上海华育中学八年级数学上册第五单元《分式》测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．分式293
x x --等于0的条件是（ ） A ．3x = B ．3x =- C ．3x =± D ．以上均不对 2．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩
的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．4个 3．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅=
B ．22a a -=-
C ．572a a a ÷=
D ．0(2)1(0)a a =≠ 4．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A ．50.2510-⨯
B ．60.2510-⨯
C ．72.510-⨯
D ．62.510-⨯ 5．计算
233222()m n m n -⋅-的结果等于（ ） A ．2m n B ．2n m C ．2mn D ．72mn
6．已知2340x x --=，则代数式
24x x x --的值是（ ） A ．3 B ．2 C ．13 D ．12
7．已知2,1x y xy +==，则
y x x y +的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．2
8．若数a 使关于x 的分式方程2311a x x
+=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组213202
y y y a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩的解集为2y <-，则符合条件的所有整数a 的个数为（ ） A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 9．计算
221(1)(1)x x x +++的结果是（ ） A ．1 B ．1+1x C ．x +1 D ．2
1(+1)x 10．从7-、5-、3-、1-、3、6这六个数中，随机抽取一个数，记为k ，若数k 使关于
x 的分式方程
3211k x x +=--的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的k 的值之和是（ ）
A ．4-
B ．0
C ．3
D ．6
11．下列计算正确的是（ ）
A ．
1112a a a += B ．2211()()a b b a +--=0 C ．m n a -﹣m n a
+=0 D ．11a b b a +--=0 12．计算a b a b a
÷⨯的结果是（） A ．a B ．2a C ．2
b a D ．2
1a 二、填空题
13．已知5,3a b ab -==，则
b a a b +的值是__________． 14．已知实数a 、b 满足32
a b =，则a b a b +-_________． 15．计算:1 2+123⨯+134⨯+145
⨯+…+()1n 1n -+()1n n 1+=______． 16．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______．
17．关于x 的方程53244x mx x x
++=--无解，则m =________． 18．已知方程3a 1a a 44a --=--，且关于x 的不等式组x a x b >⎧⎪⎨⎪≤⎩
只有4个整数解，那么b 的取值范围是____________．
19．若关于x 的方程
2144416m x x x +=-+-无解，则m 的值为__________． 20．
计算：201(1)2|2π-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭
_____． 三、解答题
21．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天． （1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工
期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
22．先化简，再求值：（x ﹣1﹣2
1
x x +）÷221x x x ++，其中x ＝3． 23．先化简，再求值：213(1)211
x x x x x +--÷-+-，其中4x =-． 24．小强家距学校3000米，某天他步行去上学，走到路程的一半时发现忘记带课本，此时离上课时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取课本，随后小强爸骑电瓶车送他去学校．已知小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，且小强爸骑电瓶车的平均速度是小强步行的平均速度的5倍，小强到家取课本与小强爸启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求小强步行的平均速度与小强爸骑电瓶车的平均速度；
（2）请你判断小强上学是否迟到，并说明理由．
25．某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价6元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1680元所购该书的数量比第一次多50本，当按定价售出300本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元?
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了(不考虑其他因素)?若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少?
26．观察下列等式：
111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯． 将以上三个等式左、右两边分别相加得：
1111111131122334223344
++=-+-+-=⨯⨯⨯ （1）若n 为正整数，猜想并填空：
1(1)n n =+______． （2）计算111111223344520202021
+++++⨯⨯⨯⨯⨯的结果为______． （3）解分式方程：11122(2)(3)(3)(4)1
x x x x x x ++=------．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据分式等于0的条件：分子为0，分母不为0解答．
【详解】
由题意得：2
90,30x x -=-≠，
解得x=-3，
故选：B ．
【点睛】
此题考查分式的值等于0的条件，熟记计算方法是解题的关键． 2．C
解析：C
【分析】
解分式方程的得出x=2a-2，根据解为非负数得出2a-2≥0，且2a-2≠2，据此求出解得a≥1且a≠2；解不等式组两个不等式，根据解集得出a ＜5；综合以上两点得出整数a 的值，从而得出答案．
【详解】 解：分式方程122
x a x -=-， 去分母，得：2（x-a ）=x-2，
解得：x=2a-2，
∵分式方程的解为非负数，
∴2a-2≥0，且2a-2≠2，
解得a≥1且a≠2，
∵不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩
的解集是x≥5， ∴1≤a ＜5，且a≠2，
则整数a 的值为1、3、4共3个，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a 的取值范围．
3．D
解析：D
【分析】
运用同底数幂乘法、负整数次幂、同底数幂除法以及零次幂的知识逐项排查即可．
【详解】
解：A. 235a a a ⋅=，故A 选项不符合题意；
B. 22
1a a -=，故B 选项不符合题意； C. 572a a a -÷=，故C 选项不符合题意；
D. 0(2)1(0)a a =≠，故D 选项符合题意．
故填：D ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂乘法、负整数次幂、同底数幂除法、零次幂等的知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
0.0000025=62.510-⨯，
故选：D ．
【点睛】
此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法：当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
5．A
解析：A
【分析】
根据整数指数幂的运算法则进行运算即可．
【详解】
解：原式=43431222m m m n n m n
n
---=⋅=⋅= 故选：A ．
【点睛】
本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键 6．D
解析：D
【分析】
利用等式的性质对2340x x --=变形可得43x x
-=，利用分式的性质对24x x x --变形可得1
41x x
--，从而代入求值即可． 【详解】
由条件2340x x --=可知，0x ≠， ∴430x x --=，即：43x x
-=， 根据分式的性质得：21144411x x x x x x x
==------， 将43x x
-
=代入上式得：原式11312==-， 故选：D ．
【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】 将y x x y
+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案． 【详解】 解：2222()2221=21
y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】 根据分式方程2311a x x
+=--的解为非负数求得a>5，根据不等式组的解集为2y <-，求得2a ≥-，利用分式的分母不等于0得到x ≠1，即可得到a 的取值范围25a -≤≤，且x ≠1，根据整数的意义得到a 的整数值．
【详解】 解分式方程
2311a x x +=--，得53a x -=， ∵分式方程
2311a x x +=--的解为非负数， ∴503
a -≥， 解得a ≤5，
∵关于y 的不等式组213202
y y y a +⎧->⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，得2y y a <-⎧⎨≤⎩， ∵不等式组的解集为2y <-，
∴2a ≥-，
∵x-1≠0，
∴x ≠1，
∴25a -≤≤，且x ≠1，
∴整数a 为：-2、-1、0、1、3、4、5，共有7个，
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据分式方程的解的情况求未知数的取值范围，根据不等式组的解集情况求未知数的取值范围，确定不等式的整数解，正确理解题意并计算是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据同分母分式加法法则计算．
【详解】
221(1)(1)x x x +++=211(1)1
x x x +=++， 故选：B ．
【点睛】
此题考查同分母分式加法，熟记加法法则是解题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
先对分式方程进行求解，即用含k 的代数式表示分式方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】 解：由3211k x x +=--可得：52
x k =+， ∵分式方程的解为非负数，且1x ≠， ∴
502k +≥且512
k +≠，解得：5k ≥-且3k ≠- ∴满足条件的有5-、1-、3、6，
∴它们的和为51363--++=；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
直接根据分母不变，分子相加运算出结果即可．
【详解】
解：A 、112a a a
+=，故错误； B 、原式=2211()()a b a b +--=2
2()a b -，故错误； C 、原式=
m n m n a ---=﹣2n a ，故错误； D 、原式=
11a b a b ---=0，故正确． 故选D ．
【点睛】
本题主要考查了分式的加减法，解题的关键是掌握运算法则，此题基础题，比较简单． 12．C
解析：C
【分析】
先把除法变成乘法，然后约分即可．
【详解】 解：2
a b b b b a a b a a a a
÷⨯=⋅⋅=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了分式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握乘除混合运算法则．
二、填空题
13．【分析】先利用乘法公式算出的值再根据分式的加法运算算出结果【详解】解：∵∴∴故答案为：【点睛】本题考查分式的求值解题的关键是掌握分式的加法运算法则 解析：313
【分析】
先利用乘法公式算出22a b +的值，再根据分式的加法运算算出结果．
【详解】
解：∵5a b -=，3ab =，
∴()2
22225631a b a b ab +=-+=+=， ∴22313
b a b a a b ab ++==． 故答案为：
313
． 【点睛】
本题考查分式的求值，解题的关键是掌握分式的加法运算法则． 14．5【分析】根据已知用b 表示a 然后把a 的值代入所求的代数式分子分母约掉b 后可以得到解答【详解】∴∴故答案为：5【点睛】本题考查分式的化简与求值熟练掌握分式化简与求值的各种方法是解题关键
解析：5
【分析】
根据已知用b 表示a ，然后把a 的值代入所求的代数式，分子分母约掉b 后可以得到解答．
【详解】 32
a b =， ∴32a b = ∴3
2532
b b
a b a b b b ++==--， 故答案为：5．
【点睛】
本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式化简与求值的各种方法是解题关键． 15．【分析】通过观察可发现规律：则原式=即可计算出结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查分式的运算解题的关键是发现已知式子的规律
解析：1
n n + 【分析】
通过观察可发现规律：()11111
n n n n =-++，则原式= 11111111112233411
n n n n -+-+-+⋯+-+--+，即可计算出结果． 【详解】
()()
111111111111111111223344511223341111n n n n n n n n n n n ++++⋯++=-+-+-+⋯+-+-=-=⨯⨯⨯-+-+++ 故答案为：
1
n n +． 【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是发现已知式子的规律． 16．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答幂的负指数运算先把底数化成其倒数然后将负整指数幂当成正的进行计算任何非0数的0次幂等于1【详解】2+1=3；【点睛】本题是考查含有零指数幂和负整数指 解析：12
【分析】
根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答，幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算．任何非0数的0次幂等于1．
【详解】
101()()2
π-+-=2+1=3； 011(3.14)2--++1112=-++
12
= 【点睛】
本题是考查含有零指数幂和负整数指数幂的运算．根据零指数幂和负整数指数幂等知识点进行解答即可. 17．3或【分析】分式方程无解即化成整式方程时无解或者求得的x 能令最简公分母为0据此进行解答【详解】解：方程两边都乘以（x-4）得整理得：当时即m=3方程无解；当时∵分式方程无解∴x-4=0∴x=4∴解得
解析：3或
174
． 【分析】
分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 能令最简公分母为0，据此进行解答．
【详解】
解：方程两边都乘以（x-4）得， 5(3)2(4)x mx x -+=-，
整理，得：(3)5m x -=-
当30m -=时，即m=3，方程无解；
当30m -≠时，53x m =
-， ∵分式方程无解，
∴x-4=0，
∴x=4， ∴543
m =-， 解得，174m =
． 故答案为：3或
174
． 【点睛】 本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
18．【分析】分式方程去分母转化为整式方程求出整式方程的解得到a 的值经检验确定出分式方程的解根据已知不等式组只有4个整数解即可确定出b 的范围【详解】解：分式方程去分母得：3﹣a ﹣a2+4a ＝﹣1整理得：a
解析：34b ≤＜
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a 的值，经检验确定出分式方程的解，根据已知不等式组只有4个整数解，即可确定出b 的范围．
【详解】
解：分式方程去分母得：3﹣a ﹣a 2+4a ＝﹣1，
整理，得：a 2﹣3a ﹣4＝0，
即（a ﹣4）（a +1）＝0，
解得：a ＝4或a ＝﹣1，
经检验a ＝4是增根，
故分式方程的解为a ＝﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1＜x ≤b ，
∵不等式组只有4个整数解，
∴3≤b ＜4，
故答案为：3≤b ＜4．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题意是解本题的关键． 19．-1或-【分析】直接解分式方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案【详解】解：去分母得：（x+4）+m(x-4)=4可得：（m+1）x=4m 当m+1=0时分式方程无解此时m=-1当m
解析：-1或-
12
【分析】
直接解分式方程，再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【详解】 解：
2144416
m x x x +=-+-， 去分母得：（x+4）+m(x-4)=4，
可得：（m+1）x=4m ，
当m+1=0时，分式方程无解，
此时m=-1， 当m+1≠0时，则x=
41m m +=±4， 当41
m m +=4时，此时方程无解； 当41
m m +=-4时，解得：m=-12， 经检验，m=-12是方程41
m m +=-4的解， 综上所述：m=-1或-
12． 故答案为：-1或-
12
． 【点睛】 此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
20．【分析】先利用零次幂绝对值负整数次幂化简然后再计算即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了零次幂绝对值负整数次幂以及实数的运算灵活应用相关知识点成为解答本题的关键
解析：1--【分析】
先利用零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可．
【详解】
解：201(1)|2|2π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭
124=+
1=-．
故答案为：1-
【点睛】
本题主要考查了零次幂、绝对值、负整数次幂以及实数的运算，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．
三、解答题
21．（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的费用为225000元
【分析】
（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【详解】
（1）设这项工程的规定时间是x 天，根据题意得：
1110()1513x x x
+⨯+=， 解得：x =30．经检验x =30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天；
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：
111()22.530303
÷+=⨯（天）， 则该工程施工费用是：()22.565003500225000⨯+=（元）．
答：该工程的费用为225000元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
22．14,3
x x +-- 【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：原式=（x ﹣1﹣2
1
x x +）÷221x x x ++ ＝22
(1)(1)()111x x x x x x x ⎡⎤-++-⋅⎢⎥⎣⎦
++ ＝222
1(1)1x x x x x
--+⋅+ ＝1x x
+- 当x ＝3时，原式＝31433+-
=-． 【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的减法和除法法则，是解题的关键．
23．
1x x -；45
【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．
【详解】 解：213(1)211
x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3
x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3
x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3
x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=
⨯-- 1
x x =- 当4x =-时，原式441415
x x -=
==---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
24．（1）小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟；（2）小强不能按时到校，将会迟到，理由见解析
【分析】
（1）设小强步行的平均速度为xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为5xm/分钟，根据题意可得，小强爸骑电瓶车送小强到学校比小强步行到学校少用24分钟，据此列方程求解； （2）计算出小强从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和23进行比较即可．
【详解】
解：（1）设小强步行的平均速度为x 米/分钟，则小强爸骑电瓶车的平均速度为5x 米/分钟，根据题意得：
30003000245x x
-=， 解得100x =，
经检验，100x =是分式方程的解，且符合题意，
∴5500x =，
即小强步行的平均速度为100米/分钟，小强爸骑电瓶车的平均速度为500米/分钟；
（2）由（1）得，小强半途步行返家所需时间为3000210015÷÷=分钟，
小强爸骑电瓶车送小强到学校所需时间为30005006÷=分钟，
所以，从小强半途步行返家到小强爸骑电瓶车送他到学校共用时间为154625++=分钟23>分钟，
故小强不能按时到校，将会迟到．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．（1）第一次购书的进价是4元；（2）该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元
【分析】
(1)设第一次购书的进价为x 元，列分式方程1200168050(120%)x x
+=+解答； (2)根据利润=销售数量乘以每本书的利润分别求出两次购书所赚钱数，相加确定赔赚即可．
【详解】
解：(1)设第一次购书的进价为x 元，根据题意得：
1200168050(120%)x x
+=+ 解得： 4x =．
经检验，4x =原方程的解，
答：第一次购书的进价是4元；
(2)第一次购书为12004300÷= (本)，
第二次购书300+50=350(本)．
第一次嫌钱()30064600⨯-= (元)，
第二次嫌钱()()30064 1.25060.44 1.2240⨯-⨯+⨯⨯-⨯= (元)
所以两次共赚钱600+240=840(元)，
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了840元．
【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． 26．（1）
111n n -+；（2）20202021
；（3）7x =． 【分析】
（1）观察已知等式可得：连续整数乘积的倒数等于较小数的倒数与较大数的倒数的差，据此可得111(1)1
n n n n =-++； （2）利用所得规律列出算式1111111223320202021
-+-+++-，再两两相消即可得
112021
-，计算后可得结果； （3）由所得规律对分式方程进行整理，可变形为
111112232431
x x x x x x +-+-=------，最终化简为1241x x =--，求解此方程即可． 【详解】
解：（1）∵111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯， ∴当n 为正整数时，
111(1)1n n n n =-++． 故答案为：
111n n -+． （2）111111223344520202021+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111122334
20202021=-+-+-+- 112021=- 20202021
=． 故答案为：
20202021． （3）原方程变形为：
111112232431
x x x x x x +-+-=------， ∴1241x x =--， 去分母，得：12(4)x x -=-，
解得7x =，
经检验，7x =是原方程的解．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律及解分式方程，解题的关键是理解题意，找出数字的变化规律，并准确运用所得规律求解分式方程．。