2014年全国数学联赛江苏省预赛试题及参考答案
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
高考数学专题知识点系列复习训练题及答案解析(珍藏版)：01数列真题汇编与预赛典型例题
专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。
则的所有可能值为___________。
3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。
12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.17．【2011年全国联赛】 已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式； （2）若，试比较与的大小. 18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质： （1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．{}n a ()123,1a t t R t =-∈≠±()()()112321121n n n n n n t a t t a n N a t +++-+--=∈+-{}n a 0t >1n a +n a23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则____ _______。
2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准(加试)
取正整数 k1 满足 1－ 1k1＞cos nt，由（1）可知存在正整数 n，使得 cos n＞1－ 1k1＞22001145． 这与使 cosn＞22001145成立的正整数 n 的个数是 t 矛盾．
所以存在无穷多个正整数 n，使得 cosn＞22001145．
………………………50 分
2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试4 卷（加试）参考答案 第 4 页 共 4 页
从而 n＜36，又因为 n 为偶数，所以 n≤34．
……………… 40 分
（3）证明 n=34 能取到．
不妨设凸 34 边形内角中只有两个值 x 和 x－20°，它们相间出现，各为一半，
有 17(2x－20°)＝32×180°，x＝301570°＜180°．x－20°＞0，
知存在满足条件的凸 34 边形．
({x}＝x－［x］，［x］表示不大于 x 的最大整数)． 将区间［0，1)分成 M 个小区间：［0，M1 )，［M1 ，M2 )，…，［MM－1，1)， 由抽屉原理可知，一定存在 1≤i＜j≤M+1，使得{iα}，{jα}在同一个小区间，
因此，|{jα}－{iα}|＜M1 ，从而|nα－(［jα］－［iα］)|＜M1 ，
而当 n 为偶数时，且 x1，x2，…，xn 中一半取 2，一半取 8 时，等号成立． 故当且仅当 n 为偶数，且 x1，x2，…，xn 中一半取 2，一半取 8 时等号成立．
…………………………… 40 分
2014 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试2 卷（加试）参考答案 第 2 页 共 4 页
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⎩⎨⎧ 由①②知，必须有
2007-2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
⑶ 是钝角三角形， 是锐角三角形；⑷ 与 都是钝角三角形．
5．设 ， 是夹角为 的异面直线，则满足条件“ ， ，且 ”的平面 ， 有对．
6． 设集合 ， ，其中符号 表示不大于 的最大整数，则 ．
7．同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是
12、已知各项为整数的数列{an}满足a3=－1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求出所有的正整数m，使得am+am+1+am+2=amam+1am+2．
13、如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE⊥AD，垂足H，过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．
14．（1）正六边形被 条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成 个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？
（2）凸 边形被 条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成 个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．
13、 如图，半径为 的圆 上有一定点 , 为圆 上的动点.在射线 上有一动点 , .线段 交圆 于另一点 ， 为线段的 中点.求线段 长的取值范围.
14、设是 正整数， 是方程 的两个根.证明：存在边长是整数且面积为 的直角三角形.
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
2014年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
2013
解：由题设
an
2(n 1) n
an1
2(n 1) n
2n n 1 an2
2(n 1) n
2n n 1
23 2
a1
2n1 (n
1)
．
记数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，则
Sn =
2 + 2 × 3 + 22 × 4 + + 2n−1(n +1)
2015 2013
2015
．
2013
5. 正四棱锥 P ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M , N 分别是边 AB, BC 的中
点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是
．
答案： 2 ． 4
解：设底面对角线 AC, BD 交于点 O ，过点 C 作直
线 MN 的垂线，交 MN 于点 H ． 由 于 PO 是 底 面 的 垂 线 ， 故 PO CH ， 又
解：记 f (z) (z )2 z ．则
f (z1) f (z2 ) (z1 )2 z1 (z2 )2 z2
(z1 z2 2)(z1 z2 ) z1 z2 ．
①
假如存在复数 z1, z2 ( z1 , z2 1, z1 ≠ z2 ) ，使得 f (z1) f (z2 ) ，则由①知，
连接的情况数．
(1) 有 AB 边：共 25 32 种情况．
(2) 无 AB 边，但有 CD 边：此时 A ， B 可用折线连接当且仅当 A 与 C ， D 中至少一
点相连，且 B 与 C ， D 中至少一点相连，这样的情况数为 (22 1)(22 1) 9 ．
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则(定稿)
2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．若x ≥2，则函数f (x )＝x ＋1x ＋1的最小值是 ．答案：73．2．已知函数f (x )＝e x ．若f (a ＋b )＝2，则f (3a )·f (3b )的值是 . 答案：8．3．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a n 2＝S 2n －1，n ∈N *，则数列{a n }的通项a n ＝ ． 答案：2n －1．4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－3x ， x ≥0，－2x 2＋ax ，x ＜0是奇函数，则实数a 的值是_________． 答案：－3． 5．已知函数f (x )＝|lg|x －103||．若关于x 的方程f 2(x )－5f (x )－6＝0的实根之和为m ，则f (m )的值是 ． 答案：1．6．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于 ． 答案：2525．说明：若学生得出255或2525，255，本题得4分．7．四面体ABCD 中，AB ＝3，CD ＝5，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ． 答案：53．8．若满足∠ABC ＝π3，AC ＝3，BC ＝m 的△ABC 恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．答案：(0，3]∪{23}．9．设集合S ={1，2，…，8}，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中最大的数小于B 中的最小数，则这样的集合对(A ，B )的个数是 ． 答案：769．10．如果正整数m 可以表示为x 2－4y 2 (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ． 答案：881．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．已知a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．证明：设a x ＝b y ＝c z ＝p ＞0，则a ＝1xp ，b ＝1yp ，c ＝1zp ．…………………… 10分所以abc ＝1xp·1yp·1zp ＝111x y zp++． …………………… 15分因为1x ＋1y ＋1z＝0，所以abc ＝0p ＝1． …………………… 20分12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，点B 的坐标为(0，b )，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若MF 2＝12F 1F 2，求双曲线C 的离心率．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的半焦距长为c ，则点F 1，F 2的坐标分别(－c ，0)，(c ，0)．从而直线F 1B 的方程为x －c ＋y b＝1，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 2a 2－y 2b 2＝0．联立⎩⎨⎧x －c ＋yb ＝1，x 2a 2－y2b 2＝0，消去y 得，b 2x 2－2a 2cx －a 2c 2＝0．由韦达定理得：线段PQ 中点的坐标(a 2c b 2，c 2b )． ………………………… 10分因此PQ 中垂线的方程是：y －c 2b ＝－c b (x －a 2cb2)．在上式中，令y ＝0，得M (c ＋a 2cb 2，0)． ………………………… 15分另一方面，由MF 2＝12F 1F 2，则M (2c ，0)，或M (0，0)(舍去)，由此可得，c ＋a 2cb2＝2c ，即a ＝b ，故e ＝2． ………………………… 20分13．如图，已知△ABC 是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG ＝AE ．证明：连结BE ，CG ． 因为AB 为直径，所以∠AEB ＝90°，BG ⊥AC ． 又EH ⊥AB ，在△AEB 中，由射影定理得 AE 2＝AH ·AB ． 因为AC 为直径，所以∠AGC ＝90°．在△AGC 中，由射影定理得AG 2＝AD ·AC ． …………10分因为∠BDC ＝∠BHC ＝90°， 所以B ，C ，D ，H 四点共圆，从而由割线定理知AH ·AB ＝AD ·AC ． …………………… 15分 所以AE 2＝AG 2，即AE ＝AG ． …………………… 20分14．（1）正六边形被3条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2） 凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．ABCDEFABCDGE HABCDGEH解：（1）3条对角线分得4个三角形，相邻的两个涂色相异，则既有红 色三角形，又有蓝色三角形．不妨设红色三角形多于蓝色三角形．则蓝色三角形至少有1个，红色三角形最多3个，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差不超过3－1＝2．如图连接AC ，CE ，EA ，△ACE 涂蓝色，其余3个三角形涂红色，差为2． 故红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2． …………………… 5分 （2）2013条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成2014个三角形．每个三角形区域涂红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．设红色三角形多于蓝色三角形．每个蓝色三角形三条边中至少有一条对角线，即三条边中对角线的条数只能为1、2或3．每条对角线只属于一个蓝色三角形．设边中恰含k (k =1,2,3)条对角线的蓝色三角形的个数为m k ，则对角线条数m 1+2m 2+3m 3=2013， 蓝色三角形个数m 1+m 2+m 3=3m 1+3m 2+3m 33≥m 1+2m 2+3m 33= 20133 =671，红色三角形个数≤2013－671=1343，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差≤1343－671=672． ……………………10分 注意到凸6边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为2，此时6边形的边均为红色； 假定凸3k 边形中，红色三角形个数与蓝色三角形个 数之差的最大值为k 且凸3k 边形的边均为红色．则凸3(k +1)边形A 1A 2A 3…A 3k A 3k +1A 3k +2A 3k +3中的凸3k 边形A 1A 2A 3…A 3k 按假定涂色，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差最大值为k 且边A 1A 3k 为红色．如图，则△A 1A 3k A 3k +2区域涂蓝色，△A 3k A 3k +1A 3k +2区域涂红色，△A 1A 3k +2A 3k +3区域涂红色，凸3(k +1)边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的值为k +2－1= k +1．即按上述方法涂色，凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差为20163 = 672．所以凸2016边形中红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值为672．……………………20分ABCDEFA 1A 3k +1A 3kA 3k +2A 3k +3。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
2014年江苏高考数学真题及答案
2014年江苏高考数学真题及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲.2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为▲.3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是▲.4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),zxxk 它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是▲.6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是▲.8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V的值是▲.9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为▲.10. 已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是▲.11. 在平面直角坐标系xOy 中，若曲线xbax y +=2(a ，b 为常数) zxxk 过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是▲.12. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，PD CP 3=，2=⋅BP AP ，则AD AB ⋅的值是▲.202>n组距13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是▲.14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分zxxk 别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2)平面⊥BDE 平面ABC .（第16题）PD C EFB A17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆)0(12322>>=+b a by a x 的左、右焦点，顶点B 的坐标为),0(b ，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结C F 1.(1)若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程；(2)若,1AB C F ⊥求椭圆离心率e 的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆.且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处, 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO .(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.(本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1)证明:)(x f 是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立，学科网求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在),1[0+∞∈x ，使得)3()(030x x a x f +-<成立.试比较1e -a 与1e -a 的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ，学科网总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”.(1)若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”;(2)设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d .若}{n a 是“H 数列”,求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += (∈n N *)成立.2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．（5分）（2014•江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1，3} ．2．（5分）（2014•江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为21 ．3．（5分）（2014•江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是 5 ．4．（5分）（2014•江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．P=．5．（5分）（2014•江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．的交点，可得．根据的交点，．，∴，+，．．6．（5分）（2014•江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24 株树木的底部周长小于100cm．=7．（5分）（2014•江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是 4 ．，=8．（5分）（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．=，，它们的侧面积相等，==．．9．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为．=，=2=10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．，，解得﹣（﹣11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P （2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是﹣3 ．（，（，，解得：12．（5分）（2014•江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，•=2，则•的值是22 ．=3，=+，=﹣，=3，=2解：∵=3=+，=﹣，•=+）•（﹣|•﹣|••=22=+，=﹣，是解答的关键．13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，）．|的图象如图：由图象可知，）14．（5分）（2014•江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．b=2c（bcosC==≥=≤cosC＜的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15．（14分）（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．（﹣，=﹣=+cos+cos sin=∴sin（+．，．，∴cos（﹣=cos cos2+sin sin2=（．16．（14分）（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．的中点，∴DE=PA=3的中点，∴EF=BC=417．（14分）（2014•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为（，），且BF2=，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．的坐标为（，，即，（则椭圆的方程为x+b+﹣x=∵A（∴C（）==×（．18．（16分）（2014•江苏）如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），tan∠BCO=．（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．，∴CE=OP=m∴PC=PQ=∴R=MQ=m=∴136﹣﹣x≥80．19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=e x+e﹣x，其中e是自然对数的底数．（1）证明：f（x）是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较e a ﹣1与a e﹣1的大小，并证明你的结论．m≤m≤，当且仅当．=e+﹣＞）﹣，﹣=0①a∈（（）20．（16分）（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．，，即，解得，则，三、附加题（本大题包括选做题和必做题两部分）（一）选择题（本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修4-1：几何证明选讲】21．（10分）（2014•江苏）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．【选修4-2：矩阵与变换】22．（10分）（2014•江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y为实数，若A=B，求x+y的值．=BA=，向量==B，，∴x=﹣∴x+y=【选修4-3：极坐标及参数方程】23．（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，求线段AB的长．的参数方程为∴|AB|==8【选修4-4：不等式选讲】24．（2014•江苏）已知x＞0，y＞0，证明（1+x+y2）（1+x2+y）≥9xy．≥3，+y≥≥3(二）必做题（本部分包括25、26两题，每题10分，共计20分）25．（10分）（2014•江苏）盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．P=，P26．（10分）（2014•江苏）已知函数f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数，n∈N*．（1）求2f1（）+f2（）的值；（2）证明：对任意n∈N*，等式|nf n﹣1（）+f n（）|=都成立．代入式子求值；代入所给的式子求解验证．，∴xf代入上式得，）f））x+）对任意成立，则上式成立；，=，x+代入上式得，（f）（+=±，（f）都成立．。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
2014年高中数学联赛试题及其解答
加试
一、（本题满分 40 分）设实数a、b、c满足a + b + c = 1，abc＞0，求证：ab + bc + ca＜ √ + 。
证明方法一：因为abc＞0，故a、b、c全为正数，或一正两负。 （Ⅰ）若a、b、c中一正两负，不妨设a＞0，b、c＜0，则ab + bc + ca = a(b + c) + bc = a(b + c) + bc = [1 − (b + c)](b + c) + bc = (b + c) − b − − ＜0＜ √ + 。
解答：我们考虑存在复数z 、z ，|z |、|z |＜1，z ≠ z ，使得(z + α) + αz =
(z + α) + αz 的充要条件。此时
(z + α) + αz = (z + α) + αz
⇔ α(z − z ) = (z − z )(z + z + 2α)
⇔ α[(z − z ) + 2(z − z )] = (z − z )(z + z )
3、若函数f(x) = x + a|x − 1|在[0， + ∞)上单调递增，则实数a的取值范围是
。
x − ax + a，x ∈ 0，1
解答：根据条件知f(x) =
。f(x)在 0，1 单调递增的充要
x + ax − a，x ∈ 1， + ∞
条件为 ≤ 0 ⇔ a ≤ 0；f(x)在 1， + ∞ 单调递增的充要条件为− ≤ 1 ⇔ a ≥ −2。故实数
2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案
2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案（竞赛时间：2014年3月2日上午9:00--11:00）一、选择题（共6小题，每小题6分，共36分）以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为【】（A）2013（B）2014（C）2015（D）0【答】D．解：最大的负整数是－1，∴=－1；绝对值最小的有理数是0，∴=0；倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.∴==0.2. 已知实数满足则代数式的值是【】（A）（B）3（C）（D）7【答】A．解：两式相减得3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1 中的线段MN在图2中的对应线段是【】（A）（B）（C）（D）【答】C．解：将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d 与AM重合，MN与线段c重合.4. 已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上【答】C．解：由图象可得：，，，∴，，.抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.5. 如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=2BO，当A点在反比例函数（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】（A）（x<0）（B）（x<0）（C）（x<0）（D）（x<0）【答】B．解：如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF 的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】（A）1 （B）2 （C）3 （D）6【答】B．解：设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF 为平行四边形，∴G为PS的中点, 即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）7．已知，化简得.【答】．解：∵，∴，，原式=.8. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.【答】．解：设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.9. 若，则= .【答】8．解：∵，∴.则，即.∴10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.【答】．解：∵Rt△OAB中，∠AOB=30°，AB=2，∴AO=CO=，BO=DO=4，∴阴影部分面积====.11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1= .【答】．解：过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，在Rt△A1BM中，，∴=，∴x =A1M=，∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.【答】20．解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.又∵a+b+c+d =5，∴m =20.三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，则有，.易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……………………………………4分∴，，即.∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14∴z只能取14，9和4 (8)分①当z为14时，=2，=28. .②当z为9时，=26，=18. .③当z为4时，=50，=8. .综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；（2）若AE=2EB.①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？（直接写出满足条件的圆的个数即可.）14、解：（1）在Rt中，…………………………………………………………5分（2）①∽.………………………7分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设. 解得…………………10分若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设解得即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分②6个.………………………………………………………………………………………16分15. 如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA =AB=BC，∠AOC=60°，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.（1）连接PA、PE，求证：PA=PE；（2）连接PC，若PC+P E=，试求AB的最大值；（3）在（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△M NC为钝角三角形时，求m的范围.解：（1）证明：如图1，连接AE.…………………………………………………………5分(2)∵PC+P E=，∴PC+PA=.显然有OB=AC≤PC+P A=.……………7分在Rt△B OC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，∴≤，∴≤2.即AB的最大值为2.…………………………10分(3) 当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.分三种情况讨论：①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥M N时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△M NC为钝角三角形.过N作NF⊥x轴，垂足为F，∵A点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则D F=a－m，NF=，FC=4－a. ∵△O MD∽△FN D∽△FCN，∴.解得，，即当0<<时，△M NC为钝角三角形； (14)分②当N点在AB上时，不能满足△M NC为钝角三角形； (15)分③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥M N时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△M NC为钝角三角形.∴当<<4时，△M NC为钝角三角形.综上所述，当0<<或<<4时，△M NC为钝角三角形 (1)。
2014年高考江苏数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第14 题）、解答题（第15 题第20 题）．本卷满分160 分，考试时间为120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．参考公式：圆柱的体积公式：V圆柱sh ，其中s为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S圆柱=cl ，其中 c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题．卡．相．应．位．置．上．．．（1）【2014 年江苏，1，5 分】已知集合 A { 2 ，1，3，4} ，B { 1，2，3} ，则 A B _______ ．【答案】{ 1，3}【解析】由题意得 A B { 1,3} ．（2）【2014 年江苏，2，5 分】已知复数【答案】21 z(5 2i) (i 为虚数单位)，则z的实部为_______． 22【解析】由题意 2 2z (5 2i) 25 2 5 2i (2i) 21 20i ，其实部为21．（3）【2014 年江苏，3，5 分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______．【答案】 5n 的最小整数解．2n 20 整数解为n 5，因此输出的n 5 ．【解析】本题实质上就是求不等式 2 20（4）【2014 年江苏，4，5 分】从1，2 ，3，6这4个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是_______．【答案】 13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取 2 个数共有 2C4 6 种取法，其中乘积为 6 的有1,6 和2,3 两种取法，因此所求概率为 2 1P ．6 3（5）【2014 年江苏，5，5 分】已知函数y cos x与y sin(2 x )(0 ≤) ，它们的图象有一个横坐标为的3 交点，则的值是_______．【答案】6【解析】由题意cos sin(2 )3 3 ，即2 1sin( )3 2，2kk ( 1) ，(k Z ) ，因为0 ，所3 6以．6（6）【2014 年江苏，6，5 分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60 株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80 ，130] 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60 株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．【答案】241【解析】由题意在抽测的60 株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015 0.025) 10 60 24 ．（7）【2014 年江苏，7，5 分】在各项均为正数的等比数列{ }a 中，若na8 a6 2a4 ，则a2 1 ，a的值是________．6【答案】 4【解析】设公比为q ，因为a2 1，则由a8 a6 2a4 得 6 4 2 2 4 2 2 0q q a ，q q ，解得2 2q ，所以4a6 a2q 4 ．（8）【2014 年江苏，8，5 分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S，S ，体积分别为1 2 V ，V ，若它们的侧面积相1 2等，且S1S294，则V1V2的值是_______．【答案】 32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 、h ，r2、h2 ，则2 r1h1 2 r2 h2 ，1 1 h r1 2h r2 1，又2S r1 12S r2 294，所以r1r232，则2 2 2V r h r h r r r1 1 1 1 1 12 12 2 2V r h r h r r r2 2 2 2 2 2 1 232．（9）【2014 年江苏，9，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2 y 3 0 被圆长为________．2 2(x2) (y1) 4 截得的弦【答案】 2 555【解析】圆 2 2(x 2) (y1) 4 的圆心为 C (2, 1) ，半径为r 2 ，点C 到直线x 2y 3 0 的距离为2 2 ( 1)3 3d ，所求弦长为2 251 22 2 9 2 55l 2 r d 2 4 ．5 5（10）【2014 年江苏，10，5 分】已知函数f (x) x mx 1，若对任意x [m，m 1]，都有 f (x) 0 成立，则实2数m 的取值范围是________．【答案】 2 0，2【解析】据题意2 2f (m) m m 1 02f (m 1) (m 1) m(m 1) 1 0，解得22m 0 ．（11）【2014 年江苏，11，5 分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 2 by axx( a，b 为常数)过点P(2 ，5) ，且该曲线在点P 处的切线与直线7x 2 y 3 0 平行，则 a b 的值是________．【答案】 3【解析】曲线y ax 2 bxb b过点P(2, 5) ，则4a 5 ①，又y'2ax 22 x，所以b 74a ②，由①②解得4 2ab11，所以 a b 2 ．（12）【2014 年江苏，12，5 分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，AB 8 ，AD 5 ，CP 3PD ，AP BP 2 ，则AB AD 的值是________．【答案】22【解析】由题意，1AP AD DP AD AB ，43 3BP BC CP BC CD AD AB ，4 4所以1 3AP BP (AD AB) (AD AB)4 42 13 2AD AD AB AB ，2 16即 1 32 25 64AD AB ，解得AD AB 22 ．2 16（13）【2014 年江苏，13，5 分】已知 f (x) 是定义在R上且周期为 3 的函数，当x [0 ，3) 时， 2 1f (x) x 2x ．2 若函数y f ( x) a 在区间[ 3，4] 上有10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．【答案】0 1，22【解析】作出函数21f(x)x2x,x[0,3)的图象，可见21f(0)，当x1时，21f(x)极大，27f，方程f(x)a0在x[3,4]上有10个零点，即函数y f(x)和图象与直线(3)2y a在[3,4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y a与函数21f(x)x2x,x[0,3)的应该是4个交点，则有21a(0,)．2（14）【2014年江苏，14，5分】若ABC的内角满足sin A2sin B2sin C，则cos C的最小值是_______．【答案】624【解析】由已知sin A2sin B2sin C及正弦定理可得a2b2c，cosC222a b c2ab2ab223a2b22ab26ab22ab62 8ab8ab4，当且仅当223a2b，即ab23时等号成立，所以cos C的最小值为624．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知2，，sin55．（1）求sin的值；4（2）求cos26的值．解：（1）∵sin5，，，∴25225cos1sin5，210s i n s i n c o s c o s s i n(c o s s i n)．444210（2）∵43sin22sin cos cos2cos sin，，sin22sin cos cos2cos sin2255∴3314334 cos2cos cos2sin sin2666252510．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA AC，PA6，BC8，DF5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解：（1）∵D，E为PC，AC中点∴DE∥PA∵PA平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．（2）∵D，E为PC，AC中点，∴DE1PA3∵E，F为AC，AB中点，∴1 4EF BC，22∴DE2EF2DF2，∴DEF90°，∴DE⊥EF，∵DE//PA，PA AC，∴DE AC，∵AC EF E，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，F，F分别是椭圆1222yx a b221(0)a b的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结B F并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，2连结F C．1（1）若点C的坐标为41，，且33B F22，求椭圆的方程；（2）若F C AB，求椭圆离心率e的值．1316 1解：（1）∵ 4 1C ，，∴3 3 9 9 9a b2 2，∵ 2 2 2 2BF b c a ，∴22 ( 2) 2 2a ，∴b，2 1∴椭圆方程为 2 x y ．2 12（2）设焦点F1( c，0) ，F2 (c，0) ，C(x，y) ，∵A，C 关于x 轴对称，∴A(x ，y) ，∵B，F ，A三点共线，∴2b ybc x，即bx cy bc 0①∵y b FC AB ，∴ 1 1x c c ，即 2 0xc by c ②①②联立方程组，解得xyca2b c2 22bc2b c2 2∴Ca c 2bc2 2，2 2 2 2b c b cC 在椭圆上，∴2 2a c 2bc2 2b c b c2 2 2 2a b2 21，化简得5c a ，∴c 52 2a 5, 故离心率为55．（18）【2014 年江苏，18，16 分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段O A 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点 A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，tan 4BCO ．3（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？．解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系x Oy．由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC 的斜率 4k －tan BCO ．BC3又因为AB⊥BC，所以直线AB 的斜率 3k ．设点 B 的坐标为(a,b)，AB4则k BC= b 0 4a 170 3 ，k AB= 60 3ba 0 4，解得a=80，b=120．所以BC= 2 2(170 80) (0 120) 150 ．因此新桥BC 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d≤60．)由条件知，直线BC 的方程为 4 ( 170)y x ，即4x 3y 680 0 ，3由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d)到直线BC 的距离是r，即因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，| 3d 680 | 680 3d r ．5 5所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d ) 80≥，解得10 ≤ d ≤35 ．故当d=10 时,680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5解法二：（1）如图，延长OA, CB 交于点F．因为tan∠BCO = 43 ．所以sin∠FCO = 45，cos∠FCO = 35．因为OA =60,OC=170，所以OF= O C tan∠FCO =6803 ．CF=OC850cos FCO 3，4从而500AF OF OA ．因为O A⊥OC，所以cos∠AFB =sin∠FCO =3 45，又因为A B⊥BC，所以BF =AFcos∠AFB == 4003，从而BC= C F－BF=150．因此新桥B C 的长是150 m．（2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D，连接M D ，则MD ⊥BC，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m，OM =d m(0 ≤d≤60．) 因为O A⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，故由（1）知，sin∠CFO = MD MD r 3MF OF OM 680 5d3所以680 3dr ．5因为O和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m，所以r d≥80r (60 d )≥80，即680 3d5680 3d5d 80≥(60 d )≥80，解得10 ≤ d ≤35 ，故当d=10 时，680 3dr 最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．5（19）【2014 年江苏，19，16 分】已知函数( ) e ex xf x 其中e 是自然对数的底数．（1）证明： f (x) 是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf (x) ≤ e m 1在(0 ，) 上恒成立，求实数m 的取值范围；x（3）已知正数 a 满足：存在你的结论．x0 [1，) ，使得 3 ea 1 与f (x ) a( x 3x ) 成立．试比较0 0 0a e 1 的大小，并证明解：（1）x R， f ( x) e e f (x) ，∴ f (x) 是R上的偶函数．x x（2）由题意，(e e ) e 1x x x m ≤，∵x (0 ，) ，∴e x e x 1 0 ，x x xm ≤m ，即(e e 1) e 1即 e 1xm ≤对x (0 ，) 恒成立．令 e ( 1)t t ，则xe e 1x x m1 t≤对任意t (1，) 恒成立．t t 12∵ 1 1 1 1t t ≥，当且仅当t 2 时等号成立，∴ 1m ≤．2 2 3t t 1 (t 1) (t 1) 1 1 3t 1 1t 1（3）f '( x) e e ，当x 1 时 f '( x) 0 ∴ f (x) 在(1，) 上单调增，令x xh(x) a( x 3x) ，h '( x) 3ax( x 1) ，33∵a 0 ，x 1，∴h '(x) 0 ，即h( x) 在x (1，) 上单调减，∵存在x0 [1，) ，使得f x a x x ，∴ f (1) e 1 2a ，即 1 e 1 ( ) ( 3 ) a ．30 0 0e 2 e∵ a a a a ，设m(a) (e 1)ln a a 1 ，则m '(a ) e 1 1 e 1 a e-1ln ln ln e (e 1)ln 1e 1 a 1e a aa 1，1 1a e ．当2 e 1 1e a e 1时，m '(a) 0 ，m(a) 单调增；当 a e 1 时，m '(a) 0 ，m(a ) 单调2 e减，因此m( a) 至多有两个零点，而m(1) m(e) 0 ，∴当 a e 时，m(a) 0 ，a e 1 e a 1 ；当1 e 1 ea 时，m(a) 0 ，2 e a e 1 e 1 ；当a e 时，m(a) 0 ，aa e 1 e a 1 ．（20）【2014 年江苏，20，16 分】设数列{ }a 的前n 项和为S．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得n n S a ，n m则称{}a 是“H 数列”．nn（1）若数列{ a } 的前n 项和S 2 (n N) ，证明：{ a } 是“H 数列”；n n n（2）设{ a } 是等差数列，其首项n a1 1，公差 d 0 ．若{a } 是“H 数列”，求d 的值；n（3）证明：对任意的等差数列{ }a ，总存在两个“H数列”{b } 和{c } ，使得 a b c (n N) 成立．n n n n n n解：（1）当n ≥ 2 时，n n 1 n 1a S S 1 2 2 2 ，当n 1时，n n n a1 S1 2 ，∴n 1时，S a ，当n≥2时，1 1 S a ，∴{a } 是“H 数列”．n n 1 n（2）n(n 1) n(n 1)S na d n d ，对n N，m N使n 12 2S a ，即n mn(n 1)n d 1 (m 1)d ，25取n 2 得1 d (m1)d ，m 2 1d，∵d 0 ，∴m 2 ，又m N ，∴m 1，∴d 1．（3）设{}a 的公差为d，令n b a1 (n 1)a1 (2 n) a1 ，对n N ，nb b a ，n 1 n 1c (n 1)(a d) ，n 1对n N ，c c a d ，则n 1 n 1 b c a1 (n 1)d a ，且{ b } ，{c } 为等差数列．n n n n n{ b } 的前n 项和nn(n 1)T na ( a ) ，令n 1 12T (2 m)a ，则n 1n(n 3)m 2 ．2当n 1时m 1；当n 2 时m 1；当n≥3时，由于n 与n 3 奇偶性不同，即n(n 3) 非负偶数，m N ．因此对n ，都可找到m N ，使T b 成立，即{b } 为“H 数列”．n m n{c } 的前ｎ项和nn(n 1)R (a d ) ，令n 12c (m 1)(ad ) R ，则n 1 mmn(n 1)21∵对n N ，n(n 1) 是非负偶数，∴m N ，即对n N ，都可找到m N ，使得R c 成立，n m 即{ }c 为“H 数列”，因此命题得证．n数学Ⅱ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21 题有A、B、C、D 4 个小题供选做，每位考生在4 个选做题中选答 2 题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前 2 题计分．第22、23 题为必答题．每小题10 分，共40 分．考试时间30 分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．【选做】本题包括A、B、C、D 四小题，请选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（21-A ）【2014 年江苏，21-A，10 分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C、 D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D．解：因为B，C 是圆O 上的两点，所以OB=OC．故∠OCB =∠B．又因为C, D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B=∠D．因此∠OCB =∠D．（21-B ）【2014 年江苏，21-B，10 分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1 2 1 1A ，B ，向量1 x2 12y，x，y为实数，若Aα= Bα，求x，y的值．解：2 y 2A ，2 xy2 yBα，由Aα= Bα得4 y2y 2 2 y，解得 1 4x ，y ．2 xy 4 y， 2（21-C）【2014 年江苏，21-C，10 分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为2x 1 t ，2(t 为参数)，直线l 与抛物线2y 2 t2y2 4x交于A，B 两点，求线段A B 的长．解：直线l：x y 3 代入抛物线方程 2 4y x 并整理得x2 10x 9 0 ，∴交点 A (1，2) ，B(9 ，6) ，故| AB| 8 2 ．（21-D ）【2014 年江苏，21-D，10 分】（选修4-5：不等式选讲）已知x 0 ，y 0 ，证明： 2 21 x y 1 x y 9xy ．解：因为x>0, y>0, 所以1+ x+y 2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥2 2 2 2 23 3 33 x y 0 ，所以(1+ x+y )( 1+x +y) ≥3 xy 3 x y =9 xy．2≥33 xy2 0 ，1+x2+y≥【必做】第22、23 题，每小题10 分，计20 分．请把答案写在．答．题．卡．的．指．定．区．域．内．．．（22）【2014 年江苏，22，10 分】盒中共有9 个球，其中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同．6（1）从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出 4 个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x，x ，x ，随机变量X 表示1 2 3 x ，x ，x 1 2 3中的最大数，求X 的概率分布和数学期望E(X ) ．解：（1）一次取 2 个球共有 2C 36 种可能情况， 2 个球颜色相同共有92 2 2C C C 10 种可能情况，4 3 2∴取出的 2 个球颜色相同的概率10 5P ．36 18（2）X 的所有可能取值为4，3，2 ，则C 14P X ；( 4) 4C 12649C C C C 133 1 3 1P( X 3) 4 5 3 6 ；C 633911P( X 2) 1 P(X 3) P(X 4) ．∴X 的概率分布列为：14X 2 3 4P 1114 13631126故X 的数学期望( ) 2 11 3 13 4 1 20E X ．14 63 126 9（23）【2014 年江苏，23，10 分】已知函数sin xf (x) (x 0)x ，设 f (x) 为nf x 的导数，n N．n1 ( )（1）求2f f 的值；1 22 2 2（2）证明：对任意的n N，等式 2nf f 成立．n 1 n4 4 4 2解：（1）由已知，得sin x cosx sin xf (x) f (x)1 0 2x x x，于是cosx sin x sin x 2cos x 2sin xf (x) f (x)2 1 2 2 3x x x x x ，所以 4 2 16f ( ) , f ( ) ，1 2 2 32 2故2 f ( ) f ( ) 1 ．1 22 2 2（2）由已知，得xf0 (x) sin x, 等式两边分别对x 求导，得 f 0 (x) xf0 (x) cos x ，即f0 ( x) xf1 (x) cos x sin(x ) ，类似可得2 2 f (x) xf (x) sin x sin( x ) ，1 233 f (x) xf (x) cos x sin( x ) ，2 32 4 f (x) xf (x) sin x sin( x 2 ) ．3 4下面用数学归纳法证明等式nnf x xf x x 对所有的nn n1 ( ) ( ) sin( )2N*都成立．（i）当n=1 时，由上可知等式成立．（ii）假设当n=k 时等式成立, 即kkf 1 (x) xf (x) sin( x ) ．k k2因为[kf ( x) xf (x )] kf (x) f (x) xf (x) (k 1) f (x) f ( x),k 1 k k 1 k k k k 1(k1)k k k[sin( x )] cos(x ) (x) sin[ x ] ，所以2 2 2 2 (k 1) f ( x) f (x)k k 1(k 1)sin[ x ] ．2所以当n=k +1 时,等式也成立．综合(i),(ii) 可知等式nnf 1 ( x) xf (x) sin( x ) 对所有的nn n2 N都成立．*令x ，可得4nnf 1 ( ) f ( ) sin( ) ( nn n4 4 4 4 2N)．所以*2nf f ( nn 1 n( ) ( )4 4 4 2N)．*7。
2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]
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2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则（一试）[1]2014年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分细则一试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1．在△ABC中，若c cos B＝12，b sin C＝5，则c＝．答案：13．解：根据正弦定理，得c sin B＝b sin C＝5，所以c2＝(c cos B)2＋(c sin B)2＝132，从而c＝13．2．函数f(x)＝x＋1(x+1)3＋1(x＞0)，则函数取得最小值时，所对应的x值是．答案：43－1．解：由f(x)＝x＋1(x+1)3＋1＝13(x＋1)＋13(x＋1)＋13(x＋1)＋1(x+1)3≥44(13)3，等号当且仅当13(x＋1)＝1(x+1)3，即x＝43－1．（本题也可求导）3．对于任意的实数a∈(－2，4]，都有x2－ax＋9＞0成立，则实数x的取值范围为．答案：R．解：当a∈(－2，4]时，△＝a2－36＜0，故x2－ax＋9＞0恒成立，从而x的取值范围是R．4．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是．答案：(－1，0)∪(0，＋∞)．解：因为S n＞0（n＝1，2，3，…），所以a1＞0．当q＝1，S n＝na1＞0成立．当q≠1，S n＝a1(1－q n)1－q＞0（n＝1，2，3，…）恒成立，所以q∈(－1，0)∪(0，1)∪(1，＋∞)．综上q的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．5．已知5件产品中有3件合格品，2件次品．每次任取一个检验，检验后不再放回，恰好经过3次检验找出2件次品的概率为．答案：3 10．解：恰好3次找出2件次品，有三种情况：（1）第1次，第3次找出次品；（2）第2次，第3次找出次品，（3）前三次均为正品．若第1次，第3次找出次品的25×34×13＝110；若第2次，第3次找出次品的概率35×24×13＝110．若前3次均找出的是正品的概率35×24×13＝110，故恰好经过3次检验找出2件次品的概率为110＋110＋110＝310．6．点A 是椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点，B 、C 是该椭圆上的另外两点，且△ABC 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC 只有一解，则椭圆的离心率的范围为．答案：(0，63]．解：设等腰直角三角形的一边所在直线方程为：y ＝kx ＋1(k ＞0)，它与椭圆的另一个交点B 的横坐标为－2ka 21＋a 2k 2，从而点C 的横坐标为2ka 2a 2＋k 2．由AB ＝AC ，得(1＋k 2)×4k 2a 4(1＋a 2k 2)2＝(1＋1k 2)×4k 2a 4(a 2＋k 2)2，化简得：k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝0，由题意知，此方程的解只有k ＝1．而k 3－a 2k 2＋ka 2－1＝(k －1)［k 2－(a 2－1)k ＋1］＝0，要使上述方程有惟一的正数解k ＝1，则(a 2－1)2－4≤0，即1＜a ≤3（a ＝3时，方程的解惟一）．所以其离心率的取值范围是(0，63]．7．方程x ＋2y ＋3z ＝2014的非负整数解(x ，y ，z )的个数为．答案：339024．解：方程x ＋2y ＝k 的非负整数解(x ，y )个数为［k2］＋1，所以，方程x ＋2y ＝2014－3z 的非负整数解的个数为671∑z =0{［2014－3z 2］＋1}＝671∑z =0(1007－2z )＋671∑z =0［z2］＋672 ＝672×1007－670×672＋335×336＝339024．8．计算：2014∑k =1[－3＋8k ＋14]＝．答案：40115．解：令t ＝－3＋8k ＋14，则k ＝2t 2＋3t ＋1．因此[－3＋8k ＋14]＝n 当且仅当2n 2＋3n ＋1≤k ＜2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1，n ∈N ．由于2×302＋3×30＋1＝1891，2×312＋3×31＋1＝2016，所以 2014∑k =1[－3＋8k ＋14]＝30∑n =1n [2(n ＋1)2＋3(n ＋1)＋1－(2n 2＋3n ＋1)]－30 ＝30∑n =1(4n 2＋5n )－30＝4(12＋22＋…＋302)＋5(1＋2＋…＋30)－30＝40115．二、解答题（本题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，2S n +1－3S n ＝2a 1，n ∈N *．（1）证明数列{a n }为等比数列；（2）若a 1，a p (p ≥3)两项均为正整数，且存在正整数m ，使a 1≥m p －1，a p ≤(m ＋1) p －求a n ．解：（1）由题意2S 2－3S 1 =2a 1，得2a 2－3a 1=0．由a 1≠0，得 a 2a 1＝32．………………………… 2分又 2S n +1－3S n ＝2a 1，2S n +2－3S n +1＝2a 1，得 2a n +2－3a n +1＝0，n ∈N *．由a 1≠0，得a n +1≠0，故a n +2a n +1＝32．所以数列{a n }为等比数列．………………………… 6分（2）由（1）知a p =a 1×(32p －1．因为a 1，a p ∈N *，所以a 1=k ×2p －1，k ∈N *，从而a p = k ×3 p －1．………………………… 10分由a 1≥m p －1，a p ≤(m ＋1) p －1，得k ×2p －1≥m p －1，k ×3p －1≤(m +1) p －1，即m ≤2×p －1k ，m ＋1≥3×k ，作差得1≥p －1k ，即k ≤1，所以k ＝1．所以 a n ＝2p －1×(32)n －1．………………………… 16分已知动点A ，B 在椭圆x 28＋y 24＝1上，且线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)．（1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（2）求线段AB 长度的最大值．解：（1）设点A ，B 的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点M 的坐标为(x 0，y 0)．当AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点M 的坐标为(－2，0)．当AB 与x 轴不垂直时，因为点A ，B 在椭圆x 28＋y 24＝1上，所以x 128＋y 124＝1，x 228＋y 224＝1．从而(x 1－x 2)(x 1＋x 2)8＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 02y 0．因为线段AB 的垂直平分线始终过点P (－1，0)，所以y 1－y 2x 1－x 2×y 0x 0＋1＝－1，从而x 0＝－2．即线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＝－2，－2＜y ＜2．…………………… 8分（2）当AB 与x 轴垂直时，AB ＝22．当AB 与x 轴不垂直时，由（1）知，直线AB 的方程为y －y 0＝1y 0(x ＋2)．…………………… 12分由y －y 0＝1y 0(x ＋2)，x 28＋y 24＝1，得(y 02＋2)x 2＋4(y 02＋2)x ＋2y 04＋8＝0．所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝2y 04＋8y 02＋2．从而AB ＝(1＋1y 02)×[16－4×2y 04＋8y 02＋2])＝8(y 02＋1)(2－y 02)y 02＋2＝22×－[(y 02＋2)＋4y 02＋2]＋5，其中－2＜y 0＜2，且y 0≠0，所以AB ＜22．所以线段AB 长度的最大值为22．…………………… 20分设a ，b ，c ，d 都是整数，p ＝a 2＋b 2是素数．如果p |c 2＋d 2，证明：c 2＋d 2p 可以表示为两个整数的平方和．证明：因为p | c 2＋d 2，所以c 2＋d 2＝pm ，其中m 为整数．于是m ＝c 2＋d 2p ＝(c 2＋d 2)(a 2＋b 2)p 2＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2，一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a －b i)p 2＝(ca －db )2＋(da ＋cb )2p 2，（1）另一方面，m ＝(c ＋d i)(c －d i)(a ＋b i)(a ＋b i)p 2＝(ca ＋db )2＋(da －cb )2p 2，（2）…………………………………… 10分注意到(ca ＋db )(ca －db )＝c 2a 2－d 2b 2＝(pm －d 2)a 2－d 2b 2 ＝pma 2－d 2(a 2＋b 2) ＝p (ma 2－d 2)．因为p 是素数，所以ca ＋db 和ca －db 中至少有一个数能被p 整除．……………………………… 15分当ca －db 能被p 整除时，令ca －db ＝pt ，t 是整数，根据（1），因为m 是整数，所以da ＋cb 也被p 整除．令da ＋cb ＝ps ，s 是整数，则c 2＋d 2p ＝m ＝t 2＋s 2．当ca ＋db 能被p 整除时，同理可证：c 2＋d 2p 也可以表示为两个整数的平方和．……………………………… 20分。
2014江苏数学试题及标准答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ圆柱的体积公式：V sh =圆柱，其中s 为圆柱的表面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：=S cl 圆柱，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2014年江苏，1，5分】已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B =_______．【答案】{13}-，【解析】由题意得{1,3}A B =-．（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为_______． 【答案】21【解析】由题意22(52i)25252i (2i)2120i z =+=+⨯⨯+=+，其实部为21． （3）【2014年江苏，3，5分】右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是_______． 【答案】5【解析】本题实质上就是求不等式220n >的最小整数解．220n >整数解为5n ≥，因此输出的5n =． （4）【2014年江苏，4，5分】从1236，，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是_______． 【答案】13【解析】从1,2,3,6这4个数中任取2个数共有246C =种取法，其中乘积为6的有1,6和2,3两种取法，因此所求概率为2163P ==．（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ϕϕ=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是_______． 【答案】6π【解析】由题意cossin(2)33ππϕ=⨯+，即21sin()32πϕ+=，2(1)36k k ππϕπ+=+-⋅，()k Z ∈，因为0ϕπ≤<，所以6πϕ=．（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]，上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm 的株数为(0.0150.025)106024+⨯⨯=．（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________． 【答案】4【解析】设公比为q ，因为21a =，则由8642a a a =+得6422q q a =+，4220q q --=，解得22q =，所以4624a a q ==．（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12VV 的值是_______． 【答案】32【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为11r h 、，22r h 、，则112222r h r h ππ=，1221h r h r =，又21122294S r S r ππ==，所以1232r r =，则222111111212222222221232V r h r h r r r V r h r h r r r ππ==⋅=⋅==．（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为________．【解析】圆22(2)(1)4x y -++=的圆心为(2,1)C -，半径为2r =，点C 到直线230x y +-=的距离为d ==，所求弦长为l =． （10）【2014年江苏，10，5分】已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+，，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】0⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】据题意222()10(1)(1)(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得02m <<． （11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x=+(a b ，为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是________． 【答案】3-【解析】曲线2b y ax x =+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得11a b =-⎧⎨=-⎩，所以2a b +=-．（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =⋅=，，则AB AD ⋅的值是________．【答案】22【解析】由题意，14AP AD DP AD AB =+=+，3344BP BC CP BC CD AD AB =+=+=-， 所以13()()44AP BP AD AB AD AB ⋅=+⋅-2213216AD AD AB AB =-⋅-，即1322564216AD AB =-⋅-⨯，解得22AD AB ⋅=．（13）【2014年江苏，13，5分】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-，上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． 【答案】()102，【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大， 7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线 y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数 21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈． （14）【2014年江苏，14，5分】若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是_______．【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，2222222cos 22a b a b c C ab ab +-+-==22328a b ab +-=，当且仅当2232a b =，即a b =所以cos C二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（15）【2014年江苏，15，14分】已知()2απ∈π，，sin α=． （1）求()sin 4απ+的值；（2）求()cos 26α5π-的值．解：（1）∵()sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==， ()s i n s i n c o s c o s (c o s )4440αααααπππ+=++． （2）∵2243sin 22sin cos cos 2cos sin 55αααααα==-=-=，， ∴()()314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+⨯-=．（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥P ABC -中，D E F ，，分别为棱PC AC AB ，， 的中点．已知6PA AC PA ⊥=，，8BC =，5DF =．（1）求证：直线P A ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ． 解：（1）∵D E ，为PC AC ，中点∴DE ∥P A ∵PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ∴P A ∥平面DEF ．（2）∵D E ，为PC AC ，中点，∴132DE PA ==∵E F ，为AC AB ，中点，∴142EF BC ==，∴222DE EF DF +=，∴90DEF ∠=°，∴DE ⊥EF ，∵//DE PA PA AC ⊥，，∴DE AC ⊥， ∵AC EF E =，∴DE ⊥平面ABC ，∵DE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABC ．（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，12F F ，分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0)b ，，连结2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结1FC ． （1）若点C 的坐标为()4133，，且2BF = （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值．解：（1）∵()4133C ，，∴22161999a b+=，∵22222BF b c a =+=，∴222a ==，∴21b =，∴椭圆方程为2212x y +=． （2）设焦点12(0)(0)()F c F c C x y -，，，，，，∵A C ，关于x 轴对称，∴()A x y -，，∵2B F A ，，三点共线，∴b yb c x +=--，即0bx cy bc --=①∵1FC AB ⊥，∴1yb xc c⋅=-+-，即20xc by c -+=② ①②联立方程组，解得2222222ca x b c bc y b c ⎧=⎪-⎨⎪=-⎩ ∴()2222222a c bc C b c b c --， C 在椭圆上，∴()()222222222221a c bc b c b c a b--+=，化简得225c a =，∴c a =． （18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，4tan 3BCO ∠=．（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？． 解：解法一：（1）如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ．由条件知A (0, 60)，C (170, 0)，直线BC 的斜率43BC k tan BCO =∠=-－．又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率34AB k =．设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =041703b a -=--， k AB =60304b a -=-，解得a =80，b=120．所以BC150=．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤．故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．解法二：（1）如图，延长OA , CB 交于点F ．因为tan ∠BCO =43．所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35．因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803．CF =850cos 3OC FCO =∠，从而5003AF OF OA =-=．因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO =45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150．因此新桥BC 的长是150 m ． （2）设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，故由（1）知，sin ∠CFO =368053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035dr -=． 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥，即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥，解得1035d ≤≤，故当d =10时，68035dr -=最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大．（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明 你的结论．解：（1）x ∀∈R ，()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数．（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤，∵(0)x ∈+∞，，∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x xm ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立．令e (1)x t t =>，则211t m t t --+≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立． ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立，∴13m -≤． （3）'()e e x xf x -=-，当1x >时'()0f x >∴()f x 在(1)+∞，上单调增，令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--，∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减，∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+，∴1(1)e 2ef a =+<，即()11e 2e a >+． ∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a ---=-=--+，设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则e 1e 1'()1a m a a a---=-=，()11e 2e a >+．当()11e e 12ea +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增；当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减，因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==，∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2ea +<<时，()0m a <，e 11e a a -->；当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=． （20）【2014年江苏，20，16分】设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立． 解：（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，当1n =时，112a S ==，∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a +=，∴{}n a 是“H 数列”．（2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+，∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-．（3）设{}n a 的公差为d ，令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列． {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+． 当1n =时1m =；当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N ．因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N ，即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立， 即{}n c 为“H 数列”，因此命题得证．数学Ⅱ．．．．．．．．．．．．．．．．．．的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （21-A ）【2014年江苏，21-A ，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，C 、 D是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB =∠D ．解：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB =OC ．故∠OCB =∠B ．又因为C , D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B =∠D ．因此∠OCB =∠D ．（21-B ）【2014年江苏，21-B ，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α， x y ，为实数，若A α=B α，求x y ，的值．解：222y xy -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦A α，24y y +⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B α，由A α=B α得22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，，解得142x y =-=，． （21-C ）【2014年江苏，21-C ，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，(t 为参数)，直线l 与抛物线24y x =交于A B ，两点，求线段AB 的长．解：直线l ：3x y +=代入抛物线方程24y x =并整理得21090x x -+=，∴交点(12)A ，，(96)B -，，故||8AB = （21-D ）【2014年江苏，21-D ，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知0x >，0y >，证明：()()22119x y x y xy ++++≥． 解：因为x >0, y >0, 所以1+x +y 2≥0>，1+x 2+y ≥0，所以(1+x +y 2)( 1+x 2+y )≥=9xy ． 【必做】第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．． （22）【2014年江苏，22，10分】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P ；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123x x x ，，，随机变量X 表示123x x x ，， 中的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．解：（1）一次取2个球共有29C 36=种可能情况，2个球颜色相同共有222432C C C 10++=种可能情况，∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==．（2）X 的所有可能取值为432，，，则4449C 1(4)C 126P X ===；3131453639C C C C 13(3)C 63P X +===； 11(2)1(3)(4)14P X P X P X ==-=-==．∴X 的概率分布列为：故X 的数学期望1113120()23414631269E X =⨯+⨯+⨯=．（23）【2014年江苏，23，10分】已知函数0sin ()(0)x f x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ．（1）求()()122222f f πππ+的值；（2）证明：对任意的n *∈N ，等式()()1444n n nf f -πππ+=成立．解：（1）由已知，得102sin cos sin ()()x x x f x f x x x x '⎛⎫'===- ⎪⎝⎭， 于是21223cos sin sin 2cos 2sin ()()x x x x xf x f x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'==-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+， 故122()()1222f f πππ+=-．（2）由已知，得0()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得00()()cos f x xf x x '+=，即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+， 2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+，344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+．下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． （i ）当n =1时，由上可知等式成立．（ii ）假设当n =k 时等式成立, 即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+．因为111[()()]()()()(1)()(),k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++(1)[sin()]cos()()sin[]2222k k k k x x x x ππππ+''+=+⋅+=+，所以1(1)()()k k k f x f x +++(1)sin[]2k x π+=+． 所以当n=k +1时,等式也成立．综合(i),(ii)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立． 令4x π=，可得1()()sin()44442n n n nf f πππππ-+=+(n ∈*N )．所以1()()444n n nf f πππ-+n ∈*N )．。
2014年高考理科数学江苏卷(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：圆柱的侧面积公式：=S cl 侧面积,其中c 是圆柱底面的周长,l 为母线长 圆柱的体积公式：V Sh =圆柱,其中S 是圆柱的底面积,h 为高一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置．．上．. 1.已知集合={2,1,3,4}A --,={1,2,3}B -,则AB = .2.已知复数2(52i)z =+(i 为虚数单位),则z 的实部为 .3.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 .4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .5.已知函数cos y x =与sin(2)(0π)y x ϕϕ=+≤＜,它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则ϕ的值是 .6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ）,所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm . 7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若21a =,8642a a a =+,则6a 的值是 .8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S ,2S ,体积分别为1V ,2V .若它们的侧面积相等,且1294S S =,则12VV 的值是 . 9.在平面直角坐标系xOy 中,直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 .10.已知函数2()1f x x mx =+-,若对于任意[,1]x m m ∈+,都有()0f x ＜成立,则实数m 的取值范围是 .11.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x=+（a ,b 为常数）过点(2,5)P -,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行,则a b +的值是 .12.如图,在平行四边形ABCD 中,已知8AB =,5AD =,3CP PD =,2AP BP =,则AB AD 的值是 .13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[0,3)x ∈时,21()22f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[3,4]-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .14.若ABC △的内角满足sin 2sin A B C =,则cos C 的最小值是 .二、解答题：本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知π(,π)2α∈,sin α=（Ⅰ）求πsin()4α+的值； （Ⅱ）求5πcos(2)6α-的值.16.（本小题满分14分）如图,在三棱锥P ABC -中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知PA AC ⊥,6PA =,8BC =,5DF =.求证：（Ⅰ）直线PA ∥平面DEF ； （Ⅱ）平面BDE ⊥平面ABC .17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,1F ,2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左、右焦点,顶点B 的坐标为(0,)b ,连接2BF 并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连接1F C .（Ⅰ）若点C 的坐标为41(,)33,且2BF =求椭圆的方程；（Ⅱ）若1F C AB ⊥,求椭圆离心率e 的值.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------18.（本小题满分16分）如图,为保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m .经测量,点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),4tan 3BCO ∠=.（Ⅰ）求新桥BC 的长；（Ⅱ）当OM 多长时,圆形保护区的面积最大？19.（本小题满分16分）已知函数()e e x xf x -=+,其中e 是自然对数的底数.（Ⅰ）证明：()f x 是R 上的偶函数； （Ⅱ）若关于x 的不等式()e1xmf x m -+-≤在(0,)+∞上恒成立,求实数m 的取值范围；（Ⅲ）已知正数a 满足：存在0[1,)x ∈+∞,使得3000()(3)f x a x x -+＜成立.试比较1e a -与e 1a -的大小,并证明你的结论.20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ,总存在正整数m ,使得n m S a =,则称{}n a 是“H 数列”.（Ⅰ）若数列{}n a 的前n 项和*2()n n S n =∈N ,证明：{}n a 是“H 数列”；（Ⅱ）设{}n a 是等差数列,其首项11a =,公差0d ＜.若{}n a 是“H 数列”,求d 的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{}n a ,总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ,使得+n n na b c =*()n ∈N 成立.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A .（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,AB 是圆O 的直径,C ,D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明：OCB D ∠=∠.B .（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ,向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,x ,y 为实数,若=A αB α,求x y +的值.C .（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l的参数方程为1,2,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,直线l与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.D .（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知0x ＞,0y ＞,证明：22(1)(1)9x y x y xy ++++≥.【必做题】第22,23题,每小题10分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. （Ⅰ）从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ；（Ⅱ）从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为1x ,2x ,3x ,随机变量X 表示1x ,2x ,3x 中的最大数,求X 的概率分布和数学期望()E X .23.（本小题满分10分）已知函数0sin ()(0)xf x x x =＞,设()n f x 为1()n f x -的导数,*n ∈N . （Ⅰ）求12πππ2()()222f f +的值；（Ⅱ）证明：对任意的*n ∈N ,等式1πππ()()444n n nf f -+.2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答案解析一、填空题 1.【答案】{1,3}-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为1-和3，所以答案为{1,3}-【提示】根据集合的基本运算即可得到结论 【考点】交集及其运算 2.【答案】21【解析】222(52i)5252i (2i)2120i z =-=-⨯⨯+=-，实部为21，虚部为20- 【提示】根据复数的有关概念，即可得到结论 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算 3.【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，本题220n >是否成立，若不成立，则n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1n +；若成立，则输出n 的值.本题经过4次循环，得到5n =，5223220n ==>成立，则输出的n 的值为5【提示】算法的功能是求满足220n >的最小的正整数n 的值，代入正整数n 验证可得答案 【考点】程序框图4.【答案】13【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏”的列举出来：(1,2)，(1,3)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(3,6)，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是(1,6)和(2,3)，则概率为13【提示】首先列举并求出“从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数，利用概率公式计算即可【考点】古典概型及其概率计算公式5.【答案】π6【解析】根据题目中两个函数的图象有一个横坐标为π3的交点，所以将π3分别代入两个函数，得到π1πcos sin(2)323φ==+，通过正弦值为12，解出2ππ2π,()36k k φ+=+∈Z 或25ππ2π,()36k k φ+=+∈Z ，化简解得π2π,()2k k φ=-+∈Z 或π2π,()6k k φ=+∈Z ，结合题目中[0,π]φ∈的条件，确定出π6φ=6.【答案】24【解析】从图中读出底部周长在[80,90]的频率为0.015100.15⨯=，底部周长在[90,100]的频率为0.025100.25⨯=，样本容量为60株，(0.150.25)6024+⨯=株是满足题意的. 【提示】根据频率=小矩形的面积=小矩形的高⨯组距底部求出周长小于100cm 的频率，再根据频数=样本容量⨯频率求出底部周长小于100cm 的频数 【考点】频率分布直方图 7.【答案】4【解析】根据等比数列的定义，682a a q =，462a a q =，242a a q =所以由8622a a a =+得6422222a q a q a q =+，消去22a q ，得到关于2q 的一元二次方程222()20q q --=，解得22q =，4262124a a q ==⨯=【提示】利用等比数列的通项公式即可得出 【考点】等差数列与等比数列 8.【答案】32【解析】由题意，2211122222π9π4S r r S r r ===，所以1232r r =，圆柱的侧面积2πS r h =侧，1122122πr 2πS h S r h ===侧侧，则122123h r h r ==，111222923432V S h V S h ==⨯= 【提示】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 9.【解析】根据直线和圆的位置关系，直线与圆相交，求弦长，构建“黄金三角形”勾股定文，圆心为(2,1)-，2r =，圆心到直线的距离d =，弦长==【提示】求出已知圆的圆心为(2,1)C -，半径2r =利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线230x y +-=被圆截得的弦长 【考点】直线与圆的位置关系 10.【答案】2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】二次函数开口向上，在区间[,1]m m +上始终满足()0f x <，只需()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩即可，22210(1)(1)10m m m m m ⎧+-<⎪⎨+++-<⎪⎩，解得22302m m ⎧<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，则m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭ 【提示】由条件利用二次函数的性质可得22()210(1)(1)(1)10f m m f m m m m ⎧=-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，由此求得m 的范围【考点】二次函数的性质 11.【答案】12【解析】根据P 点在曲线上，曲线在点P 处的导函数值等于切线斜率，'22by ax x=-，72k =-，将(2,5)P -带入得5427442b a b a ⎧-=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得322a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则12a b += 【提示】由曲线2by ax x=+（a ，b 为常数）过点P 2,5-（），且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，可得2|5x y ==-，且27|2x y ='=-，解方程可得答案【考点】导数研究曲线上某点切线方程 12.【答案】22【解析】以AB ，AD 为基底，因为3CP PD =，2AP BP =，14AP AD DP AD AB =+=+，34BP BC CP AD AB =+=-则13244AP BP AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213216AD AD AB AB =--因为8AB =，5AD =则3122564162AB AD =--，故22AB AD = 【提示】由3CP PD =，可得14AP AD AB =+，34BP AD AB =-，进而由8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP =，构造方程，进而可得答案【考点】向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算13.【答案】10,2⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据题目条件，零点问题即转化为数形结合，通过找()y f x =与y a =的图象交点去推出零点，先画出(0,3)上2122y x x =-+的图象，再将x 轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至(3,4)-，发现若()f x 图象要与y a =有10个不同的交点，则10,2a ⎛⎫∈⎪⎝⎭【提示】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y a =的图象，利用数形结合判断a 的范围即可【考点】根的存在性及根的个数判断14.【解析】根据题目条件，由正弦定文将题目中正弦换为边，得2a c =，再由余弦定理，用a ，b 去表示c，并结合基本不等式去解决，化简22a b +为ab ，消去ab就得出答案. Ⅲ2222222222313142242cos 22224a b a b a b a b c C ab abab ab +-+-++-⎝⎭====-≥=【提示】根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论【考点】余弦定理，正弦定理 15.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin α=cos α ∴πππsin sin cos cos sin 444αααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（Ⅱ）∵π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 5α=.∴23cos212sin5αα=-=，4sin22sin cos 5ααα==- ∴5π5π5π314cos 2cos cos 2sin sin 2666525ααα⎛⎫⎛⎫-=+=+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为：. 【提示】（Ⅰ）通过已知条件求出cos α，然后利用两角和的正弦函数求πsin 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求出cos2α，然后利用两角差的余弦函数求5πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值 【考点】两角和与差的正弦函数，两角和与差的余弦函数 16.【答案】（Ⅰ）∵D ，E ，分别为PC ，AC ，的中点， ∴DE PA ∥又∵DE PAC ⊂平面，PA PAC ⊄平面， ∴PA DEF 直线∥平面（Ⅱ）∵E ，F 分别为棱AC ，AB 的中点，且8BC =，由中位线知4EF = ∵D ，E ，分别为PC ，AC ，的中点，且6PA =，由中位线知3DE =，又∵5DF =∴²²²25DF EF DE =+=， ∴DE EF ⊥，又∵DE PA ∥， ∴PA EF ⊥， 又∵PA AC ⊥，又∵ AC EF E =，AC ABC ⊂平面，EF ABC ⊂平面， ∴PA ABC ⊥平面， ∴DE ABC ⊥平面， ∵DE BDED ⊂平面， ∴BDE ABC ⊥平面平面【提示】（Ⅰ）由D 、E 为PC 、AC 的中点，得出DE PA ∥，从而得出PA DEF ⊥平面；（Ⅱ）要证平面BDE ABC ⊥平面，只需证DE ABC ⊥平面，即证DE EF ⊥，且DE A C ⊥即可【考点】平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定17.【答案】（Ⅰ）2212x y +=【解析】（Ⅰ）∵2BF 41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，∴221611(0)99a b a b+=>>，且²²²c b a += ∴a 1b =，∴椭圆方程为2212x y +=（Ⅱ）直线BA 方程为b y x b a =-+，与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>联立得2222220a c a x x c c+-= ∴点2322222,a c b A a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ∴点2322222,a c b C a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭1(,0)F c - 直线CF 1斜率3333bk a c c=+，又∵1FC AB ⊥， ∴32313b bc a c c -=+∴222222()1(3)ac c a c -=+， ∴e = 【提示】（Ⅰ）根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a ，b 的值（Ⅱ）求出C 的坐标，利用1FC AB ⊥建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值 【考点】椭圆的简单性质，椭圆的标准方程 18.【答案】（Ⅰ）150m （Ⅱ）10【解析】（Ⅰ）过点B 作BE OC ⊥于点E ，过点A 作AD BE ⊥于点F . ∵4tan 3BCO ∠=，设5BC x =，3CE x =，4BE x =， ∴4OE AF x ==，60EF AO ==，3BF x = 又∵AB BC ⊥，且90BAF ABF ∠+∠=︒，90CBE BOC ∠+∠=︒，∴ 90ABF CBE ∠+∠=︒，∴ 90CBE BAF ∠+∠=︒， ∴3460tan 41703BF x BAF AF x-∠===-， ∴30x =，5150m BC x == ∴新桥BC 的长为150m .以OC 方向为x 轴，OA 为y 轴建立直角坐标系.设点(0,)M m ，点(0,60)A ，(80,120)B ，(170,0)C 直线BC 方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-=，∴半径68035mR -=，又因为古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ，∴80R AM -≥且80R OM -≥， ∴6803(60)805mm ---≥， ∴1035m ≤≤，∴68031305mR -=≤此时圆面积最大. ∴当10OM =时圆形保护区面积最大.【提示】（Ⅰ）在四边形AOCB 中，过B 作BE OC ⊥于E ，过A 作AF BE ⊥于F ，设出AF ，然后通过解直角三角形列式求解BE ，进一步得到CE ，然后由勾股定理得答案； （Ⅱ）设BC 与⊙M 切于Q ，延长QM 、CO 交于P ，设OM xm =，把PC 、PQ 用含有x 的代数式表示，再结合古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m 列式求得x 的范围，得到x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大. 【考点】圆的切线方程，直线与圆的位置关系 19.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）13m ≤-（Ⅲ）①11(1)2a e e e e ⎡⎤⎛⎫∈+⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,，时，()0h a <，即1(1)ln a e a -<-，从而11a e e a --<，②当a e =时，11e a a e --=，③当(,)(1,)a e e ∈+∞⊆-+∞时，当1a e >-时，()()0h a h e >=，即(1)(1)ln a e a ->-，从而1 1.a e e a -->【解析】（Ⅰ）∵x ∈R ，且()()()x x f x e ef x ---=+=- ∴()f x 是R 上的偶函数 （Ⅱ）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，即(1)1x x xm e e e ---≤-+，∵0x >，∴10x x e e --+>，即11xx xe m e e ---≤+-在(0,)+∞上恒成立，设x t e =，(1)t >，则211tm t t -=-+在(1,)+∞上恒成立，∵221111111(1)(1)1113t t t t t t t t ---=-=-≥--+-+-+-++，当且仅当2t =时等号成立，∴13m ≤-.（Ⅲ）令3()(3)xxg xe e a x x -=+-+-，则2()3(1)x x g xe e a x -+--'=，当1x >，()0g x '>，即函数()g x 在[1,)+∞上单调递增，故此时()g x 的最小值1(1)2g e a e=+-，由于存在01)[x ∈+∞，，使得3000(()3)f x a x x -+<成立，故120e a e+-<，即112a e e ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，令()(1)l h x x e x =---，则1()1e h x x -'=-，由1()10e h x x-'=-=，解得1x e =-，当01x e <<-时，()0h x '<，此时函数单调递减，当1x e >-时，()0h x '>，此时函数单调递增，∴()h x 在(0,)+∞上的最小值为(1)h e -，注意到(1)()0h h e ==，∴当(1,1)(0,1)x e e ∈-⊆-时，(1)()(1)0h e h x h -≤<=，当(1,)(1,)x e e e ∈-⊆-+∞时，()()0h x h e <=，∴()0h x <，对任意的(1,)x e ∈成立.①11(1,)2a e e e e ⎡⎤⎛⎫∈+⊆ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,时，()0h a <，即1(1)ln a e a -<-，从而11a e e a --<，②当a e =时，11e a a e --=，③当(,)(1,)a e e ∈+∞⊆-+∞时，当1a e >-时，()()0h a h e >=，即(1)(1)ln a e a ->-，从而1 1.a e e a -->【提示】（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可证明()f x 是R 上的偶函数； （Ⅱ）利用参数分离法，将不等式()1xmf x e m -≤+-在(0,)+∞上恒成立，进行转化求最值问题即可求实数m 的取值范围（Ⅲ）利用a 的取值范围进行分类讨论，即可得到答案； 【考点】导数的综合应用 20.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1- （Ⅲ）见解析【解析】解：（Ⅰ）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S -----===，当1n =时，112a S ==.当1n =时，11S a =. 当2n ≥时，1n n S a += ∴数列{}n a 是“H ”数列.（Ⅱ）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+，对*n ∀∈N ，*m ∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+-，取2n =时，得1(1)d m d +=-，解得12m d=+，∵0d <，∴2m <，又*m ∈N ，∴1m =，∴1d =-（Ⅲ）设{}n a 的公差为d ，令1111))((2n b a n a n a =-=--，对*n ∀∈N ，11n n b b a +-=-，1(1)()n c n a d =-+对*n ∀∈N ，11n n c c a d +-=+，则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且数列{}n b 和{}n c 是等差数列. 数列{}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则1(1)()2n n m a d -=+. 当1n =时，1m =；当2n =时，1m =当3n ≥时，由于n 与3n -的奇偶性不同，即(3)n n -为非负偶数，*m ∈N .因此对*n ∀∈N ，都可找到*m ∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为H 数列.数列{}n c 的前n 项和(1)12n n n R -=+，令1(1)()m n c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+. ∵对*n ∀∈N ，(3)n n -为非负偶数，∴*m ∈N .因此对*n ∀∈N ，都可找到*m ∈N ，使n m R c =成立，即{}n c 为H 数列. 因此命题得证.数学Ⅱ21.【答案】A 证明：∵OC OB =， ∴OCB B ∠=∠， ∵B D ∠=∠， ∴OCB D ∠=∠ B.72∵矩阵121A x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，向量2y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A B αα=，∴22224y y xy y -=+⎧⎨+=-⎩，∴12x =-，4y =，∴72x y +=C.直线l的参数方程为122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，化为普通方程为3x y +=，与抛物线24y x =联立，可得21090x x +=-，∴交点(1,2)A ，(9,6)B -，∴||ABD.证明：由均值不等式可得21x y ++≥21x y ++≥分别当且仅当21x y ==，21x y ==时等号成立， ∴两式相乘可得22(11)9x y x y xy ++++≥)(22.【答案】（Ⅰ）518（Ⅱ）()E X =20【解析】解（Ⅰ）一次取2个球共有2936C =种可能，2个球颜色相同共有2936C =种可能情况∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P ==. （Ⅱ）X 的所有可能值为4，3，2，则44491(4)126C P X C ===，3131453649(3)C C C C P X C +==于是11(2)1(3)(4)P X P X P X ==-=-==，X 的概率分布列为 故X 数学期望()23414631269E X =⨯+⨯+⨯= 【提示】（Ⅰ）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（Ⅱ）先判断X 的所有可能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【考点】散型随机变量的期望与方差，古典概型及其概率计算公式 23.【答案】（Ⅰ）∵0i (s n )xf x x=， ∴0)n (si xf x x =，则两边求导，0[(])(sin )xf x x '='， ∵)(n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ，∴01(())cos f x xf x x +=，两边再同时求导得，12((2))sin f x xf x x +=-，将π2x =代入上式得，12πππ12222f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）得，01π))cos sin (2(f x xf x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，恒成立两边再同时求导得，122))sin si ((n(π)f x xf x x x +=-=+，再对上式两边同时求导得，23((3π3))cos sin 2f x xf x x x x ⎛⎫+=-=++ ⎪⎝⎭，同理可得，两边再同时求导得，344))sin sin(2)(π(f x xf x x x +==+，猜想得，1((π))sin 2n n n nf x xf x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立，下面用数学归纳法进行证明等式成立：①当1n =时，01π()()cos sin 2f x xf x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭成立，则上式成立；②假设01π()()cos sin 2f x xf x x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭*(1)n k k k =>∈N 且时等式成立，即1π()()sin 2k k k kf x xf x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，111[((]())((())()(1)))k k k k k k k kf x xf x kf x f x xf x k f x xf x --+''+'=++=++πsin =cos 222k k k x x x ππ'⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππcos sin 2222k k k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴那么*1(1)n k k k =+>∈N 且*1(1)n k k k =+>∈N 且时.等式()11π(1)()()sin 2k k k k f x xf x x +⎡+⎤++=+⎢⎥⎣⎦也成立，由①②得，1((π))sin 2n n n nf x xf x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭对任意*n ∈N 恒成立，令π4x =代入上式得，1ππππππcos 444424n n n nf f sin ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=±= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭﹣， 所以，对任意*n ∈N ，等式1πππ444n n nf f -⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭都成立.【提示】（Ⅰ）由于求两个函数的相除的导数比较麻烦，根据条件和结论先将原函数化为：0)n (si xf x x =，然后两边求导后根据条件两边再求导得：12((2))sin f x xf x x +=-，把π2x =代入式子求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，01(())cos f x xf x x +=和12((2))sin f x xf x x +=-，利用相同的方法再对所得的式子两边再求导，并利用诱导公式对所得式子进行化简、归纳，再进行猜想得到等式，用数学归纳法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、诱导公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把π4x =代入所给的式子求解验证 【考点】三角函数中的恒等变换应用，导数的运算。