高中数学必修一知识点总结完整版教学教材
高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学人教A版必修第一册知识点总结本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。
接下来将对这四个单元的知识点进行总结。
一.集合与常用逻辑1.集合与元素-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集2.集合的运算-并集、交集、差集、补集-嵌套集合的化简-运算律：交换律、结合律、分配律3.常用逻辑关系-全称量词、存在量词-逻辑运算：与、或、非-条件命题、充分条件、必要条件4.命题及命题的逻辑运算-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价二.函数与方程1.函数的概念-自变量、因变量、函数值-射影函数、指示函数2.函数的表示方法-函数的解析式-函数的图像3.函数的性质-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性-奇函数、偶函数-反函数4.一次函数-一次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换5.二次函数-二次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换-最值、对称轴、零点及判别式三.数列与数学归纳法1.数列的概念-有限数列、无限数列、数列的一般表示2.等差数列-等差数列的概念及公式-等差数列前n项和公式-通项公式的推导3.等比数列-等比数列的概念及公比-等比数列前n项和公式-通项公式及其推导4.递推数列-递推数列的概念及表示-递推公式5.数学归纳法-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提四.几何与向量1.向量的概念-向量的定义、表示方法、相等与运算-向量的数量表示-零向量、单位向量2.向量的线性运算-加法、减法、数乘-加减法运算律、数乘运算律3.向量的坐标表示-坐标运算、线性变换4.向量的数量积-向量的点乘、模长及其性质-向量的夹角及性质5.平面向量的应用-共线向量、垂直向量、平行向量-向量在直角坐标系中的投影-多边形面积与向量运算-向量与几何问题的应用以上是《高中数学人教A版(2024)必修第一册》的知识点总结。
高中高一数学必修1各章知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。
人教版高中数学必修一知识点总结(完整版)
第一章集合与函数概念课时一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
3.集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。
1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R课时二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集。
记作：B A ⊆（或B ⊇Ａ）注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。
高中数学必修一知识点总结完整版
高中数学必修一知识点总结完整版高中数学必修一是整个高中数学学习的基础，涵盖了集合、函数的概念与性质、基本初等函数等重要内容。
以下是对这些知识点的详细总结。
一、集合1、集合的概念集合是由某些确定的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
2、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。
（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。
3、集合间的关系（1）子集：如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么称 A 是B 的子集，记作 A⊆B。
（2）真子集：如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A，那么称 A 是 B 的真子集，记作 A⊂B。
（3）集合相等：如果 A⊆B 且 B⊆A，则 A ＝ B。
4、集合的运算（1）交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A∩B。
（2）并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作 A∪B。
（3）补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 A 在 U 中的补集，记作∁UA。
二、函数的概念1、函数的定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝f(x)，x∈A。
2、函数的三要素（1）定义域：函数中自变量 x 的取值范围。
（2）值域：函数值的集合。
（3）对应关系：函数的表达式或法则。
3、函数的表示方法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。
（2）图象法：用图象表示函数关系。
（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。
三、函数的基本性质1、单调性（1）增函数：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数。
人教版高中数学必修一知识点归纳总结
人教版高中数学必修一知识点归纳总结
本文档总结了人教版高中数学必修一的重要知识点，旨在帮助学生复和梳理相关内容。
第一章：集合与常用数集
- 集合的表示和运算
- 常用数集：自然数集、整数集、有理数集、实数集
- 数集的划分和分类
第二章：集合的运算与应用
- 集合的运算：交集、并集、差集、补集
- 集合间关系的判定和表示
- 集合的应用：概率、分类、调查统计等
第三章：函数基本概念与性质
- 函数的定义和表示
- 函数的自变量、因变量和值域
- 函数的性质：奇偶性、周期性等
第四章：一元一次方程与不等式
- 一元一次方程的解法
- 一元一次不等式的解法
- 一次方程和一次不等式的应用
第五章：平面坐标系与直线的基本性质
- 平面直角坐标系的建立和使用
- 直线方程的表示和性质
- 直线的斜率和截距
第六章：平面向量的基本概念
- 向量的定义和表示
- 向量的运算：加法、数乘
- 向量的模、方向和单位向量
第七章：平面向量的数量积
- 向量的数量积定义和性质
- 向量之间的夹角
- 向量的投影和垂直
以上是人教版高中数学必修一的知识点归纳总结，希望对学生们进行知识回顾和复有所帮助。
更多详细内容请参考教材。
2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文
新教材高一数学必修第—册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无 ,,,c b a 序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,C B A 3集合相等：两个集合的元素一样，记作．B A ,B A =4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：．A a ∈A a ∉5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．N +N N 或*Z Q R 6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(x P x })(|{x P A x ∈③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．Venn 7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就B A ,A B 称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且A A A B B A ⊆B x ∈A x ∉，就称集合是集合的真子集，记作，读作真包含于．A B A B A B 8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子∅集．9集合的根本运算：并集；交集； },|{B x A x x B A ∈∈=或 },|{B x A x x B A ∈∈=且 补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{A x U x x A C U ∉∈=且U 运算性质：；；；；B A B B A ⊆⇔= B A A B A ⊆⇔= A A =∅ ∅=∅ A ，．∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)()()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==10充分条件与必要条件：一般地，“假设p ，则q 〞为真命题，p 可以推出q ，记作，称p 是q 的q p ⇒充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：假设，则p 是q 的充分不必要q q p ,⇒p 条件；假设，则p 是q 的必要充分不条件；假设，则p 是q 的充要条件；p p q ,⇒q q p ⇔假设，，则p 是q 的既不充分也不必要条件． pq q p 11全称量词及全称量词命题：短语“全部的〞，“任意一个〞在逻辑中叫做全称量词，并用符号表∀示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个〞，“至少有一个〞在逻辑中叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否认：全称量词命题的否认是存在量词命题；存在量词命题的否认是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质： ①对称性；②传递性；③可加性a b b a >⇔<,a b b c a c >>⇒>；④可乘性，；a b a c b c >⇒+>+,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<⑤同向可加性；⑥同向可乘性； ,a b c d a c b d >>⇒+>+0,0a b c d ac bd >>>>⇒>⑦可乘方性；()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >⑧可开方性．⑨可倒数性． )0,1a b n n >>⇒>∈N >ba b a 110<⇒>>2重要不等式：假设，则，当且仅当时等号成立．R b a ∈,ab b a 222≥+b a =3根本不等式：假设，，则，即，当且仅当时等号成立． 0a >0b >a b +≥2a b+≥b a =4不等式链：假设，，则，当且仅当时等号成立；一正0a >0b >ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+b a =二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最gao 次数是的不等式． 26第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数x ，按照某种确定的B A ,A 对应关系，在集合中都有唯—确定的数y 与它对应，那么就称为从集合到集合的一f B B A f →:A B 个函数，记作，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值相对A x x f y ∈=),(A 应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，值域是集合的子集． }|)({A x x f ∈B 2函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 求函数定义域的原则：(1)假设为整式，则其定义域是；()f x R (2)假设为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；()f x (3)假设是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； ()f x (4)假设，则其定义域是； ()0f x x =}{0x x ≠(5)假设，则其定义域是；()()0,1x f x a a a =>≠R (6)假设，则其定义域是； ()()log 0,1a f x x a a =>≠}{0x x >(7)假设，则其定义域是；x x f tan )(=},2|{Z k k x x ∈+≠ππ求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数． 6函数的单调性：(1)单调递增：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x <函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x >函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间． 8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:,都有)(x f y =I M I x ∈∀；使得，那么称是函数的最大(小)值． ))(()(M x f M x f ≥≤I x ∈∃0M x f =)(0M10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f =-数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数满足；)(x f y =|)(|)()(x f x f x f ==-奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f -=-函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；假设奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即)(x f y =.(0)0f =11幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． αx y =x α12幂函数的性质：()f x x α=①全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；()0,+∞()1,1②如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数；0α>[)0,+∞③如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第—象限内，当从右边趋向于原点时，0α<()0,+∞x 图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴； y y x +∞x x ④在直线的右侧，幂函数图象“指大图高〞； 1=x ⑤幂函数图象不出现于第四象限． 第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)假设，则；； n x a =))n x n=⎪⎩为奇数为偶数()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(3)；(4)；na =*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且(5)；*0,,1)m naa m n N n -=>∈>,且(6)的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.000(7)；()0,,r s r sa a a a r s R +⋅=>∈(8)；()()0,,r s rsa a a r s R =>∈(9).()()0,0,,rrrab a b a b r s R =⋅>>∈2对数、对数运算性质(1)；(2)； ()log 0,1xa a N x N a a =⇔=>≠()log 100,1a a a =>≠(3)；(4)；；()log 10,1a a a a =>≠()log 0,1a Na N a a =>≠(5)；()log 0,1m a a m a a =>≠(6)；()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >(7)； ()log log log 0,1,0,0aa a MM N a a N=->≠M >N >(8)；()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >(9)换底公式； ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠(10)； ()log log 0,1,,*m na a nb b a a n m N m =>≠∈(11)；()1log log 0,1,0,aa M a a M n R n=>≠>∈(12). ()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠3指数函数及其性质：)1,0(≠>=a a a y x 且①定义域为； ②值域为；③过定点；(),-∞+∞()0,+∞()0,1④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数； 1a >()f x R 01a <<()f x R ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高〞． 4对数函数及其性质：)1,0(log ≠>=a a x y a 且①定义域为；②值域为；③过定点；()0,+∞(),-∞+∞()1,0④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函1a >()f x ()0,+∞01a <<()f x ()0,+∞数；⑤在直线的右侧，对数函数的图象“底大图低〞．1=x 5指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． x a y =)1,0(log ≠>=a a x y a 且x y =6不同函数增长的差异：线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数)0(>+=k b kx y 函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸〞状)1(>=a a y x 态；对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长)1(log >=a x y a 速度平缓；幂函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间．)0(>=n x y n 7函数的零点：在函数的定义域内，使得的实数叫做函数的零点．)(x f y =0)(=x f x 8零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程()y f x =(),a b (),c a b ∈()0f c =c 的根.()0f x =9二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在],[b a ()()0f a f b ⋅<)(x f y =区间一分为二，使得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定准确度，用二分法求函数零点近似值的步骤： ε)(x f y =0x ⑴确定零点的初始区间，验证； 0x [],a b ()()0f a f b ⋅<⑵求区间的中点；[],a b c ⑶计算，并进一步确定零点所在的区间； )(c f ①假设，则就是函数的零点；0)(=c f c ②假设(此时)，则令； 0)()(<c f a f ),(0c a x ∈c b =③假设(此时)，则令；0)()(<b f c f ),(0b c x ∈c a =⑷推断是否到达准确度：假设，则得到零点的近似值(或)；否则重复上面的⑵至⑷. εa b ε-<a b 第五章 三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分： ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第αx α几象限角．第—象限角的集合为;{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为;{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为; {}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z角的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限 α终边在轴非负半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈=παα终边在轴非正半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非负半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非正半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+-=ππαα终边在轴的角的集合；x },|{Z k k ∈=παα终边在轴的角的集合；y },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在坐标轴的角的集合； },2|{Z k k ∈=παα2终边相同的角：与角终边相同的角的集合为．α{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．14角度与弧度互化公式：，，．2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5扇形公式：半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．假设扇形r αl αlrα=的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+．21122S lr r α==6三角函数的概念：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是，它与原点的距αα(),x y离是，则，，． ()0r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦． 8记忆特别角的三角函数值：α 15 30 45 60 75 90 120 135 150180 270 360 α 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 23ππ2 αsin 426- 21 22 23 426+ 1 23 22 210 1-0 αcos 426+ 23 22 21 426-0 21- 22- 23-1-01 αtan 32- 1 3 32+不存在 3- 1- 33-0 不存在9同角三角函数的根本关系：，；()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ．()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫==⎪⎝⎭10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．，，．()()1sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()()tan 2tan k k παα+=∈Z ，，． ()()2sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=，，．()()3sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-，，． ()()4sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-，．，． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11三角函数的图象与性质：sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)；(2)； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-(3)；(4)；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+(5)；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(6)． ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-13二倍角公式：(1)；(2)；sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(，)；(3)；2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=22tan tan 21tan ααα=-14半角公式：(1)；(2)；(3)；(4)2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=15辅助角公式：．的终边上在角点其中ϕϕϕ),(,tan ),sin(cos sin 22b a abx b a x b x a =±+=±16函数的图象与性质：b x A y ++=)sin(ϕω图象变换：先平移后伸缩：函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x =ϕ的图象；再将函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐()sin y x ϕ=+()sin y x ϕ=+1ω标不变)，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数的图象． A ()sin y x ωϕ=A +先伸缩后平移：函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函sin y x =1ω最值当时，22x k ππ=+()k ∈Z ；当max1y =22x k ππ=-时，．()k ∈Z min 1y =-当时，()2x k k π=∈Z ；当max 1y =2x k ππ=+时，．()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数．()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴数的图象；再将函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x ω=sin y x ω=ϕω的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+A 坐标不变)，得到函数的图象． ()sin y x ωϕ=A +五点法画图函数的性质：()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>①定义域为R ；②值域为；③单调性：依据函数的单调区间求函数的单调区间； ],[A A -x y sin =④奇偶性：当时，函数是奇函数；当时，函数Z k k ∈=,πϕ()sin y x ωϕ=A +Z k k ∈+=,2ππϕ是偶函数；⑤周期：；⑥对称性：依据函数的对称性研究函数的对称()sin y x ωϕ=A +ωπ2=T x y sin =性12π17函数的应用B x A y ++=)sin(ϕω①振幅：A ；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．2πωT =12f ωπ==T x ωϕ+ϕ⑥最值：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为B x A y ++=)sin(ϕω1x x =min y 2x x =maxy ，则，，．()max min 12y y A =-()max min 12y y B =+()21122x x x x T=-<。
高中数学新教材人教A版(2019)必修第一册知识点与公式大全
高中数学新教材人教（2019）版必修第一册知识点与公式大全第一章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念及其表示1 集合的含义及表示*⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪∈∉⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩确定性集合中元素的特征 互异性无序性 集合与元素的关系 : 列举法 集合的表示 描述法常见的数集 N N Z Q R2,,A B B A A B A B A A A A B A B A B οοφ≠⊆⊆=⎧⊆⊆⊆⎪⎪⎨⎪⎪⊆≠⊂⎩1定义:A=B2若且则子集： , 集合相等: 集合间的基本关系真子集： 若且 则 空集φ的特殊性: 空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集*结论 含有n 个元素的集合，其子集的个数为2n ，真子集的个数为21n -3集合的基本运算{}{}{}|||U A B x x A x B A B x x A x B C A x x U x A ⎧⋃=∈∈⎪⋂=∈∈⎨⎪=∈∉⎩并集：或 交集：且 补集：且在集合运算中常借助于数轴和文氏图（*注意端点值的取舍） *结论 （1）A A A ⋃= A A A ⋂=, A A φ⋃= A φφ⋂= （2）A B B A B ⋃=⊆若则 A B A A B ⋂=⊆若则4．充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 5．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M 中元素x 0，使p (x 0)成立”用符号简记为：∃x 0∈M ，p (x 0)．（4）全称量词命题“()x p M x ,∈∀”的否定是存在量词命题“()x p M x ⌝∈∃,” （5）存在量词命题“()x p M x ,∈∃”的否定是全称量词命题“()x p M x ⌝∈∀,”第二章 一元二次函数、方程、不等式 1.一元二次不等式的概念及形式(1).概念：把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2).形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．2.三个“二次”之间的关系：3.分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式. 解法：等价转化法解分式不等式 f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )<0. 4.基本不等式(或)均值不等式：ab ba ≥+2基本不等式的变形与拓展1．(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+；(2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）．2．(1)若00a ,b >>,则ab ba ≥+2；(2)若00a ,b >>,则ab b a 2≥+（当且仅当b a =取“=”）； (3)若00a ,b >>,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅当b a =时取“=”）． 3．若0x >,则12x x +≥（当且仅当1x =时取“=”）；若0x <,则12x x+≤-（当且仅当1x =-时取“=”）；若0x ≠,则12xx+≥,即12x x +≥或12x x +≤-（当且仅当b a =时取“=”）．4．若0>ab ,则2≥+ab b a （当且仅当b a =时取“=”）；若0ab ≠,则2a b b a +≥,即2a bb a +≥或2a bb a+≤-（当且仅当b a =时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+．第三章函数的概念与性质3.1函数与映射的相关概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素：函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 3.2函数的三要素（1）．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.（2）．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.（3）．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac b y ax bx c a xa a-=++=++.3.3分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．3.4函数基本性质1函数的单调性（1）定义：设[]2121,,xxbaxx≠∈⋅那么:1212,()()x x f x f x<<⇔[]1212()()()0x x f x f x-->⇔0)()(2121>--xxxfxf[]b axf,)(在⇔上增函数；1212,()()x x f x f x<>⇔[]1212()()()0x x f x f x--<⇔0)()(2121<--xxxfxf[]baxf,)(在⇔上减函数.（2）判定方法：1ο定义法(证明题) 2ο图像法3ο复合法（3）定义法：用定义来证明函数单调性的一般性步骤：1ο设值：任取12,x x为该区间内的任意两个值，且12x x<2ο做差,变形，比较大小：做差12()()f x f x-，并利用通分，因式分解，配方，有理化等方法变形比较12(),()f x f x大小3ο下结论（说函数单调性必须在其单调区间上）（4）常见函数利用图像直接判断单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，指对数函数，幂函数，对勾函数（5）复合法：针对复合函数采用同增异减原则（6）单调性中结论：在同一个单调区间内：增+增=增：增—减=增：减+减=减：减—增=增若函数)(xf在区间[]ba,为增函数，则—)(xf，)(1xf在[]ba,为减函数（7）单调性的应用：①求值域；②解不等式；③求参数范围；④比较大小.特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”只能用“和”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．2 函数的奇偶性（1）定义：若()f x定义域关于原点对称1ο若对于任取x的，均有()()f x f x-=则()f x为偶函数2ο若对于任取x的，均有()()f x f x-=-则()f x为奇函数（（3）判定方法：1ο定义法（证明题）2ο图像法3ο口诀法（4）定义法: 证明函数奇偶性步骤：1ο求出函数的定义域观察其是否关于原点对称（前提性必备条件）2ο由出发()f x-，寻找其与()f x之间的关系3ο下结论（若()()f x f x-=则()f x为偶函数，若()()f x f x-=-则()f x为奇函数函数）口诀法：奇函数+奇函数=奇函数：偶函数+偶函数=偶函数奇函数⨯奇函数＝偶函数：奇函数⨯偶函数＝奇函数：偶函数⨯偶函数＝偶函数具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结全文编辑修改
精选全文完整版可编辑修改高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ∉；两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n-个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、补集Bx ∈A A=∅=∅A B A⊆B B ⊆ B{|x x x ∈A A =A ∅=⑼ 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A == 求补律：A ∩ A ∪=U反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B)第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相（3）A B A ⊇A B B⊇补集{|,}x x U x A ∈∉且%1 （%1%1%1 %1同时；二者才能称为同一函数.3．函数的表示法有 、 、 .§2函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式；就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域；就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 二、值域：1．函数y ＝f (x )中；与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法）例如：① 形如y ＝221x +；可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ；可采用法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ；可采用 法；④ y ＝x －x-1；可采用 法；⑤ y ＝x －21x -；可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.§3函数的单调性一、单调性1．定义：如果函数y ＝f (x )对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2；当x 1、<x 2时；①都有 ；则称f (x )在这个区间上是增函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称f (x )在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间；则f (x )称为 .2．判断单调性的方法：(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .(2) 导数法；若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导；①若 ；则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ；则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数；则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数；则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性；4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数；若f (x )与g(x )的单调相同；则f [g(x )]为 ；若 f (x ), g(x )的单调性相反；则f [g(x )]为 .5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调性 .§4函数的奇偶性1．奇偶性：① 定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ；则称f (x )为奇函数；若 ；则称f (x )为偶函数. 如果函数f (x )不具有上述性质；则f (x )不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则f (x ) . ② 简单性质：1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称. 2） 函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：①已知条件中如果出现)()(x f a x f -=+、或m x f a x f =+)()(（a 、m 均为非零常数；0>a ）；都可以得出)(x f 的周期为 ；②)(x f y =的图象关于点)0,(),0,(b a 中心对称或)(x f y =的图象关于直线b x a x ==,轴对称；均可以得到)(x f 周期第三章 指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数扩充及其运算性质1．正整数指数函数函数y ＝a x (a>0；a≠1；x ∈N ＋)叫作________指数函数；形如y ＝ka x (k ∈R ；a >0；且a ≠1)的函数称为________函数． 2．分数指数幂(1)分数指数幂的定义：给定正实数a ；对于任意给定的整数m ；n (m ；n 互素)；存在唯一的正实数b ；使得b n ＝a m ；我们把b 叫作a 的mn 次幂；记作b＝m na ；(2)正分数指数幂写成根式形式：m na ＝nam(a >0)； (3)规定正数的负分数指数幂的意义是：m na-＝__________________(a >0；m 、n ∈N ＋；且n >1)；(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)a m a n ＝________(a >0)； (2)(a m )n ＝________(a >0)； (3)(ab )n＝________(a >0；b >0)．§3 指数函数(一)1．指数函数的概念一般地；________________叫做指数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是____．2．指数函数y ＝a x (a >0；且a ≠1)的图像和性质§4 对数(二)1．对数的运算性质如果a >0；且a ≠1；M >0；N >0；则： (1)log a (MN )＝________________； (2)log a MN＝________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式 log b N ＝logaNlogab(a ；b >0；a ；b ≠1；N >0)； 特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0；且a ≠1；b >0；且b ≠1)．a >10<a <1图像定义域 R 值域(0；＋∞) 性 质过定点过点______；即x ＝____时；y ＝____ 函数值 的变化 当x >0时；______； 当x <0时；________ 当x >0时；________； 当x <0时；________ 单调性是R 上的________是R 上的________§5 对数函数(一)1．对数函数的定义：一般地；我们把______________________________叫做对数函数；其中x 是自变量；函数的定义域是________．________为常用对数函数；y ＝________为自然对数函数. 2．对数函数的图像与性质 对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数____________________互为反函数．第四章 函数应用 §1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在2．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根；也就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标．定义 y ＝log a x (a >0；且a ≠1) 底数 a >1 0<a <1 图像定义域 ______ 值域 ______单调性 在(0；＋∞)上是增函数 在(0；＋∞)上是减函数共点性 图像过点______；即log a 1＝0函数值 特点 x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时；y ∈______.x ∈(0,1)时； y ∈______； x ∈[1；＋∞)时； y ∈______.对称性函数y ＝log a x 与y ＝1log a x 的图像关于______对称3．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有________⇔函数y＝f(x)有________．4．函数零点的存在性的判定方法如果函数y＝f(x)在闭区间[a；b]上的图像是连续曲线；并且在区间端点的函数值符号相反；即f(a)·f(b)____0；则在区间(a；b)内；函数y＝f(x)至少有一个零点；即相应的方程f(x)＝0在区间(a；b)内至少有一个实数解．1.2 利用二分法求方程的近似解1．二分法的概念每次取区间的中点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系；可用二分法来_________________________________________________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a；b]；使____________．(2)求区间(a；b)的中点；x1＝__________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0；则________________；②若f(a)·f(x1)<0；则令b＝x1(此时零点x0∈(a；x1))；③若f(x1)·f(b)<0；则令a＝x1(此时零点x0∈(x1；b))．(4)继续实施上述步骤；直到区间[a n；b n]；函数的零点总位于区间[a n；b n]上；当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时；这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点；计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．。
高一必修一数学全册知识点
高一必修一数学全册知识点一、集合1. 集合的基本概念1.1 集合的定义和表示方法1.2 集合的元素与集合的关系二、数字与代数1. 实数与数轴2.1 实数的概念及表示2.2 数轴的绘制与实数的表示2.3 实数的比较与加减法运算2.4 实数的乘除法运算及其性质2. 同底数幂与科学计数法2.1 指数与幂的概念2.2 同底数幂的乘除法运算2.3 科学计数法的表示与运算3. 整式的基本概念3.1 代数式与整式的定义3.2 项、次数及系数的概念3.3 同类项与合并同类项3.4 整式的加减法运算4. 一元一次方程及其应用4.1 一元一次方程的定义及基本性质4.2 解一元一次方程的基本方法4.3 应用题中的一元一次方程5. 分式及其运算5.1 分式的定义及分式运算的基本性质5.2 分式的化简5.3 分式方程的解法及应用三、函数与图像1. 函数的概念与表示6.1 函数的定义及函数的表示方法6.2 函数的自变量、因变量与定义域、值域的关系2. 幂函数与分段函数6.2.1 幂函数的概念及其性质6.2.2 分段函数的定义及分段函数的画法3. 一次函数与斜率6.3.1 一次函数的定义及一次函数的性质6.3.2 斜率的概念及其计算方法4. 二次函数及其图像6.4.1 二次函数的定义及二次函数的图像特点6.4.2 二次函数的变换与最值四、三角函数1. 三角函数及其基本性质7.1.1 弧度制与角度制的转换7.1.2 正弦、余弦、正切函数的定义及其基本性质2. 三角函数图像的性质与变换7.2.1 三角函数图像的对称性与奇偶性7.2.2 三角函数图像的平移与伸缩7.2.3 三角函数图像的组合与分解3. 三角函数的简单应用7.3.1 三角函数在实际问题中的应用7.3.2 直角三角形的解题方法五、平面几何1. 直线与圆的性质8.1.1 直线的定义及其性质8.1.2 圆的定义及其性质2. 三角形的基本性质8.2.1 三角形分类及其特性8.2.2 三角形的成立条件3. 三角形的相似8.3.1 相似三角形的定义及判定条件 8.3.2 相似三角形的性质及应用4. 圆的切线与割线8.4.1 切线的定义及性质8.4.2 相交弦的性质及切割定理六、统计与概率1. 统计图与数据的分析9.1.1 统计图的绘制及其分析9.1.2 数据的分析与统计规律2. 事件的概率9.2.1 随机事件与概率的定义 9.2.2 事件的计算与概率的性质3. 排列与组合9.3.1 排列的定义及排列的计算 9.3.2 组合的定义及组合的计算。
高中数学新教材必修第一册知识点总结
高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的. （3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A，B，C，…表示集合，用小写的字母a，b，c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作A B=.6.元素与集合之间的关系（1）属于：如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a A∈，读作a属于A.（2）不属于:如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A∉，读作a不属于A.7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x=的实数根组成的集合.（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x->的解组成的集合.8.常用数集及其记法数学数学数学 2（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N或N.+（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N.（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z.（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q.（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R.9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(1)(2)0-+=的所有实数根”组成的集合表示为x x-.{1,2}（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x，其数学数学数学 3中x是集合中的元素代表，()p x则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式73x-<的解集可以表示为∈-<=∈<.x R x x R x{73}{10}1.2集合间的基本关系1. 子集一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记为A B或（B A）读作集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）.集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下：数学数学数学 4数学 数学 数学 5或关于子集有下面的两个性质： （1）反身性：A A ⊆；（2）传递性：如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆. 2.真子集如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A是集合B 的真子集，记为A B ⊂≠（或B A ⊃≠）， 读作集合A 真包含于集合B （或集合B 真包含集合A ）. 集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.数学 数学 数学 63.集合的相等如果集合A B ⊆，且B A ⊆，此时集合A 与集合B 的元素是一样的，我们就称集合A 与集合B 相等，记为 A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右. 4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即 （1）A ∅⊆（A 是任意一个集合）； （2）A ⊂∅≠（A ≠∅）. 1.3集合的运算 1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集，记作数学 数学 数学 7A B ⋃（读作“A 并B ”）. 符号语言： {,}A B x x A x B ⋃=∈∈或. 图形语言：理解：x A ∈或x B ∈包括三种情况：x A ∈且x B ∉；x B ∈且x A ∉；x A ∈且x B ∈. 并集的性质： （1）A B B A ⋃=⋃；(5) A =BA (4)B B（3）A (2)A 与B 没有有公共元素(1)A 与B 有公共元素，相互不包含（2）A A A⋃=；（3）A A⋃∅=；（4）()()⋃⋃=⋃⋃；A B C A B C（5）A A B⊆⋃；⊆⋃，B A B（6）A B B A B⋃=⇔⊆.2.交集自然语言：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B⋂（读作“A交B”）.符号语言：{,}⋂=∈∈A B x x A x B且.图形语言：数学数学数学8数学 数学 数学 9理解：当A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，只能说A 与B 的交集是∅. 交集的性质： （1）A B B A ⋂=⋂； （2）A A A ⋂=；BA(5)A=B,A B=A=B(4)B A,A B=B(3)A B,A B=AA B（2）A 与B 没有公共元素,A B=（1）A 与B 有公共元素，且互不包含数学 数学10（3）A ⋂∅=∅；（4）()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂； （5）A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆； （6）A B A A B ⋂=⇔⊆. 3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U . （2）补集的概念自然语言：对于一个集合A ，由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记为UA .符号语言： {,}UA x x U x A =∈∉且图形语言：数学 数学 数学 11补集的性质 （1）()U A A ⋂=∅； （2）()U A A U ⋃=； （3）()()()U U UA B A B ⋃=⋂； （4）()()()U U UA B A B ⋂=⋃.1.4充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q⇒，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.在生活中，q是p成立的必要条件也可以说成是: q⌝⇒p⌝（q⌝表示q不成立），其实，这与p q⇒是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.如果“若p，则q”为假命题，那么由p推不出q，记作/p q⇒.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题，即既有p q⇒，又有q p⇒就记作⇔.p q此时，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p 的充要条件.概括地说，如果p q⇔，那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词数学数学数学121.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x，有()p x成立”可用符号简记为p x，x M，()读作“对任意x属于M，有()p x成立”.（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使()p x成立”可用符号简记为p x，∃∈，()x M数学数学数学13数学 数学 数学 14读作“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题：x M ，()p x ，它的否定：x M ∃∈，()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）存在量词命题的否定 存在量词命题：x M ∃∈，()p x ，它的否定：x M ，()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理>⇔->；a b a b=⇔-=；a b a ba b a b<⇔-<.2.等式的基本性质性质1 如果a b=，那么b a=；性质2 如果a b=，b c=，那么a c=；性质3 如果a b=，那么a c b c±=±；性质4如果a b=，那么ac bc=；性质5 如果a b=，0=.c≠，那么a bc c数学数学数学15数学 数学 数学 163.不等式的基本性质性质1 如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<性质2 如果a b >，b c >，那么a c >.即a b >，b c >a c ⇒>.性质3 如果a b >，那么a c b c +=+. 由性质3可得，()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <. 性质5 如果a b >，c d >，那么a c b d +>+. 性质6 如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >. 性质7 如果0a b >>，那么n n a b >（n N ∈，2n ≥）.数学 数学 数学 172.2 基本不等式 1.重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 2.基本不等式 如果0a >，0b >，则2a b+≤， 当且仅当a b =时，等号成立.2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式 （1）当,a b R ∈时，有数学 数学 数学 1822a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. （2）当0a >，0b >时，有211a b≤+当且仅当a b =时，等号成立. （3）当,a b R ∈时，有22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立. 4.利用基本不等式求最值 已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；数学 数学 数学 19（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S .2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应，那么就称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数，记作数学数学数学20数学 数学 数学 21()y f x =,x A ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集. 2.区间：设a ,b 是两个实数，而且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[,)a b , (,]a b . 这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.数学 数学 数学 22（4）实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”.满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合，用区间分别表示为[,)a +∞ ，(,)a +∞ (,]b -∞，(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.注意：（1）“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.（2）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.数学数学数学23数学 数学 数学 24解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. （2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系. 说明：将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.数学 数学 数学 256.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 （1）,0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩ ， （2）22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩. 说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.数学26（2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分 段函数的图象. 3.2 函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. 1.单调性与最大（小）值 （1）增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.数学 数学 数学 27（2）减函数设函数()f x 的定义域为I ，区间D ⊆I.如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数数学 数学 数学 28如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设12,x x D ∈，且 12x x <； ②作差：12()()f x f x - ；③变形：对12()()f x f x -变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底； ④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值 ①最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =. 那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.数学 数学 数学 29②最小值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥； （2）存在0x I ∈，使得0()f x m =. 那么我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.奇偶性 （1）偶函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件； ②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立；③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数.数学30关于奇函数有下面的结论：①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件； ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；③如果奇函数当0x =时有意义，那么(0)0f =.即当0x =有意义时，奇函数的图象过坐标原点； ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 3.3幂函数 1.幂函数的概念一般地，形如y x α=（R α∈，α为常数）的函数称为幂函数.对于幂函数，我们只研究1α=，2，3，12，1-时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质x 12xx -1数学数学数学31数学 数学 数学 323.4函数的应用（一） 略.第四章 指数函数与对数函数4.1 指数1.n 次方根与分数指数幂 （1）方根如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n表示. ②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n表示，负的n次方根用符号. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >）. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是00=.根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式：n a =；数学 数学 数学33,,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂m na =0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的正分数指数幂等于0. （2）负分数指数幂1=m nmnaa-=0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a +=（0a >，r ，s Q ∈）； ②()r s rs a a =（0a >，r ，s Q ∈）；③()r r r ab a b =（0a >，0b >，r Q ∈）.3. 无理数指数幂及其运算性质 （1）无理数指数幂的概念当x 是无理数时，x a 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时，m a 和n a 都趋向于同一个数，这个数就是x a .所以无理数指数幂x a （0a >，x 是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r，s，均有下面的运算性质.①r s r s=（0a a a+∈）；a>，r，s R②()r s rs=（0a a∈）；a>，r，s R③()r r r=（0ab a b∈）.a>，0b>，r R4.2 指数函数1.指数函数的概念函数x=（0y aa≠）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.a>，且12.指数函数的图象和性质一般地，指数函数x=（0y aa>，且1a≠）的图象和性质如下表所示：数学数学数学344.3 对数1.对数的概念数学数学数学35数学 数学 数学 36一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作Nx a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 当0a >，且1a ≠时，log N x a a N x =⇔=. 2. 两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N . 3. 关于对数的几个结论 （1）负数和0没有对数； （2）log 10a =； （3）log 1a a =. 4. 对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么数学 数学 数学 37（1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log log a a a MM N N=-；（3）log log n a a M n M =（n R ∈）.5. 换底公式log log log c a cbb a=（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.4.4 对数函数 1. 对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)+∞. 2.对数函数的图象和性质数学数学数学38数学 数学 数学 393. 反函数指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称. 4. 不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =（1a >）、一次函数y kx =（0k >）、指数函数x y b =（1b >）来说，尽管它们在(0,)+∞上都是增函数，但是随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =（1a >）的增长数学 数学 数学 40速度越来越慢；一次函数y kx =（0k >）增长的速度始终不变；指数函数x y b =（1b >）增长的速度越来越快.总之来说，不管a （1a >），k （0k >），b （1b >）的大小关系如何，x y b =（1b >）的增长速度最终都会大大超过y kx =（0k >）的增长速度；y kx =（0k >）的增长速度最终都会大大超过log a y x =（1a >）的增长速度.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有log x a b kx x >>.4.5 函数的应用（二） 1. 函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.数学 数学 数学 41（2）函数零点存在定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解. 2. 用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度ε，用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点0x 的初始区间[,]a b ，验证()()0f a f b <. （2）求区间(,)a b 的中点c .（3）计算()f c ，并进一步确定零点所在的区间： ①若()0f c =（此时0x c =），则c 就是函数的零点； ②若()()0f a f c <（此时0(,)x a c ∈），则令b c =； ③若()()0f c f b <（此时0(,)x c b ∈），则令a c =.（4）判断是否达到精确度ε：若a bε-<，则得到零点的近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）. 由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：Array这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.数学数学数学42第五章三角函数5.1 任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边. （2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. ABO数学数学数学43数学 数学 数学 44（3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限. （4）终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍； 象限角的表示： 第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合数学 数学 数学 45{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.2. 弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么lα=.r正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.（2）弧度与角度的换算数学数学数学46数学 数学 数学47（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α（rad ），半径为R ，弧长为l ，则有①l R α=； ②212S R α=； ③12S lR =.5.2 三角函数的概念 1. 三角函数的概念 （1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP数学 数学 数学48与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan yxα=（0x ≠）. 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数 sin y α=，x R ∈； 余弦函数 cos y α=，x R ∈；正切函数 tan y α=，2x k ππ≠+（k Z ∈）.数学 数学 数学 49设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点 重合）的坐标为(,)x y ，点P与原点的距离为r =可以证明：sin yr α=； cos xr α=； tan y xα=. （2）几个特殊角的三角函数值0，2π，π，32π的三角函数值如下表所示：数学 数学 数学 50（3）三角函数值的符号（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sin k απα+⋅=， cos(2)cos k απα+⋅=， tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈.2. 同角三角函数间的基本关系tan αcos αsin α。
高中数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点总结高中数学必修1知识点11.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(3)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(4)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的。
这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.4142，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1234567项：45678910这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1。
高中数学必修一必修二知识点总结
高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). （6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集B A ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A ⊆A(2)A ∅⊆(3)若B A ⊆且B C ⊆，则A C ⊆ (4)若B A ⊆且B A ⊆，则A B =A(B)或B A真子集A ≠⊂B（或B ≠⊃A ）B A ⊆，且B 中至少有一元素不属于A（1）A ≠∅⊂（A 为非空子集）(2)若A B ≠⊂且B C ≠⊂，则A C ≠⊂B A集合 相等A B =A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A ⊆B (2)B ⊆AA(B)（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n −个真子集，有21n −个非空子集，它有22n −非空真子集.（8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈ （1）AA A = （2）A ∅=∅ （3）AB A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ AB B ⊇BA补集U A{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U AA U =逻辑语言1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
【知识点总结】高中数学人教A版必修第一册知识点总结
高中数学新教材人教A版必修第一册知识点总结专题01 集合与常用的逻辑用语 (3)知识点一集合的概念 (3)知识点二集合间的关系 (4)知识点三集合的基本运算 (5)知识点四充分条件与必要条件 (5)知识点五全称量词与存在量词 (6)专题02 一元二次方程、函数与不等式 (7)知识点一不等式的性质 (7)知识点二基本不等式 (7)知识点三二次函数与一元二次方程、不等式 (8)专题03 函数的概念与性质 (9)知识点一函数的概念与分段函数 (9)知识点二函数的三要素 (10)知识点三函数的单调性 (12)知识点四函数的奇偶性 (14)知识点六幂函数 (16)专题04指数函数与对数函数的概念、简单性质 (17)知识点一指数运算、对数运算与幂运算 (17)知识点二指数函数与对数函数的概念及图像 (18)知识点三比较大小（常与0、1、-1作比较） (18)知识点四函数的零点 (19)专题05 指数型与对数型复合函数的性质 (20)知识点一复合函数简单的单调性与奇偶性问题 (20)知识点二复合函数的单调性 (20)知识点三复合函数的最大值与最小值 (21)知识点四最值问题（含有参数） (22)知识点五恒成立问题 (22)专题06 三角函数的图像与性质 (23)知识点一任意角和弧度制 (23)知识点二常用的角的集合表示方法 (23)知识点三弧度与弧度制 (24)知识点四三角函数定义 (25)知识点五三角函数在各象限的符号 (26)知识点六特殊角的三角函数值： (26)知识点七同角三角函数的关系与诱导公式 (26)知识点八两角和与差公式的基本应用 (27)知识点九辅助角公式 (27)知识点十二倍角公式 (27)知识点十一降幂公式 (27)知识点十二基本三角函数的图像与性质（正弦、余弦与正切） (28)知识点十三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 (29)知识点十四三角函数的实际应用 (30)专题07 三角函数的综合运用 (30)专题01 集合与常用的逻辑用语知识点一集合的概念1．集合的有关概念(1)集合的描述：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.元素通常用小写字母a,b,c,⋯表示，集合通常用大写字母A,B,C,⋯表示.(2)集合元素的特性：确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个元素可以判断该元素在或者不在该集合中。
高中数学必修一知识点总结完整版
高一数学必修1知识点总结集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
高中数学必修一最全知识点汇总
高中数学必修一最全知识点汇总高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示集合是由元素组成的整体，其中的元素具有确定性、互异性和无序性。
常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。
集合与元素之间的关系可以表示为a∈M或a∉M。
集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。
集合可以分为有限集、无限集和空集(∅)。
1.1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系包括子集、真子集和集合相等。
子集表示为A⊆B，真子集表示为A⊂B，集合相等表示为A=B。
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2个子集，2^(n-1)个真子集，2^(n-1)个非空子集和2^n-2个非空真子集。
1.1.3 集合的基本运算集合的基本运算包括交集、并集和补集。
交集表示为A∩B，并集表示为A∪B，补集表示为A的补集。
补集的性质为A∪A的补集=全集，A∩A的补集=空集。
2.补充知识：含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法含绝对值的不等式|x|0)的解集为{-aa(a>0)的解集为{xa}。
一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，可以通过移项、配方法和求根公式等方式求解。
1.解一元二次不等式将$ax+b$看作一个整体，化成$|x|c(c>0)$，$|x|>a(a>0)$型不等式来求解。
2.解一元二次不等式的方法通过判别式$\Delta=b^2-4ac$，确定二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的图像，分类讨论$\Delta>\Delta'$，$\Delta=\Delta'$和$\Delta0)$的根$x_1,x_2$（其中$x_10$和$y<0$的解集。
3.函数及其表示3.1 函数的概念设$A$、$B$是两个非空的数集，如果按照某种对应法则$f$，对于集合$A$中任何一个数$x$，在集合$B$中都有唯一确定的数$f(x)$和它对应，那么这样的对应（包括集合$A$、$B$以及$A$到$B$的对应法则$f$）叫做集合$A$到$B$的一个函数，记作$f:A\to B$。
新教材人教版高中数学必修第一册 第三章 知识点总结
必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。
（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。
（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。
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高中数学必修1知识点总结集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。
、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。
、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。
真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。
集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。
那么就是的函数。
记作函数及其表示函数{[][][][][],,()()(),,1212()()(),,12a b a x x b f x f x f x a b a b f x f x f x a b a b a ≤<≤<>⎧⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是 递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。
导数定义：在区间[][][][][]()1(2()()00,()0(),,()0(),,y f x I M x I f x x I f x M M y f x b f x f x a b a b f x f x a b a b =∈∈==⎧⎪⎪⎨><⎪⎪⎩最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有 （）存在，使得。
则称是函数的最最值最上，若，则在上递增,是递增区间；如 则在上递减,是的递减区间。
()1(2()()00(1)()(),()(2)()(),()y f x I N x I f x x I f x N N y f x f x f x x D f x f x f x x D f x =∈∈==-=-∈-=∈⎧⎪⎨⎪⎩小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有 （）存在，使得。
则称是函数的最定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。
奇偶性定义域，则叫做偶函数，其图()()()(0)()()1,()112y f x f x T f x T f x T T f x y y x a x y f x a a α+=≠=-=⇒=+⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩象关于轴对称。
奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；的最小正值叫做的最小正周期，简称周期（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平移个平移变换函数图象的画法（）变换法,()11,()11,()1110111/()11)01)1y y x a x y f x a b x x y b y y b f x b x x y b y y b f x x w w w x wx y f wx y A A =+=⇒=-=+=⇒-==-=⇒+=><<=⇒=><<⎧⎪⎨⎪⎩单位：向上平移个单位：向下平移个单位：横坐标变换：把各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（到{{{{{{/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)0011112(00221010A y y A y f x x x x x x x x y y y f x x y y y y y yx x x x x x x x y f x x y y y y x x x x y y y y f y y y y y y =⇒=+==-⇒⇒-=-+==-+==-=⇒⇒=-=====⇒⇒-=+==-⎧⎪⎨⎪⎩原来的倍 （横坐标不变）， 即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：{)11()1x x x y x y f x y y =-=⇒==⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩关于直线对称：第二章 基本初等函数附：一、函数的定义域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被开方数大于等于零；3、对数的真数大于零；4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；5、三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈；余切函数cot y x =中；6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
二、函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法 三、函数的值域的常用求法：1、换元法；2、配方法；3、判别式法；4、几何法；5、不等式法；6、单调性法；7、直接法四、函数的最值的常用求法：1、配方法；2、换元法；3、不等式法；4、几何法；5、单调性法 五、函数单调性的常用结论：1、若(),()f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增（减）函数2、若()f x 为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数3、若()f x 与()g x 的单调性相同，则[()]y f g x =是增函数；若()f x 与()g x 的单调性不同，则[()]y f g x =是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。
5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。
六、函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x =处有定义，则(0)0f =，如果一个函数()y f x =既是奇函数又是偶函数，则()0f x =（反之不成立）2、两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数。
3、一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数。
4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。
5、若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
,()0()()[,]()()()[,](,),()0,()0()0y f x f x x y f x y f x a b f a f b y f x a b c a b f c c f x f x ====⋅<=∈===零点：对于函数（）我们把使的实数叫做函数的零点。
定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有零点与根的关系 那么，函数在区间内有零点。
即存在使得这个也是 程的根。
（反之不成立）关系：方程函数与方程函数的应用()()(1)[,],()()0,(2)(,);(3)()()0,()()0,(,)0()()0,0y f x y f x x a b f a f b a b c f c f c c f a f c b c x a b f c f b a c x ε⇔=⇔=⋅<=⋅<=∈⋅<=⎧⎪⎨⎪⎩有实数根函数有零点函数的图象与轴有交点确定区间验证给定精确度；求区间的中点计算；二分法求方程的近似解 ①若则就是函数的零点；②若则令（此时零点）； ③若则令（此时零点(,)(4)-,();24c b a b a b εε∈<~⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩）；判断是否达到精确度：即若则得到零点的近似值或否则重复几类不同的增长函数模型函数模型及其应用用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型(0,,)()(0,,)()(0,0,)(01)1lo m n a n a r s r s a a a a r s Q r s rs a a a r s Q r r s ab a b a b r Q x y a a a x =+=>∈=>∈=>>∈=>≠=⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩为根指数，为被开方数分数指数幂指数的运算指数函数性质定义：一般地把函数且叫做指数函数指数函数性质：见表对数：基本初等函数对数的运算对数函数g ,log ()log log ;log log log ;log log ;(0,1,0,0)log log (01)1log (,0,1,log c a c N a N a M N M N a a a M M N a a a N n M n M a a M N a a y x a a a b b a c a c b a ⋅=+=-=>≠>>=>≠⎧⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=>≠>⎪⎪⎩⎩⎧⎨⎩⎩为底数，为真数性质换底公式：定义：一般地把函数且叫做对数函对数函数性质：见表且y x x αα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎨⎪⎩⎩幂函数定义：一般地，函数叫做幂函数，是自变量，是常数。