《高等代数专题研究》作业参考答案
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EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即“ EMBED Equation.DSMT4 ”满足结合律。
3、证明：当n=2时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=2正确。
当n=4时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=4正确。
且 EMBED Equation.DSMT4 ，故 EMBED Equation.DSMT4 是有单位元素1的数环，因而是整环。
2） EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 中全部可逆元素。 EMBED Equation.DSMT4 为奇素）为 EMBED Equation.DSMT4 中全部不可约元素。
3、证明：因为 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列，则 EMBED Equation.DSMT4 ，则均值不等式，得
EMBED Equation.DSMT4 ，
又： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，
5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对n<k正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4 到 EMBED Equation.DSMT4 的映射一共有 EMBED Equation.DSMT4 个，它们是：
五、简述题
1、答： EMBED Equation.DSMT4 ，给予证明如下：
任取 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 是单射。
因此， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的全部可逆元素。
四、证明题
1、证明：首先 EMBED Equation.DSMT4 是整环，零理想是主理想，设 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的任一非零理想， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 中次数最低的多项式，则对任意 EMBED Equation.DSMT4 有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 的次数< EMBED Equation.DSMT4 的次数，由 EMBED Equation.DSMT4 知 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 的次数< EMBED Equation.DSMT4 的次数，这与 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 中次数最低的多项式矛盾，故必有 EMBED Equation.DSMT4 ，从而 EMBED Equation.DSMT4 ，这就证明了 EMBED Equation.DSMT4 是由 EMBED Equation.DSMT4 生成的主理想。
二、填空题
1、1，3，5，7 2、如果d是a与b的公因式，且有 EMBED Equation.DSMT4 ，均有 EMBED Equation.DSMT4 。 3、代数
4、1 5、-4，2（重根）
三、计算题
1、证：1）若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，
即 EMBED Equation.DSMT4 ，命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。
4、当n=2时，上述不等式成立，假设 EMBED Equation.DSMT4 ，
则 EMBED Equation.DSMT4
于是对一切 EMBED Equation.DSMT4 的自然数n来说， EMBED Equation.DSMT4 。
同理可推出命题对 EMBED Equation.DSMT4 ，都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。
设命题对n=k正确，令 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，由归纳假设命题对n=k正确，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所发 EMBED Equation.DSMT4 ，
解得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取极大值， EMBED Equation.DSMT4 。
3、解：这是一个求具有约束条件 EMBED Equation.DSMT4 的极值问题，由于它有三个变量 EMBED Equation.DSMT4 ，因而不能用消元法来解，但
四、证明题
1、证明： EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，
因 EMBED Equation.DSMT4 都是正数，上式变为 EMBED Equation.DSMT4 ，得证。
2、证明：令 EMBED Equation.DSMT4 ，
2、解： EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的可逆元素。
EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的可逆元素。
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。
其中当且仅当 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 成立，
4、 EMBED Equation.DSMT4 5、 EMBED Equation.DSMT4
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4
所以原不等式的解集为 EMBED Equation.DSMT4 。
2、解： EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4
2、解： EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4
3、解：1）在G中， EMBED Equation.DSMT4 ，并且 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 可表为两个不相交的轮换的乘积： EMBED Equation.DSMT4 。
EMBED Equation.DSMT4 ，只有当 EMBED Equation.DSMT4 时等式成立。
所以只有当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取最小值 EMBED Equation.DSMT4 。
任取 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 为奇数，则有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 与之对应；
若 EMBED Equation.DSMT4 为偶数，则有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 与之对应，所以有 EMBED Equation.DSMT4 是满射。
2、证明：则于 EMBED Equation.DSMT4 是由a与b惟一确定的（即 EMBED Equation.DSMT4 不会得出以上不同的结果），且为实数，所以“ EMBED Equation.DSMT4 ”是一个代数运算。
EMBED Equation.DSMT4 ，
《高等代数专题研究》作业参考答案
高等代数专题研究作业1
一、单项选择题：1-5：BCBDB
二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 是A到B的双射。
4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足： EMBED Equation.DSMT4 如果 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 。则M含有一切自然数，即 EMBED Equation.DSMT4 。
所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故结论得证。
五、简述题
1、答：设函数 EMBED Equation.DSMT4 在某区间上定义，对于区间上的任意两点 EMBED Equation.DSMT4 ，都有
再令 EMBED Equation.DSMT4 ，得 EMBED Equation.DSMT4 的一元二次方程： EMBED Equation.DSMT4 ，由于 EMBED Equation.DSMT4 ，所以
EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。
所以 EMBED Equation.DSMT4 是从Z到N的双射。
2、答：空集合的幂集不是空集合。应为 EMBED Equation.DSMT4 。
高等代数专题研究作业2
一、单项选择题：1-5：DACCB
二、填空题：
1、 EMBED Equation.DSMT4 2、 EMBED Equation.DSMT4 3、 EMBED Equation.DSMT4
2） EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4
3） EMBED Equation.DSMT4
四、证明题
1、证明： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 ，则称 EMBED Equation.DSMT4 在该区间上是下凸函数。
2、答：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。
高等代数专题研究作业3
一、单项选择题：1-5：BDDAC
3、证明：当n=2时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=2正确。
当n=4时， EMBED Equation.DSMT4 ，因此命题对n=4正确。
且 EMBED Equation.DSMT4 ，故 EMBED Equation.DSMT4 是有单位元素1的数环，因而是整环。
2） EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 中全部可逆元素。 EMBED Equation.DSMT4 为奇素）为 EMBED Equation.DSMT4 中全部不可约元素。
3、证明：因为 EMBED Equation.DSMT4 是等差数列，则 EMBED Equation.DSMT4 ，则均值不等式，得
EMBED Equation.DSMT4 ，
又： EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，
5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对n<k正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4 到 EMBED Equation.DSMT4 的映射一共有 EMBED Equation.DSMT4 个，它们是：
五、简述题
1、答： EMBED Equation.DSMT4 ，给予证明如下：
任取 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 是单射。
因此， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的全部可逆元素。
四、证明题
1、证明：首先 EMBED Equation.DSMT4 是整环，零理想是主理想，设 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的任一非零理想， EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 中次数最低的多项式，则对任意 EMBED Equation.DSMT4 有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 的次数< EMBED Equation.DSMT4 的次数，由 EMBED Equation.DSMT4 知 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 的次数< EMBED Equation.DSMT4 的次数，这与 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 中次数最低的多项式矛盾，故必有 EMBED Equation.DSMT4 ，从而 EMBED Equation.DSMT4 ，这就证明了 EMBED Equation.DSMT4 是由 EMBED Equation.DSMT4 生成的主理想。
二、填空题
1、1，3，5，7 2、如果d是a与b的公因式，且有 EMBED Equation.DSMT4 ，均有 EMBED Equation.DSMT4 。 3、代数
4、1 5、-4，2（重根）
三、计算题
1、证：1）若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，
即 EMBED Equation.DSMT4 ，命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。
4、当n=2时，上述不等式成立，假设 EMBED Equation.DSMT4 ，
则 EMBED Equation.DSMT4
于是对一切 EMBED Equation.DSMT4 的自然数n来说， EMBED Equation.DSMT4 。
同理可推出命题对 EMBED Equation.DSMT4 ，都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。
设命题对n=k正确，令 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ，由归纳假设命题对n=k正确，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所发 EMBED Equation.DSMT4 ，
解得 EMBED Equation.DSMT4 ，所以当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取极大值， EMBED Equation.DSMT4 。
3、解：这是一个求具有约束条件 EMBED Equation.DSMT4 的极值问题，由于它有三个变量 EMBED Equation.DSMT4 ，因而不能用消元法来解，但
四、证明题
1、证明： EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，
因 EMBED Equation.DSMT4 都是正数，上式变为 EMBED Equation.DSMT4 ，得证。
2、证明：令 EMBED Equation.DSMT4 ，
2、解： EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的可逆元素。
EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的可逆元素。
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。
其中当且仅当 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 成立，
4、 EMBED Equation.DSMT4 5、 EMBED Equation.DSMT4
三、计算题
1、解： EMBED Equation.DSMT4
所以原不等式的解集为 EMBED Equation.DSMT4 。
2、解： EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4
2、解： EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4
3、解：1）在G中， EMBED Equation.DSMT4 ，并且 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 可表为两个不相交的轮换的乘积： EMBED Equation.DSMT4 。
EMBED Equation.DSMT4 ，只有当 EMBED Equation.DSMT4 时等式成立。
所以只有当 EMBED Equation.DSMT4 时， EMBED Equation.DSMT4 取最小值 EMBED Equation.DSMT4 。
任取 EMBED Equation.DSMT4 ，若 EMBED Equation.DSMT4 为奇数，则有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 与之对应；
若 EMBED Equation.DSMT4 为偶数，则有 EMBED Equation.DSMT4 ，使 EMBED Equation.DSMT4 与之对应，所以有 EMBED Equation.DSMT4 是满射。
2、证明：则于 EMBED Equation.DSMT4 是由a与b惟一确定的（即 EMBED Equation.DSMT4 不会得出以上不同的结果），且为实数，所以“ EMBED Equation.DSMT4 ”是一个代数运算。
EMBED Equation.DSMT4 ，
《高等代数专题研究》作业参考答案
高等代数专题研究作业1
一、单项选择题：1-5：BCBDB
二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、 EMBED Equation.DSMT4 ，且 EMBED Equation.DSMT4 是A到B的双射。
4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足： EMBED Equation.DSMT4 如果 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 。则M含有一切自然数，即 EMBED Equation.DSMT4 。
所以 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故结论得证。
五、简述题
1、答：设函数 EMBED Equation.DSMT4 在某区间上定义，对于区间上的任意两点 EMBED Equation.DSMT4 ，都有
再令 EMBED Equation.DSMT4 ，得 EMBED Equation.DSMT4 的一元二次方程： EMBED Equation.DSMT4 ，由于 EMBED Equation.DSMT4 ，所以
EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 。
所以 EMBED Equation.DSMT4 是从Z到N的双射。
2、答：空集合的幂集不是空集合。应为 EMBED Equation.DSMT4 。
高等代数专题研究作业2
一、单项选择题：1-5：DACCB
二、填空题：
1、 EMBED Equation.DSMT4 2、 EMBED Equation.DSMT4 3、 EMBED Equation.DSMT4
2） EMBED Equation.DSMT4 ，
EMBED Equation.DSMT4
3） EMBED Equation.DSMT4
四、证明题
1、证明： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，其中 EMBED Equation.DSMT4 ，则称 EMBED Equation.DSMT4 在该区间上是下凸函数。
2、答：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。
高等代数专题研究作业3
一、单项选择题：1-5：BDDAC