人教A版 利用空间向量证明空间中的位置关系 学案
人教A版 利用空间向量证明空间中的位置关系 学案
第七节立体几何中的向量方法第一课时利用空间向量证明空间中的位置关系知识体系必备知识1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.(3)确定平面的法向量①直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.②待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由错误!未找到引用源。
解方程组求得.(4)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2方向向量分别为n1,n2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=01.易错点:(1)直线方向向量的求法一般利用直线(线段)所在的向量作为方向向量,但是直线上的任意线段、与直线平行的线段都可以作为方向向量.(2)平面法向量的求法①先选取平面内任意两个不共线向量,再利用法向量与这两个向量垂直,数量积为零,构造方程组,赋值法求法向量.②选取平面内的向量时,应尽量选取“简单”“特殊”的向量,例如与坐标轴平行的向量、二面角的轴所在的向量,可以简化求法向量的运算过程.2.注意点:直线的方向向量、平面的法向量与线线、线面、面面位置关系(1)方向向量和法向量平行、垂直⇔线线和面面的平行、垂直.(2)方向向量和法向量平行⇔线面垂直.(3)方向向量和法向量垂直⇔线面平行.基础小题1.给出下列说法:①一条直线的单位方向向量是唯一的;②一个平面的单位法向量是唯一的;③已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),则平面ABC的一个单位法向量是(1,1,1);④已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是错误!未找到引用源。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)-高二数学(人教A版选择性必修第一册)
.
答案:平行
解析:因为u·n=(-1,2,-3)·(4,-1,-2)=0,所以u⊥n.所以直线与平面平行,即l∥β.
新知应用
题型一：利用方向向量、法向量判断位置关系
1.根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：
(1)直线 l1，l2 的方向向量分别是
a＝(1，－3，－1)，b＝(8，2，2)；
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,
问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
解:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
在CC1上任取一点Q,连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1,
如图.设正方体的棱长为1,则可求得
M 0,1,
1
2
,N
于是 =
1
2
1
2
,1,1 ,D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).
,0,
1
2
,
1 =(1,0,1),
=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
+ = 0,
· 1 = 0,
则
得
+ = 0.
(2)平面α，β的法向量分别是
u＝(1，3，0)，v＝(－3，－9，0)；
(3)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(1，－4，－3)，u＝(2，0，3)；
(4)直线 l 的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3，2，1)，u＝(－1，2，－1)．
新知应用
解：
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
空间中直线、平面的平行、垂直教学设计（一）教学内容空间直线、平面间的平行、垂直关系的向量表示，证明直线、平面位置关系的判定定理.（二）教学目标通过用向量方法判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系．发展用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行、垂直关系的判定定理的能力．提升学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.（三）教学重点及难点重点：用向量方法解决空间图形的平行、垂直问题．难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，如何把立体几何问题转化为空间向量问题．（四）教学过程设计新课导入：因为空间向量可以表示空间中的点、直线、平面，所以自然地会联想到利用空间向量及其运算可以表示“直线与直线”“直线与平面”和“平面与平面”之间的平行、垂直等位置关系，解决此问题的关键是转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.教材对空间中直线、平面的平行和垂直两种位置关系分开研究，首先研究空间中直线、平面的平行.1.空间中直线、平面的平行问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？师生活动：学生思考，教师点拨.问题1.1由直线与直线平行，可以得到直线的方向向量间有什u1l1u2l2的方向向量分别为u,v ,则l 1//l 2u //v u =λv , λ∈R.问题1.2由直线与平面平行、平面与平面平行，可以得到直线与面平行.得出结论：直线与平面平行还可以用直线的方向向量与平面法向量垂直进行，平面平行可以转化为法向量共线，教师可以结合右图启发学生对此进行研究.设计意图: 实现将直线平行与直线的方向向量平行的互相转化，直线和平面的平行与直线的方向向量和平面法向量垂直的转化，平面平行与平面法向量共线的转化. 2．空间中直线、平面的平行例题例2. 已知:如图，a ⊄β，b ⊂β，a ⋂b =P ， a //α，b //α. 求证:α//β.师生活动：学生读懂题意，尝试分析解答.老师引导分析.分析：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，则由已知条件可得n·u =n·v =0，由此可以证明n 与平面β内的任意一个向量垂直，即n 也是β的法向量.学生完成证明, 教师示范解答. 证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .αn 1βn 2a buvP αnβ因为a //α，b //α， 所以n·u =0，n·v =0.因为a ⊂β，b ⊂β，a ⋂b =P ，所以对任意点Q ∈β，存在x ，y ∈R,使得 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xu +yv . 从而n·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n·(xu +yv )=xn· u +yn· v =0. 所以，向量n 也是平面β的法向量．故α//β.设计意图：例2是用向量方法证明平面与平面平行的判定定理，设置例2的目的是使学生体会利用法向量证明两个平面平行的一般基本思路.例3.如图在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BC=3，CC 1=2． 线段BC 上是否存在点P ，使得A 1P//平面 ACD 1? 师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析.分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，以及平面ACD 1的法向量n 等都可以用坐标表示．如果点P 存在，那么就有n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由此通过向量的坐标运算可得结果.学生完成求解，教师示范解答.解:以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A,C,D 1的坐标分别为(3,0,0)，(0,4,0)，(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,4,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,2). 设n =(x,y,z )是平面ACD 1的法向量， 则n·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，n·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−3x +4y =0−3x +2z =0),所以x =23z ，y =12z .取z =6,则x =4,y =3, 所以n =(4,3,6)是平面ACD 1的一个法向量,由A,C,B 1的坐标分别为（3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)， 得A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,0,-2)DABC D 1A 1B 1C 1设点P 满足B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1)， 则B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,0,-2λ)，所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,4,-2λ).令n·A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=12，这样的点P 存在 所以,当B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P//平面ACD 1.设计意图：例3是用向量方法判断直线与平面平行的问题，设置例3的目的是使学生体会利用法向量和坐标法解决直线与平面平行问题的一般思路.本题也可以利用共面的充要条件求解. 3.空间中直线、平面的垂直问题2：在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？师生活动：教师引导学生结合图形研究线与面垂直，两平面垂直.教师引导学生类比已经经历了研究空间中直线、平面平行的过程，对直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直关系的研究可以类似地进行，让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式.问题2.1 直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1，v 2，直线l 1，l 2垂直时,方向向量v 1，v 2有什么关系？师生活动：让学生自主探究显现垂直时，直线方向向量v 1，v 2有什么关系，教师展示答案.问题 2.2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究线面垂直时，直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.问题2.3：由平面与平面的垂直关系,可以得到这两个平面的法向量间有什么关系呢？师生活动：让学生自主探究面面垂直时，两个平面的法向量间有什么关系，教师展示答案.设计意图：让学生自主探究，将研究直线、平面间的垂直关系转化为研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.然后借助图形分别给出直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的向量表达式，进一步体会空间向量在研究直线、平面间位置关系中的作用. 4.空间中直线、平面的垂直例题例4 如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，求证：直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.师生活动：学生读懂题意，尝试解答，老师引导分析.分析：根据条件建立适当的基底向量，通过向量运算证明直线A 1C ⊥平面BDD 1B 1.证明：设AB a =，AD b =，1AA c =，则{,,}a b c 为空间的一个基底且1AC a b c =+-，BD b a =-，1BB c =.因为AB ＝AD ＝AA 1＝1， ∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°， 所以2221ab c ===，12a b b c c a ⋅=⋅=⋅=. 在平面BDD 1B 1上，取BD 、1BB 为基向量，则对于面BDD 1B 1上任意一点P ，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得1BP BD BB λμ=+. 所以，1111()()()0AC BP AC BD AC BB a b c b a a b c c λμλμ⋅=⋅+⋅=+-⋅-++-⋅=. 所以1AC 是平面BDD 1B 1的法向量． 所以A 1C ⊥平面BDD 1B 1.设计意图：设置例 4 的目的是使学生体会“基底法”比“坐标法”更具有一般性.教学时要注意让学生体会空间向量基本定理在证明中的作用，体会用空间向量解决问题的一般方法.例 5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.师生活动：学生读懂题意，尝试解答.老师引导分析,学生完成证明.已知：如图，l⊥α，1⊂β,求证：α⊥β.证明：取直线 l 的方向向量u⃗，平面β的法向量n⃗.因为l⊥α，所以u⃗是平面α的法向量.因为1⊂β，而n⃗是平面β的法向量，所以u⃗⊥n⃗.所以α⊥β.设计意图：设置例 5 的目的是使学生体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路.教学时要注意突出直线的方向向量和平面的法向量的作用，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系，通过向量的运算，得到空间图形的位置关系.5.课堂小结，反思感悟（1）知识总结：（2）学生反思：①通过这节课，你学到了什么知识？②回顾这节课的学习，空间中用向量法判断直线、平面平行与垂直用的具体方法？③在解决问题时，用到了哪些数学思想？设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,教给学生如何总结，提升学生的数学“学习力”. 6.课堂检测与评价1. 如图，在正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF//平面ACD 1.证明:设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz , 则根据题意A(2,0,0)，C( 0,2,0)，D 1(0,0,2 )，E( 2,1,1 )， F( 1,1,2 ) 所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设n=( x , y ,z )是平面ACD 1的一个法向量，则n ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以{n ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0n ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2z =0)，取x = 1，则y =1，z = 1，所以n = ( 1,1,1 ) 又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n =(−1,0,1)·(1,1,1)= − 1+1=0，所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 所以EF 平面ACD 1.2.如图所示，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明：由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝(－2,0，12)． 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎨⎧ n 1·AA1→＝0，n 1·AC→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎨⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .设计意图：第一题证明线面平行，第二题用向量法证明面面垂直，恰当建系向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度，可以使学生巩固课上所学习的知识.7.作业布置完成教材：第31页练习第1，2题第33页练习第1，2，3题第41 页习题1.4 第5，8，11题（六）教学反思1.认识与运用向量及其运算中数与形的关联，体会转化思想.教学中应结合几何图形予以探讨，特别要重视平行六面体、长方体模型作用，引导学生借助图形理解它们，注意避免不联系几何意义的死记硬背;2.深化理解向量运算的作用,正是有了向量运算，向量才显示其重要性.要引导学生结合几何问题，关注向量运算在分析解决问题中的作用;3.重视综合方法、基底向量方法、建立坐标系方法各自特点的分析与归纳，综合方法以逻辑推理作为工具解决问题，基底向量方法利用向量的概念及其运算解决问题，坐标方法利用数及其运算来解决问题，坐标方法常与向量运算结合起来使用，根据它们的具体条件和特点选择合适的方法.总之新的教材，让学生经历向量由平面向空间的推广，重视了知识的发生、发展过程，使学生学会数学思考和推理.。
141用空间向量研究直线平面的位置关系任务单-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性
编号：NO.25 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系学科：高二数学 数学组 时间： 2024年 月 日★ 学习目标1、理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示；2、理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联；1、理解向量坐标法证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的原理，并能简单应用 ★ 独学内化梳理空间中的平行与垂直：★ 合学探究1、(1)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k ＝______________.(2)若直线l 的方向向量为a ＝(2,0,4)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－1)，则直线l 与平面α的位置关系为________________.2.已知线段AB 的两端点坐标为A(9,3,4),B(9,2,1),则直线AB( )A.与坐标平面xOy 平行B.与坐标平面yOz 平行 空间中直线与直线平行 空间中直线与平面的平行 空间中平面与平面的平行12//u u λ⇔∃12u u λ=.u 是直线l n 是平面α的法向量，l α⊄，则 1//0l u n u n α⇔⊥⇔=⋅12,n n 分别是平面量，则 12////n n βλ⇔⇔∃12n n λ=.l 1的方向向量为，a 2，a 3)，直线l 2的方向向量为v ＝(b 1，b 2，b 3)，2⇔u ·v ＝0⇔a 1b 1a 3b 3＝0b ，c )，平面α的法向量是n ＝(a 2，b 2，c 2)，C.与坐标平面xOz平行D.与坐标平面yOz相交3.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点, 求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1 F.★检学作业1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为AC的中点．求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE⊥平面A1D1F.。
高二数学人教A版2019选择性导学案1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系(第1课时)_1
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第1课时）导学案学习目标1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.会求直线的方向向量与平面的法向量.3.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.4.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.5.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断．重点难点●重点：会求直线的方向向量与平面的法向量●难点：能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系课前预习自主梳理知识点一空间中点、直线和平面的向量表示1．空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．2．空间中直线的向量表示式：如图，a是直线l的方向向量，点A和点P为直线l上的点，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得．②①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由唯一确定．3．空间平面的向量表示式：取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使③我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由唯一确定．4．平面的法向量：直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的．给定一个点A 和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合 ．思考：直线的方向向量和平面的法向量是不是唯一的？提示 直线的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量都是共线向量．解题时，可以选取坐标最简的向量作为方向向量或法向量．知识点二 空间中直线、平面的平行1.线线平行的向量表示:设12,u u 分别是直线12,l l 的方向向量,则12//l l ⇔⇔,使得.2.线面平行的向量表示:设u 是直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量, l α⊄,则//l α0u n u n ⇔⊥⇔⋅=3.面面平行的向量表示:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量,则12////n n αβ⇔,λ⇔∃∈R 使得. 自主检测1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反． ( )(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行． ( )(3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行． ( )(4)若向量a 是直线l 的一个方向向量，则向量ka 也是直线l 的一个方向向量．( ) 2.已知(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)C ，则平面ABC 的一个法向量可以是 （ ） A ．(1,1,1)--- B ．(1,1,1)- C ．(1,1,1)- D ．(1,1,1)-3.若平面//αβ，且平面α的一个法向量为1(2,1,)2=-n ，则平面β的法向量可以是（）A ． 11(1,,)24-- B ．()2,1,0- C ．()1,2,0 D ． 1(,1,2)24.以下真命题共有___________个.①一个平面的单位法向量是唯一的；②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行；③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.新课导学学习探究环节一：创设情境,引入课题引导语：我们已经把向量从平面推广到空间,并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题．环节二：观察分析,感知概念1．空间中点、直线和平面的向量表示我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此,为了用空间向量解决立体儿何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面．教师引导学生思考下列问题：问题1：如何确定一个点在空间的位置？思考：如何用向量表示空间中的一个点．如图,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示．我们把向量称为点的位置向量．环节三：抽象概括,形成概念问题2：在空间中给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一条直线在空间中的位置吗？思考我们知道,空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线．如何用向量表示直线用向量表示直线,就是要利用点A和直线的方向向量表示直线上的任意一点．如图,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,由向量共线的条件可知,点在直线上的充要条件是存在实数,使得进一步地,如图,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①将代入①式,得①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．你能证明这个结论吗？环节四：辨析理解,深化概念问题3：给一个定点和两个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？思考一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地,一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定,如何用向量表示这个平面？我们知道,平面可以由内两条相交直线确定．如图,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和,为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得这样,点与向量,不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点．这种表示在解决几何问题时有重要作用．进一步地,如图1.45,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,,使我们把③式称为空间平面的向量表示式．由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．问题4：给一个定点和一个定方向（向量）,能确定一个平面在空间中的位置吗？我们知道,给定空间一点A和一条直线,则过点A且垂直于直线的平面是唯一确定的．由此得到启发,我们可以利用点A和直线的方向向量来确定平面．如图1.46,直线．取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量（normalvector ）．给定一个点A 和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合． 如果另有一条直线,在直线上任取向量,与有什么关系?环节五：课堂练习,巩固运用例1如图1.47,在长方体中,,,,是的中点．以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求平面的法向量； （2）求平面的法向量．求平面的法向量,通常只需要求出平面的一个法向量,求直线的方向向量也是如此．环节六归纳总结,反思提升请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：1.本节课学习的概念有哪些？2.在解决问题时,涉及的数学核心素养？1.本节学习了① 空间中点的向量表示；② 直线的向量表示；③ 平面的法向量的求法④ 平面的法向量的求法2.涉及的数学核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算。
人教A版 选择性必修第一册 用空间向量研究直线、平面的位置关系 课件(12张)
例 1 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的
两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：
a
,b,a
bP
,a//
,b//
.
求证：
//
a
b
P
v
n
1.2.2
空间中的平面与空间向量
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
证明：取平面的法向量n，直线a，b的
=(0,2,-1),
∵ ∥ ,∴y(-1)-2(z-1)=0,①
∵=(0,2,0)是平面 PAB 的法向量,
又=(-1,y-1,z),CE∥平面 PAB,∴ ⊥ ,∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=0.
1
∴y=1,代入①得 z=2,∴E 是 PD 的中点,
∴当点 E 为 PD 中点时,CE∥平面 PAB.
面面平行
设n1 , n2分别是平面，的法向量，则 ∥ n1 // n2
R, 使n1 n2
2.思想方法总结
（1）向量的代数法 、几何法 （2）三点共线（3）转化与化归
0 1,
设点P满足B1 P B1C，
则B1 P 3 ,0,2 ，所以
A1 P A1 B1 B1 P 3 ,4,2
D1z
A1
C1
B1
O
A
x
1
令n A1 P 0，得 12 12 12 0，解得 ，
2
1
归纳总结
1.知识总结
位置关系
向量表示
线线平行
用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
B
所以A1C是平面BDD1B1的法向量. 所以A1C 平面BDD1B1 .
例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直．
已知：如图, l , l , 求证： .
证明：取直线l的方向向量u, 平面的法向量n. 因为l , 所以u是平面的法向量.
中点, F是BC的中点. 求证：平面EAD1 平面EFD1.
证明：建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1, 0, 0), D1(0, 0, 1), E(0,1, 0),
F
1 2
, 2, 0 ,
AD1
(1, 0,1),
AE
(1,1, 0),
ED1
z
(0, 1,1),
EF
1 2
,1,
0
设n1 ( x1, y1, z1 )是平面EAD1的法向量,
那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行 、垂直关系呢？
首先来看平行的问题．
环节二：观察分析，感知概念
知识点1：空间中直线、平面的平行
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面 的关键量．
那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？ 首先来看平行的问题．
思考 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到
EF n,
DE
C y
又EF 平面ACD1, EF / / 平面ACD1. A
B
x
环节四：辨析理解，深化概念
知识点2：空间中直线、平面的垂直
思考 类似空间中直线、平面平行的向量表示在直线与直线、直线与平面、平面与 平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
新教材高中数学第一章空间向量与立体几何 用空间向量研究直线平面的位置关系学案人教A版选择性必修第一册
用空间向量研究直线、平面的位置关系【学习目标】1. 空间中点、直线、平面的向量表示 （1）点的向量表示在空间中,我们取一定点O 作为基点,那么空间中任意一点P 就可以用向量OP →来表示。
我们把向量OP →称为点P 的。
(2)直线的向量表示(3)通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：2.在空间直角坐标系下,求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ,y ,z )；(2)找出(求出)平面内的两个的向量a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2)；(3)根据法向量的定义建立关于x ,y ,z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0；(4)解方程组,取其中的,即得平面的一个法向量． 3. 空间中直线、平面的平行设直线l ,m 的方向向量分别为a ,b ,平面α,β的法向量分别为μ,v ,则4. 空间中直线、平面的垂直设直线l的方向向量为a＝(a1,b1,c1),直线m的方向向量为b＝(a2,b2,c2),平面α的法向量μ＝(a3,b3,c3),平面β的法向量为v＝(a4,b4,c4),则线线垂直l⊥m⇔⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔【小试牛刀】1.判断正错(1)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行．()(2)若直线l1,l2的方向向量分别为a＝(1,2,－2),b＝(－2,3,2),则l1⊥l2.()(3)平面α的法向量是唯一的,即一个平面不可能存在两个不同的法向量．()(4)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直．()(5)两个平面的法向量平行,则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直．()2．若A(1,0,－1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是( )A．(2,2,6) B．(－1,1,3)C．(3,1,1) D．(－3,0,1)3．已知平面α的法向量为a＝(1,2,－2),平面β的法向量为b＝(－2,－4,k),若α⊥β,则k等于( ) A．5 B．4 C．－4 D．－5【经典例题】题型一求平面的法向量例 1 如图所示,在四棱锥S－ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC＝90°,SA⊥底面ABCD,且SA＝AB＝BC＝1,AD＝12,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量．[跟踪训练] 1 已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量．题型二空间中直线、平面的平行问题注意：利用向量证明平行问题,可以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题．例2 已知u是平面α的一个法向量,a是直线l的一个方向向量,若u＝(3,1,2),a＝(－2,2,2),则l与α的位置关系是________．例3 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.[跟踪训练] 2 在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD＝DC,E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.题型三空间中直线、平面的垂直问题例4 如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,AA1＝4,求证：AC⊥BC1.例5 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点．(1)求证：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在直线AE 上求一点M ,使得A 1M ⊥平面AED .[跟踪训练]3 如图所示,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 与BD 的交点,G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面GBD .【当堂达标】1．下列命题中,正确命题的个数为( )①若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β ⇔ n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量,a 是直线l 的方向向量,若l 与平面α平行,则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知a ＝(2,4,5),b ＝(3,x ,y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2,则( ) A ．x ＝6,y ＝15 B ．x ＝3,y ＝152C ．x ＝3,y ＝15D ．x ＝6,y ＝1523．设直线l 1,l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1),b ＝(3,－2,m ),若l 1⊥l 2,则m 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．6 D ．104．设直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为b ,若a ·b ＝0,则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号) ①AB →；②AA 1→；③B 1B →；④A 1C 1→.6．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2),b ＝(x ,－2,3),且α⊥β,则x ＝________. 7．在三棱锥S －ABC 中,∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°,AC ＝2,BC ＝13,SB ＝29,则异面直线SC 与BC 是否垂直________．(填“是”或“否”)8. 如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD ⊥CD ,AB ∥CD ,AB ＝AD ＝2,CD ＝4,M 为CE 的中点． (1)求证：BM ∥平面ADEF ； (2)求证：BC ⊥平面BDE ； (3)证明平面BCE ⊥平面BDE .【参考答案】【自主学习】1.位置向量方向向量方向向量2.不共线一组解3. a ∥ba ·μ＝0μ＝k v (k ∈R )4. a·b ＝0a ＝k μ(k ∈R )a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 【小试牛刀】 1.√√×√√2. A 解析 ∵A ,B 在直线l 上,∴AB →＝(1,1,3),与AB →共线的向量(2,2,6)可以是直线l 的一个方向向量． 3. D 解析 ∵α⊥β,∴a ⊥b ,∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0,∴k ＝－5. 【经典例题】例1 解 以A 为坐标原点,AD ,AB ,AS 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0,C (1,1,0),S (0,0,1),则DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0,DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1.向量AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ,y ,z )为平面SDC 的一个法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝12x ＋y ＝0，n ·DS →＝－12x ＋z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2,得y ＝－1,z ＝1,故平面SDC 的一个法向量为(2,－1,1)．[跟踪训练] 1解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 由题意知AB →＝(－1,1,0),BC →＝(1,0,－1)．∵n ⊥AB →,n ⊥BC →,∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝－x ＋y ＝0，n ·BC →＝x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z .令x ＝1,则y ＝z ＝1.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)．例2 l ⊂α或l ∥α解 因为u ·a ＝(3,1,2)·(－2,2,2)＝3×(－2)＋1×2＋2×2＝0. 所以u ⊥a ,所以l ⊂α或l ∥α.例3 证明 (1)以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ,则有D (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),C 1(0,2,2),E (2,2,1),F (0,0,1),B 1(2,2,2),所以FC 1-→＝(0,2,1),DA →＝(2,0,0),AE →＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1,y 1,z 1)是平面ADE 的法向量,则n 1⊥DA →,n 1⊥AE →, 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2,则y 1＝－1,所以n 1＝(0,－1,2)． 因为FC 1-→·n 1＝－2＋2＝0,所以FC 1-→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ,所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1-→＝(2,0,0),设n 2＝(x 2,y 2,z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1-→,n 2⊥C 1B 1-→, 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1-→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1-→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2,得y 2＝－1,所以n 2＝(0,－1,2), 因为n 1＝n 2,所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .[跟踪训练] 2 证明 如图所示,建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设PD ＝DC ＝a .方法一连接AC ,交BD 于点G ,连接EG ,依题意得D (0,0,0),A (a,0,0),P (0,0,a ),E (0,a 2,a2)．因为四边形ABCD 是正方形,所以G 是此正方形的中心,故点G 的坐标为(a 2,a2,0),所以EG →＝(a 2,0,－a 2)．又PA →＝(a,0,－a ),所以PA →＝2EG →,这表明PA ∥EG .而EG ⊂平面EDB ,且PA ⊄平面EDB ,所以PA ∥平面EDB .方法二 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),DE →＝(0,a 2,a 2),EB →＝(a ,a 2,－a 2),则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2y ＋z ＝0，ax ＋y 2－z2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋z ＝0，2x ＋y －z ＝0.令y ＝－1,则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，z ＝1.所以n ＝(1,－1,1),又PA →＝(a,0,－a ),所以n ·PA →＝(1,－1,1)·(a,0,－a )＝a －a ＝0.所以n ⊥PA →.所以PA ∥平面EDB . 例4 证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3,BC ＝4,AB ＝5,∴AC ,BC ,C 1C 两两垂直．如图,以C 为坐标原点,CA ,CB ,CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系Cxyz . 则C (0,0,0),A (3,0,0),C 1(0,0,4),B (0,4,0),∵AC →＝(－3,0,0),BC 1-→＝(0,－4,4),∴AC →·BC 1-→＝0.∴AC ⊥BC 1.例5 (1)证明 以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2,则D (0,0,0),A (2,0,0),E (2,2,1),F (0,1,0),A 1(2,0,2),D 1(0,0,2), ∴DA →＝D 1A 1-→＝(2,0,0),DE →＝(2,2,1),D 1F -→＝(0,1,－2)． 设平面AED 的一个法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，n 1·DE →＝x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0.令y 1＝1,得n 1＝(0,1,－2)．同理,平面A 1FD 1的一个法向量为n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝(0,1,－2)·(0,2,1)＝0,∴n 1⊥n 2, ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)解 由于点M 在直线AE 上,因此可设AM -→＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ,λ), 则M (2,2λ,λ),∴A 1M -→＝(0,2λ,λ－2)．要使A 1M ⊥平面AED ,只需A 1M -→∥n 1,即2λ1＝λ－2－2,解得λ＝25.故当AM ＝25AE 时,A 1M ⊥平面AED .[跟踪训练]3 证明 方法一 如图取D 为坐标原点,DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2,则O (1,1,0),A 1(2,0,2),G (0,2,1),B (2,2,0),D (0,0,0), ∴OA 1→＝(1,－1,2),OB →＝(1,1,0),BG →＝(－2,0,1), 而OA 1→·OB →＝1－1＋0＝0,OA 1→·BG →＝－2＋0＋2＝0. ∴OA 1→⊥OB →,OA 1→⊥BG →,即OA 1⊥OB ,OA 1⊥BG , 而OB ∩BG ＝B ,∴OA 1⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后,设面GBD 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧BG →·n ＝0BD →·n ＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0－2x －2y ＝0,令x ＝1得z ＝2,y ＝－1,∴平面GBD 的一个法向量为(1,－1,2),显然A 1O →＝(－1,1,－2)＝－n , ∴A 1O →∥n ,∴A 1O ⊥平面GBD . 【当堂达标】1. C 解析 ①中平面α,β可能平行,也可能重合,结合平面法向量的概念,可知②③④正确．2. D 解析 由l 1∥l 2得,23＝4x ＝5y ,解得x ＝6,y ＝152.3. D 解析 ∵l 1⊥l 2,∴a ·b ＝0,∴－2×3－2×2＋m ＝0,∴m ＝10.4. D 解析 ∵a ·b ＝0,∴l ⊂α或l ∥α.5. ②③解析 ∵AA 1⊥平面ABC ,B 1B ⊥平面ABC ,∴AA 1→与B 1B →可以作为平面ABC 的法向量． 6. －4解析 ∵α⊥β,∴a ·b ＝0,∴x －2＋2×3＝0,∴x ＝－4.7.是解析 如图,以A 为坐标原点,AB ,AS 所在直线分别为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系Axyz ,则由AC ＝2,BC ＝13,SB ＝29, 得B (0,17,0),S (0,0,23),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，0, SC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21317，417，－23,CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－21317，1317，0. 因为SC →·CB →＝0,所以SC ⊥BC .8. 证明 ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ,平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ,AD ⊥ED ,ED ⊂平面ADEF , ∴ED ⊥平面ABCD .以D 为坐标原点,DA →,DC →,DE →分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则D (0,0,0),A (2,0,0),B (2,2,0),C (0,4,0),E (0,0,2),F (2,0,2)． (1)∵M 为EC 的中点,∴M (0,2,1),则BM →＝(－2,0,1),AD →＝(－2,0,0),AF →＝(0,0,2), ∴BM →＝AD →＋12AF →,故BM →,AD →,AF →共面．又BM ⊄平面ADEF ,∴BM ∥平面ADEF .(2)BC →＝(－2,2,0),DB →＝(2,2,0),DE →＝(0,0,2), ∵BC →·DB →＝－4＋4＝0,∴BC ⊥DB . 又BC →·DE →＝0,∴BC ⊥DE .又DE ∩DB ＝D ,DB ,DE ⊂平面BDE ,∴BC ⊥平面BDE .（3）证明 由(2)知BC ⊥平面BDE ,又BC ⊂平面BCE ,∴平面BCE ⊥平面BDE .。
人教A版选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系课件
课堂练习
2. 已知正方体ABCD A1 B1C1 D1的棱长为1，以D为原点，
{DA, DC, DD1}
为单位正交基底建立空间直角坐标系.求证：A1C BC1
解：由题意可得：
A1 (1, 0 ,1) , B(1,1, 0) , C (0 ,1, 0) , C1 (0 ,1,1)
A1C (1，
分析：
根据条件，可以{AB ，AD ，AA1}为基底，
并用基向量表示AC1和平面BDD1B1，
D1
再通过向量的运算证明A1C是平面BDD1B1
C1
A1
的法向量即可
{P | A1C BP =0}
B1
C
D
A
B
典例分析
例题4 如图，在平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 中，AB AD AA1 1，
设平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2，则
面面垂直
n
·
n
＝0
n
⊥n
1
2
1
2
α⊥β⇔
⇔
图示
知识梳理
辨 析 判断下列说法是否正确．
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．
(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向
向量的数量积为0.
(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线
所以,向量 n也是平面 的法向量, 故 / / .
典例分析
例题3 如图, 在长方体ABCD A1 B1C1 D1中, AB 4, BC 3, CC1 2.
B1C上是否存在点P , 使得A1 P / / 平面ACD1 ?
用空间向量研究直线、平面的位置关系 高中数学获奖教案
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.二、教学重难点1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系2.用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系三、教学过程1.创设情境，从图形中探究新知问题1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？观察下图回答。
【预设的答案】位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0线面垂直设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0【设计意图】类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，类比学习用空间向量解决空间中的垂直问题，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想.热身活动1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u 1=(1,0,1),u 2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )【预设的答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√【设计意图】进一步将空间中线线、线面、面面的位置关系，转化为向量语言。
用空间向量研究直线、平面的位置关系(第二课时)教案-2021-2022学年高二上学期人教A版数学必修
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1..能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。
2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理。
3. 能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。
二、教学重难点1.用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。
2.用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系。
三、教学过程1.创设情境，从图形中探究新知问题1：生活中有很多线线平行，线面平行，面面平行的建筑，比如左下图上海世博会的中国馆，右下图是加拿大馆，我们肯定不能仅凭眼睛判断建筑的各个面之间是否平行。
下图是武汉大学校门，校门上部的下边线与柱子垂直,我们就能知道下边线与地面平行。
这是为什么呢?问题2：由直线与直线的平行关系, 可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？【预设的答案】 。
，使得存在实数→→→→=⇒⇒122121////u u u u l l λλ问题3：由直线与平面的平行关系, 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？【预设的答案】.0//=•⇒⊥⇒→→→→n u n u l α问题4：由平面与平面的平行关系, 可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？【预设的答案】。
，使得→→→→=∈∃⇔⇔1221////n n R n n λλβα【设计意图】给出直线、平面平行的直观图形，引导学生将线线平行，线面平行，面面平行问题，转化为直线的方向向量和法向量之间位置关系进行表述，学生从中初步体会空间几何问题代数化的基本思想. 活动：小试牛刀1.若两条直线的方向向量分别是),4,,6(),,2,3(y b x a -=-=→→,且两条直线平行,则, ==y x2.若平面α∥β,则下面可以是这两个平面法向量的是( )A. n 1=(1,2,3),n 2=(-3,2,1) B. n 1=(1,2,2),n 2=(-2,2,1)C. n 1=(1,1,1),n 2=(-2,2,1) D. n 1=(1,1,1),n 2=(-2,-2,-2)【预设的答案】 1. 4，-2.2.D 因为平面α∥β,所以两个平面的法向量应该平行,只有D 项符合.【设计意图】让学生体会将空间中线线、面面的平行关系，转化为向量语言以及向量的坐标运算。
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册
课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA008 学科数学年级高二学期上学期课题用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）教科书书名：选择性必修第一册数学（A版）出版社：人教社出版日期：年月教学人员姓名单位授课教师李健北京景山学校指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面平行关系的判定定理．教学重点：用向量方法解决空间图形的平行问题．教学难点：建立空间图形基本要素与向量之间的关系，把立体几何问题转化为空间向量问题．教学过程时间教学环节主要师生活动上节课我们学习了如何用空间向量表示空间中的直线和平面，我们发现，直线的方向向量和平面的法向量是表示和确定空间中的直线和平面的关键量. 上学期，我们还学过空间中直线、平面的各种位置关系，你能用直线的方向向量、平面的法向量的位置关系刻画空间直线、平面的平行、垂直关系吗？进一步将立体几何与空间向量联系起来. 我们先看平行问题.问题1：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？如图，设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量. 由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行. 所以l1//l2⇔u1//u2，而且由向量的共线定理可以得到121212////,.l lλλ⇔⇔∃∈=R使得u u u u问题2：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量有什么关系呢？如图，设u 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l α⊄.如果//l α，根据直线的方向向量和平面的法向量的定义可知，⊥u n ；反过来，如果⊥u n ，且l α⊄，那么//l α. 所以//l α⇔⊥u n . 由向量的数量积运算，可以得到//0.l α⇔⊥⇔⋅=u n u n问题3：由平面与平面的平行关系，可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？如图，设n 1，n 2分别是平面,αβ的法向量. 由法向量的定义可知，如果两个平面平行，那么它们的法向量一定平行；反过来，如果两个平面的法向量平行，那么这两个平面也平行. 所以α//β⇔ n 1//n 2. 由共线向量定理，可以得到1212////,.αβλλ⇔⇔∃∈=R 使得n n n n下面我们看一个例题，这个例题是前面我们学习的一个判定定理，当时没有给出证明，例1证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，,,,//,//.a b a b P a b ββαα⊂⊂= 求证：//αβ.分析：证明两个平面平行，如果我们用两个平面平行的定义，就是要证明这两个平面没有公共点，要用反证法，有难度. 这也是前面学习时没有给出证明的原因. 今天，我们学习了用向量的位置关系刻画平面的位置关系，我们考虑用向的方法解决这个问题，从而完善立体几何定理的学习. 用向量法证明两个平面平行，就是要证明这两个平面的法向量平行，或者这两个平面是以同一个向量为法向量的. 下面我们就沿着这条思路证明这个定理.设平面α的法向量为n ，平面β内的两条相交直线a ，b 的方向向量分别为u ，v ，由已知条件可得//0,//0.a b αα⇒⊥⇒⋅=⇒⊥⇒⋅=u n u n v n v n即n 与平面β内的两个相交向量都垂直，由平面向量基本定理可知，平面β内的任意向量都可以由u ，v 的线性组合表示. 因此可以通过向量的运算证明n 与平面β内的任意一个向量都垂直，即n 也是平面β的法向量. 所以α//β.证明：设平面α的法向量为n ，直线a ，b 的方向向量分别为u ，v .因为//,//a b αα，所以u ⊥n ，v ⊥n ， 所以0,0.⋅=⋅=u n v n因为,,a b a b P ββ⊂⊂=，所以对任意点Q β∈，由平面向量基本定理可知，存在,x y ∈R ，使得PQ x y =+u v .从而()0PQ x y x y ⋅=⋅+=⋅+⋅=n n u v n u n v . 即PQ ⊥n .又因为PQ 是平面β内的任意一个向量， 所以，向量n 也是平面β的法向量. 所以//αβ.例1小结：在解决问题过程中，通过向量运算，我们可以证明平面α的法向量与PQ 垂直，即与平面β内的任意一个向量都垂直. 所以，平面α的法向量也就是平面β的法向量. 这样，我们证明了这两个平面平行.在这个过程中，我们通过向量的运算，证明垂直关系. 由有限个垂直关系，得到直线与平面内所有的直线都垂直. 这是数学学习中常用的方法.向量法可以解决很多立体几何问题，我们再看一个问题. .例2：如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =3，CC 1=2. 线段B 1C 上是否存在点P ，使得A 1P //平面ACD 1？分析：问题是是否存在满足条件的点P ，如何找呢？P 在哪儿？ 根据题目条件，点P 是否在B 1C 上？那么，如何表示P ？一般情形下，我们假设线段B 1C 上存在点P ，使得A 1P //平面ACD 1.这样，根据向量共线定理，我们有存在λ∈R ，使得B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 如何确定λ?由条件“A 1P //面ACD 1”, 可得A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n =0. 利用向量运算，确定与平面ACD 1的法向量的数量积等于0的向量. 进而求λ，如果λ存在，就说明存在点P .证明：在长方体中，由同一顶点出发的三条棱两两垂直，所以以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .，依题意，有A (3, 0, 0), C (0, 4, 0), D (0, 0, 2), 计算可得()()13,4,0,3,0,2AC AD =-=-.PD 1C 1B 1A 1DCBAA BC DA 1B 1C 1D 1xyz P设(),,x y z =n 是平面ACD 1的法向量. 则有10,0AC AD ⋅=⋅=n n ，所以340,320.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩ 所以2,31.2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取z =6，则x =4，y =3.于是()4,3,6=n 是平面ACD 1的一个法向量. 又由于A 1 (3, 0, 2), C (0, 4, 0), B 1 (3, 4, 2), 所以()()1110,4,0,3,0,2A B BC ==--. 设点P 满足()11=01B P BC λλ≤≤，则()1=3,0,2B P λλ--.所以()1111=3,4,2A P A B B P λλ=+--.令10A P ⋅=n ，得1212120λλ-+-=，解得1=2λ. 所以，当111=2B P BC ，即P 为B 1C 的中点时，A 1P //平面ACD 1. 例2小结：通过本道例题，我们初步体会了用向量法解决立体几何问题的步骤：（一）建系； （二）设点；（三）表示相关向量； （四）进行向量运算；（加减法运算、数乘运算、数量积运算） （五）把向量运算的结果“翻译”为几何结论.课堂小结： 知识内容：直线、平面的位置关系向量的位置关系向量的运算向量运算的坐标表示12//l l12//u u 12,λλ∃∈=R 使得u u111222x y z x y z ==//l α ⊥u n0⋅=u n121212++0x x y y z z =//αβ12//n n12,λλ∃∈=R 使得n n111222x y z x y z ==方法：我们通过例题，梳理了用向量法解决立体几何问题的步骤.在此过程中，提高了同学们数学运算、直观想象、逻辑推理等数学学科核心素养. 课后作业：1. 如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点. 直线AD 上是否存在点F ，使得AE //CF ?2. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面AB 1，面A 1C 1的中心. 求证：EF //平面ACD 1.FEABCDE FB 1ABCDC 1D 1A 1。
用空间向量研究直线、平面位置关系-空间中点、直线和平面的向量表示 高中数学新教材人教A版
进一步地，如图(2)，取定空间任意一点O，可以
得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实
数x，y使
= + + ③
我们把③式称为空间平面 ABC的向量表示式，
由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不
共线向量唯一确定.
我们知道,给定空间一点A和一条直线l，则过点A
且垂直于直线l的平面是唯一确定的. 由此得到启发，
设 =(x,y,z)是平面MCA1的法向量，
于是 =(2,3,3）是平面MCA1的一个
则 ⊥ ， ⊥
法向量.
1
1
1
1
y
课堂检测
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
√
×
√
(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;
(
)
(2)若v是直线l的方向向量,则λ(λ∈R)也是直线l的方向向量;
C
D
CC1=2，M是AB的中点．以D为原点，DA，DC，DD1所在
B
直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A
C
D
.
(1）求平面BCC1B1的法向量;
B
M
A
x
(2)求平面MCA1的法向量.
解:(1)因为y轴垂直于平面BCC1B，所以
∙ = − + =
n=(0,1,0)是平面 BCC1B1的一个法向量.
组成空间几何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先
要用向量表示空间中的点,直线和平面.
思考
如何用向量表示空间中的一个点坐标？
如图，在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 人教A版-选择性必修第一册
(2)根据线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行,要证明一条直线和一个平面平行,在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是 共线向量即可,需要特别说明已知直线的方向向量不在平面内. (3)根据共面向量定理可知,要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向 量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可. 3.证明面面平行的方法 设平面α的法向量为μ,平面β的法向量为v,则α∥β⇔μ∥v. 4.对于空间四点A,B,C,D,可通过证明下列结论成立来证明四点共面: (1) AB =x AC +y AD ; (2)对空间任一点O,OA =OB +x BC +y BD ; (3)对空间任一点O,OA =xOB +yOC +zOD (x+y+z=1); (4) AB ∥CD (或 AC ∥ BD 或 AD ∥ BC ).
求平面的法向量
平面的法向量的求解方法
(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).
(2)找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)依据法向量与平面中的两个不共线的向量的垂直关系建立关于x,y,z的方程组
n n
a b
0, 0.
(4)解方程组,取其中的一个解,即得一个法向量,方法是给x,y,z中的一个变量赋予一个值,赋
如图,正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直,已知BC=4,AB=AD =2.
(1)求证:AC⊥BF;
BP
(2)在线段BE上是否存在一点P,使得平面PAC⊥平面BCEF?若存在,求出 PE 的值;若不存在, 请说明理由.
解析 (1)证明:∵平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊥AD,AF⊂平面 ADEF, ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD,∴AF⊥AC. 过A作AH⊥BC于H,则BH=1,AH= 3 ,CH=3, ∴AC=2 3 ,∴AB2+AC2=BC2,∴AC⊥AB, ∵AB∩AF=A,∴AC⊥平面FAB, ∵BF⊂平面FAB,∴AC⊥BF. (2)假设存在.由(1)知,AF,AB,AC两两垂直. 以A为坐标原点, AB , AC , AF 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角 坐标系Axyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2 3 ,0),E(-1, 3 ,2).
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系教学设计
1.4.1⽤空间向量研究直线、平⾯的位置关系教学设计教材分析本节课选⾃《普通⾼中课程标准数学教科书-选择性必修第⼀册》（⼈教A版）第⼀章《空间向量与⽴体⼏何》，本节课主要学习⽤向量语⾔描述直线、平⾯的垂直关系并且⽤向量⽅法证明垂直问题。
本节课的学习，可以培养学⽣提出猜想、验证猜想、作出数学发现的意识，增强“平⾯化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能⼒。
⼆、教学⽬标1、能⽤向量语⾔表述直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯的垂直关系；2、能⽤向量⽅法证明必修内容中有关直线、平⾯垂直关系的判定定理；3、能⽤向量⽅法证明空间中直线、平⾯的垂直关系。
三、学科素养1.逻辑推理：⽤向量描述垂直关系；2.数学运算：向量的加减数乘、数量积运算；3.直观想象：直线、平⾯的垂直关系。
四、教学重难点1.教学重点：⽤向量语⾔表述直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯的垂直关系；2.教学难点：⽤向量⽅法证明空间中直线、平⾯的垂直关系。
五、教学准备多媒体 PPT教学过程（⼀）复习回顾，温故知新1. 回顾前⾯所学的怎么⽤⽤向量语⾔描述线线、线⾯、⾯⾯平⾏关系？学⽣回答：1）线线平⾏1. 线⾯平⾏1. ⾯⾯平⾏设计本环节意图：帮助学⽣通过复习所学的内容，巩固加深理解，并且通过类⽐上节所学内容，对本节所学内容起到⼀个承上启下的作⽤，从⽽帮助学⽣建⽴起学习数学的信⼼，激发学⽣的学习兴趣。
情景导学思考：类似空间中直线、平⾯平⾏的向量表⽰，在直线与直线、直线与平⾯、平⾯与平⾯垂直关系中，直线的⽅向向量、平⾯的法向量之间有什么关系？带着这个思考问题，⾃⾏阅读教材，类⽐平⾏的学习⽅法去想⼀下怎么⽤向量的⽅法去描述垂直问题。
（⼩组讨论）设计本环节意图： 抛出问题，让学⽣主动思考，⾃觉去阅读教材，主动积极去解决问题，从⽽提升学⽣的逻辑推理的学科素养⽔平。
学习新知通过阅读课本学习，相信同学们对怎么⽤向量来描述空间中的垂直关系已经有了⼀定的认识，那么，现在请同学们⼀起来探讨⼀下下⾯的三个思考。
新教材 人教A高中数学选择性必修第一册 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 教案教学设计
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系第一课时一、教学目标1. 能用向量语言描述点、直线和平面；2. 理解直线的方向向量和平面的法向量.二、教学重难点1. 教学重点理解直线的方向向量和平面的法向量.2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题.三、教学过程（一）新课导入我们已经学习了空间向量的相关概念及运算，那么空间向量有什么应用呢？本节我们将从空间中点、直线和平面的向量表示入手，研究空间向量在立体几何中的应用.（二）探索新知问题1 如何用向量表示空间中的一个点？如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.问题2 空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，如何用向量表示直线l？用向量表示直线l，就是要利用点A和直线l的方向向量表示直线上的任意一点.如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取AB=a，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得AP t=a，即AP t AB=.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使=+a，①OP OA t将AB=a代入①式，得OP OA t AB=+.②①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.证明上述结论：设l是空间中的任意一条直线，点M为其上一点，点P为其上任意一点，b为其方向向量，，，b bMP t OP OM t∴=∴-=∴=+b，OP OM t∴直线上任意一点P能用直线上一点M及直线的方向向量b表示，且一个实数t对应直线上唯一一个点P，∴空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.对直线的方向向量的理解：（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：①不能为零向量；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合.（2）一条直线的方向向量有无数个.（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定，也就是说，给定空间直线上一点A和直线的方向向量a，就可以确定唯一一条过点A的直线.问题3 一个定点和两个定方向能否确定一个平面？一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？（学生以小组为单位讨论探究，每组选出代表回答，教师引导、讲解）平面α可以由α内两条相交直线确定.如下图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP x ya b.=+这样，点O与向量a，b不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点.如下图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP OA xAB y AC=++.③我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.给定空间一点A和一条直线l，则过点A且垂直于直线l的平面是唯一确定的.由此可以利用点A和直线l的方向向量来确定平面.如下图，直线lα⊥.取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合a.P AP={|0}例1 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1432AB BC CC ===，，，M 是AB 的中点.以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面11BCC B 的法向量； （2）求平面1MCA 的法向量.解：（1）因为y 轴垂直于平面11BCC B ，所以1(010)=n ，，是平面11BCC B 的一个法向量. （2）因为1432AB BC CC ===，，，M 是AB 的中点，所以1M C A ，，的坐标分别为32004()()(3)002，，，，，，，，.因此1(320)(022)MC MA =-=-，，，，，. 设2()x y z =n ，，是平面1MCA 的法向量，则221MC MA ⊥⊥n n ，. 所以221320220MC x y MA y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩n n ，所以23x z y z⎧=⎪⎨⎪=⎩.取3z =，则23x y ==，.于是2(233)=n ，，是平面1MCA 的一个法向量.（三）课堂练习1.若点(1,0,1)(1,4,7)A B -，在直线l 上，则直线l 一个方向向量为( ) A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)答案：A解析：由题意，可得直线l 的一个方向向量()2,4,6AB =.又11(2,4,6)(1,2,3)22AB ==，所以向量()1,2,3是直线l 的一个方向向量.故选A.2.如图，在空间直角坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论：①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)；②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)，③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)；④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1).其中正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：111//(0,0,1)DD AA AA =，；111//(0,1,1)BC AD AD =，；直线AD ⊥平面11ABB A ，(0,1,0)AD =；1C 点的坐标为(1,1,1)，1AC 与平面1B CD 不垂直，∴④错.故选C.3.在ABC △中，()()()1,1,23,3,13,1,3A B C -，，，设(),,M x y z 是平面ABC 内任意一点. （1）求平面ABC 的一个法向量； （2）求, , x y z 满足的关系式.答案：（1）设平面ABC 的一个法向量(,,)a b c =n ， (2,4,1)(2,2,1)AB AC =-=，，240220AB a b c AC a b c ⎧=+-=⎪∴⎨=++=⎪⎩n n ，32c b a b =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，令2b =，则3,2a c =-=，所以平面ABC 的一个法向量为(3,2,2)=-n .（2）因为点(,,)M x y z 是平面ABC 内任意一点，AM ∴⊥n ，3(1)2(1)2(2)0x y z ∴--+++-=， 32210x y z ∴---=，故,,x y z 满足的关系式为32210x y z ---=.（四）小结作业 小结：1. 直线的方向向量及其求法；2. 平面的法向量及其求法. 作业： 四、板书设计1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）1. 直线的方向向量；2. 平面的法向量.第二课时一、教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 二、教学重难点 1. 教学重点用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 三、教学过程 （一）新课导入1. 复习：直线的方向向量和平面的法向量.2. 直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题.（二）探索新知问题1 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？（学生自主思考，举手回答，教师引导，最后讲解）如下图，设12u u ，分别是直线21l l ，的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以1212l l λ⇔⇔∃∈R u u ，使得12λ=u u .类似地，如下图，设u 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l α⊄则0lα⇔⊥⇔=u n u n .如下图，设12n n ，分别是平面αβ，的法向量，则12αβλ⇔⇔∃∈R n n ，使得12λ=n n .例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，a b a b P a b ββαα⊂⊂⋂=，，，，.求证：αβ.证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .因为a b αα，，所以00==n u n v ，.因为a b a b P ββ⊂⊂⋂=，，，所以对任意点Q β∈，存在x y ∈R ，，使得PQ x y =+u v . 从而()0PQ x y x y =+=+=n n u v n u n v . 所以，向量n 也是平面β的法向量. 故αβ.例2 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1432AB BC CC ===，，.线段1B C 上是否存在点P ，使得1A P平面1ACD ？证明：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为1A C D ，，的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以1(340)(302)AC AD =-=-，，，，，.设()x y z =n ，，是平面1ACD 的法向量，则100AC AD ==n n ，， 即340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以2312x z y z⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.取6z =，则43x y ==，.所以，(436)=n ，，是平面1ACD 的一个法向量.由11A C B ，，的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得11(040)A B =，，，1(302)B C =--，，.设点P 满足11(01)B P B C λλ=，则1(302)B P λλ=--，，，所以1111(342)A P A B B P λλ=+=--，，.令10A P =n ，得1212120λλ-+-=，解得12λ=，这样的点P 存在. 所以，当1112B P BC =，即P 为1B C 的中点时，1A P 平面1ACD .（三）课堂练习1.若平面αβ，的法向量分别为1(13)(126)2=-=--a b ，，，，，，则( )A.αβB.α与β相交但不垂直C.αβ⊥D.αβ或α与β重合答案：D解析：∵2=-b a ，∴b a ，∴αβ或α与β重合.故选D.2.已知平面α的法向量是(231)-，，，平面β的法向量是(42)λ-，，，若αβ，则λ的值是( ) A.103-B.6C.6-D.103答案：B 解析：∵αβ，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.∴23142λ-==-.∴6λ=.故选B. 3.已知直线l 过点10(1)P -，，，且l 平行于向量11(2)=a ，，，平面α过直线l 与点()123M ，，，则平面α的法向量不可能是( ) A.(142)-，， B.11(1)42-，，C.11(1)42--，，D.(011)-，，答案：D解析：因为(024)PM =，，，直线l 平行于向量a ，所以若n 是平面α的法向量，则必须满足00PM =⎧⎪⎨=⎪⎩n a n ，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D. 4.若不同的平面αβ，的一个法向量分别为111(1)(13)632=--=-m n ，，，，，，则α与β的位置关系为_______. 答案：平行解析：3////αβ=-∴∴，，n m m n .5.如图，已知梯形ABCD 中， //AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD .求证：//DF 平面ABE .答案：证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,3)E ，(1,3)F -， ∴(1,3)BE =--，(0,2,0)AB =， 设平面ABE 的法向量(,,)x y z =n ，∴23020x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，不妨设(3,0,1)=n ，又(3)DF =-， ∴330DF =-+=n ， ∴DF ⊥n ，又∵DF ⊄平面ABE ， ∴//DF 平面ABE .（四）小结作业小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 作业： 四、板书设计1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）1. 用向量刻画线线平行；2. 用向量刻画线面平行；3. 用向量刻画面面平行.第三课时一、教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 二、教学重难点 1. 教学重点用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 三、教学过程 （一）新课导入思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？（二）探索新知一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.1. 用向量刻画线线垂直如图，设直线21l l ，的方向向量分别为12u u ，，则 1212120l l ⊥⇔⊥⇔=u u u u .2. 用向量刻画线面垂直如图，设直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l αλ⊥⇔⇔∃∈R u n ，使得λ=u n .3. 用向量刻画面面垂直如图，设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则 12120αβ⊥⇔⊥⇔=n n n n .例1 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB AD AA ===，11A AB A AD ∠∠== 60BAD ∠=︒，求证：直线1AC ⊥平面11BDD B .证明：设1AB AD AA ===，，a b c ，则{}，，a b c 为空间的一个基底，且11A C BD BB =+-=-=，，a b c b a c . 因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒， 所以222112======，a b c a b b c c a . 在平面11BDD B 上，取1BD BB ，为基向量，则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对()λμ，，使得1BP BD BB λμ=+.所以1111()()()0A C BP A C BD A C BB λμλμ=+=+--++-=a b c b a a b c c . 所以1A C 是平面11BDD B 的法向量. 所以1AC ⊥平面11BDD B . 例2 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.已知：如图，l l αβ⊥⊂，， 求证：αβ⊥.证明：取直线l 的方向向量u ，平面β的法向量n . 因为l α⊥，所以u 是平面α的法向量.因为l β⊂，而n 是平面β的法向量，所以⊥u n . 所以αβ⊥.（三）课堂练习1.若直线l 的一个方向向量(222)=-，，a ，平面α的一个法向量为(111)=-，，b ，则( ) A. l α⊥ B. //l αC. l α⊂D. A ，C 都有可能 答案：A解析：∵直线的一个方向向量(222)=-，，a ，平面α的一个法向量为(111)=-，，b ， 又2=a b ，∴l α⊥.故选A.2.已知点(010)(101)(211)(0)A B C P x z --，，，，，，，，，，，，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A.(102)-，， B.(102)，， C.(102)-，， D.(201)-，，答案：C解析：由题意知(111)(201)(1)AB AC AP x z =---==-，，，，，，，，，又PA ⊥平面ABC ，所以(111)(1)0AB AP x z =----=，，，，，得10x z -+-=①，(201)(1)0AC AP x z =-=，，，，，得20x z +=②，联立①②，解得12x z =-=，，故点P 的坐标为(102)-，，.故选C. 3.已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(13)z =，，u ，向量(321)=-，，v 与平面α平行，则z =__________. 答案：3解析：∵平面α的法向量为(13)z =，，u .又v 与平面α平行， ∴133(2)10z =⨯+⨯-+⨯=u v ，解得3z =.4.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(214)(420)AB AD =--=，，，，，，(121)AP =--，，.对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的是__________.答案：①②③解析：∵00AB AP AD AP ==，，∴AB AP AD AP ⊥⊥，，则①②正确；又AB 与AD 不平行，∴AP 是平面ABCD 的法向量，则③正确；由于(234)BD AD AB =-=，，，(121)AP =--，，，∴BD 与AP 不平行，故④错误. 5.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点，证明11B C CE ⊥.答案：证明：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得(000)A ，，，(002)B ，，，(101)C ，，，1(022)B ，，，1(121)C ，，，(010)E ，，. 易得11(101)B C =-，，，(111)CE =--，，， 于是110B C CE =，所以11B C CE ⊥.（四）小结作业小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 作业： 四、板书设计1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）1. 用向量刻画线线垂直；2. 用向量刻画线面垂直；3. 用向量刻画面面垂直.。
2021-2022学年新教材人教A版选择性必修第一册 用空间向量研究直线、平面的位置关系 学案
第一章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系学案一、学习目标1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系，3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理. 二、基础梳理1.空间直线的向量表示式：取定空间中的任意一点O ，可以得到点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使OP OA t =+a ①，将AB =a 代人①式，得OP OA t AB =+②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.2.空间平面的向量表示式：取定空间任意一点O ，可以得到，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在实数x ，使OP OA xAB y AC =++③. 我们把③式称为空间平面ABC 的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.3.空间中直线、平面的平行：①直线与直线平行：设1u ，2u 分别是直线1l ，2l 的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以1212l l λ⇔⇔∃∈R u u ，使得12λ=u u .②直线与平面平行：设u 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l α⊄，则0l α⇔⊥⇔⋅=u n u n .③平面与平面平行：设1n ，2n 分别是平面α，β的法向量，则12αβλ⇔⇔∃∈R n n ，使得12λ=n n .4.空间中直线、平面的垂直：①直线与直线垂直：设直线1l ，2l 的方向向量分别为1u ，2u ，则1212120l l ⊥⇔⊥⇔=⋅u u u u . ②直线与平面垂直：直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则l αλ⊥⇔⇔∃∈R un ，使得λ=u n .③平面与平面垂直：设平面α，β的法向量分别为1n ，2n ，则12120αβ⊥⇔⊥⇔=⋅n n n n . 三、巩固练习1.已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为()1,3,z =-u ，向量()3,2,1=-v 与平面α平行，则实数z 等于( )A.3B.6C.-9D.92.若直线12,l l 的方向向量分别为()1,2,2=-a ，()2,3,2=-b ，则( ) A.12l lB.12l l ⊥C.12,l l 相交但不垂直D.不能确定3.已知平面α的一个法向量为()1,2,2=-a ，平面β的一个法向量为()2,4,k =--b ，若αβ⊥，则k =( ) A.4B.4-C.5D.5-4.已知平面α内的两个向量()1,1,1=a ，()0,2,1=-b ，且()4,4,1m n =++-c a b ，若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )A.1,2-B.1,2-C.1，2D.1,2--5.已知()3,1,2AB =-，平面α的一个法向量为()2,2,4=-n ，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( ) A.AB α⊥B.AB α⊂C.AB 与α相交但不垂直D.ABα6.若平面α的一个法向量为()11,0,1=n ，平面β的一个法向量为2(3,3),1=-n ，则平面α与β所成的角等于( ) A.30°B.45°C.60°D.90°7.对于空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，有111632OP OA OB OC =++，则( )A.O ，A ，B ，C 四点必共面B.P ，A ，B ，C 四点必共面C.O ，P ，B ，C 四点必共面D.O ，P ，A ，B ，C 五点必共面8.如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1A D ，AC 上，且1123A E A D =，13AF AC =，则( )A.EF 至多与1A D ，AC 之一垂直B.EF 与1A D ，AC 都垂直C.EF 与1BD 相交D.EF 与1BD 异面9.已知直线l 的方向向量为()2,,1m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且lα，则m =_____________.10.已知ABC △在平面α内，90A ∠=︒，DA ⊥平面α，则直线CA 与DB 的位置关系是__________________.11.若190,2,8A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,1,8B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，52,1,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭是平面α内的三点，设平面α的法向量(),,x y z =a ，则::x y z =_________________.12.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4)AB =--，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =--.对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP BD .其中正确的是________________.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PB 与底面ABCD 所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，112PA AB BC AD ====.问在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE平面PAB ?若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.14.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =.(1)求证：1AC BC ⊥；(2)在线段AB 上是否存在点D ，使得1AC CD ⊥？15.如图，正方形ABCD 的边长为22，四边形BDEF 是平行四边形，BD 与AC 交于点G ，O 为GC 的中点，3FO =，且FO ⊥平面ABCD .(1)求证：AE平面BCF ；(2)求证：CF ⊥平面AEF .答案以及解析1.答案：C解析：由题意可得⊥u v ，则360z ⋅=++=u v ，解得9z =-.故选C. 2.答案：B 解析：1(2)23(2)20⋅=⨯-+⨯+-⨯=a b ，∴⊥a b ，12l l ∴⊥.3.答案：D解析：αβ⊥，∴⊥a b ，2820k ∴⋅=---=a b .解得5k =-. 4.答案：A解析：(4,4,1)(,,)(0,2,)(4,4,1)(4,24,1)m n m m m n n m m n m n =++-=+-+-=++--+c a b .由c 为平面α的法向量，得00⋅=⎧⎨⋅=⎩c a c b ，即310590m n m n ++=⎧⎨+-=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩.5.答案：D解析：因为2(3)(2)1420AB ⋅=⨯-+-⨯+⨯=n ，所以AB ⊥n . 又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB α，故选D.6.答案：D解析：因为12(1,0,1)(3,1,3)0⋅=⋅-=n n ，所以αβ⊥，即平面α与β所成的角为90°.故选D. 7.答案：B解析：对于空间任一点O 和不共线三点A ，B ，C ，若点P 满足(,,)OP xOA yOB zOC x y z =++∈R 且1x y z ++=，则P ，A ，B ，C 四点共面.而111632OP OA OB OC =++，其中1111632++=，所以P ，A ，B ，C 四点共面.故选B.8.答案：B解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为3，则(3,0,0)A ，(0,3,0)C ，(0,0,0)D ，1(3,0,3)A ，(1,0,1)E ，(2,1,0)F ，(3,3,0)B ，1(0,0,3)D ，1(3,0,3)A D ∴=--，(3,3,0)AC =-，(1,1,1)EF =-，10A D EF ∴⋅=，0AC EF ⋅=，即1A D EF ⊥，AC EF ⊥，即1A D EF ⊥，AC EF ⊥.又1(3,3,3)BD =--，13BD EF ∴=-，1BD EF ∴.故选B.9.答案：8- 解析：lα，l ∴的方向向量与α的法向量垂直.11(2,,1)1,,222022m m ⎛⎫∴⋅=++= ⎪⎝⎭.解得8m =-.10.答案：垂直 解析：DA ⊥平面α，DA ∴是平面α的一个法向量.CA ⊂平面α，0DA CA ∴⋅=，在ABC △中，90A ︒∠=，0CA BA CA BA ∴⊥⋅⋅=，DA BA A ⋂=，CA ∴是DAB 平面的一个法向量，DB ⊂平面DAB ，0CA DB ∴⋅=，CA DB ∴⊥.11.答案：()2:3:4-解析：190,2,8A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,1,8B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，52,1,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，71,3,4AB ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，72,1,4AC ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.又00AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩a a ，73047204x y z x y z ⎧--=⎪⎪∴⎨⎪---=⎪⎩，解得2343x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，24::::2:3:(4)33x y z y y y ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭. 12.答案：①②③ 解析：0AB AP ⋅=，0AD AP ⋅=，AB AP ∴⊥，AD AP ⊥，∴①②正确.又AB 与AD 不平行，AP ∴是平面ABCD 的法向量，∴③正确.()2,3,4BD AD AB =-=，()1,2,1AP =--，BD ∴与AP 不平行，∴④错误.13.解析：假设在棱PD 上存在点E ，使得CE 平面PAB .以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，设()0,,E y x ，则()0,,1PE y z =-. PEPD ，(0,2,1)PD =-，(1)2(1)0y z ∴⨯---=，①易得(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量， (1,1,)CE y z =--，CE平面PAB ，CE AD ∴⊥，2(1)0CE AD y ∴⋅=-=，1y ∴=，代入①得12z =， 10,1,2E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，E ∴是PD 的中点，∴存在点E ，使得CE平面PAB ，此时点E 为PD 的中点.14.解析：(1)在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，AC BC ∴⊥，AC ∴，BC ，1CC 两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()3,0,0A ，()10,0,4C ，()0,4,0B ，()10,4,4B . (3,0,0)AC =-，1(0,4,4)BC =-， 10AC BC ∴⋅=，1AC BC ∴⊥，1AC BC ∴⊥.(2)假设在线段AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥， 设(3,4,0)AD AB λλλ==-，其中[0,1]λ∈， 则(33,4,0)D λλ-，于是(33,4,0)CD λλ=-.1(3,0,4)AC =-，且1AC CD ⊥，990λ∴-+=，得1λ=.∴在线段AB 上存在点D ，使得1AC CD ⊥，且这时点D 与点B 重合.15.解析：(1)取BC 的中点H ，连接OH ，则OH BD ，又四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，OH AC ∴⊥. 又FO ⊥平面ABCD ，FO OA ∴⊥，FO OH ⊥，∴以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()1,0,0C -，(3F ，()1,2,0B ， (2,2,0)BC ∴=--，3)CF =，(1,3)BF =--.设平面BCF 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22030x y x z --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1z =，得()3,3,1=n .又四边形BDEF 为平行四边形，(1,3)DE BF ∴==--， (3,3)AE AD DE BC DE ∴=+=+=--， 334330AE ∴⋅=-n ，AE ∴⊥n .又AE ⊄平面BCF ，AE ∴平面BCF .(2)(3)AF =-，330CF AF ∴⋅=-+=，330CF AE ⋅=-+=，CF AF ∴⊥，CF AE ⊥，又AE AF A ⋂=，CF ∴⊥平面AEF .。
人教A版选择性必修第一册 1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时 教案
第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）一、教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系；2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 二、教学重难点 1. 教学重点用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 三、教学过程 （一）新课导入1. 复习：直线的方向向量和平面的法向量.2. 直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题.（二）探索新知问题1 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？（学生自主思考，举手回答，教师引导，最后讲解）如下图，设12u u ，分别是直线21l l ，的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以1212l l λ⇔⇔∃∈R u u ，使得12λ=u u .类似地，如下图，设u 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，l α⊄则0lα⇔⊥⇔=u n u n .如下图，设12n n ，分别是平面αβ，的法向量，则12αβλ⇔⇔∃∈R n n ，使得12λ=n n .例1 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，a b a b P a b ββαα⊂⊂⋂=，，，，.求证：αβ.证明：如图，取平面α的法向量n ，直线a ，b 的方向向量u ，v .因为a b αα，，所以00==n u n v ，.因为a b a b P ββ⊂⊂⋂=，，，所以对任意点Q β∈，存在x y ∈R ，，使得PQ x y =+u v . 从而()0PQ x y x y =+=+=n n u v n u n v .所以，向量n 也是平面β的法向量. 故αβ.例2 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1432AB BC CC ===，，.线段1B C 上是否存在点P ，使得1A P平面1ACD ？证明：以D 为原点，1DA DC DD ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为1A C D ，，的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以1(340)(302)AC AD =-=-，，，，，.设()x y z =n ，，是平面1ACD 的法向量，则100AC AD ==n n ，， 即340320x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以2312x z y z⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.取6z =，则43x y ==，.所以，(436)=n ，，是平面1ACD 的一个法向量.由11A C B ，，的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得11(040)A B =，，，1(302)B C =--，，.设点P 满足11(01)B P B C λλ=，则1(302)B P λλ=--，，，所以1111(342)A P A B B P λλ=+=--，，.令10A P =n ，得1212120λλ-+-=，解得12λ=，这样的点P 存在. 所以，当1112B P BC =，即P 为1B C 的中点时，1A P 平面1ACD .（三）课堂练习1.若平面αβ，的法向量分别为1(13)(126)2=-=--a b ，，，，，，则( )A.αβB.α与β相交但不垂直C.αβ⊥D.αβ或α与β重合答案：D解析：∵2=-b a ，∴b a ，∴αβ或α与β重合.故选D.2.已知平面α的法向量是(231)-，，，平面β的法向量是(42)λ-，，，若αβ，则λ的值是( ) A.103-B.6C.6-D.103答案：B 解析：∵αβ，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.∴23142λ-==-.∴6λ=.故选B. 3.已知直线l 过点10(1)P -，，，且l 平行于向量11(2)=a ，，，平面α过直线l 与点()123M ，，，则平面α的法向量不可能是( ) A.(142)-，， B.11(1)42-，，C.11(1)42--，，D.(011)-，，答案：D解析：因为(024)PM =，，，直线l 平行于向量a ，所以若n 是平面α的法向量，则必须满足00PM =⎧⎪⎨=⎪⎩n a n ，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D. 4.若不同的平面αβ，的一个法向量分别为111(1)(13)632=--=-m n ，，，，，，则α与β的位置关系为_______. 答案：平行解析：3////αβ=-∴∴，，n m m n .5.如图，已知梯形ABCD 中， //AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD .求证：//DF 平面ABE .答案：证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,3)E ，(1,3)F -， ∴(1,3)BE =--，(0,2,0)AB =， 设平面ABE 的法向量(,,)x y z =n ，∴23020x y z y ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，不妨设(3,0,1)=n ，又(3)DF =-， ∴330DF =-+=n ， ∴DF ⊥n ，又∵DF ⊄平面ABE ， ∴//DF 平面ABE .（四）小结作业小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 作业： 四、板书设计1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第二课时）1. 用向量刻画线线平行；2. 用向量刻画线面平行；3. 用向量刻画面面平行.。
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第七节立体几何中的向量方法
第一课时利用空间向量证明空间中的位置
关系
知识体系
必备知识
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.
(3)确定平面的法向量
①直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.
②待定系数法:取平面的两条相交向量a,b,设平面的法向量为
n=(x,y,z),由错误!未找到引用源。
解方程组求得.
(4)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示
直线l1,l2的l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2
方向向量
分别为
n1,n2
l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0
直线l的方
向向量为
n,平面α
的法向量
为m
l∥αn⊥m⇔n·m=0
l⊥αn∥m⇔n=λm
平面α,β
的法向量
分别为n,m
α∥βn∥m⇔n=λm
α⊥βn⊥m⇔n·m=0
1.易错点:
(1)直线方向向量的求法
一般利用直线(线段)所在的向量作为方向向量,但是直线上的任意线段、与直线平行的线段都可以作为方向向量.
(2)平面法向量的求法
①先选取平面内任意两个不共线向量,再利用法向量与这两个向量垂直,数量积为零,构造方程组,赋值法求法向量.
②选取平面内的向量时,应尽量选取“简单”“特殊”的向量,例如与坐标轴平行的向量、二面角的轴所在的向量,可以简化求法向量的运算过程.
2.注意点:直线的方向向量、平面的法向量与线线、线面、面面位置关系
(1)方向向量和法向量平行、垂直⇔线线和面面的平行、垂直.
(2)方向向量和法向量平行⇔线面垂直.
(3)方向向量和法向量垂直⇔线面平行.
基础小题
1.给出下列说法:
①一条直线的单位方向向量是唯一的;②一个平面的单位法向量是唯一的;③已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(2,2,0),则平面ABC的一个单位法向量是(1,1,1);④已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是错误!未找到引用源。
.其中正确的说法有
________(只填序号).
【解析】一条直线的单位方向向量与一个平面的单位法向量有2个,它们是相反向量,故①,②错误;
对于③,平面ABC的单位法向量是(0,0,1)或(0,0,-1),故③错误;
对于④,=(-1,1,0),=(-1,0,1),
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则即错误!未找到引用源。
取n=(1,1,1),则平面ABC的一个单位法向量为错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,故④正确. 答案:④
2.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为
n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.P(2,3,3)
B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0)
D.P(3,-3,4)
【解析】选A.逐一验证法,对于选项A,=(1,4,1),所以·n=6-12+6=0,所以⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.
3.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.(-1,1,1)
B.(1,-1,1)
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【解析】选C.设n=(x,y,z)为平面ABC的法向量,
则化简得错误!未找到引用源。
所以x=y=z.结合选项知选C.
4.(教材改编)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果= (2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;④∥.其中正确的是________.(填序号)
【解析】由·=-2-2+4=0,所以⊥,所以AB⊥AP,所以①正确; 由·=-4+4+0=0,所以⊥,所以AP⊥AD,所以②正确;
由⊥,AP⊥AD,AB∩AD=A,知是平面ABCD的法向量,故③正确; 由=-=(2,3,4),=(-1,2,-1),
所以与不平行,故④错误.
答案:①②③
5.直线l的方向向量s=(-1 ,1 ,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x=________.
【解析】由已知得s·n=0,故-1×2+1×(x2+x)+1×(-x)=0,解得x=±错误!未找到引用源。
.
答案:±错误!未找到引用源。
6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M 是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线ON,AM的位置关系是________.
【解析】以A为原点,分别以,,所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(图略),设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),M错误!未找到引用源。
,O错误!未找到引用源。
,
N错误!未找到引用源。
.·=错误!未找到引用源。
·错误!未找到引用源。
=0,
所以ON与AM垂直.
答案:垂直。