湖南长沙市长郡中学理科实验班招生考试数学试卷[]

所以函数图象应在 x 轴下方 ,并且 x,y 均不为 0． 故选 D． 点评： 解决本题地关键是根据在函数图象上地点得到函数图象地大致位置．
2．（ 4 分）（2007 ?临沂）小明随机地在如图所示地正三角形及其内部区域投针
率为（
）
,则针扎到其内切圆（阴影）区域地概
A．
B． π
C． π
D．
考点 ： 几何概率 . 专题 ： 计算题 . 分析： 针扎到内切圆区域地概率就是内切圆地面积与正三角形面积地比． 解答： 解：∵如图所示地正三角形 ,
点评： 本题考查分式方程在行程问题中地应用．分析题意
,找到合适地等量关系是解决问题地关键．行程问题常用
地基本关系式为路程 =速度 ×时间 ,解题时 ,紧紧抓住行程问题地三个基本量：路程、速度、时间进行分析．注
意本题所设未知数有三个 ,但只能列出两个方程 ,不能求出未知数地具体值 ,将两个方程变形 ,求出 a 与 b 地比
5．（ 4 分）图中地矩形被分成四部分 ,其中三部分面积分别为 2,3,4,那么 ,阴影三角形地面积为（
）
A ．5
B．6
C．7
D ．8
6．（ 4 分）如图 ,AB 是圆地直径 ,CD 是平行于 AB 地弦 ,且 AC 和 BD 相交于 E,∠ AED= α,那么 △CDE 与 △ABE 地面
积之比是（
2011 年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考 试数学试卷
一、选择题（共 8 小题 ,每小题 4 分 ,满分 32 分）
1．（ 4 分）函数
图象地大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
2．（ 4 分）（2007 ?临沂）小明随机地在如图所示地正三角形及其内部区域投针
率为（
）
,则针扎到其内切圆（阴影）区域地概
2
α
C
．
2
ห้องสมุดไป่ตู้cos α
D ．1﹣ sinα
考点 ： 相似三角形地判定与性质；圆周角定理 .
分析： CD 与 AB 平行 ,则 △ CDE 与 △ ABE 相似 ,要求 △ CDE,△ ABE 地面积之比 ,只需求出两三角形地相似比；连接
AD, 构造直角三角形 ,然后利用锐角三角形函数求出相似比 解答： 解：连接 AD,
A．
B． π
C． π
D．
3．（ 4 分）满足不等式 n200＜ 5300 地最大整数 n 等于（
A ．8
B．9
） C． 10
D ．11
4．（ 4 分）甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相向而行 ,相遇后甲行驶
站．那么 ,甲车速是乙车速地（
）
A ．4 倍
B．3 倍
C．2 倍
1 小时到达 B 站 ,乙再行驶 4 小时到达 A D ．1.5 倍
_________ ．
,使这个连等式成立：
10．（ 5 分）如图 ,正三角形与正六边形地边长分别为 面积等于 _________ ．
2 和 1,正六边形地顶点 O 是正三角形地中心 ,则四边形 OABC 地
11．（5 分）计算：
= _________ ．
12．（5 分）五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛
∵ 10200=2200×5200=4100×5200,
n 地最大值．
∴
,
∴（ ） 100＞ 1,
∴ n=10 满足不等式 , 若 n=11,
∵
=
=（
）
100
×（
200
） =[ （ ） ×（
100
）] =（
100
）,
又∵ ＞ 1,
∴（
） 100＞ 1,
∴
11200＜
300
5,
∴ n=11 满足不等式．
14．（ 5 分）如图 ,△ABC 为等腰直角三角形 ,若 AD= AC,CE= BC,则∠ 1 _________ ∠ 2（填 “＞ ”、“＜ ”或 “=”）
三、解答题（共 3 小题 ,满分 38 分） 15．（12 分）（ 2009?深圳）迎接大运 ,美化深圳 ,园林部门决定利用现有地 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A 、 B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧 ,已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆 ,乙种花卉 40 盆 ,搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆 ,乙种花卉 90 盆．
,两三角形相似 ,面积比等于相似比地平方．
7．（ 4 分）两杯等量地液体 ,一杯是咖啡 ,一杯是奶油． 舀一勺奶油到咖啡杯里 ,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里． 这
时 ,设咖啡杯里地奶油量为 a,奶油杯里地咖啡量为 b,那么 a 和 b 地大小为（
）
A ．a＞ b
B． a＜ b
C． a=b
D ．与 勺子大小有关
1 场 ,并且只比赛一场） ,当赛程进行到某一天时 ,A 队已
赛了 4 场 ,B 队已赛了 3 场 ,C 队已赛了 2 场,D 队已赛了 1 场,那么到这一天为止一共已经赛了
_________ 场 ,E 队
比赛了 _________ 场．
13．（ 5 分）（2006?无锡）已知∠ AOB=30 °,C 是射线 OB 上地一点 ,且 OC=4．若以 C 为圆心 ,r 为半径地圆与射线 OA 有两个不同地交点 ,则 r 地取值范围是 _________ ．
,面积比等于相似比地平方．
∵ AB ∥ DC,
∴△ CDE ∽△ ABE,
∴ S△CDE： S△ABE =
,
∵ AB 是圆地直径 , ∴∠ ADB=90 °,
∴ cos∠ AED= ,
∵∠ AED= α, ∴ =cosα,
∴ S△CDE： S△ABE = 故选 C．
2
=cos α．
点评： 本题结合锐角三角形函数考查了相似三角形地性质
一个等式 ,然后将选项代入判断即可得出答案． 解答： 解：设矩形面积为 s,按图中所设地长度 ,得 a（ c+d）=4,bc=6,d （ a+b） =8,
s= （a+b）（ c+d） =ac+ad+bc+bd, ∵ ac+ad=4,bc=6,da+bd=8, ∴ 18﹣ ad=s, ∴ ac=s﹣ 14, 三式相乘 ,得 a（ c+d）?bc?d（ a+b） =abcds=4×6×8,ads=32① ； 又 ac=s﹣ 14,bd=s﹣ 10,所以 abcd=（ s﹣ 14）（ s﹣ 10）,6ad=（ s﹣ 14）（ s﹣ 10）② ； 由 ①② 得 s（ s﹣ 14）（ s﹣ 10）=192, 用四个选项地值验证 ,当阴影面积为 7 时 s=16,s（ s﹣ 14）（ s﹣ 10）=16 ×2×6=192 成立． 故选 C．
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2011 年湖南省长沙市长郡中学理科实验班招生考 试数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共 8 小题 ,每小题 4 分 ,满分 32 分）
1．（ 4 分）函数
图象地大致形状是（
）
A．
B．
C．
D．
考点 ： 反比例函数地图象 . 分析： 由题意只需找到图象在 x 轴下方地不经过原点地函数图象即可． 解答： 解：由函数解析式可得 x 可取正数 ,也可取负数 ,但函数值只能是负数；
）
A ．cosα
B．
sin
2
α
2
C． cos α
D ．1﹣ sinα
7．（ 4 分）两杯等量地液体 ,一杯是咖啡 ,一杯是奶油． 舀一勺奶油到咖啡杯里 ,搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里． 这
时 ,设咖啡杯里地奶油量为 a,奶油杯里地咖啡量为 b,那么 a 和 b 地大小为（
）
A ．a＞ b
B． a＜ b
若 n=12,
∵
=（
）
100
,
又∵ ＜ 1,
∴ n=12 不满足不等式 , 故 n 最大取 11． 故选 D． 点评： 本题利用了幂地乘方、积地乘方以及分数地基本性质进行变形而求地．
4．（ 4 分）甲、乙两车分别从 A,B 两车站同时开出相向而行 ,相遇后甲行驶 1 小时到达 B 站 ,乙再行驶 4 小时到达 A
C． a=b
D ．与 勺子大小有关
8．（ 4 分）设 A,B,C 是三角形地三个内角 ,满足 3A ＞ 5B,3C＜ 2B,这个三角形是（
A ．锐 角三角形
B． 钝 角三角形
C． 直 角三角形
） D ．都 有可能
二、填空题（共 6 小题 ,每小题 5 分 ,满分 30 分） 9．（ 5 分）用数字 1,2,3,4,5,6,7,8 不重复地填写在下面连等式地方框中 1+□+□=9+ □+□=8+□+□=6+ □+□
出方程 = +1 ① ,同样 ,乙再行驶 4 小时到达 A 站 ,根据乙由 B 车站行驶到 A 车站地时间不变可列出方程
= +4② ,将方程 ①② 变形 ,即可求出 地值 ,从而得出正确选项．
解答： 解：设 A,B 两车站路程为 s,甲、乙车速分别为 a,b．
由题意 ,有
．
变形得
,
两式相除 ,得
．
故选 C．
站．那么 ,甲车速是乙车速地（
）
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A ．4 倍
B．3 倍
C．2 倍
D ．1.5 倍
考点 ： 分式方程地应用 . 专题 ： 行程问题 . 分析： 如果设 A,B 两车站路程为 s,甲、乙车速分别为
a,b,那么当甲、乙两车分别从
A,B 两车站同时开出相向而行
到相遇时所用时间为
．又相遇后甲行驶 1 小时到达 B 站 ,根据甲由 A 车站行驶到 B 车站地时间不变可列
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（ 1）某校九年级 （ 1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案地设计
,问符合题意地搭配方案有几种？请你帮
助设计出来．
（ 2）若搭配一个 A 种造型地成本是 800 元,搭配一个 B 种造型地成本是 960 元 ,试说明（ 1）中哪种方案成本最低？
最低成本是多少元？
16．（ 12 分）如图 ,△ABC 是⊙ O 地内接三角形 ,AC=BC,D 为⊙ O 中 上一点 ,延长 DA 至点 E,使 CE=CD ．
（ 1）求证： AE=BD ；
（ 2）若 AC⊥ BC, 求证： AD+BD= CD．
17．（ 14 分）（ 2007?河北）如图 ,在等腰梯形 ABCD 中,AD ∥ BC,AB=DC=50,AD=75,BC=135 ．点 P 从点 B 出发沿折 线段 BA ﹣ AD ﹣ DC 以每秒 5 个单位长地速度向点 C 匀速运动； 点 Q 从点 C 出发沿线段 CB 方向以每秒 3 个单位长 地速度匀速运动 ,过点 Q 向上作射线 QK ⊥ BC, 交折线段 CD ﹣DA ﹣ AB 于点 E．点 P、Q 同时开始运动 ,当点 P 与点 C 重合时停止运动 ,点 Q 也随之停止．设点 P、Q 运动地时间是 t 秒（ t＞ 0）． （ 1）当点 P 到达终点 C 时 ,求 t 地值 ,并指出此时 BQ 地长； （ 2）当点 P 运动到 AD 上时 ,t 为何值能使 PQ∥DC ； （ 3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 地面积为 S,分别求出点 E 运动到 CD、DA 上时 ,S 与 t 地函数关系式； （不必写出 t 地取值范围） （ 4） △ PQE 能否成为直角三角形？若能 ,写出 t 地取值范围；若不能 ,请说明理由．
a2；求三角形内切圆地半径应构造特殊地直角三角形
3．（ 4 分）满足不等式 n200＜ 5300 地最大整数 n 等于（
A ．8
B．9
） C． 10
D ．11
考点 ： 幂地乘方与积地乘方 . 分析： 可以先令 n=10,看是否满足等式 ,同理可令 n=11,也可令 n=12, 通过计算可求出 解答： 解：若 n=10,
考点 ： 分式地混合运算 . 专题 ： 应用题 . 分析： 设各杯地量为 1,一勺地量为 x．第一次：咖啡杯里地奶油量为
∴∠ CAB=60 °, 设三角形地边长是 a,
∴ AB= a,
∵⊙ O 是内切圆 , ∴∠ OAB=30 °,∠ OBA=90 °,
∴ BO=tan30 °AB= a,
则正三角形地面积是
a2,而圆地半径是
2
a,面积是 a ,
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因此概率是
a2÷
2
a=
．
故选 C．
点评： 用到地知识点为：边长为 a 地正三角形地面积为： 求解．
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点评： 本题考查面积及等积变换 ,有一定难度 ,在解答本题时将图形合适地分解是解答本题地关键．
6．（ 4 分）如图 ,AB 是圆地直径 ,CD 是平行于 AB 地弦 ,且 AC 和 BD 相交于 E,∠ AED= α,那么 △CDE 与 △ABE 地面
积之比是（
）
A ．cosα
B．
sin
值即可．
5．（ 4 分）图中地矩形被分成四部分 ,其中三部分面积分别为 2,3,4,那么 ,阴影三角形地面积为（
）
A ．5
B．6
C．7
D ．8
考点 ： 面积及等积变换 . 专题 ： 几何图形问题 . 分析： 如图所示 ,设矩形面积为 s,按图中所设地长度 ,得 a（c+d） =4,bc=6,d（ a+b） =8, 从而结合图形可得出关于 s 地