者，（SSS ）故答案为：或【点睛】本题考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．19、在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中：① 存在无数个是等腰三角形；② 存在无数个是等边三角形；③ 存在无数个是等腰直角三角形；④ 存在一个在所有中面积最小．所有正确结论的序号是_____________ ．知识点：三角形全等的判定【答案】①②③【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题．【详解】解：如图1 中，满足AM＝BN＝PC，∵是等边三角形∴AB =BC =CA，∠A =∠C =∠B =60°∴AB -AM =BC -BN =CA -CP∴AP =CN =BM又∠A =∠C =∠B =60°∴△AMP ≌△CNP ≌△BMN∴MP =PN =MN∴△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2 中，当NM＝NP，∠MNP＝90° 时，△MN P是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3 ）．故①②③ 正确，△PNM的面积不存在最小值．故答案为①②③ ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20、已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB ∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．知识点：三角形全等的判定【答案】见解析【详解】试题分析：已知AB∥CD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECD ，再根据 SAS 证明△ABC≌△ECD 全，由全等三角形对应边相等即可得 AC=ED ．试题解析：∵AB∥CD ，∴∠B=∠DCE ．在△ABC 和△ECD 中，∴△ABC≌△ECD （SAS ），∴AC=ED ．考点：平行线的性质；全等三角形的判定及性质．。
【初中数学】人教版八年级上册12.1全等三角形(练习题)
人教版八年级上册12.1全等三角形(348)1.如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm,∠B=∠C,BC=8cm,D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速度运动，设运动的时间为t s．(1)求CP的长(用含t的式子表示)；(2)若以C,P,Q为顶点的三角形和以B,D,P为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角，求a的值2.一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x−2y，x+2y．若这两个三角形全等，则x+y的值是3.如图所示，在△ABC中，D为BC上一点，△ABD≌△ACD，∠BAC=90∘．(1)求∠B的度数；(2)判断AD与BC的位置关系，并说明理由4.如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD．求证：∠CDE=∠BAD5.如图，E为线段AB上一点，AC⊥AB，DB⊥AB，△ACE≌△BED．(1)试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论；(2)求证：AB=AC+BD6.如图，试沿着虚线把图形分成两个全等图形．7.如图，△ABC≌△DBC，∠A=110∘，则∠D的度数为（）A.120∘B.110∘C.100∘D.80∘8.已知如图所示的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A.72∘B.60∘C.50∘D.58∘9.如图△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30∘，则∠BCB′的度数为（）A.20∘B.30∘C.35∘D.40∘10.如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25∘，∠ACB=∠AED=105∘，∠DAC=10∘，则∠DFB为（）A.40∘B.50∘C.55∘D.60∘11.如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点．如果AB=8，BC=4cm，AC=6cm，那么BD+AD的长是（）A.14cmB.12cmC.10cmD.10cm或12cm12.如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，△AEC≌△DFB．如果AD=37cm，BC=15cm，那么AB的长为（）A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm13.已知△ABC的三边长分别为6，7，10，△DEF的三边长分别为6，3x−2，2x−1.若这两个三角形全等，则x的值为14.下列图形中，与图中的图形全等的是（）A. B. C. D.15.如图，△ABC≌△CDA，∠BAC=∠DCA，则BC的对应边是（）A.CDB.CAC.DAD.AB16.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE等于（）A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB17.如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36∘，∠C′=24∘，则∠B= ∘.18.下列每组中的两个图形，是全等形的为（）A. B.C. D.参考答案1(1)【答案】依题意得BP =3t cm ，BC =8cm ,∴CP =(8−3t)cm(2)【答案】①当BD =CP 时，∵AB =10cm ,D 为AB 的中点，∴BD =5cm ,∴5=8−3t ,解得t =1.∵△BDP ≌△CPQ,∴CQ =BP =3cm ，∴a =31=3. ②当BP =CP 时，3t =8−3t ,解得t =43．∵△BDP ≌△CQP ，∴BD =CQ ， 即5=43a ， 解得a =154．综上所述，a 的值为3或154.2.【答案】:5或4【解析】:由题意得{3x −2y =5,x +2y =7或{3x −2y =7,x +2y =5,解得{x =3,y =2或{x =3,y =1,∴x +y =5或x +y =4.4.【答案】:证明：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B =∠ADE ．由三角形的外角性质，得∠ADC =∠B +∠BAD ． ∵∠ADC =∠ADE +∠CDE ，∴∠CDE =∠BAD5(1)【答案】CE ⊥DE ．证明：∵AC⊥AB，DB⊥AB，∴∠A=∠B=90∘，∴∠C+∠CEA=90∘．∵△ACE≌△BED，∴∠C=∠DEB，∴∠CEA+∠DEB=90∘，∴∠CED=180∘−90∘=90∘，∴CE⊥DE(2)【答案】证明：∵△ACE≌△BED，∴AC=BE，AE=BD，∴AB=BE+AE=AC+BD6.【答案】:解：如图所示．7.【答案】:B8.【答案】:C【解析】:对应边所夹的角是对应角，根据全等三角形的对应角相等，可得∠α=50°，故选：C9.【答案】:B【解析】:∵△ACB≌△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB−∠A′CB=∠A′CB′−∠A′CB，即∠BCB′=∠ACA′．又∵∠ACA′=30∘，∴∠BCB′=30∘，故选 B10.【答案】:D【解析】:由△ABC≌△ADE，∠B=∠D=25∘，∠ACB=∠AED=105∘，所以∠CAB=∠EAD=180∘−105∘−25∘=50∘，所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60∘，由图易得∠DFB=∠DAB=60∘11.【答案】:C【解析】:∵△ABC≌△BAD，∴AC=BD，BC=AD．∵BC=4cm，AC=6cm，∴BD+AD=AC+BC=10cm.12.【答案】:B【解析】:∵△AEC≌△DFB，∴AC=DB，∴AC−BC=DB−BC，即AB=CD．∵AD=37cm，BC=15cm，=11(cm).∴AB=37−15214.【答案】:C15.【答案】:C16.【答案】:A【解析】:∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B 17.【答案】:120【解析】:∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=24∘，∴∠B=180∘−∠A−∠C=120∘，故答案为：12018.【答案】:A【解析】:选项A中的两个图形能够完全重合，是全等形；选项B，C中的两个图形大小不同，不是全等形；选项D中的两个图形形状不同，不是全等形.。
12.1 全等三角形 初中数学人教版八年级上册课后习题(含答案)
12.1 全等三角形一、能力提升1.如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( )A.AC=DEB.∠BAD=∠CAEC.AB=AED.∠ABC=∠AED2.如图,若△NMQ≌△MNP,且MN=8 cm,NP=6 cm,PM=7 cm,则MQ的长为( )A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.5 cm3.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC上的点.若△ADB≌△EDC≌△EDB,则∠C的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.30°4.如图,△ACB≌△A'CB',∠BCB'=30°,则∠ACA'等于( )A.20°B.30°C.35°D.40°5.如图,已知△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB的度数是 .6.如图,△ABD≌△AEC,∠B和∠E是对应角,AB与AE是对应边.求证:BC=ED,∠BAC=∠EAD.7.如图,△ABC≌△ABD,∠DAC=90°.(1)求∠C的度数;(2)判断AB与CD的位置关系,并说明理由.8.如图,已知△ABC≌△DEF,∠B=∠E=90°,∠A=61°,AB=5,BC=9,CF=6.(1)求∠D,∠DFE的度数;(2)求线段DE,CE的长.二、创新应用★9.阅读下面的文字,然后回答相关问题:如图①,若把△ACD沿着直线AC平行移动,它就能和△CBE重合,像这种变换图形位置的方法,叫做平移变换;如图②,若把△ABC沿着直线BC翻折,它就能和△DBC重合,像这种变换图形位置的方法,叫做翻折(或翻转)变换;如图③,若把△AOC绕着点O旋转一定的角度,它将与△EOD重合,像这种变换图形位置的方法,叫做旋转变换.想一想:(1)如图④,若△ABC≌△DEF,且点B与点E,点C与点F是对应顶点,则进行怎样的图形变换可以使这两个三角形重合?(2)如图⑤,已知△ABF≌△DCE,点E与点F是对应顶点,则△DCE可以看成是由△ABF通过怎样的图形变换得到的?一、能力提升1.B ∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,AC=AE,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.故选B.2.C 因为△NMQ≌△MNP,所以MQ与NP是对应边,即MQ=NP=6cm.3.D ∵△EDB≌△EDC,∴∠DEB=∠DEC=90°.∵△ADB≌△EDB,∴∠DAB=∠DEB=90°.∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠C=∠ABD=∠CBD=30°.4.B 因为△ACB≌△A'CB',所以∠ACB=∠A'CB',所以∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB,即∠ACA'=∠BCB'=30°.5.120° 因为△OAD≌△OBC,所以∠D=∠C=25°.根据三角形外角的关系,得∠DBE=∠C+∠O=25°+70°=95°,所以∠AEB=∠D+∠DBE=25°+95°=120°. 6.证明∵△ABD≌△AEC,∴BD=EC,∠BAD=∠EAC.∴BD-CD=EC-CD,∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD,即BC=ED,∠BAC=∠EAD.7.解(1)因为△ABC≌△ABD,所以∠C=∠D.因为在△ACD中,∠C+∠D+∠DAC=180°,×(180°-90°)=45°.又∠DAC=90°,所以∠C=∠D=12(2)AB⊥CD.理由:因为△ABC≌△ABD,所以∠ABC=∠ABD.又∠ABC+∠ABD=180°,所以∠ABC=90°.所以AB⊥CD.8.解(1)∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D=61°.在△DEF中,∵∠E=90°,∠D=61°,∴∠DFE=90°-∠D=90°-61°=29°.(2)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE=5,BC=EF=9.∴CE=EF-CF=9-6=3.二、创新应用9.解(1)先将△ABC沿着直线BF平移,使点B与点E重合,点C与点F重合,再将此三角形沿着EF所在直线翻折便能与△DEF重合.(2)先将△ABF沿着直线BC平移,使点F与点E重合,再将此三角形绕着点E逆时针旋转180°,便可得到△DCE.(答案均不唯一)。
初中八年级数学上册的第12章全等三角形证明经典50题含答案
1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，111749AD是整数，求ADABCD解：延伸AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：1CDAB2 ADA21EBCFD证明：连结BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连结BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
4.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACA21F∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD均分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延伸AB取点E，使AE＝AC，连结DE∵AD均分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD证明：在AE上取F，使EF＝EB，连结CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC均分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD ABD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=28.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：1CDAB2 ADCB解：延伸AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DEA21EBCFD证明：连结BF和EF。
(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》基础卷(答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．202．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）A ．40°B ．35C ．30°D ．45° 3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等4．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）A ．BD CE =B ．AD AE =C ．BE CD = D ．DA DE = 5．下列四个命题中，真命题是（ ）A ．如果 ab ＝0，那么a ＝0B ．面积相等的三角形是全等三角形C ．直角三角形的两个锐角互余D ．不是对顶角的两个角不相等6．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为（ ）A ．21cmB ．22cmC ．23cmD ．24cm 7．下列说法正确的是（ ）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．48．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④ 9．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）A ．BM ∥CNB ．∠M=∠NC ．BM=CND ．AB=CD 10．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE =2，AB =4，则AC 长是（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．411．下列命题，真命题是（ ）A ．全等三角形的面积相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个角对应相等的两个三角形全等D ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等12．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）A ．35°B ．30°C ．25°D ．20°13．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD 14．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条件，其中能使ABC AED ≌△△的条件有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题16．如图，已知四边形,90,3,4,5,ABCD B AB BC AC ︒∠====180BAD CAD ︒∠+∠=，180BCD ACD ︒∠+∠=，则四边形ABCD 的面积是_________．17．如图，在ABC 中，=6AB ，=4AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，2BD AE CE ===，//CE AB 交DE 的延长线于点F ，则CF 的长为_____________．18．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．19．如图，△ABE ≌△ADC ≌△ABC ，若∠1＝130°，则∠α的度数为________．20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是______．21．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．22．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________23．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ， AB ＝5，CD ＝2，则ABD △的面积是______24．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．25．如图，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，P 为线段AD 上的一个动点，PE AD ⊥交直线BC 于点E ．若35B ∠=︒，85ACB ∠=︒，则E ∠的度数为______．26．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．三、解答题27．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．28．如图，直角梯形ABCD 中，//,,AD BC AB BC E ⊥是AB 上的点，且,DE CE DE CE =⊥，（1）证明：AB AD BC =+．（2）若已知AB a ，求梯形ABCD 的面积．29．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．（1）求证：BAC EAD ∠=∠．（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．30．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点． （1）求证：△ABC ≌△ABD ．（2）求证：CE ＝DE ．。
新人教版初中数学八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．202．下列说法正确的（ ）个．①0.09的算术平方根是0.03；②1的立方根是±1；③3.1＜10＜3.2；④两边及一角分别相等的两个三角形全等．A ．0B ．1C ．2D ．33．如图，已知ABC DCB ∠=∠，添加一个条件使ABC DCB △△≌，下列添加的条件不能使ABC DCB △△≌的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．AB DC = C ．AC DB =D ．ACB DBC ∠=∠ 4．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点，分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点，若点P 的坐标为(m ，n)，则下列结论正确的是（ ）A ．m ＝2nB ．2m ＝nC ．m ＝nD ．m ＝－n 5．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．96．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 7．如图，∠ACB=90°，AC=BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别是点D 、E ，AD=3，BE=1，则DE 的长是（ ）A ．1.5B ．2C ．22D ．108．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )A ．EFC ∠B ．ABC ∠ C ．FDC ∠D ．DFC ∠ 9．如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL10．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，E 、D 、 F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且BE CD =，BD CF =，若 104A ∠=︒，则EDF ∠的度数为（ ）A ．24°B ．32°C ．38°D ．52°11．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABCB ．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC 12．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题13．如图，四边形ABCD 中，AC BC =，90ACB ADC ∠=∠=︒，10CD =，则BCD ∆的面积为______．14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．15．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．16．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为__cm/s ．17．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．18．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AB ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，S △ABD ∶S △ACD ＝________．19．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．20．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 的平分线交BC 于D ，若20ABD S ∆=cm 2，AB =10cm ，则CD 为__________cm ．三、解答题21．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ．（1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．22．作图题：已知∠α，线段m 、n ，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）（1）作∠MON ＝∠α（2）在边OM 上截取OA ＝m ，在边ON 上截取OB ＝n ．（3）作直线AB ．23．已知：如图，120AOB ∠=︒，过点O 作射线OP ，若OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠，AOP α∠=（1）如图1，补全图形，直接写出MON ∠=____________︒（2）如图2，若4BOM BON ∠=∠，求α的值．24．如图，点P 是锐角∠ABC 内一点，BP 平分∠ABC ，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM ＝PN ．求证：∠BMP ＋∠BNP ＝180°．25．如图，在△ABD 中，∠ABC=45°，AC ，BF 为△ABD 的两条高，CM//AB ，交AD 于点M ；求证：BE=AM+EM ．26．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC求证：AB ∥CD证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，∴∠B ＝∠∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换）∴∠＝∠（等式性质）∴EF∥∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．【详解】∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，ABE CAFAB ACBAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△CAF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，∵S△ABC=30，BD=12DC，∴S△ACD=20，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．B解析：B【分析】根据平方根、立方根、无理数的估算和三角形全等判定定理进行判断即可．【详解】解：①0.09的算术平方根是0.3，不是0.03，因此①不正确；②1的立方根是1，不是±1，因此②不正确；③因为3.12＝9.91，3.22＝10.24，而9.91＜10＜10.24，所以3.1＜3.2，因此③正确；④只有两边夹角对应相等的两个三角形全等，而两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等．因此④不正确；所以正确的只有③，故选：B．【点睛】本题考查平方根、立方根、无理数的估算以及三角形全等判定定理，掌握平方根、立方根的意义、掌握无理数的估算方法和三角形全等的判断方法是正确判断的前提．3．C解析：C【分析】根据全等三角形的判定与性质综合分析即可；【详解】在ABC和DCB中，A DABC DCBBC CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，故ABC DCB△△≌，A不符合题意；在ABC和DCB中，AB DCABC DCBBC CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，故ABC DCB△△≌，B不符合题意；只有AC=BD，BC=CB，ABC DCB∠=∠，不符合全等三角形的判定，故C符合题意；在ABC和DCB中，ACB DBCCB BCABC DCB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，故ABC DCB△△≌，D不符合题意；故答案选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．4．D解析：D【分析】根据角平分线的性质及第二象限内点的坐标特点即可得出结论．【详解】解：∵由题意可知，点C在∠AOB的平分线上，∴m=-n．故选：D ．【点睛】本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法及其性质是解答此题的关键． 5．D解析：D【分析】求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=2，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．6．A解析：A【分析】利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.【详解】∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，∴90PMO PNO ∠=∠=．∵OM ON =，OP OP =，∴()HL ≌PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，故选：A ．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.7．B解析：B【分析】根据已知条件可以得出∠E=∠ADC=90︒，进而得出∆CEB ≅∆ADC ，就可以得出BE=DC ，进而求出DE 的值．【详解】∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E=∠ADC=90︒，∴∠EBC+∠BCE=90︒，∵∠BCE+∠ACD=90︒，∴∠EBC=∠DCA ，在∆CEB 和∆ADC 中，∠E=∠ADC ，∠EBC=∠DCA ，BC=AC ，∴∆CEB ≅∆ADC(AAS)，∴BE=DC=1，CE=AD=3，∴DE=EC-CD=3-1=2，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．8．C解析：C【分析】先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．【详解】解：在ABC ∆和CED ∆中，AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC CED SSS ∴∆≅∆，B E ∴∠=∠，FCD FDC ∠=∠1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，2CFE x ∴∠=︒，2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，FDC x ∴∠=︒．故答案为C ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．9．D解析：D【分析】直接证明全等三角形，即可确定判断方法.【详解】解：∵AB BC ⊥，CD BC ⊥，∴ABC 与△DCB 均为直角三角形，又AC DB =，BC CB =， ∴()ABC DCB HL ≅,故选：D.【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，属于基础题.10．C解析：C【分析】根据题意可证明BDE CFD ≌，以及求解∠B 的度数，再由三角形的外角性质和全等三角形的性质推出∠EDF=∠B ，从而得出结果．【详解】在BDE 与CFD 中，BE CD B C BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDE CFD SAS ≌∴∠BED=∠CDF ，又∵∠B+∠BED=∠EDC=∠EDF+∠CDF ，∴∠B=∠EDF ，∵在BAC 中，∠A=104°，∠B=∠C ，∴∠B=（180°-104°）÷2=38°，∴∠EDF=38°，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角性质，熟练证明全等并利用其性质进行推理演算是解题关键．11．B解析：B【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等；【详解】A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意；C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角；12．C解析：C【分析】在△ACD和△ABD中，AD=AD，AB=AC，由全等三角形判定定理对选项一一分析，排除不符合题意的选项即可．【详解】解：添加A选项中条件可用HL判定两个三角形全等，故选项A不符合题意；添加B选项中的条件可用SSS判定两个三角形全等，故选项B不符合题意；添加C选项中的条件∠1＝∠2可得∠CDA=∠BDA，结合已知条件不SS判定两个三角形全等，故选项C符合题意；添加D选项中的条件可用SAS判定两个三角形全等，故选项D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS，判断直角三角形全等的方法：“HL”．二、填空题13．50【分析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E先证明∠CBE=∠ACD从而证明∆ACD≅∆CBE进而即可求解【详解】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E∵BE⊥CE∴∠BEC=∠CDA=90°解析：50【分析】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，先证明∠CBE=∠ACD，从而证明∆ ACD≅∆ CBE，进而即可求解．【详解】过点B作BE⊥DC交DC的延长线于点E，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC=∠CDA=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CBE=∠ACD ，在∆ ACD 与∆ CBE 中，∵CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ ACD ≅∆ CBE （AAS ），∴BE=CD=10，∴BCD ∆的面积=12CD∙BE=12×10×10=50， 故答案是50．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加辅助线，构造“一线三垂直”模型，是解题的关键． 14．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE 此时AE=BC=5可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA解析：5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．【详解】解：①当AE=CB 时，∵∠B=∠EAP=90°，在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，AE CB DE AC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），即AE=BC=5；②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，AE AB DE AC=⎧⎨=⎩， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），即AE=AB=12，∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．综上所述，AE=5或12．故答案为：5或12．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．15．【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=∴∠A=-∠B-∠C=∵△ABC ≌△DEF ∴∠D=∠A=故答案为：【点睛】此题考查全等三角 解析：70︒【分析】先根据三角形的内角和定理求出∠A 的度数，再利用全等三角形的性质求出答案即可【详解】∵∠A+∠B+∠C=180︒，∴∠A=180︒-∠B-∠C=180506070︒-︒-︒=︒，∵△ABC ≌△DEF ，∴∠D=∠A=70︒，故答案为：70︒【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，以及三角形的内角和定理．16．1或15【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时从而可得点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时可得：从而可得点的运动速度从而可得答案【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时则AC ＝BPAP ＝BQ ∵AC解析：1或1.5【分析】分两种情况讨论：当△ACP ≌△BPQ 时，1AP BQ ==， 从而可得Q 点的运动速度；当△ACP ≌△BQP 时，可得：23AP BP BQ ===，， 从而可得Q 点的运动速度，从而可得答案．【详解】解：当△ACP ≌△BPQ 时，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∵AC ＝3cm ，∴BP ＝3cm ，∵AB ＝4cm ，∴AP ＝1cm ，∴BQ ＝1cm ，∴点Q 的速度为：1÷（1÷1）＝1（cm/s ）；当△ACP ≌△BQP 时，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，∵AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∴AP ＝BP ＝2cm ，BQ ＝3cm ，∴点Q 的速度为：3÷（2÷1）＝1.5（cm/s ）；故答案为：1或1.5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想，掌握利用分类讨论解决全等三角形问题是解题的关键．17．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线 解析：2【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，∴OD OE OF ==．∵C 90∠=，∴四边形ECFO 是正方形，∴OE OF CE CF ===．∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522⨯⨯=⨯++， 解得：1OE =， ∴CE OE 1==，∴AE AC CE 2=-=．在Rt AEO 与Rt ADO 中，AO AO OE OD =⎧⎨=⎩， ∴Rt AEO Rt ADO ≅，∴AD AE 2==．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 18．4:3【分析】利用角平分线的性质可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等根据三角形的面积公式即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵AD 是△ABC 的角平分线∴设△解析：4:3【分析】利用角平分线的性质，可得出△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高相等，根据三角形的面积公式，即可得出△ABD 与△ACD 的面积之比等于对应边之比；【详解】∵ AD 是△ABC 的角平分线，∴ 设△ABD 的边AB 上的高与△ACD 的边AC 的高分别为1h ，2h ，∴ 1h =2h ，∴△ABD 与△ACD 的面积之比=AB ：AC=8：6=4：3，故答案为：4：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键；19．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交 解析：18；【分析】过点P作MN⊥AD，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．【详解】过点P作MN⊥AD∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E ∴AP⊥BP，PN⊥B C∴PM=PE=9，PE=PN=9∴MN=9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．20．4【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC可得出答案【详解】解：作DE⊥AB于E∵AD平分∠CAB且DC⊥ACDE⊥AB∴DE=DC∵S△ABD=20cm2AB=10cm∴•AB•DE=2解析：4【分析】由角平分线的性质可知D到AB的距离等于DC，可得出答案．【详解】解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵S△ABD=20cm2，AB=10cm，∴1•AB•DE=20，2∴DE=4cm，∴DC=DE=4cm故答案为：4．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题21．（1）∠BCF＝∠CAD；（2）AD＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）由余角的性质可求解；（2）过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，由“ASA”可证△ACD≌△CBG，可得CD＝BG，AD＝CG，由“SAS”可证△BDF≌△BGF，可得DF＝GF，可得结论．【详解】解：（1）∠BCF＝∠CAD，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°＝∠ADC+∠BCF，∴∠CAD＝∠BCF；（2）如图所示：猜想：AD＝CF+DF，理由如下：过点B作BG∥AC交CF的延长线于G，则∠ACB+∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠ACD＝90°，在△ACD和△CBG中，∵CAD BCF AC BCACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACD≌△CBG（ASA），∴CD＝BG，AD＝CG，∵D是BC的中点，∴CD＝BG＝BD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB，∴∠CBA＝45°，∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，∴∠FBG ＝∠FBD ，在△BDF 和△BGF 中，BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△BGF （SAS ），∴DF ＝GF ，∵AD ＝CG ＝CF +FG ，∴AD ＝CF +DF ．【点睛】本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先画一条射线ON ，以∠α的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交∠α的两个边于两个点，这两个点的距离记为a ，接着以点O 为圆心，同样的长度为半径画弧，交ON 于一个点，以这个点为圆心，a 为半径画弧，与刚刚画的弧有一个交点，连接这个点和点O ，得到射线OM ，即可得到∠MON ＝∠α；（2）以点O 为圆心，m 为半径画弧，交OM 于点A ，以点O 为圆心，n 为半径画弧，交ON 于点B ；（3）连接AB ，线段AB 所在的直线即直线AB ．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，（3）如图所示，【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握作已知角度的方法，截取线段和画直线的方法． 23．（1）图形见解析，60；（2）144︒【分析】（1）根据尺规作图，以点O 为圆心，任意长度为半径画弧，交角的两边于C 、D ，然后再分别以C 、D 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧；即可得到点M ，连接OM ，BOP ∠的角平分线同理可得，由已知条件120AOB ∠=︒，然后根据角平分线的性质即可求得MON ∠的度数；（2）根据题目已知条件可知120POB α∠=-︒，根据角平分线的性质可知2AOM POM α∠=∠=，112022PON BON POB α-∠=∠=∠=，再根据 4BOM BON ∠=∠，120AOB ∠=︒即可求得α的值．【详解】（1）根据尺规作图，首先以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交AOP ∠两边于C 、D ，然后以C 为圆心，大于CD/2长度为半径用圆规画圆弧，接着以D 为圆心，同以上步骤一样的长度为半径用圆规画圆弧，最后两圆弧交于M 点，连接顶点O 和M ，OM 即为角平分线．BOP ∠的角平分线同理可得；∵OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠， ∴12POM AOM AOP ∠=∠=∠， 12BON PON BOP ∠=∠=∠， ∵AOB AOP BOP ∠=∠+∠，∵MON POM PON ∠=∠+∠， ∴11()6022MON AOP BOP AOB ∠=∠+∠=∠=︒；（2）∵AOP α∠=，120AOB ∠=︒，OM 平分AOP ∠，ON 平分BOP ∠， ∴120POB α∠=-︒，2AOM POM α∠=∠=，112022PON BON POB α-∠=∠=∠=， ∵4BOM BON ∠=∠，∴)12021204(2αα+=-︒，解得：144．【点睛】 本题考查了尺规作图、角平分线的性质，解题的关键是找准等量关系列出方程． 24．见解析【分析】过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，根据角平分线性质定理可得PE ＝PF ，再由HL 可证Rt △MEP ≌Rt △NFP ，进而证得∠PME ＝∠PNF ，从而证得∠BMP ＋∠BNP ＝180°．【详解】证明：如图所示，过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，∴∠MEP ＝∠NFP ＝90°．∵BP 平分∠ABC ，∴PE ＝PF ．在Rt △MEP 与Rt △NFP 中，PE PF PM PN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △MEP ≌Rt △NFP （HL ）．∴∠PME ＝∠PNF ．∵∠BMP ＋∠PME ＝180°，∴∠BMP ＋∠BNP ＝180°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．25．见解析【分析】求出∠CAD ＝∠EBC ，∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝BC ，证出△BCE ≌△ACD ，求出CE ＝CD ，∠ECM ＝∠DCM ，证△ECM ≌△DCM ，推出DM ＝ME ，即可得出答案．【详解】∵AC 、BF 是高，∴∠BCE ＝∠ACD ＝∠AFE ＝90°，∵∠AEF ＝∠BEC ，∠CAD ＋∠AFE ＋∠AEF ＝180°，∠EBC ＋∠BCE ＋∠BEC ＝180°， ∴∠DAC ＝∠EBC ，∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BAC ＝45°＝∠ABC ，∴BC ＝AC ，在△BCE 和△ACD 中BCE ACD BC ACEBC DAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCE ≌△ACD （ASA ），∴BE ＝AD ．∵CM ∥AB ，∴∠MCE ＝∠BAC ＝45°，∵∠ACD ＝90°，∴∠MCD ＝45°＝∠MCE ，∵△BCE ≌△ACD ，∴CE ＝CD ，在△CEM 和△CDM 中CE CD ECM DCM CM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CEM ≌△CDM （SAS ），∴ME ＝MD ，∴BE ＝AD ＝AM ＋DM ＝AM ＋ME ，即BE ＝AM ＋EM ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的内角和定理，垂直定义，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．26．（1）BEF，C，CEF，CD；（2）证明见解析；（3）∠E＝2∠F【分析】（1）过点E，作EF∥AB，根据内错角性质即可得出∠B＝∠BEF，利用等量代换即可证出∠C＝∠CEF，进而得出EF∥CD．（2）如图3，过点N作NG∥AB，交BM于点G，可以知道NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，进而得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），∴∠C＝∠CEF（等式性质），∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；故答案为：BEF，C，CEF，CD；（2）如图3所示，过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，∵∠BMN是△BCM的一个外角，∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，∵CN平分∠BCD，∴∠BCM＝∠NCD，∴∠CBM＝∠ABN．（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．【点睛】本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．。
人教版 初中数学八年级上册 12.2全等三角形的判定 同步练习(含答案)
人教版初中数学八年级上册12.2全等三角形的判定同步练习（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，AD＝AE，若利用“SAS”证明△ABE△△ACD，则需要添加的条件是()A．AB＝ACB．△B＝△CC．△AEB＝△ADCD．△A＝△B2. 下列三角形中全等的是()A．△△ B．△△ C．△△ D．△△3. 如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE ＝AB；(2)在DE的同旁画△HDE＝△A，△GED＝△B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是()A．ASA B．SASC．SSS D．AAS4. 如图所示，△C＝△D＝90°，若要用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则可添加的条件是()A．AC＝AD B．AB＝ABC．△ABC＝△ABD D．△BAC＝△BAD5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB△ED，AC△FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC△△DEF的是()A．AB＝DE B．AC＝DFC．△A＝△D D．BF＝EC6. 如图所示，P是△BAC内一点，且点P到AB，AC的距离PE，PF相等，则△PEA△△PF A的依据是()A．HL B．ASA C．SSS D．SAS7. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，△C＝△F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC△Rt△DEF的是()A．AC＝DF，△B＝△E B．△A＝△D，△B＝△EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，△A＝△D8. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，且左边的滑梯与地面的夹角△ABC＝35°，则右边的滑梯与地面的夹角△DFE等于()A．60° B．55° C．65° D．35°二、填空题（本大题共4道小题）9. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH△△CEB.10. 如图，在△ABC中，AD△BC于点D，要使△ABD△△ACD，若根据“HL”判定，还需要添加条件：____________．11. 如图，已知AD＝BC，AB＝CD，若△C＝40°，则△A＝________°.12. 如图K－10－10，CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，AC与DE相交于点F，ED 与AB相交于点G.若△ACD＝40°，则△AGD＝________°.三、解答题（本大题共2道小题）13. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求证：AE＝FB.14. 如图，C是线段BD的中点，AB＝EC，△B＝△ECD.求证：△ABC△△ECD.人教版初中数学八年级上册12.2全等三角形的判定同步练习-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】A2. 【答案】A[解析] △△符合证明三角形全等的判定方法“SAS”．△△中相等的角所对的边不相等，所以不可能全等．故选A.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】C[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；选项C中添加△A＝△D不能判定△ABC△△DEF，故本选项符合题意；选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．故选C.6. 【答案】A7. 【答案】B[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC△Rt△DEF，选项C 可由“HL”判定Rt△ABC△Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC△Rt△DEF.8. 【答案】B [解析] 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，⎩⎨⎧BC ＝EF ，AC ＝DF ，△Rt△ABC△Rt△DEF(HL)． △△DEF ＝△ABC ＝35°.△△DFE ＝90°－35°＝55°.二、填空题（本大题共4道小题）9. 【答案】AH ＝CB (符合要求即可)【解析】∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 、E ，∴∠BEC ＝∠AEC ＝90°，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°－∠AHE ，在Rt △HDC 中，∠ECB ＝90°－∠DHC ，∵∠AHE ＝∠DHC ，∴∠EAH ＝∠ECB ，∴根据AAS 添加AH ＝CB 或EH ＝EB ；根据ASA 添加AE ＝CE.可证△AEH ≌△CEB.故答案为：AH ＝CB 或EH ＝EB 或AE ＝CE 均可．10. 【答案】AB ＝AC 11. 【答案】40[解析] 如图，连接DB.在△ADB 和△CBD 中，⎩⎨⎧AD ＝CB ，AB ＝CD ，DB ＝BD ，△△ADB△△CBD(SSS)． △△A ＝△C ＝40°.12. 【答案】40[解析] 在△ABC 和△DEC 中，⎩⎨⎧CA ＝CD ，AB ＝DE ，BC ＝EC ，△△ABC△△DEC(SSS)． △△A ＝△D.又△△AFG ＝△DFC ，△△AGD ＝△ACD ＝40°.三、解答题（本大题共2道小题）13. 【答案】证明：∵CE ∥DF ，∴∠ACE ＝∠FDB ，(2分)在△ACE 和△FDB 中，⎩⎨⎧EC ＝BD∠ACE ＝∠FDB AC ＝FD，∴△ACE ≌△FDB(SAS )，(5分) ∴AE ＝FB.(7分)14. 【答案】证明：△C 是线段BD 的中点，△BC ＝CD.在△ABC 与△ECD 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，△B ＝△ECD ，AB ＝EC ，△△ABC△△ECD.。
初中数学八年级三角形及三角形全等专题练习题(附含答案)
初中数学八年级三角形及三角形全等专题练习题一、选择题1.如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE 的度数为何？（）A．115B．120C．125D．1302.如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中正确的是（）①∠AFB∠∠AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④3.如图，平分，于，于，与的交点为，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4.如图，，且.、是上两点，，.若，，，则的长为（）A．B．C．D．5.用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS6.下列判断正确的是（）A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等且有一角为30°的两个等腰三角形全等(8)C．有一角和一边相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等7.如图所示，AB∠EF∠CD，∠ABC=90°，AB=DC，那么图中的全等三角形有（）A．4对B．3对C．2对D．1对8.如图，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE∠AB，垂足为E.若AB ＝10 cm，AC＝6 cm，则BE的长度为()A．10 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm9.已知点A（a，1）与点B（5，b）关于y轴对称，则实数a，b的值分别是（）A．5，1B．﹣5，1C．5，﹣1D．﹣5，﹣1 10.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣311.如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（）A．①④B．②④C．①③D．②③12.如图，已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC长的最小值是（）A．1B．3C．3D．13.已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对14.一个正方形周长与一个等腰角形的周长相等，若等腰三形的两边长为和，则这个正方形的对角线长为（）A．B．C．D．15.如图所示，∠ABC中AC边上的高线是（）A．线段DA B．线段BA C．线段BD D．线段BC二、综合题）16.（1）如图1，∠ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∠BC 分别交AB、AC于E、F．① 求证：OE=BE；② 若∠ABC的周长是25，BC=9，试求出∠AEF的周长；（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，试探求∠BAC与∠PAC的数量关系式.17如图-1，的边在直线上，，且；的边也在直线上，边与边重合，且．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与关系；（2）将沿直线向左平移到图-2的位置时，交于点，连结，．猜想并写出与的关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，．你认为（2）中所猜想的与的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．18、如图1，在∠ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，点D是∠ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，AE=AB．（1）求∠ADE的度数；（2）求证：DE=AD+DC；参考答案一、选择题1、【答案】C∵三角形ACD为正三角形，∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∵AB=DE，BC=AE，∴△ABC≌△DEA，∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，故选C．2、【答案】A∵∠EAF=∠BAC，∴∠BAF=∠CAE；在△AFB与△AEC中，，∴△AFB≌△AEC（SAS），∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，∴A、F、B、C四点共圆，∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；故①、②、③正确，④错误．故选A.．3、【答案】C∵平分∴∠BOC=∠AOC又∵，∴∠AEO=∠BDO=90°又∵OC=OC∴∴OD=OE，CD=CE又∵∠BOD=∠AOE∴∴OA=OB，∠A=∠B∴又∵∠ACD=∠BCE∴故答案为C.4、【答案】D∵AB⊥CD,CE⊥AD,∴∠1=∠2,又∵∠3=∠4,∴180°-∠1-∠4=180°-∠2-∠3,即∠A=∠C.∵BF⊥AD,∴∠CED=∠BFD=90°,∵AB=CD,∴△ABF≌△CDE,∴AF=CE=a,ED=BF=b,又∵EF=c,∴AD=a+b-c.故选:D.5、【答案】D；6、【答案】D；7、【答案】B解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC=90°，∴∠DCB=∠EFB=∠ABC=90°；在△ABC与△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴∠ECB=∠EBC，∴EB=EC，BF=CF；同理可证△EFB≌EFC、△ABE≌△DCE；∴图中的全等三角形有3对，故选B．8、【答案】C9、【答案】B∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于y轴对称，∴a=-5，b=1，故选B．10、【答案】B解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2．故选：B．11、【答案】D解：①∵线段在边上运动，，∴,∴与不可能相等，则①错误；②设，∵，，∴，即，假设与相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，从而得到，解得或（经检验是原方程的根），又，∴解得的或符合题意，即与可能相似，则②正确；③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，设，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A =60°，∴,则，，∴四边形面积为：,又∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为：，即四边形面积最大值为，则③正确；④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，∴D1Q′=DQ′=D2P′，，且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，∴，在Rt△AD2C中，由勾股定理可得，，∴四边形P′CDQ′的周长为：，则④错误，所以可得②③正确，故选：D．12、【答案】B解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接OE，∵△ABC是等边三角形，∴CE=AC×sin60°=，AE=BE，∵∠AOB=90°，∴EO AB，∴EC-OE≥OC，∴当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝3故选B．13、【答案】B解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形；②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．所以，三角形的周长为20．故选：B．14、【答案】A解：①是腰，是底边时，两边的和小于第三边，不能构成三角形，舍去；②是底边和是腰时，等腰三角形的周长是，因而可得正方形的边长是，故这个正方形的对角线长是；故选：A．15、【答案】C由图可知，中AC边上的高线是BD.故选：C.二、综合题16、（1）∠BO平分∠ABC，∠∠EBO=∠OBC，∠EF∠BC，∠∠EDB=∠OBC，∠∠EOB=∠EBO，∠OE=BE （2）∠AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16(3)延长BA，证明P点在∠BAC外角的角平分线上，从而得到2∠PAC+∠BAC=180°17、解：（1）AB=AP；AB∠AP；（2）BQ=AP；BQ∠AP．证明：①由已知，得EF=FP，EF∠FP，∠∠EPF=45°．又∠AC∠BC，∠∠CQP=∠CPQ=45°．∠CQ=CP．在Rt∠BCQ和Rt∠ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠BQ=AP．②如图，延长BQ交AP于点M．∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠∠1=∠2．在Rt∠BCQ中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，∠∠2+∠4=∠1+∠3=90°．∠∠QMA=90°．∠BQ∠AP；（3）成立．证明：①如图，∠∠EPF=45°，∠∠CPQ=45°．又∠AC∠BC，∠∠CQP=∠CPQ=45°．∠CQ=CP．在Rt∠BCQ和Rt∠ACP中，BC=AC，∠BCQ=∠ACP=90°，CQ=CP，∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP．∠BQ=AP．②如图，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ．∠Rt∠BCQ∠Rt∠ACP，∠∠BQC=∠APC．在Rt∠BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90°，∠∠APC+∠PBN=90°．∠∠PNB=90°．∠QB∠AP．18、【答案】解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB==75°，∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=45°，∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=15°，∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，∵∠ADE=60°，DM=AD，∴△ADM是等边三角形，∴∠ADB=∠AME=120°∵AE=AB，∴∠ABD=∠E，在△ABD和△AEM中，，∴△ABD≌△AEM（AAS），∴BD=ME，∵BD=CD，∴CD=ME，∵DE=DM+ME，∴DE=AD+CD；-。
八年级上册数学全等三角形模型试卷
八年级上册数学全等三角形模型试卷全文共四篇示例，供您参考第一篇示例：作为八年级学生，我们涉及到了很多数学知识，其中数学中的全等三角形是一个重要的概念。
全等三角形对我们理解几何学具有重要意义，通过学习全等三角形的性质、判定定理以及应用等，可以帮助我们更好地理解几何图形的特性、推理和证明方法等。
为了更好地检验学生对全等三角形的掌握程度，我们设计了一份八年级上册数学全等三角形模型试卷。
第一部分：选择题1. 下列哪种情况不可能证明两个三角形全等：A. 两个角相等，对应的两边相等B. 两边相等，对应的两角相等C. 两个角和一个边分别等于另一个三角形对应的两个角和一个边D. 两个边和一个角分别等于另一个三角形对应的两个边和一个角2. 在△ABC中，AB=7cm，BC=9cm，AC=5cm，下列判断中正确的是：A. △ABC是个直角三角形B. △ABC是个等边三角形C. △ABC是个等腰三角形D. △ABC是个不等边三角形3. 若三角形ABC中，∠A=∠B，则该三角形可能是：A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 一般三角形4. 在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，则根据何种判定定理，可知△ABC全等于△DEF：A. LL判定定理B. LAL判定定理C. HL判定定理D. SSS判定定理5. 若两个三角形的三个边分别相等，则这两个三角形一定是：A. 全等的B. 相似的C. 错误的D. 直角三角形第二部分：计算题1. 已知△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，AB=8cm，BC=6cm，求AC的长度。
2. 在△PQR中，∠P=50°，∠Q=60°，PR=10cm，QR=8cm，求PQ的长度。
3. 甲、乙两人分别测得△ABC的三条边分别为AB=13cm，BC=5cm，AC=12cm；△DEF的三条边分别为DE=5cm，EF=12cm，DF=13cm。
人教版初中数学八年级上册第12章《全等三角形》综合测试题
人教版初中数学八年级上册第12章《全等三角形》综合测试题一、选择题（每小题3分，共36分）1．如图1所示，△ABC ≌△AEF ，AC 与AF 是对应边，那么∠EAF 等于（ ）．D A ．∠ACB B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 图1 图2 图32．如图2所示，已知AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠B ＝23°，则∠D 为（ ）．B A ．67° B ．46° C ．23° D ．无法确定 3．下列说法正确的是（ ）．CA ．两边及一角对应相等的两个三角形全等B ．两角及一边对应相等的两个三角形全等C ．面积相等的两个三角形全等D ．对应角相等的两个三角形全等4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，若证△ABC ≌△DEF ，还要补充一个条件，错误的补充方法是（ ）．CA ．∠B ＝∠E B ．∠C ＝∠F C ．BC ＝EFD ．AC ＝DF 5．如图3所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DC ＝DE ，DE 恰好平分∠ADB ，则∠B 的度数为（ ）．AA ．30°B ．60°C ．45°D ．20°6．数学课上，老师要求同学们只选择一种工具来判断已经给出的两个三角形是否全等，同学们有以下几种方案：甲：直尺（带刻度）；乙：圆规；丙：量角器．你认为以上方案中不可行的是（ ）．CA ．甲B ．乙C ．丙D ．均不可以7．如图4所示，有三条道路围成Rt △ABC ，其中BC ＝1000m ，一个人从B 处出发沿BC行走了800m ，到达D 处，AD 恰为∠CAB 的平分线，则此时这个人到AB 的最短距离为（ ）．C图4 图5A ．1000mB ．800mC ．200mD ．1800m8．如图5所示是跷跷板的示意图，支柱OC 与地面垂直，点O 是横板AB 的中点，AB 可以绕着点O 上下转动，当A 端落地时，∠OAC ＝20°，横板上下可转动的最大角度（即∠A ′OA ）是（ ）．BA ．80°B ．60°C ．40°D ．20°9．如图6，已知两个全等直角三角形（△ACB 和△ACD ）的直角顶点及一条直角边重合，将△ACB 绕点C 顺时针方向旋转到△A ′CB ′的位置，A ′C 交直线AD 于点E ，A ′B ′分别交直线AD ，AC 于点F ，G ．则旋转后的图中，全等三角形共有（ ）．C A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对图6 图710．在如图7所示，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是角平分线，DE 、DF 分别是高，点G 是AD 上任意一点．下列4个结论中：①BD ＝CD ；②DE ＝DF ；③∠BDE ＝∠CDF ；④BG ＝CG ．其中正确的有（ ）DA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．AD 、BE 是锐角△ABC 的高，AD 、BE 相交于F ，若BF=AC ，BC=7，CD=2，则AF 是的长度是（ ）BA ．2B ．3C ．4D ．5ACBB 'O A '12、如图5，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分∠ABC ，过点C 作CF ⊥BF 于F 点，过A 作AD ⊥BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：①BE ＝2CF ；②AD ＝DF ；③AD ＋DE =12BE ；④AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（ ） A A ．只有①②③ B ．只有②③④ C ．只有①②④ D ．只有①④二、填空题（每小题3分，共12分）13、如图8所示，△ABC ≌△AED ，若AB ＝AE ，∠1＝27°，则∠2____．27°图8 图914、如图9所示，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠α＝_____．60° 15、如图14所示，△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，CA ＝CB ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，若AB ＝10cm ，则△BDE 的周长为___________cm ．1016、如图15所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为（0，6），点B 的坐标为（8，0），过点B 作BF 垂直于x 轴，如果点C ，D 分别在OB ，BF 上运动，并且始终保持CD ＝AB ，且点D 在第一象限，那么，当点D 的坐标为_______时，△ABC 与△DCE 全等．（8，6），（8，8），（8，-6）三、解答题（共9题，共72分）17（6分）如图17所示，已知AD ＝AE ，AB ＝AC ．求证：∠B ＝∠C ．17．证明：在△AEB 与△ADC 中，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△AEB ≌△ADC ，∴∠B ＝∠C ．18．（7分）如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，AF ＝BE ，AC ＝BD ，求证：AC ∥BD ．18、Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ），∠A=∠B ，∴AC ∥BD 。
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11.1 全等三角形 水平测试
◆夯实基础
一、耐心选一选，你会开心:（每题6分，共30分）
1．下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（ ） Ａ．①②③④ Ｂ．①③④ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 2. 如果D 是ABC △中BC 边上一点，并且ADB ADC △≌△，则ABC △是（ ） Ａ．锐角三角形
Ｂ．钝角三角形
Ｃ．直角三角形
Ｄ．等腰三角形
3．一个正方形的侧面展开图有（ ）个全等的正方形.
A.2个
B.3个
C.4个
D.6个
4． 对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 5. 下列说法正确的是（
）
Ａ．若Rt ABC △≌Rt DEF △，且ABC △的两条直角边分别是水平和竖直状态，那
么DEF △的两条直角边也一定分别是水平和竖直状态
Ｂ．如果ABC DEF △≌△，DEF GHK △≌△，那么ABC GHK △≌△ Ｃ．有一条公共边，而且公共边在每个三角形中都是腰的两个等腰三角形一定全等 Ｄ．有一条相等的边，而且相等的边在每个三角形中都是底边的两个等腰三角形全等 二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）
6．如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌ ，AB 的对应边是 ，
BC 的对应边是 ，∠BCA 的对应角是 ．
第6题 第7题
7．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是 ，∠ABC 的对应角是 ．
8. 如图，AB 、DC 相交于点O ，△AOB ≌△DOC ，A 、D 为对应顶点，则这两个三角形中，相等的
A
B O
C D
边是____________________，相等的角是____________________．
9. 已知
ABC MNP
△≌△
，48
A
∠
=o，62
N
∠=o，则
B
∠=，C
∠，M
∠和P
∠的度数分别
为
，
，
．
10. 请在下图中把正方形分成2个、4个、8个全等的图形：
三、细心做一做，你会成功（共40分）
11. 找出下列图中的全等图形．
12．找出下列图形中的全等图形.
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）（10）（11）（12）13.如图，AB=DC，AC=DB，求证AB∥CD．
◆综合创新
14. 如图，点A B C D ，，，在一条直线上，△ABF ≌△DCE ，你能得出哪些结论?（请写出三个以上的结论）
15. 把一张方格纸贴在纸板上．按图1所示画上正方形，然后沿图示的直线切成5小块．当你照图2的样子把这些拼成正方形的时候中间居然出现了一个洞！
我们发现，图1的正方形是由49个小正方形组成的．图2中拼成的正方形却只有48个小正方形．哪一个小正方形没有了？它到哪去了？
A
B
C
F
D
1 2
3
4
5
1
4 5 2
3
（1）
（2）
中考链接
16．如图，Rt Rt ABC DEF △≌△，则E ∠的度数为（ ） Ａ．30o Ｂ．45o
Ｃ．60o Ｄ．90o 17
．
如
图
，
若
OAD OBC
△≌△，
且6520O C ==o o ，∠∠ ，则OAD =∠ ．
18．右图是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有 对．
A
B
C
D
E
O
B
A
C D
F
E
60o
？
参考答案
夯实基础
1．A
2．Ｄ
3．C
4．A．
5．B
6．△ADC，AD，AC，∠DCA
7．EF，∠DFE
8.AB=DC、AO=DO、OB=OC，∠AOB=∠DOC、∠A=∠D、∠B=∠C．
9.62o；70o，48o，70o
10.分法可分别如下所示：
11．根据全等形的定义得全等形有天鹅、荷花．
12．（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形
13.分析：要证AB∥CD，只需∠ABC=∠DCB，要证∠ABC=∠DCB，只需△ABC≌△DCB．
证明：∵ 在△ABC和△DCB中，
()
()
() AB DC
AC DB
BC CB
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
已知
已知
公共边
，
，
，
，
∴ △ABC≌△DCB（SSS）．
∴ ∠ABC=∠DCB．
∴ AB∥CD．
综合创新
14．由△ABF≌△,
DCE可得到
BAF CDE AFB DEC ABF DCE AB DC BF CE AF DE ∠=∠∠=∠∠=∠===
，，，，，；
AF ED AC BD BF CE
=
∥，，∥，△AEC≌△DFB等．
2个8个
15．5小块图形中最大的两块对换了位置之后，被那条对角线切开的每个小正方形都变得高比宽大一点点．这意味着这个大正方形不再是严格的正方形．它的高增加了，从而使得面积增加，所增加的面积恰好等于那个方洞的面积．
中考链接16．Ｃ17．95o 18．2 1
7
1
7。