《曲线和方程》教学设计论文
曲线和方程优秀教案
《曲线和方程》教案【课题】曲线和方程【教材】人教版普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-1【教学目标】◆知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；◆情感目标：1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程【教学方法】问题探索和启发引导式相结合【教具准备】多媒体教学设备【教学过程】一、感性认识阶段——以旧带新，提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
下面看一个具体的例子：（出示幻灯片2）借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：（出示幻灯片3）（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。
即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
也即：幻灯片2画出方程0=-y x 表示的直线师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。
二、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。
曲线与方程优秀教学设计
曲线与方程的【教材分析】“曲线和方程”是在必修介绍了“直线的方程”和“圆的方程”之后，对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。
“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响。
学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径。
如果以为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线和方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：理解曲线的方程和方程的曲线的概念；难点是：对曲线与方程对应关系的理解。
由于本节课是由直观表象上升到抽象概念的过程，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。
由于学生已经具备了用方程表示直线、圆等实际模型，积累了感性认识的基础，所以可用举反例的方法来解决困惑，通过反例揭示“两者缺一”与直觉的矛盾，从而又促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。
为了强化其认识，每一个问题都引发学生用集合的知识加以阐述，并决定在一开始学习曲线与方程的概念时用集合相等的概念来理解曲线和方程的关系，并以此为工具来分析问题、实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法，知其理。
【教学目标】一、知识目标：1．了解曲线上的点的坐标与方程的解之间的一一对应关系；2．初步理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已学知识为切入点，引起关注，引发数学思考进而分析、判断、归纳结论4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
二、能力目标：1．通过直线方程和圆的方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；3．能用所学集合知识理解新的概念，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
最新曲线和方程优秀教案
1《曲线和方程》教案2【课题】曲线和方程3【教材】人教版普通高中课程标准实验教科书——数学选修2-14【教学目标】5◆知识目标：61、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；72、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；83、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；94、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
10◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系1112的认识；132、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；14153、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化16化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；17◆情感目标：181、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；192、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
2021【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念22【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程23【教学方法】问题探索和启发引导式相结合24【教具准备】多媒体教学设备25【教学过程】一、感性认识阶段——以旧带新，提出课题2627师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应28关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何29一个二元一次方程也表示着一条直线。
下面看一个具体的例子：30（出示幻灯片2）幻灯片231借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：3233（出示幻灯片3）3435（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）3637师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。
38幻灯片4类比：推广：幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。
数学课堂中的曲线和方程：教案设计的高效实现
教学是教育教学重要的组成部分，而教案是教学中至关重要的一个环节。
一个好的教案可以帮助老师更好地将知识传达给学生，从而提高教学效率和学生学习效果。
本文将从教案设计的角度，探讨数学课堂中的曲线和方程教学的高效实现。
一、教学目标在开始任何一堂课之前，我们首先需要明确课程目标。
对于数学课堂中曲线和方程的教学，我们应该以以下几个方面为目标：1.了解不同类型的曲线和方程，并能够辨别它们之间的区别；2.掌握曲线和方程的基本性质和点，包括中心对称、轴对称、周期性等等；3.通过曲线和方程的练习，提高学生的数学思维和解题能力；4.在提高学生智力素质的同时，为其日后的学科选择提供支持和帮助。
二、教学内容针对以上的目标，我们可以设计出如下的教学内容：1.不同类型的曲线和方程介绍：曲线和方程是数学学科中的重要内容。
不同类型的曲线和方程有着不同的特点和性质。
老师可以从基础的直线、抛物线、椭圆、双曲线等入手，以图形和具体计算为手段，让学生了解不同类型曲线和方程的基本特点和应用。
通过对于图形的探讨和衍生出来的方程式的解析来培养学生求解问题的能力。
2.曲线和方程的性质：曲线和方程之所以深受数学学者青睐，除了因其基本概念外，更是因为其诸多的性质和特点。
中心对称、轴对称、周期性、奇偶性等等是曲线和方程的基本性质，细致分析和总结，有助于学生加深对于曲线和方程的认识和理解。
3.练习题目：如何提高学生的数学综合素质？做题就是其中最为重要的环节。
老师应该为学生提供一些有代表性、难度适中的练习题，帮助学生巩固所学知识和技能，提高数学思维和解题能力。
三、教学方法我们知道，针对不同的教学内容和目标，需要采用不同的教学方法。
针对数学课堂中曲线和方程的教学，可以采用以下几种教学方法：1.多媒体演示：使用多媒体演示技术，可以在有限的时间内将学生需要理解的知识点，以图形和具体实例的形式展现出来，使学生对于知识点以及知识的计算量、计算方法更具体形象化，将理论转为实践。
曲线与方程优秀教学设计
三．例 题
由两点间的距离公式，点 M 的条件可表求为：
(x 1)2 ( y 1)2 (x 3)2 ( y 7)2
上式两边平方，并整理得： x 2 y 7 0 ①
我们证明方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程。 （1） 由求方程的过程可知，垂直平分线上的每一点的坐标
新疆 王新敞
这就是说，曲线上的点集和方
学案
程的实数解集具有一一对应的关系
新疆 王新敞
这个“一一对应”的关系
学案
导致了曲线的研究也可以转化成对曲线的研究
新疆 王新敞
这种通过研究
学案
方程的性质，间接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法
新疆 王新敞
（就是
学案
借助于坐标系研究几何图形的方法）
新疆 王新敞
学案
2．解析几何的创立意义及其基本问题
法；
2. 了解求点的轨迹方程的几种常用方法
3. 体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.
情感态度与价值观
培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参
与、勇于探索、敢于创新的精神
【教学重点】：求曲线方程的方法、步骤
【教学难点】：利用方程研究曲线的性质
【课前准备】：多媒体、实物投影仪
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的 点
一般地，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可以 适当说明。
3．例 3：已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2，一条曲线也在 l 的上方，它上面的每一点到 F 的距离减去到 l
首次引入了变量的概念，二是把数与形紧密地联系起来了
“曲线和方程”的教学设计与体会
程 厂（ ） ０的 曲线” 则 甲是 乙 的 ， 一 ，
件 ．充 分不 必 要条 件 ） （
条
掌 握 了“ 线 的 方 程 ” “ 程 的 曲线 ” 定 曲 和 方 的
义 ， 会 定 义 时 ， 牢 记 ｉ 和 ．） 者 缺 一 不 可 ． 领 要 ） １两
・
问题 ２ ３ 若命 题 “ ． 曲线 Ｃ上 的 点 的 坐标 满 足 方程 （ ） ” ｚ， 一Ｏ 是正 确 的 ， 下列 命题 中正确 则
方 程 的定 义．
解 为 坐标 的点 都在 直线 上．
问题 １ ３ 在 判 断 曲线 的方 程 时 ， 对“ 线 ． 针 直 上 含 有坐标 不 是方 程 的解 的点”应 作何 规定 ？ 引导 学生 回答 ：直 线上 的点 的坐 标都 是这 个 “
方 程 的解 ” ．
问题 ２ １ 问题 １ １中方程 （ ） ２ （ ）分别 ． ． １ （）３ 表示 什么 曲线 ？ （ 略） 小结 ： 曲线上 的点 的坐标 都是这 个方 程 的 ①“ 解 ” 阐 明曲线 上没 有 坐 标 不 满 足方 程 的点 ， ， 即是 说 曲线 上所 有 的点都 符合 这个 条件 而无 一例 外．
让 学 生 明确 为 什 么要 研 究 曲 线
与 方程 的 目的 ， 了解 来龙 去脉 ， 解其 引入 的必要 理
给 定 曲线 Ｃ与二元 方 程ｆ（ ） ， 满 足 ： ｘ， 一Ｏ 若
ｉ 曲线 Ｃ上 点 的坐标 （ ） 是 方程 ｆ ｘ， ） ｚ， 都 （
新课
） ０的解 ； 一
问题 １ ４ 在判 断 曲线 的方 程 时 ， ． 针对 “ 以方
②“ 以这 个 方 程 的 解 为 坐 标 的 点 都 在 曲 线 上 ” 阐 明符 合条 件 的所有 点都 在 曲线上 而无 一遗 ，
全国高中青年数学教师优质课大赛一等奖《曲线与方程》教学设计
课题：2.1.1曲线与方程（第1课时）(人教A版普通高中课程标准实验教科书数学选修2—1第二章第一节)一、内容和内容解析1．教学内容《曲线与方程》共分两小节，第一小节主要内容是曲线的方程、方程的曲线的概念；第二小节内容是如何求曲线的方程．本课时为第一小节内容．2．地位与作用本小节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．二、目标和目标解析本课时的教学目标是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；2．初步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；3．通过经历曲线与方程的对应关系的探究过程，发展抽象概括的能力；4．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．三、教学问题诊断分析1．问题诊断学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面；（2）难以理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．2．重难点重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的生成和理解3.突出重点、突破难点的策略本节课的教学，根据“问题引导，任务驱动”的设计思路，遵循概念学习的规律，使学生在过程中感受数形结合，从特殊到一般，化归与转化的数学思想．具体表现在：（1）用蕴含数学文化的广告创设情境，并将“章头图”、“章导言”融入其中，产生认知冲突，感悟学习曲线与方程的必要性；（2）让学生经历“作图—存异—质疑—寻因”的探究过程，感知方程的变化带来曲线的变化，曲线的差异导致方程的差异，再通过“独立书写—交流讨论—互动修正”生成概念；（3）学生自主举例，辨析概念，联系已学知识，完成对概念的“结构化”．四、教学支持条件分析1．学情分析本课授课对象是成都石室中学高二理科实验班的学生，数学基础扎实，思维较活跃，具有较为丰富的探究活动经验，但在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．2．教学策略与教法、学法本课采取“探究—发现”教学模式．教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过问题引导学生从特殊到一般进行探索发现，并归纳概括．学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．教具：多媒体PPT课件，平板电脑，三角板，彩色粉笔学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔五、教学过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：教学内容师生活动（预设）设计说明一、创设情景，引入概念师：不知大家有没有看过下面【阶段小结】教师引导下，学生交流自己对定义的认识．台上给大家讲解．生14：错误．两条都不满足．师：进一步分析不符合要求的点或者是方程的解，请你举例说明．生14：通过图象我们发现曲线是分布在第一、三象限，而方程的曲线在第一、二象限．师：能否用定义加以说明？生14：如点（-4,-1）在曲线上，但不是方程F的解；（-4,1）的坐标是方程的解，以它为坐标的点不在曲线上．师：其实，要解决曲线与方程的关系的判断，除了教材上定义之外，还有其他的一些表述，请你在学习定义的基础上谈谈自己对曲线与方程关系的判断方法．生15：（预设）检查曲线上的点和方程的解之间的关系．师：不错，但注意准确性．应该是曲线上的每一个点和方程的每一个解的关系．生16：（预设）看曲线上是否有不是方程的解为坐标的点，看曲线是否包括了方程的所有解为坐标的点．师：很好，这种判断方法相当于是看曲线是否纯粹地列出了方程的解为坐标的点，无多余的点，而方程的解是否完备地通过曲线体现了，没有漏掉解．通过对概念的应用，将学生对曲线的方程（方程的曲线）这一概念的多角度理解进行梳理，引导学生在说出自己对曲线与方程关系的理解的基础上对概念再认识．四、课堂检测，课外延伸【课堂检测】请将以下四个方程和右边的图形用连段连接起来：||0x y-=师：接下来请看课堂检测．请将以下四个方程和四个曲线配对，并简要说明理由．生17：观察方程中解的正负和曲线上点的坐标的正负，可以筛选答案．师：不错．如果我们要用概念检验曲线和方程之间的关系，该如何分析呢？比如第一个方程和第一幅图．课堂检测的作用是检测学生在对定义的理解是否深入，应用是否灵活．||0x y-=220x y-=x y-=【课外延伸】1．查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔在其中所做出的贡献．2．广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin)r aθ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．生17：第一支曲线上的部分点的坐标不是第一个方程的解，所以方程不是曲线的方程．师：大家想知道本课之初视频背后的故事吗？生（齐）：想．（播放视频）师：广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中，关于(1sin)r aθ=-与心形曲线的关系涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》中学习．学生根据范围直接进行配对，体现了其对曲线与方程关系掌握的灵活性．《曲线与方程》衔接了直线、圆与圆锥曲线，了解圆锥曲线的发展历史，更有利于激发学生使用方程研究圆锥曲线的兴趣，更加积极地学习解析几何一眼就问题的方法．对于笛卡尔的爱情传说，学生一定是很有兴趣的，其中涉及到的极坐标系作为本课最后的一个说明即拓展了学生视野，也将高中解析几何的直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程、坐标系与参数方程四个部分都出现在了本课中．附：板书设计六、目标检测设计在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：本课的教学目标达成情况如下：此外，课堂中我还设计了以下目标检测环节： 1.课堂检测请将以下四个方程和图形用连段连接起来：||0x y -= ||0x y -= 220x y -=0x y -=2.课外延伸（1）查阅资料了解数学家对圆锥曲线的研究历史，并了解笛卡尔和坐标系在其中所做出的贡献．（2）广告创意使用到的笛卡尔的爱情传说中关于(1sin)=-与心形曲线的关r aθ系，便是曲线与方程对应关系的体现，它涉及到了极坐标系，我们将会在《选修4-4》坐标系与参数方程中学习．设计意图:课堂检测的目的是检测教学效果．再次感受方程的不同导致曲线的不同之间，曲线的差异对应方程的差异，理解数形结合思想．学会使用概念对曲线与方程的关系进行界定．《中国学生发展核心素养》总体框架中谈到，“文化是人存在的根和魂”，文化基础包括“人文底蕴”、“科学精神”，本课内容承载着这两个要素，曲线与方程的关系体现了解析几何核心思想，而解析几何是近代数学的里程碑．课外延伸旨在通过让学生自主查阅资料拓展视野，了解数学史，感受数学文化，发展数学核心素养．结尾部分让学生了解笛卡尔的信件便使用了“曲线与方程的对应关系”这一知识，激发学生兴趣，并不经意地提及了坐标系及参数方程这一解析几何的板块．《曲线与方程》教学设计说明本课时作为《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要内容是曲线的方程（方程的曲线）的概念．学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．结合以上情况，我制定了本堂课的目标就是结合实例了解曲线与方程的对应关系，感悟数形结合思想.对本课的设计，我作以下说明：1．关于设计定位．如果将曲线的方程（方程的曲线）这一概念直接呈现给学生，然后进行对应练习，学生很可能只会机械记忆判断曲线与方程对应关系的两个条件，无法理解他们在揭示这种关系时各自所起的作用．我在设计这堂课时始终坚持两条思路．一条是以曲线的方程（方程的曲线）这一组概念的知识技能为目标的“明线”，一条是以经历一个完整的“从典型事例中抽象出新的数学概念”体验过程为目标的“暗线”．让数学思想方法似甘露一样浸润学生心田．2．遵循概念学习的规律．曲线与方程的概念的获得应该符合学生的认知规律，在情景中认识到研究“曲线与方程的关系”的必要性，在对典型丰富的事例的探究过程中，归纳概括出特征、性质，并将自然语言逐步转化为数学语言．因此遵循概念教学的规律，设计了“感知概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学过程．3．实现教材中本章“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．作为《圆锥曲线与方程》的第一课时，适当对本章学习内容进行展望是很有必要的，本课的创设情境部分很好的整合了“章头图”、“章导言”与本节内容，产生认知冲动，很好的实现了“章头图”、“章导言”的教育价值和作用．4．浸润数学文化、渗透数学思想、鼓励数学阅读、发展核心素养．文化基础是核心素养的重要内容，包括“人文底蕴”和“科学精神”两个方面，如何在数学学习过程中根据恰当素材进行人文情怀的塑造，是每一位数学教育工作者应该重视的内容．本课的内容体现了解析几何的基本数学思想——数形结合思想，是解析几何的核心概念，课堂中适度安排数学史、数学文化相关内容能够让学生体会数学发展的过程，发展数学素养．5．关于多媒体技术的使用教学中平板电脑充当投影仪的作用，但较传统投影仪有着记录学生活动过程，节约展示时间的优势．因此，根据需要适当选择媒体辅助可以更好的实现教学目的．。
2.1曲线与方程 教学设计 教案
2.1曲线与方程教学设计教案第一篇：2.1曲线与方程教学设计教案教学准备1. 教学目标[1]了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 [2]初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义 [3]强化“形”与“数”一致并相互转化的思想2. 教学重点/难点教学重点：理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的涵义教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程式曲线的方程3. 教学用具多媒体设备4. 标签教学过程教学过程设计1 复习引入【师】在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线，请思考下面问题：【板演/PPT】思考1 直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？思考2 到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？思考3 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？【生】学生思考交流 2 新知介绍[1]结合具体实例，引入曲线方程和方程曲线概念【师】：引导学生发言总结【板演/PPT】答 y＝±x. 理由：在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．【师】思考下面问题：思考4 曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？思考5 判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2. 【生】思考总结【板演/PPT】解 (1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝x02＋y02＝r2.两边开平方取算术平方根，得的解，则y0＝，即；＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点在圆上，却不是y＝的解，这就不满足曲线上的点的坐标都，是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝而应是y＝±. (2)①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=2 【师】引导学生交流思想总结曲线方程的概念【板演/PPT】曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．【师】引导学生深入理解定义，从充要条件来理解这个定义【板演/PPT】定义中的两个条件是判定一个方程是否为所定曲线的方程，一条曲线是否为所定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立．【板演/PPT】从集合角度理解为：定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求曲线的方程 [2]概念应用【师】下面我们看屏幕上的例题【板演/PPT】例1：若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是( )．A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0 B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上 C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点. 【师】从定义入手，考虑充要条件【生】思考回答【板书/PPT】解析∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，∴A，B，C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限角平分线上的点，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，满足题设条件，但却不满足选项A，B，C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．【师】规律方法(1)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．从而建立方程的解与曲线上点的坐标的一一对应关系．(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的准则，缺一不可．因此，在证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须证明两个条件同时成立．【师】为了深刻的理解方程与曲线，我们来看下列一个问题【板书/PPT】[例2] 下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．【生】分析各个方程所表示的曲线是否与图中图象符合【板书/PPT】解：不对，应为y=x 【师】引导学生反思总结【板书/PPT】反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．【板书/PPT】【师】引导学生思考【板书/PPT】方法点拨 (1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．解：带入验证知P点在此方程所表示的曲线上，Q点不在。
高中数学《曲线与方程》公开课优秀教学设计
通过测试成绩了解学生对知识点 的掌握情况，分析错题原因，针 对性地进行辅导。
自我评价报告撰写要求及指导建议
撰写要求
要求学生真实反映自己的学习情况，包括课堂表现、作业完成情况、测试成绩 等方面，并提出自己的优点和不足。
指导建议
指导学生如何撰写自我评价报告，如何客观地评价自己的学习成果，如何提出 有效的改进措施。同时，教师也可以根据学生的自我评价报告，了解学生的学 习需求和困难，为后续的教学提供参考。
存在问题剖析及原因探讨
课堂互动不足
虽然采用了多种教学方法，但在课堂互动环节仍显不足， 部分学生未能积极参与。
难度把握不准
部分知识点难度较高，对于基础薄弱的学生来说难以理解 和掌握。
时间分配不均
部分环节时间安排过紧，导致学生思考和消化的时间不足 。
今后改进措施和努力方向明确
加强课堂互动
把握难度梯度
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
通过增加小组讨论、提问等互动环节，鼓 励学生积极参与课堂活动，提高课堂氛围 活跃度。
在教学内容设计上要充分考虑学生的实际 情况，把握好知识点的难度梯度，确保每 个学生都能跟上教学进度。
合理分配时间
及时收集反馈
对各个教学环节进行更加精细化的时间管 理，确保每个环节都有足够的时间供学生 思考和消化。
课后及时收集学生的反馈意见，针对存在的 问题进行改进和优化，不断提高教学质量和 效果。
预期成果
通过本节课的学习，学生能够理解曲线与方程的关系，掌握 求曲线方程的方法，并能够运用所学知识解决简单的实际问 题。同时，学生的空间想象能力、抽象概括能力和推理论证 能力也将得到提高。
02 教学内容与方法
曲线与方程的教学设计
设计意图
引入部分
前面学习了解析几何中的直线、抛物线、椭圆、双曲线的定义以及方程，并用方程结合图像对他们的性质进行研究。今天我们来学习，一般地，曲线与方程有什么关系呢？
按某种规律运动
点 曲线
坐一一
标一一
系对对
应应
数对 的制约条件方程
总结五种曲线和方程特点
特一
殊般
到
曲线与方程关系
用框架图揭示曲线与方程的本质关系，使学生充分理解曲线与方程的概念。
《曲线和方程》教学设计
一、教学分析
1．教材地位
曲线的方程和方程的曲线是解析几何的最基本的概念，是坐标法的基础。
2．教学重点难点
重点：求曲线的轨迹方程
难点：曲线与方程对应关系的理解
二、教学目标
1.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系.
2．了解求曲线方程的步骤并会求简单曲线的方程.
三、教学过程
新课部分
1.曲线与方程的概念
一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上；
那么曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线；方程F(x,y)=0叫做曲线C的方程。
注：曲线的方程常称为满足某种条件的动点的轨迹方程
①建系设点
பைடு நூலகம்②找关系（等式）
③坐标化（代数化）
④化简
⑤检验
课堂练习
1.设 两点的坐标是 ， ,若动点 满足 ,求动点 的轨迹方程。
学生完成
教师点拨
指出验证的条件限制
双重性
例题辨析
曲线和方程的教学设计
(江苏省宿迁市马陵中学223800 李广修) 1.新授课教学设计理念新授课教学设计是复杂的创造性的推陈出新的活动。
根据新一轮课程改革的要求，新授课教学设计必须用现代建构主义理念作指导，不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养，还要关心和改善学生的学习方式，更要重视学生对数学情感、态度方面的发展，如对创新起至关作用的“兴趣和好奇心”、“问题意识”、“毅力”等，体现素质教育的要求。
教学目标立体化。
确立的教学目标应该是知识与能力并重，一般的思维能力与数学思维能力相融，数学与日常生活相融，认知与情感相融，学习与“创新”相接，学习内容与学习方式统一，内容的广度与深度兼顾，过程与结果贯通。
用加涅的学习结果分析法对学习内容进行分析，有利于教学目标的精确化、具体化，有利于把短期目标(包括课时目标)统摄于长远的培养目标之中。
教学过程科学化。
奥苏伯尔指出：“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，根据学生原有的知识状况进行教学。
”因此，数学新授课应在学生已有知识和经验的基础上，启发学生发现新的问题(或由教师提出)，引导学生积极参加数学活动，寻找解决问题的途径，探求问题的结论，并逐步加以改进、完善，形成一般的理论。
在应用理论解决具体问题的过程中巩固知识、深化认识，进而引导学生对问题作进一步思考和发现。
教学方法最优化。
要根据学生的“数学现实”、教学内容、教学目标和“师生共同体”惯常运作的教学方式来设计教学方法，可采用发现法、探究法、讲解法、自学法，或它们的组合。
关键是正像弗赖登塔尔指出的那样，有利于学生亲自参加“数学再创造”的历程。
学生通过同化和顺应等心理活动和变化，自主构建数学知识，不断完善数学认知结构，并有充分的机会表达自己对问题的理解和认识，获得成就感，改变那种“灌输——接受”落后的学习方式，让学生真正成为数学学习的主人。
教学手段现代化。
充分利用现代化教学手段，创设教学情境，引进数学实验，让问题更具有开放性，激发学生的学习兴趣；呈现直观、形象的数学，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态，化解学生的认知疑难。
“曲线与方程”教学设计(郭慧清)
“曲线与方程”教学设计深圳中学 郭慧清邮编：518000 E-mail:guohq@一、教学内容与内容解析1．内容：（1）曲线的方程与方程的曲线的概念；（2）求曲线的方程；（3）坐标法的基本思想与简单应用.2．内容解析：“曲线与方程”是《普通高中数学课程标准》[1]规定的教学内容．在教学时，不少人认为只是为后面学习椭圆、双曲线、抛物线做准备．尽管学习这一内容是学生体会并理解圆锥曲线与其方程的基础，但人们将碰得的曲线远非这些．因此，教学时不仅要让学生学习如何求曲线的方程，而且要通过这一内容培养学生的坐标法思想，使学生明白求出曲线方程的真正意义在于利用曲线的方程去研究曲线.研究曲线与方程的目的是把曲线的几何特征转化为数量关系，并通过代数运算等方便手段，处理已得到的数量关系,进而得出曲线的几何性质，并达到利用曲线为人们服务的目的．因此，学习这一部分内容可以加深学生对数学中的代数方法的认识，也能够让学生更好地体会数学的本质．在平面直角坐标系建立以后，任何曲线都有唯一的方程，任何方程也都有唯一确定的曲线(或点集)．因此，曲线的方程是曲线的唯一表示．这种表示，为人们表达自己的思想认识提供了一种规范，这是人们应该具备的基本素养．二、教学目标与目标解析1．目标：（1）通过实例理解曲线的方程与方程的曲线的概念，能判断已经学习过的特殊的曲线与方程之间是否具有互为表示的关系；（2）通过实例体会求曲线的方程的基本步骤，能求出给定了几何特征的曲线的方程；（3）通过实例体会不同的平面直角坐标系对同一曲线方程的影响，体会如何“恰当”地建立平面直角坐标系.（4）通过一些简单曲线的方程及其研究，体会坐标法的基本思想及简单应用．2．目标解析：教学目标（1）和（2）是本节课的教学重点，教学时落实好目标（1）、（2）和（3）是实现教学目标（4）的前提与保证.学生通过函数)(x f y 及其图象、直线的方程与圆的方程的学习，对曲线的方程与方程的曲线这些概念有了初步认识，但这只是一种意会，我们现在的任务是要建立曲线与方程之间的一般性的概念，让学生能从“定义”的角度去理解这些概念.教学目标（3）是学生初学时不易达到的目标，教学时要提供学生熟悉的曲线（比如直线，圆等）在不同坐标系中的方程的简洁程度，让学生体会建立坐标系时应该关注的要点．对许多与曲线有关的具体问题而言，原本是没有坐标系的．因此，通过这样的问题，可以使学生体会如何建立坐标系，求出问题中曲线的方程，并通过曲线的方程帮助解决问题，这应该是实现教学目标（4）的一种较好的方法．三、教学问题诊断分析1．如何理解曲线与其方程之间的关系？学生可以很流利地背出曲线与其方程应该满足的两条，但是如何证明“一条曲线与一个方程之间具有互为表示的关系”，这是学生学习时可能遇到的第一个教学问题. 这个问题可以结合“直线与其方程”、“圆与其方程”进行说明．2．在求曲线的方程时，如何建立平面直角坐标系？这是学生会遇上的第二个教学问题，也是本节课的教学难点之一．教学时，应通过实例，帮助学生总结出建立坐标系的基本要点，并用具体问题让学生练习进行体会．3．在将曲线上的点应该满足的几何特征转化为点的坐标应满足的等式后，常常遇上“将所得等式化简得到所求方程”的问题．对于有些复杂的等式，化简是一个学生不易把握的问题，学生在此极易出错，这是第三个教学问题.教学时不能因为这个问题而使教学偏离重点，因而宜使用信息技术工具解决这个问题.4．学生学习时，可能会因更多地关注代数运算而忽略数学思想的提炼，这个教学问题的解决，需要教师有目的地进行引领.四、教学支持条件1．在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修1中学习了函数)(x f y 及其图象，在数学必修2中学习了直线的方程与圆的方程，这些内容是学生理解曲线与方程概念的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括.2．曲线与方程是数形结合的典范，教学这一内容时会涉及大量图形的绘制与方程的简化等代数运算，因此，TI 图形计算器或几何画板是重要的支持条件，教学中充分利用这一条件，不仅可以节省大量时间用于学生思考，而且可以对实际问题中的数据不加“修饰”地进行分析.五、教学过程设计引子：如果你邀请朋友在你所在城市的某餐馆聚会，你会怎样告诉他（她）聚会地点？例如，如果聚会地点在“深圳市笋岗路南，宝安路东的澳葡街”（如图一），你会怎样说？（图一） （图二）意图：通过建立平面直角坐标系，用坐标来刻画点的位置，为后面用点与坐标的对应关系来研究曲线与方程的关系作准备，同时让学生体会坐标法思想。
高中数学曲线和方程教案（改）
高中数学曲线和方程教案（改）第一篇：高中数学曲线和方程教案(改)各位老师，大家好！我叫韩杨，今天我说课的课题是《曲线和方程》的第一课时。
下面我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法和学法、教学过程和教学效果等六个方面加以分析和说明。
一、教材分析《曲线和方程》是人教版高中数学第二册上册第七章第五小节的内容。
本节课的主要内容是了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，学会求解曲线的方程，因为学生已有了用方程表示曲线的感性认识，特别是二元一次方程表示直线，现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变量的方程之间的关系，是由直观表象上升到抽象概念的过程。
它既是对前一节线性规划知识的延伸和发展，也为下一节圆的方程打下了基础，起到了承上启下的作用。
二、教学目标根据教学大纲的要求和高中学生的认知规律，以及新课标对教育目标的定位，我将本节课的教育目标确定为以下三点：►知识与技能目标：初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
►过程与方法目标（1）通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；（2）在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；（3）能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。
►情感态度与价值观目标；课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生强烈的求知欲。
三、教学的重难点根据数学新课标标准，我确定本节课的重点是“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
为强化其认识，决定用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，并以此为工具来分析实例，这将有助于学生的理解，有助于学生通其法、知其理。
优化数学教学：曲线和方程的教案设计与实施
优化数学教学：曲线和方程的教案设计与实施数学教学一直是教育界的一大难点，对于学生而言，这不仅是一项学习任务，更是一个需要不懈探究的领域。
正因如此，教师需要制定出一套行之有效的教学方案，让学生在学习过程中对数学领域有更深层次的了解和掌握。
本文主要探讨数学教学中涉及到的曲线和方程的教案设计与实施，以期达到优化数学教学的目的。
一、教案设计1.教学目标本课程的教学目标主要是让同学们掌握一元二次方程求根、部分解等操作的基本原理及方法；了解二次函数的一般式和标准式；熟悉抛物线图解法求一元二次方程解，并且能够熟练应用相关知识解决实际问题。
2.教学重点与难点（1）教学重点1）二次函数的一般式和标准式的意义及其互相转化；2）一元二次方程的求根、部分解、零点及因式分解；3）应用二次函数解决实际问题。
（2）教学难点1）掌握一元二次方程求根、部分解等操作的基本原理及方法；2）应用二次函数解决实际问题。
3.教学内容及教学方法（1）教学内容1）二次函数及其图象的一些基本性质2）二次函数的一般式和标准式3）一元二次方程的一般式和标准式4）一元二次方程的求根、部分解、零点及因式分解5）应用二次函数解决实际问题（2）教学方法1）讲授、启示与引导结合法2）板书法（包括案例、公式、定理等）3）互动交流法（包括分组讨论、展台式汇报等）4）实践操作法（包括课后习题、模拟实验等）4.教学材料与教学手段（1）教学材料1）课本（包括教师、学生两类）2）辅助理解题材料（包括模拟题、考试题、案例题、历年试题及解答等）3）PPT演示文稿4）实验仪器（如计算器、手持式数学游戏机等）5）仿真软件（如Mathematica、Maple、Matlab等）（2）教学手段1）教材解读2）案例解析3）分组研讨4）实验探索5）留尾思考二、教案实施1.教学前的准备工作在教学开始前，教师需要准备好以下材料：1）PPT教学演示文稿2）实验仪器（如计算器、手持式数学游戏机等）3）仿真软件（如Mathematica、Maple、Matlab等）4）相关的教学资料（包括教材、辅助理解题材料等）5）使用课前测试工具来评测学生的基础知识储备情况，以便针对性地进行教学。
《曲线与方程》教案与反思
《曲线与方程》教案与反思《《曲线与方程》教案与反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！教材分析：高一时，已经接触了解析几何，并且初步学习了直线与方程、圆与方程等简单的解析几何内容，积累了一定的经验，并且体验了“坐标法”思想的魅力。
在此基础上，选修中加深了解析几何方面的要求，从特殊到一般，研究一般的曲线与二元方程之间的辩证关系，进一步加深对“数形结合”思想的认识及把握。
同时，这节内容又与后续内容有着紧密的联系，是一般与特殊的关系。
今天共二个课时，主要内容包括：曲线与方程定义的理解及应用，以及如何求曲线的方程。
教学程序：一、问题情景的创设①解析几何创立的故事与迪卡尔②对高一必修内容的复习，主要是直线与方程、圆与方程，包括研究方法“坐标法”，及思想“数形结合”的渗透。
③从特殊到一般，引出曲线与方程的关系二、曲线与方程的定义反思：这个定义相当抽象，不易理解，然而对它的理解如何又影响了整章内容的深入学习。
进而，在今天的课堂上，我设计了正反二方面的习题，同时尝试从集合角度加以解释，效果不错。
三、定义的应用①判断题型②求解题型③证明题型反思：最难也最麻烦的恐怕就是证明题型，如何处理令我相当困惑。
今天，采取了讲解式方法，尽管大多数学生能够理解，然而课堂氛围却不佳，毕竟这些内容既枯燥又有难度。
对于求解题型，方法相当简单，课堂上我侧重于引导学生分析方法背后原因，以加深对曲线与方程定义的深入理解，从课堂反馈来看，还是一部分同学能够掌握。
四、求曲线的方程反思：这种题型应该是本章的重点，也是难点。
对于课本上配备的习题，与原先教材有很大的出入，个人认为实验教材配置的习题不太合理，难度大，解题的方法又不具备典型性。
求曲线方程的证明是最麻烦的环节，如果省略这个环节，很可能导致答案的片面及错误。
如何处理这个环节，我一直在思考。
课本上介绍了检验的方法，其实自己以为，根本不需要最后的检验环节，关键是在解题第一步“设”的环节上不遗漏了曲线的条件即可，简单而言，在设动点坐标时，根据曲线的特殊限制条件对其坐标加以相应限制即可保证不出错误。
《曲线和方程》教学设计
《曲线和方程》教学设计作者：郭永芳来源：《读写算》2012年第74期【教学目标】知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、强化数形结合的思想方法。
能力目标：在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；情感目标：通过反例辨析和问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程【教学方法】问题引导式教学【教学过程】一、问题设计，探究课题在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.教师提出问题1：“直线的方程”是什么？二元一次方程与直线的对应关系是什么？生：直线的方程是关于x，y的二元一次方程。
二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
问题2：“圆的方程”是什么？此方程与圆的对应关系是什么？生：圆的方程是：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）它是关于x，y的二元二次方程。
此方程表示一个圆。
问题3：（1）画出方程x-y=0表示的直线，分析直线上的点的坐标与方程的解的关系。
（2）写出以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，分析圆上的点的坐标与方程的解的关系。
让学生深刻体会如下结论：1、直线（或圆）上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线（或圆）上。
即：直线（或圆）上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
问题4：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即：方程f（x，y）=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f（x，y）=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程f（x，y）=0？为什么要具备这些条件？师：以上问题就是本节课的内容：曲线和方程（板书课题）。
现代教育理念与教学设计——曲线与方程的教学设计和思考
方 程 是 怎样 地联 系 起 来 的 ？
用 几 何 画 板 设 计 直 线 和 方 程 、抛 物 线 和 方 程 的 动 态 变
化 的关 系 ，向学 生 展 示 直 线 和 方 程 、抛 物 线 和 方 程 的 动 态 变
化 ，让 学 生 充 分 观 察 并 组 织 讨 论 ，对 曲 线 上 不 同 的点 对 应 的
学生经 历数 学探索 活动 的过 程 ，强调学 生 的探索 经 历和得
出新 发 现 的 体 验 ．
在进行“曲线 与方 程”的教 学之前 ，学 生 已经学 习 了直
线 的方 程 ，对 于直 线 和 方 程 之 间 的 对 应 关 系 有 了 一 种 初 步
的认 识 ．“曲线 与方 程 ”的教 学 在 已有 知 识 基 础 上 ，从 理 论 上
【关键词 】教学设计 ；过程 ；体 验；思想
“曲线与方程 ”的概念 ，从 理论 上揭示 了几何 中 的“形 ”
与代数中的“数 ”的统一．曲线 和方程建 立 了对应 关系 以后 ，
曲线的很多性质 可 以反映在 方程 上 ，方程 的某 些性 质 又反
映在曲线上．笔者结合 “曲线与方程 ”的教学设计 ，着 眼于让
的关 系：抛物线上点 的坐标都是 这个 方程的解 ，以方程 的解
为坐标 的点都是这条抛物线上 的点．
（二 ）运 用 反 例 。揭 示 内涵
下述方程分别 表示所对应图上 的曲线 吗？为什 么？
（１） —Ｙ：０（ ＞０）
（２）ｙ＝２ｘ （一１≤ ≤２）
Ｊ
１ 一
／ Ｏ ｌ ０
学生通过对一 些反 例 的观察 和讨 论 ，进一 步 理解本 节 课问题的实质性 内涵 ，通过 以上两 步教学 ，学生对 于 曲线 的 方程和方程 的曲线 的概念 的本质 已基 本上 了然 于心．曲线 的方 程和方程的 曲线 的概念 的得 出已是 水到渠 成．但 是 ，不 要把 概念过早地 “符 号化 ”，要延 长知识 的发 生与发 展 的过 程 ，要 学 生 充 分 经 历 过 程 ，以使 学 生 达 到 对 概 念 的 真 正 理 解 ．
曲线与方程优秀教学设计
曲线与方程【教学目标】1．知识教学点使学生了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础。
2．能力训练点在形成曲线和方程概念的过程中，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。
3．学科渗透点从形数结合中受到辩证唯物主义的思想教育。
【教材重难点】1．重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
（解决办法：通过例子，揭内涵；讨论归纳，得出定义；变换表达，强化理解；初步运用，巩固提高；给出推论，升华定义。
）2．难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延。
据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义。
（解决办法：为了在难点有所突破后强化其认识，用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系。
）3．疑点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念的应用。
（解决办法：通过例子，初步领会它的应用；给出概念的推论，既升华了概念又是概念的应用。
）【教学设计】提问、讲授、讨论、引导、练习。
【教学过程】一、复习提问，引出课题1．命题有哪几种基本形式，它们之间的关系如何？原命题与逆否命题、逆命题与否命题两两等价。
学生给出解答如图2-1．本次课就是在此基础上，建立曲线和方程之间的对应关系，即符合怎样条件的方程才能完整地表示一条曲线，同时这条曲线也完整地表示一个方程。
大家知道，在平面直角坐标系中，点和一对有序实数是一一对应的，有序实数就是方程的任一解恰是一对有序实数，这就为曲线与方程建立对应关系奠定了基础。
那么曲线和方程之间应有什么对应关系呢？这是本次课要研究的问题。
课题是“曲线和方程”。
二、运用例子，揭示内涵例1 已知A（-2，-1），B（3，5），求线段AB中重线上点的坐标满足的关系。
解：如图2-2，设动点坐标为P（x，y）。
“曲线与方程”的教学设计及反思
２ ８・
《 数学之友》
２ ０ １ ６年第 ２ ４ 期
那 么 焦 点 Ｆ 的 坐 标
、 Ｙ Ａ ／
生： 两个集合相等．
２ ． ２ 具 体 实例 ， 理 解 概念
为 （ 号 ， ｏ ） ，
准 线 １ 的 方 程 为 ＝ 一 号 ，
设 抛 物线 上 的点 Ａ（ ｘ ， Ｙ ） ，
概念．
线 的关系 ， 即满足什么条件 ， 方程可以代表曲线？这
个 问题 该怎 么想 ？
生： 通过 具体 的例 子 出发 ！特 殊化．
师： 很 好 ！我们 刚 刚学过 什么 ？
生： 抛 物线 ．
（ ２ ） 掌握 曲线 的方 程 与 方程 的 曲线 的概念 和 集
合相等的关系、 培养学生的转化与化归的思想与数 形 结合 的思想 ．
．
Ｏ
‘
／ ＼ Ｆ ｊ
、
师： 类似地 ， 我们可以发现椭圆的方程也能满足 这 两个 条件 ， 双 曲线 也 是 这 样 ， 于是 ， 我 们 得 到 一 般 的 Βιβλιοθήκη 线 与方程 概念 ． 点 ＼
【 问题 ３ 】 如何判断“ 方程是 曲线的方程 ， 曲线是
方程 的曲线 ” ？
师： 这 也揭示 了解 析几 何 的主要研 究方 法．
师： 有没有思考过这样的问题 ： 方程能代表曲线 吗？方 程是一 个代 数式 ， 曲线 是几 何 图形 ， 怎 么能 利
用 方程来 研究 曲线 的性 质 呢？
— —
合学 生 的 认 知 规 律 ， 使得 “ 形 式化” 有 了感 性 的 基
则 有 √ （ 一 号 ） ‘ ＋ ＝ １ ＋ 号 Ｉ ，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《曲线和方程》教学设计
【教学目标】
知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；
2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；
3、强化数形结合的思想方法。
能力目标：在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理的阐述自己的观点；
情感目标：通过反例辨析和问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。
【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念
【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程
【教学方法】问题引导式教学
【教学过程】
一、问题设计，探究课题
在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
教师提出问题1：“直线的方程”是什么？二元一次方程与直线的对应关系是什么？
生：直线的方程是关于x，y的二元一次方程。
二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一
个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
问题2：“圆的方程”是什么？此方程与圆的对应关系是什么？生：圆的方程是：x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2-4f>0）它是关于x，y的二元二次方程。
此方程表示一个圆。
问题3：（1）画出方程x-y=0表示的直线，分析直线上的点的坐标与方程的解的关系。
（2）写出以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程，分析圆上的点的坐标与方程的解的关系。
让学生深刻体会如下结论：
1、直线（或圆）上的点的坐标都是方程的解；
2、以这个方程的解为坐标的点都在直线（或圆）上。
即：直线（或圆）上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。
问题4：任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即：方程f（x，y）=0的解与曲线c上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程f（x，y）=0表示曲线c，同时曲线c也表示着方程f（x，y）=0？为什么要具备这些条件？
师：以上问题就是本节课的内容：曲线和方程（板书课题）。
学生讨论。
师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程
的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。
问题是上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？
有何区别？为了弄清这些问题，我们来研究下列问题：
问题5：用下列方程表示如图所示的曲线c，对吗？为什么？
让学生回答问题，并加以纠正和总结
师：方程⑴、⑵、⑶都不是曲线c的方程。
第⑴题中曲线c上的点不全是方程的解；例如点a（-2，-2）、b（，）等即不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。
第⑵题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x2-y2=0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如d（2，-2）、e（，）等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。
第⑶题中既有以方程
|x|-y=0的解为坐标的点，如g（-3，3）、h（，）等都不在曲线上，又有曲线c上的点，如m（-3，-3）、n（-1，-1）等的坐标不是方程|x|-y=0的解。
事实上，⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况。
师：以上我们观察分析了问题3、5，发现“问题3”中的问题完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而“问题5”中的问题不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程。
如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了。
问题6：从充要条件的角度看，仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的什么条件，怎样才能使得它们成为“曲线的方程”和“方程的曲线”的充要条件呢？
生：仅关系⑴或⑵是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了才是充要条件。
二、问题解决，巩固课题
问题7：下列各题中，如图所示的曲线c的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系⑴还是关系⑵？
学生回答：⑴错。
不符合定义中的关系⑵，即c f但f c。
⑵错。
不符合定义中的关系⑴，即f c但c f。
⑶错。
不符合定义中的关系⑴和⑵，即c f且f c。
问题8：（教师启发学生共同完成如下证明）证明与两条坐标轴的距离之积是常数k（k>0）的点的轨迹方程是xy=±k。
师：请同学思考，证明应从何着手？
生：应从以下两方面：（1）轨迹上的点的坐标都满足方程：xy=±k；（2）以方程xy=±k的解为坐标的点都在圆上。
师：（1）中的“点”和（2）中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？
师：（学生思考片刻后）用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法。
（请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本证明纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性。
）
三、小结
本节课我们通过实例的研究，掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。
曲线和方程之间一一对应关系的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
四、作业
1、教材37页，练习题1、2题。
2、思考题：如果两条曲线的方程f1（x，y）=0和f2（x，y）=0的交点为m（x0，y0），求证：方程f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示的曲线也经过点m。
（λ为任意常数）。