STFT短时傅里叶变换

− 1 g a (t ) = e 4a 2 Πa
以Gabor函数为窗函数的STFT称为Gabor变换，其定义为
s (ω , τ ) =
∞
−∞
∫
e − i ω t f (t )g a (t − τ )dt
则Gabor函数的中心和半径为：
t * = g
2 2
1
∞ − ∞
∫
x
| g
(x ) | 2
dx
根据窗函数半径公式，可知道Gabor窗函数的半径为：
短时傅里叶变换
唐娜
主要内容
1.短时傅里叶变换简介 2.测不准定理 3.短时傅里叶变换缺陷
背景:
傅里叶变换的缺陷 1）不适用于非平稳信号的处理 2）没有局域性 3）时域与频域的分割
提出与基本思想
鉴于傅里叶变换的缺陷提出了窗函数的概念，提出一个灵活 可变的时间—频率窗，使得在这个窗内能够体现频率的信息， 这种信号分析方法称为时间—频率分析。而窗固定的时间— 频率分析方法即为短时傅里叶变换。 短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform）。 其主要思想是将信号加窗，将加窗后的信号再进行傅里叶变 换，加窗后使得变换为时间r附近的很小时间上的局部谱， 窗函数可以根据r的位置变化在整个时间轴上平移，利用窗 函数可以得到任意位置附近的时间段频谱实现时间局域化
窗函数的中心和半径：
定义非平凡函数 ω ∈ L2 (R ) 称为一个窗函数如果 xω ( x ) 也是属于 2 (R ) 的，一个窗函数的中心定义为： L
t
*
=
1
ω
半径定义为：
2 2
∞
− ∞
∫
x ω
(x )
2
dx
∆ω =1Fra bibliotek∞ω
{
2
−∞
∫ (x
− t ) ω ( x ) dx }
* 2 2
1 2
这样我们可以认为函数 w 集中定义在以 t *为中 ∆ ω 为半径长为 2∆ω 的区间 [t * − ∆ ω , t * + ∆ ω ] 上， 心， 取此区间为的有效区间是合适的。 对函数 w 其中心为 t * 半径为 ∆ ω ，对 w的 ∧ Fourier变换 ω 设其中心为 w* 半径为 ∆ ω 矩形
g t , Ω (τ ) = g (τ − t )e jΩτ 来代替傅里 STFT可以看成是用基函数
叶变换中的基函数
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
（1.1）式内积的结果即可实现对进行时－频定位的功能。 gt ,Ω (τ ) = g (τ − t )e jΩτ 对 两边做傅里叶变换，有
加窗实例
x[n]
y[n] w[n]
频谱
正 弦 序 列
频谱
加窗后频谱产生失真
▽
控制部分
接收下行转换 A/D W1
▽
接收下行转换 A/D W2
∑ ∑
解 调
▽
期望信号di
接收下行转换 A/D Wp
采用自 适应算 法调整 系数
天线阵列
波束形成网络
基站
移动台
y(t)
散射媒介
s(t)
STFT定义
1946年，Gabor就提出了STFT，给定一信号，其STFT定义为 ：
STFT(t, Ω) = ∫ x(τ )g (τ − t)e x
− jΩτ
dτ =< x(τ ), g(τ − t)e
jΩτ
>
窗函数
（1.1）
公式涵义： 在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号作傅立 叶变换，即在t时刻得该段信号得傅立叶变换，不断地移动t， 也即不断地移动窗函数的中心位置，即可得到不同时刻的傅 STFTx (t , Ω) 立叶变换，这些傅立叶变换的集合，即是
∧
， 频窗。该窗的面积为 (2∆ ω ) 2∆

ω
∧
[t * − ∆ ω , t * + ∆ ω ] × ω *
− ∆
,ω
*
+ ∆
∧
ω
∧
称为函数
w 的时-

ω

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以Gabor函数为例，令Gabor数函为窗函数，已知Gabor 函数的表达式如下： t2
∧
则 ∆∧ = ∆
ω
b ga
经计算得
∆ gb = a
1 1 = 4a 2 a
则有：
∧ b = 4× a × 1 = 2 2 ∆ ga 2 ∆ g a 2 a 可以证明，不论采用何种函数作为窗函数，其时间窗和 频率窗宽度的乘积的最小值都是2，这就是测不准原理，此 定理告诉我们，不可能在时间和频率两个空间同时以任意精 度逼近被测信号，因此就必须在信号的分析上对时间或者频 率的精度做取舍。 当利用STFT时，若我们希望能得到好的时－频分辨率， 或好的时－频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函 数 g (τ ) ，遗憾的是，由于受不定原理的限制，我们无法做到 使同时为最小。
(
)
当我们对信号作时－频分析时，一般，对快变的信号， 我们希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲 等），即观察的时间宽度要小，受时宽－带宽积的影响，这 样，对该信号频域的分辨率必定要下降。由于快变信号对应 的是高频信号，因此对这一类信号，我们希望有好的时间分 辨率，但同时就要降低高频的分辨率。反之，对慢变信号， 由于它对应的是低频信号，所以我们希望在低频处有好的频 率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。
主要内容
1.短时傅里叶变换简介 2.测不准定理 3.短时傅里叶变换缺陷
前面推导了测不准定理，知道STFT不具备自动调节能力 时频窗在时间 轴频率轴方向 上的宽度确定
窗函 数选定
形状不会 发生改变
不随时间、 频率的变 化而变化
时频分辨 率确定
从上面的分析我知道，如果要改变分辨率，则需要重新 选择窗函数。因为受到不确定准则的限制，时频窗的面积 不小于2，故不能兼顾频率与时间分辨率的需求，这也就 从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率 分辨率不能同时达到最优，我们对时间分辨率和频率分辨 率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低， 反之亦然。 短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳 信号犹可，但是对于非平稳信号，对频率分辨率和时间分 辨率的要求是要按照一定的规律变化的，但短时傅里叶变 换的函数一旦选定时频分辨率是确定不随时间、频率的变 化而变化。
Gt,Ω(υ) = ∫ g(τ − t)e jΩτ e− jυτdτ
=e
− j (υ −Ω)t
′)e− j(υ−Ω)t′dt′ ∫ g(t
= G(υ − Ω)e − j (υ − Ω ) t
式中
υ 和 Ω 是等效的频率变量
< x(t), gt ,Ω (τ ) >= 21 < X (υ ),Gt ,Ω (υ ) > π
=
1 2π
∫
∞
−∞
X (υ )G (υ − Ω )e
j (υ − Ω ) t
dυ
信号谱
所以
窗谱
− jΩt 1 2π
STFTx (t , Ω) = e
∫
∞
−∞
X (υ )G (υ − Ω)e dυ
jυt
该式指出，对x (τ )在时域加窗 g (τ − t ) ，引导出 在频域对X (υ )加窗 G(υ − Ω) 。
∆ gb =
a
1 g
b a 2
∞
{
−∞
∫ (x − t )

∧
* 2
b g a ( x ) dx } 2
1 2
=
a
a
(2∆ω ) 2∆ 因为窗的面积为
因为 ω
∧
，对于Gabor窗函数说 ω
∆ω = ∆ g b
为 ω 的傅里叶变换，则对于Gabor函数就要求出g的
∧
∧
∧
b 傅里叶变换 g ，再代入上式得出 ∆ g a