步步高大一轮复习讲义2013版-第一章专题1-运动图象-追及与相遇问题

图1图2专题1 运动图象 追及与相遇问题导学目标 1.理解匀变速直线运动的x －t 图象、v －t 图象，并会运用它们解决问题.2.掌握追及与相遇问题的特点以及解决这类问题的一般方法．一、运动的图象[基础导引]1．如图1所示是a 、b 、c 、d 四个物体的x －t 图象，则：(1)四个物体运动的起始坐标分别为：x a ＝______，x b ＝______，x c＝______，x d ＝________.(2)四个物体的运动方向为：a ______，b ______，c ______，d ______.(3)四个物体的运动速度分别为：v a ＝________，v b ＝______，v c ＝______，v d ＝________.(4)图线a 与c 交点的意义为：_______________________________.2．如图2所示是a 、b 、c 、d 四个物体的v －t 图象，则：(1)它们的初速度分别为 v a ＝______，v b ＝______，v c ＝______，v d ＝________.(2)它们的加速度分别为a a ＝________，ab ＝______，ac ＝________，ad ＝________.(3)图线a 、c 交点的意义为：__________________________________________________.[知识梳理]1．对x －t 图象的理解(1)物理意义：反映了做直线运动的物体______随________变化的规律．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体________________．②图线上某点切线的斜率正负表示物体________________．2．对v －t 图象的理解(1)物理意义：反映了做直线运动的物体______随________变化的规律．(2)图线斜率的意义①图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的__________．②图线上某点切线的斜率正负表示加速度的________．(3)图线与坐标轴围成的“面积”的意义①图线与坐标轴围成的“面积”表示________________．②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间的位移方向为______；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间的位移方向为______．思考：x－t图线是物体的运动轨迹吗？能否画曲线运动的x－t、v－t图象？二、追及与相遇问题[基础导引]1．甲、乙两物体同时同地出发，甲做速度为v0的匀速直线运动，乙做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，二者相距最远时乙的速度为______，追上甲时乙的速度为______．2．甲、乙相距s0，当甲开始以速度v0匀速追赶前方的乙时，乙以加速度a由静止开始运动，若甲刚好追上乙，则s0＝________.3．甲、乙相距s0，甲做速度为v0的匀速直线运动，乙在甲后做初速度为2v0、加速度为a 的匀减速直线运动，若乙刚好追上甲，则s0＝________.[知识梳理]1．追及与相遇问题的概述当两个物体在______________运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的________会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇和避免碰撞等问题．2．追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一________，后者的速度一定不________前者的速度．(2)若后者追不上前者，则当后者的速度与前者的速度________时，两者相距________．思考：追及问题中，“刚好能追上”、“刚好追不上”以及两物体间有最大距离或最小距离的条件是什么？考点一图象的分析与运用考点解读运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面积”，五看“截距”，六看“特殊点”．1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的直线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况，.3．三看“斜率”：x－t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度大小和方向．4．四看“面积”：即图线和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．例如v和t的乘积vt＝x有意义，所以v－t图线与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围面积无意义．图45．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，例如t＝0时的位移或速度．6．六看“特殊点”：例如交点、拐点(转折点)等．例如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．典例剖析例1 如图3所示的位移－时间和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是( )图3A．图线1表示物体做曲线运动B．x－t图象中t1时刻v1>v2C．v－t图象中0至t3时间3物体和4物体的平均速度大小相等D．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动例2 在反恐演习中，中国特种兵进行了飞行跳伞表演．某伞兵从静止的直升飞机上跳下，在t0时刻打开降落伞，在3t0时刻以速度v2着地．伞兵运动的速度随时间变化的规律如图4所示．下列结论正确的是 ( )A．在0～t0时间加速度不变，在t0～3t0时间加速度减小B．降落伞打开后，降落伞和伞兵所受的阻力越来越小C．在t0～3t0的时间，平均速度v>v1＋v22D．若第一个伞兵在空中打开降落伞时第二个伞兵立即跳下，则他们在空中的距离先增大后减小跟踪训练1 质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图5所示，下列说确的是 ( )图5A．质点的初速度为5 m/sB．质点初速度的方向与合外力方向垂直C．质点所受的合外力为3 ND．2 s末质点速度大小为6 m/s跟踪训练2 滑雪运动员以一定的初速度从一定高度的平台水平飞出，运动过程中运动员视为质点并不计空气阻力．下列定性描述运动员运动过程中的水平距离x、竖直位移y、水平分速度v x、竖直分速度v y随时间t的变化图象中正确的是 ( )图6考点二 运动中的追及与相遇问题考点解读讨论追及、相遇问题的实质，就是分析两物体在相同时间能否到达相同的空间位置．1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点．(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．2．能否追上的判断方法做匀速直线运动的物体B 追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A ：开始时，两个物体相距x 0.若v A ＝v B 时，x A ＋x 0<x B ，则能追上；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0＝x B ，则恰好不相撞；若v A ＝v B 时，x A ＋x 0>x B ，则不能追上．3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．典例剖析例3 一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a ＝3 m/s 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v 0＝6 m/s 的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大？思维突破1．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼(如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等)，充分挖掘题目中的隐含条件．2．求解追及和相遇问题常用的方法：(1)图象法：x －t 图象中两物体的位移图象相交、v －t 图象中所围面积相等都说明两物体相遇．(2)数学分析法：设在t 时刻两物体能相遇，然后根据几何关系列出关于t 的方程F (t )＝0，若其方程无正实数解，则两物体不可能相遇，如有正实数解，则两物体可能相遇．(3)相对运动法：选择合适参考系，列出相应方程求解．跟踪训练3 如图6所示， 直线MN 表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A 、B 两处，A 、B 间的距离为85 m ，现图7甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a 1＝2.5 m/s 2，甲车运动6.0 s 时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a 2＝5.0 m/s 2，求两辆汽车相遇处距A 处的距离．1.直线追及模型例4 一列客车以速度v 1前进，司机发现前面在同一轨道上有列货车正在以v 2匀速前进，且v 2<v 1，货车车尾与客车头相距x 0，客车立即刹车，做匀减速运动，而货车仍保持原速度前进．求客车的加速度符合什么条件，客车与货车才不会相撞？建模感悟 在一条直线上运动的两物体，后面物体的速度只要大于前面物体的速度，两物体之间的距离将会越来越小，就有相撞的危险，若后面的物体减速，或前面的物体加速，就有避免相撞的可能性，此题属于后面的客车减速，前面的货车匀速运动的情况，若两车不致相撞，这就要求做减速运动的物体的速度尽快地减小，当客车的速度减小到与货车速度相同时，两车相对静止，若客车速度继续减小，两车距离会越来越大．问题的关键是当两车速度相等时，两车处于相撞的临界状态．要两车不相撞的条件是，当两车速度相等时，两车的位移之差Δx 必须满足Δx ≤x 0.跟踪训练4 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s 后警车发动起来，并以2.5 m/s 2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h 以．问：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？(2)警车发动后要多长时间才能追上货车？A 组 运动图象的分析与运用1．如图7所示，汽车以10 m/s 的速度匀速驶向路口，当行驶至距路口停车线20 m 处时，绿灯还有3 s 熄灭．而该汽车在绿灯熄灭时刚好停在停车线处，则汽车运动的速度(v )－时间(t )图象可能是 ( )2．如图8为两个物体A 和B 在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动图8的v －t 图线．已知在第3 s 末两个物体在途中相遇，则两个物体出发点的关系是 ( )A ．从同一地点出发B ．A 在B 前3 m 处C ．B 在A 前3 m 处D ．B 在A 前5 m 处B 组 追及与相遇问题3．在一次执行任务时，警车A 追击劫匪车B ，两车相距一定的距离，且同时由静止向同一方向加速行驶，经过30 s 追上．两车各自的加速度为a A ＝15 m/s 2，a B ＝10 m/s 2，最高时速分别为v A ＝45 m/s ，v B ＝40 m/s ，问追上时两车各行驶多少路程？原来相距多远？4．在水平轨道上有两列火车A和B 相距x ，A 车在后面做初速度为v 0、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度为a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A 车的初速度v 0满足什么条件．专题1 运动图象 追及与相遇问题(限时：45分钟)一、选择题1．如图1所示是一物体的x －t 图象，则该物体在6 s 的路程是 ( )图1A ．0B ．2 mC ．4 mD ．12 m2．质量为1 kg 的物体静止在水平面上，物体与水平面之间的动摩擦因数为0.2.对物体施加一个大小变化、方向不变的水平拉力F ，使物体在水平面上运动了3t 0的时间．为使物体在3t 0时间发生的位移最大，力F 随时间的变化情况应该为下面四个图中的 ( )3．某同学在学习了动力学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体的加速度a 、速度v 、位移x 随时间变化的图象如图所示，若该物体在t ＝0时刻，初速度均为零，则下列图象中表示该物体沿单一方向运动的图象是图4 图5 ( )4．如图2所示是某物体做匀变速直线运动的速度图线，某同学根据图线得出以下分析结论：①物体始终沿正方向运动；②物体先向负方向运动，在t ＝2 s后开始向正方向运动；③在t ＝2 s 前物体位于出发点负方向上，在t ＝2 s 后位于出发点正方向上；④前4 s ，在t ＝2 s 时，物体距出发点最远．以上分析结论正确的是 ( )A ．只有①③B ．只有②③C ．只有②④D ．只有①5．一遥控玩具小车在平直路上运动的位移—时间图象如图3所示，则 ( )A ．15 s 末汽车的位移为300 mB ．20 s 末汽车的速度为－1 m/sC ．前10 s 汽车的加速度为3 m/s 2D ．前25 s 汽车做单方向直线运动6．亚丁湾索马里海域六艘海盗快艇试图靠近中国海军护航编队保护的商船，中国特战队员发射爆震弹成功将其驱离．假如其中一艘海盗快艇在海面上运动的v －t 图象如图4所示，设运动过程中海盗快艇所受阻力不变．则下列说确的是 ( )A ．海盗快艇在0～66 s 从静止出发做加速度增大的加速直线运动B ．海盗快艇在96 s 末开始调头逃离C ．海盗快艇在66 s 末离商船最近D ．海盗快艇在96 s ～116 s 做匀减速直线运动7．从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度－时间图象如图5所示．在0～t 2时间，下列说法中正确的是 ( )A ．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小B ．在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远C ．t 2时刻两物体相遇D ．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是v 1＋v 22图2 图3图6 8．如图6所示为某质点做直线运动的v －t 图象，由图可知这个质点的运动情况是 ( )A ．前5 s 做的是匀速运动B ．5 s ～15 s 做匀加速运动，加速度为1 m/s 2C ．15 s ～20 s 做匀减速运动，加速度为－3.2 m/s 2D ．质点15 s 末离出发点最远，20秒末回到出发点9．如图7所示，处于平直轨道上的甲、乙两物体相距s ，同时同向开始运动，甲以初速度v 1、加速度a 1做匀加速运动，乙由静止开始以加速度a 2做匀加速运动．下述情况可能发生的是(假设甲能从乙旁边通过且互不影响) ( )A ．a 1＝a 2，能相遇一次B ．a 1>a 2，能相遇两次C ．a1<a 2，可能相遇一次 D ．a 1<a 2，可能相遇两次10．甲、乙、丙三辆汽车在平直的公路上行驶，同时经过某一路标时速度相同，从此时开始，甲车一直做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一个路标时速度又相同，则 ( )A ．甲车先通过下一个路标B ．乙车先通过下一个路标C ．丙车先通过下一个路标D ．条件不足无法确定二、非选择题11．如图8所示，小球甲从倾角θ＝30°的光滑斜面上高h ＝5 cm 的A 点由静止释放，同时小球乙自C 点以速度v 0沿光滑水平面向左匀速运动，C 点与斜面底端B 处的距离L ＝0.4 m ．甲滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝乙追去，甲释放后经过t ＝1 s 刚好追上乙，求乙的速度v 0(g ＝10 m/s 2)．图812．A 、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶，当B 车在A 车前84 m 处时，B 车速度为4 m/s ，且正以2 m/s 2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B 车加速度突然变为零．A 车一直以20 m/s 的速度做匀速运动，经过12 s 后两车相遇．问B 车加速行驶的时间是多少？答案基础再现一、基础导引 1.(1)0 5 m 4 m －2 m(2)正方向 静止 负方向 负方向(3)2.5 m/s 0 －2 m/s －2 m/s (4)1 s 时两物体均到达x ＝2 m 处图72．(1)0 4 m/s 4 m/s －1 m/s(2)2 m/s 2 0 －2 m/s 2 －1.5 m/s 2(3)1 s 时两物体速度大小均为2 m/s知识梳理 1.(1)位移 时间 (2)①速度的大小 ②速度的方向 2.(1)速度 时间(2)①加速度的大小 ②方向 (3)①位移的大小 ②正 负 思考：不是 不能 二、 基础导引 1.v 0 2v 0 2.v 202a 3.v 202a知识梳理 1.同一直线上 距离 2.(1)位置 小于 (2)相等 最近 思考：速度相等 课堂探究例1 B [x －t 图象和v －t 图象都是用来描述直线运动的，图象并不是运动轨迹，A 项错误；x －t 图象的斜率表示速度，所以在t 1时刻v 1>v 2，B 项正确；v －t 图象与t 轴所围的面积表示位移，所以在0～t 3时间3物体的位移小于4物体的位移，3物体的平均速度小于4物体的平均速度，C 项错误；图线2中t 2时刻表示物体反向运动，图线4中t 4时刻不表示反向，只表示速度减小，D 项错误．]例2 ABD 由v －t 图象的斜率表示加速度可知A 正确；由于降落伞打开时减速运动，且加速度减小可知B 正确；平均速度等于位移与发生这一位移所用时间的比值，可知C 错误；在v －t图象中将图线平移后有一交点P ，二者速度相同，可知D 正确．]跟踪训练1 AC跟踪训练2 D例3 (1)2 s 6 m (2)12 m/s跟踪训练3 125 m 或245 m例4 a ≥(v 1－v 2)22x 0跟踪训练4 (1)75 m (2)12 s分组训练1．BC 2.C3．1 282.5 m 1 120 m 162.5 m4．v 0≤6ax答案1．D [做此题时不要把x －t 图象当作物体运动的轨迹，x －t 图象的斜率表示速度，该物体在6 s 的路程为2＋2＋4＋4＝12(m)，位移为零．]2．D [对物体受力分析如图所示，在0～t 0：若F <μmg ，物体仍保持静止；F >μmg ，物体则开始运动，由牛顿第二定律a ＝F －μmg m ＝F m－μg ；结合v －t 图象，分析得D 项正确．]3．C [A 项位移正负交替，说明物体做往复运动，B 项物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，然后做反向匀加速运动，再做反向匀减速运动，周而复始；C 项表示物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，循环下去，物体始终是单向运动，C 正确，D 项从面积判断物体速度有负值出现，不是单向运动．]4．C [物体的运动方向即为速度方向，从题图上可知物体在2 s前速度为负值，即物体向负方向运动；2 s后速度为正值，即物体向正方向运动．故①是错误的，②是正确的．物体的位置要通过分析位移来确定，物体在某段时间的位移等于速度－时间图线中对应图线与时间轴所包围的面积的代数和．由题图可知前4 s物体在2 s时有最大的负位移；虽然2 s后运动方向改为正方向，但它的位置仍在位置坐标值负值处(4 s末物体回到出发点)，故③是错误的，④是正确的．所以选项C对．]5．B [由题目中的位移—时间图象可知：前10 s汽车做匀速直线运动，速度为3 m/s，加速度为0，所以C错误；10 s～15 s汽车处于静止状态，汽车相对于出发点的位移为30 m，所以A错误；15 s～25 s汽车向反方向做匀速直线运动，速度为－1 m/s，所以D错误，B正确．]6．B [在0～66 s图象的斜率越来越小，加速度越来越小，故海盗快艇做加速度减小的加速运动，A错误；海盗快艇在96 s末，速度由正变负，即改变运动的方向，开始掉头逃跑，此时海盗快艇离商船最近，B正确，C错误；海盗快艇在96 s～116 s，沿反方向做匀加速运动，D错误．]7．B [速度－时间图象中Ⅰ物体的斜率逐渐减小，即Ⅰ物体的加速度逐渐减小，所以Ⅰ物体所受合外力不断减小，A错误；在0～t1时间，Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，B正确；在速度－时间图象中图线与坐标轴所围面积表示位移，故到t2时刻，Ⅰ物体速度图线所围面积大于Ⅱ物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同，C、D错误．]8．AC [由图象可知前5 s做的是匀速运动，A正确；5 s～15 s做匀加速运动，但加速度为0.8 m/s2，B错误；15 s～20 s做匀减速运动，其加速度为－(16/5) m/s2＝－3.2 m/s2，C正确；质点在20 s末离出发点最远，质点做的一直是方向不变的直线运动，D错误．] 9．ACD [用图象法．我们画出满足题给条件的v－t图象．图(1)对应a1＝a2的情况，两物体仅在t＝t1时相遇一次(图中阴影部分面积为s)．图(2)对应a1>a2的情况，两物体仅在t＝t2时相遇一次．图(3)对应a1<a2的情况，若阴影部分面积等于s，则相遇一次；若阴影部分面积小于s，则甲、乙不可能相遇；若阴影部分面积大于s，则可能相遇两次，如图(4)所示．] 10．B [因为甲、乙、丙三辆汽车通过的位移相等(图线与t轴所围面积相等)，且初、末态速度也相等，为此可作出三辆汽车的v. . . .－t图象，如图所示，由图可知乙车先通过下一个路标．] 11．0.4 m/s，方向水平向左12．6 s. . . . .。