复合函数的连续性和极限公式(老黄学高数第124讲)

老黄学高数
第124讲 复合函数的 连续性和极限公式
若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则 . 复合函数g(f(x))在点x0连续.
证：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使 当|u-u0|<δ1时，有|g(u)-g(u0)|<ε； 又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0 ，使 当|x-x0|<δ时，有|f(x)-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；从而有 |g(f(x))-g(f(x0))| <ε；
∴x=0是g(f(x))的可去间断点，其余点处处连续.
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1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设
(1)f(x)=sgn x, g(x)=1+x2;(2)f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.
解：(1)f(g(x))=sgn [(1-x2)x]=
f(g(x))=-1≠1= f(g(x)) ，
证：f(g(x))=
∴f(g(x))=-sinx在x=0连续. 又 g(x)= -π， g(x)=π，∴g在x=0不连续.
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2求 sin(1-x2).
解： sin(1-x2)=sin( (1-x2))=sin 0=0.
若 f(x)=a，且g(u)在u=a连续，则
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g(f(x))=g( f(x)). 证：∵g在a连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使 当|u-a|<δ1时，有|g(u)-g(a)|<ε； 又 f(x)=a，∴对δ1，有δ>0 ，使
∴复合函数g(f(x))在点x0连续.
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1、讨论复合函数f(g(x))与g(f(x))的连续性，设
(1)f(x)=sgn x, g(x)=1+x2;(2)f(x)=sgn x，g(x)=(1-x2)x.
解：(1)∵f(g(x))=sgn (1+x2)≡1，∴f(g(x))是连续函数.
又g(f(x))=1+(sgn x)2= g(f(x))= g(f(x))=2≠1=g(f(0))，
当|x-x0|<δ时，有|f(x)-a|<δ1；从而有|g(f(x))-g(a)|<ε 即 g(f(x))=g(a)=g( f(x)).
注：这个推论适用于其余所有极限类型.
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1、求极限：(1)
；(2)
.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：(1)
(2)
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2、设f(x)=sinx, g(x)=
证明：复合函数f(g(x))在x=0连续，但g在x=0不连续.
f(g(x))=1≠-1=
f(g(x)) ，
∴x=0和x=±1是f(g(x))的跳跃间断点. 又g(f(x))=[1-(sgn x)2]x≡0，∴g(f(x))是连续函数.
. 复合函数的极限公式： g(f(x))=g( f(x))=g(f(x0)).
条件I：g(u)在u0=f(x0)连续； 条件II：f(x)在x=x0连续.