高二排列组合知识梳理
高中数学的排列与组合总结
高中数学的排列与组合总结在高中数学中,排列与组合是重要的概念和技巧,广泛应用于概率、统计以及其他数学领域。
通过对排列与组合的系统学习和应用,学生可以提升解决实际问题的能力和逻辑思维能力。
本文将对高中数学中的排列与组合进行总结和归纳。
一、排列排列是指将一组事物按照一定的顺序进行排列的方法。
在排列中,考虑的因素包括元素的个数和位置。
对于n个元素的排列,可以使用以下公式计算排列的数量:P(n)=n!其中,P(n)表示n个元素的排列数量,n!表示n的阶乘,即n的所有正整数连乘。
举例说明,假设有3个人A、B、C要站成一排,那么可能的排列方式有6种,分别是ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
这里n=3,所以P(3)=3!=6。
在实际问题中,排列的应用非常广泛。
比如在选择委员会成员时,如果有n个候选人,要挑选m个人,那么可能的排列数量就是P(n,m)。
二、组合组合是指将一组事物中的一部分事物挑选出来形成一种组合的方法。
与排列不同,组合不考虑事物的顺序。
对于n个元素的组合,可以使用以下公式计算组合的数量:C(n,m)=P(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!)其中,C(n,m)表示从n个元素中挑选m个元素的组合数量,P(n,m)表示n个元素中挑选m个元素的排列数量。
以选择考试科目的例子来说明组合的应用。
假设学生可以选择从5个科目中选修3个,那么可能的组合数量就是C(5,3)。
三、排列与组合的应用排列与组合在数学中的应用非常广泛。
以下是一些常见的应用领域:1. 概率与统计:在概率与统计中,排列与组合用于计算事件的样本空间的大小,从而计算概率。
比如投掷硬币的结果,抽取扑克牌的可能性等。
2. 组合数学:排列与组合是组合数学的重要概念,在组合数学中有着广泛的应用。
比如计算二项式系数、计算全排列等。
3. 信息论:在信息论中,排列与组合用于计算信息的熵、编码等问题。
排列与组合在信息论中的应用可以帮助我们理解信息的传输与压缩。
高考数学排列与组合知识点
高考数学排列与组合知识点在高考数学中,排列与组合是一个重要的知识点。
它涉及到集合中元素的选择和排列方式,充满了逻辑思维和计算技巧。
掌握好这个知识点对于高考数学的考试是至关重要的。
下面我将从几个重要方面介绍排列与组合的基础知识和解题技巧。
一、基本概念1. 排列:排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素,按照一定的顺序排列起来。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行排列,那么排列的数目用P(n, m)表示,其计算公式为:P(n, m) = n! / (n-m)!其中,"!"表示阶乘运算,即n! = n(n-1)(n-2)...1。
2. 组合:组合是指从给定的元素集合中选择一部分元素,不考虑顺序的方式。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行组合,那么组合的数目用C(n, m)表示,其计算公式为:C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]二、排列与组合的性质和定理1. 重复排列:当元素中有重复的情况时,排列的计算公式需要进行相应的修正。
假设有n个元素中有r1个元素相同,r2个元素相同......ri个元素相同,排列的数目可以通过以下公式计算:P(n, m) = n! / (r1! * r2! * ... * ri! * (n-m)!)2. 求整数解的排列:当要求整数解的排列时,我们可以使用分别代表每个数位的元素进行排列的方法。
比如,要求x、y、z三个整数之和为10,且满足x>0,y>0,z>0,我们可以将它们看作是从[1, 10]的元素集合中选取的排列。
3. 禁忌排列:禁忌排列是指排列中出现某些特殊情况需要剔除的情况。
比如,要求三个不同字母A、B、C排列成3位数,且BC不得出现,那么我们可以通过计算总的排列数减去BC出现的排列数得到最终的结果。
三、解题技巧1. 确定问题类型:在解决排列与组合问题时,首先需要明确题目中给出的要求是排列还是组合。
排列要考虑元素顺序,组合则不考虑。
高二数学排列和组合知识点
高二数学排列和组合知识点排列与组合是高中数学中的重要内容,它们在解决实际问题时具有广泛的应用。
本文将详细介绍排列和组合的基本概念、公式以及解题方法,帮助学生掌握这一知识点。
基本概念排列和组合都是从一组元素中选择一定数量的元素进行分析的数学方法。
排列强调元素的顺序,而组合则不考虑元素的顺序。
排列1. 排列数公式:从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数,记作A_{n}^{m},计算公式为:\[ A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!} \]其中n!表示n的阶乘,即从1乘到n。
2. 举例说明:假设有5本不同的书,我们要选出2本来阅读。
如果考虑阅读的顺序,那么第一天读哪本书,第二天读哪本书是有区别的。
这里就有A_{5}^{2}种不同的排列方式。
组合1. 组合数公式:从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,记作C_{n}^{m},计算公式为:\[ C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} \]同样,这里的n!表示n的阶乘。
2. 举例说明:继续上述的例子,如果我们只关心选出哪2本书来阅读,而不关心阅读的顺序,那么这就是一个组合问题。
计算方法为C_{5}^{2}。
解题方法1. 区分排列与组合:首先要明确问题是要求排列还是组合。
如果问题中涉及到元素的顺序,那么就是排列问题;如果不涉及顺序,则是组合问题。
2. 公式运用:根据问题的具体要求,选择合适的排列或组合公式进行计算。
3. 实际应用:排列和组合的知识可以应用于许多实际问题,如概率计算、统计分析等。
在解题时,要结合实际情况,灵活运用所学知识。
练习题1. 有7个人排队,其中甲必须排在乙的前面,问有多少种排队的排列方式?2. 一个班级有10个男生和5个女生,从中选出3个代表,其中至少有1个女生的组合有多少种?通过以上介绍和练习题,相信学生可以更好地理解和掌握排列与组合的概念、公式及解题方法。
在实际解题过程中,要注意区分排列和组合的不同,并正确运用公式,这样才能有效地解决问题。
数学高二下期末知识点组合
数学高二下期末知识点组合在高二下期末考试中,数学是一个重要科目,其中组合是一个知识点。
组合是数学中的一个分支,主要研究的是从给定的元素集合中,选取若干个元素(不考虑元素的顺序)构成子集的方法和性质。
在本文中,将介绍高二下学期末考试中数学组合知识点的重要内容。
1. 排列与组合的概念排列和组合是组合数学中的两个基本概念。
排列是指从给定n个不同元素中,取出m个元素进行排列的方法总数,记作An^m。
组合是指从给定n个不同元素中,取出m个元素进行组合的方法总数,记作Cn^m。
排列区分元素的顺序,而组合不考虑元素的顺序。
2. 基本方法与性质组合数学中有许多基本方法和性质,包括乘法原理、加法原理、重复排列、多重集合等等。
乘法原理是指若一个任务可以分为若干个部分,每个部分有r1中选择方法,r2中选择方法,...,rn中选择方法,那么整个任务有r1 * r2 * ... * rn中选择方法。
加法原理是指若一个任务可以分为若干个部分,每个部分互不相干,则整个任务有r1 + r2 + ... + rn中选择方法。
重复排列是指从n个元素中重复选取m个元素进行排列的方法总数,记作P(n, m)。
多重集合是指包含重复元素的集合,对于多重集合的组合问题需要考虑元素的重复次数。
3. 组合公式与应用组合数学中有一些重要的公式与应用,其中包括二项式定理、组合恒等式和容斥原理等。
二项式定理是指对于任意非负整数n和a、b,有(a + b)^n = Cn^0 * a^n + Cn^1 * a^(n-1) * b + ... + Cn^n* b^n。
组合恒等式是指组合中的一些恒等关系,包括互补原理、对称原理和平移原理等。
容斥原理是处理组合计数问题的重要方法,它可以用于计算满足某种特定条件的组合数目。
4. 组合数学的应用组合数学在实际问题中有着广泛的应用。
在排列与组合中,经典的应用场景有选课问题、分组问题、问卷调查问题等。
同时,在算法设计、密码学、图论等领域中也有许多组合数学相关的问题和算法。
高二排列组合知识点总结
高二排列组合知识点总结排列组合是高中数学中的重要内容,涉及到许多基本概念和重要定理。
本文将对高二阶段学习的排列组合知识点进行总结,以帮助学生复习和加深对该知识领域的理解。
一、排列与组合的基本概念1. 排列:从给定的元素集合中,选取若干个元素按照一定的顺序排列组成不同的序列。
2. 组合:从给定的元素集合中,选取若干个元素组成一个集合,不考虑元素的排列顺序。
3. 排列数:表示从n个不同元素中,按一定顺序选取k个元素进行排列的方法数,用符号A(n,k)表示,计算公式为A(n,k) =n!/(n-k)!。
4. 组合数:表示从n个不同元素中,选取k个元素组成一个集合的方法数,用符号C(n,k)表示,计算公式为C(n,k) = n!/[(n-k)!k!]。
二、排列与组合的性质与应用1. 乘法原理:若某事件发生的方式有m种,每种方式发生的次数有n1、n2、...、nm次,则该事件发生的总次数为n1 * n2 * ... * nm。
2. 加法原理:若某件事情的发生可以分成两个互斥事件A和B,则事件A发生的次数与事件B发生的次数之和等于该事情发生的总次数。
3. 逆排列:将n个元素的排列倒序排列,得到的新排列称为逆排列,用符号A(n)*表示。
4. 重复排列:当选取元素中存在相同元素时,不同元素之间的排列方式是不同的,需要考虑重复排列的问题。
5. 标志多项式:指数为n的标志多项式的系数表示从n个元素中选取k个元素排列的方法数,用符号P(n,k)表示。
三、排列组合的常见问题类型1. 从给定元素中选取特定元素进行排列与组合的问题。
例:从10个人中选取3个人进行排队的方式有多少种?解:根据排列数的计算公式,A(10,3) = 10!/(10-3)! = 10*9*8 = 720种方式。
2. 简化条件下的排列与组合问题。
例:3个不同的小球放入2个不同的盒子,每个盒子至少放1个小球,共有多少种放法?解:根据组合数的计算公式,C(3,1) = 3!/(3-1)!1! = 3种方式。
高中数学中的排列与组合重要知识点详解
高中数学中的排列与组合重要知识点详解排列与组合是高中数学中的重要知识点之一,它们在概率统计、数论以及实际问题中的应用非常广泛。
本文将详细介绍排列与组合的相关概念、性质以及应用。
一、排列的概念与性质排列是指从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序进行排列,其结果不同于组合。
在排列中,每个元素只能使用一次,且不同的顺序会形成不同的排列。
1. 重复排列重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列,但允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复排列的可能数可以表示为n^r。
2. 不重复排列不重复排列是指从给定的元素中选取一部分进行排列,但不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复排列的可能数可以表示为A(n, r)或nPr,计算公式为A(n, r) = n!/(n-r)!。
二、组合的概念与性质组合是指从给定的元素中选取一部分,不考虑其顺序,将其组成一个集合。
在组合中,不同顺序的元素组合形成的结果是相同的。
1. 重复组合重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合,允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行重复组合的可能数可以表示为C(n+r-1, r)或C(n+r-1, n-1),计算公式为C(n+r-1, r) = (n+r-1)! / (r!(n-1)!)。
2. 不重复组合不重复组合是指从给定的元素中选取一部分进行组合,不允许元素的重复使用。
对于n个元素中选取r个进行不重复组合的可能数可以表示为C(n, r)或nCr,计算公式为C(n, r) = n! / (r!(n-r)!。
三、排列与组合的应用排列与组合既有理论上的意义,也有广泛的实际应用。
1. 概率统计排列与组合在概率统计中经常用来计算样本空间的大小,从而计算概率。
例如,在抽取彩票号码、扑克牌的发牌问题中,可以利用排列与组合的知识来计算可能的结果数量。
2. 数论排列与组合也在数论中有重要的应用。
例如,在数论中,可能出现对排列和组合的计数问题,而排列与组合的知识可以帮助解决这些问题。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)排列组合一.基本原理1.加法原理:做一件事有n类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2.乘法原理:做一件事分n步完成,则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注:做一件事时,元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。
二.排列:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一m列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,所有排列的个数记为An. 1.公式:1.Anm n n 1 n 2n m 1n!n m!2. 规定:0! 1(1)n! n (n 1)!,(n 1) n! (n 1)! (2) n n! [(n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)! n!;(3)n n 1 1 n 1 1 1 1(n 1)!(n 1)!(n 1)!(n 1)!n!(n 1)!三.组合:从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并组成一组,叫做从n 个不同的m 元素中任取m 个元素的组合数,记作Cn 。
n n 1 n m 1 Amn!1. 公式:C nm!m!n m!Ammmn规定:Cn 101n2.组合数性质:Cnm Cnn m,Cnm Cnm 1 Cnm 1,Cn Cn Cn 2nrrr 1rrrrr 1rrrr 1注:Crr Crr 1 Crr 2 CnCnCn 1 Cn Cr 1 Cr 1 Cr 2 1 Cn Cr 2 Cr 2 1 Cn Cn 1若Cnm Cnm则m1=m2或m1+m2 n 四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
2.解排列、组合题的基本策略(1)两种思路:①直接法;②间接法:对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理:当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
排列组合知识点
排列组合知识点排列组合是高中数学中的一个重要内容,它是指在一组元素中选取部分元素进行排列或组合的方式。
通过对元素的不同排列和组合,可以得到不同的结果,用于解决一些与选择、分配、摆放等问题有关的情景。
本文将以3000字详细介绍排列组合的基本概念、性质以及应用领域。
一、排列的基本概念和性质1. 排列的定义排列是指从一组元素中取出若干元素进行重新排列得到不同的序列。
这个序列的顺序是明确的,不同的排列方式得到的结果是不同的。
2. 排列的计算方法(1)全排列:从n个不同元素中取出m个元素进行排列,计算全排列的个数可以使用阶乘运算:P(n,m) = n!/(n-m)!(2)部分排列:从n个不同元素中取出m个元素进行排列,计算部分排列的个数可以使用阶乘运算:A(n,m)=n!/(n-m)!3. 排列的性质(1)排列具有顺序性:即不同的元素排列顺序不同时,得到的排列结果是不同的。
(2)排列的个数与元素个数有关:排列的个数与所选取的元素个数有关,当选取的元素个数与原集合中的元素个数相同时,排列的个数达到最大值。
(3)排列的个数与元素的重复性有关:当元素中存在重复元素时,排列的个数会减少。
二、组合的基本概念和性质1. 组合的定义组合是指从一组元素中取出若干元素进行组合,组合的结果不考虑元素的顺序。
2. 组合的计算方法从n个不同元素中取出m个元素进行组合,计算组合的个数可以使用组合数公式:C(n,m) = n!/[m!(n-m)!]3. 组合的性质(1)组合不考虑元素的顺序:组合的结果不受元素排列顺序的影响。
(2)组合的个数与元素的重复性有关:当元素中存在重复元素时,组合的个数会减少。
(3)组合的个数与元素个数有关:组合的个数受选取的元素个数和原集合的元素个数的影响。
三、排列组合的应用领域1. 概率统计排列组合在概率统计中具有重要的应用,用于计算事件的可能性。
例如,计算从一组数字中选取若干数字,得到某个特定数字的概率。
高二数学选修2-3排列知识点
高二数学选修2-3排列知识点排列是数学中的一个重要概念,在高二数学选修2-3中,我们将深入学习排列的相关概念和应用。
本文将从基本概念、排列的计算方法和排列的应用几个方面进行探讨。
一、基本概念1. 排列的定义:排列是从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式。
2. 全排列:全排列指的是从给定的元素中选取所有元素按照不同的顺序进行排列的方式。
3. 循环排列:循环排列是一种特殊的排列方式,即在排列的过程中,首尾相连形成一个环。
二、排列的计算方法1. 排列的计算公式:在计算排列的数量时,我们可以使用排列的计算公式,即n个不同元素的全排列数量为n!。
2. 有重复元素的排列:当排列中存在重复的元素时,计算排列的数量需要考虑重复元素的情况,我们可以使用排列计算公式的变形公式,即在n个元素中,有n1个元素相同,n2个元素相同,...,nk个元素相同,则排列的数量为n!/(n1! * n2! * ... * nk!)。
三、排列的应用1. 字母组合:排列的概念在字母组合的问题中经常被应用。
例如,计算一个字母串中可能的组合数量、字母的全排列数量等。
2. 座位安排:排列的概念也被广泛应用于座位安排的问题中。
例如,如何安排n个人坐在一排座位上的不同方式数量。
3. 时间安排:排列还可以应用于时间安排问题。
例如,在参加一场比赛的选手中,如何安排他们的比赛顺序,使得每个选手都能与其他选手进行比赛。
4. 数字密码:排列的概念在密码学中也扮演着重要的角色。
例如,当设置数字密码时,我们可以使用排列的方式来确定密码的顺序与组合。
综上所述,排列作为高二数学选修2-3中的重要知识点,具有一定的理论基础和应用价值。
通过深入学习和实践,我们可以更好地掌握排列的计算方法和应用技巧,进一步提升我们的数学能力和问题解决能力。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义,理解排列数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义,理解组合数公式,并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一:排列1.排列的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ,这样的排列叫选排列;若m =n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有排列的个数,从n 个不同元素中取出m 元素的排列数,记作mn P .(1) P m n =n (n -1)(n -2) … (n -m +1); (2) ==!P n n n n (n -1)(n -2) … 3×2×1; (3) P m n =()!!n n m -; 规定:0!=1.知识点二:解决排列问题的基本方法.1. 优限法:即先排特殊的元素,或者特殊的位置.2.捆绑法:相邻问题,把相邻的元素看成一个整体,然后再参与其他元素的排列. 3.插空法:对元素互不相邻的排列问题,常常采用插空法,首先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法:即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面,用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法:即将所有排列按照一定的规律,一一列举出来的方法. 知识点三:组合1.组合的定义:从n 个不同元素中,任取m (m ≤n )个不同的元素,组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素的所有组合的个数,从n个不同元素中取出m 元素的组合数,记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ,*N ∈m ,且m ≤n ).3. 组合数性质:(1) C =C m n mn n-; (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四:解组合问题的方法1.分类讨论:即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类,并侧重其中一类,相应各类分类讨论,分类时要做到不重不漏.2.等价转化:即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五:计数需注意问题1.排列为有序问题,组合为无序问题,两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素,一个是不同的元素,另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步,第一步取出元素,第二步排列顺序.3.组合只有一个要素,就是取出元素即可,与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理,排列和组合,元素允许重复是直接用计数原理,而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相,共多少种排法?分析:把5个元素放在5个位置上,相当于5的全排列,也共有120P 55=种排法. 解答:N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈,10x <,(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析:排列数公式 P m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)的特点: (1)等号右边最大的数是n ; (2)等号右边最小的数是n -m +1; (3)共有m 个连续自然数相乘. 解答:30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. (1)可以组成多少个五位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的五位数? (3)可以组成多少个1和2相邻的六位数? (4)可以组成多少个1和2不相邻的六位数?分析:先考虑是用分类分步还是用排列组合,就是要观察一下数字是否允许重复,数字允许重复用分类分步计数原理,数字不允许重复用排列组合,数字相邻用捆绑法,数字不相邻用插空法.解答:(1)数字可以重复,所以用分步计数原理,每个数位上都有6个数字可选,因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.(2)数字不可以重复,还有顺序,所以用排列,共720P 56==N 个.(3)1和2相邻,用捆绑法,先排1和2共22P 种,与余下的4个元素共有55P 种,则共有240P P 5522=个.(4)1和2不相邻,插空法,先排余下的4个元素44P 种,,再从5个空中挑选2个即25P 种,则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人, (1)共有多少种不同的选法? (2)恰好有一名女生的不同选法? 分析:选取元素干同一件事就组合问题.解答:(1)所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.(2)从2名女生中任选1人的选法有12C 种,从8名男生中选出4人的选法有48C 种,由分步计数原理,恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 (1)已知321818C C -=x x 则x =____. (2)=+97999899C C _____.分析:灵活运用组合数性质.解答:(1)根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.(2)4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递,2件不同的食品快递中任选5件. (1)至少有一件食品快递的不同选法总数? (2)最多有一件食品快递的不同选法总数?分析:解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答:(1)法一(直接法)分两类情况求解,第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种,第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种,由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二(排除法)从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.(2) 最多有一件食品快递可分为以下两类,第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法,第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递,有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈,10x <,则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为( ).A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长,结果共有( )种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生(每个学生只能拥有一本笔记本),则所有的分法种数为( ).A. 5!B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校(每名学生只能报考一所学校),则所有的报考方法有( )种.A. 5!B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级,要求每个班有1名教师,则不同的分法种数有( )种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患,某医院派3名医生和6名护士支援郑州,他们被分配到郑州的三所医院,每个医院分配1名医生和2名护士,共有( )种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人,其中男生至多有一人,则不同的取法共有( )种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人,女生3人,选出3人中有1名男生,2名女生的不同选法有( )种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品,任取3件至少有1件次品的不同抽法为( )种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学,归纳感悟 二、判断题:1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .( )2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长,共有12种.( )3. 6个座位,3个人去坐,每人坐一个座位,则共36C 种.( ) 4. 6个点最多可确定26C 条直线.( ) 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.( ) 6. 某铁路有十个站点,共需准备210P 种车票.( )7. 某铁路有十个站点,有210P 种不同票价(同样的两个站点的票价相同).( ) 8. 某组学生约定,假期每两人互通一封信,共计12封,这个小组学生有5人.( ) 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中,数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.( )10.从3、5、7、9中任选两个,可以组成12个不同的分数值.( ) 妙记巧学,归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =,则n =_______..2.若56P 2=n ,则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数,可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学,每名同学至多分一本,而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游,教师不能不去,也不能全去,则共有______种选法. 妙记巧学,归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相,其中3名男生,2名女生,则以下情况各有多少种不同的排法?(1)甲乙必须相邻; (2)甲乙互不相邻; (3)甲乙必须站两端; (4)甲乙不在两端; (5)男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法? (1)分成相等的三份; (2)平均分给甲乙丙三位同学;(3)分成三份,一份一本,一份两本,一份三本; (4)甲分一本,乙分两本,丙分三本;(5)如果一人分一本,一人分两本,一人分三本,分给甲乙丙. 高考链接1.(2018)某年级有四个班,每班组成一个篮球队,每队分别同其他三个队比赛一场,共需要比赛( )场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站,共需准备( )种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球,乙袋中装有4个小球,所有小球颜色各不相同,现从甲袋中取两个小球,乙袋中取一个小球,则取出三个小球的不同取法共有( )种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会,有5个小品节目,3个相声节目,要求相声节目不能相邻,则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件,至多有一件次品的不同取法总数为( )种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人,其中至少有男生,女生各一名,则不同的取法有( )种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人,医生3人,任选3人的不同选法有( ).A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级,每个班至少分到一名教师,则不同的分配方案有( )种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相,甲不站排头,乙不站排尾的排法总数有( )种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相,甲站中间的排法总数有( )种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相,第一排2人,第二排3人则不同的排法总数有( )种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个,再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是( )个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人,3名优秀工人,各抽5人参加比赛,要求优秀工人都参加不同的选法共有( )种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-()(x N *∈,1x >)可表示为( ).A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1.12 解析:根据组合数性质1得5712n =+=2.8 解析:2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类,第一类个位是零则有2520P =个;第二类,个位不是零,则有11124432P P P =个,所以共有20+32=52个.4.5 解析:只需在五人中选四人得到书即可,书相同无需排序,则有455C =种. 5.20 解析:老师不能不去,也不能全去,则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学,归纳感悟:答案全,结果简. 四、解答题1.解:(1)把甲乙捆绑在一起有22P 种,与余下的3名学生共有44P 种,则甲乙必须相邻,有242448P P =种排法.(2)先把余下的3名学生排好有33P 种,再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种,则甲乙不相邻有323472P P =种排法.(3)甲乙必须站两端,先排甲乙有22P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.(4)先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种,再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种,则甲乙不在两端有233336P P =种. (5)男女相间则有323212P P =种排法.2. 解:(1)平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. (2)平均分配问题,每人均分得2本.甲先取两本26C 种,乙再取两本24C 种,丙最后取两本22C 种,由分步计数原理得222642C C C =90种方法.(3)不平均分堆问题,第一份16C 种,第二份25C 种,第三份33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(4)不平均分配问题,甲先选一本16C 种,乙再选两本25C 种,丙最后选三本33C 种,则共有123653C C C =60种方法.(5)不平均分配问题,且没有指定对象,先分三份123653C C C 种,再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种,则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学,归纳感悟: 排列组合来相遇,先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻,则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
高二数学排列组合公式知识点
高二数学排列组合公式知识点高二数学排列组合公式知识点汇总在日复一日的学习中,大家最不陌生的就是知识点吧!知识点就是掌握某个问题/知识的学习要点。
想要一份整理好的知识点吗?以下是店铺帮大家整理的高二数学排列组合公式知识点,仅供参考,大家一起来看看吧。
高二数学排列组合公式知识点11.计数原理知识点①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM (分步)②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类)2. 排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)-…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn-mCnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素。
以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置。
捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时,应注意:(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答。
经常运用的数学思想是:①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想。
4.二项式定理知识点:①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。
(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1③通项为第r+1项: Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
高二数学排列组合公式知识点
高二数学排列组合公式知识点关于高二数学排列组合公式知识点在平平淡淡的学习中,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点也不一定都是文字,数学的知识点除了定义,同样重要的公式也可以理解为知识点。
还在为没有系统的知识点而发愁吗?以下是店铺为大家整理的高二数学排列组合公式知识点,仅供参考,欢迎大家阅读。
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C-------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法.排列把5本书分给3个人,有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中,任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标,m为上标))Pnm=n(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注:!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n 组合(Cnm(n为下标,m为上标))Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2008-07-0813:30公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列。
高中数学排列组合知识点总结
高中数学排列组合知识点总结排列组合是高中数学中的一个重要概念,涉及到数学中的选择、排列和组合等问题。
在解决实际问题中,排列组合常常能够提供有效的理论框架和计算方法。
本文将对高中数学中的排列组合知识点进行总结,帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、基本概念在开始讨论排列组合知识点之前,先来明确一些基本概念。
1.排列(Permutation)指的是从给定的一组元素中选出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
2.组合(Combination)指的是从给定的一组元素中选出若干个元素进行组合,不考虑其顺序。
二、排列计算1.排列定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素进行排列,称为从n个不同元素中取出m个元素的排列。
记作A(n,m)或P(n,m)。
2.排列计算公式:A(n,m) = n! / (n-m)!其中,n!表示n的阶乘,表示从1到n的所有正整数相乘。
三、组合计算1.组合定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素进行组合,称为从n个不同元素中取出m个元素的组合。
记作C(n,m)。
2.组合计算公式:C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)四、问题求解1.排列问题求解步骤:a.明确问题的条件和要求;b.根据问题的条件和要求确定排列的范围和规模;c.根据排列计算公式进行计算;d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
2.组合问题求解步骤:a.明确问题的条件和要求;b.根据问题的条件和要求确定组合的范围和规模;c.根据组合计算公式进行计算;d.根据问题的要求进行答案的整理和归纳。
五、常见问题类型1.选择问题:从给定的选项中选择若干个进行排列或组合。
2.分组问题:将一组元素进行分组排列或组合。
3.座位问题:将若干个人或物品按不同的排列规则安排座位。
4.商业问题:涉及到商品的排列和组合。
5.应用问题:将排列组合运用到实际生活和科学研究中。
六、应用示例1.案例一:某队伍有7名运动员,其中需要选出3名队员参加比赛,有多少种不同的选择方式?解答:根据组合计算公式C(7,3),可以得到答案为35种。
高二数学排列和组合知识点
高二数学排列和组合知识点在高二数学学习过程中,排列和组合是一个重要的知识点,也是数学中一个常用的概念。
掌握排列和组合的相关知识,对于解决实际问题以及进一步深入数学学习都非常有帮助。
本文将介绍高二数学排列和组合知识点,帮助同学们更好地理解和应用。
一、排列的概念排列是从给定的对象集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法数。
在排列中,元素的顺序很重要,不同的排列方式被视为不同的结果。
1.1 线性排列线性排列是最基础也是最常见的排列方式。
在线性排列中,从给定的对象集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列,每个元素只能使用一次。
1.2 循环排列循环排列是指从给定的对象集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列,并且排列中的元素可以重复出现。
循环排列中的排列方式具有循环的性质,即排列的开头和结尾是相连的。
二、组合的概念组合是从给定的对象集合中选取若干元素,不考虑元素的顺序进行组合的方法数。
在组合中,元素的顺序不重要,同样的元素组合方式被视为相同的结果。
2.1 无限制组合无限制组合是指从给定的对象集合中选取若干元素,不考虑元素的顺序进行组合,并且可以重复选取元素。
2.2 有限制组合有限制组合是指从给定的对象集合中选取若干元素,不考虑元素的顺序进行组合,并且每个元素只能使用一次。
三、排列和组合的应用排列和组合在实际生活中有着广泛的应用,例如:3.1 考试座位安排在学校的考试中,考试座位需要进行排列。
通过排列的方式可以确保每个学生都能坐在一个指定的位置上,避免作弊等问题。
3.2 奖品抽取在抽奖活动中,需要从参与抽奖的人员中选取一定数量的获奖者。
通过组合的方式可以确定每个获奖者的组合方式,保证公平公正。
3.3 生肖组合在中国传统文化中,属相有十二种,根据生肖的组合可以预测一个人的命运、性格等。
通过组合的方式可以得到不同的组合结果,为人们提供参考和娱乐。
四、排列和组合的计算公式在排列和组合的计算过程中,有一些通用的计算公式可以帮助我们求解问题,例如:4.1 排列计算公式排列的计算公式为:A(n, m) = n!/(n-m)!,其中n表示对象的总数,m表示选取的元素数量。
完整版)高考排列组合知识点归纳
完整版)高考排列组合知识点归纳第四讲:排列组合一、分类计数原理与分步计数原理1.分类加法计数原理:对于一件事情,有两种不同的方案,第一类方案有m种不同的方法,第二类方案有n种不同的方法,那么完成这件事情共有m+n种不同的方法。
2.分步乘法计数原理:完成一件事情需要两个步骤,第一步有m种不同的方法,第二步有n种不同的方法,那么完成这件事情共有m×n种不同的方法。
二、排列数1.组合:从n个元素中取出m个元素,记作Cnmn!/m!(n-m)!2.排列:1)全排列:将n个元素全排列,记作Ann!2)从n个元素中取出m个元素,并将这m个元素全排列,记作Anmn!/ (n-m)!三、二项式定理a+b)nC n 0 a n b 0C n 1 a n-1 b 1 C n n abn1.二次项系数之和:Cnr2.展开式的第r项:Tr+1Cnr例题1:(x-1)4的展开式中的常数项是()A、6.B、4.C、-4.D、-6例题2:在二项式(x-2y) 5的展开式中,含x2y3的项的系数是()A、-20.B、-3.C、6.D、20 随堂训练:1、在二项式(x21)5的展开式中,含x4的项的系数是()A、-10.B、10.C、-5.D、52、(1/x-2x25的展开式中的常数项是()A、5.B、-5.C、10.D、-103、在二项式(x+3y)6的展开式中,含x2y4的项的系数是()A、45.B、90.C、135.D、2704、已知关于x的二项式(x+3an的展开式的二项式系数之和为32,常数项为80,则a的值为()A、1.B、±1.C、2.D、±25、(1-2x)(1-3x)4的展开式中,x2的系数等于?6、(ax21/2x-2)7的展开式中各项系数的和为243,则该展开式中常数项为?7、(x22)2x的展开式中常数项是70,则n=?若展开式(ax+)(2x+)5中常数项为-40,则a=?四、排列组合题型总结解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题,弄清要做什么事;2.确定采取分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类;3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合问题(无序),元素总数是多少及取出多少个元素;4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略。
数学高二排列部分的知识点
数学高二排列部分的知识点排列是组合数学中的一个重要概念,它在高中数学中占据着重要地位。
在高二数学中,排列部分的知识点涉及到排列的定义、性质、计算方法等方面内容。
本文将为你详细介绍高二数学排列部分的核心知识点。
1. 排列的定义排列是指从一组不同的元素中按照一定的顺序选取若干个元素构成一种组合方式。
一般来说,排列的元素中不允许存在重复的情况。
2. 排列的计算公式高二数学中,排列的计算公式主要有两种,分别是排列的定义公式和排列的计数公式。
排列的定义公式为:P(n,r) = n! / (n-r)!其中,P(n,r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的情况数,n!表示n的阶乘。
排列的计数公式为:P(n,n) = n!其中,P(n,n)表示从n个元素中选取n个元素进行排列的情况数,n!表示n的阶乘。
3. 排列的性质排列具有以下几个基本性质:(1)交换律:对于排列P(n,r),交换其中任意两个元素的位置,得到的仍然是一个排列。
(2)乘法原理:对于两个独立的排列P(n,r)和P(m,s),将它们按某种顺序排列在一起,得到的结果是一个新的排列P(n+r, r+s)。
(3)循环性质:对于一个排列P(n,r),将其逆序得到的排列仍然是一个排列。
4. 应用案例排列在实际问题中有着广泛的应用,下面通过一个应用案例来加深理解。
案例:某班有10名学生,要从中选取4名学生参加一次数学竞赛。
问有多少种不同的选取方案?解答:根据排列计算公式,可知P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 5040。
即从10名学生中选取4名学生进行排列的方案数为5040。
5. 注意事项在应用排列的过程中,需要注意以下几个问题:(1)是否允许重复:有些问题中,选取的元素允许出现重复,需要根据具体情况进行计算。
(2)约束条件:有些问题中,选取元素的数量、位置等存在一定的约束条件,需要根据具体情况进行计算。
(3)问题转化:有些问题中,可以通过将问题转化成排列问题来进行求解,需要善于运用数学方法。
高中数学排列与组合知识点归纳
高中数学排列与组合知识点归纳
数学中的排列与组合是高中数学中的重要内容之一。
下面对排
列与组合的相关知识点进行归纳总结。
排列
排列是指从给定元素集合中选取若干个元素按照一定的顺序排
列形成的一个整体。
以下是排列的相关知识点:
1. 排列的定义:排列是从$n$个不同元素中选取$r$个进行有序
排列的方式,记作$A_n^r$。
- 全排列:当$r=n$时,称为全排列,即从$n$个元素中选取
$n$个进行有序排列,全排列的数量为$n!$。
2. 公式计算方法:对于排列问题,可以使用公式计算:
- $A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}$。
3. 特殊情况:
- 环排列:当排列中的元素形成一个环状排列时,称为环排列。
组合
组合是指从给定元素集合中选取若干个元素,不考虑元素的顺序形成的一个整体。
以下是组合的相关知识点:
1. 组合的定义:组合是从$n$个不同元素中选取$r$个进行无序排列的方式,记作$C_n^r$。
- 组合数:组合数指的是从$n$个元素中选取$r$个进行组合的方式的数量。
2. 公式计算方法:对于组合问题,可以使用公式计算:
- $C_n^r=\frac{n!}{r! \cdot (n-r)!}$。
3. 组合的性质:
- 对称性质:$C_n^r=C_n^{n-r}$。
综上所述,排列与组合是高中数学中常见的概念与计算方法,掌握它们有助于解决相关的概率、统计等数学问题。
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理
高中数学知识点总结及公式大全排列组合与二项式定理高中数学知识点总结及公式大全:排列组合与二项式定理一. 排列组合排列组合是高中数学中重要的知识点之一,用于解决计数问题。
排列组合分为排列和组合两种情况。
1. 排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
高中数学中常用的排列公式为:An= n!/(n-r)!,其中n表示总数,r表示选取的个数。
排列的特点是考虑顺序,即不同的顺序被视为不同的排列。
2. 组合组合是指从一组对象中选择若干个对象进行组合,不考虑顺序。
高中数学中常用的组合公式为:Cn= n!/[(n-r)!*r!],其中n表示总数,r表示选取的个数。
组合的特点是不考虑顺序,即不同的顺序被视为相同的组合。
二. 二项式定理二项式定理是高中数学中的重要定理之一,用于展开一个任意次数的二项式表达式。
二项式定理的公式为:(a+b)^n = Cn0 * a^n * b^0 + Cn1 * a^(n-1) * b^1 + Cn2 * a^(n-2) * b^2 + ... + Cnr * a^(n-r) * b^r + ... + Cnn * a^0 * b^n 其中Cnr代表组合数,表示从n中选取r个的组合数。
三. 相关数学公式除了排列组合和二项式定理,高中数学还有许多重要的公式需要掌握。
1. 三角函数相关公式:- 三角恒等式:sin^2x + cos^2x = 1;tanx = sinx/cosx- 三角和差公式:sin(x ± y) = sinx*cosy ± cosx*siny;cos(x ± y) = cosx*cosy - sinx*siny- 三角倍角公式:sin2x = 2sinxcosx;cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x2. 数列与数列求和公式:- 等差数列通项公式:an = a1 + (n-1)d;等差数列前n项和公式:Sn = n/2(a1 + an) = n/2(2a1 + (n-1)d)- 等比数列通项公式:an = a1 * r^(n-1);等比数列前n项和公式:Sn = (a1(1-r^n))/(1-r)3. 平面几何相关公式:- 点到直线的距离公式:d = | Ax0 + By0 + C | / √(A^2 + B^2)- 两点间距离公式:d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]- 矩形面积公式:S = a * b- 三角形面积公式:S = 1/2 * a * b * sinγ以上只是数学知识点的一部分,针对不同的题目和问题,可能还需要运用其他公式和方法进行解题。
高中数学知识点总结排列与组合
高中数学知识点总结排列与组合高中数学知识点总结——排列与组合排列与组合是高中数学中的重要知识点,涉及到集合内元素的选择、排列和组合方式。
在解决实际问题的过程中,排列与组合可以帮助我们计算可能的情况数,进而推断问题的解决方法。
本文将对排列与组合的基本概念、公式及应用进行总结。
一、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从给定的元素中按照一定顺序选取若干元素的方式。
排列问题中,每个元素只能使用一次。
n个不同元素的全排列数可以表示为 n!(n的阶乘)。
n个元素中取出m个元素的排列数可以表示为A(n, m)=n!/(n-m)!2. 组合组合是指从给定的元素中无序地选取若干元素的方式。
组合问题中,每个元素只能使用一次。
n个不同元素的取m个元素的组合数可以表示为C(n, m)=n!/[(n-m)! * m!]二、常用排列与组合公式1. 全排列公式全排列是指将n个不同元素排成一排的所有可能情况的总数。
例如,由字母A、B、C组成的全排列数为3! = 3 × 2 × 1 = 6。
2. 有重复元素的排列公式当给定的元素中存在重复元素时,全排列的计算需要考虑到重复元素的情况。
例如,在由字母A、A、B组成的全排列中,根据重复性质,总排列数为3!/(2! * 1!) = 3。
3. 无重复元素的组合公式组合是指从给定的元素中取出若干元素,不考虑顺序的情况下的可能数。
例如,由字母A、B、C中取出2个元素的组合数为C(3, 2) = 3!/[(3-2)! * 2!] = 3。
4. 有重复元素的组合公式当给定的元素中存在重复元素时,组合的计算需要考虑到重复元素的情况。
例如,在由字母A、A、B中取出2个元素的组合中,总组合数为C(3, 2) = 3!/[(3-2)! * 2!] = 3。
三、排列与组合的应用排列与组合在实际问题中具有广泛的应用,主要包括以下几个方面:1. 抽奖问题排列与组合可以用于计算抽奖问题中中奖号码的可能性。
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排列组合 典型例题一例1 用0到9这10 个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?分析:这一问题的限制条件是:①没有重复数字;②数字“0”不能排在千位数上;③个位数字只能是0、2、4、6、8、,从限制条件入手,可划分如下:如果从个位数入手,四位偶数可分为:个位数是“0”的四位偶做,个位数是 2、4、6、8的四位偶数(这是因为零不能放在千位数上).由此解法一与二.如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类,由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类,先求出四位个数的个数,用排除法,得解法四.解法1:当个位数上排“0”时,千位,百位,十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列,故有39A 个;当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排,则千位上从余下的八个非零数字中任选一个,百位,十位上再从余下的八个数字中任选两个来排,按乘法原理有281814A A A ⋅⋅(个).∴ 没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439=+=⋅⋅+A A A A 个.解法2:当个位数上排“0”时,同解一有39A 个;当个位数上排2、4、6、8中之一时,千位,百位,十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得:)(283914A A A -⋅个∴ 没有重复数字的四位偶数有22961792504)(28391439=+=-⋅+A A A A 个.解法3:千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个,百位,十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有281515A A A ⋅⋅个干位上从2、4、6、8中任选一个,个位数上从余下的四个偶数中任意选一个(包括0在内),百位,十位从余下的八个数字中任意选两个作排列,有281414A A A ⋅⋅个∴ 没有重复数字的四位偶数有2296281414281515=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A 个.解法4:将没有重复数字的四位数字划分为两类:四位奇数和四位偶数.没有重复数字的四位数有39410A A -个.其中四位奇数有)(283915A A A -个∴ 没有重复数字的四位偶数有28393939283915394105510)(A A A A A A A A A +--⨯=---283954A A +=2828536A A += 2841A =2296=个说明:这是典型的简单具有限制条件的排列问题,上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质,掌握其解答方法,以期灵活运用.典型例题二例2 三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? (2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? (3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法? (4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法?解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合一起共有六个元素,然成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有33A 对种不同的排法,因此共有43203366=⋅A A 种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有55A 种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法,因此共有144003655=⋅A A 种不同的排法.(3)解法1:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能挑选5个男生中的2个,有25A 种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余六位都有66A 种排法,所以共有144006625=⋅A A 种不同的排法.解法2:(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法,从中扣除女生排在首位的7713A A ⋅种排法和女生排在末位的7713A A ⋅种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次,所以还需加一次回来,由于两端都是女生有6623A A ⋅种不同的排法,所以共有1440026623771388=+-A A A A A 种不同的排法.解法3:(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入,有36A 种不同的排法,对于其中的任意一种排活,其余5个位置又都有55A 种不同的排法,所以共有144005536=⋅A A 种不同的排法,(4)解法1:因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,则未位就不再受条件限制了,这样可有7715A A ⋅种不同的排法;如果首位排女生,有13A 种排法,这时末位就只能排男生,有15A 种排法,首末两端任意排定一种情况后,其余6位都有66A 种不同的排法,这样可有661513A A A ⋅⋅种不同排法.因此共有360006615137715=⋅⋅+⋅A A A A A 种不同的排法.解法2:3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法,从中扣去两端都是女生排法6623A A ⋅种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有36000662388=⋅-A A A 种不同的排法.说明:解决排列、组合(下面将学到,由于规律相同,顺便提及,以下遇到也同样处理)应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置,有两个以上约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件.若以元素为主,需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.间接法有的也称做排除法或排异法,有时用这种方法解决问题来得简单、明快. 捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法,要认真搞清在什么条件下使用.典型例题三例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种? (2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种?解:(1)先排歌唱节目有55A 种,歌唱节目之间以及两端共有6个位子,从中选4个放入舞蹈节目,共有46A 中方法,所以任两个舞蹈节目不相邻排法有:55A 46A =43200. (2)先排舞蹈节目有44A 中方法,在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入。
所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有:44A 55A =2880种方法。
说明:对于“间隔”排列问题,我们往往先排个数较少的元素,再让其余元素插空排列。
否则,若先排个数较多的元素,再让其余元素插空排时,往往个数较多的元素有相邻情况。
如本题(2)中,若先排歌唱节目有55A ,再排舞蹈节目有46A ,这样排完之后,其中含有歌唱节目相邻的情况,不符合间隔排列的要求。
典型例题四例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1:6六门课总的排法是66A ,其中不符合要求的可分为:体育排在第一书有55A 种排法,如图中Ⅰ;数学排在最后一节有55A 种排法,如图中Ⅱ;但这两种排法,都包括体育排在第一书数学排在最后一节,如图中Ⅲ,这种情况有44A 种排法,因此符合条件的排法应是:5042445566=+-A A A (种).分析与解法2:根据要求,课程表安排可分为4种情况:(1)体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节,这种排法有4424A A ⋅种; (2)数学排在第一节但体育不排在最后一节,有排法4414A A ⋅种; (3)体育排在最后一节但数学不排在第一节,有排法4414A A ⋅种; (4)数学排在第一节,体育排在最后一节,有排法44A 这四类排法并列,不重复也不遗漏,故总的排法有: 504441444144424=⋅+⋅+⋅A A A A A A (种).分析与解法3:根据要求,课表安排还可分下述4种情况: (1)体育,数学既不在最后也不在开头一节,有1224=A 种排法; (2)数学排在第一节,体育不排在最后一节,有4种排法; (3)体育在最后一书,数学木在第一节有4种排法; (4)数学在第一节,体育在最后一节有1种排法.上述 21种排法确定以后,仅剩余下四门课程排法是种44A ,故总排法数为5042144=A (种).下面再提出一个问题,请予解答.问题:有6个人排队,甲不在排头,乙不在排尾,问并肩多少种不同的排法. 请读者完成此题.说明:解答排列、组合问题要注意一题多解的练习,不仅能提高解题能力,而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法.典型例题五例5 现有3辆公交车、3位司机和3位售票员,每辆车上需配1位司机和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种?分析:可以把3辆车看成排了顺序的三个空:,然后把3名司机和3名售票员分别填入.因此可认为事件分两步完成,每一步都是一个排列问题.解:分两步完成.第一步,把3名司机安排到3辆车中,有633=A 种安排方法;第二步把3名售票员安排到3辆车中,有633=A 种安排方法.故搭配方案共有363333=⋅A A 种.说明:许多复杂的排列问题,不可能一步就能完成.而应分解开来考虑:即经适当地分类成分或分步之后,应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决.在分类或分步时,要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚,防止分类或分步的混乱.典型例题六例6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?分析:填写学校时是有顺序的,因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题;同一学校的两个专业也有顺序,要区分出第一专业和第二专业.因此这是一个排列问题.解:填表过程可分两步.第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并加排列,共有34A 种不同的排法;第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有232323A A A ⋅⋅种.综合以上两步,由分步计数原理得不同的填表方法有:518423232334=⋅⋅⋅A A A A 种.说明:要完成的事件与元素的排列顺序是否有关,有时题中并未直接点明,需要根据实际情景自己判断,特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要.“选而且排”(元素之间有顺序要求)的是排列,“选而不排”(元素之间无顺序要求)的是组合.另外,较复杂的事件应分解开考虑.典型例题七例5 7名同学排队照相.(1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? (3)若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相邻,有多少种不面的排法?分析:(1)可分两步完成:第一步,从7人中选出3人排在前排,有37A 种排法;第二步,剩下的4人排在后排,有44A 种排法,故一共有774437A A A =⋅种排法.事实上排两排与排成一排一样,只不过把第7~4个位子看成第二排而已,排法总数都是77A ,相当于7个人的全排列.(2)优先安排甲、乙.(3)用“捆绑法”.(4)用“插空法”. 解:(1) 5040774437==⋅A A A 种.(2)第一步安排甲,有13A 种排法;第二步安排乙,有14A 种排法;第三步余下的5人排在剩下的5个位置上,有55A 种排法,由分步计数原理得,符合要求的排法共有1440551413=⋅⋅A A A 种.(3)第一步,将甲、乙、丙视为一个元素,有其余4个元素排成一排,即看成5个元素的全排列问题,有55A 种排法;第二步,甲、乙、丙三人内部全排列,有33A 种排法.由分步计数原理得,共有7203355=⋅A A 种排法.(4)第一步,4名男生全排列,有44A 种排法;第二步,女生插空,即将3名女生插入4名男生之间的5个空位,这样可保证女生不相邻,易知有35A 种插入方法.由分步计数原理得,符合条件的排法共有:14403544=⋅A A 种.说明:(1)相邻问题用“捆绑法”,即把若干个相邻的特殊元素“捆绑”为一个“大元素”,与其他普通元素全排列;最后再“松绑”,将这些特殊元素进行全排列.(2)不相邻问题用“插空法”,即先安排好没有限制条件的元素,然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.典型例题八例8 从65432、、、、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数,求所有三位数的和. 分析:可以从每个数字出现的次数来分析,例如“2”,当它位于个位时,即形如的数共有24A 个(从6543、、、四个数中选两个填入前面的两个空),当这些数相加时,由“2”所产生的和是224⋅A .当2位于十位时,即形如的数也有24A ,那么当这些数相加时,由“2”产生的和应是10224⋅⋅A .当2位于面位时,可同理分析.然后再依次分析6543、、、的情况.解:形如的数共有24A 个,当这些数相加时,由“2”产生的和是224⋅A ;形如的数也有24A 个,当这些数相加时,由“2”产生的和是10224⋅⋅A ;形如的数也有24A 个,当这些数相加时,由“2”产生的和应是100224⋅⋅A .这样在所有三位数的和中,由“2”产生的和是111224⋅⋅A .同理由6543、、、产生的和分别是111324⋅⋅A ,111424⋅⋅A ,111524⋅⋅A ,111624⋅⋅A ,因此所有三位数的和是26640)65432(11124=++++⋅⋅A .说明:类似于这种求“数字之和”的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解决.如“由x ,5,4,1四个数字组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各数位上的数字之和为288,求数x ”.本题的特殊性在于,由于是全排列,每个数字都要选用,故每个数字均出现了2444=A 次,故有288)541(24=+++⨯x ,得2=x .典型例题九例9 计算下列各题: (1) 215A ; (2) 66A;(3) 1111------⋅n n m n mn m n A A A ;(4) !!33!22!1n n ⋅++⋅+⋅+ (5)!1!43!32!21n n -++++ 解:(1) 2101415215=⨯=A ;(2) 720123456!666=⨯⨯⨯⨯⨯==A ;(3)原式!)1(1!)(]!)1(1[!)1(-⋅-⋅----=n m n m n n1!)1(1!)(!)(!)1(=-⋅-⋅--=n m n m n n ;(4)原式]!!)1[()!3!4()!2!3()1!2(n n -+++-+-+-=1!)1(-+=n ;(5)∵!1!)1(1!1n n n n --=-, ∴!1!43!32!21n n -++++ !11!1!)1(1!41!31!31!21!21!11n n n -=--++-+-+-=. 说明:准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键.本题计算中灵活地用到下列各式:!)1(!-=n n n ;!!)1(!n n nn -+=;!1!)1(1!1n n n n --=-;使问题解得简单、快捷. 典型例题十例10 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队,限定a 要排在b 的前面(a 与b 可以相邻,也可以不相邻),求共有几种排法.对这个题目,A 、B 、C 、D 四位同学各自给出了一种算式:A 的算式是6621A ;B 的算式是441514131211)(A A A A A A ⋅++++;C 的算式是46A ;D 的算式是4426A C ⋅.上面四个算式是否正确,正确的加以解释,不正确的说明理由.解:A 中很显然,“a 在b 前的六人纵队”的排队数目与“b 在a 前的六人纵队”排队数目相等,而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和.这表明:A 的算式正确.B 中把六人排队这件事划分为a 占位,b 占位,其他四人占位这样三个阶段,然后用乘法求出总数,注意到a 占位的状况决定了b 占位的方法数,第一阶段,当a 占据第一个位置时,b 占位方法数是15A ;当a 占据第2个位置时,b 占位的方法数是14A ;……;当a 占据第5个位置时,b 占位的方法数是11A ,当a ,b 占位后,再排其他四人,他们有44A 种排法,可见B 的算式是正确的.C 中46A 可理解为从6个位置中选4个位置让f e d c ,,,占据,这时,剩下的两个位置依前后顺序应是b a ,的.因此C 的算式也正确.D 中把6个位置先圈定两个位置的方法数26C ,这两个位置让b a ,占据,显然,b a ,占据这两个圈定的位置的方法只有一种(a 要在b 的前面),这时,再排其余四人,又有44A 种排法,可见D 的算式是对的.说明:下一节组合学完后,可回过头来学习D 的解法.典型例题十一例11 八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排办法? 解法1:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下”、“甲坐下”;“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步计数原理,这样可有如下算法:6408551424551224=⋅⋅+⋅⋅A A A A A A (种).解法2:采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是7714A A ⋅.在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐法.”这个数目是5514131214A A A C A ⋅⋅⋅⋅.其中第一个因数14A 表示甲坐在第一排的方法数,12C 表示从乙、丙中任选出一人的办法数,13A 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数,下一个14A 则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数,55A 就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为640855141312147714=⋅⋅⋅⋅-⋅A A A C A A A (种).说明:解法2可在学完组合后回过头来学习.典型例题十二例12 计划在某画廊展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且不彩画不放在两端,那么不同陈列方式有( ).A .5544A A ⋅B .554433A A A ⋅⋅C .554413A A C ⋅⋅D .554422A A A ⋅⋅解:将同一品种的画“捆”在一起,注意到水彩画不放在两端,共有22A 种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求.所以共有554422A A A ⋅⋅种陈列方式.∴应选D .说明:关于“若干个元素相邻”的排列问题,一般使用“捆绑”法,也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起,看作一个大元素,与其他的元素进行全排列;然后,再“松绑”,将被“捆绑”的若干元素,内部进行全排列.本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题.典型例题十三例13 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数的个数共有( ). A .210 B .300 C .464 D .600解法1:(直接法):分别用5,4,3,2,1作十万位的排列数,共有555A ⋅种,所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有30052155=⋅⋅A 个. 解法2:(间接法):取5,,1,0 个数字排列有66A ,而0作为十万位的排列有55A ,所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有300)(215566=-A A (个). ∴应选B .说明:(1)直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法,何时使用直接法或间接法要视问题而定,有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦,这时应考虑能否用间接法来解.(2)“个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称性,这两类的六位数个数一样多,即各占全部六位数的一半,同类问题还有6个人排队照像时,甲必须站在乙的左侧,共有多少种排法.典型例题十四例14 用5,4,3,2,1,这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有( ).A .24个B .30个C .40个D .60个分析:本题是带有附加条件的排列问题,可以有多种思考方法,可分类,可分步,可利用概率,也可利用本题所提供的选择项分析判断.解法1:分类计算.将符合条件的偶数分为两类.一类是2作个位数,共有24A 个,另一类是4作个位数,也有24A 个.因此符合条件的偶数共有242424=+A A 个.解法2:分步计算.先排个位数字,有12A 种排法,再排十位和百位数字,有24A 种排法,根据分步计数原理,三位偶数应有242412=⋅A A 个.解法3:按概率算.用51-这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035=A 个,其中偶点其中的52.因此三位偶数共有245260=⨯个. 解法4:利用选择项判断.用51-这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有6035=A 个.其中偶数少于奇数,因此偶数的个数应少于30个,四个选择项所提供的答案中,只有A 符合条件. ∴应选A .典型例题十五例15 (1)计算88332211832A A A A ++++ .(2)求!!3!2!1n S n ++++= (10≥n )的个位数字.分析:本题如果直接用排列数公式计算,在运算上比较困难,现在我们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑.在(1)中,项可抽象为nn n n n n n n n n n n A A nA A n A n nA -=-+=-+=++11)1()11(,(2)中,项为123)2)(1(!⋅⋅--= n n n n ,当5≥n 时,乘积中出现5和2,积的个位数为0,在加法运算中可不考虑.解:(1)由!!)1(n n nA nn -+=∴原式362879!1!9!8!9!2!3!1!2=-=-++-+-= . (2)当5≥n 时,123)2)(1(!⋅⋅--= n n n n 的个位数为0,∴!!3!2!1n S n ++++= (10≥n )的个位数字与!4!3!2!1+++的个位数字相同. 而33!4!3!2!1=+++,∴n S 的个位数字为3.说明:对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键,比如:求证:!)1(11!)1(!43!32!21+-=+++++n n n ,我们首先可抓等式右边的 !)1(1!1!)1(1!)1(1!)1(11!)1(+-=+-++=+-+=+n n n n n n n n n ,∴左边=+-=+-++-+-=!)1(11!)1(1!1!31!21!211n n n 右边. 典型例题十六例16 用543210、、、、、共六个数字,组成无重复数字的自然数,(1)可以组成多少个无重复数字的3位偶数?(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数?分析:3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0,由于个位用或者不用数字0,对确定首位数字有影响,所以需要就个位数字用0或者用42、进行分类.一个自然数能被3整除的条件是所有数字之和是3的倍数,本题可以先确定用哪三个数字,然后进行排列,但要注意就用与不用数字0进行分类.解:(1)就个位用0还是用42、分成两类,个位用0,其它两位从4321、、、中任取两数排列,共有1224=A (个),个位用2或4,再确定首位,最后确定十位,共有32442=⨯⨯(个),所有3位偶数的总数为:443212=+(个).(2)从543210、、、、、中取出和为3的倍数的三个数,分别有下列取法:)210(、)510(、)420(、)540(、)321(、)531(、)432(、)543(,前四组中有0,后四组中没有0,用它们排成三位数,如果用前4组,共有162422=⨯⨯A (个),如果用后四组,共有24433=⨯A (个),所有被3整除的三位数的总数为402416=+(个).典型例题十七例17 一条长椅上有7个座位,4人坐,要求3个空位中,有2个空位相邻,另一个空位与2个相邻空位不相邻,共有几种坐法?分析:对于空位,我们可以当成特殊元素对待,设空座梯形依次编号为7654321、、、、、、.先选定两个空位,可以在21、号位,也可以在32、号位…共有六种可能,再安排另一空位,此时需看到,如果空位在21、号,则另一空位可以在7654、、、号位,有4种可能,相邻空位在76、号位,亦如此.如果相邻空位在32、号位,另一空位可以在765、、号位,只有3种可能,相邻空位在43、号,54、号,65、号亦如此,所以必须就两相邻空位的位置进行分类.本题的另一考虑是,对于两相邻空位可以用合并法看成一个元素与另一空位插入已坐人的4个座位之间,用插空法处理它们的不相邻.解答一:就两相邻空位的位置分类:若两相邻空位在21、或76、,共有1924244=⨯⨯A (种)坐法. 若两相邻空位在32、,43、,54、或65、,共有2883444=⨯⨯A (种)不同坐法,所以所有坐法总数为480288192=+(种).解答二:先排好4个人,然后把两空位与另一空位插入坐好的4人之间,共有4802544=⋅A A (种)不同坐法.解答三:本题还可采用间接法,逆向考虑在所有坐法中去掉3个空位全不相邻或全部相邻的情况,4个人任意坐到7个座位上,共有47A 种坐法,三个空位全相邻可以用合并法,直接将三个空位看成一个元素与其它座位一起排列,共有55A 种不同方法.三个空位全不相邻仍用插空法,但三个空位不须排列,直接插入4个人的5个间隔中,有1044⨯A 种不同方法,所以,所有满足条件的不同坐法种数为48010445547=--A A A (种).。