同济大学《高等数学》(第四版)1-4节 函数的极限

x 0
1
o
x
1
lim x lim x lim 1 1
x x x0
x0
x 0
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
三、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下, f (x) 有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后 f ( x) 有界.
2.唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时, f ( x) sin x 无限接近于 0.
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
的图形的水平渐近线.
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
n
xn n
2
lim1 1, n
二者不相等, 故 lim sin 1 不存在.
x0
x
四、小结
函数极限的统一定义
lim f (n) A;
n
lim f ( x) A; lim f ( x) A; lim f ( x) A;
x
x
x
lim f ( x) A; lim f ( x) A;
x x0
例7 证明 lim sin 1 不存在. x0 x
证
取
xn
1 n
,
lim
n
xn
0,
且 xn 0;
y sin 1 1
1
,
lim
n
xn
0,
2
且 xn 0;
而 lim sin 1 lim sin n 0,
n
x n n
而 lim sin 1 lim sin 4n 1
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
lim f ( x) lim (5 x2 ) 5,
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
一、填空题:
练习题
1、当 x 2 时，y x 2 4，问当 取 ___时， 只要 0 x 2 ，必有 y 4 0.001 .
4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ),, f ( xn ),为函数f ( x)
当x a时的子列.
定理
若 lim xa
四、讨论：函数(x) x 在 x 0 时的极限是否
x 存在?
练习题答案
一、1、0.0002； 四、不存在.
2、 397 .
定理(保号性) 若 lim f ( x) A,且A 0(或A 0), x x0
则 0,当x U 0( x0 ,)时, f ( x) 0(或f ( x) 0).
推论
若 lim x x0
f
(x)
A,且
0,当x U 0( x0 ,)时,
f ( x) 0(或f ( x) 0),则A 0(或A 0).
x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
2.另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
20. x 情形 : lim f ( x) A x
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
2.与任意给定的正数有关.
2.几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
y f (x)
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
,
lim x2 1 2. x1 x 1
例5
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
证 f (x) A
x x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
任给 0, 要使 f ( x) A ,
只要 x x0 x0 且不取负值.取 min{ x0 , x0},
当0 x x0 时, 就有 x x0 ,
3.不等式性质
定理(保序性) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B.
x x0
x x0
若 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x),则A B.
推论 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,且A B
x x0
x x0
则 0,x U 0( x0 ,),有f ( x) g( x).
f
(x)
A,数列f
( xn )是f
( x)当x
a
时的一个子列, 则有lim n
f
( xn )
A.
证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例4 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 x
1 1
2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
就有 x2 1 2 x1
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x ,对应的函数值 f ( x) 都 满足不等式 f ( x) A ,那末常数A 就叫函数
f ( x)当x x0 时的极限,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
例如, lim sin x 1 x0 x
y sin x x
lim nsin 1 1,
n
n
lim
n
n sin 1 1, n
n2 n 1
lim sin n n 1
n2
1
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
x x0
lim f ( x) A.
x
x
0
lim f ( x) A 0,时刻,从此时刻以后,
恒有 f ( x) A . (见下表)
过 程 n
时刻
从此时刻以后 n N f (x)
x x x N
x N x N x N
f (x) A
过程 时刻
x x0
x x0
lim x x0
x
x0 .
3.单侧极限:
例如,
设
f (x)
1 x,
x
2
1,
证明lim f ( x) 1. x0
x0 x0
y y 1 x
1
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
y x2 1 x
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim C C, (C为常数). x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x) A C C 0 成立, lim C C. x x0
例3
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
3.几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5 x2 ,
x0 x 0 在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0时， f ( x) 的
极限是否存在？
思考题解答
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
y
证 lim x lim x x0 x x0 x lim (1) 1
2、当
x
时，y
x2 x2
1 3
1，问当 z
取 ______
时，只要 x z，必有 y 1 0.01 .
二、用函数极限的定义证明：
1、lim 1 4x 2 2
x1
2
2x 1
2、 lim sin x 0 x x
三、试证 :函数 f ( x) 当 x x0 时极限存在的充分 必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等 .
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
x
x
1 x
1 , X
0, 取 X 1 ,
则当 x X时恒有
sin x 0 , x
故 lim sin x 0. x x
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
1. 定义 :
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )