《用数学归纳法证明不等式》参考教(学)案
4.2用数学归纳法证明不等式举例--教案(优秀经典公开课比赛教案)
课题：4.2用数学归纳法证明不等式举例一、教材分析： 数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。
数学归纳法的证明过程中展现的推理与逻辑能让学生体会数学的严谨与规范，学习数学归纳法后学生对数列和不等式证明等问题会有新的解决思路和方法。
二、教学目标：1、知识与技能：（1）使学生初步了解数学归纳法，理解数学归纳法的基本原理。
（2）掌握数学归纳法证明题目的步骤和适用范围，能够使用数学归纳法证明与正整数有关的命题。
2、过程与方法：（1）通过类比多米诺骨牌游戏，使学生进一步理解数学归纳法，并培养在观察，归纳，猜想中逐步解决问题的能力。
（2）让学生经历发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的过程，形成能力并应用于今后的学习中。
3、情感、态度与价值观：（1）通过对数学归纳法的探究培养学生严谨的，实事求是的科学态度和积极思考，大胆质疑的学习氛围。
（2）通过有限到无限的这种跨越，体会数学证明的美感与用途。
三、教学重点：了解数学归纳法的原理及其使用范围和基本步骤四、教学难点：（1）认识数学归纳法的证明思路。
（2）运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系。
五、教学准备1、课时安排：2课时2、学情分析：学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（例1的公式），但学生只是停留在认知阶段；另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定基础。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：讲练结合 合作探究法七、教学过程1、自主导学：一.复习回顾引入：<师>（1）请同学们回顾学习过的证明方法有哪些？<生> 请一名学生回答该问题。
<师>（2）思考：通过计算下面式子，你能猜想出1357(1)(21)n n -+-++⋅⋅⋅+-⋅-的结果吗？证明你的结论。
《用数学归纳法证明贝努利不等式》 导学案
《用数学归纳法证明贝努利不等式》导学案一、学习目标1、理解贝努利不等式的内容和形式。
2、掌握数学归纳法的基本原理和步骤。
3、能够运用数学归纳法证明贝努利不等式。
二、知识回顾1、不等式的基本性质（1）对称性：若 a ＞ b，则 b ＜ a。
（2）传递性：若 a ＞ b 且 b ＞ c，则 a ＞ c。
（3）加法法则：若 a ＞ b，则 a ＋ c ＞ b ＋ c。
（4）乘法法则：若 a ＞ b 且 c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b 且 c ＜0，则 ac ＜ bc。
2、数学归纳法的原理（1）（归纳奠基）证明当 n 取第一个值 n₀时命题成立。
（2）（归纳递推）假设当 n ＝ k（k ≥ n₀，k ∈ N）时命题成立，证明当 n ＝ k ＋ 1 时命题也成立。
三、贝努利不等式对于任意实数 x ＞－1 和正整数 n，有（1 ＋x)ⁿ ≥ 1 ＋ nx 成立。
四、数学归纳法证明贝努利不等式（一）当 n ＝ 1 时左边＝ 1 ＋ x，右边＝ 1 ＋ 1×x ＝ 1 ＋ x左边＝右边，不等式成立。
（二）假设当 n ＝ k（k ≥ 1，k ∈ N）时不等式成立，即（1 ＋ x)ᵏ≥ 1 ＋ kx（三）当 n ＝ k ＋ 1 时（1 ＋ x)ᵏ⁺¹＝（1 ＋ x)ᵏ(1 ＋ x)由假设可知（1 ＋ x)ᵏ≥ 1 ＋ kx，所以（1 ＋ x)ᵏ(1 ＋x) ≥ （1 ＋ kx)（1 ＋ x)＝ 1 ＋ kx ＋ x ＋ kx²＝ 1 ＋（k ＋ 1)x ＋ kx²因为 x ＞－1 且 k 为正整数，所以kx² ≥ 0所以 1 ＋（k ＋ 1)x ＋kx² ≥ 1 ＋（k ＋ 1)x即（1 ＋ x)ᵏ⁺¹≥ 1 ＋（k ＋ 1)x所以当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也成立。
综上，由（一）和（二）可知，对于任意实数 x ＞－1 和正整数 n，贝努利不等式（1 ＋x)ⁿ ≥ 1 ＋ nx 成立。
数学归纳法、用数学归纳法证明不等式举例 课件
命题方向1 ⇨数学归纳法证明等式
典例试做 1
1)，其中 n∈N＋.
用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－
● [分析] 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n＝k＋1时， 等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系.
● [解析] (1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21·1＝2，等式成立. ● (2)假设当n＝k时等式成立，即 ● (k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
● 则当n＝k＋1时， ● (k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)·(k＋3)…＋(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ● ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1) ● ＝2k·1·3·…·(2k－1)·2(2k＋1) ● ＝2k＋1·1·3…·(2k－1)(2k＋1)， ● 即当n＝k＋1时，等式也成立. ● 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立.
n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论.
[分析] 用数学归纳法证明. 从n＝k到n＝k＋1时，为利用假设需要增加因
式
1 k＋1
，对于除含有n＝k的因式外的其余的项需运用不等式的性质证明其大于
零即可.
[解析] 取n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，令2264>2a4⇒a<26，而a∈N＋，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1)＋(3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋1 4－k＋1 1)>2254＋[3k＋1 2＋ 3k＋1 4－3k＋2 1].
∵3k＋1 2＋3k＋1 4＝9k26＋k1＋8k1＋ 8>3k＋2 1， ∴3k＋1 2＋3k＋1 4－3k＋2 1>0， ∴k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋11＋1>2254，
第四讲数学归纳法证明不等式章末复习方案课件人教A选修4-5
(2)假设n＝k时，即bk＝a4k是3的倍数， 则n＝k＋1时， bk＋1＝a4(k＋1)＝a4k＋4＝a4k＋3＋a4k＋2 ＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k ＝3a4k＋1＋2a4k. 由归纳假设，a4k是3的倍数，3a4k＋1是3的倍数，故可知bk＋1是 3的倍数，∴n＝k＋1时命题也正确． 综合(1)、(2)可知，对正整数n，数列{bn}的各项都是3的倍数．
1．分析综合法 用数学归纳法证明关于正整数n的不等式，从“P(k)”到 “P(k＋1)”，常常可用分析综合法．
第四讲数学归纳法证明不 等式章末复习方案课件人
4．学会借用同一题中已证明过的结论 在从k到k＋1的过程中，若仅仅利用已知条件，有时 还是没有证题思路，这时考查同一题中已证明过的结论， 看是否可借用，这种“借用”思想非常重要．
第四讲数学归纳法证明不 等式章末复习方案课件人
二、填空题
5．利用数学归纳法证明“(1＋13)(1＋15)…(1＋
1 2n－1)>
2n2＋1”时，n 的最小取值 n0 为________． 解析：n0＝1 时，1＋11不适合原式要求．
n0＝2 时，1＋13> 25，再用数学归纳法证明． 答案：2
第四讲数学归纳法证明不 等式章末复习方案课件人
第四讲数学归纳法证明不 等式章末复习方案课件人
三、解答题 9．在数列{an}中，a1＝a2＝1，当n∈N*时，满足an＋2＝
an＋1＋an，且设bn＝a4n，求证：{bn}各项均为3的倍数． 证明：(1)∵a1＝a2＝1， 故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3. ∴b1＝a4＝3，当n＝1时，b1能被3整除．
第四讲数学归纳法证明不 等式章末复习方案课件人
人教A版选修4-5 用数学归纳法证明不等式举例 第1课时 教案
章节：课时：备课人；二次备课人课题名称第四讲用数学归纳法证明不等式举例（1）三维目标学习目标：1、会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式；2、在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系；3、培养学生特殊化、一般化和转化的数学思想。
重点目标会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式难点目标会用数学归纳法证明简单的含任意正整数n的不等式导入示标目标三导学做思一：自学探究问题1.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A2k－1B2k－1C2k D2k+1解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为;由n=k，末项为到n=k+1，末项为=，∴应增加的项数为2k答案：C学做思二问题2.用数学归纳法证明（1+1）（1+）·…·（１＋）＞当n=1时，不等式①成立假设n=k时，不等式①成立，即（1＋1）（1＋）·…·（１＋）＞那么n=k+1时，（１＋１）（１＋）·…·（１＋）（１＋）＞（１＋）＝又［］2－（）2＝＞０，∴＞=∴当n=k+1时①成立综上所述，n∈N*时①成立．学做思三技能提炼例1、在数列中，a n>0,且S n=1/2(a n+)(1)求a1、a2、a3；(2)猜测出a n的关系式并用数学归纳法证明。
例2、用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是A2k－1B2k－1C2k D2k+1例3、设数列{a n}满足a1=2，a n+1=a n+（n=1，2，…）（1）证明a n＞对一切正整数n都成立；（2）令b n=（n=1，2，…），判定b n与b n+1的大小，并说明理由达标检测变式反馈1、用数学归纳法证明第一步应验证（）2、已知不等式左边增加的部分是（）3、证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有a n+c n＞2b n.反思总结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验课后练习同步练习金考卷。
数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式8页word文档
数列、极限、数学归纳法·用数学归纳法证明不等式教学目标1．牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程．2．通过事例，学生掌握运用数学归纳法证明不等式的思想方法．3．培养学生的逻辑思维能力，运算能力，和分析问题、解决问题的能力．教学重点与难点重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路．难点：应用数学归纳法证明的不同方法的选择及解题技巧．教学过程设计（一）复习回顾师：上次课我们已经学习了数学归纳法以及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们联想“多米诺骨牌”游戏，说出数学归纳法的步骤？生：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P（n）．（1）证明当n取第一个值n0时，结论正确，即验证P（n0）正确；（2）假设n=k（k∈N且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P（k）正确推出P（k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P（n）对于从n0开始的所有自然数n都正确．师：演示小黑板或运用投影仪讲评作业．（讲评作业的目的是从错误中进一步强调恰当地运用归纳假设是数学归纳法的关键）作业中用数学归纳法证明：2+4+6+8+…+2n=n（n+1）．如采用下面的证法，对吗？证明：（1）当n=1时，左=2，右=2，则等式成立．（2）假设n=k时（k∈N，k≥1），等式成立，即2+4+6+…+2k=k（k+1）．当n=k+1时，2+4+6+…+2k+（k+1）所以n=k+1时，等式也成立．根据（1）（2）可知，对于任意自然数n，原等式都能成立．生甲：证明过程正确．生乙：证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，没有应用归纳假设．师：从形式上看此种证明方法是数学归纳法，但实质在要证明n=k+1正确时，未用到归纳假设，直接采用等差数列求和公式，违背了数学归纳法的本质特点递推性，所以不能称之为数学归纳法．因此告诫我们在运用数学归纳法证明时，不能机械套用两个步骤，在证明n=k+1命题成立时，一定要利用归纳假设．（课堂上讲评作业，指出学生作业中不妥之处，有利于巩固旧知识，为新知识的学习扫清障碍，使学生引以为戒，所谓温故而知新）（二）讲授新课师：在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．（板书）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：（1+x）n＞1+nx．师：首先验证n=2时的情况．（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x）2=1+2x+x2，右边=1+2x，因x2＞0，则原不等式成立．（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x ≠0获得，为下面证明做铺垫）（2）假设n=k时（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx．师：现在要证的目标是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，请同学考虑．生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k （1+x），因为x＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）．师：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．提问：证明不等式的基本方法有哪些？生甲：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生乙：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]=1+x+kx+kx2-1-kx-x=kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）．所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．生丙：也可采用综合法的放缩技巧．（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．生丁：……（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．（板书）将例1的格式完整规范．当n=k+1时，因为x＞-1，所以1+x＞0，于是左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2；右边=1+（k+1）x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．根据（1）和（2），原不等式对任何不小于2的自然数n都成立．（通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的）师：下面再举例子，来说明合理放缩的重要性．（板书）例2证明：2n+2＞n2，n∈N+．师：（1）当 n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立．（2）假设n=k时（k≥1且k∈N）时，不等式成立，即2k+2＞k2．现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立．生：利用归纳假设2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2·k2-2．师：将不等式2k2-2＞（k+1）2，右边展开后得：k2+2k+1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2+2k+1方向进行转化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3．由此不难看出，只需证明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立．生：因为k2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立．师：不成立的条件是什么？生：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立．师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？生：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立．师：（补充板书）当n=2时，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．（以下请学生板书）（2）假设当n=k（k≥3且k∈N）时，不等式成立．即2k+2＞k2．因为2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，则k-3≥0，k+1＞0）≥k2+2k+1=（k+1）2．所以2k+1+2＞（k+1）2．故当n=k+1时，原不等式也成立．根据（1）和（2），原不等式对于任何n∈N都成立．师：通过例2可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1．扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标．（板书）例3求证：当n≥2时，（由学生自行完成第一步的验证；第二步中的假设，教师应重点讲解n=k到n=k+1命题的转化过程）师：当n=k+1时，不等式的左边表达式是怎样的？生：当n=k+1时，k项，应是第2k项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k在3k后面还有3k+1、3k+2．最后才为3k+3即3（k+1），所以正确（在这里，学生极易出现错误，错误的思维定势认为从n=k到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，教师在这里要着重分析，化解难点．）运算，应针对问题的特点，巧妙合理地利用“放缩技巧”，使问题获得简捷的证明：（板书略）师：设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里 S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定．（三）课堂小结1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．3．数学归纳法也不是万能的，也有不能解决的问题．错误解法：（2）假设n=k时，不等式成立，即当n=k+1时，则n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2），原不等式对n∈N+都成立．（四）课后作业1．课本P121：5，P122：6．2．证明不等式：（提示：（1）当n=1时，不等式成立．（2）假设n=k时，不等式成立，即那么，这就是说，n=k+1时，不等式也成立．根据（1）（2）可知不等式对n∈N+都成立．）3．对于任意大于1的自然数n，求证：（提示：（2）假设n=k时，不等式成立，即这就是说，n=k+1时，原不等式成立．根据（1），（2）可知，对任意大于1的自然数n，原不等式都成立．）用数学归纳法证明①式：（1）当n=3时，①式成立．（2）假设 n=k（k≥3，k∈N）时，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k·2＞2（2k+1）=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1（因k≥3，则2k-1≥5＞0）．这就是说，当n=k+1时，①式也成立．根据（1）（2）可知，对一切n∈N，n≥3①式都成立，即f课堂教学设计说明1．数归法是以皮亚诺的归纳公理作为依据，把归纳法与演绎法结合起来的一种完全归纳法．数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想．在教学中应使学生明确这两个步骤的关系：第一步是递推的基础；第二步是递推的依据，缺一不可，否则就会导致错误．为了取得良好的教学效果，不妨利用“多米诺骨牌”游戏来加深这两步骤之间的关系的理解，在演示时，应分三种情况：（1）推倒第一张，接着依次倒下直至最后一张；（2）推倒第一张，中途某处停止，最后一张不倒；（3）第一张不倒，后面不管能否推倒，都不会全部倒下．通过具体生动的模型，帮助学生理解数学归纳法的实质．2．用数学归纳法证明不等式，宜先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形，一般地只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明．3．要注意：在证明的第二步中，必须利用“n=k时命题成立”这一归纳假设，并且由f（k）到 f（k+1），并不总是仅增加一项，如例2，4．要教会学生思维，离开研究解答问题的思维过程几乎是不可能的，因此在日常教学中，尤其是解题教学中，必须把教学集中在问题解答者解答问题的整个过程上，培养学生构作问题解答过程的框图，因为用文字、符号或图表简明地表达解答过程或结果的能力，叙述表达自己解题思路的能力，这也是问题解答所必需的．。
第3章 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式
3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；理解贝努利不等式的应用条件.[根底·初探]教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1〞成立时其他的方法如比拟法、分析法、综合法、放缩法等常被灵敏地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，那么(1＋x)n＞1＋nx.2.定理2(选学)设α为有理数，x>－1，(1)假如0<α<1，那么(1＋x)α≤1＋αx；(2)假如α<0或者α>1，那么(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.事实上，当α是实数时，也是成立的.，那么2n与n的大小关系是()设n∈N＋A.2n>nB.2n<nC.2n＝nD.不确定【解析】2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]数学归纳法证明不等式S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N ＋). 【精彩点拨】 求S n 再证明比拟困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n 表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推.【自主解答】 (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2. 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1.假设在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…〞 .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】 数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜测：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2， 那么f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立.据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.利用数学归纳法比拟大小设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比拟P n 与Q n 的大小，并加以证明.【导学号：38000059】【精彩点拨】 此题考察数学归纳法的应用，解答此题需要先对n 取特殊值，猜测P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】 (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进展分类). ①假设x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②假设x ＝0，那么P n ＝Q n . ③假设x ∈(－1,0)，那么P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4. 假设P k ＜Q k (k ≥3)，那么P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3 ＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立. 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1.利用数学归纳法比拟大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.此题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n 〞，而无视其他变量(参数)的作用.[再练一题]2.数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n＋1)(n ∈N ＋)，假设函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【证明】 因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n ).下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋). (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1， 即a 2＜a 1，结论成立.(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .利用贝努利不等式证明不等式设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n +1，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .【精彩点拨】 用求商比拟法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式. 【自主解答】 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立. ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，….由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2，因此，根据贝努利不等式， 有a na n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1. ∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立.此题在证明的过程中，综合运用了求商比拟法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.[再练一题]3.设a 为有理数，x >－1.假如0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立.【证明】 0<a <1，令a ＝mn ，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，那么由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )mn≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋m n x ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立.[探究共研型]放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用探究【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目的.而且要恰到好处，目的往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用不等式、利用函数的性质进展放缩等.比方：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等.证明：2n ＋2>n 2(n ∈N ＋). 【精彩点拨】验证n ＝1，2，3时不等式成立⇒假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1⇒n ＝k ＋1成立，结论得证【自主解答】 (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边. 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2(k ∈N ＋). 当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2 ＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.(因为k ≥3，那么k －3≥0，k ＋1>0)所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.1.本例中，针对目的k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，到达目的.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放〞与“缩〞等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目构造，二是要靠经历积累.[再练一题]4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.【证明】(1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立.(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，那么当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探究、猜测、证明探究2【提示】 利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是先通过观察、判断，猜测出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探究型问题时.假设不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.【导学号：38000060】【精彩点拨】 先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进展证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a 24，那么2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证.(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， ∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，∴a 的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.此题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚.[再练一题]5.设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论.【解】 假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2； 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1，∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜测g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立.(1)当n ＝2时，a 1＝1，g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1， 结论成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立.[构建·体系]1.用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A.7B.8C.9D.10【解析】 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B.【答案】 B2.用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设n ＝k 时命题成立B.假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C.假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D.假设n ＝k (k >5)时命题成立【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋，故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立.【答案】 C3.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )【导学号：38000061】A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12k ＋2 C.增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对【解析】 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】 C4.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)〞时，第一步的验证为________.【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.【答案】 21＋1≥12＋1＋25.试证明：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N ＋). 【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1< k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1. 这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对n ∈N ＋成立.我还有这些缺乏：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
用数学归纳法证明不等式 课件
2k＋2 ·2k＋1
＝
2
2k＋2 2k＋1
＝
4k2＋8k＋4 2 2k＋1 Nhomakorabea＞
4k2＋8k＋3 2 2k＋1
＝
2k2＋· 32·k＋2k1＋1＝
2k＋1＋1
2
.
∴n＝k＋1 时，不等式也成立．
由①，②知，对一切大于 1 的自然数 n，不等式都成立．
方法二：①当 n＝2 时，左边＝1＋13＝43，右边＝ 25，左边 ＞右边，∴不等式成立．
② 假 设 当 n ＝ k(k≥2 ， k ∈ N*) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 1＋13
1＋15 … 1＋2k－1 1 ＞
2k＋1 2
，
那
么
当
n＝k＋1
时 ， 1＋13
1＋15…1＋2k－1 11＋2k＋1 1＞ 2k2＋11＋2k＋1 1＝ k2＋k＋1 1，要
证不等式成立，只需证明 k2＋k＋1 1＞ 2k＋2 1＋1，只要证明 4k2
用数学归纳法证明与数列有关的不等式问题，要注意用 到递推关系式 xn＝38＋12x2n－1，通过正确的放缩来达到目的．
1．使用数学归纳法证明不等式，难点在于由n＝k时命题 成立推出n＝k＋1时命题成立，为完成这步证明，不仅要正确 使用归纳假设，还要灵活利用问题中的其他条件和相关知 识．其中，比较法、分析法、综合法、放缩法等常被灵活地应 用．
用数学归纳法证明不等式
1．贝努利不等式：如果x是实数且x＞－1，x≠0，n为大于 1的自然数，则____(_1_＋__x_)n_＞__1_＋__n_x．
2．设α为有理数，x＞－1，如果0＜α＜1，则(1＋x)α____1 ＋ αx ≤； 如 果 α ＜ 0 或 α ＞ 1 ， 则 (1 ＋ x)α______1 ＋ αx ， 当≥且 仅 当 ____________时，等x＝号0成立．
高中数学高三第六章不等式数学归纳法(教案)
高三一轮复习 6.7 数学归纳法【教学目标】1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【重点难点】1。
教学重点：了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2。
教学难点：学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示1．必知关系；数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据",两个步骤缺一不可．2．必清误区；运用数学归纳法应注意以下两点：(1）第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．（2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n ＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
强理解记忆，提高解题技能。
k＋1·错误!＝错误!，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证错误!≥错误!，即证错误!≥k＋1k＋2，由基本不等式得错误!＝错误!≥错误!成立，故错误!≥错误!成立，所以，当n＝k＋1时,结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式错误!·错误!·……·错误!〉错误!成立．跟踪训练:1。
已知数列｛a n｝，a n≥0，a1＝0，a错误!＋a n＋1－1＝a错误!。
求证：当n∈N＊时，a n<a n＋1.【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程a错误!＋a2－1＝0的正根，所以a1〈a2。
(2）假设当n＝k(k∈N*)时，。
5.3数学归纳法证明不等式2 课件(人教A版选修4-5)
3、一定要用上假设
练习巩固
4.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝
证明: 1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= 1×1×2×3 =2. 命题成立
3
2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝
1 n(n + 1)(n + 2) 3
1 k (k 1)( k 2) 3
则当n k 1时，左边＝ 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2) 1
利用 假设
1 k (k 1)( k 2) (k 1)( k 2) 3 1 ( k 1)( k 1)( k 2) 从n=k到n=k+1有什么变化 3
数学归纳法主要步骤:
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
第一步：验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 第二步：假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确
结论：由（1）、（2）得出结论正确
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
（1）思考题：问题 1中大球中有很多个小球，如 何证明它们都是绿色的？ 模拟演示 （2）课本作业 P50. 习题4. 1 （3）补充作业: 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列， 那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2 时，左式 1 1 17 2 右式 2 2
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
2016-2017学年4-5用数学归纳法证明贝努利不等式学案
课堂导学三点剖析 一、证明条件不等式【例1】 已知a ,b 为正数，且a 1+b 1=1，求证：对任意一个n ∈N *且n ≥2，（a +b ）n -a n -b n ≥22n -2n+1. 思路分析：由a 1+b1=1得a +b =ab 又(a +b )(a 1+b 1)=2+b a +ab 故ab =a +b而(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n-1b +…+C r n a n-r b r +…+C n n b n令f (n )=(a +b )n -a n -b n ,则 f (n )=C 1n a n-1b +C 2n a n-2b 2+…+C r n a n-r b r +…+C n-1n ab n-1因为C i n =C n-i n ,倒序相加，于是2f (n )=C 1n (a n-1b +ab n-1)+…+C r n (a n-r b r +a r b n-r )+…+C n-1n (ab n-1+a n-1b ). 而n-1b +ab n-1≥2n n b a ≥2n+1,…,a n-r b r +a r b n-r ≥2n n b a ≥2n+1,…,ab n-1+a n-1b ≥2n n b a ≥2×42n=2n+1,则2f (n )=(C 1n +C n 2+…+C r n +…+C n-1n )(a r b n-r +a n-r b r )=(2n -2)(a r b n-r +a n-r b r )≥(2n -2)·2n+1. ∴f (n )≥(2n -2)·2n .∴结论成立.温馨提示应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab ≤2b a +,若放成)1(+k k <k +1,则得S n <2)1(2)3)(1()1(21+〉++=+∑=n n n k nk ,就放过“度”了! 二,证明数列不等式【例2】 已知a 1=1,a n+1=(1+n n +21)a n +n 21.证明a n <e 2. 证明：a n+1≤［1+)1(1-n n ］a n +)1(1-n n ⇒a n+1+1≤［1+)1(1-n n ］(a n +1) ⇒ln(a n-1+1)-ln(a n +1)≤ln ［1+)1(1-n n ］<)1(1-n n ⇒-〈+-+∑∑-=-=-12121)1(1)]1ln()1ln(n i n i i i i a a ［ln(a n +1)-ln(a 2+1)<1, 即ln(a n +1)<1+ln3⇒a n <3e-1<e 2.温馨提示利用放缩法来证明不等式时，要掌握适当尺度，好的方法能使解法简便. 三、用贝努利不等式证明【例3】 设数列{a n }满足a n+1=a n 2-na n +1(n ∈N *),当a 1≥3时证明对所有n(1）a n ≥n(2)111a ++211a ++…+n a +11≤21 证明：（1）用数学归纳法：当n =1时显然成立，假设当n ≥k 时成立即a k ≥k +2,则当n =k +1时,a k+1=a k (a k -k )+1≥a k (k +2-k )+1≥(k +2)·2+1>k +3,成立.（2）利用上述部分放缩的结论a k+1≥2a k +1来放缩通项，可得a k+1+1≥2(a k +1) ⇒a k +1≥… ≥2k-1(a 1+1)≥2k-1·4=2k +1⇒11+k a ≤1k 21+21211)21(1412111111≤--⋅=≤+∑∑=+=nni i n i i a . 温馨提示上述证明（1）用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩.a k+1≥(k +2)(k +2-k ) +1>k +3;证明（2）就直接使用了部分放缩的结论a k+1≥2a k +1.各个击破类题演练 1求证:C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n >n ×221-n (n >1,n ∈N ).证明:不等式左边C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n =2n -1=1+2+22+…+2n-1>n ·122...221-⋅⋅n =n ×221-n ,原结论成立变式提升 1 设S n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n .求证:2)1(+n n <S n <2)1(2+n . 证明:此数列的通项为a k =)1(+k k ,k =1,2,…,n∵k <)1(+k k <21++k k =k +21, ∴∑=n k k 1<S n <∑=+n k k 1)21(, 即2)1(+n n <S n <2)1(+n n +2n <2)1(2+n类题演练 2 已知函数f (x )=lg nn a n xx x x ⋅+-++++)1(...321,0<a ≤1，给定n ∈N *，n ≥2. 求证：f (2x )>2f (x )(x ≠0)对任意n ∈N *且n ≥2恒成立.证明:f (2x )>2f (x )⇔〉⋅+-++++nn a n xx x x 2222)1(...321lg ⇔⋅+-++++nn a n xx x x )1(...321lg 2 ［1+2x +3x +…+(n -1)x +a ·n x ］2<n ×［1+22x +32x +…+(n -1)2x +a ·n 2x ］,而由柯西不等式得(1·1+1·2x +1·3x +…+1·(n -1)x +a ·n x )2<(12+…+12)×［1+22x +32x +…+(n -1)2x +a 2·n 2x ］(x =0时取等号)≤n ×［1+22x +32x +…+(n -1)2x +a ·n 2x ］(0<a ≤1),结论得证变式提升 2设a n =1+a 21+a 31+…+a n 1,a ≥2.求证：a n 证明:a n =1+a 21+a 31+…+a n 1≤1+221+231+…+21n 又k 2=k ·k >k (k -1),k∴21k <)1(1-k k =11-k -k 1 于是a n ≤1+221+231+…+21n <1+(1-21)+(21-31)＋…+(11-n -n 1)=2-n 1类题演练 3已知函数bx a x f 211)(⋅+，若f (1)=54，且f (x )在［0,1］上的最小值为21，求证：f (1)+f (2)+…+f (n )>n +1-n 21-21. 证明:由于f (x )是单调函数，于是21＝f (0)= a +11，解得a =1.又由f (1)＝54，得b =- f (x )=x x 414+=1-x 411+>1-x x224⨯ (x ≠0) ⇒f f (n )>(1-221⨯)+(1-2221⨯)+…+(1- n 221⨯)=n -41(1+21+…+1-n 21)=n +1-n 21-21 变式提升 3设n >1，n ∈N ，求证:(32)n <)2)(1(8++n n . 证明:观察(32)n 的结构，注意到(23)n =(1+21)n ，展开得(1+21n =1+C 1n ·21+C1n ·221+C 3n ·321 +…≥1+2n +8)1(-n n =86)2)(1(+++n n ，即(1+21)n >8)2)(1(++n n ，得证.。
用数学归纳法证明不等式课件 选修4-5
2k＋1 2k＋3 357 ··· „· · 246 2k 2k＋1 2k＋3 ＞ k＋1· ＝ 2k＋1 ＝ k＋2 2k＋32 4k＋1
4k2＋12k＋9 ＞ k＋2. 4k2＋12k＋8
2n＋1 357 因此不等式2··· 2n ＞ n＋1 4 6 „· 对于一切 n∈N*都成立．
n＋1(n∈N*)．
[思维启迪] 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而 求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法 证明要证的结论即可．
解 (1)由an＋1＝an＋2n＋1得 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1， 因此{an－2n}成等差数列．
(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，
任意n都成立．n＝1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出
通项公式，然后用数学归纳法证明之．第二问列出式子发现 用裂相法与放缩法即可证明．比用数字归纳法简便．
(1)解 由条件得 2bn＝an＋an＋1，a2＋1＝bnbn＋1. n 由此可得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立． ②假设当 n＝k 时，结论成立， 即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当 n＝k＋1 时，
自学导引 1．贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数， 则 (1＋x)n>1＋nx . 2．贝努利不等式的更一般形式： 当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋ αx(x＞－1)；
当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞
－1)．
基础自测 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证 ( )．
3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式课件人教新课标B版
1
3
1
+…+
+…+
1
3
+
1−
3
1
1
利用 ③,得 11
1
3 1- 3
1
1-3
1
3
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
+1 +
3
= 1−
1
32
1
2
1
+1
3
1
1
1
+ 2+…+
3 3
3
1
1
1
· + 2+…+
3 3
3
1-
1
3+1
≥1−
.
3+1
1-
≥ 1-
3+1
1
即当 n=k+1 时,③式也成立.
故对一切 n∈N*,③式都成立.
=1 −
HONGNANJUJIAO
题型三
则当 n=k+1 时,
1-
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
… 11-
1
3
1
3
≥1 −
=
1
1
+ 2
3 3
1 1 1
+
2 2 3
>
+…+
1
3
1
, 即②式成立.
2
故原不等式成立.
3.了解贝努利不等式的应用条件.
-2-
3.2
用数学归纳法证明不等式,
贝努利不等式
2014年人教A版选修4-5课件 2.用数学归纳法证明不等式
1 (2) 求满足不等式 (1 + )n n 的正整数 n 的范围. 2. n 解: (2) 经计算, (1 + 1 )3 = 64 3, 3 27 1 猜想: 当 n≥3 时, (1 + )n n. n 证明: ① 当 n=3 时, 已验证不等式成立. ② 假设 n=k (k≥3) 时, 不等式成立, 那么当 n=k+1 时, (1 + 1 )k +1 = (1 + 1 )k (1 + 1 ) k +1 k +1 k +1 (1 + 1 )k (1 + 1 ) (放缩) k k +1 k(1 + 1 ) (假设) k +1 =k+ k k +1
(2) 假设 n=k 时, 2k≥2k 成立,
(下面是要用这个假设推出 2k+1≥2(k+1). )
那么当 n=k+1 时, 2k+1=22k ≥2(2k) =2(k+k)≥2(k+1). (这里用了放缩: k≥1) 注意适当放缩. 即 n=k+1 时, 不等式也成立. 由(1)(2)知, 对一切正整数 n, 2n≥2n 都成立. (与等式证明相比较, 你认为证明不等式应注意什么?)
一 数学归纳法 二 用数学归纳法证明不等式
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 数学归纳法证明不等式与证明等式有 什么不同? 2. 与等式证明相比, 数学归纳法证明不 等式的+) 成立与否? 能对你的判断 进行证明吗? n=1 时, 左边=2, 右边=2, 不等式成立. n=2 时, 左边=4, 右边=4, 不等式成立.
第 2 题.
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲二用数学归纳法证明不等式
【思路点拨】
本题由递推公式先计算前几项，然
后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于 (2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利 用放缩法证明．
【解】 (1)由 a1＝2，得 a2＝a2－a1＋1＝3；由 a2＝ 1 3，得 a3＝a2－2a2＋1＝4；由 a3＝4，得 a4＝a2－3a3 2 3 ＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k(k≥1)时，不等式成立，即 ak≥k＋2. 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a2－kak＋1＝ak(ak－k)＋ k 1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1) ＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2.
＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论, 这样是不符合数学归纳法要求的．
【自我校正】 (1)同上． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，结论成立． kk＋1 k＋12 即 <ak< . 2 2 当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2 kk＋1 kk＋1 > ＋ k＋1k＋2> ＋(k＋1) 2 2 k＋1[k＋1＋1] ＝ . 2
当 n＝k＋1 时， k＋1k＋2 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2> . 2 k＋2 2 又 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2<( )， 2 ∴当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)、(2)知，对一切 n∈N＋，不等式成立．
【错因】
错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n
假设当n＝k时, 起始自然数)不等式成立 ______________________；第二步是_____________
第四讲 数学归纳法证明不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
bk 1
a
… a k a k 1 ≤a1b1＋a2b2＋…＋akbk＋ak＋1bk＋1，
故当 n＝k＋1 时，③成立． 由(1)(2)可知，对一切正整数 n，所推广的命题成立． 说明：(3)中如果推广形式中指出③式对 n≥2 成立，则后续证明 中不需讨论 n＝1 的情况．
不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N＋)． (2)①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5，公式成立． ②假设n＝k时成立，即ak＝5×2k－2(k≥2.k∈N＋)， 当n＝k＋1时，由已知条件和假设有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak ＝5＋5＋10＋…＋5×2k
反复运用③式，得 c－xn≤(1－ c)n－1( c－x1)＜(1－ c)n－1. xn＜1－ c和 c－xn＜(1－ c)n－1 两式相加， 知 2 c－1＜(1－ c)n－1 对任意 n≥1 成立． 根据指数函数 y＝(1－ c)n 的性质，得 2 c－1≤0， 1 1 c≤ ，故 0＜c≤ . 4 4 1 (ii)若 0＜c≤ ，要证数列{xn}为递增数列， 4 即 xn＋1－xn＝－x2 ＋c＞0. n 即证 xn＜ c对任意 n≥1 成立．
考情分析
通过分析近三年的高考试题可以看出，不但考查用数
学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新 发现的结论的正确性．数学归纳法的应用主要出现在数列
解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通
过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数 学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”
b1
b2
－
高中数学第二章推理与证明2-3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式不等式问题教学案苏教版选修2_2
高中数学第二章推理与证明2-3数学归纳法第一课时利用数学归纳法证明等式不等式问题教学案苏教版选修2_2[对应学生用书P48]在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．数学归纳法的两个步骤之间的联系：第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)就作出判断，可能得不出正确的结论，因为单靠步骤(1)，无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判断．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)时，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．[例1]1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[思路点拨] 等式的左边有2n项，右边共有n项，f(k)与f(k ＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左右两边的首项不同．因此，从n＝k到n＝k＋1时要注意项的合并．[精解详析] (1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么当n＝k＋1时，左边＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－12k＋2＝＋＋…＋＋＋.右边＝＋＋…＋＋＋，左边＝右边，上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立．[一点通] (1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有。
人教版数学高二A版选修4-5素材4.2用数学归纳法证明不等式
庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法证明不等式的基本步骤（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实：假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确.完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.辨析比较数学归纳法与其他证明不等式的方法数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点1.重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.2.难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k+1)>g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？ 典题·热题知识点一： 命题的结构特征例1 求证：6531312111>+++++++n n n n ,n≥2,n ∈N . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，k31不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾.根据此分母的特点，在3k 后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了131+k ,231+k ,331+k 共三项，而不是只增加)1(31+k 一项.证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=31+41+51+61>65，不等式成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即65312111>+++++k k k .则当n=k+1时，)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k=)11331231131(312111+-+++++++++++k k k k k k k >)11331231131(65+-++++++k k k k >65)113313(65)11331331331(65=+-+⨯+=+-++++++k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立. 误区警示错误的思维定式认为从n=k 到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知，S n =1+21+31+…+n1,n ∈N ， 用数学归纳法证明：n S 2>1+2n,n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k 项，而不是只增加了121+k 这一项，否则证题思路必然受阻.证明：（Ⅰ）当n=2时，22S =1+21+31+41=1+>12131+22， ∴命题成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即k S 2=1+21+31+…+2121k k +>. 则当n=k+1时，12+k S =1+21+31+…+12122112121+++++++k k k k >1+111121212121212211212++++++++>++++++k k k k k k k k2112121212211++=++=⨯++=+k k k k k 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N 均成立. 方法归纳本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k 到n=k+1时不等式左端项数的增减情况. 知识点二： 比较法 例3 求证：1+21+31+…+n 1≥12+n n . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明1)1()1(2112+++>++k k k k ，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明：（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=1112+⨯，左式=右式; 当n=2时，左式=1+21=23,右式=1222+⨯=34;23>34,左式>右式. ∴当n=1或n=2时，不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥1)时，不等式成立，即 1+21+31+…+121+≥k k k . 则当n=k+1时， 左式=1+21+31+…+1121112111++=+++≥++k k k k k k k . ∵)2)(1(1)1()1(2112++=+++-++k k k k k k k >0, ∴1)1()1(2112+++>++k k k k =右式. 由不等式的传递性，可得左式>右式， ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n ∈N ,不等式都成立. 误区警示在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定. 知识点三： 放缩法 例4 证明：n n21312111<++++，n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，在证明12112+<++k k k 时，使用了均值定理进行放缩. 证明：(Ⅰ)当n=2时，左边=223212211=+<+，右边=22. ∴左边<右边，∴n=2时，原不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k 时，不等式成立，即k k21312111<++++. 当n=k+1时，112111312111++<++++++k k k k1211)]1([1112112+=++++<+++•=+=<k k k k k k k k k ∴n=k+1时，原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.知识点四： 转化等价命题例5 数列{a n }的通项公式为a n =3n+2，将数列{a n }中的第2,4,8,…,2n 项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，记其前n 项和为S n ,T n =n(9+a n )，当n ≥4时，证明S n >T n . 思路分析：要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ，即证2n+1>n 2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化. 证明：∵a n =3n+2， ∴n a 2=3×2n +2，∴S n =a 2+a 4+a 8+…+a n a 2=3(2+4+8+…+2n )+2n=3×2n+1+2n-6. 而T n =n(9+a n )=3n 2+11n. 要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ， 即证2n+1>n 2+3n+2. 用数学归纳法来证明：(Ⅰ)当n=4时，S 4=98,T 4=92,S 4>T 4成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，就是2k+1>k 2+3k+2，那么 2k+2-［(k+1)2+3(k+1)+2］>2(k 2+3k+2)-(k 2+5k+6) =k 2+k-2=(k+2)(k-1).∵k≥4,∴(k+2)(k-1)>0.∴2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，S n >T n 也成立. 由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对n≥4,S n >T n 都成立. 方法归纳本题用数学归纳法证明2n+1>n 2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的. 巧解提示也可不用数学归纳法来证明2n+1>n 2+3n+2(n≥4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n≥4时， 2n+1=2·2n =2(1+1)n=2(11210n n n n n n C C C C C +++++- ) ≥2(11210n n n n n n C C C C C ++++-)=n 2+3n+4 >n 2+3n+2.知识点五： 单调性例6 已知数列{a n }中，所有项都是正数，且a n+1≤a n -a 2n ，求证：a n <n1. 思路分析：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即a k <k1. 则当n=k+1时，a k+1≤a k -a 2k =a k (1-a k )，∵a k <k1， ∴1-a k >1-k 1=kk 1-.由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k 到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x 2+x 的单调性进行证明：函数f(x)=-x 2+x 的最大值为f(21)=41，且在(-∞,21］上为增函数.证明：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立.而a 2≤a 1-a 12=f(a 1)≤41<21，故n=2时命题也成立. （Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，命题成立，即a k <k1，因为函数f(x)=-x 2+x 在(-∞,21］上为增函数，所以由a k <k 1≤21及a k+1≤a k -a 2k 得a k+1≤f(a k )<f(k 1)=21k -+k 1=21k k -<11112+=--k k k ,即a k+1<11+k ， 所以当n=k+1时，命题也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，a n <n1. 知识点六： 活用起点的位置 例7 已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈［41,21］时，f(x)≥81. （1）求a 的值； （2）设0<a 1<21,a n+1=f(a n ),n ∈N *,证明:a n <11+n . 思路分析：在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式a n+1=f(a n )=23-a 2n +a n 的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. (1)解：由于f(x)=ax 23-x 2的最大值不大于61,所以f(3a )=62a ≤61,即a 2≤1.又x ∈［41,21］时f(x)≥81, 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥.813234,81832,81)41(,81)21(a a f f 即解得a≥1. ∴a=1.(2)证明：（Ⅰ）当n=1时，0<a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立； 因f(x)>0,x ∈(0,32),所以0<a 2=f(a 1)≤61<31,故n=2时不等式也成立.（Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，不等式0<a k <11+k 成立， 因为f(x)=x-32x 2的对称轴为x=31,知f(x)在［0,31］为增函数，所以由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ),于是有0<a k+1<11+k -32·21)2()1(24212121)1(122+<+++-+=+-+++k k k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，不等式a n <11+n 成立.方法归纳将起点的位置推移至2的目的，就是要将a k 和11+k 置于函数f(x)的单调区间［0,31］内，从而由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ). 问题·探究交流讨论探究问题1 我们已经学习过贝努利不等式（1+x ）n ＞1+nx 的证明，如果我们加强条件，如：已知x ＞-1，且x≠0，n ∈N ，n≥2.如何来证明不等式（1+x ）n ＞1+nx.证明的方法有哪些呢？ 探究过程:老师：首先验证n=2时的情况.（1）当n=2时，左边=（1+x ）2=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因x 2＞0，则原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥2），不等式成立，即（1+x ）k ＞1+kx. 现在要证的目标是（1+x ）k +1＞1+（k+1）x ，请同学们考虑.同学甲：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有（1+x ）k +1=（1+x ）k （1+x ）.因为x ＞-1（已知），所以1+x ＞0,于是（1+x ）k （1+x ）＞（1+kx ）（1+x ）.同学乙：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx ）（1+x ）≥1+（k+1）x. 显然，上式中“=”不成立.故只需证：（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 老师：证明不等式的基本方法有哪些？同学丙：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法.老师：在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用.同学丁：证明不等式（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x ，可采用作差比较法.（1+kx ）（1+x ）-［1+（k+1）x ］=1+x+kx+kx 2-1-kx-x=kx 2＞0（因x≠0，则x 2＞0）. 所以，（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 同学甲：也可采用综合法的放缩技巧.（1+kx ）（1+x ）=1+kx+x+kx 2=1+（k+1）x+kx 2.因为kx 2＞0，所以1+（k+1）x+kx 2＞1+（k+1）x ，即（1+kx ）（1+x ）＞1+（1+k ）x 成立. 老师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写.探究结论:在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的重点和难点.要注意分离出该命题中可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），并借助于其他数学方法（如分析法、比较法、综合法、反证法等）.问题2 我们在证明不等式的时候，常用放缩法的技巧来达成目的，可在具体的题目中究竟如何放缩还要视具体的题目而定，我们不妨来看看这样一个命题的证明，求证：2上标n+2＞n 2，n ∈N .探究过程:老师：（1）当n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边.所以原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥1且k ∈N ）时，不等式成立，即2k +2＞k 2. 现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立. 同学甲：利用归纳假设2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2·k 2-2.老师：将不等式2k 2-2＞（k+1）2，右边展开后得k 2+2k+1.由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k 2+2k+1方向进行转化，即2k 2-2=k 2+2k+1+k 2-2k-3.由此不难看出，只需证明k 2-2k-3≥0，不等式2k 2-2＞k 2+2k+1即成立.同学乙：因为k 2-2k-3=（k-3）（k+1），而k ∈N ，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立.老师：不成立的条件是什么？同学乙：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立.老师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立.那么，n=3时是否也需要论证？同学丙：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立.老师：通过上例可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.探究结论:设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定.。
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课题：用数学归纳法证明不等式
教学目标：
1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。
2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。
3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。
重点、难点：
1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。
2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。
教学过程：
一、复习导入：
1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？
（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。
（2）步骤：1）归纳奠基;
2）归纳递推。
2、作业讲评：（出示小黑板）
习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
如采用下面的证法，对吗？
证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。
②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)
当n=k+1时，
2+4+6+8+……+2k+2(k+1)
∴ n=k+1时，等式成立。
由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。
（1）学生思考讨论。
（2）师生总结：1）不正确
2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。
二、新知探究
明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。
(出示小黑板)
例1 观察下面两个数列，从第几项起a n始终小于b n？证明你的结论。
｛a n=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……
｛b n=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, ……
（1）学生观察思考
（2）师生分析
（3）解：从第5项起，a n＜b n，即n²＜2n,n∈N+（n≥5）
证明：（1）当 n=5时，有52＜25，命题成立。
即k2＜2k
当n=k+1时，因为
（k+1）2=k2+2k+1＜k2+2k+k=k2+3k＜k2+k2=2k2<2×2k=2
所以，（k+1）2＜2k+1
即n=k+1时，命题成立。
由（1）（2）可知n²＜2n（n∈N+，n≥5）
学生思考、小组讨论：①放缩技巧：k2+2k+1＜k2+2k+k；k2+3k＜k2+k2
②归纳假设：2k2<2×2k
例2证明不等式│Sin nθ│≤n│Sinθ│(n∈N+)
分析：这是一个涉及正整数n的三角函数问题，又与绝对值有关，在证明递推关
系时，应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式。
证明：（1）当 n=1时，上式左边=│Sinθ│=右边，不等式成立。
（2）假设当n=k（k≥1）时命题成立，
即有│Sin kθ│≤k│Sinθ│
当n=k+1时，
│Sin （k+1）θ│=│Sin kθCosθ+Cos kθSin θ│
≤│Sin kθCosθ│+│Cos kθSin θ│
=│Sin kθ││Cosθ│+│Cos kθ││Sin θ│
≤│Sin kθ│+│Sin θ│
≤k│Sinθ│+│Sin θ│
=（k+1）│Sinθ│
所以当n=k+1时，不等式也成立。
由（1）（2）可知，不等式对一切正整数n 均成立。
学生思考、小组讨论：①绝对值不等式: │a+b│≤ │a│+│b│
②三角函数的有界性：│Sinθ│≤1,│Cosθ│≤1
③三角函数的两角和公式。
（板书）例3 证明贝努力（Bernoulli ）不等式:
如果x 是实数且x ＞-1，x≠0,n 为大于1的自然数，那么有（1+x ）n ＞1+nx 分析：①贝努力不等式中涉几个字母？（两个：x,n ）
②哪个字母与自然数有关？ (n 是大于1的自然是数)
（板书）证：（1）当n=2时，左边=（1+x ）2=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因x 2＞0，则原不等式成立．
（在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x 2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫）
（2）假设n=k 时（k≥2），不等式成立，即（1+x ）k ＞1+kx ．
师：现在要证的目标是（1+x ）k+1＞1+（k+1）x ，请同学考虑．
生：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假
设，所以当n=k+1时．应构造出归纳假设适应的条件．所以有：（1+x ）k+1=（1+x ）
k （1+x ），因为x ＞-1（已知），所以1+x ＞0于是（1+x ）k （1+x ）＞（1+kx ）（1+x ）．
师：现将命题转化成如何证明不等式
（1+kx ）（1+x ）≥1+（k+1）x ．
显然，上式中“=”不成立．
故只需证：（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x ．
提问：证明不等式的基本方法有哪些？
生：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法．
（提问的目的是使学生明确在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用）生：证明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比较法．
（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x]
=1+x+kx+kx2-1-kx-x
=kx2＞0（因x≠0，则x2＞0）．
所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x．
生：也可采用综合法的放缩技巧．
（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．
因为kx2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．
生：……
（学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结）
师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．
（板书）将例3的格式完整规．
证明：（1）当n=2时，由x≠0得（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立。
（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，
即有（1+x）k＞1+kx
当n=k+1时，
（1+x）k+1=（1+x）（1+x）k＞（1+x）（1+kx）
=1+x+kx+ kx2＞1+x+kx=1+（k+1）x
所以当n=k+1时，不等式成立
由①②可知，贝努力不等式成立。
（通过例题的讲解，在第二步证明过程中，通常要进行合理放缩，以达到转化目的）
三、课堂小结
1．用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．
2．用数学归纳法证明不等式是较困难的课题，除运用证明不等式的几种基本方法外，经常使用的方法就是放缩法，针对目标，合理放缩，从而达到目标．四、课后作业
1．课本P53：1，3，5
2．证明不等式：。