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数学与文化 高斯消元法
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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湘教版七年级数学下册全册PPT 课件目录
0002页 0032页 0050页 0068页 0097页 0118页 0164页 0192页 0234页 0268页 0313页 0353页 0355页 0386页 0407页
第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.3 公式法 4.1 平面上两条直线的位置关系 4.3 平行线的性质 4.5 垂线 第5章 轴对称与旋转 5.2 旋转 IT教室 用计算机作几何变换图形 综合与实践 长方体包装盒的设计与制作 6.1 平均数、中位数、众数 IT教室 用Excel求平均数、中位数、众数和方差
湘教版七年级数学下册教学课件(XJ) 第3章 因式分解 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
首2 ±2×首 +尾2 ×尾
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
=(a ± b)² (首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去) 这两个数的积的2倍，等于这 两个数的和(或差)的平方.
对照 a²±2ab+b²=(a±b)²，填空： 1. x²+4x+4= ( )²+2x·( )·( )+x( )²=2( 2 )² x + 2 2.m²-6m+9=( )²-m2·( ) ·( m)+( )²=3( 3)² m - 3 3.a²+4ab+4b²=( )²+2a·( ) ·( )a+( 2)b²=( 2b)² a + 2b
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式 等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
当堂练习
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
B
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
B
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________． 1 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________ ．
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2.2 乘法公式
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第3章 因式分解
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3.1 多项式的因式分解
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3.2 提公因式法
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3.3 公式法
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第4章 相交线与平行线
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4.1 平面上两条直线的位置关系
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4.2 平移
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1.3 二元一次方程组的应用
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数学与文化 高斯消元法
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第2章 整式的乘法
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2.1 整式的乘法
第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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0002页 0060页 0080页 0103页 0133页 0186页 0228页 0289页 0291页 0320页 0360页 0396页 0398页 0400页 0440页
第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
2.2 乘法公式
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第3章 因式分解
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3.1 多项式的因式分解
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3.2 提公因式法
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3.3 公式法
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第4章 相交线与平行线
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4.1 平面上两条直线的位置关系
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4.2 平移
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1.3 二元一次方程组的应用
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数学与文化 高斯消元法
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第2章 整式的乘法
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2.1 整式的乘法
第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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0002页 0060页 0080页 0103页 0133页 0186页 0228页 0289页 0291页 0320页 0360页 0396页 0398页 0400页 0440页
第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
湘教版七年级下册数学课件1.2.2 第1课时 用加减法解较简单系数的方程组
像上面这种解二元一次方程组的方法,叫做加减 消元法,简称加减法.
例3 解方程组：
①
②
解： ②×4得：
4x-4y=16③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
所以原方程组的解为
方法总结
同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时， 如果其中一未知数成倍数关系时，利用等式的性 质，使得未知数的系数 相等或互为相反数 .呢？
3 x + 5 y = 21 ①
2 x – 5 y = -11 ②
把②变形得：x
5y
11 2
代入①，不就消去x了！
小 明
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3 x + 5 y = 21 ① 2 x – 5 y = -11 ② 把②变形得
5y 2x 11
21 + (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
3x+5y +2x － 5y＝10
5x=10
3x 5y 21 ① 解方程组2x 5y 11 ②
解：由①+②得: 5x=10 x=2.
将x=2代入①得：6+5y=21 y=3 x=2
所以原方程组的解是 y=3
你学会了吗？
典例精析
基本思路“消元”
解二元一次 方程组
加减法解二元一次 方程组的一般步骤
解方程组 3x+2y=23 ① 5x+2y=33 ②
解：由②－①得: 2x=10 x=5.
将x=5代入①得：15+2y=23 y=4. x=5
所以原方程组的解是 y=4
与前面的代入法 相比，是不是更 加简单了！
例3 解方程组：
①
②
解： ②×4得：
4x-4y=16③
①＋③得：7x = 35，
解得：x = 5.
把x = 5代入②得，y = 1.
所以原方程组的解为
方法总结
同一未知数的系数 不相等也不互为相反数 时， 如果其中一未知数成倍数关系时，利用等式的性 质，使得未知数的系数 相等或互为相反数 .呢？
3 x + 5 y = 21 ①
2 x – 5 y = -11 ②
把②变形得：x
5y
11 2
代入①，不就消去x了！
小 明
问题：怎样解下面的二元一次方程组呢？ 3 x + 5 y = 21 ① 2 x – 5 y = -11 ② 把②变形得
5y 2x 11
21 + (－11)
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
3x+5y +2x － 5y＝10
5x=10
3x 5y 21 ① 解方程组2x 5y 11 ②
解：由①+②得: 5x=10 x=2.
将x=2代入①得：6+5y=21 y=3 x=2
所以原方程组的解是 y=3
你学会了吗？
典例精析
基本思路“消元”
解二元一次 方程组
加减法解二元一次 方程组的一般步骤
解方程组 3x+2y=23 ① 5x+2y=33 ②
解：由②－①得: 2x=10 x=5.
将x=5代入①得：15+2y=23 y=4. x=5
所以原方程组的解是 y=4
与前面的代入法 相比，是不是更 加简单了！
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0002页 0037页 0046页 0062页 0148页 0187页 0208页 0227页 0245页 0277页 0315页 0346页 0348页 0378页
第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 3.1 多项式的因式分解 3.3 公式法 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 版七年级数学下册全套精美课 件
1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 3.1 多项式的因式分解 3.3 公式法 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 版七年级数学下册全套精美课 件
1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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最新【湘教版】七年级下册数学：4.5-4.6优秀ppt课件
因此，在平面内，过一点P一定有一条直线与直线 l 垂直．
(1)与同桌讨论：平面内过一点P能够有两条或两条以上的
直线与直线l 垂直吗？
不能，有且只能有一条.
(2) 如果直线PC与PD都与l垂直，那么PC与PD的位置关系
怎样？ 重合
P
l
DC
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
P
如图，设PO 垂直于直线l ，O为垂足， 线段PO 叫做点P到直线l 的垂线段．
解:因为 EO⊥CD，
A
O
所以∠EOD=90°，
C
又∠BOE+∠BOD＝∠EOD＝90°，
所以∠BOD＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°.
又 ∠AOC＝∠BOD ，
所以 ∠AOC＝30°.
D B E
2.如图，AB⊥AD,CD⊥AD，∠B＝56°，求∠C.
解: 因为AB⊥AD,
D
C
CD⊥AD,
生
活
中
的
垂
直
现
晚霞如诗
象
五亭雄姿
天使之心
观察图形中的相交直线有何特点？ 十字路口的两条道路
观察图形中的相交直线有何特点？ 方格本的横线和竖线
观察图形中的相交直线有何特点？ 铅垂线和水平线
垂线定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时（易知其余三个角也是直角），这两条直线叫做互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 做垂足．
A
C
l1
通过上面的操作，启发你 猜想出什么结论？
B
D
l2
两条平行线的所有公垂线段都相等．
两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距 离．
(1)与同桌讨论：平面内过一点P能够有两条或两条以上的
直线与直线l 垂直吗？
不能，有且只能有一条.
(2) 如果直线PC与PD都与l垂直，那么PC与PD的位置关系
怎样？ 重合
P
l
DC
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
P
如图，设PO 垂直于直线l ，O为垂足， 线段PO 叫做点P到直线l 的垂线段．
解:因为 EO⊥CD，
A
O
所以∠EOD=90°，
C
又∠BOE+∠BOD＝∠EOD＝90°，
所以∠BOD＝90°－∠BOE＝90°－60°＝30°.
又 ∠AOC＝∠BOD ，
所以 ∠AOC＝30°.
D B E
2.如图，AB⊥AD,CD⊥AD，∠B＝56°，求∠C.
解: 因为AB⊥AD,
D
C
CD⊥AD,
生
活
中
的
垂
直
现
晚霞如诗
象
五亭雄姿
天使之心
观察图形中的相交直线有何特点？ 十字路口的两条道路
观察图形中的相交直线有何特点？ 方格本的横线和竖线
观察图形中的相交直线有何特点？ 铅垂线和水平线
垂线定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是 直角时（易知其余三个角也是直角），这两条直线叫做互相 垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫 做垂足．
A
C
l1
通过上面的操作，启发你 猜想出什么结论？
B
D
l2
两条平行线的所有公垂线段都相等．
两条平行线的公垂线段的长度叫做两条平行线间的距 离．
湘教版七年级数学下册课件-解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题
出未知数的值； (5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
例2 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练
某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的
平均速度为10 3
m/s
，自行车路段和长跑路段共5
km，共用时15 min．求自行车路段和长跑路段的长度．
分析：本问题涉及的等量关系有： 自行车路段长度+长跑路段长度=总路程， 骑自行车的时间+长跑时间=总时间.
x y
40, 60.
答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价
为60元.
3. 小洪买了80分与60分邮票共17枚，花了12.2元. 试问：80分与60分邮票各买了多少枚？
解：设小洪买80分的邮票共x枚,买60分邮票共y枚，
根据题意有
x
y
17
,
80x60y 1220.
课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
关键：找等量关系
60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
解:设小长方形的长为x, 宽为y, 由题意,得 x+y=60
x=3y 解此方程组得： x =45,
y=15.
当堂练习
1. 一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了
16g. 已知金在水中称，金重减轻
你能根据“上有三十五头, 下有九十四足”列出方程吗？
等量关系：
{ 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94.
x y 35 2x 4y 94
头x 足 2x
然后作答.
例2 某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练
某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的
平均速度为10 3
m/s
，自行车路段和长跑路段共5
km，共用时15 min．求自行车路段和长跑路段的长度．
分析：本问题涉及的等量关系有： 自行车路段长度+长跑路段长度=总路程， 骑自行车的时间+长跑时间=总时间.
x y
40, 60.
答：甲商品原来的单价为40元，乙商品原来的单价
为60元.
3. 小洪买了80分与60分邮票共17枚，花了12.2元. 试问：80分与60分邮票各买了多少枚？
解：设小洪买80分的邮票共x枚,买60分邮票共y枚，
根据题意有
x
y
17
,
80x60y 1220.
课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
关键：找等量关系
60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
解:设小长方形的长为x, 宽为y, 由题意,得 x+y=60
x=3y 解此方程组得： x =45,
y=15.
当堂练习
1. 一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了
16g. 已知金在水中称，金重减轻
你能根据“上有三十五头, 下有九十四足”列出方程吗？
等量关系：
{ 鸡头+兔头=35, 鸡脚+兔脚=94.
x y 35 2x 4y 94
头x 足 2x
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3.下列方程组中是二元一次方程组的是__(_1_)____.
3x-y=0，
5x-y=0，
(1)
(2)
y=2x+1.
3x+z=1.
x=1，
(3) y=4.
x+y=3， (4)
xy+3=1.
x+y=22， (1)
2x+y=40. (2) 满足方程x+y=22且符合实际意义的x，y的值有哪些？
x … 10 11 12 13 14 15 16 17 18 … y … 12 11 10 9 8 7 6 5 4 … 从中你体会到二元一次方程有＿无＿数＿个解. 上表中哪对x,y的值是方程2x+y=40的解？
1.关于二元一次方程3x+2y=11的解的说法正确的是 ( ) A.任何一对有理数都是它的解 B.只有一个解 C.只有两个解 D.无穷多个解 【解析】选D.使3x+2y=11成立的x，y有无数组.
2.（益阳·中考）二元一次方程x-2y=1有无数多个解x 0,
方法一：设胜x场，则负(22-x)场，则 2x+(22-x)=40
题干中有哪些条件？ 你能用方程组把这些条件表示出来吗？
方法二：设胜x场，负y场,则 x+y=22 （1） 2x+y=40 （2）
x+y=22 （1） 2x+y=40 （2） 在未知数的个数和次数上与方程2x+(22-x)=40有什么不 一样？
4
2.已知2x+3y=4，当x=y 时，x，y的值为__5___，当x+y=0时,
x=__-_4__，y=___4___.
3.已知
x 3, y 2
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4.1 平面上两条直线的位置关系
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4.2 平移
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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1.3 二元一次方程组的应用
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数学与文化 高斯消元法
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第2章 整式的乘法
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2.1 整式的乘法
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3.2 提公因式法
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3.3 公式法
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第4章 相交线与平行线
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
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4.1 平面上两条直线的位置关系
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4.2 平移
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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1.2 二元一次方程组的解法
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1.3 二元一次方程组的应用
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数学与文化 高斯消元法
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第2章 整式的乘法
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2.1 整式的乘法
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3.2 提公因式法
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3.3 公式法
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第4章 相交线与平行线
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
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湘教版七年级下册数学精品教学课件 第1章二元一次方程组 解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题
总数 y 35 4y 94
解：设鸡为 x 只，兔为 y 只.则
x + y = 35，
①
2x + 4y = 94. ② ①×2 得 2x + 2y = 70，③
②-③ 得 2y = 24， y = 12.
把 y = 12 代入①，得 x = 23. 原方程组的解是 x = 23，
y = 12.
答：有鸡 23 只，兔 12 只.
6. 一个工厂共 42 名工人，每个工人平均每小时生产圆形 铁片 120 片或长方形铁片 80 片.已知两片圆形铁片与一片 长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何 安排工人的生产，才能使每天生产的铁片正好配套?
解：设生产圆形铁片的工人 x 人，生产长方形铁片的 工人 y 人，根据题意列出方程组得
例3 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现 在有含蛋白质分别为 20％，12％ 的甲乙两种配料．用 这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的 话，它们各需多少千克？ 分析 本问题涉及的等量关系有：
甲配料质量+乙配料质量 = 总质量， 甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量 = 总蛋白质质量.
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
02 横着画，把宽分成两段，则长不变 试着画一画
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
D
FC
等量关系式有几个？
A
E
B 1. 大长方形的长 = 200 m
2. 甲、乙两种作物总产量比 = 3∶4
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
D
如何设未知数呢？ 200 m F C
“上有三十五头”的意思是什么? “下有九十四足”的意思是什么?
湘教版七年级数学下册.2-完全平方公式课件(共36张)
式
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和(或差)的平方，等于它们
的平方和，加上(或减去)它们的积的2
倍。
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+ 2ab + b2
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
=10000 -2+0.0001
=9998.0001
口答
(1) (6a+5b)2 =36a2+60ab+25b2
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(3) (-2m +1)2 =4m2-4m+1
(4) (-2m -1)2 =4m2+4m+1
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(4) (x+2y+3)(x-2y+3)
简单应用 (-a+b)2 =(a-b)2 (-a-b)2 =(a+b)2
1.(-2x-y)2 =(2x+y)2
2.(-2a2+b)2 =(2a2－b)2
小结：
今天，我们学到了什么？
1、完全平方公式： (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
(2) (2a-b+1)(2a+b-1)-(b+1)2
2、先化简，再求值:(其中a=-2,b=4)
[(a 1 b)2 (a 1 b)2 ] (2a2 1 b2 )
1新湘教版初中数学七年级下册精品课件.3 第1课时 解决所列方程组中含“x+y=”形式的实际问题
60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长河宽分别是多少?（单位cm）
解:设小长方形的长为x, 宽为y, 由题意,得 x+y=60
x=3y 解此方程组得： x =45,
y=15.
当堂练习
1. 一块金与银的合金重250g，放在水中称，减轻了
16g.
已知金在水中称，金重减轻 1
总结归纳
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤： (1)审题：弄清题意和题目中的__数_量__关__系__； (2)设元：用____字_母______表示题目中的未知数； (3)列方程组：根据__2 _个等量关系列出方程组； (4)解方程组：利用__代_入__消__元___法或__加__减_消__元__法__解
七年级数学下（XJ） 教学课件
第1章 二元一次方程组
1.3 二元一次方程组的应用
第1课时 解决所列方程组中含“x+y=”形式 的实际问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程 组解决的简单的实际问题.（重点）
2.学会利用二元一次方程组解决行程问题和百分 比问题.（重点、难点）
x y 42， 120x 280y. （以下部分由同学们完成）
课堂小结
一般步骤： 审、设、列、解、验、答
列方程组解 决问题
关键：找等量关系
B
再写出两种作物的总产量
1:2
甲：100x×1
乙：100y×2
总产量= 单位面积产量×面积
则列方程为
100x:200y=3:4
01 竖着画，把长分成两段，则宽不变
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
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第1章 二元一次方程组
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1.1 建立二元一次方程组
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第1章 二元一次方程组 1.2 二元一次方程组的解法 数学与文化 高斯消元法 2.1 整式的乘法 第3章 因式分解 3.2 提公因式法 第4章 相交线与平行线 4.2 平移 4.4 平行线的判定 4.6 两条平行线间的距离 5.1 轴对称 5.3 图形变换的简单应用 数学与文化 建筑学上的几何变换 第6章 数据的分析 6.2 方差
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1.1 建立二元一次方程组
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湘教版2024七年级数学下册2.1 第1课时 平方根和算术平方根 课件
例2 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4，则 a 的值是___2_____．
解析：因为一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4， 所以2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2.
方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有 两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数， 它们的和为 0.
这块正方形画布的边长应取多少？
请你说一说解决问题的思路．
填一填: （1）若正方形画布的面积如下，请填表：
正方形的面积/dm2 1
4 9 16 36
25
正方形的边长/dm 1
3
4
2
6
5
（2）你能指出它们的共同特点吗？
都是已知一个数的平方， 求这个数的问题.
问题 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？
0 的平方根 →（就是 0 本身）
负数的平方根 →（没有）
解：每块正方形地垫的面积是 10.8÷30 = 0.36 (m2). 即边长×边长 = 0.36. 由于 0.62 = 0.36， 因此面积为 0.36 m2 的正方形地垫的边长是 0.6 m.
探究新知
1 平方根
问题引导
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为
25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，
类似地，边长小于 2 的正方形，
它的面积一定小于 4，因此， 比 2 小的正数都不是 4 的平方根.
<>
边长为 2 边长为 4
总结归纳
如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方 根有且只有两个：r 与 -r.
我们把正数 a 的正平方根记作 a ，读作“根号a”；
把正数 a 的负平方根记作 - a，读作“负根号 a”.
2新湘教版初中数学七年级下册精品课件.2.2 第1课时 完全平方公式
(4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1.
课堂小结
法则
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
完全平 方公式
注意
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面）
（1）a+b－c=a+（ b-c ） （2）a－b+c=a－（ b-c ） （3）a－b－c=a－（ b+c ）
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
（4）a+b+c=a－（-b-c ）
2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y， ∴m＋1＝±60， ∴m＝59或－61.
方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的 符号，避免漏解．
当堂练习
1．在等号右边的括号内填上适当的项：
七年级数学下（XJ） 教学课件
第2章 整式的乘法
2.2 乘法公式
2.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; （重点） 2.会运用公式进行运算；(难点)
湘教版七年级下册数学精品教学课件 第6章 数据的分析 平均数 第1课时 平均数
乙
85，84，89，79，81，91，79，76，82，84
丙
83，85，87，78，80，75，82，83，81，86
哪个品种较好？
分析平均数可以作为一组数据的代表值， 它刻画了这组数据的平均水平.当我们要比 较棉花的品种时，可以计算出这些棉花结 桃数的平均数，再通过平均数来进行比较.
解：设甲、乙、丙三个品种的平均结桃数分别为
数学上，我们常借助平均数、中位数、众数、 方差等来对数据进行分析和刻画.
合作探究
问题1：2017年重庆7月中旬一周的每天最高气温如下：
星期
一二三四五六日
气温/ °C 38 36 38 36 38 36 37
你能快速计算这一周的平均最高气温吗？
38 36 38 36 38 36 37 =37
能力提升
1.已知:x1,x2,x3,…, x10的平均数是a，x11,x12,x13,… ,x30 的平均数是b，则x1,x2,x3,… ,x30的平均数（ D ） A.(a+b) B.(a+b) C.(a+3b)/3 D.(a+2b)/3
2.若x1,x2,…, xn的平均数为a， (1)则数据x1+3,x2+3,…,xn+3的平均数为 a+3 . (2)则数据10x1,10x2,… ,10xn 的平均数 为 10a .
21
0
183
27
思考：哪 支球队队员 的身高更高？ 哪支球队的 队员更为年 轻？你是怎 样判断的？ 与同伴交流.
小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：
年龄/岁 19 22 23 26 27 28 29 35 相应队员数 1 4 2 2 1 2 2 1
湘教版数学七年级下册教学课件PPT1.1 建立二元一次方程组
课程讲授
2 二元一次方程（组）的解
练一练：
x＝－3，y＝1为下列哪一个二元一次方程的解( A ) A．x＋2y＝－1 B．x－2y＝1 C．2x＋3y＝6 D．2x－3y＝－6
课程讲授
3 根据题意列二元一次方程组
问题1：根据下面的内容列出二元一次方程组.
课程讲授
3 根据题意列二元一次方程组
解：设鸡有x只，兔有y只.根据头数、脚数可得二 元一次方程组：
含有2个未知数(元)，未知 数的次数为1；
一元一次方程
二元一次方程
课程讲授
1 二元一次方程（组）的概念
问题2.2：前面列出的两个二元一次方程，它们之间有什么 联系？
x+y=60， x-y=20.
总费用关系 费用差关系
x，y必须同时满足这两个关系，就是说它必 须同时满足两个方程.
课程讲授
y
1
代入方程②中，左边=右边，
所以
x 2,
y
1
是方程组
3x 2y 8, 3x 2y 4
的解.
随堂练习
1.方程(a-1)x+3y=-1是二元一次方程,则a的取值范
围为（ C ）
A.a≠0
B.a≠-1
C.a≠1
D.a≠2
随堂练习
2.以
x y
3，为解的二元一次方程组是 2
问题2.1：小红家今年1月份的天然气费和水费共60 元，其中天然气费比水费多20元. 你能算出1月份小 红家的天然气费和水费分别是多少吗？
可以设1月份的天然气费是x元，则水费 是（x-20）元.列一元一次方程，得x+ （x-20）=60.解得x=40，因此天然气费 是40元，水费是20元.
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的解的是（ C ）.
x 8 A. y 10
C.
x 0 B. y 6
x 10 y 1
x 2 D. y 4
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2.写出解是
x 2 y 1
的二元一次方程（组）. 你能写
出几个？ 解：（1）x + 2y =0； （2）2x + y = 5；
（3）3x - 4y =10;
（4）x – y = 3;
x + 2y =0
（5） （6）
2x + y = 5 x–y=3
首页
3x - 4y =10
课堂小结
二元一次方程
二元一次方程的解 使二元一次方程左右两 边相等的两个未知数的值.
1.含有两个未知数.
2.未知所在项的次数都是1. 3.整式方程. 二元一次方程组 由两个一次方程组成. 共有两个未知数.
y=4x
y - x=2000×30%
新建
首页
练一练：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡
兔各几何？
解：设鸡有x只,兔有y只，
根据题意得
x + y = 35 2x + 4y = 94
首页
巩固训练
判断下列各式是否为二元一次方程（组)
1 (1) x + =3× y
(2) y = 3x √
(3) x2 - 2y2 + 3 = 8 ×
的一个解，求a – b 的值.
1 ax 3y 5 x 2 代入方程组 解:把 2x by 1 y 1
1 a3 5 中得 2 1 b 1
则
a 4 得 b 0
a – b =4
首页
巩固训练
1 x y 6, 1. 下列各对数值中是二元一次方程 2 2 x 31y 11
2 5
3 4
4 3
5
2
6 7 1
7.5 … 0 -0.5 …
你能再探索出方程3x+y=17的解吗？
x y
… 0 1 2 3 4 … 17 14 11 8 5
5
6
7
… …
2 -1 -4
首页
所以我们把 x=5 , y =2 叫作方程组
x + y =7
① 的解. ②
3x + y =17
x=5
注意
记为
x=5 , y=2.
首页
二 探究二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数
的值.叫作二元一次方程的解. 想一想： 二元一次方程 x + y = 7有多少个解？ x y
…
…
-1 8
0 7
1 6
2 5
3 4
4 3
5
2
6 1
7 0
7.5 -0.5
… …
首页
x + y = 7的解为：
y
x
… …
-1 0 1 8 7 6
×
y=2
① 二元一次方程的解成对出现
② 二元一次方程的解有无数对
首页
一般的，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都
相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解. 二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解.
首页
1 ax 3 y 5， x ， 例：在方程组 中, 2 如果是它 2 x by 1 y 1
二元
)
2.含未知数的项的次数都为１.( 一次
3.方程的两边必须是整式.(归纳来自)整式方程 )
二元一次方程有两个未知数，并且未知项的次数都
是1.方程的两边是整式.
首页
x＋y+2＝9
①
3x＋y＝17
②
把①②这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组. 问 题 请根据上面一个二元一次方程组，说一说你还知 道哪些形式的二元一次方程组？
(5)
(4) 5x - 7y ×
(6)
1 1 5 x y ×
3x + y = 5
xy = 1
×
x - 2y = 1 (8)
(7)
x+y=5 2x + z = -1
x=5
3x + 2y = -11
×
√
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能力提升 如果
xm1 3 y n2 6 是二元一次方程，则
m=______, n=______. 2 -1 提 示：二元一次方程中未知项的次数都是1.
3.方程的两边是整式.
首页
合作探究
一 探究二元一次方程组的建立及特征
某中学初一年级组织了“我们学姚明”杯篮球邀请赛.
初一（14）在第一轮比赛中共赛9场，得17分.比赛规定胜 一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 初一（14）在这一轮中只负了2场，那么 这个队胜了几场？平了几场？ 思考：问题中有两个未知数，如果分别 设为x、y.又会怎样呢？
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二元一次方程组分类： 1 .由两个二元一次方程组成，并含有两个未知数的方程组 x＋y+2＝9
如：
3x＋y＝17
2 .由一个一元一次方程与一个二元一次方程组成，并含两 个未知数的方程组 如： x=3 x+y=4
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3 .由两个一元一次方程组成，并含有两个未知数的方程 组 如： x=3
y＝ 6
归纳
二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程
组的两个方程的公共解.
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课后作业
见本课时课后巩固提升
首页
七年级数学下（湘教版XJ） 2017年春全册优质教学课件
1.2 二元一次方程组的解法
1.2.1 代入消元法
情境引入
合作探究
课堂小结
课后作业
情境引入
1.如果2x＋y=1.2，那么用含有x的代数式表示y的代 数式是_____________ y=1.2-2x ； 2.在方程3x+4y=16中， 当x=3时， y=______， 当y=-2时，x=______. 8
像上面三种类型由两个一次方程组成的，并含有两
个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
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例 某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校
舍，使校舍总面积增加30%。若建造新校舍的面积为被拆除
的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少 新校舍（单位为m2 ）？ 解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2. 根据题意得： 拆
七年级数学下（湘教版XJ） 2017年春全册优质教学课件
第1章 二元一次方程组
1.1 建立二元一次方程组
复习引入
合作探究
课堂小结
课后作业
复习引入
问 题 什么是一元一次方程？一元一次方程有哪些特征？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，
这样的整式方程叫一元一次方程。 特征：1.只含有一个未知数. 2.未知数的次数都是1.
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设初一（14）胜了x场，平了y场，在下表的空格中填
入数字或式子. 胜 平 y y 负 2 0 合计 9 17
场数
得分
x 3x
那么根据填表的结果可知：
x＋y+2＝9， ① 3x＋y＝17. ②
首页
这两个方程有 什么共同的特点？
x＋y+2＝9， ① 3x＋y＝17. ②
填一填：
1.含有两个未知数.(
x 8 A. y 10
C.
x 0 B. y 6
x 10 y 1
x 2 D. y 4
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2.写出解是
x 2 y 1
的二元一次方程（组）. 你能写
出几个？ 解：（1）x + 2y =0； （2）2x + y = 5；
（3）3x - 4y =10;
（4）x – y = 3;
x + 2y =0
（5） （6）
2x + y = 5 x–y=3
首页
3x - 4y =10
课堂小结
二元一次方程
二元一次方程的解 使二元一次方程左右两 边相等的两个未知数的值.
1.含有两个未知数.
2.未知所在项的次数都是1. 3.整式方程. 二元一次方程组 由两个一次方程组成. 共有两个未知数.
y=4x
y - x=2000×30%
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练一练：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡
兔各几何？
解：设鸡有x只,兔有y只，
根据题意得
x + y = 35 2x + 4y = 94
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巩固训练
判断下列各式是否为二元一次方程（组)
1 (1) x + =3× y
(2) y = 3x √
(3) x2 - 2y2 + 3 = 8 ×
的一个解，求a – b 的值.
1 ax 3y 5 x 2 代入方程组 解:把 2x by 1 y 1
1 a3 5 中得 2 1 b 1
则
a 4 得 b 0
a – b =4
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巩固训练
1 x y 6, 1. 下列各对数值中是二元一次方程 2 2 x 31y 11
2 5
3 4
4 3
5
2
6 7 1
7.5 … 0 -0.5 …
你能再探索出方程3x+y=17的解吗？
x y
… 0 1 2 3 4 … 17 14 11 8 5
5
6
7
… …
2 -1 -4
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所以我们把 x=5 , y =2 叫作方程组
x + y =7
① 的解. ②
3x + y =17
x=5
注意
记为
x=5 , y=2.
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二 探究二元一次方程组的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数
的值.叫作二元一次方程的解. 想一想： 二元一次方程 x + y = 7有多少个解？ x y
…
…
-1 8
0 7
1 6
2 5
3 4
4 3
5
2
6 1
7 0
7.5 -0.5
… …
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x + y = 7的解为：
y
x
… …
-1 0 1 8 7 6
×
y=2
① 二元一次方程的解成对出现
② 二元一次方程的解有无数对
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一般的，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都
相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程组的解. 二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解.
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1 ax 3 y 5， x ， 例：在方程组 中, 2 如果是它 2 x by 1 y 1
二元
)
2.含未知数的项的次数都为１.( 一次
3.方程的两边必须是整式.(归纳来自)整式方程 )
二元一次方程有两个未知数，并且未知项的次数都
是1.方程的两边是整式.
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x＋y+2＝9
①
3x＋y＝17
②
把①②这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个 二元一次方程组. 问 题 请根据上面一个二元一次方程组，说一说你还知 道哪些形式的二元一次方程组？
(5)
(4) 5x - 7y ×
(6)
1 1 5 x y ×
3x + y = 5
xy = 1
×
x - 2y = 1 (8)
(7)
x+y=5 2x + z = -1
x=5
3x + 2y = -11
×
√
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能力提升 如果
xm1 3 y n2 6 是二元一次方程，则
m=______, n=______. 2 -1 提 示：二元一次方程中未知项的次数都是1.
3.方程的两边是整式.
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合作探究
一 探究二元一次方程组的建立及特征
某中学初一年级组织了“我们学姚明”杯篮球邀请赛.
初一（14）在第一轮比赛中共赛9场，得17分.比赛规定胜 一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 初一（14）在这一轮中只负了2场，那么 这个队胜了几场？平了几场？ 思考：问题中有两个未知数，如果分别 设为x、y.又会怎样呢？
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二元一次方程组分类： 1 .由两个二元一次方程组成，并含有两个未知数的方程组 x＋y+2＝9
如：
3x＋y＝17
2 .由一个一元一次方程与一个二元一次方程组成，并含两 个未知数的方程组 如： x=3 x+y=4
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3 .由两个一元一次方程组成，并含有两个未知数的方程 组 如： x=3
y＝ 6
归纳
二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程
组的两个方程的公共解.
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课后作业
见本课时课后巩固提升
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七年级数学下（湘教版XJ） 2017年春全册优质教学课件
1.2 二元一次方程组的解法
1.2.1 代入消元法
情境引入
合作探究
课堂小结
课后作业
情境引入
1.如果2x＋y=1.2，那么用含有x的代数式表示y的代 数式是_____________ y=1.2-2x ； 2.在方程3x+4y=16中， 当x=3时， y=______， 当y=-2时，x=______. 8
像上面三种类型由两个一次方程组成的，并含有两
个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
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例 某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校
舍，使校舍总面积增加30%。若建造新校舍的面积为被拆除
的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少 新校舍（单位为m2 ）？ 解：设应拆除旧校舍xm2，建造新校舍ym2. 根据题意得： 拆
七年级数学下（湘教版XJ） 2017年春全册优质教学课件
第1章 二元一次方程组
1.1 建立二元一次方程组
复习引入
合作探究
课堂小结
课后作业
复习引入
问 题 什么是一元一次方程？一元一次方程有哪些特征？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，
这样的整式方程叫一元一次方程。 特征：1.只含有一个未知数. 2.未知数的次数都是1.
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设初一（14）胜了x场，平了y场，在下表的空格中填
入数字或式子. 胜 平 y y 负 2 0 合计 9 17
场数
得分
x 3x
那么根据填表的结果可知：
x＋y+2＝9， ① 3x＋y＝17. ②
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这两个方程有 什么共同的特点？
x＋y+2＝9， ① 3x＋y＝17. ②
填一填：
1.含有两个未知数.(