2003年高考.全国卷.理科数学试题及答案
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如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围
20．（本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前
台 风 中 心 位 于 城 市 O（ 如 图 ） 的 东 偏 南
2 ） 方 向 300km 的 海 面 P 处 ， 并 以 ( arccos 10
20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范
图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，
现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法
共有
种 （以数字作答）
3
奎奎奎奎奎
16．下列 5 个正方体图形中， l 是正方体的一条
对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l
（写出所有符合要求的图形序号）
2
1
5
4 面 MNP 的图形的序号是
P M
N l
参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
sin cos 12 [sin(
) sin(
)]
S台侧 1 (c c)l 其中 c 、 c 分别表示
2
cos sin 12 [sin(
) sin(
)] 上、下底面周长， 表示斜高或母线长.
l
cos cos
1 2
[cos(
) cos(
)]
球体的体积公式：V球 4 R3 ，其中 R 3
三角形， ACB 90 ，侧棱 AA1 2 ，D、E 分别是 CC1 A
C B
D
与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD的重心 G
GC K
（I）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三
A
F
B
角函数值表示）
（II）求点 A1 到平面 AED的距离
19．（本小题满分 12 分） 已知c 0 ，设 P：函数 y c x 在 R 上单调递减 Q：不等式 x | x 2c | 1的解集为 R
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（理工农医类）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡
上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
34
43
52
2
9．函数 f (x) sin x ， x [ , 3 ]的反函数 f 1(x) 22
（）
y2 1 5
（）
（A） arcsin x x [ 1，1]
（B）
arcsin x x [ 1，1]
（C） arcsin x x [ 1，1] （D） arcsin x x [ 1，1]
10．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1），一质点从 AB
5
（A） 7 24
2．圆锥曲线
（B） 7 24
8sin 的准线方程是 cos
（C） 24 7
（A） cos
2
2 （B） cos 2 （C） sin
（D） 24 7
2 （D） sin
（）
（） 2
x
3．设函数 f (x) 1 2
x
，若 f (x0 ) 1 ，则 x0 的取值范围是
（）
（A）（ 1，1） （C）（ ， 2 ） （0， ）
①
P
l
N
M
M
P
l
l
M
N
N
l
M
⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分 12 分）
已知复数 z 的辐角为 60 ，且| z 1 |是| z | 和| z 2 |的等比中项，求| z |
18．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角
围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速
4．函数 y 2 sin x(sin x cos x) 的最大值为
（B）（ 1， ） （D）（ ， 1） （1， ）
（）
（A）1 2
（B） 2 1
（C） 2
（D）2
5．已知圆 C： (x a) 2 ( y 2) 2 4 （ a 0 ）及直线 l ： x y 3 0 ，当直线 l 被 C 截
得的弦长为 2 3 时，则 a
sin sin
12[cos(
) cos( )]
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 奎奎奎奎奎 第Ⅰ卷（选择题共 60分）
一.选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的
1．已知 x ( 2 ，0），cos x 4 ，则tg2x
2 5
，
2 3
）
11．
lim
n
C 22
n(C
1 2
C32 C31
C 42 C 41
Cn C2n1 )
（）
（A）3
（B） 1 3
（C） 1 6
（D）6
12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A） 3 （B） 4
（C） 3 3
（D）
6
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
（）
（A） 2
（B） 2 2
（C） 2 1
（D） 2 1
6．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
（）
（A） 2 R 2
（B） 9 R 2 4
（C） 8 R 2 3
（D） 3 2
R2
7．已知方程 (x 2 2x m)(x 2 2x n) 0 的四个根组成一个首项为 1 的的等差数列，则
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共 90分）
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分 把答案填在题中横线上
奎奎奎奎奎
奎奎奎奎奎
13． (x2
1 2x
)
9
的展开式中
x
9
系数是
14．使log 2( x) x 1 成立的 x 的取值范围是
15．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地
的中点
P 0
沿与
AB
的夹角
的方向射到
BC
上的点
P 1
后，依次反射到
CD、DA
和
AB
上的点 P2 、 P3 和 P4 （入射角等于反射角），设 P4 的坐标为（ x4 ，0），若1 x4 2 ，
则 tg 的取值范围是
（）
（A）（ 1 ，1） 3
（B）（
1 3
，
2 3
）
（C）（
2 5
，
1 2
）
（D）（
4
|m n|
（）
（A）1
（B） 3
4
（C） 1 2
（D） 3 8
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0），直线 y x 1 与其相交于 M、N 两
点，MN 中点的横坐标为 2 ，则此双曲线的方程是 3
（A） x 2 y 2 1 （B） x2 y 2 1 （C） x2 y 2 1 （D） x 2
20．（本小题满分 12 分） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前
台 风 中 心 位 于 城 市 O（ 如 图 ） 的 东 偏 南
2 ） 方 向 300km 的 海 面 P 处 ， 并 以 ( arccos 10
20km/h 的速度向西偏北 45 方向移动，台风侵袭的范
图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，
现有 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法
共有
种 （以数字作答）
3
奎奎奎奎奎
16．下列 5 个正方体图形中， l 是正方体的一条
对角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l
（写出所有符合要求的图形序号）
2
1
5
4 面 MNP 的图形的序号是
P M
N l
参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式
sin cos 12 [sin(
) sin(
)]
S台侧 1 (c c)l 其中 c 、 c 分别表示
2
cos sin 12 [sin(
) sin(
)] 上、下底面周长， 表示斜高或母线长.
l
cos cos
1 2
[cos(
) cos(
)]
球体的体积公式：V球 4 R3 ，其中 R 3
三角形， ACB 90 ，侧棱 AA1 2 ，D、E 分别是 CC1 A
C B
D
与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD的重心 G
GC K
（I）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三
A
F
B
角函数值表示）
（II）求点 A1 到平面 AED的距离
19．（本小题满分 12 分） 已知c 0 ，设 P：函数 y c x 在 R 上单调递减 Q：不等式 x | x 2c | 1的解集为 R
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
数 学（理工农医类）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡
上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
34
43
52
2
9．函数 f (x) sin x ， x [ , 3 ]的反函数 f 1(x) 22
（）
y2 1 5
（）
（A） arcsin x x [ 1，1]
（B）
arcsin x x [ 1，1]
（C） arcsin x x [ 1，1] （D） arcsin x x [ 1，1]
10．已知长方形的四个顶点 A（0，0），B（2，0），C（2，1）和 D（0，1），一质点从 AB
5
（A） 7 24
2．圆锥曲线
（B） 7 24
8sin 的准线方程是 cos
（C） 24 7
（A） cos
2
2 （B） cos 2 （C） sin
（D） 24 7
2 （D） sin
（）
（） 2
x
3．设函数 f (x) 1 2
x
，若 f (x0 ) 1 ，则 x0 的取值范围是
（）
（A）（ 1，1） （C）（ ， 2 ） （0， ）
①
P
l
N
M
M
P
l
l
M
N
N
l
M
⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分 12 分）
已知复数 z 的辐角为 60 ，且| z 1 |是| z | 和| z 2 |的等比中项，求| z |
18．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面是等腰直角
围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速
4．函数 y 2 sin x(sin x cos x) 的最大值为
（B）（ 1， ） （D）（ ， 1） （1， ）
（）
（A）1 2
（B） 2 1
（C） 2
（D）2
5．已知圆 C： (x a) 2 ( y 2) 2 4 （ a 0 ）及直线 l ： x y 3 0 ，当直线 l 被 C 截
得的弦长为 2 3 时，则 a
sin sin
12[cos(
) cos( )]
表示球的半径.
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 奎奎奎奎奎 第Ⅰ卷（选择题共 60分）
一.选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的
1．已知 x ( 2 ，0），cos x 4 ，则tg2x
2 5
，
2 3
）
11．
lim
n
C 22
n(C
1 2
C32 C31
C 42 C 41
Cn C2n1 )
（）
（A）3
（B） 1 3
（C） 1 6
（D）6
12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）
（A） 3 （B） 4
（C） 3 3
（D）
6
2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）
（）
（A） 2
（B） 2 2
（C） 2 1
（D） 2 1
6．已知圆锥的底面半径为 R，高为 3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
（）
（A） 2 R 2
（B） 9 R 2 4
（C） 8 R 2 3
（D） 3 2
R2
7．已知方程 (x 2 2x m)(x 2 2x n) 0 的四个根组成一个首项为 1 的的等差数列，则
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷（非选择题共 90分）
二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16分 把答案填在题中横线上
奎奎奎奎奎
奎奎奎奎奎
13． (x2
1 2x
)
9
的展开式中
x
9
系数是
14．使log 2( x) x 1 成立的 x 的取值范围是
15．如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地
的中点
P 0
沿与
AB
的夹角
的方向射到
BC
上的点
P 1
后，依次反射到
CD、DA
和
AB
上的点 P2 、 P3 和 P4 （入射角等于反射角），设 P4 的坐标为（ x4 ，0），若1 x4 2 ，
则 tg 的取值范围是
（）
（A）（ 1 ，1） 3
（B）（
1 3
，
2 3
）
（C）（
2 5
，
1 2
）
（D）（
4
|m n|
（）
（A）1
（B） 3
4
（C） 1 2
（D） 3 8
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ 7 ，0），直线 y x 1 与其相交于 M、N 两
点，MN 中点的横坐标为 2 ，则此双曲线的方程是 3
（A） x 2 y 2 1 （B） x2 y 2 1 （C） x2 y 2 1 （D） x 2