《高等代数专题研究》作业参考答案

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵．解设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．）解不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．证因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的．如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3．解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00，从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。

1079高等代数专题研究精编版

一、单项选择题（每小题4分，共20分）1．下列法则是整数集Z上的代数运算的是()．A．α。

b=α+b2．若向量组α1，α2…，αt与β，…，β1以均线性无关，则向量组α1+β1，…，αt+βt。

()C．可能线性相关，也可能线性无关3．设咒阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是()．C．A有n个线性无关的特征向量4．设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，σ在基α1，α2，…，αn。

下的矩阵为对称矩阵A，则()B．当α1，α2，…，αn为标准正交基时，σ为对称变换5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵()．D．相合1．设，f(x)在有理数域Q内不可约，则()．D．以上说法都不正确2．若向量组α1…，αr，与β1，…，βs均线性无关，则向量组α1，…，αr，β1，…，βs()．C．不一定线性无关3．矩阵A与B相似的充分必要条件是()．D.存在可逆矩阵丁，使T-1AT=B4．实对称矩阵的特征值都是()．A．实数5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵()．B．相合1.设多项式f(x)，g(x)∈P[x]互素，即有(f(z)，g(z))=1，则下列结论错误的是().D.(f(x)g(x),f(x))=12.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：a⊕b=ab，k·a=a k构成R上的线性空间，则R+的零向量为().B.13.设A是线性空间V的线性变换，a，β是A的分别属于特征值λ与μ的特征向量，则().D.若λ≠μ，则a与β线性无关4.设σ是n维欧氏空间V上的线性变换，盯在基a1，a2，…，a n下的矩阵为对称矩阵A，则().A.当a1，a2，…，a n 为标准正交基时，σ为对称变换5.设A是正定矩阵，则下列结论错诶的是().C.A的元素全为正1．下列法则是有理数域Q上的代数运算的是()．B．a°b=b2．设V l，V2都是线性空间V的真子空间，则下列集合中不是V的子空间的是()．A．V1U V23．设n阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是()．C．A有n个线性无关的特征向量4．设A是n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是()．A．矩阵A的列向量组是R n的标准正交基5．设A∈M n(R)是n元二次型q的矩阵，A的秩为r1，二次型q的秩为r2，则r1与r2的关系为()．B．r1=r21．下列法则是有理数域Q上的代数运算的是( )．B．a°b=b2．把复数域C看成实数域R上的线性空间，它的维数是( )．C．23．设A是线性空间V的线性变换，α，β是A的分别属于特征值λ与μ的特征向量，则( )D．若λ≠μ，则α与β线性无关4.实对称矩阵的特征值都是( )．A.实数5．线性空间V上的双线性函数f(α，β)在不同基下的度量矩阵( )．B．相合二、填空题（本题共20分，每小题4分）6．当a= ，b= 时，x2+1|x3+ax+b. α=1，b=07．向量组α1=(l，2，3)，α2=(1，0，0)，α3=(1，1，0)线性无关8．设矩阵A与B相似，则A与B的行列式值相等9．第一类正交矩阵的行列式的值等于110.设A是n实矩阵，当A是矩阵时，A t A是正定短阵．可逆6．复数域上的不可约多项式的次数是_____________次的．17．向量组α=(a，0，0)，β=(2，a，0)，γ=(1，3，2)线性相关，则a=______________.08．线性交换A的属于不同特征值的特征向量一定是________________的．线性无关9．设e1，e2是2维欧氏空间V中的一组标准正交基，α∈V，且(α，e1)=3，(α，e2)=-1，则α=_________________.3e1－e210．双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是__________________矩阵.对称6.多项式f(x)=x4-2x3+2x2-1的有理根为________.17.向量组a1=(1，2，3)，a2=(1，0，0)，a3=(10，19，30)线性_______.无关8.如果存在可逆矩阵T，使得T-1AT为______，则n阶方阵A称为可对角化.对角阵9.若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是一变换.正交10.双线性函数，非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M__________.非退化6．当a=，b=____时，x2+1l x3+ax+b.α=1，b=07．全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：a⊕b=ab，k∘a=a k构成R上的线性空间，则R+的零向量力____．18．线性变换A的属于不同特征值的特征向量一定是____的．线性无关9．第二类正交矩阵的行列式的值等于____．-110．若A为正定实对称矩阵，则A的主对角线上的元素全为____．正6．有理数域上的不可约多项式的次数是____________次的．任意7．在有限维线性空间中，任意两个基所含向量酌个数是____________的．相等8．设A，B都是n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵T，使T−1AT=B，则称A与B__________．相似9．若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是___________变换．正交10．设A是n阶实矩阵，当A是__________矩阵时，A T A是正定矩阵.可逆三、计算题（每小题15分，共45分）11．已知α1，α2，α3是3维线性空间V的一组基，向量组β1，β2，β3满足β1+β3=α1+α2+α3，β1+β2=α2+α3，β2+β3=α1+α3求由基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵．解：(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)[001100121212]，|T|=|001100121212|≠0所以β1，β2，β3是一组基.……(5分)因为(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)[001100121212]，……(10分)故(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)[010−1−12100]，即基β1，β2，β3到基α1，α2，α3的过渡矩阵为[010−1−12100]……(15分)12．设R3的线性变换σ定义如下：σ(x1，x2，x3)=（2x1−x2，x2−x3，x2+x3），求σ在基ε1=(1，0，0)，ε2= (0，1，0)，ε3=（0，0，1）下的矩阵．解：σε1=(2,0,0)=2ε1,σε2=(−1,1,1)=−ε1+ε2+ε3,σε3=(0,−1,1)=−ε2+ε3,……（10分）因此σ在基ε1=(1，0，0)，ε2=(0，l ，0)，ε3=(0，0，1)下的矩阵为 A =[2−1001−1011]……（15分）13．用正交线性替换化实二次型x 12+2x 22+3x 32−4x 1x 2−4x 2x 3为标准形..解：二次型的系数矩阵A =[1−20−22−20−23]……（1分）A 的特征多项式|λE −Al |=(λ+1)(λ−2)（λ−5），由此得，A 的特征值为−1，2，5 ……（3分）解相应的齐次线性方程组，得单位正交的基础解系为 η1=[ 232313] ，η2=[ −231323] ，η3=[ 13−2323]……(8分)令T =[ 232313−23132313−2323]为正交矩阵，则正交线性替换为 [x 1x 2x 3]=[ 232313−23132313−2323][y 1y 2y 3]所得标准形为一y 12+2y 22+5y 32，……（15分） 11．求多项式，f (x )=x 4-5x 3+11x 2-16x+12的有理根．解：因为a 4=1，a 0=12，所以方程可能的有理根是±1，±2，±3，±4，±6，±12.（3分）因为f(±1)≠0,f(-2)≠0，(±3)≠0，f(±4)≠0，f(±6)≠0，f(±12)≠0，故±1，-2，±3，±4，±6，±12都不是根．(8分)而f(2)=0，故2是f(x )的根．（12分）用综合除法验证，2是f(x )的二重根．（15分） 12．求A =[122212221]的特征值和特征向量．解：A 的特征多项式χA (λ)=|λE −A |=|λ−1−2−2−2λ−1−2−2−2λ−1|=(λ+1)2(λ−5)所以A 的特征值是-1，-1和5．（7分）当λ=-1时，解齐次线性方程组(-E -A)X=0，得基础解系 ξ1[10−1]，ξ2[01−1]．因此，属于-1的全部特征向量为k 1ξ1+k 2ξ2，k 1，k 2是不全为零的全部数对．（11分）当λ=5时，解齐次线性方程组(5E -A)X=0，得基础解系南ξ3[111]．因此，属于5的全部特征向量为kξ3，k ≠0.（15分）13.已知α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(l1，0，0)是欧氏空间R 3的一组基，请用施密特正交化方法求R 3的一组标准正交基.解：用施密特正交化方法可得 β1=a 1=（1，1，0）(3分)β1=a 1−a 2，β1(β1，β1)β1=(1，0，1)−12(1，1，0)=（12，−12，1）（6分）β3=a 3−(a 3，β1)(β1，β1)β1−（a 3，β2）（β2，β2）β2=(1，0，0)−12(1，1，0)−13（12，−12，1）=(13，−13，−13)（9分）单位化可得一组标准正交基为 γ1=（√22，√22，0）(11分)γ2=（√66，−√66，√63）(13分) γ3=（√33，−√33，−√33）(15分)11.已知β1=(1，1，1)，β2=(1，0，1，-1)，β3=(1，-2，1，-5)，求W =L (β1，β2，β3)的基与维数.解：把β1,β2,β3写成列向量组成矩阵A ，对A 进行初等行变换，化简成行阶梯形矩阵：A [11110−2111−21−5]→[1110−1−3000−20−6]→A [111013000000]……………………………………（10分）由此可知β1,β2是W 的一组基，dimW =2．…………………………（15分） 12.设A =101010101，求一个正交矩阵T ，使T -1AT =T T AT 为对角矩阵解：A 的特征多项式|λE −A |=λ(λ−1)(λ−2)，故A 的特征值为0，1，2．…………（5分） A 是实对称矩阵，可对角化，分别求得A 的属于每个特征值的特征向量：当λ1=0时，(−A )X =0的基础解系为α1T=(1，0，−1)；………（7分）当λ2=1时，(E 3−A)X =0的基础解系为α2T=(1，1，0)；………（9分）当λ3=2时，(2E 3−A )X =0的基础解系为α3T=(1，0，1)…………（11分） α1，α2，α3已正交，单位化得η1T =(√20，−√2),η2T =(0，1，0),η3T=(√20√2)令T =[√2√2010√20√2]……则T 是正交阵，且T T AT =T −1AT =diag (0,1,2).…………（15分） 13.将三元二次型f =2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3化为标准形.解：作非退化线性替换{x 1=y 1+y 2x 2=y 1−y 2x 3=y 3造平方项得…………（5分）f =2y 12−2y 22+4y 2y 3=2y 12−(y 2−y 3)2+2y 32……．（10分）{z 1=y 1z 2=y 2−y 3z 3=y 3………（12分）则有f =2z 12−2z 22+2z 32……（15分）11．设f (x )=x 4+2x 3-x 2-4x -2，g(x )=x 4+x 3-x 2-2x -2,求f (x )，g(x).x 1(x)＝x 3-2x ……………（6分） r 2(x)＝x 2-2………………(10分)所以(f(x)，g(x))＝x2-2……………………………………（15分）12．在线性空间R 3中有两组基：α1=(1，0，0)，α2=(1，1，0)，α3=(1，1，1) β1=(1，2，3)，β2=(2，3，5)，β3=(3，5，9) 求基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵T ．12．解：β1＝-α1-α2+3α3…………………………………………………………（4分）β2＝-α1-2α2+5α…………………………………………………………（8分） β3＝-2α1-4α2+9α3………………………………………………………12（分）因此，(β1，β2，β3)＝(α1,α2,α3)[−１ −１ −２−１ −２ −４３５９]，即过度矩阵Ｔ＝[−１ −１ −２−１ −２ −４３５９]13.求λ取何值时，下面的实二次型是正定的f (x 1,x 2,x 3)=x 12+4x 22+4x 32+2λx 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 313．解：二次型的系数阵A ＝[１ λ ２λ ４２−１２４] …………………………５（分）利用A 是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可得 [1λλ4]＝4－λ２>０，[１ λ ２λ ４２−１２４]＝－4λ２+－４λ＋8>0. …………………（10分）解得－2<λ<1．……………………………………………………………………………（15分）11.求多项式f (x )=4x 4−7x 2−5x −1的有理根，12.设A =(101010101)，求一个正交矩阵T ，使T −1AT =T T AT 为对角矩阵．13．求λ取何值时，下面的实二次型是正定的f(x 1，x 2，x 3)=x 12+4x 22+4x 32+2λx 1x 2−2x 1x 3+4x 2x 3四、证明题（本题15分）14.设A∈M n(P)满足A2=E，W1={X∈P n|AX=X}，W2={X∈P n|AX=−X}.证明：p n=W1⨁W214．证明：若n阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等．证明：因为A与B相似，故存在可逆矩阵T，使得B＝T−1AT.…………………（5分）|B|＝|T−1AT|＝|T−1||T||A|＝|A|．…………………………………………………（15分）14.证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零.证明：反证法，设λ为A的一个特征值，且λ=0，则存在非零向量X，使得AX=λX=0…………（5分）又A是可逆矩阵，在上式两边左乘A−1可得A−1AX=A−1·0即X=0………（10分）这与X是非零向量相矛盾．故假设不成立，λ≠0.由此可得，A的特征值均非零．（15分）14．设A，B都是n阶正定对称矩阵，证明：A+B也是正定对称矩阵证明：(A+B)T=A T+B T=A+B，故A+B是对称矩阵．（5分）对任一n维列向量X≠0，都有X T(A+B)X=X T AX+X T BX>0，因此，A+B是正定对称矩阵．（15分）14．设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1．证明：(f(x)，f(x)+g(x))=1．14.设f(x)，g(x)是数域P上的一元多项式，且(f(x)，g(x))=1.证明：(f(x)，f(x)+g(x))=1.证明：由(f(x)，g(x))=1可知，存在u(x)，υ(x)∈P[x]使得u(x)f(x)+υ(x)g(x)=1由此可得u(x)f(x)+υ(x)(f(x)+g(x))−υ(x)f(x)=1即(u(x)−υ(x))f(x)+υ(x)(f(x)+g(x))=1……（10分）故(f(x)，f(x)+g(x))=1……（15分）。

高代参考答案

高代参考答案高代参考答案高等代数，作为数学中的一门重要学科，是许多学生在大学阶段必须学习的一门课程。

高等代数的内容涉及到向量空间、线性变换、矩阵理论、特征值与特征向量等等，对于初学者来说，往往需要一定的时间和精力来理解和掌握。

本文将为大家提供一些高等代数的参考答案，希望能够帮助学生更好地理解和应对这门课程。

在高等代数中，矩阵是一种非常重要的概念。

矩阵可以看作是一个由数值排列成的矩形阵列，它在线性代数中有着广泛的应用。

在矩阵的运算中，加法和乘法是两个基本的运算。

矩阵的加法满足交换律和结合律，即对于任意的矩阵A、B和C，有(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵的乘法也满足结合律，但不满足交换律，即对于任意的矩阵A和B，一般情况下，AB≠BA。

在高等代数中，线性变换是一个非常重要的概念。

线性变换是指一种将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，它保持向量空间的加法和标量乘法运算。

线性变换可以用矩阵来表示，矩阵的每一列代表了线性变换对应的基向量在新的向量空间中的坐标。

线性变换有许多重要的性质，比如线性变换的复合仍然是一个线性变换，线性变换的逆变换也是一个线性变换。

在高等代数中，特征值与特征向量是一个非常重要的概念。

特征值是指线性变换对应的矩阵的特征方程的根，特征向量是指线性变换对应的矩阵的特征值所对应的非零向量。

特征值与特征向量在许多领域中有着广泛的应用，比如在物理学中，特征值与特征向量可以用来描述一个物理系统的稳定性和振动模式。

高等代数中还有许多其他的重要概念和定理，比如行列式、正交矩阵、对角化等等。

行列式是一个用于描述线性变换对体积变化的度量，它可以用来求解线性方程组的解。

正交矩阵是指一个方阵的转置矩阵等于它的逆矩阵，它在几何学中有着重要的应用。

对角化是指将一个矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程，它可以简化矩阵的运算和分析。

通过学习高等代数，我们可以更好地理解和应用数学知识。

高等代数中的许多概念和定理都是数学中的基础，它们在许多领域中都有着广泛的应用。

《高等代数(一)》作业(1)

《高等代数（一）》作业一．判断对错1．A ，B 都是n 阶矩阵，A=B 的充要条件是A =B2．若()()()()(),()d x f x u x g x v x d x =+则一定是()()f x g x 与的最大公因式3．0000xy x z y z -=-- 4．方程个数多于未知数个数的线性方程组一定无解5．若00001122(())(()),(())(()),f x g x f x g x ∂≤∂∂≤∂001212(()())(()())f x f x g x g x ∂≤∂则6．若f(x)在有理数域上可约，则f(x)一定有有理根7．A 是3阶方阵，22A A =8．若,αβ都是线性方程组Ax=b 的解，则（αβ+）也是此方程组的解9．若()h x 整除()f x ,()h x 不整除()g x ,则()h x 不整除()f x +()g x10．若p(x)是()f x '的K 重因式，则它一定是f(x)的（k+1）重因式。

11．1 3 5 7 2 4 6是奇排列12．m 个方程，n 个未知数的齐次线性方程组，当m<n 时一定有非零解13．A ，B 都是n 阶可逆阵，111()AB A B ---=14．如果三个多项式互素，那么其中任何两个多项式都互素。

15．111111222222333333a b c c a b a b c c a b a b c c a b = 16．方程个数与未知数个数相同的线性方程组有唯一解。

二．填空题1．02201,10,03223A B AB ⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭则。

2．将4阶行列式D 的所有元素都乘以2，所得行列式等于 D 。

3．1(0),a b A ad bc A c d -⎛⎫=-≠= ⎪⎝⎭。

4．232(21)()2473,x l x x m x x x +--=--+其中l = ，m = 。

5．111222333123123123a a a a a a a a a ++++++=+++ 。

高等代数作业

高等代数专题研究〞是中央播送电视大学数学与应用数学专业本科的一门必修课程。

该课程是针对中央播送电视大学数学与应用数学专业的学生开设的。

它将已学过的代数知识〔数的本质认识，数的开展历史，不等式、多项式理论、因式分解、初等排列组合和多项式的求根等〕直接用到中学数学的教学与研究中。

本门课程的主要任务是,一方面使学生加深对代数学的理解，另一方面使学生从高等数学和高等代数的观点出发，对初等数学进展深化的研究，并可以建立起初等数学的严格的科学体系，有利于更好地进展初等数学的教学。

Ⅰ.关于课程考核说明与施行要求1.“高等代数专题研究〞是中央播送电视大学本科开放教育数学与应用数学专业学生必修的一门专业根底课程。

通过本课程的学习，使学生掌握代数学的根本概念和根本原理，进一步进步抽象思维和逻辑推理的才能。

课程的结业考核合格水准应到达高等学校该专业本科教育的要求。

本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材?高等代数专题研究?(王仁发主编中央播送电视大学出版社出版)为根据制定的。

2.考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解、理解和知道；有关方法、公式和法那么等的要求从高到低为纯熟掌握，掌握和会。

3.本课程的结业考核实行形成性考核和期末考试相结合的方式。

结业考核成绩总分值100分，其中形成性考核成绩占20%,期末考试成绩占80%。

结业考核成绩满60分为合格。

4．关于形成性考核的说明形成性考核由平时作业成绩构成，根据教学进度，及时完成作业。

作业的内容和要求以及评定请参考播送电视大学“高等代数专题研究课程教学设计方案〞终结性考试实行全国统一考试，根据本课程考核说明，由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间。

考试的组织施行和试卷的评定，由有关的各省、自治区和直辖市完成。

(1)终结性考试的内容和要求以本考核说明为准，要求考核根本概念、根本原理和根本运算。

命题覆盖面可适当宽些，但试题难度要适中，题量要适当。

高等代数作业第一章多项式答案

高等代数第一次作业第一章多项式 §1—§3一、填空题1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则。

()|()f x h x2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则。

()|()f x h x3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则。

()|()()/f x g x h x +二、判断题1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（）√2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域（）×3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) ×4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （）√5. 数集}{是有理数b a b a ,|2+是数域（）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域（）× 除法不封闭7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √三、选择题1. 以下数集不是数域的是（）BA 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-}B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-}C 、{}是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是（）CA 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h xB 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f xC 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h xD 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x四、计算题数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1?解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题试证用21x -除()f x 所得余式为2)1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。

高等代数(第四版)习题答案王萼芳、石生明

判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。 3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。 4．关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及球多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。 5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。
3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳本章的重点为一元多项式的概念，因式分解理论，多项式的根和对称多项式；难点为最大
解 1）由带余除法，可得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 x − 2
39
99
2）同理可得 q(x) = x2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.11. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有哪几个？A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-922147117②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛213321=()11④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0713********=()111813⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321012100010501=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x=233323321331322322221221311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++3. 设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3121，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3101，计算： ① (A+B)(A-B) ② A 2-B 2③ (AB)T ④ A T B T解 ① (A+B)(A-B)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4040002062223101312131013121 ② A 2-B 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20829401114833101310131213121③ (AB)T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛9643946331013121TT④ A T B T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112413011321131013121TT 4. 求所有的与A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011可交换的矩阵．解设矩阵B 与A 可交换，则B 必是2×2矩阵，设B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，令AB=BA ，即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10111011d c b a d c b a 从而有 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++d c c b a a d cd b c a 由此得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=+=+dc d c c b a d b ac a解得，c=0，a=d ，b 为任意数．即与A 可交换的矩阵B 可写成B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a b a 0． 5. 设A ，B 是n ×n 矩阵，并且A 是对称矩阵，证明：B T AB 也是对称矩阵．证已知A 是对称矩阵，即A T =A ，从而 (B T AB)T =B T A T (B T ) T =B T AB ，所以B T AB 也是对称矩阵．6. 设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b 0，求A 2，A 3，…，A k．解A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222000b ab b b a b b a bA 3=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3232230020b ab b b a b b ab b …A k =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----k k k k k k b kabb b a b b ab k b 112100)1(0 7.设B 是2×2矩阵．由B 2=02×2能推出B=0吗？试举反例．（提示：参见上题．）解不能．例如令B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000a ，当a ≠0时，B ≠0，但B 2=02×2． 8. 设A ，B 是n ×n 矩阵，证明：(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2的充分必要条件是A 与B 可交换．证充分性：若A 与B 可交换，即AB=BA ，则(A+2B)(A-5B)=A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-5AB+2AB-10B 2= A 2-3AB-10B 2 必要性：若(A+2B)(A-5B)=A 2-3AB-10B 2 即 A 2-5AB+2BA-10B 2= A 2-3AB-10B 2 比较两边相同的项得 -2AB+2BA=0 故 AB=BA9. 设A ，B 是n ×n 对称矩阵，证明：AB 是对称矩阵的充分必要条件是A 与B 可交换．证因A ，B 是n ×n 对称矩阵，即A T =A ，B T =B ．必要性：若AB 是对称矩阵，则(AB)T =AB ，有因 (AB)T =B T A T =BA ，从而AB= BA ，即A 与B 可交换．充分性：若A 与B 可交换，由必要性证明过程反图推，知AB 是对称矩阵．习题2.21.设A ，B ，C 是矩阵，且满足AB=AC ，证明：如果A 是可逆的，则B=C ．证已知AB=AC ，两边左乘矩阵A -1，有A -1(AB)= A -1(AC)，根据结合律得(A -1A)B=( A -1A)C ，从而有EB=EC ，故B=C ．2.设P 是可逆矩阵，证明：线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．证设X (1)是AX=β的任一解解，即有AX (1)=β成立，两边左乘矩阵P ，得PAX (1)=P β，说明X (1)也是PAX=P β的解．反之，设X (2)是PAX=P β的任一解，即有PAX (2)=P β成立，两边左乘矩阵P -1，得P -1 (PAX (2))= P -1 (P β)，根据结合律得(P -1 P)AX (2)=(P -1 P)β，从而有AX (2)=β，这说明X (2)也是AX=β的解．综合以上可知，线性方程组AX=β与线性方程组PAX=P β同解．3.设P 是n ×n 可逆矩阵，C 是n ×m 矩阵．证明：矩阵方程PX=C 有唯一解．证令X *=P -1C ，代入PX=C 中验证知X *是矩阵方程的一个解．反之，设X (1)是矩阵方程PX=C的任一解，即有PX (1)=C 成立，两边左乘P -1得，X (1)=P -1C=X *，所以矩阵方程PX=C 有唯一解．4. 设A 是n ×n 可逆矩阵，且存在一个整数m 使得A m=0．证明：(E-A)是可逆的，并且(E-A)-1=E+A+…+A m-1．证由于(E-A)(E+A+…+A m-1)=E+A+…+A m-1-A-A 2-…-A m =E-A m=E-0=E显然交换(E-A)和(E+A+…+A m-1)的次序后相乘结果仍成立，根据逆阵的定义知(E-A)-1=E+A+…+A m-1．5.设P ，A 都是n ×n 矩阵，其中P 是可逆的，m 是正整数．证明：(P -1AP)m =P -1A mP ．证 (P -1AP)m =(P -1AP)(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A(PP -1)A(PP -1)…AP=P -1AEAE …AP=P -1A m P6. 设A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)一定是可逆的吗?如果(A+B)是可逆的，是否有(A+B)-1=A -1+B -1？若不是，试举出反例．解如果A ，B 都是n ×n 可逆矩阵，(A+B)不一定是可逆的．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1001都是可逆的，但A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000是不可逆的．如果(A+B)是可逆的，也不能说(A+B)-1=A -1+B -1．例如A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001，B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001，则A ，B 可逆，A+B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2002可逆，且(A+B)-1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2/1002/1，但A -1+B -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002．显然(A+B)-1≠A -1+B -1．7*.设A ，B 都是n ×n 矩阵，满足ABA=A ，β是n ×1矩阵．证明：当且仅当AB β=β时，线性方程组AX=β有解．证当AB β=β时，记X *=B β，即X *是AX=β的一个解．反之，若线性方程组AX=β有解，设X (1)是它的一个解，即有AX (1)=β，两边左乘(AB)得(ABA)X (1)=AB β用已知条件ABA=A 代到上式左边得AX (1)=AB β 由于X (1)是AX=β的一个解，即AX (1)=β，所以AB β=β．习题2.31.用行和列的初等变换将矩阵A 化成⎪⎪⎭⎫⎝⎛000E 的形式： A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----10030116030242201211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---10030140300400001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---04000100301403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000040001403001211→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000040000003000001→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000010000010000012.用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求出它们的逆矩阵：①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----134112112 ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----153132543 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100134010112001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102110011200001112→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---011200102110001112→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--02/12/110012/12/301002/12/1012→ →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/3010112002→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/110012/12/30102/12/11001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02/12/112/12/32/12/11②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100153010132001543→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------101610013/23/73/10001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---131100032710001543→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------13110071850105154043 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1311007185010338724003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----131100718501011298001 所给矩阵可逆，其逆阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1317185112982.解下列矩阵方程：①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111152X ②⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111201021121101X ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X解 ①⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11111152→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11521111→⎪⎪⎭⎫⎝⎛---33701111 →⎪⎪⎭⎫⎝⎛--7/37/3107/47/401 由此得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7/37/37/47/4X ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101021111121201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---302120112220201101 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----414300112220201101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3/43/13/41006/56/13/10103/23/13/1001 由此得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3/43/13/46/56/13/13/23/13/1X ③对等式两端分别转置得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--233141*********T X 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231013111141122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---231014112231111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---520102330031111 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---233005201031111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3/21100520103/70011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---3/21100520103/82001 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=3/21523/82TX⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011110001A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110020102B ，又X 是可逆矩阵，并且满足矩阵方程AX 2B=XB ，求矩阵X ．解 (B,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100110010020001102→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10011002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12/1010002/10010001102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/1001012/11002 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12/1010002/100102/14/12/1001 从以上看出B 可逆，对AX 2B=XB 两边右乘B -1得AX 2=X ．已知X 可逆，对AX 2=X 两边右乘B -1得AX=E ．又(A,E)=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100011010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010010110001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101010111100001001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111100101010001001 所以 X=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111010015.①证明：B 与A 行等价⇔存在可逆矩阵P ，使B=PA ．②证明：B 与A 等价⇔存在可逆矩阵P 与Q ，使B=PAQ ．证若B 与A 行等价，即A 可经有限次初等行变换得到B ，而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵，假设对A 依次左乘初等方阵P 1，P 2，…，P K ，使P k …P 2P 1A=B令P=P k …P 2P 1，则P 是可逆矩阵，且B=PA ．反之，若存在可逆矩阵P ，使B=PA ，因为可逆矩阵P 可以写成一系列初等方阵P 1,P 2, …,P k的乘积，即P=P 1P 2…P k ，从而有B=P 1P 2…P k A ，说明A 可经有限次初等行变换得到B ，即B 与A 行等价．② 若B 与A 等价，即对A 经过有限次初等变换得到B ．而对矩阵A 每做一次初等行变换，相当于对它左乘一个初等方阵；对矩阵A 每做一次初等列变换，相当于对它右乘一个初等方阵．假设对A 左乘的初等方阵依次为P 1，P 2，…，P s ，对A 右乘的初等方阵依次为Q 1，Q 2，…，Q t ，使P s …P 2P 1AQ 1Q 2…Q t =B令P=P s …P 2P 1，Q=Q 1Q 2…Q t ，则P ，Q 都是可逆矩阵，且B=PAQ ．反之，若存在可逆矩阵P 和Q ，使B=PAQ ，因为可逆矩阵P 和Q 均可以写成一系列初等方阵的乘积，设P=P 1P 2 …P s ，Q=Q 1Q 2…Q t ，这里P i ,Q i 都是初等方阵，从而有B=P 1P 2…P k A Q 1Q 2…Q t ，说明A 可经有限次初等行变换和初等列变换得到B ，即B 与A 等价． 6*.设A 是s ×n 矩阵，B 是s ×m 矩阵，B 的第i 列构成的s ×1矩阵是βj （j=1,2,…,m ）．证明：矩阵方程AX=B 有解的充分必要条件是：AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解．证先证必要性．如果矩阵方程AX=B 有解，设X *是它的解，则X *是n ×m 矩阵，记X *的第j 列为X *j ，根据矩阵先相乘的规则知，A 与X *j 相乘的结果是βj ，即X *j 是AX=βj 的解（j=1,2,…,m ）．再证充分性．若AX=βj （j=1,2,…,m ）都有解，设X *j 是AX=βj 的解，这里X *j 是n ×1矩阵，令X *=(X *1, X *2,…,X *m )，则X *是n ×m 矩阵，且X *是矩阵方程AX=B 的解． 7*.设A=(a ij )是n ×n 矩阵．①证明：如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②设B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，设l ≠k ．证明：如果P n (l,k)B=BP n (l,k)，b l =b k ．③证明：如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，则A 是一个数量矩阵．证 ①如果P n (h(2))A=AP n (h(2)),则A 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (h(2))A 表示将矩阵A 的第h 行每个元素乘以2得到的矩阵；等式右端的AP n (h(2))表示将A 的第h 列每个元素乘以2得到的矩阵．从等式可知2a hj = a hj （j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），a ih =2a ih （i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ），从而得a hj =0,j=1,2,…,h-1,h+1,…,n ；并且a ih =0,i=1,2,…,h-1,h+1,…,n ．②如果P n (l,k)B=BP n (l,k),则B 是n ×n 矩阵，等式左边的P n (l,k)B 表示将矩阵B 的第l 行和第k 行交换位置；等式右端的BP n (l,k) 表示将矩阵B 的第l 列和第k 列交换位置．由于B=diag(b 1, b 2,…, b n )是一个对角矩阵，且l ≠k ，不妨设l<k ，则有P n (l,k)B=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n l k b b b b 001=BP n (l,k)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k lb b b b001比较对应元素，可知b l =b k ．③如果矩阵A 与所有的n ×n 矩阵都可交换，在①中分别令h=1,2,…,n ，可知A 除对角线上元素以外其它元素都是零，即A 可写成diag(b 1, b 2,…, b n )；在②可令l=1，分别令k=2,…,n ，可知A 的对角线上元素都相等．习题2.41.设A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．求A 3．解 A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+244221210A A A A A A A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4210A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+244221210A A A A A A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++34242421221310A A A A A A A A A2.①设G=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rE 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得GBG=G ． ②设A 是m ×n 矩阵，证明：存在矩阵B ，使得ABA=A ．证 ①构造n ×m 矩阵B 为B=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ，则GBG=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE =G②设矩阵A 的秩为r ，则可经过有限次初等变换使A 变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE 的形式，即存在可逆的n ×n 矩阵P 和可逆的m ×m 矩阵Q 使PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E =D ，即A=P -1DQ -1．定义n ×m 矩阵B 如下：B=QCP ，其中C=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n rr n r m r rE ．则有ABA=(P -1DQ -1)(QCP)(P -1DQ -1)= P -1DCDQ -1=P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m r r m r n r r E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r m r n r r n r m r rE ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1= P -1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯--⨯)()()()(000r n r m rr m r n r rE Q -1=A3*.设A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4210A A A ，其中A 1是s ×s 矩阵，A 2是s ×t 矩阵，A 4是t ×t 矩阵．证明：如果A 1，A 4都是可逆的，则A 也是可逆的，进一步，求A 的逆矩阵．证如果A 1，A 4都是可逆的，令B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A ，其中A 1-1，A 4-1分别是A 1，A 4的逆阵，B 2是s ×t 矩阵．令AB=E ，即有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛421A A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142110A B A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t s E A A B A E 014221=⎪⎪⎭⎫⎝⎛t s E E 00，从而 A 1B 2+ A 2A 4-1=0，由此得B 2=-A 1-1A 2A 4-1．说明A 也是可逆的，且A -1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1414211110A A A A A。

高等代数专题研究

高等代数专题研究期末复习指导要点分析及典型例题（一）代数运算与数学归纳法要点分析：1. 代数运算本质上就是一种映射. 对于非空集合A 来说，若:f A A A ⨯→是A 上的二元代数运算，则对于A 中任意两个元素a 和b ，有唯一确定的A 中的元素(,)f a b 与之对应. (,)f a b 即为a 和b 在f 所定义的运算下得到的结果. 当a 和b 取定时，(,)f a b 必须是确定的，唯一的，且属于A .2. 笛卡尔积A B ⨯与B A ⨯一般不相等，只有当A B =时才相等. 它们的元素都是有序数对，不能交换位置.3. 当A ，B 都是有限集时，A B ⨯与B A ⨯所包含的元素个数是相同的，都等于A B ⨯（A表示集合A 的元素个数）.4. 数学归纳法由两个环节组成，递推起点和归纳假设. 在证明问题时，二者缺一不可.典型例题：例1 用数学归纳法证明：对任意n Z +∈, 都有()11111122311n n n ++⋅⋅⋅+=-⨯⨯++ （1.1）证明：当1n =时，（1.1）式右边111112=-=+，左边11122==⨯，故1n =时，（1.1）式成立. 现设（1.1）式对n 成立，考虑1n +的情形. 利用()11111k k k k =-++，知()()111122312n n ++⋅⋅⋅+⨯⨯++ =11111122312n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=112n -+ （1.2）所以，（1.1）式对1n +成立.综上，由数学归纳法原理知（1.1）式对一切正整数n 都成立.说明：（1.2）式是正确的，但是它是（1.1）式对1n +成立的一个直接证明，并没有用到归纳假设，因而这不是用数学归纳法的证明.正确的过程如下：由归纳假设知()()()11111223112n n n n ++⋅⋅⋅++⨯⨯+++=()()111112n n n ⎛⎫-+ ⎪+++⎝⎭ =1111112n n n ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=112n -+ 例2 证明21122n n n ++++⋅⋅⋅+=.证明：假设n k =时，命题正确，即21122k k k ++++⋅⋅⋅+=.当1n k =+时，()()2112112k k k k k ++++⋅⋅⋅+++=++()211222k k k =++++ ()()211112k k ⎡⎤=++++⎣⎦即命题对1k +正确. 因此，对任意自然数n 都是正确的.事实上，()211222n n n nn ++++⋅⋅⋅+==. 显然命题是错误的，正是因为证明过程中忽略了数学归纳法的第一步，才导致了错误的结论.例3证明：当3n ≥时，n 边形的内角和等于()2n π-.分析：根据最小数原理，本题可利用数学归纳法来证明，只是递推起点要从3n =开始. 证明：当3n =时，命题成立. 因为三角形内角和等于()32ππ=-.假设n k =()3k ≥时命题成立，看任意一个1k +边形121k k A A A A +（如图1.1）. 联结13A A ，那么121k k A A A A +的内角和等于三角形123A A A 的内角和与k 边形131k k A A A A +的内角和之和.前者和为π，后者归纳假设为()2k π-.因此1k +边形11k k A A A +的内角和为()2(1)[(1)2]k k k ππππ+-=-=+-. 所以对任意的正整数n()3n ≥，结论成立.例4 已知数列101,,,,a a a -其中10123,2,322n n n a a a a a ---===-，求证：21n n a =+.分析：此题不能用第一数学归纳法证明，要用第二数学归纳法. 证明：当1n =时，1013263321a a a -=-=-==+，命题成立.假设命题对n k <正确，则()()121232321221k k k k k a a a ----=-=+-+2232311--+⨯=--k k21k =+.命题对n k =成立，所以对一切自然数Z n +∈，结论成立.（二）一元多项式理论要点分析：1. 数域P 上的一元多项式环[]P x 中有加法、减法和乘法运算，但是没有除法运算，取而代之的是带余除法. 给定(),()[]f x g x P x ∈，则()f x 被()g x 除所得的商式和余式是唯一确定的，且都属于[]P x . 若余式为零，则称()g x 整除()f x ，记为()|()g x f x . 因此，多项式的整除关系与其系数所在域的扩张无关. 即设P P ⊂都是数域，则()f x 和()g x 也属于[]P x . 由带余除法商式和余式的唯一3A AA性可得，在[]P x 中()|()g x f x 当且仅当在[]P x 中()|()g x f x .2. 给定(),()[]f x g x P x ∈，由于它们的首一最大公因式可通过辗转相除法得到，因此它的系数不会超出数域P 的范围，即()(),()[]f x g x P x ∈. ()(),()f x g x 是唯一确定的，与数域P 的扩张没有关系. 例如224,56[]Q xx x x --+∈，则由辗转相除法得()224,56x x x --+2[]Q x x =-∈. 它们也可看作实数域或者复数域上的一元多项式，但是首一最大公因式保持不变，仍为2x -. 只是考虑全体最大公因式时，相差的非零常数的范围有所不同.3. 定理2.4.2是最大公因式的存在表示定理，它的重要性在于它明确地给出了计算任意两个多项式的最大公因式的一般方法，而且把最大公因式表示为这两个多项式的组合. 与定理 2.4.2相似的是定理2.4.3，它描述的是两个多项式互素即最大公因式为非零常数的情形. 但要注意的是定理2.4.3给出的是充要条件，而定理2.4.2只是充分条件. 简要地叙述如下：定理2.4.2()d x 是()f x 和()g x 的一个最大公因式⇒()()()()()d x u x f x v x g x =+定理2.4.3()(),()1f x g x =⇔()()()()1u x f x v x g x +=即由()()()()()d x u x f x v x g x =+不能推出()d x 是()f x 和()g x 的一个最大公因式，因为()d x 可能不是()f x 和()g x 的公因式. 但是如果()d x 是()f x 和()g x 的公因式，则由()()()()()d x u x f x v x g x =+可以推出()d x 是()f x 和()g x 的一个最大公因式.4. 一个多项式是否可约，依赖于系数所在域. 例如，22x -在[]Q x 中是不可约多项式，但在[]R x中则是可约的，因为(22xx x -=-. 因此，谈及可约或不可约的概念时，一定要明确是针对哪个系数域而言的.5. 因式分解及唯一性定理证明了一元多项式因式分解的存在唯一性，但并没有给出统一有效的因式分解的方法，需要具体情况具体分析.对于复系数多项式来说，我们有定理2.8.3 每个次数大于0的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解为一次因式的乘积. 由推论2.7.2根与一次因式的关系可知，我们要求出复系数多项式的所有根.对于实系数多项式来说，可先把它看作复系数多项式，求出它的所有根. 由于实系数多项式的共轭虚根成对出现，将它们对应的一次因式两两结合，即可得定理2.8.7 每个次数大于0的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解为一次因式与二次不可约因式的乘积.对于有理系数多项式来说，我们先将其分解为一个有理数和一个本原多项式的乘积，进而转化为考察整系数多项式的因式分解. 定理2.9.4给出了求整系数多项式的全部有理根的方法，从而可得整系数多项式的全部一次有理因式.艾森斯坦因判别法给出了判定一个整系数多项式在有理数域上是否不可约的一个充分条件，但不是必要条件，也就是说，找不到定理2.9.5中的素数p ，多项式可能是可约的，也可能是不可约的. 例如多项式21x+与332x x -+都不存在定理2.9.5中的素数p ，但前者在有理数域上不可约，后者却是可约.在实际问题中，常常不能直接运用艾森斯坦因判别法，而是要经过简单的变换. 需要注意的是，所用变换必须是可逆的，这样，变换后的多项式的可约性与原多项式的可约性才能保持一致.对于次数较高的有重因子的多项式()f x ，可以用()()(),()f x f x f x '代替()f x ，因为()()(),()f x f x f x '与()f x 有相同的不可约因式，又不含重因式，次数低于()f x ，使得因式分解变得简单，甚至变不可能为可能.6. 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式()1k ≥，则()p x 是导数()f x '的1k -重因式，特别地，多项式()f x 的单因式不是它的导数()f x '的因式. 因此，()f x 的重因式与()(),()f x f x '的不可约因式完全一致. 要考察()f x 的重因式，只需计算()(),()f x f x '即可.典型例题：例5 设b a ,为两个不相等的常数，证明多项式()f x 被()()x a x b --除所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--. 证明：根据带余除法，可设商式为()q x ，余式为()r x Ax B =+. 因此()()()()f x x a x b q x Ax B =--++分别令xa =，xb =可得()()f a Aa Bf b Ab B=+⎧⎨=+⎩ 解得()()f a f b A a b -=-，()()af b bf a B a b-=-. 因此命题得证.注：带余除法中要求余式的次数小于除式的次数，因此本题可设所求余式为不超过一次的多项式. 正是带余除法的这一重要性质，保证了商式和余式的唯一确定性.例6 ,,m p q 适合什么条件时，有231|x mx x px q +-++.解法1 待定系数法如果231|xmx x px q +-++，则可设()()321x px q x mx x a ++=+-+将上式右端展开，再比较同次项的系数，得01a m ma p a q +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得2,1qm p m ==--，即当2,1q m p m ==--时，231|x mx x px q +-++.解法2 带余除法应用带余除法，求得商式及余式，令余式为零，从而得到所求条件.233222221(1)(1) x mx x px q x m x mx x mx p x q mx m x m p m x q +-++-+--+++--++++m-余式为2(1)p mx q m +++-=0. 于是得210p m q m ⎧++=⎨-=⎩ 因此知，当2,1qm p m ==--时，231|x mx x px q +-++.例7 设432()343f x x x x x =+---，32()31023g x x x x =++-，求()(),()f x g x ，并求()u x ，()v x 使得()(),()()()()()f x g x u x f x v x g x =+.解：用辗转相除法21152510()()39993f x x g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22752510()99275993g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+---++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2525105109279938181x x x x ⎛⎫---=--+ ⎪⎝⎭，因此，()(),()3f x g x x =+.而 22752510927()95993x g x x x x ⎛⎫⎛⎫+=--+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2711()9()()539g x x f x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2727119()19()5539x f x x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2279189()()555x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()2312(),()1()()555f x g x x f x x x g x ⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例8 如果()(),()1f x g x =，且()()()f x g x h x ，则()()f x h x .证明：由(),()f x g x 互素,可知存在(),()u x v x 使得()()()()1u x f x v x g x +=.等式两边乘以()h x ，得()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=.因为()()()f x g x h x ，所以()f x 整除等式左端，从而()()f x h x .注：本例给出了运用定理2.4.3来证明问题的常见方法，非常简洁明了。

高等代数习题及参考答案

17．求值，使有重根。
解易知有三重根时，。若令
，比较两端系数，得
由（1），（3）得，解得的三个根为，将的三个根分别代入（1），得。再将它们代入（2），得的三个根。
当时有3重根；当时，有2重根。
18．求多项式有重根的条件。
解令，则，显然当时，只有当才有三重根。
3）。
解利用剩余除法试根，可得
1）有一个有理根2。
2）有两个有理根（即有2重有理根）。
3）有五个有理根（即一个单有理根3和一个4重有理根）。
28．下列多项式在有理数域上是否可约？
1）；
2）；
3）；
4）为奇素数；
5）为整数。
解1）因为都不是它的根，所以在有理数域里不可约。
2）利用艾森斯坦判别法，取，则此多项式在有理数域上不可约。
指数组
对应的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边。另一方面，有，
代入（1）式，得。再令，得。
令，得
（2）
令得
（3）
由（2），（3）解得。因此
原式。
4）原式=
指数组
对应的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
高等代数
第一章多项式
1．用除，求商与余式：
1）；
2）。
解1）由带余除法，可得；
2）同理可得。
2．适合什么条件时，有
1），
2）。
解1）由假设，所得余式为0，即，

2020年7月电大《高等代数专题研究》期末考试试题及参考答案

10. 可逆
三、计算题（本题共 45 分，每小题 15 分）
001
001
11. 解：偶中心）＝（如，幻， a3)) 1
0
0
1
, IT)=
0
0 l#-0 ,
1-2 1-2 l-2
1-2 1_2 1_2
所以 /3 1, /32, 队是一组基 . ...................................................... .. .. ... ........ (5 分）
C. (J 为正交变换
D. a 为对称变换
5. 线性空间 V 上的双线性函数 J(a,/3) 在不同基下的度量矩阵（
).
A. 相似
B. 相等
C. 正交相似
D. 相合
217
得分 1 评卷人
二、填空题（本题共 20 分，每小题 4 分）
6. 有理数域上的不可约多项式的次数是
次的．
7. 在有限维线性空间中，任意两个基所含向量的个数是
E1= (1, 0, 0) ,Ez = ( 0 , 1, 0) , E3= (0, 0 , 1) 下的矩阵．
13. 用正交线性替换化实二次型式 +2 式 +3 式 — 4x 心 z -4xzX3 为标准形．
得分 1 评卷人
四、证明题（本题 15 分）
14. 设 J(x) ,g(x) 是数域 P 上的一元多项式，且 (f(x),g(x))=l. 证明： (f( x) ,J (x ) + g (x)) = 1.
001
因为 C/31 , /32,/33)=(a1,a2,a3) I 1 0 1-2 1 2-
0 I,·· ······························ · ····· · ······ 00 分） 1 _2

《高等代数》各章习题+参考答案期末复习用

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等代数习题参考答案

第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。

2)当o 时，是；当 o 时，不是。

3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。

4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。

5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。

6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。

高等代数第五版(下)重点习题解

Page216向量空间7.证明对于任意正整数n 和任意向量α，都有个n ααα+⋯+=n（提示）利用数学归纳法4.设V 是一个向量空间，且V ≠{0}.证明：V 不可能表示成它的两个真子空间的并集。

证：设 W 1、W 2都是V 的真子集，且V ={}0，则至少有一个V 的非零向量W α∉1且至少有一个V 的非零向量W β∉2 ,(1)若W α∉2 则因为W α∉1 ⇒Wα∉1W 2 命题得证． (2)若1W β∉则因为W β∉2 ，⇒Wβ∉1W 2命题得证．(3)若W α∈2 ，而1W β∈，在这种情况下，我们考虑向量V αβ+∈．以下证明1W αβ+∉，且2W αβ+∉．(ị)若1W αβ+∈，则有1W γαβ=+∈，因为1W 是子空间⇒1W αγβ=-∈，这与W α∉1矛盾，所以1W αβ+∉，(ịị)若2W αβ+∈，则有2W δαβ=+∈，因为2W 是子空间⇒2W βδα=-∈，这与W β∉2矛盾．所以2W αβ+∉，于是有V αβ+∈，但Wαβ+∉1W 2综上表明12V W W ≠+．5.设W ，W 1，W 2都是向量空间V 的子空间，其中W 1⊆W 2，且W ∩W 1=W ∩W 2,W+W 1=W+W 2.证明W 1=W 2。

证：22W α∀∈因为2W ⊆W W +2W =W +1 ，所以21ααα=+，（W α∈，11W α∈）那么21ααα=-，又因为12W W ⊆，故212Wααα=-∈，所以21W W WW α∈=，因而1W α∈⇒11W αα+∈⇒21W α∈，即21W W ⊆，又12W W ⊆，故12W W =Page2276.3 向量的线性相关性3.令12(,,,),1,2,,.ni i i in a a a F i n α=∈=证明12,,,n a αα线性相关必要且只要行列1112121222120n n n n nna a a a a a a a a =证：1,,,na a 线性相关⇔有不全为零的数1,,,nk k 使10ni ii k a==⇔∑齐次11nnij ij i a k==∑∑有非零解⇔系数行列式ij a =．5.设,,,αβγ线性无关.证明,,αββγγα+++也线性无关.证：令123()()()0k k k αβγβαγ+++++=得齐次线性方程组121332000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 而它只有零解．6.设向量组{}12,,,(2)r r ααα≥线性无关.任取121,,,.r k k k F -∈证明,向量组111222111,,,,r r r r r r r k k k a βααβααβαα---=+=+=+线性无关.证：令1ri ii k β==∑把1,,,rββ的表示代入上式，用1,,,rk k 的线性相关证明1,0r k k ===．6.4 基和维数2．求下列子空间的维数：(i)3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4));L R --⊆ (ii)22(1,1,)();L x x x x F x ---⊆ (iii)23(,,)[,].x x xL e e e C a b ⊆ 提示：12(,,,)n L ααα的维数为12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数．(ị)维数为2，因为2353420124--=，即它们线性相关，而其中任意两个都线性无关．(ịị)维数为2．(ịịị)维数为3．3．把向量组{}(2,1,1,3),(1,0,1,2)--扩充为4R 的一个基．提示：1(2,1,1,3)α=-2(1,0,1,2)α=-线性无关（不成比例）而1(1,0,0,0)ε=，2(0,1,0,0)ε=，3(0,0,1,0)ε=，4(0,0,0,1)ε=是4R 的一个基，所以1α，2α可由1ε，2ε，3ε，4ε表示，而1α，2α，1ε，2ε线性无关，故1α，2α，1ε，2ε是4R 的一个基．4．令S 是数域F 上一切数满足条件/A A =的n 阶矩阵A 所成的向量空间．求S 的维数．提示：因为S 是数域F 上一切满足'A A =的n 解矩阵A 所称的向量空间．令i j E 表示第i 行第j列交叉处是1 而其它元素全为零的n 解方阵，(i j E +')ji E =i j E +j iE ， S 的一组基为: 11E ,22E ,,nn E ;12E +21E ,,1n E +1n E ;23E +32E ,,2n E +2n E ; ,1n n E -+1nn E -,故(1)dim (1)212n n S n n -=+-+++=．5．证明，复数域C 作为实数域R 上向量空间，维数是2．如果C 看成它本身上的向量空间的话，维数是几？提示：1,i 在实数域R 上线性无关，且C 中任意复数均可由它们线性表示，故C 作为R 上的向量空间，维数为2．C 作为C 上的向量空间，维数为1．（任一非零复数均为它的基）6.5坐标１．设{}12,,,n a a a 是Ｖ的一个基．求由这个基到{}21,,,n a a a 的过渡矩阵．结果： 000110000100010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭（提示：线性表示可得）．2．证明，{}332,,1,1x xx x x +++是3()F x （数域Ｆ上一切次数3≤的多项式及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标：(i) 223x x ++; (ii) 3;x (iii) 4; (iv) 2x x -.结果：(i) (0,0,1,2); (ii) (1,0,0,0); (iii) (4,-4,0,4); (iv) (0,0,1,1) (提示：利用246P 公式（6）（取3[]F x 的基{}231,,,x x x ）即得由{}231,,,x x x 到{}332,,1,1x x x x x +++的过渡矩阵．)4．设123123(1,2,1),(0,1,3),(1,1,0);(2,1,5),(2,3,1),(1,3,2).αααβββ=-=-=-==-=证明{}123,,ααα和{}1,23,βββ都是3R 的基，求前者到后者的过渡矩阵．结果：717422915424153424⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪⎝⎭提示：取3R 的标准基，且求出123(,,)(ααα=123,,)A εεε，123(,,)(βββ=123,,)B εεε，并,A B 都可逆，即证得123(,,)ααα，123(,,)βββ都是3R 的基，从而有123(,,)βββ=1123(,,)A B ααα-，即1A B -为由123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵．5．设{}12,,,n a αα是F 上n 维向量空间V 的一个基．A 是F 上一个n s ⨯矩阵．令．1211(,,,)(,,,)s n A βββααα=.证明：12dim (,,,)s L βββ=秩A ．证：设秩A r =，则存在F 上n 阶可逆矩阵P 和Q ，使000rI A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭（r I 为单位矩阵）．1212(,,,)(,,,)n n P r r r ααα=，即12,,,nr r r 线性无关．于是有12(,,,)s βββ=12(,,,)n P ααα000r I Q⎛⎫ ⎪⎝⎭12(,,,)n r r r =000r I Q⎛⎫ ⎪⎝⎭12(,,,,0,,0)r r r r Q =，从而12,,,sβββ与12,,,,r r r r 等价，故有dim L 12(,,,)s βββdim L =12(,,,)r r r r r ==秩A ．6.6向量空间2．设:f V W →是向量空间V 到W 的一个同构映射，1V 是V 的一个子空间．证明1()f V 是W 的一个子空间．证10V ∈,而1(0)0()f f V =∈，∴1()f V 是W 的一个非空子集．设,αβ∈1()f V ，所以存在11,αβ∈1V ，使得1()f αα=，1()f ββ=， ,a b F ∀∈，有 a b αβ+=1()af α1()bf β+ =()f a b αβ+， 111a b V αβ+∈，a b αβ+∈1()f V ，故1()f V 是W 的子空间．6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关．证：设()i j n nA a ⨯=，0A =⇔秩A n <⇔行（列）空间的维数n <⇔A 的行（列）线性相关．2．证明，秩()A B +≤秩A +秩B提示：1W ，2W 是V 的子空间，由维数公式知，dim(1W +2W ）=秩1W +秩2W ，令1W =A 的行空间，2W =B 的行空间，比较维数，结论得证．3．设A 是一个m 行的矩阵，秩A r =，从A 中任取出s 行，作一个s 行的矩阵B ．证明，秩B r s m ≥+-．证明：11S S m A αααα+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（i α为A 的第i 行），1S B αα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，100S A αα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100S m αα+⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭据第2题，得，秩A ≤秩100S αα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，即r ≤秩B +秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因m ≥秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+S ，所以秩B r ≥-秩100S m αα+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()r m s r s m ≥--=+-5．求齐次线性方程组 12345123451234523450323054330220x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+++=⎩的一个基础解系．解：对系数矩阵施行初等行变换后，得 10110012200000100000--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1342345220x x x x x x x =+⎧⎪∴=--⎨⎪=⎩，基础解系为()'12100-， ()'12010-．6．证明定理6.7.3的逆命题：nF 的任意一个子空间都是某一含n 个未知量的齐次线性方程组的解空间．证明：设W 是nF 的任一子空间，而且dim W r =，令1111(,)n a a α=,1(,)r r r n a a α=是W 的一个基，以12,,,r ααα为行构成矩阵r n A ⨯，经初等行变换（必要时交换列）将化为111212110010001r n r n r r rn c c c c c c +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，因此111(1r r r c c ++ 00),()1001nr n cc 是100n x A x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的基础解系，而12,,,r ααα正是111110001r n r nr nc c c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1n y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭00⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （＊）的基础解系，所以（＊）的解空间为W ．第七章线性变换7.1线性映射2.设V 是数域F 上一个一维向量空间,证明V 到自身的一个映射σ是线性映射的充要条件是:对于任意V ξ∈,都有()a σξξ=，这里a 是F 中一个定数.证：必要性：设0α≠是V 的一个基，由σ是V 到自身的线性映射，有()V σα∈．设()a σαα=（a 是F 中的一个定数）．所以，V ξ∀∈，有()V σξ∈，而k ξα=（k 是F 中的任意数），则有()()k σξσα=()k σα=()k a α==()a k α=a ξ．充分性a 是F 中的一个定数，∴V ξ∀∈，都有唯一确定的V 中的向量a ξ，使得()σξ=a ξ．12,Vξξ∀∈及12,a a F ∈，1122()a a σξξ+=a 1122()a a ξξ+=1a 1()a ξ+22()a a ξ=11()a σξ+ 22()a σξ．∴σ是V 到自身的线性映像．４.令4F 表示数域F 上四元列空间.取 1151112331811397A --⎛⎫ ⎪- ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭对于4F ξ∈,令()A σξξ=.求线性映射σ的核和像的维数.解：先求k e r ()σ的维数．1234x x x x ξ⎛⎫ ⎪ ⎪∀=∈⎪ ⎪⎝⎭k e r ()σ，由核的定义，有()σξ＝0A ξ=．即1151112331811397--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭12340000x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，()Ker σ就是齐次线性方程组的解空间，由解空间的维数定理，得dim ()Ker σ=解空间的维数＝４－秩A ＝４－２＝２，再求Im()σ的维数．4F ξ∀∈，取4F 的标准基1,ε2,ε3,ε4,ε有:1k ξ=12k ε+23k ε+34k ε+4,ε()σξ=A ξ=A 1(k 122k εε+3k +34k ε+4)ε=1k (A 12)k ε+(A 23)k ε+(A34)k ε+(A 4),ε∴Im()σ=1234(,,,)L A A A A εεεε1234(,,,)L A A A A =, (i A 是A 的第i 列)，故dim Im()σ=秩A =2．7.2线性变换的运算3.设V 是数域F 上一个有限维向量空间.证明,对于V 的线性变换σ来说,下列三个条件是等价的: (i)σ是满射;(ii)ker()0σ=;(iii)σ非奇异. 当V 不是有限维时,(i),(ii)是否等价?提示：参照7.1习题第6题中充分性的证明．7.3线性变换和矩阵1.令[]n F x 表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式所成的向量空间，:()'()f x f x σ.求σ关于以下两个基的矩阵:(1) 21,,,,n x x x ,(2)2()()1,,,,2!!nx c x c x c n ---.解（1）(1)0100nx x σ=⋅+⋅++⋅，()1100nx x x σ=⋅+⋅++⋅，,1()0100nn n x x nx x σ-=⋅+⋅++⋅∴σ关于基1,,,n x x 的矩阵为010********00000000n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（它的阶数为1n +）．（2）同理，σ关于基2()()1,,,2!!nx c x c x c n ---的矩阵为010000000001000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭2.设F 上三维向量空间的线性变换σ关于基123{,,}ααα的矩阵是1511520158876-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭．求σ关于基112321233123233422βαααβαααβααα=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 的矩阵.设1232ξααα=+-．求()σξ关于基123,,βββ的坐标.解：已知σ关于基123{,,}ααα的矩阵为1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为231342112T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1652431111T ---⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，设σ关于基123,,βββ的矩阵为B ，则有1B T AT -==100020003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，设ξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)x x x ，()σξ关于123,,βββ的坐标为123(,,)y y y ，则有112233y x y B x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ξ关于123,,ααα的坐标为(2,1,1)-，所以123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211T -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，所以123y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1211BT -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭580-⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭． 3.设12{,,,}n γγγ是n 维向量空间V 的一个基11,,1,2,,nnj ij i j ij i i i a b j nαγβγ=====∑∑并且12,,,n ααα线性无关,又设σ是V 的一个线性变换,使得(),1,2,,j j j nσαβ==.求σ关于基12{,,,}n γγγ的矩阵.解：由已知，有12(,,,)n ααα12(,,,)n r r r A =（A 可逆）， 12(,,,)n βββ12(,,,)n r r r B =，12((),(),,())n r r r σσσ=112((),(),,())n A σασασα-=112(,,,)n A βββ-112(,,,)n r r r BA -=，故σ关于基12,,,n r r r 的矩阵为1BA -．4.设,A B 是n 阶矩阵,且A 可逆,证明,AB 与BA 相似. 证：11111()()()()AB AB AA A BA A A BA A -----===，∴BA 与AB 相似．5.设A 是数域F 上一个n 阶矩阵.证明,存在F 上一个非零多项式()f x 使得()0f A =.证：F 上所有n 阶矩阵作成F 上的向量空间()n M F ，其维数是2n ．所以，0I A =，22,,,n A A A 一定线性相关，∴存在不全为零的数：2012,,,n a a a a F∈，使得222012n n a I a A a A a A ++++0=，设()f x 222012n n a a x a x a x=++++，因系数不全为零，∴()0f x ≠且有()0f A =．。

高等代数北大版习题参考答案

高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

《高等代数》习题与参考答案

《高等代数》习题与参考答案数学系第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

《高等代数》第三章习题及答案

习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数．解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1．证设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3．由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。

国家开放大学电大本科《高等代数专题研究》2023-2024期末试题及答案(试卷代号：1079)

国家开放大学电大本科《高等代数专题研究》2023-2024期末试题及答案（试卷代号:1079）一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）1. 下列运算中」）是有理数域Q 上的代数运算.B.D. a v b __«/2a2. 按通常教的加法与乘法.复数域C 可以者成实数域R 上的蛾性空间,则它的维数是《4. 设A 是正交矩曲,则F 列选项中惜误的是（A. /V = EB. A T =A 1C. A 的苛一行的元素的平万和等于1 0. A 的不同行的对应元素乘积之和等于。

5.设人是“阶实对称矩阵.则人是正定的充分必要条件是（）.A. A 的行列式大于零 R .存在矩阵C .使得AgC C A 的特征值全为正 D.存在村维非零向用X ・使得X r AX>0二、填空题（本题共20分，每小题4分）6. 实敝域上的不可约多项式的次数是次的.7. 向匿组（, = （0.0,1 ）^=（0.1,2）3.5）线性相关,则 a =・8. 设A 是线性空间V 的线性变换.则A 的属于不同特祉值的特征向51线性9.设a 是欧氏空间V 的对林变换,姻。

在V 的坏准正交基下的矩阵是・10. 埃性空间V 上.的双线性函数在不同.基下的度度疤阵•三、计算题（本题共45分，每小题15分）11. 没R'的线性变换D 定义如下口.，工1> = （2卫L 工SI —七.心+上$），求a 在基j ==,D)・j = (0・0・D 下的矩阵.2-2012 .设人一一2 I -2 .求一个正交矩阵丁.使丁 ‘,4丁=丁「人丁为对用炬阵.0 T0A ・0 G 23. 矩阱A 与B 拇似的允分必要条件是（ A ・A 与3的持祉多瑚式相等C. 人与B 的秩相等 B. 1D. 无限）.H.人与8的行列式相句D.存在可逆炬阵丁，使T '/Vf-B13. 求人取何值时，下面的实二次型是正定的J (xi >x： fXi)卜4工；4-4xx b 2A TIX2~ 2xixj + 4x2四、证明题(本题15分)14. 设/GH,gCt)是数域P上的一元多项式，且</S〉,gCr)) = 】,证明：</(x) ,/(x)-Fg(jr)) = 1.试题答案及评分标准：-.■项»i*n(本BI共20分小m 4分｝t B2.CID4. A5.C二■堵空01(本幌共20分.符小IR 4分), 6. I 或 27.0&光关9. Xj林炬阵10. 相含三,计鼻81(本01共45分,梅小H IS分)；1L «hxi・«・0.0〉・2^.,■(Ot —lel)«—1|+g|.……(7分) IM此.。

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