第二章 平面体系的机动分析(结构力学)
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结构力学章节习题及参考答案
第3章静定梁与静定刚架习题解答
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
平面体系的机动分析
W = 3m-2h-r
m---刚片数（不包括地基） h---单铰数 r---链杆数（含支座链杆）
18
铰接链杆体系
W = 2j-b-r
j--结点数 b--杆件数
r--支座链杆数
19Hale Waihona Puke 例1：试求图示体系的计算自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
3
1
G
3
2 有几个单铰？
有 几 个 刚 片
42
• 【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。
【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点 且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规 则，只分析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆 AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多 余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体 系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD及BD其中之一 均可视为多余约束。
38
5) 当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片 与刚片之间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连；
瞬变体系
39
[例]试分析体系的几何构造
I III
几何不变体系且无多余约束
II
40
【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。
【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成 几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC 杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆 BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的 几何不变体系。
所谓自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标 的个数。
平面体系的自由度(degree of freedom of planar system) ：用以确定平面体系在平面内位 置的独立坐标数。 ⑴ 平面上的点有两个自由度
第2章平面体系的机动分析
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 以刚片ⅠⅡⅢ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部 为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个 自由度。 （2）分析图(b)中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是 瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1. 一个点与一个刚片 之间的连接方式 2. 两个刚片之间的连 接方式
规律1 一个刚片与一个点 用两根链杆相连，且三个铰不在 一直线上，则组成几何不变的整 体，且没有多余约束。
规律2 两个刚片用一个 铰和一根链杆相连，且三 个铰不在一直线上，则组 成几何不变的整体，且没 有多余约束。
试分析图示体系的几何构造
D
E
0 23
Ⅱ
013 基础 Ⅲ
Ⅰ
023
Ⅱ
B
Ⅰ
A
012
012
C
基础 Ⅲ
013
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三 铰相连，所以体系为无多余约 束的几何不变体。
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线的三铰 相连，所以体系为无多余约束 的几何不变体。
分析图示铰结体系
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩
第二章 平面体系的机动分析
3、平面体系的计算自由度（略）
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
2平面体系的机动分析(李廉锟结构力学)
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全 部使用，且不可重复使用。
§2-5 机动分析示例
F
D E
G
如何变静定？ 唯一吗？
§2-5 机动分析示例
C
内部可 F 变性
D
找刚片
E
A
B
§2-5 机动分析示例
A
C
E DD E
如何才能不变？
B
可变吗？ 有多余吗？
§2-5 机动分析示例
加减二元体
§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况
平面链杆系的自由度(桁架): 链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 约 约 束： b 束： r
链杆数：
b
支座链杆数：r 则体系自由度：
W = 2j-(b+r)
§2-2 平面体系的计算自由度
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
体系几何不变 因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
W> 0 W< 0
体系几何可变
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
D 。 体系是 A.几何可变体系 C.瞬变体系
B. 无多余约束的几何不变体系 D.体系的组成不确定
3. 图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆， 2 对于保持其几何不变来说有 个多余约束，其中第 1 个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。
结构力学平面体系的机动分析
x, y , 1 , 6-2=4
2
x, y , 1 , 2 , 3 9-22=5
一单铰：两个联系， 两个链杆。
联结n个刚片的复铰： （n-1)个单铰。
• (3) 多余联系（约束） y
A • 在一个体系中增加一个约束，而体系的自 由度并不减少，则此约束称为多余约束。
B
C
D
x
• 自由度S=(各构件自由度总和）－（非多余约束数） • 计算自由度W=(各构件自由度总和）－（全部约束数）
2-2 平面体系的计算自由度
• 一：基本概念
（1）自由度：物体运动时可以独立变化的几何参数的数目，
也就是确定物体位置所需的独立坐标数目。
y x y x
y x y
x
• （2）一个联系（约束）：凡减少一个自由度的装置。
1
x
2
1
y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
x
1
y
3 2
1
,
2
3-1=2 一根链杆：一个 联系
F
E
G
C 刚片2 A 刚片1
D B
H
小结：
W>0
平面体系
机动分析
计算自由度
W=0 W<0 三刚片规则
简单组成规则
二元体规则
两刚片规则
对图示体系进行机动分析
3 H 1 2 3
(2)
A 1 3 D
B 2 E 3
(1)
C
3
F G
3
（ 3）
自学：三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况及零载法。
作业：教材第二章习题 1，2，5，6，8。
• 一 . 三刚片规则
第二章-平面体系几何组成分析
2-3 几何不变体系的基本组成规律 基本规则
2-4 瞬变体系
FNAB =FNAC =FN
2FN sina=FP
δ
FN =FP /(2 sina )
l2 2 l 2
2l
2-5 几何组成分析示例 几何组成分析目的
体系
几何不变 几何可变
无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系
瞬变体系 常变体系
2-2 平面体系的计算自由度 约束/联系
复刚结点
连接n个刚片的复刚结点， 相当于（n -1）个单刚结点， 能减少3（n -1）个自由度， 故相当于3（n -1）个约束。
2-2 平面体系的计算自由度 必要约束/多余约束
必要约束
多余约束
多余约束
必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
2-2 平面体系的计算自由度
2-5 几何组成分析示例 例题 I
B
A
C
DE
B
AⅠ
ⅡC
DE
Ⅲ
2-5 几何组成分析示例 例题 II
2-5 几何组成分析示例 例题 III
利用虚铰
等效链杆
2-5 几何组成分析示例 例题 VI
将刚片画成直杆
将
画成
2-5 几何组成分析示例 例题 V
主从结构
2-5 几何组成分析示例 例题 VI
C B A
第二章
平面体系的机动分析
Geometric Construction Analysis of Planar Systems
2-1 概述 机动分析前提假设
结构可变性分为： 物理可变形；几何可变性。
机动分析前提假设： 不考虑材料变形。
2-1 概述 体系的分类
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 平面体系的机动分析【圣才出品】
相当于三刚片规则。同理，两刚片规则中链杆仍然可以看作一个刚片。因此三个基本组成
规则实质上只是同一个规则。
5．何谓瞬变体系？为什么土木工程中要避免采用瞬变和接近瞬变的体系？ 答：（1）瞬变体系的定义 瞬变体系是指经微小位移后由几何可变转化为几何不变的体系，瞬变体系是一种几何 可变体系。 （2）在土木工程的实际中，由于材料变形，瞬变体系一经受力即偏离原有位置，而 内力通常也很大，甚至可能导致体系的破坏。同时，瞬变体系的位移只是理论上为无穷小， 实际上在很小的荷载作用下也会产生很大的位移。因此，土木工程中要பைடு நூலகம்免采用瞬变和接
二、平面体系的计算自由度 ★★★★★ 1．自由度和约束（见表 2-1-2）
表 2-1-2 自由度和约束
2．平面体系的计算自由度（见表 2-1-3） 表 2-1-3 平面体系的计算自由度
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三、几何不变体系的基本组成规则（见表 2-1-4） ★★★★★ 表 2-1-4 几何不变体系的基本组成规则
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近瞬变的体系，以保证结构的安全和正常使用。
6．试小结机动分析的一般步骤和技巧。 答：（1）机动分析的一般步骤 ①一般先考察体系的计算自由度。如果 W＞0，已表明体系是几何可变的；如果 W≤0，进一步做组成分析。 ②运用几何组成的基本规则做几何组成分析。 （2）机动分析的一般技巧 ①对于较复杂的体系，宜先把能直接观察出的几何不变部分当作刚片。 ②以地基或刚片为基础按二元体或两刚片规则逐步扩大刚片范围。 ③拆除二元体使体系的组成简化，以便进一步用基本的组成规则去分析它们。
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一、三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相 连，所组成的平面体系几何不变。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 )
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
几何不变
弹性变形 可称之为结构
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21:38
§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
例4：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
W 2jbr 2 9 15 3 0
结构力学
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
⑴ W>0 , 几何可变
⑵ W=0 ,具有成为几何 不变所需的最少联系
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
1
3
2 3
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
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结构力学
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
例2：计算图示体系的自由度
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
试分析图示体系的几何组成 是什么 体系？
结构力学
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
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21:39
§2-4 瞬变体系
结构力学
铰结三角形规则——条件：三铰不共线
P
A
C
B
C1 不能平衡
微小位移后，不能继续位移
瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为
结构力学
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。
5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部 使用，且不可重复使用。
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§2-5 机动分析示例
F D
P
几何可变 只能称之为机构
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21:38
§2-1 引言
结构力学
三、杆系的机动分析：
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还 要研究几何不变体系的组成规律。又称:
几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否
作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
如何减二元体？
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
三、两刚片规则：
两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接， 组成几何不变体系。
铰
链杆
Ⅱ
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
结构力学
平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 链杆数： b 约 束： b 支座链杆数：r 约 束： r
则体系自由度： W = 2j-(b+r)
╳
1
2
A
题3图
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题4图
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本章自测题
结构力学
二、选择填空
1. 体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的
A 条件。
A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体
系是
D。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.体系的组成不确定
几何不变的体系。
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§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 • （a）三链杆交于一点； • （b）三链杆完全平行（不等长）； • （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； • （d）三链杆完全平行（等长）
体系
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
几何可变体系 常变 不可作结构 瞬变
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21:39
结论与讨论
结构力学
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。
正确区分静定、超静定，正确判定超静定结构的 多余约束数十分重要。
超静定结构可通过合理地减少多余约束使其变成静 定结构。
分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可任意改 换。按照找大刚体（或刚片）、减二元体、去支座分 析内部可变性等，使体系得到最大限度简化后，再应 用三角形规则分析。
W> 0
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3
3
3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
按铰结链杆计算
2
1
W=2 ×6-(9+3)=0
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
例3：计算图示体系的自由度
1①
2
结构力学
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r) 3 3 (2 2 4) 1
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
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§2-5 机动分析示例
几何可变
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少
联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
n个杆件组成的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
二、平面体系的计算自由度
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
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§2-2 平面体系的计算自由度
两根链杆连接而成的一
个新的铰结点，这个
“两杆一铰”体系，称
A
D
B
为二元体。
刚片1
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学 加减二二元元体体组简成化结分构析
1. 去支座后再分析体系本身，为什么可以这样？
2.有二元体吗？ 有
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§2-5 机动分析示例
结构力学
加、减二 元体
无多几何不变
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§2-5 机动分析示例
结构力学
例2-3 对图示体系作几何组成分析。
找出三个刚片 无多余联系的几何不变体
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§2-5 机动分析示例
结构力学
G E
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§2-5 机动分析示例
C
内部可 F
变性
结构力学 D
找刚片
E
A
B
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§2-5 机动分析示例
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 )
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
几何不变
弹性变形 可称之为结构
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§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
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§2-2 平面体系的计算自由度
例4：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
W 2jbr 2 9 15 3 0
结构力学
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
⑴ W>0 , 几何可变
⑵ W=0 ,具有成为几何 不变所需的最少联系
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§2-2 平面体系的计算自由度
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
1
3
2 3
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
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结构力学
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
例2：计算图示体系的自由度
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
试分析图示体系的几何组成 是什么 体系？
结构力学
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
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§2-4 瞬变体系
结构力学
铰结三角形规则——条件：三铰不共线
P
A
C
B
C1 不能平衡
微小位移后，不能继续位移
瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为
结构力学
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。
5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部 使用，且不可重复使用。
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§2-5 机动分析示例
F D
P
几何可变 只能称之为机构
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§2-1 引言
结构力学
三、杆系的机动分析：
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还 要研究几何不变体系的组成规律。又称:
几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否
作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
如何减二元体？
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
三、两刚片规则：
两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接， 组成几何不变体系。
铰
链杆
Ⅱ
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
结构力学
平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 链杆数： b 约 束： b 支座链杆数：r 约 束： r
则体系自由度： W = 2j-(b+r)
╳
1
2
A
题3图
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题4图
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本章自测题
结构力学
二、选择填空
1. 体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的
A 条件。
A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体
系是
D。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.体系的组成不确定
几何不变的体系。
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§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 • （a）三链杆交于一点； • （b）三链杆完全平行（不等长）； • （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； • （d）三链杆完全平行（等长）
体系
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
几何可变体系 常变 不可作结构 瞬变
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结论与讨论
结构力学
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。
正确区分静定、超静定，正确判定超静定结构的 多余约束数十分重要。
超静定结构可通过合理地减少多余约束使其变成静 定结构。
分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可任意改 换。按照找大刚体（或刚片）、减二元体、去支座分 析内部可变性等，使体系得到最大限度简化后，再应 用三角形规则分析。
W> 0
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3
3
3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
按铰结链杆计算
2
1
W=2 ×6-(9+3)=0
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§2-2 平面体系的计算自由度
例3：计算图示体系的自由度
1①
2
结构力学
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r) 3 3 (2 2 4) 1
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
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§2-5 机动分析示例
几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少
联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
n个杆件组成的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
二、平面体系的计算自由度
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
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§2-2 平面体系的计算自由度
两根链杆连接而成的一
个新的铰结点，这个
“两杆一铰”体系，称
A
D
B
为二元体。
刚片1
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学 加减二二元元体体组简成化结分构析
1. 去支座后再分析体系本身，为什么可以这样？
2.有二元体吗？ 有
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§2-5 机动分析示例
结构力学
加、减二 元体
无多几何不变
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§2-5 机动分析示例
结构力学
例2-3 对图示体系作几何组成分析。
找出三个刚片 无多余联系的几何不变体
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§2-5 机动分析示例
结构力学
G E
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§2-5 机动分析示例
C
内部可 F
变性
结构力学 D
找刚片
E
A
B
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§2-5 机动分析示例