第二章 平面体系的机动分析(结构力学)
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结构力学章节习题及参考答案
第3章静定梁与静定刚架习题解答
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
习题3.1是非判断题
(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）
(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ）
(3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ）
(4)习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）
(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )
习题 2.1(6)图
习题2.2填空
(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图
(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题 2-2(2)图
（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）
习题7.2填空题
（1）习题5.2(1)图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。
(3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB=______。
习题 7.2(1)图习题 7.2(2)图 习题 7.2(3)图
(4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA=________，CBC=________。
平面体系的机动分析
W = 3m-2h-r
m---刚片数（不包括地基） h---单铰数 r---链杆数（含支座链杆）
18
铰接链杆体系
W = 2j-b-r
j--结点数 b--杆件数
r--支座链杆数
19Hale Waihona Puke 例1：试求图示体系的计算自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
3
1
G
3
2 有几个单铰？
有 几 个 刚 片
42
• 【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。
【解】体系基础以上部分与基础用三根不交于一点 且不完全平行的链杆1、2、3相连，符合两刚片规 则，只分析上部体系。将AB看作刚片Ⅰ，用链杆 AC、EC固定C，链杆BD、FD固定D，则链杆CD是多 余约束，故此体系是有一多余约束的几何不变体 系。在本例中链杆AC、EC、CD、FD及BD其中之一 均可视为多余约束。
38
5) 当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片 与刚片之间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连；
瞬变体系
39
[例]试分析体系的几何构造
I III
几何不变体系且无多余约束
II
40
【例】试对如图所示体系进行几何组成分析。
【解】AB杆与基础之间用铰A和链杆1相连，组成 几何不变体系，可看作一扩大了的刚片。将BC 杆看作链杆，则CD杆用不交于一点的三根链杆 BC、2、3和扩大刚片相连，组成无多余约束的 几何不变体系。
所谓自由度是指确定体系位置所必需的独立坐标 的个数。
平面体系的自由度(degree of freedom of planar system) ：用以确定平面体系在平面内位 置的独立坐标数。 ⑴ 平面上的点有两个自由度
第2章平面体系的机动分析
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 以刚片ⅠⅡⅢ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部 为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个 自由度。 （2）分析图(b)中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是 瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1. 一个点与一个刚片 之间的连接方式 2. 两个刚片之间的连 接方式
规律1 一个刚片与一个点 用两根链杆相连，且三个铰不在 一直线上，则组成几何不变的整 体，且没有多余约束。
规律2 两个刚片用一个 铰和一根链杆相连，且三 个铰不在一直线上，则组 成几何不变的整体，且没 有多余约束。
试分析图示体系的几何构造
D
E
0 23
Ⅱ
013 基础 Ⅲ
Ⅰ
023
Ⅱ
B
Ⅰ
A
012
012
C
基础 Ⅲ
013
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三 铰相连，所以体系为无多余约 束的几何不变体。
刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线的三铰 相连，所以体系为无多余约束 的几何不变体。
分析图示铰结体系
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系，没有多余联系。 或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩
第二章 平面体系的机动分析
3、平面体系的计算自由度（略）
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
2平面体系的机动分析(李廉锟结构力学)
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全 部使用，且不可重复使用。
§2-5 机动分析示例
F
D E
G
如何变静定？ 唯一吗？
§2-5 机动分析示例
C
内部可 F 变性
D
找刚片
E
A
B
§2-5 机动分析示例
A
C
E DD E
如何才能不变？
B
可变吗？ 有多余吗？
§2-5 机动分析示例
加减二元体
§2-6 三刚片虚铰在无穷远处的讨论 (a) 一铰无穷远情况
平面链杆系的自由度(桁架): 链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 约 约 束： b 束： r
链杆数：
b
支座链杆数：r 则体系自由度：
W = 2j-(b+r)
§2-2 平面体系的计算自由度
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少 联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
体系几何不变 因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
W> 0 W< 0
体系几何可变
§2-3 几何不变体系的简单组成规则
D 。 体系是 A.几何可变体系 C.瞬变体系
B. 无多余约束的几何不变体系 D.体系的组成不确定
3. 图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆， 2 对于保持其几何不变来说有 个多余约束，其中第 1 个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。
结构力学平面体系的机动分析
x, y , 1 , 6-2=4
2
x, y , 1 , 2 , 3 9-22=5
一单铰：两个联系， 两个链杆。
联结n个刚片的复铰： （n-1)个单铰。
• (3) 多余联系（约束） y
A • 在一个体系中增加一个约束，而体系的自 由度并不减少，则此约束称为多余约束。
B
C
D
x
• 自由度S=(各构件自由度总和）－（非多余约束数） • 计算自由度W=(各构件自由度总和）－（全部约束数）
2-2 平面体系的计算自由度
• 一：基本概念
（1）自由度：物体运动时可以独立变化的几何参数的数目，
也就是确定物体位置所需的独立坐标数目。
y x y x
y x y
x
• （2）一个联系（约束）：凡减少一个自由度的装置。
1
x
2
1
y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
x
1
y
3 2
1
,
2
3-1=2 一根链杆：一个 联系
F
E
G
C 刚片2 A 刚片1
D B
H
小结：
W>0
平面体系
机动分析
计算自由度
W=0 W<0 三刚片规则
简单组成规则
二元体规则
两刚片规则
对图示体系进行机动分析
3 H 1 2 3
(2)
A 1 3 D
B 2 E 3
(1)
C
3
F G
3
（ 3）
自学：三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况及零载法。
作业：教材第二章习题 1，2，5，6，8。
• 一 . 三刚片规则
第二章-平面体系几何组成分析
2-3 几何不变体系的基本组成规律 基本规则
2-4 瞬变体系
FNAB =FNAC =FN
2FN sina=FP
δ
FN =FP /(2 sina )
l2 2 l 2
2l
2-5 几何组成分析示例 几何组成分析目的
体系
几何不变 几何可变
无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系
瞬变体系 常变体系
2-2 平面体系的计算自由度 约束/联系
复刚结点
连接n个刚片的复刚结点， 相当于（n -1）个单刚结点， 能减少3（n -1）个自由度， 故相当于3（n -1）个约束。
2-2 平面体系的计算自由度 必要约束/多余约束
必要约束
多余约束
多余约束
必要约束
结论：只有必要约束才能对体系自由度有影响。
2-2 平面体系的计算自由度
2-5 几何组成分析示例 例题 I
B
A
C
DE
B
AⅠ
ⅡC
DE
Ⅲ
2-5 几何组成分析示例 例题 II
2-5 几何组成分析示例 例题 III
利用虚铰
等效链杆
2-5 几何组成分析示例 例题 VI
将刚片画成直杆
将
画成
2-5 几何组成分析示例 例题 V
主从结构
2-5 几何组成分析示例 例题 VI
C B A
第二章
平面体系的机动分析
Geometric Construction Analysis of Planar Systems
2-1 概述 机动分析前提假设
结构可变性分为： 物理可变形；几何可变性。
机动分析前提假设： 不考虑材料变形。
2-1 概述 体系的分类
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 平面体系的机动分析【圣才出品】
相当于三刚片规则。同理，两刚片规则中链杆仍然可以看作一个刚片。因此三个基本组成
规则实质上只是同一个规则。
5．何谓瞬变体系？为什么土木工程中要避免采用瞬变和接近瞬变的体系？ 答：（1）瞬变体系的定义 瞬变体系是指经微小位移后由几何可变转化为几何不变的体系，瞬变体系是一种几何 可变体系。 （2）在土木工程的实际中，由于材料变形，瞬变体系一经受力即偏离原有位置，而 内力通常也很大，甚至可能导致体系的破坏。同时，瞬变体系的位移只是理论上为无穷小， 实际上在很小的荷载作用下也会产生很大的位移。因此，土木工程中要பைடு நூலகம்免采用瞬变和接
二、平面体系的计算自由度 ★★★★★ 1．自由度和约束（见表 2-1-2）
表 2-1-2 自由度和约束
2．平面体系的计算自由度（见表 2-1-3） 表 2-1-3 平面体系的计算自由度
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三、几何不变体系的基本组成规则（见表 2-1-4） ★★★★★ 表 2-1-4 几何不变体系的基本组成规则
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近瞬变的体系，以保证结构的安全和正常使用。
6．试小结机动分析的一般步骤和技巧。 答：（1）机动分析的一般步骤 ①一般先考察体系的计算自由度。如果 W＞0，已表明体系是几何可变的；如果 W≤0，进一步做组成分析。 ②运用几何组成的基本规则做几何组成分析。 （2）机动分析的一般技巧 ①对于较复杂的体系，宜先把能直接观察出的几何不变部分当作刚片。 ②以地基或刚片为基础按二元体或两刚片规则逐步扩大刚片范围。 ③拆除二元体使体系的组成简化，以便进一步用基本的组成规则去分析它们。
结构力学章节习题及参考答案
结构力学章节习题及参考答案第1章绪论（无习题）第2章平面体系的机动分析习题解答习题2.1 是非判断题(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。
( )(2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。
( )(3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。
( )(4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。
( )(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。
( )习题2.1(5)图(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题2.1(6)(b)图，故原体系是几何可变体系。
( )(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6)(c)图，故原体系是几何可变体系。
()(a)(b)(c)习题2.1(6)图习题2.2 填空(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。
习题2.2(1)图(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。
习题2-2(2)图(3) 习题2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。
习题2.2(3)图(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(4)图(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。
习题2.2(5)图(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题2.2(6)图(7) 习题2.2(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。
习题2.2(7)图习题2.3 对习题2.3图所示各体系进行几何组成分析。
(a)(b)(c)(d)(e)(f)习题2.3图(h)第3章(g)静定梁与静定刚架习题解答习题3.1 是非判断题(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。
平面体系的机动分析
结论与讨论
灵活运用几何组成规则，可构造各种几 何不变体系。结构的组成顺序和受力分析 次序密切相关。
超静定结构可以通过合理地减少多余约 束使其变成静定结构。注意去掉的一定是 多余约束。 要正确地判断结构是静定的还是超静定的， 因为不同结构的受力分析方法不同。
34
第二章 平面体系的机动分析
通过构件变形（刚体 链杆）使体系得到最 大限度的简化，再应用几何组成规则分析。
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系
27
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
28
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
29
第二章 平面体系的机动分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
（1）一铰无穷远
一个虚铰在无穷远：若组成 此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则 几何可变；
几何不变体系
瞬变体系
30
第二章 平面体系的机动分析
（2）两铰无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链杆不平行则几何不 变；否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
31
第二章 平面体系的机动分析
（3）三铰均无穷远
三个虚铰在无穷远：体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
彼此等长 常变
彼此不等长 瞬变
32
第二章 平面体系的机动分析
§2-7 几何构造与静定性的关系
静定结构——无多余约束的几何不变体系
q
静定结构仅由静力
平衡方程即可求出
所有内力和约束力
的体系.
超静定结构——有多余约束的几何不变体系
灵活运用几何组成规则，可构造各种几 何不变体系。结构的组成顺序和受力分析 次序密切相关。
超静定结构可以通过合理地减少多余约 束使其变成静定结构。注意去掉的一定是 多余约束。 要正确地判断结构是静定的还是超静定的， 因为不同结构的受力分析方法不同。
34
第二章 平面体系的机动分析
通过构件变形（刚体 链杆）使体系得到最 大限度的简化，再应用几何组成规则分析。
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系
27
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
28
第二章 平面体系的机动分析
练习: 对图示体系作几何组成分析
29
第二章 平面体系的机动分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
（1）一铰无穷远
一个虚铰在无穷远：若组成 此虚铰的二杆与另两铰的连 线不平行则几何不变；否则 几何可变；
几何不变体系
瞬变体系
30
第二章 平面体系的机动分析
（2）两铰无穷远
两个虚铰在无穷远：若组成此两 虚铰的两对链杆不平行则几何不 变；否则几何可变；
四杆不平行 不变
平行且等长 常变
平行不等长 瞬变
31
第二章 平面体系的机动分析
（3）三铰均无穷远
三个虚铰在无穷远：体系 为可变（三点交在无穷远 的一条直线上）
彼此等长 常变
彼此不等长 瞬变
32
第二章 平面体系的机动分析
§2-7 几何构造与静定性的关系
静定结构——无多余约束的几何不变体系
q
静定结构仅由静力
平衡方程即可求出
所有内力和约束力
的体系.
超静定结构——有多余约束的几何不变体系
结构力学 平面体系的机动分析
(1)h
m6 (3)g
3
m7
(3)h
m7
m8
r
m9 r
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
【例】试求图示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
（2）两铰无穷远
（a）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互不平行， 则体系为几何不变 （b）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行， 则体系为几何瞬变
（c）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行且 相等，则体系为几何常变
（3）三铰无穷远
平面上所有无穷远点均在同 一条直线上，这条直线称为 无穷远直线。
2.二元体规则
在钢片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，而 且没有多余联系。
3.两钢片规则
两个钢片用一个铰和一根不通过此铰的链杆的链杆相 联，为几何不变体系体系而且没有多余联系； 或者两个钢片用三根不全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
例题
2－4 瞬变体系 为什么在三钢片规则中，要规定三个铰不在 同一直线上？
2.要布置得当
平面体系有钢片、铰、链杆组成 设钢片数为m 单铰数为h 支座链杆数r 自由度数为3m 约束为2h 约束为r
体系最后的自由度为：
W＝3M－3R-2H-S
W——计算自由度
【例】试求图示体系的计算自由度W。
h m3 h
第二章平面体系的机动分析
例2-2-2 求图示体系的计算自由度。 解1： I 1 A II m＝2，h＝1， r＝2×2＋3＋1＝8 4
2
3
5
W＝3×2－2－8＝－4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。 解：
A 1
B 5 7 E 10
j 5 b 10 W 2 5 10 0
2 3 4 8 C 9 6 D
例2-1
I
1 解： 2 3 II（基础）
4
D 5
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4， 组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规 律1。故体系为几何不变且无多余约束。
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。 o D A III B I 4 1 2 3 解： b） II（基础） 刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、 B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
例1： I I
II 无多余约束的 几何不变体系
II
瞬变体系
无多余约束的 几何不变体系
有一个多余约束 的几何不变体系
例2：
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的 几何不变体系
技巧 1： 对于与地面有着简单联系的体系，可以直接取体系内部出 来，对其进行几何构造分析。
例3：
几何可变体系
例4：
有3个多余约束的
此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。 2. 正确区分静定结构与超静定结构。 以选择不同的计算方法
基本概念
杆件体系：不考虑材料变形，几何形状与位置 保持不变的体系为几何不变体系 发生可变的体系为几何可变体系 结构—几何不变体系 机动分析：判别体系是否为几何不变体系的分析 刚片——杆件或几何不变部分（忽略材料变形） 联系（约束）——其余链杆、结点和支座
《结构力学》第二章 平面体系的机动分析
常变体系
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
第二章 平面体系的机动分析
W (3m 2 j ) (2h b)
四、自由度与几何体系构造特点
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
五、讨论
任何平面体系的计算自由度，其计算结果有以下三种情 况： ⑴ w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。 ⑶ w＜0,体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条 件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
常见的约束 1）单铰：仅连接两个刚片的铰。
2）链杆：仅用于将两个刚片连接在一起的铰结的杆 件。
3）单刚结点：仅连接两杆的刚结点。
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、 复链杆、复刚结点。
总结：连接n个刚片的的复铰相当于（n-1）个单铰， 相当于2（n-1）个约束；n个刚片之间的复刚结点相 当于（n-1）个单结点，相当于3（n-1）个约束。联 结三点的链杆 ，将原来结点的六个自由度减少为整 体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三 根简单链杆。一般说来，联结n个点的复杂链杆相当 于（2n-3）根简单链杆。 约束分类：根据对自由度的影响，体系中的约 束可分为必要约束和多余约束。
§2.4 瞬变体系 1、几何瞬变体系 对体系加载时，体系在瞬时内发生微小位移，然 后便成为几何不变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）。
２、瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产 生无穷大内力。因此， 瞬变体系或接近瞬变的 体系都是严禁作为结构 使用的。 瞬变体系一般是总约束 数满足但约束方式不满 足规则的一类体系，是 特殊的几何可变体系。
几何构造分析的几个概念
(1) 不变体系、可变体系
在不考虑材料的应变引起的结构的变形的条件下，体 系的几何形状、位置都不改变的，叫作几何不变体系； 不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变 的体系叫作几何可变体系。
四、自由度与几何体系构造特点
W (3 2 2 2) (2 1 8) 0
五、讨论
任何平面体系的计算自由度，其计算结果有以下三种情 况： ⑴ w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。 ⑵ w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。 ⑶ w＜0,体系具有多余联系。 则几何不变体系的必要条件是: w≤0, 但这不是充分条 件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。
常见的约束 1）单铰：仅连接两个刚片的铰。
2）链杆：仅用于将两个刚片连接在一起的铰结的杆 件。
3）单刚结点：仅连接两杆的刚结点。
同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、 复链杆、复刚结点。
总结：连接n个刚片的的复铰相当于（n-1）个单铰， 相当于2（n-1）个约束；n个刚片之间的复刚结点相 当于（n-1）个单结点，相当于3（n-1）个约束。联 结三点的链杆 ，将原来结点的六个自由度减少为整 体的三个自由度，因而相当于三个约束，即相当于三 根简单链杆。一般说来，联结n个点的复杂链杆相当 于（2n-3）根简单链杆。 约束分类：根据对自由度的影响，体系中的约 束可分为必要约束和多余约束。
§2.4 瞬变体系 1、几何瞬变体系 对体系加载时，体系在瞬时内发生微小位移，然 后便成为几何不变体系。这种体系叫作几何瞬变 体系（瞬变体系）。
２、瞬变体系的静力特性： 在微小荷载作用下可产 生无穷大内力。因此， 瞬变体系或接近瞬变的 体系都是严禁作为结构 使用的。 瞬变体系一般是总约束 数满足但约束方式不满 足规则的一类体系，是 特殊的几何可变体系。
几何构造分析的几个概念
(1) 不变体系、可变体系
在不考虑材料的应变引起的结构的变形的条件下，体 系的几何形状、位置都不改变的，叫作几何不变体系； 不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变 的体系叫作几何可变体系。
平面体系的机动分析
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 . 概述
二、刚片 在机动分析中，不考虑材料的变形。 在机动分析中，不考虑材料的变形。
可以把一根构件或已知是几何不变的部分看作 是一个刚体 在平面体系中又将刚体称为刚片 刚体。 刚片。 是一个刚体。在平面体系中又将刚体称为刚片。 刚片——几何形状不能变化的平面物体 几何形状不能变化的平面物体 刚片
平行等长 常变体系
第二章 平面体系的机动分析
§* 2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
二、 两铰无穷远情况
四杆不全平行 不变体系
四杆全平行 瞬变体系
四杆平行等长 常变体系
第二章 平面体系的机动分析
§* 2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
三、 三铰无穷远情况
不等长对 瞬变体系
同侧等长 常变体系
E A 无多几何不变 无多几何不变 B
第二章 平面体系的机动分析
W = 2×16−(28+3) = 32−31=1
W = 3×8−(2×9+5) = 24−23 =1
第二章 平面体系的机动分析
W = 2×8−(12+ 4) =16−16 = 0
瞬变体系
W = 2×6−(8+4) =12−12 = 0
第二章 平面体系的机动分析
§2-4 瞬变体系
二、三杆交于一点
O为实铰： 为实铰： 为实铰 O为虚铰： 为虚铰： 为虚铰
常变体系 瞬变体系
第二章 平面体系的机动分析
§2-4 瞬变体系
三、三杆平行
不等长 瞬变体系
同侧等长 常变体系
异侧等长 瞬变体系
第二章 平面体系的机动分析
§2-5 机动分析示例
减少二元体
李廉锟版 结构力学 第二章 平面体系的机动分析 习题参考答案
结构力学习题参考答案第二章平面体系的机动分析复习思考题习题8. 图2-27所示体系因A、B、C三铰共线所以是瞬变的，这样分析正确否？为什么？解：【这道题对理解思路挺有帮助的。
】第一步：计算计算自由度WW=3m-(2h+r)=3×6-7×2=4>3 所以结构是常变体系。
第二步：分析几何构造性。
去二元体（I刚片和1杆），剩下部分是II、III刚片通过2根杆相连，是常变体系。
但是，为什么会得到如题中的结论呢？是因为2杆重复利用了，相当于在体系中多加了一根杆，增加一个联系，从而得出错误结论。
几何构造性分析，所有杆件不能重复、不能遗漏。
解:第一步：计算计算自由度WW=2j-(b+r)=2×10-(17+4)=-1,有一个多余联系。
第二步：分析几何构造性。
从上至下依次去二元体，最后发现有一根杆是多余的。
该体系是有一个多于联系的几何不变体系。
习题2-2 试对图示平面体系进行机动分析。
解:第一步：计算计算自由度WW=2j-(b+r)=2×14-(25+3)=0这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
第二步：分析几何构造性。
去掉二元体后如图所示，分别在三角形基础上依次增加二元体从而形成刚片I、II，此刚片I、II通过一铰和一根不通过此铰的杆相连，得到的体系是几何不变的，且没有多余联系。
解：第一步：计算计算自由度3(2)321(2303)0W m h r =−+=×−×+=或者2()212(213)0W j b r =−+=×−+= 这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
第二步：分析几何构造性此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
去掉M 和C 两个二元体。
在b 图中，KFL 刚片、ABF 刚片和GEJ 刚片通过不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）两两连接，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
结构力学(二)·随堂练习2020秋华南理工大学网络教育答案
结构力学（二）第一章绪论第二章平面体系的机动分析3.(判断题) 图示体系为无多余约束的几何不变体系。
（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：√问题解析：A. 几何不变，无多余约束B. 几何不变，有一个多余约束C. 瞬变体系D. 几何不变，有2个多余约束答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：5.(单选题) 图示体系为。
A. 几何常变体系B. 无多余约束的几何不变体系C. 瞬变体系D. 有多余联系的几何不变体系答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：A. 几何常变体系B. 无多余约束的几何不变体系C. 瞬变体系D. 有多余联系的几何不变体系答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：8.(判断题) 下图的体系为几何不变体系。
（）答题：对. 错. （已提交）参考答案：×问题解析：A. 几何常变体系B. 无多余约束的几何不变体系C. 瞬变体系D. 有多余联系的几何不变体系答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：10.(单选题) 下图所示正六边形体系为。
A. 几何常变体系B. 无多余约束的几何不变体系C. 瞬变体系D. 有多余联系的几何不变体系答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：第三章静定梁与静定刚架问题解析：4.(判断题) 如图所示力作用在梁上，最右边支座反力不为0。
（）答题：对. 错. （已提交）6.(单选题) 图示两结构及其受载状态，它们的内力符合：（）A. 弯矩相同，剪力不同B. 弯矩相同，轴力不同C. 弯矩不同，剪力相同D. 弯矩不同，轴力不同答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：7.(单选题) 图示结构MDC（设下侧受拉为正）为：（）A. －PaB. PaC. -Pa/2D. -Pa/2答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C8.(单选题) 图a结构的最后弯矩图为。
结构力学第2章 平面体系机动分析
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，只剩基础。故该体系为 无多余约束的几何不变体系。
2 如上部体系与基础的联结符合两刚片原则，可去掉基础， 只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两刚片用两平行 杆相连，几何可变。
3 当杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆 形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
几何组成分析小结
机动分析先化简 依次拆除二元体 确认刚片是关键 等效代换灵活用
撤去基础三支杆 再为组成找条件 增加两元再扩展 按照规则连成片
§2-6 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何
不变
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
刚片：不计材料变形，将杆件或已知是几何不变的部 分看作刚片，注意：不是“钢片”。
可表示为：
刚片(rigid plate)——平面刚体。
内部是稳定的,几何形状和位置不发生任何改变。（梁、柱、杆、 几何不变体、基础）
形状可任意替换
§2-2 平面体系的计算自由度
1.自由度--确定物体位置所需的独立坐标数目
虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所需的最少约束 的数目。必要非充分条件
W<0， 体系具有多余联系
W> 0 W< 0
体系几何可变
体系几何不变 ？
§2-3 几何不变体系的组成规则
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一、三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相 连，所组成的平面体系几何不变。
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 )
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
几何不变
弹性变形 可称之为结构
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§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
例4：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
W 2jbr 2 9 15 3 0
结构力学
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21:39
§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
⑴ W>0 , 几何可变
⑵ W=0 ,具有成为几何 不变所需的最少联系
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§2-2 平面体系的计算自由度
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
1
3
2 3
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
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结构力学
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
例2：计算图示体系的自由度
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
试分析图示体系的几何组成 是什么 体系？
结构力学
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
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§2-4 瞬变体系
结构力学
铰结三角形规则——条件：三铰不共线
P
A
C
B
C1 不能平衡
微小位移后，不能继续位移
瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为
结构力学
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。
5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部 使用，且不可重复使用。
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§2-5 机动分析示例
F D
P
几何可变 只能称之为机构
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§2-1 引言
结构力学
三、杆系的机动分析：
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还 要研究几何不变体系的组成规律。又称:
几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否
作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
如何减二元体？
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
三、两刚片规则：
两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接， 组成几何不变体系。
铰
链杆
Ⅱ
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21:39
§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
结构力学
平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 链杆数： b 约 束： b 支座链杆数：r 约 束： r
则体系自由度： W = 2j-(b+r)
╳
1
2
A
题3图
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题4图
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本章自测题
结构力学
二、选择填空
1. 体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的
A 条件。
A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体
系是
D。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.体系的组成不确定
几何不变的体系。
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§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 • （a）三链杆交于一点； • （b）三链杆完全平行（不等长）； • （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； • （d）三链杆完全平行（等长）
体系
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
几何可变体系 常变 不可作结构 瞬变
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结论与讨论
结构力学
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。
正确区分静定、超静定，正确判定超静定结构的 多余约束数十分重要。
超静定结构可通过合理地减少多余约束使其变成静 定结构。
分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可任意改 换。按照找大刚体（或刚片）、减二元体、去支座分 析内部可变性等，使体系得到最大限度简化后，再应 用三角形规则分析。
W> 0
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3
3
3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
按铰结链杆计算
2
1
W=2 ×6-(9+3)=0
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§2-2 平面体系的计算自由度
例3：计算图示体系的自由度
1①
2
结构力学
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r) 3 3 (2 2 4) 1
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
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§2-5 机动分析示例
几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少
联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
n个杆件组成的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
二、平面体系的计算自由度
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
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§2-2 平面体系的计算自由度
两根链杆连接而成的一
个新的铰结点，这个
“两杆一铰”体系，称
A
D
B
为二元体。
刚片1
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学 加减二二元元体体组简成化结分构析
1. 去支座后再分析体系本身，为什么可以这样？
2.有二元体吗？ 有
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§2-5 机动分析示例
结构力学
加、减二 元体
无多几何不变
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§2-5 机动分析示例
结构力学
例2-3 对图示体系作几何组成分析。
找出三个刚片 无多余联系的几何不变体
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§2-5 机动分析示例
结构力学
G E
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§2-5 机动分析示例
C
内部可 F
变性
结构力学 D
找刚片
E
A
B
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§2-5 机动分析示例
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
说明： 1.刚片通过支座链杆与地基相联， 地基可视为一刚片。
Ⅱ
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
2. 三刚片用位于同一直线上的三个铰相联， 组成瞬变体系。( 几何可变 )
一个杆系，在荷载作用下，若略去杆件本身的弹性变 形而能保持其几何形状和位置不变的体系。
P
几何不变
弹性变形 可称之为结构
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§2-1 引言
结构力学
二、几何可变体系(geometrically unstable system)：
一个杆系，在荷载作用下，即使略去杆件本身的弹性变形， 它也不能保持其几何形状和位置，而发生机械运动的体系。
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§2-2 平面体系的计算自由度
例4：计算图示体系的自由度
解:j=9,b=15,r=3
W 2jbr 2 9 15 3 0
结构力学
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
⑴ W>0 , 几何可变
⑵ W=0 ,具有成为几何 不变所需的最少联系
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§2-2 平面体系的计算自由度
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
1
3
2 3
有几个刚片？
有几个单铰？
有几个支座链杆？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
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结构力学
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
例2：计算图示体系的自由度
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则
试分析图示体系的几何组成 是什么 体系？
结构力学
有二元
体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
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§2-4 瞬变体系
结构力学
铰结三角形规则——条件：三铰不共线
P
A
C
B
C1 不能平衡
微小位移后，不能继续位移
瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为
结构力学
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。
5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。
6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
7. 各杆件要么作为链杆，要么作为刚片，必须全部 使用，且不可重复使用。
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§2-5 机动分析示例
F D
P
几何可变 只能称之为机构
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§2-1 引言
结构力学
三、杆系的机动分析：
机动分析就是判断一个杆系是否是几何不变体系，同时还 要研究几何不变体系的组成规律。又称:
几何组成分析 几何构造分析
机动分析的目的： 1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否
作为结构。 2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
如何减二元体？
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
三、两刚片规则：
两个刚片用一个铰和一个不通过该铰的链杆连接， 组成几何不变体系。
铰
链杆
Ⅱ
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
结构力学
平面链杆系的自由度(桁架):
链杆(link)——仅在杆件两端用铰连接的杆件。
一个链杆 → 一个约束 即两点间加一链杆，则减少一个自由度。 设一个平面链杆系： 铰结点数： j 自由度：2j 链杆数： b 约 束： b 支座链杆数：r 约 束： r
则体系自由度： W = 2j-(b+r)
╳
1
2
A
题3图
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题4图
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本章自测题
结构力学
二、选择填空
1. 体系的计算自由度W≤0是保证体系为几何不变的
A 条件。
A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体
系是
D。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系
C.瞬变体系 D.体系的组成不确定
几何不变的体系。
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§2-4 瞬变体系
结构力学
瞬变体系 ——小荷载引起巨大内力（图1） ——工程结构不能用瞬变体系
几何可变体系: 瞬变 , 常变
• 例：（图2-17） 二刚片三链杆相联情况 • （a）三链杆交于一点； • （b）三链杆完全平行（不等长）； • （c）三链杆完全平行（在刚片异侧） ； • （d）三链杆完全平行（等长）
体系
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
几何可变体系 常变 不可作结构 瞬变
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结论与讨论
结构力学
结构的组装顺序和受力分析次序密切相关。
正确区分静定、超静定，正确判定超静定结构的 多余约束数十分重要。
超静定结构可通过合理地减少多余约束使其变成静 定结构。
分析一个体系可变性时，应注意刚体形状可任意改 换。按照找大刚体（或刚片）、减二元体、去支座分 析内部可变性等，使体系得到最大限度简化后，再应 用三角形规则分析。
W> 0
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
因此，体系几何不变的必要条件：W≤0
如果体系不与基础相连，即r=0时，体系对 基础有三个自由度，仅研究体系本身的内部可 变度V。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
( Geometric construction analysis (Kinematics analysis）)
1
2 按刚片计算
9根杆, 9个刚片
有几个单铰？
3
3
3根支座链杆 W=3 ×9-(2×12+3)=0
按铰结链杆计算
2
1
W=2 ×6-(9+3)=0
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§2-2 平面体系的计算自由度
例3：计算图示体系的自由度
1①
2
结构力学
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r) 3 3 (2 2 4) 1
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
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§2-5 机动分析示例
几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
自由度的讨论：
结构力学
(3) W<0 几何不变
(4) W<0 几何可变
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求的最少
联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
n个杆件组成的复铰， 相当于(n－1)个单铰。
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§2-2 平面体系的计算自由度
结构力学
二、平面体系的计算自由度
计算自由度 = 刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(2h+r) m---刚片数 h---单铰数 r---单链杆数（支座链杆）
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§2-2 平面体系的计算自由度
两根链杆连接而成的一
个新的铰结点，这个
“两杆一铰”体系，称
A
D
B
为二元体。
刚片1
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学
几何不变体系中，增加或减少二元体，仍为 几何不变体系。
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§2-3 几何不变体系的简单组成规则 结构力学 加减二二元元体体组简成化结分构析
1. 去支座后再分析体系本身，为什么可以这样？
2.有二元体吗？ 有
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§2-5 机动分析示例
结构力学
加、减二 元体
无多几何不变
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§2-5 机动分析示例
结构力学
例2-3 对图示体系作几何组成分析。
找出三个刚片 无多余联系的几何不变体
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§2-5 机动分析示例
结构力学
G E
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§2-5 机动分析示例
C
内部可 F
变性
结构力学 D
找刚片
E
A
B
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§2-5 机动分析示例