回溯法与分支界限法(精)

回溯法和分支限界法解决0-1背包题(精)[精品文档]

0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,),xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。

回溯法与分支限界法的分析与比较

回溯法与分支限界法的分析与比较摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。

关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题1、引言1.1回溯法回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。

如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。

1.2分支限界法分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。

2、回溯法的基本思想用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少应包含问题的一个解。

之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。

在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。

确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。

这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。

在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。

这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。

如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。

此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。

回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。

3、分支限界法的基本思想用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。

之后还应将解空间很好的组织起来。

分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。

回溯法和分支限界法解决背包题

0-1背包问题计科1班朱润华 32方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。

由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。

尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。

经典：分支限界法的基本思想

结点x的最小耗费函数c(x):以x为根的子树所包含的回答结点中,路权最小者。若x是回答结点, 则c(x)即为该点的目标函数值; 若x是根结点, 则c(x)即为最优解值。c(x)为单增函数。若x*是任一回答结点, 且c(x*)<U, 则当搜索到结点x,而c(x)>U时, x将不必扩展(剪枝)。目标函数限界U的调整:初始U可取，随回答结点值的求出逐步更新为U=c(x*), x*为已知回答结点中值最小者。活动结点表: 通常采用优先队列方式组织, c(x)小者优先。
// 取下一扩展结点
if (ew == -1)
{ if (queue.isEmpty()) return bestw;
queue.put(new Integer(-1));
// 同层结点尾部标志
ew = ((Integer) queue.remove()).intValue(); // 取下一扩展结点
设N=3, W=(20,15,15),
P=(40,25,25), M=30 活动结点表: {B, C}, {E, C,}, {K, C,}, {C}, U=40. {F, G,}, {L, M, G,},
C=40 C=40
C=0
C=25
C=0
C=40 C=50
6
6.3 装载问题
1. 问题描述
有一批共个集装箱要装上2艘载重量分别为C1和C2的轮船，其中集
2.回溯法是深度优先搜索,而分支限界法是广度优先搜索. 采用广度优先搜索策略的目的是:尽早发现剪枝点.
5
算法设计与分析 >分枝限界roblem )
问题陈述设有n个物体和一个背包,物体i的重量为wi价值为pi ,背包的载荷为M,若将物体i(1 i n,)装入背包,则有价值为pi . 目标是找到一个方案,使得能放入背包的物体总价值最高.

算法的设计(第7章回溯和分支限界)

未来发展趋势及挑战
算法优化与创新
随着问题规模的增大和复杂性的提高，对算法性能的要求也越来越高。未来，回溯和分支限界算法的优化和创新将成为研究的重要方向，包括设计更高效的剪枝策略、改进限界函数等。
人工智能与算法设计的融合
人工智能技术的快速发展为算法设计提供了新的思路和方法。未来，将人工智能技术应用于回溯和分支限界算法的设计中，实现自动化或半自动化的算法设计和优化，将是一个具有挑战性的研究方向。
旅行商问题（TSP）。该问题是一个典型的分支限界法应用案例，通过估计旅行路线的最小和最大长度，可以缩小搜索范围，并提高求解效率。回溯法也可以求解TSP问题，但通常需要结合其他优化技术来提高效率。
案例三
图的着色问题。该问题既可以通过回溯法求解，也可以通过分支限界法求解。回溯法通过搜索所有可能的着色方案，并判断每种方案是否满足条件；而分支限界法则可以通过估计着色的最小和最大颜色数来缩小搜索范围。在实际应用中，可以根据问题的具体特点和要求选择合适的算法。
利用问题领域的启发式信息来指导搜索过程，通过评估当前状态的优劣来决定是否继续搜索该分支。启发式剪枝能够显著减少搜索空间，提高算法效率。
04 分支限界法详解
队列式分支限界法原理及实现
• 原理：队列式分支限界法是一种广度优先搜索策略，通过维护一个队列来存储待处理的节点。在搜索过程中，不断从队列中取出节点进行处理，并将产生的子节点加入队列，直到找到目标节点或队列为空。
特点
回溯算法通常采用深度优先搜索策略，在搜索过程中，当发现当前路径无法满足问题要求时，会及时“回溯” 到上一步，尝试其他可能的路径。
适用场景及问题类型
适用场景
回溯算法适用于求解组合优化问题，如排列组合、图的着色、旅行商问题等。

算法设计中的回溯与分支限界

算法设计中的回溯与分支限界在算法设计中，回溯（backtracking）和分支限界（branch and bound）是两个重要的技术手段。

它们在解决一些求解最优化问题或搜索问题时具有广泛的应用。

本文将介绍回溯和分支限界的基本概念、原理和应用，并探讨它们在算法设计中的意义和作用。

一、回溯算法回溯算法是一种穷举搜索算法，通过遍历问题的解空间来求解问题。

其基本思想是从初始解开始，逐步地扩展解的空间，直到找到满足问题要求的解。

如果扩展到某一步时发现无法继续扩展，那么就回溯到上一步，并继续向其他可能的解空间进行扩展。

回溯算法通常使用递归的方式实现。

回溯算法的应用非常广泛，适用于求解组合优化、满足约束条件的问题，例如八皇后问题、0-1背包问题、图的哈密顿路径等。

回溯算法虽然简单直观，但由于其穷举搜索的性质，时间复杂度较高，因此在面对问题规模较大时不一定是最优的选择。

二、分支限界算法分支限界算法是一种在解空间中搜索最优解的算法。

它通过在搜索过程中设定上、下界限制来避免对无效解的搜索，从而提高搜索效率。

分支限界算法通常使用优先队列（priority queue）来存储待扩展的节点，并按照一定的优先级进行扩展，每次选择优先级最高的节点进行扩展。

在扩展过程中，通过修剪（pruning）无效解的策略，可以进一步提高搜索效率。

分支限界算法的应用范围广泛，适用于求解组合优化问题、图论问题等。

通过合理的界限设定和剪枝策略，分支限界算法能够大幅减少搜索空间，提高求解效率。

但需要注意的是，分支限界算法并不能保证一定能够找到最优解，只能保证找到满足要求的解。

三、回溯与分支限界的比较回溯算法和分支限界算法都是基于搜索的算法，二者都可以求解组合优化问题和搜索问题。

回溯算法在搜索过程中对解空间进行穷举，而分支限界算法通过设定界限和剪枝策略来减少搜索空间。

因此，相较于回溯算法，分支限界算法具有更高的搜索效率。

然而，回溯算法也有其优点。

回溯法和分支限界法

14
对于许多问题而言，在搜索试探时选取x[i]的值顺序是任意的。在其他条件相当的前提下，让可取值最少的x[i]优先。从图中关于同一问题的2棵不同解空间树，可以体会到这种策略的潜力。
(a)
重排原理
(b) 图(a)中，从第1层剪去1棵子树，则从所有应当考虑的3元组中一次消去12个3元组。对于图(b)，虽然同样从第1层剪去1棵子树，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组。前者的效果明 15 显比后者好。
13
回溯法效率分析
通过前面具体实例的讨论容易看出，回溯算法的效率在很大程度上依赖于以下因素： (1)产生x[k]的时间； (2)满足显约束的x[k]值的个数； (3)计算约束函数constraint的时间； (4)计算上界函数bound的时间； (5)满足约束函数和上界函数约束的所有x[k]的个数。好的约束函数能显著地减少所生成的结点数。但这样的约束函数往往计算量较大。因此，在选择约束函数时通常存在生成结点数与约束函数计算量之间的折衷。
•解空间：子集树 n wi xi c1 •可行性约束函数： i 1 •上界函数：
private static double bound(int i) {// 计算上界 double cleft = c - cw; // 剩余容量 double bound = cp; // 以物品单位重量价值递减序装入物品 while (i <= n && w[i] <= cleft) { cleft -= w[i]; bound += p[i]; i++; } // 装满背包 if (i <= n) bound += p[i] / w[i] * cleft; return bound; }

回溯法与分支限界法

回溯法与分支限界法
回溯法和分支限界法是两种常见的搜索算法，它们被广泛应用于解决优化问题、约束满足问题以及决策问题等。

1. 回溯法：
回溯法是一种基于试错的搜索算法。

它通过搜索解空间树来寻找问题的解。

在搜索过程中，回溯法会尝试不同的分支，也就是不同的可能解，直到找到解或者确定无解。

如果一条路径上无法得到解，回溯法就会回溯到上一步，尝试其他的分支。

回溯法的优点是它可以找到问题的所有解，而且对于一些问题，它能够找到最优解。

然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么回溯法可能会需要大量的时间和空间。

2. 分支限界法：
分支限界法是一种有约束的深度优先搜索算法。

它也是一种用于求解优化问题的算法。

在分支限界法中，搜索过程被分为两个阶段：扩展阶段和限界阶段。

在扩展阶段，算法会生成所有可能的候选解，并将它们加入到候选解集中。

在限界阶段，算法会根据一些启发式信息对候选解进行排序，并只考虑排在最前面的候选解。

这样可以大大减少搜索的时间和空间复杂度。

分支限界法的优点是它可以找到问题的最优解，而且它的时间复杂度是可以控制的。

然而，它的缺点是如果问题的解空间树太大，那么它可能需要大量的内存来存储候选解。

总的来说，回溯法和分支限界法都是非常重要的搜索算法，它们在不同的场景下都有各自的优势和适用性。

蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】

一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。

注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。

其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。

二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。

在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。

2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。

简述回溯法和分支限界法的异同

回溯法和分支限界法是解决问题时常用的两种算法。

它们都是一种搜索算法，用于在问题空间中寻找问题的解。

虽然它们有着相似的目的，但它们在实现过程和特点上有着不同之处。

下面将对回溯法和分支限界法进行简要的比较，以便更好地理解它们的异同点。

一、回溯法回溯法，又称试探法，是一种通过深度优先搜索的方式来解决问题的算法。

其基本思想是从问题的解空间树根节点出发，按深度优先的方式搜索整个解空间树。

在搜索过程中，当发现到达某个节点时，如果这个节点不满足约束条件，那么就进行回溯，返回到上一层节点继续搜索。

回溯法在寻找解的过程中，常常使用递归进行实现。

回溯法的特点：1. 深度优先搜索：回溯法使用深度优先搜索的方式遍历解空间树，这意味着它会尽可能深地探索每一个节点，直到找到问题的解或者发现无解。

2. 适用范围广：回溯法可以解决非常多种类的问题，比如八皇后问题、0-1背包问题等等。

只要问题可以建模成解空间树的形式，就可以使用回溯法进行解决。

3. 隐式的剪枝：在回溯法的搜索过程中，由于采用了深度优先搜索的方式，所以会自带一定的隐式剪枝效果。

即在搜索到某一节点时，如果发现不满足约束条件，就会立即回溯，从而避免继续搜索无效的节点。

二、分支限界法分支限界法也是一种搜索算法，它与回溯法有相似之处，但在实现细节上有所不同。

分支限界法通过不断将解空间树中的节点分支并进行评估，然后根据当前状态的下界限定来减少搜索范围，从而达到快速寻找最优解的目的。

分支限界法的特点：1. 显式的剪枝：与回溯法不同，分支限界法会显式地在搜索过程中对节点进行剪枝。

这是因为分支限界法在每次分支后都会对节点进行评估，并根据评估结果进行剪枝操作，从而避免不必要的搜索。

2. 寻找最优解：相比于回溯法，分支限界法更适合寻找最优解。

由于它能够通过不断地削减搜索空间来加速搜索过程，因此更适合解决那些需要找到最优解的问题。

3. 需要维护优先队列：在分支限界法的实现过程中，通常需要维护一个优先队列，用于存储待扩展的节点，并根据评估函数的结果进行排序。

回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点教学内容

回溯法和分支限界法解决0-1背包题要点0-1背包问题计科1班朱润华 2012040732方法1：回溯法一、回溯法描述：用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。

对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有0-1赋值。

例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。

物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。

问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。

二、回溯法步骤思想描述：0-1背包问题是子集选取问题。

0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。

在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。

当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。

否则，将右子树剪去。

设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。

当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。

计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。

例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。

这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。

以物品单位重量价值的递减序装入物品。

先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。

回溯算法与分支限界法

回溯算法与分⽀限界法回溯法⼀、回溯法回溯法可以系统的搜索⼀个问题的所有解或者任意解。

它在问题的解空间树中，按深度优先策略从根节点出发搜索解空间树，算法搜索⾄解空间树的任意⼀个结点时，先判断该节点如（⼦树）是否包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对其⼦树的搜索，逐层向其根节点回溯。

否则，则按照深度优先的策略搜索⼦树。

当回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。

这种以深度优先⽅式系统搜索问题解的算法称为回溯法，适⽤于解决组合数较⼤的问题。

例：n皇后问题n皇后问题要求在⼀个n⾏n列的棋盘上放置n个皇后，使得皇后彼此之间不受攻击，按照国际象棋的规则，⼀个皇后可以攻击与之处于同⼀⾏或同⼀列或同⼀条斜线上的其他任何棋⼦。

因此，n皇后问题等价于要求在⼀个n*n格的棋盘上放置n个皇后，使得任意两个皇后不在同⼀⾏、同⼀列和相同的对⾓线上。

int Place(int *Column, int index){int i;for(i=1; i<index; i++) {int Column_differ=abs(Column[index]-Column[i]);int Row_differ=abs(index-i);if(Column[i] == Column[index] || Column_differ == Row_differ)/*有皇后与其在同列或同⼀斜线上*/return 0;}return 1; /*没有皇后与其同⾏、同列或同对⾓线*/}void N_Queue(int n){int Column_num[n+1]； /*数组下标表⽰皇后所在的⾏，数组元素的值int index=1; /*皇后的个数*/ 表⽰皇后所在的列*/int i; /*循环变量*/int answer_num=0; /*解个数*/for(i=1; i <= n; i++) /*初始化数组Column*/Column_num[i]=0;while(index > 0){Column_num[index]++;while(Column_num[index] <= n && !Place(Column_num ,index))/*寻找皇后的位置*/Column[index]++;if(Column_num[index] <= n){if(index== n){ /*如果是最后⼀⾏时，即有⼀个解时*/answer_num++;for(i=1; i<=n; i++)Column_num [index]++;}else{ /*继续寻找下⼀个皇后*/index++;Column_num[index]=0;}}elseindex--; /*当前皇后⽆法放置回溯⾄上个皇后*/}分⽀限界法⼀、分⽀限界法分⽀限界法类似于回溯法，也是⼀种在问题的解空间树T上搜索问题解的算法。

分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题

华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁一、实验题目：分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题二、实验内容：0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。

应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。

三、程序源代码：A:回溯法：// bag1.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include "stdafx.h"#include <iostream.h>#define MaxSize 100 //最多物品数int limitw; //限制的总重量int maxwv=0; //存放最优解的总价值int maxw;int n; //实际物品数int option[MaxSize]; // 存放最终解int op[MaxSize]; //存放临时解struct {int weight;int value;}a[MaxSize]; //存放物品数组void Knap( int i, int tw, int tv) //考虑第i个物品{int j;if(i>=n) //找到一个叶子结点{if (tw<=limitw && tv>maxwv) //找到一个满足条件地更优解，保存它{maxwv=tv; maxw=tw;for(j=0;j<n;j++) option[j]=op[j];}}else{op[i]=1; //选取第I个物品Knap(i+1,tw+a[i].weight, tv+a[i].value);op[i]=0; //不选取第I个物品，回溯Knap(i+1,tw,tv);}}int main(int argc, char* argv[]){int j;n=3; //3物品a[0].weight=16;a[0].value=45;a[1].weight=15;a[1].value=25;a[2].weight=15;a[2].value=25;//a[3].weight=1;a[3].value=1;limitw=30; //限制重量不超过30 Knap(0,0,0);cout<<"最佳装填方案是："<<endl;for(j=0;j<n;j++)if(option[j]==1)cout<<"第"<<j+1<<"种物品"<<endl;cout<<"总重量＝"<<maxw<<",总价值＝"<<maxwv<<endl;return 0;}回溯法测试结果：测试数据：物品一：重量：16，价格：45；物品二：重量：15，价格：25；物品三：重量：15，价格：25；B：分支限界法：#include <stdio.h>#include<malloc.h>#define MaxSize 100 //最多结点数typedef struct QNode{float weight;float value;int ceng;struct QNode *parent;bool leftChild;}QNode,*qnode; //存放每个结点typedef struct{qnode Q[MaxSize];int front,rear;}SqQueue; //存放结点的队列SqQueue sq;float bestv=0; //最优解int n=0; //实际物品数float w[MaxSize]; //物品的重量float v[MaxSize]; //物品的价值int bestx[MaxSize]; // 存放最优解qnode bestE;void InitQueue(SqQueue &sq ) //队列初始化{sq.front=1;sq.rear=1;}bool QueueEmpty(SqQueue sq) //队列是否为空if(sq.front==sq.rear)return true;elsereturn false;}void EnQueue(SqQueue &sq,qnode b)//入队{if(sq.front==(sq.rear+1)%MaxSize){printf("队列已满!");return ;}sq.Q[sq.rear]=b;sq.rear=(sq.rear+1)%MaxSize;}qnode DeQueue(SqQueue &sq)//出队{qnode e;if(sq.front==sq.rear){printf("队列已空!");return 0;}e=sq.Q[sq.front];sq.front=(sq.front+1)%MaxSize;return e;}void EnQueue1(float wt,float vt, int i ,QNode *parent, bool leftchild)qnode b;if (i==n) //可行叶子结点{if (vt==bestv){bestE=parent;bestx[n]=(leftchild)?1:0;}return;}b=(qnode)malloc(sizeof(QNode)); //非叶子结点b->weight=wt;b->value=vt;b->ceng=i;b->parent=parent;b->leftChild=leftchild;EnQueue(sq,b);}void maxLoading(float w[],float v[],int c){float wt=0;float vt=0;int i=1; //当前的扩展结点所在的层float ew=0; //扩展节点所相应的当前载重量float ev=0; //扩展结点所相应的价值qnode e=NULL;qnode t=NULL;InitQueue(sq);EnQueue(sq,t); //空标志进队列while (!QueueEmpty(sq)){wt=ew+w[i];vt=ev+v[i];if (wt <= c){if(vt>bestv)bestv=vt;EnQueue1(wt,vt,i,e,true); // 左儿子结点进队列}EnQueue1(ew,ev,i,e,false); //右儿子总是可行；e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点if (e == NULL){if (QueueEmpty(sq)) break;EnQueue(sq,NULL); // 同层结点尾部标志e=DeQueue(sq); // 取下一扩展结点i++;}ew=e->weight; //更新当前扩展结点的值ev=e->value;}printf("最优取法为：\n");for( int j=n-1;j>0;j--) //构造最优解{bestx[j]=(bestE->leftChild?1:0);bestE=bestE->parent;}for(int k=1;k<=n;k++){if(bestx[k]==1)printf("\n物品%d:重量：%.1f，价值：%.1f\n",k,w[k],v[k]);}printf("\n");printf("最优价值为：%.1f\n\n",bestv);}void main(){int c;float ewv[MaxSize];printf(" //////////////////// 0-1背包问题分枝限界法/////////////////////\n\n");printf("请输入物品的数量：\n");scanf("%d",&n);printf("请输入背包的最大承重量：\n");scanf("%d",&c);printf("\n请输入物品的重量和单位重量价值:\n\n");for(int i=1;i<=n;i++){printf("物品%d:",i);scanf("%f%f",&w[i],&ewv[i]);v[i]=w[i]*ewv[i];printf("\n");}maxLoading(w, v, c);}分支限界法测试结果：五、小结（包括收获、心得体会、存在的问题及解决问题的方法、建议等）注：内容一律使用宋体五号字，单倍行间距，不得少于100字。

实验四回溯算法和分支限界法(精)

实验四回溯算法和分支限界法0-1背包问题一、实验目的:1、掌握0-1背包问题的回溯算法；2、进一步掌握回溯算法。

二、实验内容给定n和物品和一人背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，问如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？三、实验步骤1、代码// HS_ALG.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include#includeusing namespace std;// 物体结构体typedef struct{float w; //物品重量float p; //物品价值float v; //背包体积int id; //物品个数}OBJECT;bool cmp(OBJECT a, OBJECT b{ //比较两物品体积return a.v>b.v;}float knapsack_back(OBJECT ob[], float M, int n, bool x[]{ //回溯法int i,k;float w_cur, p_total, p_cur, w_est, p_est;bool *y = new bool[n+1];// 计算物体的价值重量比for(i=0; i<=n; i++{ob[i].v = ob[i].p/ob[i].w;y[i] = false;}// 按照物体的价值重量比降序排列sort(ob, ob+n, cmp;// 初始化当前背包中的价值、重量w_cur = p_cur = p_total = 0;// 已搜索的可能解的总价值初始化k = 0;while(k>=0{w_est = w_cur; p_est = p_cur;// 沿当前分支可能取得的最大价值for( i=k; iw_est += ob[i].w;if(w_estp_est += ob[i].p;}else{p_est += ((M-w_est+ob[i].w/ob[i].w*ob[i].p; break;}}// 估计值大于上界if(p_est>p_total{for(i=k; iif(w_cur+ob[i].w<=M{// 可装入第i个物体w_cur = w_cur + ob[i].w;p_cur = p_cur + ob[i].p;y[i] = true;}else{// 不能装入第i个物体y[i] = false;break;}}if(i>=n{// n个物体已经全部装入if(p_cur>p_total{// 更新当前上限p_total = p_cur;k = n;// 保存可能的解for(i=0; ix[i] = y[i];}}}else{// 继续装入物体k = i+1;}}else{// 估计值小于上界时while((i>=0&&(!y[i]i--; // 沿着右分支结点方向回溯直到左分支结点if(i<0break; // 到达根结点算法结束else{ // 修改当前值w_cur -= ob[i].w;p_cur -= ob[i].p;y[i] = false;k = i+1; // 搜索右分支子树}}}//delete y;return p_total;}int main({int n;float m;cout<<"请输入背包载重：";cin>>m;cout<<"请输入物品个数：";cin>>n;OBJECT* ob = new OBJECT[n];{cout<<"请输入物品的重量、价格："< for(int i=0; icin>>ob[i].w>>ob[i].p;ob[i].id = i+1;}}bool* x = new bool[n];float v = knapsack_back(ob, m, n, x; {cout<<"最优方案："<for(int i=0; iif(x[i]cout<<"["<}cout<cout<<"物品总价值为："<}return 0;}2、结果执行成功.3、结果分析。

回溯法和分支限界法

7
子集树与排列树
遍历子集树需O(2n)计算时间
void backtrack (int t) { if (t>n) output(x); else for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) backtrack(t+1); } }
遍历排列树需要O(n!)计算时间
1
问题的解空间
• 问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n
• • •
元式(x1,x2,…,xn)的形式。显约束：对分量xi的取值限定。隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
6
采用树的非递归深度优先遍历算法，可将回溯法表示为一个非递归迭代过程。
迭代回溯
void iterativeBacktrack () { int t=1; while (t>0) { if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} } else t--; }
• 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 • 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点 • •
称做活结点死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R 重新变成扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在）宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点之前，它一直是扩展结点回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

回溯法与分支界限法(精)

实验6回溯法与分支界限法1 回溯法C++代码运行结果截图算法分析回溯法解决八皇后问题，并推广至N皇后问题，思路是很简单的，只需要一次新增加一个皇后，并判断此皇后可以放在当前行的哪些位置，如果可以在某些列放下去而不产生冲突，那么就在这些方法中继续递归求解下一行。

如果在当前行任何位置都不能摆放一个皇后，就放弃当前的某一种尝试。

虽然代码很短，但是写起来是不好写的，因为递归程序并不好调试。

所以要注意写递归程序的要点：1) 合理定义递归程序的入口和出口2) 每次递归，只是将问题的规模缩小，而问题性质是不变的。

在这个算法中是一次求解棋盘中的一行达到规模缩小而问题性质不变。

2分支界限法C++代码运行结果截图算法分析首先，这个算法是很神奇的，因为在之前使用动态规划法解决01背包问题之后，我一度以为使用穷举的方法因为运算量太大，是基本不可行的。

但是使用分支界限法是可以得，而且，即使把分支界限法中的上界bound固定为一个非常大的数，也就是说，完完全全的使用穷举法，不对穷举法进行任何优化，也是可以在瞬间求解的。

这充分说明了计算机强大的计算能力。

其次，分支界限法是对穷举法的改进，它抛弃了那些部分解肯定不在最优解中的尝试，而这是通过确定部分解的上界来完成的。

穷举法就是根据每个物品在或不在组合出所有可能，然后挑选最优解。

而分支界限法一次判断一个物品是否会在最优解中，因为在判断若干物品（有时候甚至是少数几个物品）的组合中，我们就已经可以知道某些部分解是不可行包含在最优解中的（通过上界实现），所以这种方法可以在实际中极大的提高穷举法的运算时间。

最后，课本上关于上界的计算方法只是一个粗略的计算方式，如果问题规模变得更大，我们可以优化上界的计算方法。

对比回溯法和分支限界法

回溯法（Backtracking）和分支限界法（Branch and Bound）都是求解组合优化问题的常用算法，它们在解空间中搜索最优解的过程中有所不同。

1. 回溯法：
回溯法是一种穷举搜索的算法，通过逐步构建候选解，然后根据约束条件进行判断，如果当前的候选解不能满足约束条件，就进行回溯，撤销上一步的选择，继续搜索其他可能的解。

回溯法常用于求解排列、组合、子集等问题。

回溯法的基本思想是深度优先搜索，在搜索的过程中利用剪枝策略来减少搜索空间。

回溯法的核心是递归实现，在每一层递归中，都会进行选择、判断和回溯操作。

2. 分支限界法：
分支限界法是一种利用剪枝策略进行搜索的优化算法，它通过设置一个界限值，将搜索空间划分为多个子空间，并对每个子空间中的解进行评估。

根据评估结果，可以确定某些子空间中不可能存在更优解的情况，从而剪去这些子空间，减少搜索代价。

分支限界法的基本思想是广度优先搜索，通过优先级队列或堆结构来选择下一个扩展节点。

在搜索的过程中，根据问题的特点和限界条件，确定分支的方向，并对每个扩展节点进行评估。

相比于回溯法，分支限界法在搜索过程中可以更加高效地剪去无效子空间，从而减少不必要的搜索量。

它适用于需要在可能解空间中找到最优解或满足某个目标的问题。

总结：
回溯法是一种穷举搜索的方法，通过递归实现，在搜索过程中进行选择、判断和回溯操作；而分支限界法利用剪枝策略，在广度优先搜索的基础上，通过设定界限值来剪去无效子空间。

两种算法在实际应用中根据问题的特点和求解目标选择使用。

分支限界法与回溯法

分支限界法和回溯法
分支限界法和回溯法都是求解优化问题的算法策略。

但它们在求解问题的过程和方法上存在明显的不同。

1. 分支限界法：
分支限界法是一种在穷举法的基础上，设法避免其缺点、提高效率的算法。

它的基本思想是将原始问题分解为若干个子问题，然后逐个求解。

在求解过程中，分支限界法会不断地扩展子树的分支，然后在满足限界条件的情况下，剪去不符合限界条件的分支。

分支限界法的核心思想是：在每一步选择中，算法会优先选择约束条件最少的子节点进行扩展，从而在搜索过程中限制了生成的子节点的数量。

2. 回溯法：
回溯法是一种按照深度优先搜索策略的穷举搜索法。

它通过深度优先搜索解空间树，从根节点出发深度搜索解空间树，当搜索到某一节点时，如果该节点可能包含问题的解，则继续向下搜索；反之回溯到其祖先节点，尝试其他路径搜索。

回溯法的核心思想是：通过深度优先搜索，从上到下、从左到右地搜索解空间树。

当搜索到某一节点时，如果该节点可能包含问题的解，则继续向下搜索；否则回溯到其祖先节点，继续尝试其他路径搜索。

总结：
分支限界法和回溯法都是求解优化问题的算法策略。

分支限界法通过分解问题和优先选择约束条件最少的子节点来提高效率；而回溯
法则通过深度优先搜索解空间树和回溯到祖先节点来尝试其他路径搜索。

在实际应用中，应根据具体问题的特点和要求选择合适的算法策略。

第5章-回溯与分支限界

（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其他解；（2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解向量的下一个分量；（3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋ 1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1；否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)；
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回溯法的搜索过程涉及的结点（称为搜索空间）只是整个解空间树的一部分，在搜索过程中，通常采用两种策略避免无效搜索：
（1）用约束条件剪去得不到可行解的子树；
（2）用目标函数剪去得不到最优解的子树。
这两类函数统称为剪枝函数（Pruning Function）。
需要注意的是，问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵真正的树结构，只需要存储从根结点到当前结点的路径。
3
例5.2 0-1背包问题
实例：V={12,11,9,8}, W={8,6,4,3}, B=13
结点：向量<x1, x2, x3, …, xk>（子集的部分特征向量）搜索空间：子集树，2n片树叶
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