用递归法解决问题
采用递归和非递归方法求解hannol问题
采用递归和非递归方法求解hannol问题汉诺塔问题是数学中的经典问题之一，也被认为是计算机科学中的经典问题。
它的解法可以使用递归或非递归的方法。
在本文中，我们将介绍并比较这两种解法。
汉诺塔问题的描述是：有三根柱子，A、B、C，初始时，A柱子上有n个盘子，这些盘子从小到大按顺序堆叠在一起。
现在需要将这n 个盘子从A柱子移动到C柱子上，期间可以借助B柱子。
移动盘子有以下几个规则：1.每次只能移动一个盘子；2.盘子只能从大盘子移到小盘子上；3.在移动过程中，可以借助柱子进行中转。
接下来，我们将先介绍递归解法。
递归解法：对于n个盘子，我们可以将问题分解为以下三个步骤：1.将n-1个盘子从A柱子移动到B柱子；2.将第n个盘子从A柱子移动到C柱子；3.将n-1个盘子从B柱子移动到C柱子。
递归解法的代码如下：```pythondef hanoi(n, A, B, C):if n == 1:print("Move disk %d from %s to %s" % (n, A, C)) else:hanoi(n-1, A, C, B)print("Move disk %d from %s to %s" % (n, A, C)) hanoi(n-1, B, A, C)```在这个递归函数中，n表示盘子的数量，A、B、C表示三根柱子。
当n为1时，直接将第一个盘子从A柱子移动到C柱子；否则，先将n-1个盘子从A柱子移动到B柱子，然后将第n个盘子从A柱子移动到C柱子，最后将n-1个盘子从B柱子移动到C柱子。
递归的过程中，会不断地将问题分解为子问题，直到子问题规模减小到1。
下面是一个具体的例子，假设有3个盘子，初始时都在A柱子上：```pythonhanoi(3, 'A', 'B', 'C')```输出结果为：```Move disk 1 from A to CMove disk 2 from A to BMove disk 1 from C to BMove disk 3 from A to CMove disk 1 from B to AMove disk 2 from B to CMove disk 1 from A to C```如上所示，递归解法将问题分解为子问题，然后逐步解决子问题，最后得到整体的解。
递归算法的优缺点
递归算法的优缺点递归算法是一种使用自身定义的函数来解决问题的方法。
递归算法的优点包括简洁、直观，能够将问题转化为较小的相同问题进行解决。
然而，递归算法也存在一些缺点，包括效率低下、可能引发栈溢出等问题。
首先，递归算法的优点是简洁、直观。
递归算法通常能够将原始问题转化为较小的子问题，然后通过调用自身函数来解决这些子问题。
这种简洁的方式使得算法的实现更加直观和易于理解。
相比于迭代算法，递归算法往往具有更少的代码量，使得代码更加简洁优雅。
其次，递归算法能够提供一种自顶向下的问题解决方式。
递归算法可以将复杂的问题分解为更小的子问题，然后逐步解决这些子问题，在子问题解决完成后再进行逐步合并，最终得到原始问题的解。
这种自顶向下的思维方式使得问题的解决过程更加直观、易于理解。
此外，递归算法还具有形式上的优点。
递归算法在问题的定义上使用了自身函数的调用，使得代码的结构更加紧凑和简洁。
递归算法的代码常常能够简洁地反映问题的本质，使得代码更加易于维护和扩展。
然而，递归算法也存在一些缺点。
首先，递归算法的效率往往较低。
递归算法在解决问题时需要频繁地调用自身函数，而函数调用涉及到压栈和出栈的过程，会带来额外的开销。
在一些情况下，递归算法的效率可能远远低于迭代算法。
其次，递归算法容易引发栈溢出的问题。
每次递归调用函数时，系统都需要为该函数分配一定的栈空间。
如果递归调用的层数过多，就会导致栈空间不足，从而引发栈溢出的问题。
为了避免栈溢出，需要限制递归调用的深度，或者使用尾递归优化等技术手段。
此外，递归算法的实现往往需要额外的空间开销。
每次递归调用函数时，都需要保存函数的局部变量、参数值等信息，以便后续的出栈和恢复操作。
这些额外的空间开销会占用较多的内存，特别是在递归调用的次数较多时。
最后，递归算法可能出现递归陷阱的问题。
递归陷阱是指当递归算法的终止条件不满足时，递归调用会一直持续下去，导致程序无法正常终止。
为了避免递归陷阱，必须正确地设计和实现递归算法的终止条件，以确保程序能够正常结束。
java递归算法经典题目
java递归算法经典题目递归是一种常见的算法思想，它通过将问题分解为更小的子问题来解决问题。
在Java中，递归算法可以用于解决许多经典问题，如斐波那契数列、汉诺塔、阶乘等。
下面我们将介绍一些Java递归算法经典题目，帮助您更好地理解和掌握递归算法。
1.斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归问题，它是指从第0项开始，每一项都是前两项的和。
在Java中，可以使用递归方法来求解斐波那契数列。
以下是一个简单的递归算法实现：```javapublicstaticintfibonacci(intn){if(n<=1){returnn;}else{returnfibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);}}```这个算法会一直递归调用直到达到斐波那契数列的末项为止。
需要注意的是，递归算法的时间复杂度较高，当n值较大时可能会导致栈溢出等问题。
2.汉诺塔问题汉诺塔问题是一个经典的递归问题，它描述了一个操作：将一堆盘子从一个柱子移动到另一个柱子，要求遵循以下规则：每次只能移动一个盘子，并且大盘子不能放在小盘子上面。
在Java中，可以使用递归方法来解决汉诺塔问题。
以下是一个简单的递归算法实现：```javapublicstaticvoidhanoi(intn,Stringfrom,Stringto,Stringvia) {if(n==1){System.out.println("Movedisk"+n+"from"+from+"to"+to);}else{hanoi(n-1,from,via,to);System.out.println("Movedisk1from"+from+"to"+to);hanoi(n-1,via,to,from);}}```这个算法会一直递归调用，直到完成所有盘子的移动。
《用递归法解决问题》教学设计-最新文档
《用递归法解决问题》教学设计学习者分析本节课的教学对象为高中二年级的学生。
这个阶段的学生具有很强的自主意识，具备一定的探究能力，喜欢自己动手实践来获得新知。
多次经历从问题到程序的思考过程，在面对现有软件无法解决的问题时能够编写程序解决问题。
在此之前，学生已经掌握了循环、数组、自定义函数的使用，为本课的学习做好了充分的准备。
学习内容分析《用递归法解决问题》是高中选修教材《算法与程序设计》（科教版）第三章“算法的程序实现”第五小节的内容。
在本课学习之前，学生已经学会了用循环的方法来解决问题，然而循环的方法往往并不会那么清晰地描述解决问题的步骤，递归法则可以非常直白地描述一个问题的求解过程，因此递归法也是最容易实现的算法。
递归的基本思想是把规模大的问题转化为规模小的相类似的子问题来解决。
在函数实现时，因为解决大问题的方法和解决小问题的方法往往是同一种方法，所以就产生了调用自身的情况。
递归是利用系统的堆栈保存函数中的局部变量来解决问题的，因为函数调用的开销比较大，递归常常会带来效率问题。
本节课学生不仅要学会用递归法解决问题，更重要的是领会递归思想的精髓。
递归思想是计算机学科中的核心技术思想之一，其本质反映的是一种将复杂问题简单化的思维方法。
学习目标知识与技能目标：理解递归的含义，找出递归问题中缩小问题规模的递归处理方法及递归结束条件，了解递归算法的优缺点。
过程与方法目标：能用程序实现递归算法，学会用简单模式解决复杂问题的方法。
情感态度与价值观目标：领悟递归思想，体验递归思想在实际生活中的应用。
教学重点、难点重点：分析递归结束条件及缩小问题规模的方法，以及递归算法的程序实现。
难点：递归算法的程序实现。
教学策略呈现斐波那契数列问题，由学生比较熟悉的递推法入手，针对问题描述中的不严谨之处，引入递归定义及其关键因素――递归结束条件和缩小问题规模的递归处理。
在递归的学习过程中，学生通过阅读代码、尝试模仿、归纳提炼、拓展应用等环节逐渐完成知识的内化并达到应用、迁移的目的。
递归经典题目
递归经典题目
递归是一种常用的算法技术，它可以用来解决许多经典问题。
以下是一些经典的递归问题：
1. 斐波那契数列：这是一个经典的递归问题，其中每个数字是前两个数字的和。
例如，斐波那契数列的前几个数字是 0、1、1、2、3、5、8、13、21 等。
2. 阶乘函数：这是一个计算一个数的阶乘的递归函数。
例如，5 的阶乘是 5 4 3 2 1 = 120。
3. 汉诺塔问题：这是一个经典的递归问题，其中有一些盘子需要从一根柱子移动到另一根柱子，每次只能移动一个盘子，并且不能将一个较大的盘子放在较小的盘子上面。
4. 二分搜索：这是一个在排序数组中查找特定元素的递归算法。
它首先将数组分成两半，然后根据目标值与中间元素的比较结果，选择另一半继续搜索。
5. 回溯算法：这是一种通过递归搜索所有可能解的算法，通常用于解决约束满足问题。
例如，排列组合问题、八皇后问题等。
6. 分治算法：这是一种将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题的算法。
例如，归并排序和快速排序等。
7. 动态规划：这是一种使用递归和备忘录（或称为记忆化）的方法，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。
例如，背包问题和最短路径问题等。
这些经典的递归问题涵盖了不同的应用领域和算法类型，可以通过学习和解决这些问题来提高自己的编程和算法技能。
用递归算法实现汉诺塔问题。
用递归算法实现汉诺塔问题。
汉诺塔问题是一个经典的递归问题，它涉及到的思维方式是分治法，而递归则是实现分治法的一种方式。
要解决汉诺塔问题，我们需要了解其规则和思路。
汉诺塔游戏的规则如下：1. 有三根柱子A、B、C，开始时A柱上有一些大小不等的圆盘，按大小从上到下依次叠放。
2. 目标是把A柱上的圆盘全部移到C柱上，可以借助B柱。
3. 每次只能移动一个圆盘，且大圆盘不能叠在小圆盘上。
解决汉诺塔问题的思路：1. 对于每个规模为n的问题，我们可以分解为三个步骤：将A柱上的n-1个圆盘移到B柱上，将A柱上的最大圆盘移到C柱上，最后将B柱上的n-1个圆盘移到C柱上。
2. 每个步骤都是一个规模为n-1的子问题，因此可以使用递归来解决。
接下来，我们用递归算法实现汉诺塔问题。
```pythondef hanoi(n, A, B, C):"""递归函数hanoi参数：n：表示A柱上的圆盘数量A：表示原柱子B：表示辅助柱子C：表示目标柱子"""if n == 1: # 如果只有一个圆盘，直接从A柱移到C柱print(f"将第1个圆盘从 {A} 移动到 {C}")returnelse:# 将A柱上的n-1个圆盘移到B柱上hanoi(n-1, A, C, B)# 将A柱上的最大圆盘移到C柱上print(f"将第{n}个圆盘从 {A} 移动到 {C}")# 将B柱上的n-1个圆盘移到C柱上hanoi(n-1, B, A, C)# 测试n = 3 # 圆盘数量为3hanoi(n, 'A', 'B', 'C')```对于圆盘数量为3的情况，我们可以得到以下步骤：将第1个圆盘从 A 移动到 C将第2个圆盘从 A 移动到 B将第1个圆盘从 C 移动到 B将第3个圆盘从 A 移动到 C将第1个圆盘从 B 移动到 A将第2个圆盘从 B 移动到 C将第1个圆盘从 A 移动到 C通过递归的方式，我们可以解决汉诺塔问题并打印出每一步的移动过程。
递归法：通过递归函数的定义,求得通项。
递归法：通过递归函数的定义，求得通项。
递归法：通过递归函数的定义，求得通项递归法是一种解决问题的方法，通过定义一个递归函数来逐步求解问题的通项。
在数学和计算机科学中，递归是一个重要的概念，广泛应用于各种问题的求解过程中。
递归函数是一种可以调用自身的函数。
在递归过程中，函数通过不断调用自身来解决子问题，最终得到整个问题的解。
递归法解决问题的基本步骤如下：1. 定义递归函数：首先，需要定义一个递归函数用于求解问题。
这个函数应明确问题的边界条件和递归调用的方式。
2. 处理边界条件：在递归函数中，需要明确问题的边界条件，即无需再进行递归调用的情况。
这些边界条件通常是问题的最简单、最基本的情况。
3. 调用自身解决子问题：在递归函数中，通过调用自身来解决子问题。
每次递归调用都会使问题的规模减小，并逐步接近边界条件。
4. 整合子问题的解：递归函数会得到子问题的解，需要将这些解整合起来，得到整个问题的解。
使用递归法求解通项时，需要明确通项的定义以及递归函数的具体表达式。
通过定义递归函数并按照上述步骤进行递归调用，最终可以得到通项的解。
递归法虽然简单，但也需要注意一些问题：- 递归函数的边界条件必须明确，否则可能陷入无限递归的情况。
- 递归函数的调用过程中，需要注意参数的传递和返回值的处理，确保每次递归调用都能得到正确的结果。
- 递归法的效率并不一定高，有时可能存在重复计算的情况。
可以通过适当的剪枝操作或者使用动态规划等方法来优化递归算法。
总之，递归法是一种重要的问题求解方法，通过定义递归函数和处理边界条件，可以逐步求解问题的通项。
在使用递归法时，需要注意边界条件的定义、参数传递和返回值处理等细节，以确保正确性和效率。
参考资料：。
组合爆炸问题 解决思路
组合爆炸问题解决思路
组合爆炸问题是指在一个有限的集合中，存在大量的组合方式，需要找到一种高效的方法来解决问题。
以下是几种常见的解决思路：
1. 递归法：将问题拆分为子问题，并使用递归的方式求解。
例如，在一个集合中选择若干个元素的组合，可以递归地选择第一个元素和剩下的元素组成组合，或者不选择第一个元素继续选择剩下的元素的组合，最终将所有组合合并为结果。
2. 回溯法：回溯法是一种暴力穷举法，通过不断尝试所有可能的组合方式来求解。
例如，在一个集合中选择若干个元素的组合，可以使用一个循环遍历集合中的每一个元素，然后将该元素加入当前组合，并递归地求解剩下的部分，最后回溯到上一步选择其他元素进行尝试。
3. 动态规划：动态规划是一种将问题拆分为子问题并保存子问题的解决方案，避免重复计算的方法。
例如，在一个集合中选择若干个元素的组合，可以使用一个二维数组来保存中间结果，通过填充数组的方式逐步求解最终结果。
4. 剪枝法：在穷举过程中，通过一些条件判断来减少不必要的计算。
例如，在一个集合中选择若干个元素的组合，可以通过比较组合的长度和给定条件来判断是否继续搜索下一个元素。
以上是一些常见的解决思路，具体应根据问题的特点选择最合
适的方法。
在实际应用中，可以根据问题的规模和复杂度选择不同的算法来解决组合爆炸问题。
用递归法解决问题教学反思
用递归法解决问题教学反思
递归法是算法与程序设计中的一个难点，递归算法的本质是递推和递归两个过程，而递归实现是通过循环语句来实的，在教学过程中学生对自定义函数的理解，在教学中学生对自定义函数的理解较为容易，因它有固定的语法结构，但是应用到递归法则是显得非常吃力，理解递归法需要有较强的逻辑思维能力。
在教学过程中我以循序渐进的问题情境引导学生，让学生身临其境从而调动学生的积极性和求知欲，充分发挥学生的主体地位，让学生参与自主学生、探讨。
同时教师也以淙、讲解贯穿于课堂主线。
我邀请了同行听了我的课，并进行了评课，意识到教学过程中还存在一些问题：问题的的过度还不太自然，语言不够精炼。
而且由于我们所带的班级为普通班，学生的学习积极性不强，接受新知识的能力有限，学生的积极性没有充分调动，还有待于进一步提高，在教学中教师则更应该全面了解学生，了解学生的心理状态，掌握学生的心理状态，在教学中不能拿太难或太抽象的题目作为素材，而应该以学生感兴趣、贴近学生生活的事物，让学生主动融入到课堂中来接受新知识。
总之，要上好一节课不容易，只有认真备课，备教材、备学生，了解学生的基础并充分发挥教师的主导地位，充分调动学生的积极性，多留给学生发挥学生创造和交流的机会，学生的自主学习、合作学习、探究学习的能力才能提高，教师的教学水平才能有发展和进步。
烙饼问题解法
烙饼问题是一个经典的数学问题，通常描述为：假设你有一个圆形的煎锅，里面可以同时烙两张饼。
每张饼的两面都需要烙，一面需要1分钟。
问题是，如果你有n张饼，你需要多少时间才能烙完所有的饼？
解法一：递归法
我们可以使用递归的方法来解决这个问题。
首先，我们烙第一张和第二张饼的第一面，这需要2分钟。
然后，我们把其中一张饼翻面，另一张饼拿出来，放入第三张饼。
接下来，我们烙第一张和第二张饼的第二面，以及第三张饼的第一面，这又需要2分钟。
最后，我们把第三张饼翻面，这需要1分钟。
所以，烙n张饼需要的时间为：T(n) = 2 + 2 + 1 = 5分钟。
解法二：迭代法
我们还可以使用迭代的方法来解决这个问题。
我们可以把n张饼分成若干组，每组两张饼。
对于每一组，我们烙第一张和第二张饼的第一面，然后翻面，再烙第二张和第三张饼的第一面，然后翻面。
这样，每一组饼都需要2分钟。
因为总共有n/2组饼，所以烙n张饼需要的时间为：T(n) = 2 * (n/2) = n分钟。
综上所述，烙n张饼需要的时间为5分钟或n分钟。
递归的用法
递归的用法递归是一种编程技巧，它允许函数在其定义中调用自身。
递归的用法广泛且强大，能够解决许多复杂问题。
在理解递归的用法时，我们首先要明白其基本概念和适用场景。
递归的基本思想是将一个复杂问题分解为两个或多个相同或相似的子问题，直到子问题变得足够简单，可以直接解决。
然后，通过组合这些简单问题的解，我们可以得到原始复杂问题的解。
递归的用法在多种场合下都非常有用。
以下是一些常见的递归应用场景：阶乘计算：阶乘是递归的经典示例之一。
n的阶乘可以定义为n乘以(n-1)的阶乘，直到n为1时停止递归。
这种递归定义非常直观，并且很容易用代码实现。
斐波那契数列：斐波那契数列是另一个递归的经典示例。
每个数字是前两个数字的和，可以通过递归函数轻松计算。
树形结构遍历：在数据结构中，树形结构（如二叉树）的遍历（前序、中序、后序遍历）经常使用递归实现。
通过递归调用，我们可以轻松遍历整个树形结构。
深度优先搜索（DFS）：在图形算法中，深度优先搜索是一种常用的搜索算法，它通过递归的方式访问图形的顶点。
解析表达式：在编译器设计中，解析表达式（如算术表达式或逻辑表达式）通常使用递归实现。
通过递归调用，我们可以轻松地解析复杂的嵌套表达式。
除了以上几个例子外，递归还在许多其他领域得到应用，如动态规划、分治算法等。
然而，需要注意的是，递归虽然强大，但也可能导致性能问题，特别是在处理大规模数据时。
因此，在使用递归时，我们需要仔细考虑其适用性和性能影响。
总之，递归是一种非常有用的编程技巧，能够解决许多复杂问题。
通过理解递归的基本思想和适用场景，我们可以更好地利用这一工具，编写出更高效、更简洁的代码。
用递归法解决问题
在VB中,说自定义函数,就不能不提子过程.子过程的定义如下: [Public|private] sub 局部常量 变量定义 过程语句组 End sub <子过程名称> ([参数列表])
子过程和函数的本质是一样的,在VB中往往将函数看做特殊的子过程
子过程与函数的区别: 关键字:函数(Function) 子过程(sub) 返回值:函数(可以有) 子过程(无) 调用格式:
虽然VB为我们提供了大量的标准函数，但我们 在实际应用时难免有时还是找不到合意的，那就只 有自己解决了，这样为了一个特定的任务而编出来 的函数叫自定义函数。
二、自定义函数的作用
1、可以方便的把较为复杂的问题分解成若干 个小问题去处理。(公司里就是采用这种模式的。) 2、使程序结构清晰，层次分明，增强了程序 的可读性。
一、标准函数
VB给我们提供了一些标准函数，我们不用了解这些函数如何求出 来的，只管直接调用它们，挺方便的。如正弦函数，余弦函数，算术平 方根．．．．．．有了这些函数，我们觉得很省事。如：求1加到100的 算术平方根这个程序我们可以这样编写： 例1 dim I as integer, s as single s=0 for i=1 to 100 s=s+sqr(i) next i print(“s=“,s)
在这个程序里，我们直接用到了求平方根函数，至于sqr（1
），sqr（2）如何求出来的我们不需过问，只管直接用它的结 果便是了。 象这样，VB给我们提供的，我们不用了解这些函数如何求 出来的，只管直接调用它们的这类函数叫做标准函数。
二、用户自定义函数
我们来看看下面一个例子：求：1！＋2！＋3！＋．．．＋10！＝？ 如果要编写程序，我们看到求阶乘的操作要执行10次，只不过每次 所求的数不同。我们想：不至于编写10遍求阶乘的程序吧。我们希 望有一个求阶乘的函数，假设为JS（X），那么我们就可以这样求这 道题了：
c语言递归解决台阶问题
C语言递归解决台阶问题概述在计算机科学中，递归是一种常用的问题解决方法。
递归函数是一种自己调用自己的函数，通过不断地将问题分解为更小的子问题来解决复杂的问题。
本文将以台阶问题为例，介绍如何使用C语言中的递归方法来解决这个问题。
问题描述给定一个台阶，每次可以迈上1个或2个台阶，问有多少种不同的方式可以将台阶走完。
例如，对于一个有3个台阶的楼梯，有3种不同的走法:1-1-1、1-2、2-1。
.解决思路要解决台阶问题，我们可以考虑最后一步的情况。
最后一步只可能是迈1个台阶或者迈2个台阶，所以可以将问题分解为两个子问题：1.如果最后一步迈1个台阶，那么剩下的台阶数目为n-1。
2.如果最后一步迈2个台阶，那么剩下的台阶数目为n-2。
通过递归的方式，我们可以将问题一直分解到只有1个或2个台阶时，再逐步将子问题结果累加得到最终的解。
解决代码使用C语言实现递归函数解决台阶问题的代码如下：#i nc lu de<s td io.h>i n tc ou nt Wa ys(i ntn){i f(n==1)r e tu rn1;e l se if(n==2)r e tu rn2;e l ser e tu rn co un tW ay s(n-1)+c ou nt Wa ys(n-2);}i n tm ai n(){i n tn;p r in tf("请输入台阶数目：");s c an f("%d",&n);p r in tf("共有%d种不同的方式可以走完%d个台阶\n",co un tW ay s(n),n);r e tu rn0;}示例假设我们要计算有6个台阶时的走法数量，我们可以运行上述代码，输入台阶数目为6。
程序将计算出共有13种不同的方式可以走完6个台阶。
总结通过本文的介绍，我们了解了如何使用C语言中的递归方法来解决台阶问题。
递归函数能够将复杂的问题分解为较小的子问题，并通过不断地调用自身来逐步解决这些子问题。
用递归算法处理fibonacci数列问题
用递归算法处理fibonacci数列问题
Fibonacci数列是一个经典的数学问题，它的规律是：从第3个数开始，每个数都是前两个数的和，即f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其中f(1)=1，f(2)=1。
如果要求出第n个数的值，我们可以使用递归算法来解决这个问题。
递归算法是一种自我调用的算法，它将一个问题拆分成一个或多个子问题，并且解决每个子问题的方法与原问题相同。
在处理Fibonacci数列问题时，我们可以使用递归算法来计算每个数的值，直到计算到第n个数为止。
具体实现时，我们可以使用一个递归函数来计算Fibonacci数列中第n个数的值。
该函数的实现如下：
```
def fibonacci(n):
if n == 1 or n == 2:
return 1
else:
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
```
在上面的代码中，如果n等于1或2，我们直接返回1；否则，我们递归地调用fibonacci函数，并计算前两个数的和。
递归的终止条件是当n等于1或2时，直接返回1，因为这两个数是Fibonacci 数列中的规定值。
使用上述递归函数来计算Fibonacci数列中第n个数的值，可以得到正确的结果。
但是，递归算法的效率比较低，因为它会产生大量的重复计算。
如果要处理大规模的Fibonacci数列问题，使用递归算法可能会导致程序运行缓慢或者甚至崩溃。
因此，为了提高算法的效率，我们可以使用其他方法来处理Fibonacci数列问题，例如使用迭代算法或者动态规划算法。
著名的汉诺塔问题通常用什么解决
汉诺塔问题的求解是需要借助于递归方法来实现的。
1、就是我们不管前面有多少个盘子，就是需要将A上面除了最大的盘子之外的所有n-1个盘子借助C移动到B。
2、然后移动A柱子上最大的盘子到C柱子（A->C），这时候，就无需再考虑最大盘子的移动了，就是剩下的n-1个盘子，怎么把他们从B移动到C上面。
3、我们需要借助的柱子变成了A，因为A上面没有盘子了，问题变成了B柱子借助A柱子，将n-1个盘子移动到C柱子。
计划能力决定圆盘移动顺序
关于汉诺塔问题解决的一个最主要的观点认为，完成汉诺塔任务时要对圆盘的移动顺序进行预先计划和回顾性计划活动。
当问题呈现后，在开始第一步的移动之前，大多数被试都会根据设定好的目标状态，对圆盘的移动顺序进行预先计划。
以决定圆盘的移动顺序，但是这种计划能力的作用可能会受到问题难度的影响。
《3.5 用递归法解决问题课件》高中信息技术教科版算法与程序设计25375.ppt
前面我们学习了自定义函数，知道函数是为 了实现某种功能而编写的一段相对独立的程 序，并且可以多次的调用。 算法描述： function what ( student ) 如果我知道答案，那么我就告诉你 否则，我要问下一位同学再告诉你 end function
一、标准函数
VB给我们提供了一些标准函数，我们不用了解这些函数如 何求出来的，只管直接调用它们。如正弦函数，余弦函数，算术 平方根等，有了这些函数，解决问题很方便。如：求1加到100的 算术平方根这个程序，我们可以这样编写：
例1
Dim i as integer
Dim s as single
s=0
for i=1 to 100
虽然VB为我们提供了大量的标准函数，但我们 在实际应用时难免会找不到合适的，于是只有自己 编写函数解决问题，这样为了一个特定的任务而编 出来的函数叫自定义函数。
自定义函数的作用
1、可以方便地把较为复杂的问题分解成若干 个小问题去处理。(公司里就是采用这种模式的。)
2、使程序结构清晰，层次分明，增强了程序 的可读性。
fun=2 else fun=1 end if End function
Private sub form _ click() dim I as integer,s as integer s=0 For I=1 to 5 s=s+fun(I) Next I Print s End sub
典型例题
有一天小猴子摘若干个桃子,当即吃了一半 还觉得不过瘾,又多吃了一个。第二天接着吃 剩下桃子中的一个，仍觉得不过瘾又多吃了 一个，以后小猴子都是吃尚存桃子一半多一 个。到第10天早上小猴子再去吃桃子的时候 ，看到只剩下一个桃子。问小猴子第一天共 摘下了多少个桃子?
用递归方法求解全排列
用递归方法求解全排列全排列是指给定一组数，通过不同的排列顺序来得到所有的可能排列。
如果数的个数是n，则全排列的个数是n!（n的阶乘）。
递归方法是一个很好的解决全排列问题的方式。
下面就来介绍一下用递归方法求解全排列的过程。
1. 基本思路求解全排列的思路是从第一个数开始固定，然后对剩余的数进行全排列，这个过程是递归进行的。
递归终止的条件是当只有一个数时，直接输出这个数就是全排列的一个结果。
下面是一个比较标准的求解全排列的递归函数：```void permutation(char* pStr, char* pBegin){if (*pBegin == '\0')printf("%s\n", pStr);else{for (char* pCh = pBegin; *pCh != '\0'; ++pCh){swap(pBegin, pCh);permutation(pStr, pBegin + 1);swap(pBegin, pCh);}}}```2. 函数解析（1）函数参数说明函数有两个参数：char* pStr：表示要进行全排列的字符串，这个字符串会在递归过程中进行排列，最终生成全排列结果。
char* pBegin：表示当前正在固定的字符位置，也就是说，在递归处理中已经固定了前面的字符，pBegin指向下一个要固定的字符位置。
（2）递归终止条件如果pBegin指向了字符串的结尾，也就是说已经固定了整个字符串中的所有字符，那么就输出此时的全排列。
if (*pBegin == '\0')printf("%s\n", pStr);（3）递归循环体在循环体内部，通过一个for循环枚举下一次要固定的字符位置。
在固定字符之前，使用swap函数交换pBegin和pCh指针变量的内容，这一步的目的是交换要固定的字符和下一个将要固定的字符，以此来生成不同的全排列结果。
用递归法解决商人渡河问题
商人渡河问题是这样的：有三个商人，三个强盗，和一条船（船每次只可以载小于等于两个人）他们同在河的一边，想渡过河去，但是必须保证在河的任何一边必须保证商人的数目大于等于强盗的数目，应该怎么过这条河呢？用递归的源程序如下：开始时商人，强盗所在的河的这边设为0状态，另一边设为1状态（也就是船开始时的一边设为0，当船驶到对岸是设为1状态，在这两个状态时，都必须符合条件）#include<stdlib.h>struct node /*建立一个类似栈的数据结构并且可以浏览每一个数据点*/{int x;int y;int state;struct node *next;};typedef struct node state;typedef state *link;link PPointer1=NULL;link PPointer2=NULL;int a1,b1;int a2,b2;/*栈中每个数据都分为0，1状态*/void Push(int a,int b,int n){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(state));newnode->x=a;newnode->y=b;newnode->state=n;newnode->next=NULL;if(PPointer1==NULL){PPointer1=newnode;PPointer2=newnode;}else{PPointer2->next=newnode;PPointer2=newnode;}}void Pop() /*弹栈*/ {link pointer;if(PPointer1==PPointer2){free(PPointer1);PPointer1=NULL;PPointer2=NULL;}pointer=PPointer1;while(pointer->next!=PPointer2)pointer=pointer->next;free(PPointer2);PPointer2=pointer;PPointer2->next=NULL;}int history(int a,int b,int n) /*比较输入的数据和栈中是否有重复的*/{link pointer;if(PPointer1==NULL)return 1;else{pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){if(pointer->x==a&&pointer->y==b&&pointer->state==n)return 0;pointer=pointer->next;}return 1;}}int judge(int a,int b,int c,int d,int n) /*判断这个状态是否可行，其中使用了history函数*/{if(history(a,b,n)==0) return 0;if(a>=0&&b>=0&&a<=3&&b<=3&&c>=0&&d>=0&&c<=3&&d<=3&&a+c==3&&b+d==3) {switch(n){case 1:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}case 0:{if(a==3){Push(a,b,n);return 1;}else if(a==0){Push(a,b,n);return 1;}else if(a>=b){Push(a,b,n);return 1;}else return 0;}}}else return 0;}int Duhe(int a,int b,int n) /*递归法解决商人渡河问题，如果这一个状态符合*/ { /*则判断下一个状态，直至问题解决*/if(a==0&&b==0) return 1;if(n==0) /*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/{if(judge(a-1,b-1,4-a,4-b,1)) {if(Duhe(a-1,b-1,1)==1) return 1;}if(judge(a,b-2,3-a,5-b,1)) {if(Duhe(a,b-2,1)==1)return 1;}if(judge(a-2,b,5-a,3-b,1)) {if(Duhe(a-2,b,1)==1)return 1;}if(judge(a-1,b,4-a,3-b,1)) {if(Duhe(a-1,b,1)==1)return 1;}if(judge(a,b-1,3-a,4-b,1)) {if(Duhe(a,b-1,1)==1)return 1;}else{Pop(0);return 0;}}if(n==1) /*判断0状态时，商匪状态是否符合要求*/ {if(judge(a+1,b+1,2-a,2-b,0)){if(Duhe(a+1,b+1,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+2,3-a,1-b,0)){if(Duhe(a,b+2,0)==1)return 1;}if(judge(a+2,b,1-a,3-b,0)){if(Duhe(a+2,b,0)==1)return 1;}if(judge(a+1,b,2-a,3-b,0)){if(Duhe(a+1,b,0)==1)return 1;}if(judge(a,b+1,3-a,2-b,0)){if(Duhe(a,b+1,0)==1)return 1;}else{Pop(1);return 0;}}return 0;}main(){link pointer;Push(3,3,0);Duhe(3,3,0);pointer=PPointer1;while(pointer!=NULL){printf("%d,%d---%d\n",pointer->x,pointer->y,pointer->state); pointer=pointer->next;}getch();}。
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3.5用递归法解决问题【教材分析】“用递归法解决问题”是《算法与程序设计》第三章第5节的内容，学业水平测试对本节内容也达到了B级要求，本节内容是在学习了VB基础知识中的三种基本结构，并且学习了数组、用解析法和穷举法解决问题等算法。
本节先后介绍了“什么是递归法”、“自定义函数”、以及应用自定义函数结合递归算法来解决问题实例。
通过本节内容的学习可以培养学生分析和分解问题的能力。
从教材的结构上看“自定义函数”和“递归算法”是独立的，可以分别讲解，但在使用时两者是相辅相成的。
【学情分析】这节课的教学对象是高中二年级学生，已经学习了算法与程序设计VB中的一些基础知识，初步了解了算法的概念。
特点是在学习循环结构的过程中，学生已经积累了一些“递归”和“穷举”的算法。
但是学生对函数尤其是“自定义函数”非常陌生，而“自定义函数”和“递归法”是本册的学习重点，也是以后编程的重点。
学习本节内容学生可以充分体会递归算法的思想过程，扩大原来的知识面，进一步认识程序设计的功能，进一步激发学生学习算法与程序设计的兴趣。
【教学目标】1．知识与技能：理解什么是递归法，会用递归法的思想分析和解决问题理解什么是自定义函数，能应用自定义函数实现递归算法的编程2．过程与方法学生通过思考、探究，体验递归算法和发现问题与解决问题的步骤3．情感态度与价值观在建立数学模型中培养学生的抽象思维能力，培养学生多维度思考问题和解决能力。
树立多学科整合的思想意识，能够用联系的观点解决问题。
【教学重点】理解什么是递归算法，学会用递归法的思想分析问题。
理解自定义函数的概念。
【教学难点】用自定义函数和递归算法编写程序解决问题【教学方法及策略】采用程序展示法、讨论总结法、讲解法、启示引导法。
本节以一简单的例子对比VB中提供的标准函数，引出本节的第一项内容，自定义函数并加以讲解使学生掌握自定义函数的方法，由于理解和学习递归法比较困难，要求学生具有很强的抽象思维能力，如直接讲解则学生很难达到预期效果，在讲递归法之前是我让5位具有表演天赋同学表演一场戏（5人的年龄问题），创造递归情境，同时留下问题“第一位同学应该怎么说？”通过问题情境引出和深化学生对递归算法的理解。
当然本节内容这个步骤也可以交换顺序。
同时鼓励和引导学生探讨递归法解决问题的条件和特点并加以归纳和总结。
教学中所用到的素材：1、输入圆半径，可求圆面积的小程序VB源文件。
2、斐波那契数列VB源文件。
3、极域电子教室广播系统4、电子课件【教学过程】环节教师活动学生活动设计意图复习标准函数提出问题复习函数：y=abs(9)y=int(9)y=sqr(9)以上函数可以对9求绝对值，取整，开平方。
提出问题：有没有可以求以9为半径的圆的面积。
思考、讨论、找答案结果：没有这样的函数提出问题激发学生兴趣和求知欲启发主体进一步提出问题：我们怎样实现求圆的面积的程序呢？请同学们编写程序在文本框中输入半径求圆的面积学生探究：得出结果PrivateSubCommand1_Click()Dim r, s As SingleConst pi = 3.14r = Val(Text1.Text)s = pi * r * rPrint CStr(s)End Sub教师展示教师给予表扬：同学们做的很好，以前学的知识很扎实，我们已经可以利用这些知识来解决问题。
我也写了一个程序给同学们的不一样，也可以实现上述功能：代码如下：Private Function mj(r As Single) AsSingleConst pi = 3.14mj = pi * r * rEnd FunctionPrivate Sub Command1_Click()Dim s As SingleDim a As Singlea = Val(Text1.Text)s = mj(a)Print CStr(s)End Sub观察、思考提出以下代码的疑问：Private Function mj(r As Single) AsSingleConst pi = 3.14mj = pi * r * rEnd Function这些代码是干什么呢？进一步调动学生求知欲演示上述程序的功能。
同学们可以看以下，我在程序代码中使用了一个mj（）函数求出了输入半径的圆面积。
那么mj()函数就是我们要找的求已知半径圆的面积的函数。
启发主体，引出如何自定义函数教师：像y=abs(9)y=int(9)y=sqr(9)这些语句中的函数在VB中已经存在了，称作是VB的标准函数，我们可以直接调用就可以了，而刚才我们使用的mj()函数，不是VB的标准函数，需要我们DIY。
请同学们看课本66页。
我们如何自定义函数。
学生看教材，找出自定义函数的语句，理解和记忆自定义函数的方法。
教师总结［public/prinvate］function <函数名称＞［参数列表］as 数据类型局部常量、量定义语句组函数名称＝返回值end function师：请同学们归纳一个使用自定义函数的作用学生：讨论、归纳得出：1．可以方便地把较为复杂的问题分解成若干个小问题去处理。
2．使程序结构清晰，层次分明，增强了程序的可读性培养学生归纳、总结的能力，增强学生对自定义函数的理解。
创设情境导演一场戏：找5位同学表演，按序号排好顺序，问第5位同学说比第4位同学大2岁，问第三位同学，说比第3位同学大2岁，问第3位同学说比第2位同学大2岁，问第2位同学说比第1位同学大2岁，问第一位同学，他说他20岁，求第5位同学的年龄是多少。
讨论、归纳、分析生：每位同学说的话都是一样的：“我比前一位同学大2岁”实例教学，通过简单的例子学生的兴趣，学生可以轻而找出问题的规律，体验问题的发与收，从而走向递归的思维模式，为进一步讲解递归法埋下伏笔。
师：规则：1．从后往前按顺序问；2．每位同学回答的结果一样；3．一直到第一位同学找出“答案”。
启发主体师：我们刚才学习了自定义函数，知道了函数是为了实现某种功能而编写的一段相对独立的程序。
学生探讨：得出public function nl( n as integer) asintegernl=nl(n-1)+2通过错误的程序代码再次激发学生的未知欲，我们可以编写一段程序来自定义上述的函数吗？根据学生自定义函数的代码师生共同探讨总结，找出错误的原因：同学们找出了nl(n) 与nl(n-1)的规律了，但是如果没有限制的话，就会无限次的执行下去，于是出现上述错误。
对于这种问题我们该如何解决？教师对学生的探讨给予表扬和鼓励。
进一步课件演示：1．建立数学模型2．自定义函数3．调用函数解决问题像这种自己调用了自己的函数叫做递归调用，这种算法就叫做递归算法。
end function学生运行结果如下：生：因为我们就5个人，问第一人时他必须说出答案，可以使用IF语句进行条件限制。
public function nl( n as integer) asintegerif n=1 thennl=15elsenl=nl(n-1)+2end ifend function培养学生的自主探讨精神。
自主构建课本68页，以兔子的繁殖问题，引出“斐波那契数列”我们如何使用递归法来求出第m月的兔子数量？1 123 5 8 13 ···假设第m个月的兔子数量为s(m)则建立数学模型：s(m) = s(m-1) + s(m-2)（是不是所有的月份都满足此表达式）学生阅读、分析、讨论、编程尝试学生编程实现：public function s(m as integer) asintegerif m= 1 or m=2 thens=1elses=s(m-1) + s(m-2)end ifend function dim n as integer dim tu as integer n=val(text1.text) tu=s(n)print cstr(tu)递归法的总结师生讨论共同总结（以下图为例）：1．递归法有什么特点？递推与递归的往返过程。
2．什么样的问题可以使用递归来解决？A递归体（数学模型）必须明确。
B递归法是层层调用函数实现的，函数先由上向下调用，称为递推。
C当问题求解的规模越来越小时，必定有一个结束条件作为递推出口。
D递归法的可读性强。
师生共同讨论达成共识课后实践案例：有一天一只猴子摘了一堆桃子，第一天吃了总桃数的一半，嘴馋，又多吃一个，第二天又吃了剩下的一半，又嘴馋，再多吃一个，以后猴子都是吃剩下的一半再多吃一个，到第10天的时候发出无法吃一半，再多吃一个，因为只剩下一只了。
问这只猴子第一天一共摘多少只桃子？要求：分别使用递归法和循环语句（for next）编程实现，并分析比较两种算法的区别和特点。
对本节课自定义函数、递归算法的知识巩固，复习以前所学的FOR。
NEXT语句的理解，并作对比加深理解了记忆，培养学生选择信息和方法的能力。