高考数学专题训练 函数的单调性与奇偶性

2008高考数学专题训练 函数的单调性与奇偶性

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知能目标

1. 了解函数的单调性的概念, 掌握判断一些简单函数的单调性的方法.

2. 了解奇函数、偶函数的意义.

综合脉络

1. 与函数单调性、奇偶性相关的知识网络

2. 函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域 为D, 则D x ∈时D x ∈-) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件

奇函数的图象关于原点对称, 在原点的两侧具有相同的单调性; 偶函数的图象关于y 轴对 称, 在原点的两侧具有相异的单调性.

单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集, 即函数的增减性是相对于函 数的定义域中的某个区间而言的, 函数单调性定义中的1x 、2x 相对于单调区间具有任意性. 讨论函数的增减性应先确定单调区间, 用定义证明函数的增减性, 有“一设, 二差, 三判断” 三个步骤.

复合函数的单调性:

(1) 若)x (f y =是]n ,m [上的增函数, 则)]x (g [f y =的增减性与)x (g u =的增减性相同; (2) 若)u (f y =是]n ,m [上的减函数, 则)]x (g [f y =的增减性与)x (g u =的增减性相反. (一) 典型例题讲解:

例1. 函数f (x)＝| x | 和g (x)＝x (2－x )的递增区间依次是 ( )

A.] ,( ], ,(10-∞-∞

B.) ,[ ], ,(∞+-∞10

C.] ,( ), ,[10-∞∞+

D.) ,[ ), ,[∞+∞+10

例2. 已知a 、b 是常数且a ≠0, f (x)bx ax +=2

, 且0)2(f =, 并使方程x )x (f =有等根.

(1) 求f (x )的解析式;

(2) 是否存在实数m 、n )n m (<, 使f (x )的定义域和值域分别为]n ,m [和]n 2 ,m [2?

例3. 已知)x (f 为偶函数且定义域为]1,1[-, )x (g 的图象与)x (f 的图象关于直线1x =对称,

当]3,2[x ∈时, 3)2x (3)2x (a 2)x (g ---=, a 为实常数，且2

9a >. (1) 求)x (f 的解析式; (2) 求)x (f 的单调区间; (3) 若)x (f 的最大值为12, 求a .

(二) 专题测试与练习: 一. 选择题

1. 以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2

2

11x

x )x (f -+=; ④x x lg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶

函

数

的

是

( )

A.①②

B. ②③

C. ③④

D. ①②③

2. 已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若 f (a)＝M, 则 f (－a)等于 ( )

A. M a -22

B. 22a M -

C. 2

2a M - D. M a 22-

3. 设y ＝f (x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f (x)＝x 2－2 x, 则在R 上f (x)的表达式为 ( ) A. )x (x 2-- B. ) |x | (x 2- C. ) x (|x |2- D. ) |x | (|x |2-

4. 二次函数f (x )满足)x (f )x (f -=+22, 又f (x)在] ,[20上是增函数, 且f (a)≥f (0), 那么实 数a 的取值范围是 ( )

A. a ≥0

B. a ≤0

C. 0≤a ≤4

D. a ≤0或a ≥4

5. 函数y ＝x

a 在] ,[10上的最大与最小值的和为3, 则a 等于

( )

A.

21 B. 2 C. 4 D. 41 6. 函数f (x )＝b x )a (x )a (ax +-+-+248123的图象关于原点成中心对称, 则f (x)在] ,[44-

上的单调性是 ( )

A. 增函数

B. ] ,[04-上是增函数, ] ,[40上是减函数

C. 减函数

D. ] ,[04-上是减函数, ] ,[40上是增函数

二. 填空题

7. 定义在] ,[22-上的偶函数g (x), 当x ≥0时g (x) 单调递减, 若)m ( g )m ( g <-1, 则m 的 取值范围是 .

8. 要使函数y ＝5bx 2x 2

-+在)3 ,2(上为减函数, 则b 的取值范围是 .

9 . 已知f (x )＝)x x ( lg 782-+-在)m ,m (1+上是增函数, 则m 的取值范围是 .

10. 函数y ＝x

x

+12) ) ,(x (∞+-∈1图象与其反函数图象的交点坐标为 .

三. 解答题

11. 用定义判断函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∞-∈-∞+∈+-0)

, ( x , x )

,(x ,x 21012

的奇偶性

12. 设奇函数f (x )的定义域为R , 且)x (f )x (f =+4, 当x ] ,[64∈时f (x)＝12+x

, 求f (x )

在区间] ,[02-上的表达式.

13. 函数f (x )对任意的m 、n ∈R, 都有f (m ＋n )＝f (m)＋f (n)－1, 并且x ＞0时, 恒有f (x )＞1.

(1) 求证: f (x )在R 上是增函数; (2 ) 若f (3 )＝4, 解不等式f (5a a 2

-+)＜2.