圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

圆中常见辅助线的添加

口诀及技巧

Revised at 2 pm on December 25, 2020.

圆中常见辅助线的添加口诀及技巧

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦园。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。若是添上连心线，切点肯定在上面。

二：圆中常见辅助线的添加：

1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）

（1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

（2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2、遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形

3、遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4、遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（见切点连半径得垂直）

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。

5、遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

6、遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。

作用：利用内心的性质，可得：

（1）内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；（2）内心到三角形三条边的距离相等

7、遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

例题1、如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。

例题2、如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，

则∠C的度数是________.

例题3、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=

例题4、如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，

AB=6，AC=8，⊙O的半径是

例题5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且

AC+BD=AB。

求证：直线L与⊙O相切。

例题6、如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________

例题7、如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=

例题8、如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．

课后练习

1、已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．

2、如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.

3、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.

4、如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？

总结:弦心距、半径、直径是圆中常见的辅助线。

圆中辅助线添加的常用方法圆是初中几何中比较重要的内容之一，与圆有关的问题，汇集了初中几何的各种图形概念和性质，其知识面广，综合性强，随着新课程的实施，园的考察主要以填空题，选择题的形式出现，不会有比较繁杂的证明题，取而代之的是简单的计算。圆中常见的辅助线有：（1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等；（2）涉及弦的问题时，常作垂直于弦的直径（弦心距），利用垂径定理进行计算和推理；（3）作半径和弦心距，构造直角三角形利用勾股定理进行计算；（4）作直径构造直径所对的圆周角；（5）构造同弧或等弧所对的圆周角；（6）遇到三角形的外心时，常连接外心与三角形的各个顶点；（7）已知圆的切线时，常连接圆心和切点（半径）；（8）证明直线和园相切时，有两种情况：1已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点，证此半径与已知直线垂直，简称“有点连线证垂直，”2已知直线与圆无公共点时，过圆心作已知直线的垂线段，证它与半径相等，简称“无点做线证相等”此外，两解问题是圆中经

常出现的问题，涉及弧，弦，与圆有关的角，点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系等知识，着重考察思维的完备性和严谨性，应特别引起重视