初中三角函数知识点题型总结课后练习
三角函数的图像和性质知识点及例题讲解
三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。
锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数知识点总结与习题附答案1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
对边邻边bA90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。
1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角； (2)俯角：视线在水平线下方的角。
(3)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
:i h l=hlα4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
三角函数定义知识点及例题[练习与答案]超强推荐
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三角函数的定义专题关键词： 三角函数的定义 终边 弧长公式 扇形面积 同角的基本关系 学习目标： 理解角的概念，掌握同角三角函数基本关系☆ 对角的概念的理解：（1）无界性 R ∈α 或 ),(+∞-∞ （2）周期性（3）终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Zπαπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Zπα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Zk k ∈+,32ππ）☆ 角与角的位置关系的判断 （1） 终边相同的角 （2） 对称关系的角（3） 满足一些常见关系式的两角例如：若α是第二象限角，则2α是第_____象限角 ：一、三）☆ 弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.例如：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）☆ 三角函数的定义：高中阶段对三角函数的定义与初中的定义从本质上讲不同。
但既有联系，又有区别。
定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。
《任意角的三角函数》知识点总结及典型例题
任意角的三角函数模块一、角的概念及其推广要点一、角的相关概念 （1）角的概念角可以看成是由平面内一条射线（起始边）绕着端点旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（2）角的分类⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角要点二、终边相同角 （1）终边相同角的定义设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{},360|Z k k S ∈︒⋅+==αββ。
集合S 的每一个元素都与α的终边相等，当0=k 时，对应元素为α。
（2）注意①相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差︒360的整数倍。
②角的集合表示形式是不唯一的。
要点三、象限角与轴线角（1）象限角定义：角α顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为： 第二象限角的集合为：第四象限角的集合为：终边落在x 轴正半轴上角的集合： 终边落在x 轴负半轴上角的集合： 终边在x 轴上的角的集合为： 终边落在y 轴正半轴上角的集合： 终边落在y 轴负半轴上角的集合： 终边在y 轴上的角的集合为： 终边落在坐标轴上角的集合：（2）注意：终边落在同一条直线上的角相差︒180的整数倍，终边落在同一条射线上的角相差︒360的整数倍。
要点四、区间角、区域角区间角是介于两个角之间的角的集合，区域角是介于某两角终边之间的角的集合。
区域角是无数个区间角的集合。
注意：锐角都是第一象限角，但第一象限角不都是锐角；小于90°的角不都是锐角，它还包括零角和负角，只有小于90°的正角才是锐角。
考点一、求终边相同的角的集合例1.（1）写出所有与︒-650终边相同的角的集合，并在︒︒360~0范围内，找出与︒-650角终边相同的角。
（2）把︒-2011写成)3600(360︒≤≤︒+⋅ααk 的形式。
(完整版)初中三角函数知识点总结及典型习题含答案)
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等丁斜边c 的平方。
a 1 2 b 2 c 23、任意锐角的正弦值等丁它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等丁它的余角的正弦值。
、60°特殊角的三角函数值（重要）6 、正弦、余弦的增减性:当0° v < 90°时，sin 随的增大而增大,cos 随的增大而减小 7 、正切、的增减性：当0° < <90°时，tan 随 的增大而增大,角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）t 所有未知的边和角。
①边的关系：a 2 b 2 c 2;②角的关系：A+B=90 ;③边角关系：三角函数的定义 尽量避免使用中间数据和除法）用举例：角：视线在水平■线上方的角；俯角：视线在水平■线下方的角。
sin A cosBcosA sin B5、 30° 、 （汪息:⑵ 坡面的铅直高度h 和水平■宽度l 的比叫做坡度（坡比）。
用字母i 表示，即i ?。
坡度一般写成1: m 的形式，如i 1:5等。
把坡面与水平面的火角记作 （叫做坡角），那么i htan 。
l 3、 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平■角，叫做方位角。
如图 3, OA 方向角分别是：45°、135°、225 。
4、 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小丁 90°的水平■角，叫做方向角。
如图 OD 的方向角分别是：北偏东 30° （东北方向）， 南偏东45° （东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60° （西北方向）。
OB OG OD 的4,OA 、OB OG 例1:已知在RtA ABG 中, 90 °,sin A 3 … .........一，则tan B 的值为 5 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTA ABC中,Z C=90° ,贝U sinA 和 a 2 b 22.3 22c ；由sin A 一知，如果设a 3x ，贝U c 5x ,结合a b5 a-，cbatan B 4x 3x ba 4 3' 所以选A. 例2: 4cos30 sin 60 ( 2) 1 ( 2009 2008)° = 【解析】本题考查特殊角的三角函数值.零指数籍.负整数指数籍的有关运算, 4cos30 sin60 ( 2) 1 ( . 2009 2008)°_4 技 技 一 2 2 1.某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角 就有危险，那么梯子的长至少为（ C ） B. 8⑥米C.匝米3（梯子与地面的夹角）不能大于 60° ,否则A. 8米D.甘米2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的火角是 40，则梯子底端到墙的距离为（BA. 5sin 40B. 5cos40C. 一—D. 一—3.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，/ AB （=150° , BC 的长是8m 则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h是（B ）C D面的铅直高度BC 与水平■宽度AC 之比），则AC 的长是（A ）A. 5扼米 B . 10米 C. 15米 D . 10很米5.如图，在矩形 ABC 呻，DE^ACT E, / EDC ： / EDA=1： 3,且 AC=10 WJ DE 的长度是（D ） A. 3B . 5C . 5 握 D.瓯2A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60。
初中三角函数知识点总结及典型习题
初中三角函数知识点总结及典型习题初中三角函数知识点总结及典型习题一、角度和弧度制1. 角度制：以度（°）作为单位来度量角的大小，一周为360°，一个直角为90°。
2. 弧度制：以弧长等于半径长度的圆心角为一弧度（rad），一周为2π rad，一个直角为π/2 rad。
二、常用三角函数1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值为对边与斜边的比值。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值为邻边与斜边的比值。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值为对边与邻边的比值。
三、三角函数的周期性1. 正弦函数与余弦函数的周期均为2π。
2. 正切函数的周期为π。
四、三角函数的基本性质1. 正弦函数和余弦函数的值域为[-1,1]，在[-π/2,π/2]内单调递增。
2. 正切函数的值域为(-∞,∞)，在每个周期内交替上升和下降。
3. 正弦函数与余弦函数的图像为波形，以坐标原点为对称中心。
4. 正切函数的图像为周期为π的波形。
五、三角函数的正负关系1. 在第一象限，正弦函数、余弦函数和正切函数均为正。
2. 在第二象限，正弦函数为正，余弦函数和正切函数为负。
3. 在第三象限，正弦函数和正切函数为负，余弦函数为正。
4. 在第四象限，正弦函数为负，余弦函数和正切函数为正。
六、三角函数的基本公式1. 正弦函数的基本公式：sin(α±β) = sinαcosβ± cosαsinβ2. 余弦函数的基本公式：cos(α±β) = cosαcosβ∓ sinαsinβ3. 正切函数的基本公式：tan(α±β) = (tanα± tanβ) / (1∓tanαtanβ)七、三角函数之间的倒数关系1. 正弦函数与余弦函数的关系：sin(π/2-θ) = cosθ，cos(π/2-θ) = sinθ2. 正弦函数与正切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ，cotθ = cosθ / sinθ3. 余弦函数与正切函数的关系：tan(π/2-θ) = 1 / tanθ，cot(π/2-θ) = 1 / cotθ八、特殊角的三角函数值1. 30°的正弦值为1/2，余弦值为√3/2，正切值为1/√3。
三角函数第一二节知识点及练习题含答案
三角函数知识点1.①与α （ 0o < a < 360° ）终边一样的角的集合（角 {夕 ∣∕ = Aχ360°+αM ∈z}②终边在X 轴上的角的集合：M∕ = -180°M∈Z } ③终边在y 轴上的角的集合：{夕∕ = "180°+90F ∈z} ④终边在坐标轴上的角的集合：∖β∖β = k×90∖kez} ⑤终边在尸轴上的角的集合：物IP = ZXI800+45°∕ ∈z} ⑥终边在y = -x 轴上的角的集合：MIP = AXI800-45Fez}⑦假设角α与角夕的终边关于X 轴对称，那么角α与角耳的关系：α = 360*-夕 ⑧假设角α与角夕的终边关于y 轴对称，那么角α与角力的关系：α = 3602 + 180°-夕 ⑨假设角α与角夕的终边在一条直线上，那么角α与角夕的关系：α = 180Z +/⑩角。
与角夕的终边互相垂直，那么角α与角〃的关系：α = 360Z +尸土90° 2.角度与弧度的互换关系：360O=2Λ- 180O=Λ- 1O=0.01745 1=57.30O=57O18,注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.弧度与角度互换公式：Irad=竺2°=57° 18' I 0 =，_»0.01745 (rad)π1803、弧长公式：/=|a1r. 扇形面积公式：S 扇形=g∕r = ；IaI •产4、三角函数：设a 是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x, y ） P 与原点的距离为r,那么sina= ~ » CoSa = Mtana =2； cota=-irrXyr ∙ r SeCa =―，・ csca = •X y5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM; 正切线：AT.7.三角函数的定义域:a 与角力的终边重合）： SMCoS1.角函数俵大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限•半所在区域8、同角三角函数的根本关系式：包3 = tanα* CoSa SinaIana COta = I CSCa sina = I seca∙cosa = Isin2 a+ cos2a = 1 sec2 a-tan2a -1 csc2 a-cot2a = I任意角1.以下命题中正确的选项是()A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角S=a +左∙360° ( λr∈Z),那么a与f终边一样2.终边落在X轴上的角的集合是( )A. ｛ a I a =k ∙ 360° ,K∈Z ｝B. ｛ a ∣ a=(2k+l)・ 180° ,K∈Z )C. ｛ a I a =k ∙ 180° , K∈Z ｝D. ｛ a ∣a =k ∙ 180o +90o , K∈Z ｝3.角a =45°+ k∙ 180o , A ∈ Z 的终边落在( )A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限4.设A = ｛小于90"的角｝, 5 = ｛锐角｝，C=｛第一象限的角｝,。
三角函数的概念(基础知识+基本题型)(含解析)
5.2.1 三角函数的概念（基础知识+基本题型）知识点一 任意角的三角函数 1、单位圆的概念在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫单位圆. 2、任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即()tan 0yx xα=≠. 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
拓展：（1）任意角的三角函数的定义一般地，设角α的终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r =，则sin ,cos ,tan (0)y x yx r r xααα===≠ （2）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集. （3）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和(,)P x y 所在中边上的位置无关，而由角α的终边位置决定.（4）要明确sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如()f x 表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin α”“cos α”“tan α”等式没有意义的.知识点二 三角函数的定义域和函数值的符号1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下∶2.在各个象限内的符号，如图所示.【拓展】为了便于记忆,我们把三角函数值在各象限内的符号规律概括为下面口诀:“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，意思为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负.由于从原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值,根据三角函数的定义,知 (1)正弦函数的符号取决于纵坐标y 的符号; (2)余弦函数的符号取决于横坐标x 的符号;(3)正切函数的符号是由,x y 的符号共同决定的,即,x y 同号为正,异号为负. 知识点三 诱导公式一公式一:()sin 2sin k παα+⋅= , ()cos 2cos k παα+⋅=, ()tan 2tan k παα+⋅=, 【提示】(1)诱导公式一说明终边相同的角的同一三角函数值相等.(2)任意给定一个角,它的三角函数值是唯一确定的;若给定一个三角函数值,则有无数个角与之对应. (3)利用诱导公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π内的角 的三角 函数值.其中 k Z ∈ . 知识点四 三角函数线 1.有向线段带有方向的线段叫做有向线段. 2.三角函数线的定义如图 1.2-4,设任意角α的顶点在原点o (单位圆的圆心),始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,()P x y ,过点p 作x 轴的垂线,垂足为点M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α 的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T (因为过切点的半径垂直于圆的切线,所以AT 平行于y 轴 ).于是sin ,cos ,tan y MP AT y MP x OM AT x OM OAααα======== . 我们规定与坐标轴 同向时 ,方向为正向,与坐标轴反向时,方向为负向,则有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,它们统称为三角函数线.【提示】(1)三角函数线的意义是可以表示三角函数的值,其长度等于三角函数的绝对值,方向表示三角函数值的正负.(2)因为三角函数线是与单位圆有关的有向线段,所以作角的三角函数线时,一定要先作出单位圆. (3)有向线段的书写:有向线段的起点字母写在前面,终点字母写在后面.考点一 三角函数的定义及函数值符号 【例1】 有下列说法:①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②终边不同的角的同名三角函数值不等; ③若sin20α> ,则α 是第一象限角;④若α 是第二象限角,且(,)P x y 是其终边上一点,则cos α= .其中正确说法的个数是 ( ) A.1B.2C.3D.4解析: 对于此类三角函数的题目,需要逐个判断.充分利用三角函数的定义求解是关键.总结: (1)解决此类问题的关键是准确理解任意角的三角函数的定义.(2)注意问题:①对于不同象限的角,求其三角函数值时,要分象限进行讨论;②终边在坐标轴上的角不属于任何象限.考点二 求三角函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域: (1)sin tan y x x =+ ;(2)sin cos tan x xy x+=.解: (1)要使函数有意义, 必须使sin x 与tan x 都有意义, 所以,().2R x k k Z x ππ∈≠+∈⎧⎪⎨⎪⎩ 所以函数sin tan y x x =+的定义域为 2,k x Z x k ππ∈⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭.(2)要使函数有意义,必须使tan x 有意义,且tan 0x ≠ ,所以,2()Z k x k x k πππ⎧⎪⎨⎪⎩≠+∈≠所以函数sin cos tan x xy x +=的定义域为,2k x x k Z π≠∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭. (1)解题时要注意函数本身的隐含条件.(2)求三角函数的定义域,应 熟悉各三角函数在各象限内的符号,并要注意各三角函数的定义域 ,一 般用弧度制表示.考点三 诱导公式一的应用 【例3 】计算下列各式的值:(1) ()()sin 1395cos111cos 1020sin7500︒︒︒︒-+-;(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 解: (1)原式()()()()sin 454360cos 303360cos 603360sin 302360︒︒︒︒︒︒︒︒=-⨯+⨯+-⨯+⨯ cos30cos60sin30sin 45︒︒︒︒+=1122=⨯14=+=(2)原式()2sin 2cos 2tan 0465πππππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21sincos0652ππ=+⨯= . 利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数,也可把大于2π 的角的三角函数转化为0~2π 内的角的三角函数, 即实现了“负化正 ,大化小”. 要注意记 忆特殊角的三角 函数值.考点四 三角函数线的应用【例4】 利用单位圆中的工角函数线 ,分别确定角θ的取值范围.(1)sin θ(2)1co s 2-≤< .分析: 先作出三角函数在边界时的三角函数线,观察角在什么范围内变化, 再根据范围区域写出θ 的取值范围.解: (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围, 即,32223k k k Z πππθπ+≤≤∈+ .(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ 的范围,即22362k k πππθπ<--+≤+ 或22,326k k Z k ππθππ<≤+∈+ .解形如()f m α≤ 或()()1f m m α≥< 的式子时,在直角坐标及单位圆中标出满足()f m α= 的两个角的终边(若为正弦函数,则角的终边是直线y m = 与单位圆的两个交点 与原点的连线;若为余弦函数,则角的终边是直线x m = 与单位圆的两个交点与原点的连 线 ;若为正切函数,则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同). 根据三角函数值的大小,先找出α 在0~2π (或 ~ππ- )内 的取值 ,再加上2()k k Z π∈ 即可.。
三角函数性质与应用例题和知识点总结
三角函数性质与应用例题和知识点总结一、三角函数的基本定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦：对边与斜边的比值，即sinθ ＝对边／斜边。
余弦：邻边与斜边的比值，即cosθ ＝邻边／斜边。
正切：对边与邻边的比值，即tanθ ＝对边／邻边。
二、三角函数的性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin(x)，cos(x ＋2π) ＝ cos(x)；正切函数的周期是π，即 tan(x ＋π) ＝ tan(x)。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即 sin(x) ＝ sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(x) ＝ cos(x)。
3、值域正弦函数和余弦函数的值域都是－1, 1，正切函数的值域是 R（全体实数）。
4、单调性正弦函数在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ 上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ 上单调递减（k∈Z）。
余弦函数在2kπ, π ＋2kπ 上单调递减，在π ＋2kπ, 2π ＋2kπ 上单调递增（k∈Z）。
正切函数在（π/2 ＋kπ, π/2 ＋kπ) 上单调递增（k∈Z）。
三、三角函数的应用例题例 1：已知一个直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 2，求这个直角三角形的两条直角边的长度。
解：因为一个锐角为 30°，所以 sin30°＝ 1/2，cos30°＝√3/2。
设 30°角所对的直角边为 a，邻边为 b，则：a ＝ 2×sin30°＝ 2×（1/2) ＝ 1b ＝ 2×cos30°＝ 2×（√3/2) ＝√3例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的最大值和最小值，并求出取得最值时 x 的值。
解：因为正弦函数的值域为－1, 1，所以 2sin(2x ＋π/3) 的值域为－2, 2。
(完整版)三角函数知识点及练习题含答案,推荐文档
y
++
o -
-x
y
-+
o -
+
x
y
-+
o +
-
x
、、 、、、
、、 、、、
、、 、、、
6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM;
正切线： AT.
a的 的 的 P、 x,y) r
x
y T
P O M Ax
7. 三角函数的定义域： 三角函数 f (x) sinx f (x) cosx f (x) tanx
8．如果 π ＜θ＜ π ，那么下列各式中正确的是( )
4
2
A．cosθ＜tanθ＜sinθ
B．sinθ＜cosθ＜tanθ
C．tanθ＜sinθ＜cosθ
D．cosθ＜sinθ＜tanθ
9．若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角，则 P（cosB－sinA，sinB－cosA）在( )
A．第一象限
任意角
1．D 2．Ｃ 3．Ａ 4．Ｄ
三角函数
1．B 2．A 3． C 4．D 5． A 6． C 7．B
11．A
12．±4
4 ±
5
13． ［ π ， 3π ］ 14． 0 22
15．二
16．［0， π ］∪（ π ， π ］∪（ 3π ，2π） 17．（ π ， 3π
4
24
2
44
8．D
9． D
10． D
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；
④不相等的角，同名三角函数值也不相同．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若角 α、β 的终边关于 y 轴对称，则下列等式成立的是( )
初中三角函数知识点题型总结+课后练习
初中三角函数知识点题型总结+课后练习Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
45 锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC求：AB 及OC 的长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．C4.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.类型三. 化斜三角形为直角三角形例1 （2012?安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练1．（2012?重庆）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012?内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ）A ．12B ．55C ．1010D ．255对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值AC例1．求下列各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°=30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数. 例2．求适合下列条件的锐角??．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α（5）已知??为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值 （6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数. 例3. 三角函数的增减性1．已知∠A 为锐角，且sin A < 21，那么∠A 的取值范围是A. 0°< A < 30°B. 30°< A ＜60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°例4. 三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． 类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．（2012?福州）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ． 200米B ． 200米C ． 220米D ． 100（）米 例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ． 例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ．从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．例5．（2012?泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）A ． 10米B ． 10米C ． 20米D ． 米例6．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈，cos75°≈，tan75°≈，3≈，60千米/小时≈米/秒） 类型四. 坡度与坡角例．（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到海里，732.13≈)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=63． (1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长．（2011东一）2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A ，AF ⊥CD 于点F ．AB CD ECB A（1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．45（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1)求证：∠AOD=2∠C(2)若AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
三角函数例题和知识点总结
三角函数例题和知识点总结三角函数是数学中一个重要的分支，在解决几何、物理等问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些例题来深入理解三角函数的知识点。
一、三角函数的基本概念三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值。
例如，一个直角三角形的一个锐角为θ，对边为 a，邻边为 b，斜边为 c，则sinθ ＝ a/c，cosθ ＝ b/c，tanθ ＝ a/b。
二、特殊角的三角函数值我们需要牢记一些特殊角（如 0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
｜角度｜ 0°｜ 30°｜ 45°｜ 60°｜ 90°｜｜｜｜｜｜｜｜｜ sin ｜ 0 ｜ 1/2 ｜√2/2 ｜√3/2 ｜ 1 ｜｜ cos ｜ 1 ｜√3/2 ｜√2/2 ｜ 1/2 ｜ 0 ｜｜ tan ｜ 0 ｜√3/3 ｜ 1 ｜√3 ｜不存在｜三、三角函数的诱导公式诱导公式用于将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如，sin(180° α) ＝sinα，cos(180° α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波浪线，其值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝π/2 处取得最大值 1，在 x ＝3π/2 处取得最小值－1。
2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π的波浪线，值域为-1, 1，在0, 2π内，函数在 x ＝ 0 处取得最大值 1，在 x ＝π 处取得最小值－1。
五、例题解析例 1：已知sinα ＝ 1/2，且α为锐角，求α的度数和cosα的值。
因为sinα ＝ 1/2，且α为锐角，所以α ＝ 30°。
1.3三角函数的诱导公式(二)知识点归纳与练习(含详细答案)
第一章 三角函数§1.3 三角函数的诱导公式(二) 课时目标 1.借助单位圆及三角函数定义理解公式五、公式六的推导过程.2.运用公式五、公式六进行有关计算与证明．1．诱导公式五～六(1)公式五：sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝________. 以－α替代公式五中的α，可得公式六．(2)公式六：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________；cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝________. 2．诱导公式五～六的记忆π2－α，π2＋α的三角函数值，等于α的____________三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的________，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．知识点归纳总结：1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2±α(k ∈Z )”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．2．诱导公式统一成“k ·π2±α(k ∈Z )”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．一、选择题1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫72π－α等于( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13 B.13 C.－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( ) A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 3 6．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－23二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 8．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是______．9．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.10．已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.三、解答题11．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.12．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值．能力提升13．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )．14．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式 ⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．§1.3 三角函数的诱导公式(二)答案知识梳理1．(1)cos α sin α (2)cos α －sin α2．异名 符号作业设计1．A [f (cos 10°)＝f (sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.] 2．A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12. ∴cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－sin α＝－12.] 3．A [cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13.] 4．C [∵sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ，∴sin α＝m 2.cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32m .] 5．C [由cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，得sin φ＝－32， 又∵|φ|<π2，∴φ＝－π3，∴tan φ＝－ 3.] 6．D [sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)]＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)＝－2cos(75°＋α)＝－23.] 7．－13解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 8．1解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A )＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 9.892解析 原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 10．2解析 原式＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2. 11．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α ＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．12．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169. ① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169， 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713， ③ sin α－cos α＝713， ④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 13．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.14．解 由条件，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋sin 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-锐角三角函数
初中数学竞赛辅导讲义---锐角三角函数古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：1．单调性；2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=ααcos sin ，ctg α=ααsin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．【例题求解】【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=135=AC CD ，tanB=2=BDCD，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21==； （2）R CcB b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3D ．23-思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=1312，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=ACAD=1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．学历训练1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如果cos α>21，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．4．化简(1)263tan 27tan 22-+οο= ．(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．丙的最高C ．乙的最低D ．丙的最低6．已知 sin αcos α=81，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )A ．23 B ．23- C ．43 D ．43-7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值是( )A ．3B ．32C ．23 D ．43 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=51，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ． 1D ．229．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=43，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=1673，则sin α= ．12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．61 B ．51 C ．92 D ．103 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A ．2 B ．23C ．1D ．2116．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=23，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．29 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实根的平方和为6，求△ABC 的面积．18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．参考答案。
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)
中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数 正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来 度数三角函数[来源:Z 。
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]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________． 【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二 ：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ． 在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ． 答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。
《三角恒等变换》知识点及常见题型总结
简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换 要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
初中三角函数复习练习题含答案
M 虬城「I ：的境堰为h JL 刪贱创址 叫.初中三角函数复习练习题一*逸择碍1. 若 为说用 F II ^ill CK - f + 则苗 II Ct 'h{93 3 4—*R.— C\— D.一 255 4』2. 为血/XABC I 」* zT = 90fl ・下列儿产於一定成心的楚（）Ax $inA - sinB3- cosA-sinB C- s inA=cosBB- * *"_ g=903. 和角三加旳的吗边壮井别<6・8・也第三边的快为*）A ，IQ B, 2 42 C. lOiiUV^ D-七甘;确宦L 在RtAABC 中.ZC^O 1・艸己知IZA 和a 时.球s 应琲择的关系式乩（S, sin45 -co<>457, 巧視堆 a >30 时.則 cos Q 的ffi JiL （）A.人于丄B.小F 丄 U 人片亜 D.小F 亜■ ■斗 4»8, 小明蹄坡谢为3（T 的域面向下虐了 2米,廉么他下箭I 1A. 1B. J5 星 c九送返* 丄 4 liUH^ABCD 屮* . A=60: •.飞兀 0=90：・ BC-2, 0=3. '4^6=）410. CMlKtAABC 'h- ZC=90J ・ tanA=- . BC 瑙.W'J AC f 「）33 rA. 6B. —C. 10 九 12 3:.填空题11. 计ft 2sin30° -SeoifiO* ^3tan45; -.._>12 Fi £iii29 ' =eos < * 则“ - _________ .13+ L LXU 八ASC 中* . U90 , AS=1$. AV 卿 “nA= _____________ .B. c = ---------co^Aa Tan JB,屁】D, 1A- 3中.ZO90c良300:anAC50I 10，则 SZ ABC 写 1 ■: D, 15sin AD<S) L !1|.'C=20* . A=&0 ⑷⑵已知■书.「B=35值vt 牌下対養J®.f" iin :30v *CW !15' *^/2 H D «,・ ian!5 t邑3眄上強我60：Tau60J > tan30QiinW.恋為点测制■草的种用为妙.向高楼療琏前来刖c 点.史講褐慟輔为斗賢.划谏府窿 的岛復尢料好 九駝索B, 163 ItG 52D. 70耐.如囲，外■捋漏療豪豐放從卑鳶杆拥联都幅却血的亡號・tHrMMtt 的离度m=i ・ Mfi«RF«4y ：*i □—住■・ m ；朗m _______________________ . - ii L-.' riMvr ：'； i三、斛齐縣第.111下卿兼件*vn 阳二AT 书t 4-RtAABC 中.ZC=90* ii Li 已知¥冬 W +<2）己1Slb 可仙,"30. 3 両状■再■而卜的■介酩一盘是当RI贰舟地血慮醴■时* m一次肚可層丿甩仰成30时.那执锐耿朝叮鄭门匕附igt；若中枭？21. tatU. A3 iCil.北岸灌江踣一乩氏为3 F瓠C为幽岸一*口.为『飆按两熄如IEH聲■抱"Jh ic 社緊稲.绘测斤都人任f北甜芹30*方FM’Bm的航北厅向•忒t处堆接河岸的址虹的祈抡娄少' CM 曲河0. U22.册码点A星一牛半忡为300能的瞬用缚林羔冋的中d 邂療林驚闻附近弃3、C闿个村用「6. B. C IMO *的笔闫舍端将种村）£雄，赠利咼NAB4骑冷ZA CB=3*T＜问此处挤也代盘毎过饯厲井公回¥请通过计脱H】世明.20*轴一次堰靠药的审户检为孕《fr«・*5C 議八 期二决燥泰到的舉户良为6 XwtW* =5石<*:) 咼狀册烷到的毎fl£的 轧答案部分2.A 氛C 〔戊此唸为色的迦U 呵険为配角也也可慨力料辿【穴買]Hn4-”旳厲严—— cSUlyi札E> T. D 出圍余就值葩新曲纜的堀炯M ・“恥■ t 旳铀J 亚・ffiUcow< —-Bp 10. A >'i.K\a!lA= ------------ ・ AC=AC tau JBC £71-JJ :穴抑 Sbt 电 *3乂1=訐 JJ.— [F 惓:B O J H 肝—討L 二/尸-贰二怜t»A=BC 12------ 二一 ■AC S加損：如M 的正切“n 心击■普，解壯切 .6-^3 f I > w萨 t I - 护=J# + 於 斗 J?：B 1& 82 米力 r RtX4BC' 丨 I. a = —b 10 10j5 b 101020^3UnB Ei60* JJ 3 sin 5^ui60° 3A'9Q B-90 T) =3(T(3)1 s cXftihA=^X —±^7? « b=4X<OA&0, =10X 1=5.疋B=s 『亠/A 期F 』0‘ =W° ■* 19= 炉丄 《 I r "丄U "丄)J) "F ^3 L l Is ——^-=—t +-^™亍1亍 卡I P■■F —dsF**21. 'AC^ CD1.KB : /• D.A.H 22,解；(\ RtAABH'l 1. BH 二 __iaji45°(VRCAACH'I 1，CH =tan 30°AH AH-------- ■+ -------- - = 1000 fan 45° 怡 ii 30° A AH = 500^3 - 500 > 300二不会穿过CD 就处连接两岸瑕如的桥.RFf 角三甬形 BCD 中* ZKD= I5C ・ /fiWBD=CD=x3。
初中三角函数知识点+题型总结+课后练习
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如以下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义表达式取值围关系正弦 斜边的对边A A ∠=sin caA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A A余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot abA =cot0cot >A(∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在 αcot不存在3133 0对边邻边 斜边 B锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．3．：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：1．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．8AB =，10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，假设1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =3316求∠B 的度数及边BC 、AB 的长. 类型三. 化斜三角形为直角三角形例1〔2021•〕如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．例2．：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．例3．：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ABC 的值．对应训练 1．〔2021•〕如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．假设AB=2，求△ABC 的周长．〔结果保存根号〕2．：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形例1 〔2021•江〕如下图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为〔 〕 A ．12 B ．55 C ．1010 D ．255DABC对应练习：1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.特殊角的三角函数值例1．求以下各式的值︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°= 030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，假设0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 例2．求适合以下条件的锐角．(1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α〔5〕为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值〔〕在ABC ∆中，假设0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数 例3. 三角函数的增减性 1．∠A 为锐角，且sin A <21，则∠A 的取值围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. A 为锐角，且030sin cos <A ，则 〔 〕A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用1．：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. ：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ． 解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如下图)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ， ①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如下图)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)：,9,23tan ==b B 求a 、c ； (5)：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．例3．：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD 的长． 例4．：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长． 类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：例1．〔2021•〕如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是〔 〕 A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100〔〕米例2．：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．例3〔昌平〕19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.例5．：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)． 例5．〔2021•〕如图，为测量*物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为〔 〕 A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米 D ．米 例6．〔2021•〕超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离大道的距离〔AC 〕为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． 〔1〕求B 、C 两点的距离；〔2〕请判断此车是否超过了大道60千米/小时的限制速度.〔计算时距离准确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒〕 类型四. 坡度与坡角A B CD EA例．〔2021•〕如图，*水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是〔 〕A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少"(准确到0.1海里，732.13≈) 综合题：三角函数与四边形：〔西城二模〕1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=63． (1)求BD 的长； (2)求AD 的长．〔2021东一〕2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE BC E AF ⊥CD 于点F ． 〔1〕求证：∠BAE =∠DAF ； 〔2〕假设AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF 的长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与*轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC 的值为〔 〕 A ．12 B ．32C ．35D ．45〔延庆〕19.：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,(1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 假设AD=8，tanC=34，求⊙O 的半径。
锐角三角函数 知识点总结+典型例题
AB= BC = 5，
sin A
4 5
，求
B
解：作BD⊥AC于点D， ∵ sin A 4
∴ BD AB sin A 5 4 4，
5
5
AD AB2 BD2 52 42 3.
，
5 A
5
C D
又∵ △ABC 为等腰三角形, BD⊥AC, ∴ AC=2AD=6，
∴S△ABC=AC×BD÷2=12.
斜边c
B ∠A的对边a
sin A=∠A斜的边对边 cos A=∠A斜的边邻边
A ∠A的邻边b C
tan A=∠∠AA的的对邻边边
锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数.
已知直角三角形两边求锐角三角函数的值
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10， BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.
解：由勾股定理,得
B
因此 sin A BC = 6 = 3，
AB 10 5
10
6
A
C
cos A AC 8 4 , tan A BC = 6 = 3 .
AB 10 5
AC 8 4
已知一边及一锐角三角函数值求函数值
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
求sinB的值.
sin A 5, AC=12.
13
B
解:在Rt △ABC中,
13 5
设AB=13x，BC=5x,;122=(13x)2.
C 12
解得x=1.所以AB=13，BC=5.
因此 sin B AC 12. AB 13
如图，在 △ABC中， △ABC 的面积.
正弦:
sin
A
A的对边 斜边
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锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b の平方和等于斜边c の平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A の锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切 的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A A余切 的对边的邻边A A A ∠∠=cot a bA =cot 0cot >A (∠A 为锐角)3、任意锐角の正弦值等于它の余角の余弦值；任意锐角の余弦值等于它の余角の正弦值。
4、任意锐角の正切值等于它の余角の余切值；任意锐角の余切值等于它の余角の正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角の三角函数值(重要)三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan 0 33 1 3 不存在αcot不存在3133 0)90cot(tan A A -︒=)90tan(cot A A -︒= B A cot tan = B A tan cot =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 Bba cA90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．2．已知：如图，⊙O の半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC の长．3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O の半径OA の长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ．4.已知A ∠是锐角，178sin =A ，求A cos ，A tan の值类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边の点F 处．已知8AB =，10BC =,则tan EFC ∠の值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．453. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD の长为( )A ．2 B ．2 C ．1 D ．224. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A の平分线AD =3316求∠B の度数及边BC 、AB の长.类型三. 化斜三角形为直角三角形A D ECBFDABC例1 （2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求ABの长．例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，⋅=31sin A(1)求AB边上の高CD；(2)求△ABCの面积S；(3)求tan B．例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABCの值．对应训练1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABCの周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABCの面积等于9，求sin B．类型四：利用网格构造直角三角形例1 （2012•内江）如图所示，△ABCの顶点是正方形网格の格点，则sinAの值为（）A．12B．55C．1010D．255对应练习：1．如图，△ABCの顶点都在方格纸の格点上，则sin A =_______.特殊角の三角函数值例1．求下列各式の值︒-︒+︒30cos245sin60tan2=. 计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°=CBA30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒=在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠の度数.例2．求适合下列条件の锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α(4)33)16cos(6=-οα（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan の值（6）在ABC ∆中，若0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠の度数.例3. 三角函数の增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A の取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中の应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形の周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．解直角三角形：1．在解直角三角形の过程中，一般要用の主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间の等量关系：________________________________．②两锐角之间の关系：__________________________________． ③边与角之间の关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例の线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．类型一例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC の面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC の长．例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求AD の长．例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC の长．类型二：解直角三角形の实际应用 仰角与俯角：例1．（2012•福州）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点の俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处の高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点の距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点の梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子の顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子の顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面の垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面の垂直距离BC ．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山の高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置の顶端A の仰角∠DCA =60°， 测得山顶B の仰角∠DCB =30°，求风力发电装置の高AB の长．例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒の直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树の高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C の俯角为30°，测得岸边点D の俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直の缆绳AC ，求山の高度及缆绳AC の长(答案可带根号)．例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB の高度，在D 点测得A 点の仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A の仰角为60°，则物体AB の高度为（ ） A ． 10米 B ． 10米 C ． 20米D ． 米例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故の主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学の知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道の距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用の时间为8秒，∠BAC=75°．A BCD E（1）求B 、C 两点の距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时の限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：si n75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）类型四. 坡度与坡角例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB の坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB の长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m类型五. 方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里の速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间の最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°AB=BC=2， tan ∠BDC=63． (1) 求BD の长； (2) 求AD の长．（2011东一）2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ． （1）求证：∠BAE =∠DAF ； （2）若AE =4，AF =245，3sin 5BAE ∠=，求CF の长．三角函数与圆：1． 如图，直径为10の⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴の正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，CB A则cos ∠OBC の值为（ ） A ．12BC ．35D ．45（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O の切线，连接AC 与⊙O 交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C(2) 若AD=8，tanC=34，求⊙O の半径。