动能定理和动量定理的区别与联系

动能定理和动量定理的区别与联系

动量定理和动能定理虽然都是从牛顿第二定律推导出来的，

但在解决力学中某些问题时，这两个定理比牛顿第二定律更能体现出优越性。我们先看一看它们共同之处： 1．两个定理都不用考虑

中间过程，只考虑始末状态。动量定理只考虑始末状态的动量，动能定理只考虑始末状态的动能。过程中的速度加速度变化不予考虑。

例1质量为m的小球以初速度 vo在水平面上向右运

动，小球与水平面间动摩擦因数为，小球碰到右侧固定挡板后被

弹回，假设在碰撞过程中没有能量损失，求小球在水平面上运动的总路程 S。

解：分析：小球来回与挡板碰撞运动方向不断改变，速度

大小也不断改变，运用牛顿第二定律显然不好解出，而用动能定理就比较方便了，小球受三个力作用：重力mg ,支

持力F，摩擦力f,全过程只有摩擦力做负功，所以有

—卩m®=0-i/2mv)2 S=mv o2/2 卩 mg =v o2/2 ^g

2．两个定理不仅适用于恒力，也适用于变力。

例2物块A和B用轻绳相连悬在轻弹簧下端静止不动，连

接A,B的绳子被烧断后，A上升到某位置速度大小为V 这时B下落的速度大小为，已知A, B质量分别为m和M ,在这段时间内，弹簧的弹力对物块 A的冲量是多少?

解析弹簧的弹力为变力，设弹力对物体 A的冲量为I取

向上为正方向，根据动量定理：

对物块A : I -mgt = mu-0 ①

对物块 B : —Mgt= —M p, -0 ②

解得：I =mv+mu

3.两个定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动。

例3如图，质量为1kg的物体从轨道A点由静止下滑，轨道B 是弯曲的，A点高出B点0.8m，物体到达B点的速度为 2m/s.求物体在AB轨道上克服摩擦力所做的功。

解析本题中物体在轨道上受到的

摩擦力是大小方向不断变化的，不适合用牛顿第二定律求解，但用动能定理就方便了 mgh-W=1/2mv 2-0 得

W=6J

4 .两个定理都主要解决“不守恒”问题，动量定理主要解决动量不守恒问题，动能定理主要解决机械能不守恒问

题。

例4 一列火车总质量为 M，在牵引力作用下以加速度a由静止开始沿直线运动经过时间t，其中的一质量为 m节

厢脱钩，再经过时间t2脱钩车厢停止运动（设阻力与质量成正比，且牵引力不变）求此时火车的速度。

解析把脱钩的车厢和前面火车看成一个系统，这个

系统有加速度a,合外力不为零，动量不守恒，车厢脱钩前后系统

合外力没变，只是它们之间内力没有了，所以根据动量定理：F合(t i+tQ=(M -m) V 一0

V = Ma(t 1 + t2)/M-m

以上是两个定理的共同点，这两个定理也有不同之处，其区别如下：

1 .动量定理表达式 I=mv

2 — mv i, 是矢量式

动能定理表达式 W=1/2mv 22- 1/2 mv 12是标量式2．动量定理反映了冲量是动量变化的原因，而动能定理反映了外力做功是物体动能变化的原因。

3．动量定理对单个物体及由几个物体组成的系统都可以直接运用，根据牛顿第三定律，系统的内力总是大小相等方向相反，同时产生，同时消失，成对出现的，所以一对内力的合冲量总为零，即内力不会引起系统动量的变化因而内力的冲量不予考虑。

动能定理一般对单个物体运用，一般不直接用于有相互作用的几个物体组成的系统，因为系统的内力显然成对出现，但它们分别作用于不同物体上，而这些物体位移大小并不总是相同的，因而作用力，反作用力做功的和也就不为零，系统动能变化不仅与系统外力做功有关，也与系统内力做功有关，所以对系统而言，公式W=1/2mv 22- 1/2

mv i2中的W应为内力和外力所做的总功。实际上，动能定

理与机械能守恒定律是相互印证的，动能定理可以看成是机械能

是否守恒的判断根据，把 W看成外力所做的功w外和内力所做的功w内，又把w内分为保守内力所做的功w保和外保守内力所做的功W非，则动能定理可写成w外十w保+ w非二E k2 -E ki①而保守力做功等物体势能减小即W保

=Ep i -Ep 2②将②代人①整理得：W外+ W非=(E k2 + E p2 ) -(E k i+ E P i)③，③式的含义为：外力和非保守内力是否做功是机械能是否守恒的条件，外力和非保守力做的功之和为正，系统机械能增加外力和非保守内力做的功之和为负值。系统机械能减小。总之：动力学中求速度的问题理论上既可用动量定理也可用动能定理，那么什么条件下用动量定理，什么情况又用动能定理呢？一般说：涉及到“时间” 的用动量定理，涉及到“位移” 的用动能定理。

黑龙江省海林市高级中学

梁永