基础物理学第二十五章量子力学基础

(习题25-9 )
一粒子沿x方向运动，波函数
(x) C
1 ix
(1)由归一化条件求C ；(2)概率密度与x有何关系？
(3)什么地方出现粒子的概率最大？
(1)
(
x
) 2 dx
C 2 1 x2 dx
C 2 arctg
x
C2
1
C 1
注：
2
*
C2 1 ( ix )2
C2 1 x2
(2) 概率密度：
E
0
令： 则：
k2
2m 2
E
d 2
d x2
k 2
0
U(x)
U( x )
U( x )
U( x ) 0
x
0
a
方程的解： ( x ) Acos kx B sin kx
由边界条件：
➢ x = 0 时，ψ(0) = 0 得： A=0
U(x)
U( x )
U( x )
➢ x = a 时，ψ(a) = 0 得：
2
dv 1
整个空间
称为波函数的归一化条件。
波函数的标准条件： (1) 单值： (2) 有限： (3) 连续。
(4) 归一化。
2、薛定谔方程：
质量为m、动量为p、能量为E的一维自由粒子的波函数：
其中：
(
x,t
)
0
e
i
(
E t px
)
(
x
)
e
i
E
t
(
x
)
0
e
i
p
x
与时间t无关，称为定态波函数。
e2
Ek 8 0r 13.6 eV 1.226 ( nm ) 0.332 ( nm ) 2 0.0529 ( nm )
13.6
可见，氢原子处于基态时的德布罗意波长正好等于氢原子 第一玻尔轨道的周长！
由德布罗意假设可得到玻尔氢原子模型中的量子化条件：
或：
2 r n n h n h
ka n 或 k n , n 1,2,3,...
a
U( x ) 0
( x ) B sin n x
a
0 xa
x
0
a
再由波函数的归一化条件：
a
( x ) 2 dx
a
B2
sin2
n
xdx
B2
a ( 1 cos 2 n
x )dx
1 aB2
1
0
0
a
20
a
2
即：
B 2 a
结论：
E
(1) 一维无限深势阱中粒子的波函数为： 25E1
(2) 汤姆孙（英国）通过电子在多晶膜上的透射得到了环 状的电子衍射图象。（1927年）
光的圆孔衍射图象
电子穿过金箔的衍射图象
(3) 约恩孙从电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验证 实了电子也具有波动性。
约恩孙电子电子双缝、四缝衍射图象 以后的实验还证实了中子、质子以及原子等都具有波动性。
由德布罗意公式，实物粒子波动性的频率和波长分别为：
Ek
1 2
mv 2
p2 2m
p
2mE k
h h hc
p 2m Ek
2m c2 Ek
hc 1240 eV nm , mc 2 0.511 MeV
1240
1.226 ( nm )
2 0.511 106 Ek
Ek
例题3：
（例25-2） 求氢原子中基态电子的德布罗意波长。
氢原子处于基态时的轨道半径 r = 0.529 Å = 0.0529 nm。
p mv
mvr n h n
2
n 1意波的驻波条件就是玻尔氢原子理论的角动 量量子化条件。
利用电子的波动性可制成分辨率极高的电子显微镜。
光学显微镜与电子显微镜成像比较
光学显微镜的最大放大倍数只有1000倍左右，最大分辨距离约为 0.2μm；而电子显微镜当加速电势差达到10万伏特时，电子波的波 长只有0.004μm，比可见光短10万倍左右。
s1 s
s2
因此，从光子概念出发，光是概率波。
光子和电子穿过双缝时的衍射实验结果
由于微观粒子也具有波粒二象性，所以与微观粒子相对 应的德布罗意波（物质波）也应该是概率波。
电子逐个穿过双缝时的衍射实验结果
§25-2 不 确 定 关 系
★牛顿力学认为：任意时刻质点具有确定的位置和动量。 ★量子力学认为：因而粒子在任意时刻不具有确定的位 置和动量。
第25章 量子力学基础
★玻尔的氢原子理论缺 陷 ★对原子光谱的进一步研究应建立了更为严格的量子物理。
本章主要内容：
1、实物粒子的波粒二象性； 2、不确定关系； 3、波函数、薛定谔方程及其应用。
§25-1 德布罗意假设、实物粒子
的波粒二象性
1、德布罗意假设：
1924年德布罗意（法国）从对称性出发，将光的波粒二象 性推广到了所有的实物粒子，认为实物粒子也具有波动性， 称为德布罗意波或物质波。
h mv
6.63 1034 ( 1 109 )( 1 106
)
6.63 1019
m
例题2： 求电子经U1 = 100 V 和 U2 = 10000 V 电压加速后的德
布罗意波长。
不考虑相对论效应时：
1 mv2 eU 2
v
2eU m
v1 5.93 106 m s ( U1 100V )
v2
1927年海森堡（德国）根据量子力学证明微观粒子位置的 不确定量和动量的不确定量之间的关系为：
x px 2
y py 2
z pz 2
h 1.0546 1034 J s
2
上式称为海森堡坐标和动量的不确定关系。 其意义是：微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。
利用电子的单缝衍射对不确定关系的简单证明：
2
C2 1 x2
1
(1
x2
)
(3) 当 x = 0 时，|ψ|2 最大。
所以粒子出现在 x = 0 处的概率最大。
例题10：
(习题25-10 )
在一维无限深势阱中，求当粒子处于ψ1和ψ2时，
发现粒子概率最大的位置。
波函数：
n
2 sin n x
aa
(0 x a)
(1) 1
2
sin x ,
即当 x ( 2k 1 )
注：由于h是一个极小的物理量，所以对宏观粒子，不确 定关系是察觉不到的。
例题4： 设子弹质量m=0.01kg，枪口直径0.5cm，由不确定
关系估算子弹射出枪口时的横向速度。
按题意，设Δx = 0.5 cm。
由不确定关系：
x
px
x mvx
2
h
4
v x
h
4 mx
1.05 1030
m
s
可见：Δvx 远小于子弹的飞行速度（几百米/秒），所以
发态的平均寿命。
(1) 由能量和时间的不确定关系：
E h 3.3 108 eV 4t
对氢原子光谱，当n不是很大时，这一能级宽度是很小的。 所以氢原子谱线系中的各分立谱线是相当细的。
(2) 由
E h hc
得： E
hc
2
所以，该激发态的平均寿命为：
t
h 2 1
2
0.42 108 s
n=4
峰值增多。当n→∞时，相邻峰值无限接
ψn
近，此时，可以认为势阱内概率密度处
处相等。
9E1
n=3
(3) 对大能量的粒子，量子数n很大，但 4E1
n=2
En1 En En
( n 1 )2 n2
n2
2n 1 n2
0
E1
0
n=1
ax
可见：大能量粒子在势阱内的运动回到经典力学的情况。
例题9：
沿x方向运动的自由粒子的波函数为：
i 2 ( t x )
( x,t ) 0 e
或：
(
x
,t
)
0
e
i
(
Et
px
)
E h
p
h
★由物质波的统计意义：物质波的强度=粒子在空间各点处 出现的概率。所以，某时刻、某点附近dv体积内粒子出现 的概率为：
2 dv 其中：dv dxdydz
上式中， 2 为* 空间02 某点附近单位体积内出现粒子的 概率，称为概率密度。
由不确定关系引起的子弹横向速度不会影响其“经典式” 的运动。
例题6：
（例25-4） 求氢原子中电子速度的不确定量。
取电子的位置不确定量为氢原子大小的数量级，即：
x 1 1010 m
则由不确定关系，其速度的不确定量为：
v
4
h
mx
5.8 105
m
s
不确定关系的另一重要形式为能量和时间的不确定关系：
2、德布罗意波（物质波）的统计解释）：
1926年，玻恩（德国）指出德布罗意波是概率波。
光的双缝干涉的二象性解释：
★波动理论： 条纹的明暗表示光强的分布。
s1
s s2
★光子理论：
明暗条纹的分布表示到达屏上光子数的 分布。
s1
s s2
对单个光子而言，它落在屏幕上的哪一点是不确定的（见 图25-5），但大量光子到达屏幕上的位置符合一定的概率 统计规律。
p
x
h
x
h
x
即：
x px h
x
px
p
φ1
Δx
若考虑次极大，则：
x px h
更为精确的理论证明：
x px
h
4