短时傅里叶变换(STFT)性质
短时傅里叶变换STFT
x( )
0.3
m( t )
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
（1.1）式内积的结果即可实现对进行时－频 j m ( ) m ( t ) e 定位的功能。对 两边 ,t 做傅里叶变换，有
gb
a
1 b ga
{ x t
2
* 2
b x dx} ga 2
1 2
a
，
2 ，对于Gabor窗函数说 因为窗的面积为2
g b
a
因为 为 的傅里叶变换，则对于Gabor函数就要求出
傅里叶变换 经计算得
g a t
1
2 a
e
4a
以Gabor函数为窗函数的STFT称为Gabor变换，其定义为
s(, t )
e
i
f g a t d
1
则Gabor函数的中心和半径为：
t* ga
2 2
x | g a ( x ) |2 d x
根据窗函数半径公式，可知道Gabor窗函数的半径为：
1 2
X ( )M ( )e
信号谱
j ( ) t
d
窗谱
所以
S x (, t ) e
jt 1 2
X ( )M ( )e jt d
短时傅里叶变换和离散傅里叶变换
短时傅里叶变换和离散傅里叶变换1. 引言在信号处理领域，傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个时域信号转换为频域表示。
短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）和离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是两种常用的傅里叶变换方法。
本文将详细介绍这两种变换的原理、应用以及比较。
2. 短时傅里叶变换（STFT）2.1 原理短时傅里叶变换是一种将长时间信号分解为短时间片段进行频谱分析的方法。
它通过使用窗函数对信号进行分帧处理，然后对每一帧信号进行傅里叶变换得到频谱信息。
具体步骤如下：1.将长时间信号划分为多个长度相等的帧；2.对每一帧信号应用窗函数，窗函数通常选择汉宁窗或矩形窗；3.对每一帧信号进行傅里叶变换得到频谱信息；4.将每一帧的频谱信息合并起来得到整个信号的频谱。
2.2 应用短时傅里叶变换在信号处理领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•语音信号处理：对语音信号进行频谱分析，如语音识别、语音合成等；•音乐信号处理：对音乐信号进行频谱分析，如音乐特征提取、音乐合成等；•通信系统：在调制解调、频谱分析等方面的应用；•图像处理：对图像进行频域滤波、图像压缩等。
2.3 优缺点短时傅里叶变换的优点在于能够提供时间和频率上的信息，适用于非平稳信号的分析。
然而，它也存在以下一些缺点：•时间和频率分辨率之间存在折衷关系，无法同时获得高时间和高频率分辨率；•窗函数选择对结果有影响，不同窗函数会引入不同程度的泄漏效应；•对于长时间信号，计算复杂度较高。
3. 离散傅里叶变换（DFT）3.1 原理离散傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为离散频域信号的方法。
它通过将时域信号与一组复指数函数进行内积运算得到频域表示。
具体步骤如下：1.将离散时间域信号表示为复数序列；2.计算复数序列与一组复指数函数的内积，得到频域表示。
3.2 应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•语音和音频处理：对数字音频进行频谱分析、滤波等；•图像处理：对数字图像进行频域滤波、图像压缩等；•通信系统：在调制解调、频谱分析等方面的应用；•控制系统：在控制系统中对信号进行频谱分析等。
STFT短时傅里叶变换.ppt
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf之间存在下列关 Δf＝1/NT 可见：
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑，因而二者是矛
10
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2π/N，显然它与窗口宽度成反比。
矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只 有13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音 分析中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减 大于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、 波动小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
3
短时傅里叶变换是窗选语音信号的标准傅里叶变换。下 标n区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序 列。不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的 结果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关 于时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若令 ω＝2πk/N，则得离散的短时傅里叶变换,它实际上是 在频域的取样。
如果将w(n)的滤波运算除外，短时傅里叶变换实 际上是对信号的幅度调制。
j n e 第一种形式是在输入端进行调制，x(n)乘以 相当于
将x(n)的频谱从ω移到零频处；而w(n)(直角窗或海明 窗等)为窄带低通滤波器。 后一种形式是在输出端进行调制，此时先对信号进行带 通滤波，滤波器的单位函数响应为w(n) e jn ,而调制后 输出的是中心频率为ω
43短时傅立叶变换的取样率时间取样率sin0kakf25以直角窗和海明窗为例其第一个零点位置分别为2n和4n数字角频率与模拟频率f之间的关系为2ft2ffs其中t是信号取样周期fs是取样率因而用模拟频率表示的的带宽为43短时傅立叶变换的取样率时间取样率jew2643短时傅立叶变换的取样率频率取样率2743短时傅立叶变换的取样率总取样率2843短时傅立叶变换的取样率总取样率2944语音信号的短时综合滤波器组求和法3044语音信号的短时综合滤波器组求和法hkn是一个带通滤波器其中心频率为kykn是第k个滤波器hkn的输出
短时傅里叶变换(STFT)性质
如果将n看作某个给定值，则短时傅立叶只不过是语音段 x(m)w(n-m)的离散时间傅立叶变换，故有短时傅立叶 反变换： 1 π
x(m) w(n − m) =
2π
∫π
−
X (e jϖ )e jϖm dϖ
如果
w(0) ≠ 0
，令m=n则有
π 1 x ( n) = X (e jϖ )e jϖm dϖ 2πw(0) ∫−π
语音短时合成的叠接相加法
1 N −1 jϖ jϖ m yr (m ) = , −∞ ≤ r ≤ ∞ , r ∈ Z ∑ X rR ( e ) e N k =0 ∞ ∞ 1 N −1 jϖ jϖ m y (m ) = ∑ yr (m ) = ∑ ∑ X rR ( e ) e r = −∞ r = −∞ N k = 0
根据短时傅立叶变换 得出x(m)的傅立叶变 换 X ( e jϖ ) ，对窗函数所加的约束条件 w(0) ≠ 0
1
X n ( e jϖ )
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
短时谱的另一种表达形式：
DTFT DTFT x(m) X (e jω ) w(−m) W (e − jω ) → , →
4.5 语音的短时合成技术
滤波器组相加法
y ( n) = ∑ X n (e
k =0 N −1 k =0 N −1 jϖ k
)e
jϖ k n
= ∑ yk ( n )
k =0 jϖ N −1 k =0
N −1
h(n) = ∑ hk (n) ⇒ H (e ) = ∑ H k (e jϖ ) hk (n) = w(n)e
j n
N −1 k =0
∑ hk ( n) = h(n) = Nw(0)δ (n)
短时傅里叶变换的窗函数
短时傅里叶变换的窗函数短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是信号处理中经常使用的一种变换方法，在时频分析、语音处理、音频信号处理等领域得到广泛的应用。
而在STFT中，窗函数则是非常关键的一部分，它能够在一定程度上解决信号时域和频域之间的矛盾问题，使得STFT可以更好地描述信号的局部时频特性。
窗函数的作用可以理解为，它将原始信号中的短时断片（例如一段时间内的采样值）与窗函数相乘，再做傅里叶变换，因此可以得到该断片在频域的频谱分布。
不同的窗函数对应不同的信号分析需求，例如窗函数的长度、主瓣宽度、副瓣能量、频域分辨率等，都会对信号的分析结果产生影响，因此选择合适的窗函数是非常重要的一步。
下面列举几种常用的窗函数：1. 矩形窗函数（Rectangular Window）矩形窗函数是最简单的一种窗函数，它在窗口内的值恒定为1，窗口外的值为0。
矩形窗函数的优点是简单易用，标准化后其主瓣宽度较小，但副瓣能量较大，会对信号的频谱分析结果产生一定的干扰。
2. 汉宁窗函数（Hanning Window）汉宁窗函数是应用最为广泛的一种窗函数之一，它是由一半余弦函数和一半常数0.5组成。
汉宁窗函数的主瓣宽度略宽于矩形窗函数，但副瓣能量较小，对信号的频谱分析结果影响较小，同时汉宁窗函数的平滑性较好，在信号时域上有较好的截断特性。
3. 汉明窗函数（Hamming Window）汉明窗函数是一种类似于汉宁窗函数的窗函数，它是由一半余弦函数和一半常数0.54-0.46cos(t)组成。
相比于汉宁窗函数，汉明窗函数的主瓣略宽，副瓣更小，同时它还具有较好的频带滚降特性。
4. 布莱克曼窗函数（Blackman Window）布莱克曼窗函数是一种类似于汉宁窗函数的平滑窗函数，它是由三个余弦函数和一个常数0.42-0.5cos(t)+0.08cos(2t)组成。
布莱克曼窗函数的主瓣宽度与汉宁窗函数相近，但副瓣能量更低，对信号的分析结果影响更小。
傅里叶变换的五种不同形式
傅里叶变换的五种不同形式标题：傅里叶变换的五种不同形式导论：傅里叶变换是一种基础且重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。
它通过将函数表示为频域上的复指数函数的线性组合来描述一个函数。
本文将介绍傅里叶变换的五种不同形式，深入探讨它们的定义、性质和应用，旨在帮助读者对傅里叶变换有更全面、深刻和灵活的理解。
第一种形式：连续傅里叶变换（CTFT）1. 定义与性质：介绍CTFT的定义和性质，包括线性性、平移性、尺度性等。
解释连续傅里叶变换在时域和频域之间的转换关系。
2. 应用举例：说明CTFT在信号处理中的应用，包括信号滤波、频谱分析等。
详细解释如何使用连续傅里叶变换分析一个信号的频谱特性。
第二种形式：离散傅里叶变换（DFT）1. 定义与性质：介绍DFT的定义和性质，包括线性性、周期性等。
解释离散傅里叶变换与连续傅里叶变换之间的关系。
2. 应用举例：说明DFT在数字信号处理中的应用，包括图像压缩、频谱分析等。
详细解释如何使用离散傅里叶变换对一个离散信号进行频谱分析。
第三种形式：快速傅里叶变换（FFT）1. 定义与原理：引入FFT的定义和原理，解释为什么快速傅里叶变换可以大大提高计算效率。
2. 应用举例：介绍FFT在信号处理和图像处理中的广泛应用，包括音频信号处理、图像滤波等。
详细解释快速傅里叶变换如何在这些应用中提高计算效率。
第四种形式：多维傅里叶变换（NDFT）1. 定义与性质：介绍多维傅里叶变换的定义和性质，包括线性性、平移性等。
2. 应用举例：说明多维傅里叶变换在图像处理和空间频率分析等领域中的应用。
详细解释如何使用多维傅里叶变换对二维图像进行频谱分析。
第五种形式：短时傅里叶变换（STFT）1. 定义与原理：介绍短时傅里叶变换的定义和原理，解释其在非平稳信号分析中的重要性。
2. 应用举例：说明短时傅里叶变换在语音信号处理和音频分析中的应用。
详细解释如何使用短时傅里叶变换来分析非平稳信号的频谱特性。
数字信号处理中的时频分析算法
数字信号处理中的时频分析算法时频分析是数字信号处理领域中一种重要的信号分析方法，它能够同时提供信号在时间和频率上的特性信息。
在许多应用中，时频分析被广泛应用于信号识别、通信系统、雷达和生物医学工程等领域。
本文将介绍几种常见的数字信号处理中的时频分析算法。
1. 短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是时频分析中最基本的方法之一。
它将信号分成一段段的小片段，并对每个小片段进行傅里叶变换，从而得到该时间段内信号的频谱。
由于信号随时间的变化，STFT能够提供信号在各个时刻的频谱特性。
然而，由于STFT使用固定的时间窗口宽度，无法在时间和频率上同时获得高分辨率。
2. 连续小波变换（CWT）连续小波变换是时频分析中一种基于小波理论的算法。
它与STFT类似，也将信号分成一段段的小片段，但不同之处在于小波变换使用了不同尺度的小波基函数进行变换。
这使得连续小波变换可以在时间和频率上自适应地调整分辨率，并能够对信号的瞬时频率进行较好的估计。
3. 峭度分析方法峭度分析方法通过计算信号的高阶统计moments，如峭度和偏度等，来提取信号的时频特征。
峭度反映了信号在短时间尺度上的频率成分，能够用于检测信号中的瞬时频率变化。
然而，峭度分析方法在实际应用中对信号的平稳性和高斯性有一定的要求。
4. Wigner-Ville变换（WVT）Wigner-Ville变换是一种经典的时频分析方法，它通过计算信号的时域和频域的自相关函数之间的关系，得到信号的时频表示。
WVT能够提供更精确的时频信息，但也存在交叉项干扰和分辨率衰减的问题。
为了克服这些问题，后续的研究提出了改进的时频分析方法，如Cohen's class分布和Cohen's class分布等。
5. 累积频谱分析方法累积频谱分析方法通过将多个STFT结果累积，从而提高分辨率和信噪比。
累积频谱分析方法包括短时傅里叶变换累积、小波包累积、Wigner-Ville累积等。
STFT短时傅里叶变换
② 当ω或k固定时，和Xn(k)看做是时间n的函数。 它们是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口
下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和窗
X(ej) x(m)ejm m
W(ej) w(m)ejm m
均存在。当n取固定值时，w(n-m)
w (nm )ejmejn•W (ej)
m
8
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
X n ( e j ) X ( e j )* [ e j n • W ( e j )]
与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若令
ω＝2πk/N，则得离散的短时傅里叶变换,它实际上是
在频域的取样。
2 k
j
j2 km
X n ( eN ) X n ( k )x ( m ) w ( n m ) eN 0 k N 1
m
3
4.2.1 短时傅立叶变换--定义
这两个公式都有两种解释：
34
4.4 语音信号的短时综合--快速傅里叶变换求和法
35
4.4 语音信号的短时综合--快速傅里叶变换求和法
36
4.4 语音信号的短时综合--快速傅里叶变换求和法
37
4.4 语音信号的短时综合了一个类似于噪声的频谱。 这是由于相邻谐波的旁瓣在谐 波间隔内的相互作用(有时加强 有时抵消)，因而在谐波间产生 了随机变化。这种相邻谐波间 不希望有的“泄漏”抵消了其 主瓣较窄的优点，
因此在语音频谱分析中极少采
stft函数
stft函数STFT（Short-time Fourier transform）又称为短时傅里叶变换，是傅里叶变换的一种在时间上离散的变形方式。
在语音和音频处理中应用广泛，它是一种把一个长时域信号分割成若干短时域信号，并对每一段进行傅里叶变换的方法。
下面，我将介绍STFT函数的使用方法及其在音频处理中的应用。
一、STFT函数的使用方法STFT函数是在时-频域内计算信号频谱密度的一种数学变形方式，它通过在时间轴上对信号进行分段，然后对每段信号进行经典的连续时间傅里叶变换，得到在时域分段区间内的信号频谱。
在使用STFT函数之前，我们需要先定义若干个参数，包括窗口大小、帧之间的重叠度、采样率等等。
然后，将信号进行分段，并对每段信号进行傅里叶变换。
最终得到的结果是一个矩阵，每一列代表一个窗口的傅里叶变换结果。
二、STFT函数在音频处理中的应用STFT函数在音频处理中有很多应用，其中包括：1.音频信号的频谱分析通过对原始音频信号进行STFT变换，可以得到在时域分段区间内的信号频谱。
这个频谱可以用来研究音频信号的频率特性，并且可以帮助我们了解原始声音中包含哪些频率能量。
2.语音信号的处理在使用自然语言处理技术时，我们通常需要进行语音信号的预处理，以便把语音信号转化为数字信号。
STFT函数可以帮助我们把语音信号分割成短时域信号，并对每个短时域信号进行傅里叶变换，以获取频域特性，进而实现语音信号的数字化处理。
3.音频信号的滤波和降噪在音视频通信和语音识别中，由于信号传输和声音录制的原因，可能会受到噪声的影响，导致信号质量下降。
STFT函数可以用于音频信号的滤波和降噪，通过在频域进行滤波，消除噪声对信号的影响，提高声音信号的质量。
总之，STFT函数在音频处理中发挥着非常重要的作用，通过对时域信号进行频谱分析，可以获取更多关于信号特性的信息。
短时傅里叶变换(STFT)性质19页PPT
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
短时傅里叶变换(STFT)性质 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5Байду номын сангаас当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
torch.istft原理
torch.istft原理关于`torch.istft`的原理`torch.istft`是PyTorch中的一个函数，它用于执行逆短时傅里叶变换（Inverse Short-Time Fourier Transform，ISTFT）。
在理解`torch.istft`的原理之前，我们需要先了解什么是短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）。
1. 短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是一种将信号从时域转换为频域的方法，并且通过将窗函数在时间域的滑动来获得信号频谱的时间演变。
STFT的数学表示如下：是输入信号，w(n-mR)是窗函数（通常为汉明窗），N 是窗函数的长度，R是窗口移动的步长，X(m,k)是在时间m和频率k 的STFT系数。
2. ISTFT的概述ISTFT是STFT的逆操作，它将频域的STFT系数转换回原始的时域信号。
ISTFT的数学表示如下：是频域的STFT系数，y(n)是逆变换后的时域信号，w(n-mR)是窗函数，N是窗函数的长度，R是窗口移动的步长。
3. torch.istft的功能`torch.istft`是PyTorch中用于执行逆短时傅里叶变换（ISTFT）的函数。
它可以将频域的STFT系数转换回原始的时域信号。
`torch.istft`的函数原型如下：pythontorch.istft(input,n_fft,hop_length=None,win_length=None,window=None,center=True,normalized=False,onesided=True,length=None,return_complex=False)其中，参数的含义如下：- `input`：输入的频谱。
通常就是STFT的输出，即频域的STFT 系数。
- `n_fft`：FFT窗口的大小。
短时傅里叶变换窗长对分辨率的影响
短时傅里叶变换窗长对分辨率的影响
短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是一种在时间上对信号进行局部分析的方法。
其原理是将信号切分成多个小的时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换。
窗长是指用于切分信号的时间窗口的长度。
窗长的选择会对STFT的分辨率产生影响。
较短的窗长可以提供较高的时间分辨率，即可以更好地捕捉信号的短时变化。
这是因为较短的窗长意味着每个时间窗口内只包含少量的采样点，从而能够更细致地观察信号在时间上的变化。
然而，较短的窗长也会降低频率分辨率，即无法准确地估计较高频率的信号成分。
这是因为较短的窗长对于高频信号的变化捕捉能力较差。
在频域上，较短的窗长会导致傅里叶变换的频率分辨率较低。
较长的窗长可以提供较高的频率分辨率，即可以准确地估计较高频率的信号成分。
这是因为较长的窗长对于高频信号的变化有更好的捕捉能力。
然而，较长的窗长会降低时间分辨率，即无法精确地估计信号的短时变化。
这是因为较长的窗长包含更多的采样点，使得时间窗口内信号的变化较为平均，从而可能掩盖了一些短时变化。
因此，窗长的选择需要根据具体的应用来进行权衡。
如果关注信号的短时变化，可以选择较短的窗长；如果关注信号的频率成分，可以选择较长的窗长。
短时傅立叶变换
40
60
80
100
120
Time [s]
Frequency [Hz]
• 从f轴
8 7 6 5 4 3 2 1
Amplitude
|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, mesh, Thld=5%
T0ime [s] 0.05 0.1
0.15 0.2
0.25 0.3 0.35 0.4 Frequency [Hz]
Energy spectral density
0.3
0.2
0.1
12010 08000600400200
0
20
40
60
80
100 120
Time [s]
例3
Real part
Signal in time 2 1 0 -1
|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, mesh, Thld=5%
基本思想：用一个具有适当宽度的滑动窗函 数从信号中提取一段做傅立叶变换
与傅立叶变换的对比
傅立叶变换
X x e j d
短时傅立叶变换
STFTx (t, ) x( )g ( t)e j d
短时傅立叶变换
x(τ )
x( )g( t1) x( )g( t2 ) x( )g( t3 )
Amplitude
8 6 4 2
0.4 0.3 0.2 0.1 0
Frequency [Hz]
20
40
60
80
100 120
Time [s]
离散短时傅立叶变换
当我们要在计算机上实现一个信号的短时傅 立叶变换时，该信号必须是离散的
torch.istft原理 -回复
torch.istft原理-回复torch.istft（inverse short-time Fourier transform）是PyTorch框架中用于将短时傅里叶变换（STFT）形式的频谱信号转换回时域信号的函数。
STFT是一种将信号分解成频谱特征的常用方法，而逆STFT则是将频谱信号重新合成为时域信号的过程。
在本文中，我们将详细介绍torch.istft的原理和实现细节，以及其在语音处理等领域的应用。
一、STFT概述短时傅里叶变换（STFT）是一种将信号分解成频谱特征的方法，常用于音频信号处理、语音处理、图像处理等领域。
STFT通过将信号分割成多个窗口，并对每个窗口上的信号进行傅里叶变换，得到对应的频谱表示。
这样可以分析信号在不同频段上的特性，并提取有关音频的重要信息。
具体而言，给定一个时域信号x(t)，其STFT可以表示为：X(m, n) = ∑[x(t) * w(t-mT) * e^(-jωnT)]，其中，m表示窗口的索引，n表示频率的索引，w(t-mT)表示窗口函数，T 表示每个窗口的长度，Ω表示频率分辨率。
X(m, n)为复数形式的频谱表示，可以通过取模或幅度来得到幅度谱表示。
二、ISTFT概述逆STFT（ISTFT）是将频谱信号重新合成为时域信号的过程。
给定一个频谱表示X(m, n)，ISTFT可以表示为：x(t) = ∑[X(m, n) * w*(t-mT) * e^(jωnT)] / N，其中，X(m, n)为频谱表示，w*(t-mT)为窗口函数的共轭形式，N为总的窗口数量。
x(t)为逆STFT得到的时域信号，反映了频谱信号X(m, n)所带有的信息。
值得注意的是，ISTFT过程中需要注意窗口函数的选择和窗口重叠的处理。
常用的窗口函数包括汉宁窗、海明窗、矩形窗等。
窗口函数的选择会影响到STFT和ISTFT的性能和结果。
三、torch.istft原理torch.istft是PyTorch框架中用于实现逆STFT的函数，其原理和上述所述的ISTFT原理类似。
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换傅里叶变换是信号处理领域常用的一种数学方法，用于将信号在不同频率上的成分分离开。
它是将一个信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的原理是将一个函数在时间域上的表示转换为频域上的表示。
傅里叶变换可以将一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这种分解使得我们可以更好地理解信号的频域特性。
傅里叶变换的公式定义如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)是频率域上的复值函数，f(t)是时域上的实值函数，ω是角频率。
傅里叶变换有许多应用领域，例如音频和图像处理。
在音频处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解成不同的频率成分，从而实现声音的频谱分析和滤波。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像分解成不同空间频率上的成分，从而实现图像的频域滤波和增强。
然而，傅里叶变换的一个主要缺点是它只能提供信号的频域表示，而不能提供信号的时域信息。
这导致了傅里叶变换在处理一些时变信号时的不足。
为了解决这个问题，人们发展出了一种叫做短时傅里叶变换（STFT）的方法。
短时傅里叶变换将傅里叶变换应用到一小段信号上，然后将这些小段信号的频域表示拼接起来。
这样一来，就可以得到信号在不同时间窗口上的频域表示，从而更好地了解信号在时间和频率上的变化。
短时傅里叶变换的公式定义如下：STFT(x, t, ω) = ∫[x(τ) * w(τ - t) * e^(-iωτ)] dτ其中，x是信号，t是时间，ω是角频率，w是窗函数。
短时傅里叶变换的应用非常广泛。
在语音处理中，短时傅里叶变换可以将一个信号分解成不同时间窗口上的频谱成分，从而实现语音的时频分析和合成。
在音乐处理中，短时傅里叶变换可以实现音乐信号的节拍检测和音高分析。
在图像处理中，短时傅里叶变换可以提取图像的纹理特征和边缘信息。
然而，短时傅里叶变换在处理一些时变信号时也存在一些问题。
例如，窗口函数的选择会影响到短时傅里叶变换的结果。
短时傅里叶变换的应用
短时傅里叶变换的应用短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，简称STFT）是一种经典的信号分析方法，常用于时间-频率分析以及信号降噪。
随着数字信号处理技术的不断发展，STFT在实际应用中扮演着越来越重要的角色。
一、STFT的基本原理STFT是将一个长时信号分解成一系列短时信号，然后对每个短时信号进行傅里叶变换。
具体过程如下：1. 将长时信号分成若干个固定长度的片段，并在每个片段上进行窗函数处理，得到窗函数加权的信号片段；2. 对每个信号片段进行傅里叶变换，得到频谱信息；3. 将所有信号片段的频谱信息合并起来，得到整个信号的时频图。
二、STFT的应用STFT有诸多优点，其中最重要的为其时间-频率分析的能力。
因为STFT能够提供某个时刻下的频率信息，因此可以方便地对时变信号进行分析，了解它们的时间特性和频谱特性。
1. 时频分析STFT通过分段进行信号分析，相对于传统的傅里叶变换，能够提供更加精细的时间-频率分析图，通过它，我们可以更加直观地了解信号在时间和频率上的变化，进一步研究信号的时间演化规律和频谱分布特征，比如在音频信号分析、图像处理、地震勘探等领域都得到了广泛应用。
2. 信号降噪STFT也可以通过对信号分析得到的对应时频图进行滤波处理来对信号进行降噪操作。
根据信噪比的不同，可以采用不同的滤波方法，以适应各种信号的降噪需求。
比如采用阈值滤波法可以清除时间-频率图像上信噪比低的区域上高频的杂音，从而可有效提高信号的质量。
三、STFT的局限虽说STFT在分析和降噪等领域有着广泛的应用，但还是有其局限性：1. 窗函数选择窗函数的选择会影响STFT分析结果的准确度。
大多数窗函数选择与时间长度相等的汉宁窗，但不同窗函数会有不同的影响，需谨慎选用。
2. 时频图分辨率STFT的时频图分辨率会受到窗函数尺寸和窗函数长度之间的平衡关系的影响，在保证分辨率的同时，也要尽可能地使得不同频率间取样点尽可能地接近（折衷原理）。
同步压缩短时傅里叶变换
同步压缩短时傅里叶变换
同步压缩短时傅里叶变换（Synchronous Compressed Short-Time Fourier Transform，SC-STFT）是一种用于信号处理的方法。
同步压缩短时傅里叶变换的思想是，选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
同步压缩短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，同步压缩短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。
如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。
同步压缩短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。
短时傅里叶变换重叠相加
短时傅里叶变换重叠相加短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，常称为STFT）是一种广泛应用于信号处理领域的数学工具。
它可以将随时间变化的信号分解为不同频率成分，并提供时频域上的详细信息。
其中，“短时”指的是将整个信号分成较短的时间窗口，而“傅里叶变换”则是将信号从时域（时间域）转换到频域（频率域）。
STFT是由一系列频谱片段组成的，这意味着它可以在频率和时间上提供更精细的分析。
为了获得连续的频谱信息，STFT将信号分成多个窗口，并分别对每个窗口进行傅里叶变换。
每个窗口都与信号重叠一部分，以确保在窗口之间没有信息的丢失。
这种重叠相加的方法是STFT的一个关键特点，它允许我们获得更准确的频谱分析结果。
STFT在许多应用中都发挥着重要作用。
例如，在音频处理中，我们可以利用STFT来分析声音信号中的音频特征，如音调、音量和音色等。
它还可以用于语音识别、音频压缩和音频恢复等领域。
此外，在图像处理中，STFT也被用于分析图像的纹理和频率特征，以及图像压缩和增强等方面。
为了执行STFT，我们需要选择合适的窗口函数和窗口长度。
不同的窗口函数对信号的频率分辨率和时域分辨率有不同的影响。
常用的窗口函数包括汉宁窗、矩形窗和高斯窗等。
窗口长度应根据信号的特性和所需的分辨率进行选择。
较短的窗口长度适用于分析快速变化的信号，而较长的窗口长度适用于较慢变化的信号。
在实际应用中，由于STFT的计算量较大，我们通常使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来加速计算过程。
FFT 算法可将STFT的计算复杂度从O(N^2)降低到O(N logN)，其中N是信号的长度。
这大大提高了STFT的实时性和实用性。
总之，短时傅里叶变换重叠相加是一种强大而灵活的信号处理工具，它可以提供详细的时频域信息，有助于我们更好地理解和分析信号。
在不同领域的应用中，STFT都发挥着重要的作用，并且不断被改进和优化。
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1 jn X n (e ) e W (e j ) X (e j ( ) )d 2 X n ( e j ) 由上式看出，为了使 准确地代 j X (e ) 替 的特性，移动窗的傅立叶变换应 当是一个冲击函数，相应地要求移动窗无线宽。 (推导)
j
3
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
r r
W (e j 0 ) w( rR m) r R W (e j 0 ) y ( m) x ( m) R
17
令m n m带入后，再将 换成符号m m
' '
X n (e ) e
j
jn
用线性滤波实现短时傅立叶变换的主要优点 在于，可以利用线性滤波器的一些成果，使 实现方法变得非常简单。
7
m
x(n m)w(m)e
jm
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
8
4.4 短时傅立叶谱的取样
1 N 1 yr ( m) X rR (e j )e j m , r , r Z N k 0 1 N 1 y ( m ) yr ( m ) X rR (e j )e j m r r N k 0
k k k k
x( m) w( rR m) x( m) w( rR m)
根据短时傅立叶变换 得出x(m)的傅立叶变 换 X ( e j ) ，对窗函数所加的约束条件 w(0) 0
1
X n ( e j )
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
短时谱的另一种表达形式：
DTFT DTFT x(m) X (e j ) w(m) W (e j ) , DTFT 则 w(n m) w((m n)) e j nW (e j )
4.5 语音的短时合成技术
滤波器组相加法
y ( n ) X n (e
k 0 N 1 k 0 N 1 j k
)e
j k n
yk ( n )
k 0 j N 1 k 0
N 1
h(n) hk (n) H (e ) H k (e j ) hk (n) w(n)e
LN
11
4.4 短时傅立叶谱的取样
总取样率 － SR Rt L 2kfs － 取最低取样率，得
－ 在某些情况下，可用欠取样率进行取样； － 在另外一些情况下，常常要求对短时傅立叶变 换作某些修改，并从滤波后的频谱合成信号。这时 要求时、频域都不能产生混叠失真。
12
SR SR 2kf s 2k fs
j
an ( ) x(m) cosmw(n m)
m
bn ( ) x(m) sinmw(n m)
m
5
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
6
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
用线性滤波实现短时傅立叶变换的另一种形 式（教材p47图4-5）
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
如果将n看作某个给定值，则短时傅立叶只不过是语音段 x(m)w(n-m)的离散时间傅立叶变换，故有短时傅立叶 反变换： 1
x(m) w(n m)
2
X (e j )e jm d
如果
w(0) 0
，令m=n则有
1 x ( n) X (e j )e jm d 2w(0)
1 故 x(m) w(n m) X (e j ) *[e j nW (e j )] 2 1 j n j X n (e ) [e W (e j )]X (e j ( ) )d 2
DTFT
2
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
1 jn X n (e ) e W (e j ) X (e j ( ) ) d 2 用－ 代替 ，有
9
4.4 短时傅立叶谱的取样
时域取样
X n (e ) w(n m) x(m)e
j m
j m
fs － 大多数实际应用的窗，有 B k N － 时域取样率应选取为 fs Rt 2k N
10
4.4 短时傅立叶谱的取样
频域取样 － 短时傅立叶变换是周期函数，其周期 是 2 ，因此只需讨论 2 范围内频域取 样的问题； － 均匀取样L点，L取何值，可由L个取样值 无失真地恢复原始信号； － 为了使恢复地时域信号不产生混叠失真， 要求满足条件：
k
13
4.5 语音的短时合成技术
14
4.5 语音的短时合成技术
H (e j ) Nw(0) h(n) Nw(0) (n) y (n) x(n) h(n) Nw(0) x(n)
－ 为了能够由 X (e ) 准确恢复x(n)， 带通滤波器组应满足约束条件
j n
N 1 k 0
k
j k n
H (e ) H k (e ) W (e j ( ) )
j j
k
N 1 k 0
N 1 k 0
2 N 1 j kn 1 N 1 j n 0 1 N W (e )e w(n rN ) W (e j ) w(0) r N k 0 N k 0
bn ( ) x(m) sinmw(n m)
m
4
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
用线性滤波实现短时傅立叶变换的第一种形 式（教材p46图4-4）
X n (e ) w(n m) x(m)e
j m
jm
X n (e ) an ( ) jbn ( )
对短时傅立叶变换的线性滤波解释（教材 p46图4-4、p47图4-5 ）
X n (e ) w(n m) x(m)e
j m
jm
X n (e ) an ( ) jbn ( )
j
an ( ) x(m) cosmw(n m)
m
hk (n) h(n) Nw(0) (n) Nhomakorabea15
4.5 语音的短时合成技术
欠速率取样
h(n) hk (n) w(n)e
k 0 k 0 L 1 L 1 j k n L 1
w(n) e j n
k
k 0
p ( n) e
k 0
L 1
j k n
e
k 0
L 1
j
2 kn L
L (n rL)
r
h(n) w(n) p (n) k ,当n r0 L时 w(n) 0,当n rL, r r0 , r 0,1,2,...时
16
4.5 语音的短时合成技术
语音短时合成的叠接相加法