整式的除法及因式分解
整式运算公式汇总
整式运算公式汇总整式是由常数、变量及其乘积所构成的代数表达式，常见的整式运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是整式运算的一些常用公式汇总。
1.加法和减法：-任意两个整式之和或之差仍然是整式。
2.乘法：-一个整数与一个整式相乘，所得结果仍然是整式。
-两个整式相乘时，可以利用分配律进行展开。
-两个含有相同的因子的整式相乘时，可以利用公因式提取法进行合并。
3.乘方：a^n表示a的n次方，在整式运算中，可以使用以下公式进行乘方运算：-a^m*a^n=a^(m+n)（底数相同的乘方，指数相加）-(a^m)^n=a^(m*n)（乘方的乘方，指数相乘）-a^0=1（任何数的0次方等于1）4.除法：整式的除法运算可以利用乘法的逆运算，即乘法逆元素，其中，除法过程可以通过因式分解、相除法或多项式长除法等方法进行。
5.因式分解：将一个整式分解为几个不可再分解的乘积形式的过程称为因式分解。
常见的因式分解公式包括：-公因式提取法：将一个整式中的公因子提取出来。
-二次差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)- 平方差公式：a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab- 三次方差公式：a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)6.基本恒等式：- 乘法结合律：a(bc) = (ab)c- 乘法交换律：ab = ba-加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)-加法交换律：a+b=b+a- 加法与乘法的分配律：a(b+c) = ab+ac这些是整式运算的一些常见公式，它们在代数运算中起到重要的作用。
通过熟练掌握和运用这些公式，可以更好地理解和解决整式运算问题。
第14章整式的乘除和因式分解-(教案)
在今天的教学过程中，我发现学生们对于整式的乘除和因式分解这一章节的内容普遍感到有些吃力。在讲解整式的乘法法则时，我注意到有的学生在进行多项式乘多项式的运算时，容易混淆同类项和如何正确合并它们。这让我意识到，需要通过更多的例题和练习来加强他们的这部分能力。
在因式分解的教学中，我发现十字相乘法对学生来说是一个难点。他们往往在寻找能够相乘得到多项式系数的两个数时遇到困难。我尝试通过一些具体的例题和分解步骤来引导学生，但感觉效果并不如预期。这可能是因为我需要在课堂上提供更多的时间和机会，让学生自己尝试和探索，而不仅仅是观看我的演示。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的乘除和因式分解的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际代数问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
1.培养学生的逻辑推理能力，使其能够理解和运用整式的乘除法则，以及因式分解的各种方法；
2.提升学生的数学运算能力，熟练掌握整式乘除和因式分解的运算技巧；
3.增强学生的数学抽象思维，通过解决实际问题，体会数学在现实生活中的应用；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作，共同解决复杂的整式乘除和因式分解问题；
第14章整式的乘除和因式分解-（教案）
一、教学内容
第14章整式的乘除和因式分解：
1.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式；
2.乘法公式：平方差公式、完全平方公式；
3.整式的除法：整式除以单项式、整式除以多项式；
整式知识点汇总总结
整式知识点汇总总结一、整式的概念整式是指由有限多个变量与常数所构成的不等式。
整式包括单项式、多项式和零多项式。
1. 单项式：只含有一个变量的系数与幂的乘积组成的代数式。
2. 多项式：由多个单项式相加或相减得到的代数式。
3. 零多项式：系数都为零的多项式。
二、整式的基本运算整式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法和减法：对整式中的同类项进行合并。
2. 乘法：整式的乘法遵循分配律，将每个项逐个与另一个整式的每个项相乘，然后合并同类项。
3. 除法：整式的除法通过多项式除法来进行，即通过长除法来进行整式的除法运算。
三、整式的因式分解因式分解是将一个多项式表示成乘积的形式，其中每个因子都不能再分解为其他整式的乘积。
因式分解可以分为以下几种情况：1. 提取公因式：将多项式中的公因式提取出来。
2. 分组取因式：将多项式中的项进行分组，然后取出公因式。
3. 完全平方法：利用完全平方公式将一个二次三项式分解成平方项的形式。
4. 公式法：利用常见的整式公式进行因式分解，如二次三项式、完全立方公式等。
5. 旁氏定理：利用旁氏定理将一个多项式进行因式分解。
四、整式的乘方整式的乘方是指对一个整式进行多次相乘的运算。
整式的乘方遵循以下规律：1. 同底数相乘：底数相同，指数相加。
2. 同底数相除：底数相同，指数相减。
3. 变底数幂的乘方：底数相乘，指数相乘。
五、整式的合并与展开整式的合并与展开是指对整式进行化简或者展开的运算，主要包括以下几种情况：1. 合并同类项：将多项式中的同类项合并成一个单项式。
2. 展开乘法：将一个多项式进行分配律的展开，即将每个项逐个与另一个整式的每个项相乘，然后合并同类项。
3. 展开乘幂：将一个整式的乘方进行展开，即进行多次分配律的运算。
六、整式的应用整式在数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 代数方程的求解：利用整式的知识可以求解代数方程，包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程等。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文一、教学目标1. 理解整式的乘除运算规则，能够熟练进行整式的乘除计算。
2. 掌握因式分解的基本方法，能够将多项式正确地进行因式分解。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 整式的乘法：多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，单项式乘以单项式。
2. 整式的除法：多项式除以多项式，多项式除以单项式，单项式除以单项式。
3. 因式分解：提取公因式法，十字相乘法，公式法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：整式的乘除运算规则，因式分解的方法。
2. 教学难点：因式分解中的提取公因式法和十字相乘法的运用。
四、教学方法1. 采用讲解法、示范法、练习法、讨论法等教学方法，引导学生理解和掌握整式的乘除与因式分解。
2. 通过例题讲解和练习题的训练，提高学生的计算能力和解决问题的能力。
五、教学准备1. 教案、PPT、教学素材。
2. 练习题、测试题。
3. 教学设备：投影仪、电脑等。
教案第一课时：整式的乘法1. 导入：引导学生回顾单项式和多项式的概念，为新课的学习打下基础。
2. 讲解：讲解整式乘法的基本规则，举例说明多项式乘以多项式、多项式乘以单项式、单项式乘以单项式的计算方法。
3. 示范：教师示范计算过程，引导学生跟随老师一起动手操作。
4. 练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。
第二课时：整式的除法1. 导入：回顾上节课的内容，引出整式除法的概念。
2. 讲解：讲解整式除法的基本规则，举例说明多项式除以多项式、多项式除以单项式、单项式除以单项式的计算方法。
3. 示范：教师示范计算过程，引导学生跟随老师一起动手操作。
4. 练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。
第三课时：提取公因式法1. 导入：引导学生发现多项式中的公因式，引出提取公因式法。
2. 讲解：讲解提取公因式法的步骤和注意事项。
3. 示范：教师示范提取公因式的过程，引导学生跟随老师一起动手操作。
4. 练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。
整式的运算与因式分解
整式的运算与因式分解1. 概述整式是数学中的一种常见形式，由数字、字母和运算符号组成。
本文将介绍整式的运算和因式分解两个主题。
2. 整式的基本运算整式的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们逐个介绍每种运算。
2.1 加法整式的加法就是把相同变量的项进行合并，例如：2x² + 3x + 5 + 4x² - 2x - 3合并同类项结果为：(2x² + 4x²) + (3x - 2x) + (5 - 3)6x² + x + 22.2 减法整式的减法与加法类似，合并同类项后进行相减，例如：(3x² + 2x - 7) - (x² - 4x + 2)合并同类项结果为：(3x² - x²) + (2x + 4x) + (-7 - 2)2x² + 6x - 92.3 乘法整式的乘法是将每个项相乘，并合并同类项，例如：(2x + 3)(x - 4)展开并合并同类项结果为：2x² - 8x + 3x - 122x² - 5x - 122.4 除法整式的除法是指定一个整式为除数，将被除数做整除运算得到商和余数。
例如：(2x³ - 5x² + 3) ÷ (x - 2)使用长除法进行计算，得到商为2x² - x + 1，余数为5。
3. 整式的因式分解因式分解是将一个整式写成多个因式相乘的形式。
下面我们介绍几种常见的因式分解方法。
3.1 公因式提取法对于给定的整式，如果每一项都有相同的因子，那么可以先提取出公因式，例如：6x² + 9x这里的公因式是3x，提取后得到：3x(2x + 3)3.2 完全平方公式对于一个二次整式（二项式的平方），可以使用完全平方公式进行因式分解，例如：x² + 4x + 4这里的完全平方是(x + 2)²，因此可以写成：(x + 2)²3.3 平方差公式平方差公式可以将一个差的平方整式进行因式分解，例如：x² - 4这里可以使用差的平方公式：(x + 2)(x - 2)4. 示例与应用现在我们通过一些示例来展示整式的运算和因式分解的应用。
整式乘除与因式分解复习教案
整式乘除与因式分解复习教案第一篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。
通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。
教学目标通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。
教学分析重点根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。
难点整式的除法与因式分解的应用是本课难点。
教学方法与手段采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。
本课教学以练习为主。
教学过程一．回顾知识点（一）整式的乘法1、同底数的幂相乘2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）因式分解1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系3、因式分解的方法4、因式分解的应用二．练习巩固（一）单项式乘单项式(1)(5x3)⋅(-2x2y),(2)(-3ab)2⋅(-4b3)(3)(-am)2b⋅(-a3b2n)，231(4)(-a2bc3)⋅(-c5)⋅(ab2c)343（二）单项式与多项式的乘法(1)(-2a)⋅(x+2y-3c),(2)(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)(3)(x+y)(-2x-1y)2（三）乘法公式应用(1)(-6x+y)(-6x-y)(2)(x+4y)(x-9y)(3)(3x+7y)(-3x-7y)（四）整式的除法1(1)(-a6b4c)÷((2a3c)41(2)6(a-b)5÷[(a-b)2]3(3)(5x2y3-4x3y2 +6x)÷(6x)13(4)x3my2n-x2m-1y2+x2m+1y3)÷(-0.5x2m-1y2)3 4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9（七）因式分解的应用1、解方程（1）9x2+4x=0(2)x2=(2x-5)22、计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活动:求满足4x2-9y2=31的正整数解。
整式的乘除因式分解定义公式总结
《整式的乘除与因式分解》四大知识点归纳第一类、幂的运算法则：同底数幂的乘法a m a n=a m+n幂的乘方（a m ）n=a m n积的乘方(a b)n = a n b n同底数幂的除法a m÷a n=a m+n (a≠0，m、n为正整数，m﹥n）零指数幂a0 = 1（a≠0)负指数幂 a – p = （a≠0 ，p为正整数）第二类、整式的乘、除法整式的乘法1.单项式乘以单项式法则单项式和单项式相乘，把它们的系数,相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.2。
单项式乘以多项式法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
即m（a+b+c）=ma+mb+mc3.多项式乘以多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加即（a+b) (m+n) = am + an + bm +bn整式的除法1.单项式除以单项式法则单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
2．多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
即(am+bm)÷m = a + b第三类、乘法公式平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
即(a+b）（a –b）= a2 –b2完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和,加（或减）它们的积的2倍.即(a+b）2=a2+2ab+b2 (a—b）2=a2—2ab+b2第四类、因式分解：1。
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2。
方法①提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把这个公因式提到括号外面,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法．②运用公式法:把乘法公式逆运用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫公式法。
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。
下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。
将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。
例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。
2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。
将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。
然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。
例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。
然后将乘积减去被除式，得到0。
所以结果为2x + 3。
3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。
例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。
这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。
2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。
3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。
4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。
二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。
2.用辗转相除法进行整式的除法计算。
三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。
2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。
4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。
5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。
根据这一定理可以找到多项式的因式。
四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。
4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。
整式的乘除与因式分解知识点归纳
整式的乘除与因式分解知识点归纳整式是由常数、变量及它们的积和和差经过有限次加、减、乘运算得到的式子。
整式有不同的运算法则，包括乘法、除法和因式分解。
以下是整式的乘除与因式分解的知识点归纳：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
在整式相乘时，需注意以下几点：-两个或多个常数相乘，结果仍是常数；-两个或多个同类项相乘，结果是它们的系数相乘，指数相加的同类项；-不同类项相乘时，按照乘法交换律和乘法结合律可以调整次序、合并同类项；-乘法运算中可以运用分配率，将一个整式乘以一个括号内的整式，再将结果分别与括号内的各项相乘，最后合并同类项得出结果。
2．整式的除法：整式的除法是指将一个整式除以另一个整式的运算。
在整式相除时，需要注意以下几点：-除法的定义：对于两个整式f(x)和g(x)，若存在整式q(x)和r(x)，使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x)，且r(x)是0或次数低于g(x)的整式，则称g(x)是f(x)的除式，q(x)是商式，r(x)是余式；-除法的步骤：进行长除法运算，从被除式中选择一个最高次项与除式的最高次项相除，得到商式的最高次项；-对除式乘以商式后减去得到的结果，继续进行除法计算，重复以上步骤；-最后得到的商式即为整式的商，最后得到的余式即为整式的余式。
3.整式的因式分解：因式分解是指将一个整式拆分成多个整式的乘积。
在进行因式分解时，需要注意以下几点：-提取公因式：当一个整式的各个项都有相同的因子时，可以提取出该因子作为公因式；-分解差的平方：对于形如a^2-b^2的差的平方，可以分解成(a+b)(a-b)的乘积；-分解一些特殊形式的整式，如完全平方差、完全立方和差、完全立方和等；-假设原式可分解成两个较简单的整式，然后根据求解思路进行分解。
整式的乘除运算和因式分解是数学中重要的操作，有广泛的应用。
在代数方程求解、多项式计算、消元法等多个数学领域中，都需要运用到整式的乘除与因式分解的知识。
整式的除法与因式分解
4a x
2、多项式除以单项式的法则
多项式除以单项式，先把这 个多项式的每一项除以这个 单项式，再把所得的商相加
(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m (m≠0)
例如：
（12a3－6a2+3a）÷3a
解:原式
多项式的每一项 分别除以单项式
=12a3 ÷3a-6a2 ÷3a+3a ÷3a =4a2-2a+1
二、整式除法法则
1、单项式除以单项式的法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别除，作为 商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式。
理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
被除式的系数 除式的系数
底数不变 指数相减
保留在商里 作为因式
例如：
8a 2a
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4 最大公约数 a 相同字母 b2 最低指数
观察 方向
一、看系数
二、看字母 三、看指数
平方差公式： 整式乘法
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法与 因式分解是 互逆的过程
两个数的平方差， 等于这两个数的和 与这两个数的差的 a²- b² = (a+b)(a-b) 积
2
（2） x 4 xy 4 y
2
2
2
x 4 xy 4 y
2
2
a 2 a b b
2
2
2 2 x 2 x 2y 2y
4 x 3
2
x 2y
2
综 例1 (1) a5÷a4.a2 5-4+2 3 =a =a 合 5÷(ab)2 (2) (ab) 应 5-2 3 3 3 用 =(ab) =(ab) =a b
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
整式知识点总结归纳初二
整式知识点总结归纳初二整式是代数中一种重要的表达形式，对于初二的学生来说，掌握整式的知识点是非常关键的。
本文将对初二整式的相关知识进行总结归纳，帮助同学们系统地学习整式。
一、整式的定义整式是由常数、变量及它们的乘积相加减得到的代数式。
整式包括单项式和多项式两种形式。
单项式是只有一个项的整式，多项式是有两个或两个以上项相加减得到的整式。
二、整式的运算1. 整式的加法：将同类项相加，即将相同的字母部分（指数可以不同）相加，系数保持不变。
例如：2x + 3x = 5x2xy + 3xy = 5xy2. 整式的减法：将同类项相减，同加法一样，字母部分相同，系数相减。
例如：2x - 3x = -x2xy - 3xy = -xy3. 整式的乘法：将每个项的系数相乘，字母部分相乘，指数相加。
例如：2x * 3x = 6x^22xy * 3xy = 6x^2y^24. 整式的除法：将被除式与除式分别化简，然后进行除法运算。
例如：(6x^2y^2) / (2xy) = 3xy三、整式的因式分解因式分解是将一个整式表示成若干个因式相乘的形式。
常用的因式分解方法有：1. 提取公因式：将整式中的公因式提取出来。
例如：2x^2 + 6x = 2x(x + 3)2. 公式法：利用一些常见的公式进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)3. 分组法：将整式中的项进行合理的分组，然后进行因式分解。
例如：ab + ac + bd + cd = a(b + c) + d(b + c) = (a + d)(b + c)四、整式的乘法公式在整式的乘法中，常常用到以下的乘法公式：1. 二次平方差公式：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2例如：(3x + 2)(3x - 2) = 9x^2 - 42. 完全平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2例如：(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 93. 两个一次整式乘积的和：(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd例如：(2x + 3)(4x + 5) = 8x^2 + 22x + 15五、整式的应用整式在数学中的应用非常广泛，特别是在代数运算、方程求解和函数图像绘制等方面。
《整式的除法》整式的乘除与因式分解
《整式的除法》整式的乘除与因式分解日期:目录•整式的乘法和除法概述•整式的因式分解•整式的除法详细解析•练习题与答疑整式的乘法和除法概述整式是由常数、变量和运算符（加、减、乘）构成的代数表达式。
定义整式具有结合律、交换律和分配律等代数性质。
性质整式的定义和性质两个整式相乘时，可以将它们的各项相乘并相加，得到一个新的整式作为乘积。
在整式的除法中，我们通常通过因式分解的方式将被除数和除数进行化简，然后消除相同的因式，得到最简结果。
乘法法则和除法法则除法法则乘法法则解决实际问题：整式的乘除常常用于解决各种实际问题，如工程问题、物理问题等，通过建立整式模型，可以更好地理解和解决问题。
计算机科学：在计算机科学中，整式的乘除也有重要应用，如多项式求值、密码学等领域。
这些内容构成了《整式的除法》中整式的乘除与因式分解的基本框架和知识点。
通过对这些内容的深入学习和理解，可以更好地掌握整式的乘除运算以及其在各个领域中的应用。
数学推导：在数学推导过程中，整式的乘除是基本的代数运算，它们被广泛应用于证明定理、化简表达式等。
整式乘除的应用场景整式的因式分解因式分解的定义和意义因式分解，又称作因子分解，是将一个多项式表示为几个多项式的乘积的过程。
意义因式分解是代数的基本工具，它简化了多项式的运算，并在解决方程、不等式和其他数学问题中起到关键作用。
当多项式的各项有公共因式时，可将公共因式提取出来，从而简化多项式。
提公因式法公式法分组分解法利用代数公式，如平方差公式、完全平方公式等，进行因式分解。
将多项式的项分组，使每组都能进行因式分解，然后再将各组的结果结合起来。
030201常见因式分解的方法通过因式分解，可以将某些类型的方程（如一元二次方程）化为更简单的形式，从而更容易求解。
解方程因式分解在不等式的求解过程中也起到简化作用，通过分解可以更清晰地看出不等式的解集。
求解不等式在多项式运算中，通过因式分解可以简化计算过程，提高计算效率。
整式知识点总结
整式知识点总结整式的基本概念：在代数中，由数字、字母以及它们的各次幂与运算符组成的符号串称为代数式。
其中字母是代数式的基本要素。
一个或几个字母（代数量）构成的代数式称为代数式的值。
例如，3x+4y是一个代数式，当x=1，y=2时它是一个数。
整式的性质：1.加法性质：整式相加的结果仍是整式。
2.乘法性质：整式相乘的结果仍是整式。
3.交换律和结合律：整式的加法和乘法满足交换律和结合律。
4.整式的因式分解：将一个整式分解成若干个整式的乘积。
整式的分类：1. 单项式：只含有一个字母或多个字母的乘积的式称为单项式。
例如：2x，3xy。
2. 多项式：由单项式相加（减）得到的式子称为多项式。
例如：2x+3y，3xy-4x+7。
3. 整式：整式是单项式和多项式的统称。
4. 一元整式和多元整式：只含一个字母的整式叫做一元整式，含有两个或两个以上字母的整式叫做多元整式。
整式的加法和减法：当整式相加时，只有当它们的字母部分相同（指数也相同），系数相加就得到的一个整式。
例如：2x+3x=5x，2x^2-3x^2=-x^2。
整式的乘法：整式的乘法应用分配律和乘法公式，将每一个单项式分别与另一个整式相乘，然后将所得结果相加即可得到乘积。
例如：(2x+3)(x-4)=2x^2-8x+3x-12=2x^2-5x-12。
整式的除法：整式的除法是对整式进行除法运算。
例如，求多项式f(x)=2x^3-5x^2+3x-7和g(x)=x-3的商和余式。
整式的因式分解：整式的因式分解是指将一个整式表示为几个整式的乘积。
例如，将6x^2+11x-5分解成(3x+1)(2x-5)。
整式的应用：整式的应用十分广泛，特别是在代数方程、代数不等式、多项式函数、统计学等领域中。
整式的加、减、乘、除运算是解决代数方程、不等式问题的基础。
总之，整式是代数学中的基本概念之一，它是解决各种代数问题的基础工具，具有十分重要的意义。
通过学习整式，可以更好地理解代数运算的基本规律，并应用于实际问题的解决。
整式的乘除与因式分解教学反思
整式的乘除与因式分解教学反思一、整式的乘法1.1 定义整式是由常数和变量按照加减乘除的运算法则组合而成的代数式。
整式的乘法就是将两个或多个整式相乘得到一个新的整式。
1.2 乘法法则（1）同底数幂相乘：a^m * a^n = a^(m+n)（2）异底数幂相乘：a^m * b^n = (ab)^(m+n)（3）括号内分配律：a(b+c) = ab + ac1.3 例题解析例题：(x+2)(x-3)解析：利用括号内分配律，将原式展开，得到：(x+2)(x-3) = x(x-3) + 2(x-3)= x^2 - 3x + 2x -6= x^2 - x - 6二、整式的除法2.1 定义整式的除法就是将一个整式除以另一个整式，得到商和余数。
2.2 短除法步骤（1）将被除数按照降幂排列；（2）将除数按照降幂排列；（3）将被除数中最高次项与除数中最高次项相除，得到商；（4）用商乘以除数，并将结果减去被除数，得到余数；（5）将余数作为新的被除数，重复以上步骤，直到余数的次数小于除数的次数。
2.3 例题解析例题：(x^3 - 2x^2 + x + 1) ÷ (x-1)解析：按照短除法步骤进行计算，得到：因此，原式可化简为：x^2 - x + 2 + 3/(x-1)三、整式的因式分解3.1 定义整式的因式分解就是将一个整式表示成若干个乘积的形式。
3.2 因式分解方法（1）提公因式法：将一个整式中公共因子提出来，得到一个公共因子和一个新的整式。
（2）配方法：将一个整式拆成两个部分，并且这两个部分可以相乘得到原来的整式。
（3）公式法：利用一些特殊公式将一个整式分解成若干项之和或差的形式。
（4）综合运用各种方法进行因式分解。
3.3 例题解析例题：x^2 + 5x + 6解析：根据配方法，可以将原来的整式拆成(x+2)(x+3)的形式。
因此，原来的整数可以写成(x+2)(x+3)的形式。
四、教学反思整式的乘除与因式分解是初中数学中重要的知识点之一，也是高中数学的基础。
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.3.2整式的除法(图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（綦江·中考）2a2÷a的结果是（ ）
A．2 B．2a
C．2a3
D．2a2
【解析】选B.利用单项式除以单项式的运算法则易得 选项B正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
2.（无锡·中考）下列正确的是（ ）
A．（a3)2=a5 C．(a3-a)÷a=a2
B．a3+a2=a5 D．a3÷a3=1
【解析】选D.利用单项式除以单项式的运算法则易得选
项D正确.
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
3.（4x2y3）2 ÷ (-2xy2) 【解析】原式=16x4y6÷(-2xy2)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例】计算:
（1）28x4y2÷7x3y （2）-15a5b3c÷5a4b
【解析】原式=4xy
原式=-3ab2c
（3）（2x2y）3×（-7xy2）÷14x4y3
原式=8x6y3×（-7xy2）÷14x4y3
=-56x7y5÷14x4y3
=-4x3y2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
的值. 【解析】原式
(9x2 4 y2 5x2 2xy 10xy 4 y2 ) 8x (4x2 8xy) 8x 1xy
2 Q x 2 y 2012 1 x y 1006
2 原式 1006
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.单项式相除 (1)系数相除； (2)同底数幂相除； (3)只在被除式里的幂不变. 2.多项式除以单项式
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15.3整式的除法
1、=÷n m a a （0≠a ，m ，n 都是正整数，且n m >），这就是，同底数幂相除，底数，指数。
2、计算：()=÷52
3y y 3、下列计算正确的是（ ）
A ．336()x x =
B ．6424a a a =·
C ．4222()()bc bc b c -÷-=
D ．632x x x ÷=
4、下列关于数与式的等式中，正确的是()
A ．22(2)2-=-
B ．5840
101010⨯=C ．235x y xy +=D ．2x y x y x +=+ 5、下列计算错误的是 ( )
A ．2m + 3n=5mn
B ．426a a a =÷
C ．632)(x x =
D ．32a a a =⋅
6、计算：()2
2a b a ÷． 7：若1432=--x x ，求x x 6220092+-的值
8、若710=x ，2110=y ，则y x -10=。
9、若9=m x ，6=n x ，4=k x ，求k n m x 22+-的值
10、计算①()
)2(10468234x x x x x -÷+--②⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-c a bc a c b a 2223325232 11、若132=-x x ，求200957623+-+x x x 的值。
15.4.1提公因式法分解因式
1、把一个多项式化为几个的形式，叫做把这个多项式因式分解
2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
（A ）29)3)(3(x x x -=+- （B ）))((2233n mn m n m n m ++-=-
（C ）)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y （D ）z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242
3、因式分解：22x x -=．
4、因式分解：22)1(2)1(4-+-b b a
例题：已知(19x 31)(13x 17)(13x 17)(11x 23)可因式分解成(ax b )(8x c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a b c =？
A ．12
B ．32
C ．38
D ．72 。
●拓展提高
1、因式分解：2m mn mx nx -+-=．
2、因式分解：=+-+)(3)(2y x y x ．
3、因式分解①222axy y x a -②c ab ab abc 249714+--
③()()x y y y x x ---④()y x y x m +--2
4、已知2 3==+ab b a ，求22ab b a --的值
5、用因式分解：151713
191713
⨯-⨯-
15.4.2 用公式法分解因式
1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（
） A.22)(b a -+ B.mn m 2052- C.22y x --
D.92+-x 2、下列因式分解错误的是( )
A ．22()()x y x y x y -=+-
B ．2269(3)x x x ++=+
C ．2()x xy x x y +=+
D ．222()x y x y +=+
3、把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（
） A ．()224x - B ．()224x - C ．()222x -
D ．()222x + 4、分解因式：227183x x ++=．=-822x 。
5、分解因式39a a -=，221218x x -+=．
例题：2009年杭州市）在实数范围内因式分解44-x = _____________． ●拓展提高
1、分解因式：2242x x -+=．=+-2232xy y x x
2、分解因式：29xy x -=． 328a a -=____________．
3、、因式分解：2221a b b ---=．
4、利用因式分解计算：2298196202202+⨯+
5、求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x 的值恒为正
6、先化简再计算：y x y
x y x +---22
2，其中x =3，y =2 7、在三个整式2222,2,x xy y xy x ++中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解
15、因式分解：
（1）3123x x - （2）a a a 1812223-+-
（3）9a 2(x-y)+4b 2(y-x)； （4）(x+y)2＋2(x ＋y)＋1。