17589第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象
边界层理论PPT课件
第四节 平板绕流摩擦阻力计算
所以，总阻力
S LB yx
y0
1 2
C
f
2
0
LB
0.664 03B2L
另一方面，由边界层积分方程的解，也可以计算 出层流平面绕流摩擦阻力，
即由
和 x
0
3 2
y
1 2
y
3
4.64 x 4.64 x
0
Rex
可得到
x 3 1
yx y0
y y0 2 0
x
y
y
y
Y
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
y方向动量传输方程
注：x
t
x
x
x
y
x
y
z
z
z
X
1
p x
2x
x2
2 x
y 2
2z
z 2
第8页/共48页
第二节 方程）
平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分
考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质
量力对流动产生的影响较小，则有方程组
m l
m x x
m x
d dx
l
dy x
0
x
BC面在边界层之外，流体沿x方向的速度近似等于υ0，故此由BC面流入 的动量在x方向的分量Ml
M l
m l0
0
d dx
l
dy
x
x
0
4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，其值为τ0，故此由
AD面在单位时间内传给流体的粘性动量为τ0Δx。
2! 2 5! 4 8!
8 11!
n1
边界层理论
x x 2 x x y x y y 2
y
U y 2 x g ( x)
g ( x)
2 x U
( x, )坐标下流函数
f ( )
f
2U x
2U
x f ( )
( x, y )
坐标下流函数
( x, y)
u y
v
U f f ' 2x
《高等流体力学》
汪志明教授
22/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯解—数值解
用数值的方法直接求解勃拉修斯方程的一些结果
0.0
f
0.0000000
f'
0.000000
f ''
0.469600
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
《高等流体力学》
v x
汪志明教授
20/124
§4 半无限大平板层流边界层勃拉修斯方程
x y 0 x y
y0 y u v 0 u V
x
x x y x x y y 2
2
u
y y
不可压缩粘性流体稳定、二维层流流动N-S方程
2 x 2 x x x 1 p x y gx x 2 y 2 x y x 2 y 2 y y y 1 p x y gy 2 x 2 x y y y
0.423368
0.410565 0.395984 0.379692 0.361804 0.342487 0.321950
1.8
1.9
第五章 边界层理论
1Transport Phenomena, Xu Jian, 2009第五章边界层理论边界层概念 边界层方程 边界层分离2Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念在上述层流动量传递的若干实例的分析中，(1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、忽略进口段影响。
实际问题要复杂得多。
边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传递过程和质量传递过程有着密切的关系。
3Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一的流场，划分成两个区域，边界层和外流区；其流体流动（沿流动方向和沿与流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁面影响的区域。
边界层的形成：¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ¾U ＝0Æ0.99 U 04Transport Phenomena, Xu Jian, 20095Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念流过一物体壁面的流体分成两部分¾边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力¾外流区，理想流体，可以忽略粘滞力6Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层理论的要点边界层厚度δ的变化¾前缘处，δ＝0¾x ↑, δ↑；沿壁面的法向将有更多的流体被阻滞¾δ<<x边界层内，δ<<x （距离很小）；0Æ0.99 U 0（速度变化大）¾速度梯度很大，剪切力很大¾流体速度减慢Æ惯性力<<层外，惯性力与粘性力数量级相当7Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层流动的转变x<x c (临界距离)层流边界层 过渡区 湍流边界层转变判据：¾临界值：5×105；¾特征长度：距前缘的距离；¾特征速度：来流速度0Re xU ρμ=8Transport Phenomena, Xu Jian, 2009圆管进口段效应靠近管壁部分：边界层，速度减慢；厚度不断增大，进口段长度之后，汇交在管中心处；充分发展段的流动状态取决于交汇处边界层的流动状态；进口段的中心部分：无粘性流动区，速度均匀，区域不断缩小，在边界层汇交时消失；沿程速度不断增大Î压降增大（附加压降）；9Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2 边界层方程普兰德边界层方程：量级比较 边界层积分动量方程：动量衡算沿平壁层流边界层的计算：动量积分方程的应用10Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程2222222211x x x x xy y y y y x y u u u u P u u x y x x y u u u u P u u x y y x y μρρμρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流2222221x x x x Du u u u PDt x x y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠2222221y y y yDu u u uPDtyx y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠不可压缩流体的Navier-Stocks 方程不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：y0x u u x y∂∂+=∂∂连续性方程：11Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程普兰德首先发现可以通过比较数量级简化方程：¾Re 较大时，边界层的厚度δ<<x¾边界层内的惯性力和粘性力数量级相当 标准数量级：¾x 为距离的标准数量级，记为x=O(1)¾u 0为速度的标准数量级，记为u 0=O(1)¾边界层厚度δ的数量级记为δ= O(δ)，远远小于O(1) 其他物理量的数量级：¾u x 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)¾y 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)12Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级(1)(1)(1)x x u u O O x x O ∂Δ≈==∂Δ()222(1)(1)(1)(1)x x u u O O x O O x ∂Δ≈==∂Δyx u u x y ∂∂+=∂∂(1)x u O x∂=∂+(1)y u O y∂=∂()y u O δ=(1)1()()x x u u O O y y O δδ∂Δ≈==∂Δ()22222(1)1()()x x u u O O y O y δδ∂Δ≈==∂Δ22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠数量级(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δ13Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δInertial Force=Viscous Force:2()O μδρ=1(1)PO xρ∂≤∂22221y yy yx y u u u u P u u x y y xy μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)()δ×()(1)δ×()δ1()δ2()δ()δ≤()δ(1)14Transport Phenomena, Xu Jian, 2009普兰德边界层方程2210x x xxy yx u u u dP u u x ydx y u u x yμρρ∂∂∂+=−+∂∂∂∂∂+=∂∂000x y x y u u y u u ====∞=时，时，普兰德边界层方程B.C.通过数量级比较得到的简化方程：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re 比较大15Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.2 边界层积分动量方程卡门避开使用N-S 方程，直接对边界层进行衡算x 方向质量衡算：¾左侧进入：¾右侧流出：¾上部外流区进入yxz dxdy 1个单位距离δlyu 0, ρμlx u dy ρ∫()00ll x xu dy u dy dxxρρ∂+∂∫∫()lx u dy dxxρ∂∂∫()()2220000000u (-u )ll l l x x x xlx x u dy u dy dx u dy u dy dxx xdx u u dyx ρρρρρ∂∂+−−∂∂∂=∂∫∫∫∫∫x 向净动量变化率：不可压缩流体沿平板壁面的稳态二维流动16Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程作用于控制体的x 向外力¾壁面剪切力：¾作用在左右侧面的压力差：1s dx τ−⋅⋅1Pdx l x∂−⋅⋅∂00(u )l x x s Pu u dy l x xρτ∂∂−=+∂∂∫0[,]x y l u u δ∈=00(u )x x sP u u dy x xδρδτ∂∂−=+∂∂∫只考虑x 方向的流动00(u )x x s d dPu u dy dx dxδρδτ−=+∫边界层内外压力近似相等00(u )x x sd u u dy dx δρτ−=∫卡门边界层积分动量方程17Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数等；方程有u x ，τw ，δ三个变量，需要补充u x =f 1(y)，τw =f 2(δ)的关系；需要预先假定一个速度分布方程才能求解，故只能算是一种近似的方法。
第五章 边界层理论
A2 0.332
x
v0
是平板流动边界层微 分方程解的最终结论。
5.0
5 .0
5.3. 边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立
M x ux dy
0 2 Wx uxux dy ux dy 0 0 l l
l
M x x
d l x u x dy u dy 0 0 x dx
速度的0.99处到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。
层流 底层
5.1. 边界层理论的基本概念
2 边界层的形成与特点：
① 形成：
流体流过平板，与平板紧临的流体受平板阻力而与平
板相对静止，边界层其余内各层流体自上而下依次受到 下层流体的粘性力作用而速度逐渐减小，这样就产生了 速度梯度较大的边界层。
5.1. 边界层理论的基本概念
d u0 u x u x dy 0 0 dx 3 ux 3 y 1 y u 2 2 0 u x y 0 0 a0 u x y u 0 2 3 u u a by cy dy y u0 b 3 u0 x y x y 0 2 y u x 2 b 2cy 3dy 2 0 u0 y y ux d y 0 3 2 y 0 2 y 2u x 2c 6dy y 0 2c 0 2 c0 y y 0
长度L,宽度B的平板总阻力
积分方程的解
4.64 x
v0 4.64 1 Re x
3
S
B
0
L
0
y 0
dxdz
3 0.646 v0 LB
第五章边界层理论
Y方向
按边界层概念: 边界层以外势流区的速度u∞不变,所以也不存在压力梯度 进一步简化：
H.布拉修斯对上述方程组进行了解析,引入流函数ψ(x,y),将 偏微分方程组化为可以解的常微分方程：
通常规定：u=0.99 u∞的位置为边界层的外边界线
5.2 平面层流边界层微分方程
以不可压稳态层流边界层为例： 1.微分方程建立与简化：
控制方程（二维，不可压，稳态，层流，不考虑质量力）
v x vy 0 x y
连续性方程
N-S方程
2v x 2v x v x v x 1 p vx vy 2 2 X方向 x y x x y
1.328 C f 1.328 0 L Re L
x 4.64 Re x
其中：Re L
不可压层流平板绕流摩擦阻力系数:
0 L
v
其总阻力：S
Cf 2
2 0 LB 其中L为平板长度，B为平
板宽度。
1. 平板紊（湍）流中速度分布与边界层厚度关系:
x y 17 ( ) 0
将流函数带入上面的方程组 并认为层流边界层内沿x轴各截面的速度分布图象相似 vx y F( ) v 又依
x
1 Re
则
x Re
y
y x Re
5.3 不同条件下边界层厚度与摩擦阻力系数
1. 平板层流中速度分布与边界层厚度关系:
x 3 y 1 y 3 ( ) ( ) 0 2 2
第五章 边界层理论
王连登 liandeng@ 13506970553
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一．边界层理论1.问题的提出在流体力学中，雷诺数Re∝惯性力/粘性力，当Re<1时，惯性力<<粘性力，可以略去惯性力项，用N-S方程解决一些实际问题（如沉降、润滑、渗流等），并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力，略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论，即大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固壁的极薄流层中，惯性力≈粘性力，这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
可按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），ux＝0.99u∞，δ为流动边界层厚度，且δ＝δ(x)。
Ⅱ传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时，在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），ts－t＝0.99(ts－t0) ≈ ts－t0，δt 为温度边界层厚度，且δt＝f(x)；ts为壁面温度；t0为热边界层外（主流体）区域的温度。
第5章-边界层理论基础PPT课件
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略， 但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略， 否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用 于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层 的计算，主要目标是边界层厚度和曳力 子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛 物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗 糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈 粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便 可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。
【材料加工中的传输现象】第五章
第四章 层流流动及湍流流 动
第四章 层流流动及湍流流 动
第四章 层流流动及湍流流 动
第四章 层流流动及湍流流 动
第四章 层流流动及湍流流 动
量纲分析法：
量纲和谐原理指出，要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，其所 遵循的物理方程式各项的量纲必须一致。这是量纲分析法的基础。
当某个流动现象未知或复杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲 分析就是一种强有力的科学方法。这时只需仔细分析这些现象所包含的 主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为 数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头绪。
第四章时候，管壁突出高度进入了边界层，流 体经过突出部分的时候形成了碰撞，加剧了湍动，并且突出 部分后面会形成漩涡消耗能量。此时管称为水力粗糙管。
第四章 层流流动及湍流流 动
四、湍流运动中的速度分布 1.湍流的脉动附加阻力
湍流中的脉动使流体质点之间发生交换，引起了附加阻 力。按普朗特混合长度理论，对单位面积的附加阻力即切应 力为
具体讲就是从固体壁面到流速为主流区速度的99% 处的位置。这一定义对层流和湍流都一样。
第五章 边界层理论
第五章 边界层理论
二、平面层流边界层微分方程 1.微分方程的建立层 等式建立在边界层理论和边界层厚度薄的特点上，连续性方程和纳维 尔-斯托克斯方程，将无限小的量化简去掉。
首先根据二维平面不可压缩层流稳定态流动在直角坐标系下的控制方 程：
第五章 边界层理论
因为质量力影响不大，这里已经忽略了质量力 这里第二式为x方向的动量传输方程所以可以简化第二式为
第五章 边界层理论
第五章 边界层理论
第五章 边界层理论
三、边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立 以二维绕平面流动为例导出边界层积分方程，如图所示，对控制体做动 量平衡计算，分abcd四个面上取 动量M = 质量m X V 建立等式
空气动力学：第5章 边界层理论及其近似
物体的特征长度。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层位移厚度
假设某点P处的边界层厚度是 ，则在 的范围内 以速度 ue 流动的质量流量是：
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
y 2
0 ，因而
z
t
0
。
在
z
的极大值点，2
x2
z
2
y 2
z
0 ，因而
z
t
0
。
这就说明了，在粘性流体中，不均匀的涡量场 是不断变化的，涡较强的部分要变弱，而涡较弱的 部分要变强。总的说来，趋向于涡量场强度“拉平 ”，就好像旋涡在扩散一样。
EXIT
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计 根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边
（2）法向速度远远小于纵向速度。
v~
t
~
L / ue
L
ue
,
v ~
ue
1, Re
u
~
L t
ue ,
v u
（3）边界层内的压强量级与外流速度的平方成正比。
p ~ ue2
将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到
EXIT
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
N-S方程组与各项量级比较:
u v 0 x y
EXIT
5.1、边界层近似及其特征 （b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，
也适用于湍流。 （c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布
第五章边界层理论解读
第三节
以二维绕平面 流动为例来导出边 界层积分方程，如 固5-2所示。 首先对控制体 （单元体）做动量平 衡计算（在计算过程 中取垂直于纸面 z 方 向为单位长度）：
边界层内积分方程
1）流体从AB面单位时间流入的动量记为 Mx 。由 图5-2知，从 AB 面单位时间流入的质量为
(5-10) 2）流体从 CD 面单位时间流出的动量记为 Mx+∆x： 从 CD 面单位时间流出的质量为
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界 层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层 最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流 底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该 层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特 别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。 层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是 根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动 既可以为层流，也可以为湍流。
(5-14)
由动量守恒可得结
本章重点叙述了边界层的概念、特点，建立了边界 层的微分方程、积分方程，并介绍了求解方法。对平板 绕流摩擦阻力的计算也进行了简要介绍。实际上，边界 层理论是在数值模拟技术没有发展起来之前，人们为了 运用流体流动的控制方程去解决工程实际问题的一部分 重要工作。尽管现在数值模拟技术已经能够处理某些真 三维实际流体的运动规律，但是通过边界层理论的学习， 仍然可以领略前人在处理实际流体流动问题上的输妙简 化与抽象思考，这是科学方法最突出的特征，这是精确 的数值模拟所不能替代的。
（1）层流区：流体统流进入平板后，当进流长度不是 很长，x＜xc(xc为对应Rex＝2×105的进流深度)，这时 Rex ＜ 2×105，边界层内部为层流流动，这一个区域称 为层流区。
边界层理论
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内部也会发生变化。在边界层形成 初期，边界层厚度较小，其内部流动为层流，该区域称为层流边界层。当其 厚度达到其临界厚度δc或临界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过渡区转变 为湍流，此后的边界层称为湍流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄的一层 流体内，仍然维持层流，称为层流内层。
边界层理论
主要内容
前言 边界层的形成 平板层流边界层 圆管内的边界层 边界层的分离
前言 在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支：一是研究流体
运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的运动规律。另一个是不用数 学理论而完全建立在实验基础上对流体运动进行研究，解决了技术发展中 许多重要问题，但其结果常受实验条件限制。
这两个分支的研究方法完全不同，这种理论和实验分离的现象持续了 150多年，直到本世纪初普朗特提出了边界层理论为止。由于边界层理论 具有广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体动力学 的一个重要领域。今天主要介绍边界层的基本概念及研究方法。
路德维奇.普朗特（Ludwig Prandtl） 1875年2月4日出生于德国的弗莱辛
1953年8月15日卒于哥廷根 现代力学的奠基人之一，普朗特的开创性工作，将 19世纪末期的水力学和水动力学研究统一起来，被 称为“现代流体力学之父”。除了在流体力学中的 研究工作，还培养了很多著名科学家，对我国流体 力学研究做出奠基工作的陆士嘉教授也曾是普朗特 的学生。
第一节 边界层的形成
一般认为:
边界层中的流动状态
第五章 边界层
对于实际流体的流动，无论流动形态是层流还是紊流，真正能求解的问题很少。
这主要是由于流体流动的控制方程本身是非线性的偏微分方程，处理非线性偏微分方程的问题是当今科学界的一大难题，至今还没有找到一套完整的求解方案。
但在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或管道限定的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速度的梯度很小。
对于具有这样特点的流动，控制方程可以简化。
首先，由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将不考虑粘性力的存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程就可求解。
而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程简化后再去求解。
这样对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。
第一节边界层理论的基本概念一、边界层的定义流体流经固体表面时，靠近表面总会形成一个薄层，在此薄层中紧贴表面的流体流速为零，但在垂直固体表面的方程（法向）上速度增加得很快，即具有很大的速度梯度，甚至对粘度很小的流体，也不能忽略它表现出来的粘性力。
（因此，流体在绕流过固体壁面流动时，紧靠固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层称为边界层。
）而在此边界层外，流体的速度梯度很小，甚至对粘度很大的流体，其粘性力的影响也可忽略，流体的流速与绕流固体表面前的流速v0一样。
可以把这部分在边界层外流动的流体运动视为理想流体运动，不考虑粘性力的影响。
边界层内、外区域间没有明显的分界面，而把边界层边缘上的流体流速v x视为v x=0.99v0，因此从固体表面至v x=0.99v0处的垂直距离视为边界层的厚度δ。
二、边界层的形成与特点边界层内的流动可以是层流，也可以是带有层流底层的紊流，还可以是层流、紊流混合的过渡流。
评判边界层层流或紊流的参数为雷诺数Re=vxρ/η，式中v为边界层外边界上流体流速，x为距边界层起点的距离（即流体进入平板的长度）。
5边界层理论
p 2 2 u ) Fy ( 2 2 ) y方向动量微分方程 （ x y y x y
二、流动边界层
1. 定义：当流体流过固体壁面时,由于流体粘性的作用,使得 在固体壁面附近存在速度发生剧烈变化的流体薄层称为流 动边界层或速度边界层。
传Байду номын сангаас学
对流传热微分方程组 边界层理论
一、对流传热微分方程组
二维、常物性、不可压缩流体对流传热问题
对流传热微分方程式
hx
t t w t y
y 0, x
2t t t t 2t c p 能量微分方程 u x y x 2 y 2 u 0 连续性方程 x y u u u p 2u 2u u ) Fx ( 2 2 ) x方向动量微分方程 （ x y x x y
三、温度边界层（热边界层）
1. 定义：在对流传热时，固体壁面附近温度发生剧烈变化的 流体薄层称为温度边界层或热边界层。
2. 温度边界层厚度δ t的规定：
过余温度等于主流区流体的过余温度的99%。
t t w
t
99%t t w
3. 特点：
温度边界层厚度δt也是比壁面尺度 l 小一个数量级以上的小量即 δt << l。
2. 速度边界层厚度δ 的规定：速度等于主流速度的99%。
3. 特点：
边界层厚度δ是比壁面尺度l 小一个数量级以上的小量，即δ<< l。
如：20℃空气在平板上以16m/s 的速度流动，在1m处边界层的厚度约为5mm。
5
cm 4
3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
流体力学6-4
利用卡门涡街的特性, 利用卡门涡街的特性,可制成涡旋流量计
卡门涡街不利的一面 卡门涡街涡旋的交替脱落可能会引起设 备的共振,从而造成设备的损坏. 备的共振,从而造成设备的损坏.
如电厂锅炉中的空气预热器, 如电厂锅炉中的空气预热器,空气横掠 管束, 管束,设计时需要避免涡旋脱落频率与 设备固有频率相近,以免引发共振, 设备固有频率相近,以免引发共振,造 成设备的损坏. 成设备的损坏.
δ = 0.37x Re1/ 5 x
摩擦阻力
FDx = 0.036blρV 2 Re l1 / 5
摩擦系数
Cf = FDx 1 ρV 2 bl 2 = 0.074 Re l1 / 5
§3边界层的分离与卡门涡街
边界层的分离:当流体绕流非流线型物体 时,物面上的边界层在某个位置开始脱离 物体表面,并在物体表面附近出现回流, 这种现象称为边界层分离现象.
流体力学 (6)
第五章 边界层概述
§1流体流动的两种状态(书p76) 雷诺实验(1883年) 层流和湍流 雷诺数
Re = ud
γ
§2边界层的概念 流体绕流物体时,粘性对流动的影响 主要限于紧贴固体壁面的一薄层中, 这一薄层称为边界层. 这一理论由德国科学家普朗特于 1904年提出
以流体绕流圆柱体为例: 流动可分为三个区:边界层,尾流区和外 部势流区
马格纳斯效应
§4流体绕流的阻力和阻力系数 流体绕流的阻力和阻力系数
流体的绕流阻力 摩擦阻力 压差阻力
1 2 FD = C D ρV A 2
C D = f (Re)
Re=15,000 流体绕流球 体的边界层 分离点向后 移 Re=30,000 球体前端绕 有一细带
流线型物体的阻力系数远小于其他 物体(分离点后移) 物体(分离点后移)
第5章 对流传热理论与计算-4-实验研究法
u u u 2u 2u u 2 2 y y y ( Ly ) L y L y 2
29
二 确定相似特征数的方法
u u u u v x y y 2
2
u u u u u 2u uu vu 2 2 L x L y L y
u u 2u u v 2 x y Lu y
无量纲化的动量方程
u u 1 u u v 2 x y Re y
2
30
二 确定相似特征数的方法
t t 2t u v a 2 x y y
t t tW t x Lx L x
业学校任教。
40
对流传热理论研究具有独创性，成为发展对流传热理论 的杰出先驱
在1909年及1915年先后发表两篇论文 ——对对流传热的数学模型进行量纲分析，用因次分析 方法导出对流传热的准则数
——提出了理论解应具有的准则数之间函数关系的原则
形式
结束了长期以来对流传热实验数据得不到很好整理的局
2
t t x L x
t t y L y
t t 2 2 2 y L y
2 2
2
t t t uu vu 2 a 2 L x L y L y
a u v x y Lu y 2
—对流传热中的Re数和Pr数对表面传热系数的影响程
度不同，Re数的影响是主要的，Pr数的影响是次要的
16
实验时可用 Pr 数相近的流体代替原流体，简化实验 例如要做锅炉烟气或热空气强迫对流传热实验 ——可用常温下的空气做流体代替烟气或热空气 ——实验设备简单，设备费和实验费大大减少，操作方
第5章 对流传热理论与计算-3-边界层理论ppt课件
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4
§5-3 边界层概念及边界层换热微分方程组
★普朗特提出了边界层理论 ★边界层理论的意义：简化N-S方程，得到分析解 ★类似于流动边界层，提出了热边界层，以简化能量方程
1904年，德国科学家普朗特 L.Prandtl
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5
普朗特
❖ 普朗特（Ludwig Prandtl 1875~1953）德国力学家。 近代力学奠基人之一
x y
y x 2 y 2
t t t
2t 2t
uxvya(x2y2)
h 最新t版整理ytpp|ty0
3
§5-3 边界层概念及边界层传热微分方程组
对流项的非线性
u u u x v u yX 1 p x ( x 2 u 2 y 2 u 2)
目前为止完整的动量方程方程仍然没有求出解析解
48
2 热边界层
❖ 热边界层——壁面附近温度发生剧烈变化的区域 ❖ 热边界层厚度将随着壁面加热或冷却作用而不断加厚
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49
❖ 受管内空间限制，在离管入口的某个长度处，热边界层 充满整个管道
❖ 换热充分发展——热边界层厚度达到管半径的对流传热 ❖ 换热入口段——管入口到热边界层开始充满整个管道的
扩散系数
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35
❖ 边界层越厚，说明壁面的传热或摩擦对流体的温度或 速度的影响越大
❖ 2 两类边界层是相互影响
❖ 流动和传热同时存在时，两类边界层存在着密切的联系 ❖ ——温度边界层通过影响粘度而影响速度边界层 ❖ ——热边界层内的传热机理取决于流动边界层内的流
动状态
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36
29
2 热边界层的特点
边界层理论及边界层分离现象
边界层理论及边界层分离现象一．边界层理论1.问题的提出在流体力学中，雷诺数Re∝惯性力/粘性力，当Re<1时，惯性力<<粘性力，可以略去惯性力项，用N-S方程解决一些实际问题（如沉降、润滑、渗流等），并可以获得比较满意的结果。
但对于工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时就不可以完全略去粘性力，略去粘性力的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬——在流体中作等速运动的物体不受阻力。
”究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体力学家普朗特提出了著名的边界层理论，即大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固壁的极薄流层中，惯性力≈粘性力，这才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
2.边界层的划分Ⅰ流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
可按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），ux＝0.99u∞，δ为流动边界层厚度，且δ＝δ(x)。
Ⅱ传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时，在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），ts－t＝0.99(ts －t0) ≈ ts－t0，δt为温度边界层厚度，且δt＝f(x)；ts为壁面温度；t0为热边界层外（主流体）区域的温度。
流体流动的边界层理论及其应用
流体流动的边界层理论及其应用流体流动的边界层理论及其应用流体流动的边界层理论是研究流体在靠近固体表面的区域内流动特性的一种理论模型。
这个理论的应用广泛，包括工程设计、建筑、航空航天等领域。
下面我们来逐步思考这个问题。
首先，我们需要了解什么是边界层。
边界层是指流体靠近固体表面的区域，流体在这个区域内受到固体表面的摩擦力的影响，流动速度发生变化。
边界层的存在对于流体的流动特性具有重要影响。
接下来，我们来了解一下边界层的分类。
边界层可以分为层流边界层和湍流边界层两种。
层流边界层是指流体在边界层内的流动呈现层流状态，流动速度逐渐减小并趋于零。
湍流边界层则是指流体在边界层内的流动呈现湍流状态，流动速度随机变化。
第三步，我们需要了解边界层理论的基本方程。
边界层理论基于动量守恒、质量守恒和能量守恒定律，通过一系列假设和数学推导，得出了边界层内流体的速度分布、压力分布等基本方程。
第四步，我们可以思考边界层理论的应用。
在工程设计中，边界层理论可以用于计算流体在管道、飞机机翼等表面上的阻力和摩擦力，从而优化设计方案。
在建筑领域，边界层理论可以用于考虑风荷载对建筑物的影响，从而提高建筑物的稳定性。
在航空航天领域，边界层理论可以用于研究飞机机翼的升力和阻力特性，提高飞行效率。
最后，我们可以总结一下边界层理论的重要性和局限性。
边界层理论是研究流体流动的重要工具，可以帮助工程师和科学家更好地理解和预测流体的行为。
然而，边界层理论只适用于流动速度较小、流体粘度较高的情况，并且对于复杂流动问题的描述能力有限。
综上所述，流体流动的边界层理论及其应用是一个重要而复杂的研究领域。
通过了解边界层的概念、分类、基本方程以及应用，我们可以更好地理解流体流动的行为，并将其应用于实际问题中。
第5章 边界层流动
现以圆管内的管流为例，对进口段边界 层的形成与发展过程做一讨论。 沿圆管流动的边界层发展
第五章 边界层流动 ghp
交汇点
进口段长度
图4－5 管进口段的边界层形成与发展
第五章 边界层流动 ghp
18
当流体流经圆管时：
C .E .
N . S .( x )
ux u y uz + + 0 x y z
uz 0
ux ux ux ux + [ux + uy + uz ] t x y uz uz 0 稳定
2 ux 2 ux 2 ux p g x + ( 2 + + ) 2 2 x x y z 忽略重力 沿平板 量级分析 与 z 无关
第五章 边界层流动 ghp
1）分离现象
① 雨滴下落时是什么形状？
②
鱼类中的“游泳健将”
通常具有什么体型？鸟类呢？
③ 自由泳与蛙泳哪个泳姿快？ ④
超音速喷咀后部是一扩大管，还是收缩管形状？
⑤ 吹过电线杆上电线的风声为何会发生尖啸声？ ⑥ 流过桥墩的水流为什么会产生旋涡？ 24
第五章 边界层流动 ghp
12
由图可见，在沿平板流动时，边界层的发展经历了三个阶段。
层流边界层： 0 x x c
在此区域内流体呈有规则的层状流动。 xc 为临界距离，对应的边界层厚度称为临界厚度 c
过渡区：
在该区域内出现不规则涡团运动，流线不再完全是层流状。
湍流边界层：
涡团运动加剧，流线受到剧烈扰动，流动由层流转变为湍流。
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第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象5.1 边界层理论的要点5.1.1 问题的提出前述，Re∝惯性力/粘性力当Re<1时，惯性力<<粘性力，可用“爬流”模型，略去惯性力项，N-S方程==>爬流方程（stokes近似），解决一些实际问题（沉降、润滑、渗流等），获得比较满意的结果。
但工程流动问题，绝大多数的Re很大。
这时，是否可以完全略去粘性力，使Navier-Stokes方程==>Euler方程（理想流体）。
但是，这样的结果与实际情况相差很大。
突出的一例即“达朗倍尔佯谬（paradox）——在流体中作等速运动的物体不受阻力”。
究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体学家普兰德（Prandtl）提出了著名的边界层理论（大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固——流边界的极薄流层中，惯性力≈粘性力），才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。
后人把Prandtl 提出的流动边界层概念，推广到流动系统的传热边界层和传质边界层，从而确定传热、传质的速率以及了解有关的影响因素。
还有人研究了边界层中的化学反应，解决了一些实际问题。
因此，边界层理论被认为是近代流体力学的奠基石。
5.1.2 流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。
（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。
所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。
按理想流体处理，Euler方程适用。
这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），u x＝0.99u∞，δ——流动边界层厚度，δ＝δ(x)。
5.1.3 传热边界层（温度边界层)当流体流经与其温度不相等的固体壁面时（如图，x>x0段），在壁面上形成流动边界层，同时，还会由于传热而形成温度分布，可分成两个区域：（1）y<δt（传热边界层）：受壁面影响，法向温度梯度dt/dy很大，不可忽略，即不能忽略法向热传导。
（2) y>δt（层外区域）：法向温度梯度dt/dy≈0，可忽略法向热传导。
通常约定：在传热边界层的外缘处（即y＝δt处），t s－t＝0.99(t s－t0) ≈t s－t0δt——温度边界层厚度，δt＝f(x)；t s——壁面温度；t0——热边界层外（主流体）区域的温度。
P r＝ν/α∝动量传递能力/热量传递能力一般情况下，P r>1(液体)，δ>δtP r≈1（气体），δ≈δtP r<0.1（液态金属），δ<δt5.1.4 传质边界层（浓度边界层）当流体流经某种固体壁面时，如果固体壁面会溶解（如苯甲酸）或升华（如萘），或者壁面为多孔板（会从孔内渗入或渗出某组分A），由于这些原因之一，使流体与固体壁面形成流动边界层δ的同时，还会由于传质而形成浓度分布。
其浓度场可划分为两个区域：（1）y<δc（传质边界层）：法向浓度梯度dC A/dy很大，在法向分子扩散很重要，不可忽略。
（2) y>δc（层外区域）：法向浓度梯度dC A/dy≈0，可忽略法向分子扩散。
通常约定：在浓度边界层的外缘处（即y＝δc处），C AS－C A＝0.99(C AS－C A0) ≈C A－C A0δc——浓度边界层厚度，δc＝f(x)；t s——固体壁面处（y＝0处）流体中组分A 的浓度；t0——浓度边界层外区域的浓度。
S C≡ν/D AB∝动量传递能力/质量传递能力一般情况下，S C总是大于1的（有时甚至几千），∴δc<δ5.2 边界层的形成与发展5.2.1 外部流动的边界层形成与发展——以平板绕流为例(见图5－5）5.2.1.1 形成流体一经与固体表面接触，就黏附在表面上，速度为零（no－slip）。
这层静止流体对临近的流体层施加粘性阻力，使第二层流体速度减慢，开始形成边界层。
由于第二层流体损失了动量，它开始对第三层施加粘性阻力，于是第三层流体也损失动量，随着x增大（流体向前运动），越来越多的流体层速度减慢，使边界层沿x方向（流体方向）不断增厚。
5.2.1.2发展在边界层的起始段（x≤xc ）,(xc为临界长度)，流动为完全层流，为层流边界层区，它既不受表面粗糙度的影响，也不管来流是层流还是湍流。
由于此时边界层很薄，其中du x/dy很大，形成湍流的可能性很小，这表明壁面对湍流的发展具有抑制作用。
但只要平板足够长，当x>x c后，边界层的流动变得不稳定起来，而且δ随x 增大迅速增大，这时进入过渡边界层区。
再经过一段距离以后，边界层内的流体流动完全转变为湍流流动，称为湍流边界层区。
5.2.1.3湍流边界层的多层结构（三层模型）（1）层流底层（laminar sublayer, 又称粘性底层）0≤y≤δb（2）缓冲层（buffer layer，又称过渡层）δb≤y≤δf（3）湍流核心(turbulence core) δf≤y≤δ5.2.1.4平板边界层临界雷诺数μρν∞∞===ux ux c cxcReRe xc——以临界长度x c为定性长度的临界雷诺数；u∞——主流速度；ρ，μ，ν——流体物性。
对光滑平板而言，Re xc＝2×105～3×106一般地，若无特殊说明，取Re xc＝5×105平板边界层厚度δ～x关系式：对平板层流边界层，Re x<5×105，δ/x=5.0/（Re x）0.5对平板湍流边界层，5×105<Re x<1×107δ/x=0.38/（Re x）0.2式中，μρν∞∞===xu xuxRex——从平板前缘算起的距离5.2.2 内部流动的边界层形成与发展——以等径管流为例(见图5－6）在管道进口处，流体速度均匀，法向du/dy＝0，δ＝0一进入管道，因为粘附条件（no－slip），在y＝0处，u＝0，开始形成边界层。
由于粘性作用，沿管长增加边界层厚度δ增大。
（∵流体的连续性，u b＝常数，∴δ↗==>层外中心u∞↗。
）直至边界层发展到轴心，δ＝R（图中C点）。
从C点之后的管内，速度分布不再变化，边界层充满了整个流动截面，建立了“充分发展了的流动”（fully developed flow）。
而在C点之前，速度分布正在发展（developing），速度分布未定型。
C点之后这段管长（即从管道进口到充分发展开始点这一段距离，称为“流动进口段长度Le”。
管内层流——在充分发展开始的这一点（C点），若边界层还是层流边界层，则C点之后全管层流；管内湍流——在充分发展开始的这一点（C点），若边界层已发展成为湍流边界层，则C点之后全管湍流。
（管内湍流仍可分为层流底层，缓冲区，湍流核心三层。
）管内流动的雷诺数，μρνb bDDu Du===Reub——截面平均速度对管内流动，层流转变为湍流的临界ReD≈2000。
进口段长度Le的估算：对管内层流，Le/D＝0.0575ReD≈0.05Re≈100对管内湍流，Le/D＝1.4（ReD）0.25≈50～1005.3 进口段与边界层分离的概念 5.3.1 边界层内的传递机理：（1）层流：法向是依靠分子扩散传递。
（2）湍流：①层流内层：分子扩散传递；②缓冲区：旋涡混合传递≈分子扩散传递； ③湍流核心：旋涡混合传递>>分子扩散传递。
故在一般情况下，层流内层的传递阻力R 内层最大，是流体一侧传递速度的控制因数，设法使层流底层厚度δb 减厚是强化对流传递的主要条件之一。
5.3.2 用数学分析法求解对流传热系数h 和对流传质系数k c 0原则步骤。
（1）从连续性方程和边界层运动方程（即Prandtl 边界层方程）求出u 分布；（2）把u 代入边界层能量方程，求出t 分布；（或求解对流传质系数k c 0时，代入边界层传质方程，求出C A 分布）从而得到壁面梯度。
（3）∵对传热，壁面处传递的热量dq ＝h x ΔtdA ＝dA n t k n f 0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂- ∴ h x = 0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆-n fn t t k，式中 Δt = t s —t f 如果对传质，壁面处传递的质量dW A ＝c k ΔC A dA ＝dA n CD n A AB=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂- ∴c k = 0=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆-n A A AB n C C D ，式中 ΔC A = C As —C Af（4）传递膜系数（对流传热系数h 和对流传质系数k c 0）沿长度的平均值5.2.3 传热进口段与传质进口段从开始传热到传热膜系数h 达到稳定的这段距离称为传热进口段，其长度用L t 表示。
从开始传质到传质膜系数k 达到稳定的这段距离称为传质进口段，其长度用L D 表示。
层流：L t /D ＝0.05RePr ；L D /D ＝0.05ReSc 湍流：L t /D ＝50～100；L D /D ＝50～100 Pr ≡υ/α∝动量传递能力/热量传递能力； Sc ≡υ/D AB ∝动量传递能力/质量传递能力。
例题5－1(p.310)比较水银和轻油Le 和Lt 。
5.4 边界层方程5.4.1 普兰德的边界层微分动量方程及边界层微分能量方程和边界层微分质量方程Prandtl 边界层方程yu u xu u x yx x∂∂+∂∂ == 221yu νdxdPx ∂∂+-ρ平板层流动量传递（速度）边界层的数学模型yu x u x x ∂∂+∂∂ == 0yu u xu u x yx x∂∂+∂∂ == 22yu νx ∂∂B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0B.C.2 y = δ（或y =∞）, u x = u ∞平板层流传热（温度）边界层的数学模型yu x u x x ∂∂+∂∂ == 0yu u x u u x yx x∂∂+∂∂ == 22yu νx ∂∂yt u xt u yx ∂∂+∂∂ == 22yt ∂∂αB.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0，t =t sB.C.2 y = δt （或y =∞）, u x = u ∞， t = t ∞平板层流传质（浓度）边界层的数学模型yu xu x x ∂∂+∂∂ == 0yu u x u u x yx x∂∂+∂∂ == 22yu νx ∂∂yC u xC u A yA x ∂∂+∂∂ == 22yC D A AB∂∂B.C. 1 y = 0, u x = 0, u y = 0，C A = C A sB.C.2 y = δc （或y =∞）, u x = u ∞， C A = C A ∞5.4.2 边界层微分方程的分析解(Blasius 精确解、普尔豪森解等 ;不详细讲如何求解的过程)5.4.3 卡门边界层积分动量方程(p78)、边界层能(热)量积分方程(p170)、边界层质量积分方程(p261)5.4.4 边界层积分方程在平板层流边界层“三传”问题中的近似解5.4.5 边界层积分方程在平板湍流边界层“三传”问题中的近似解(并初步介绍柯尔本类似律)5.5 圆管内层流传热(p176)、圆管内层流传质(p251)。