圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线的方程与性质

1.椭圆

（1）椭圆概念

的焦点，两焦点的距离

2c 叫椭圆的焦距。若 M

为椭圆上任意一点，则有 | MF 1 | |MF 2| 2a 。

表示焦点在y 轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心;

x 0，得y b ，则B 1（0, b ） , B 2（0,b ）是椭圆与y 轴的两个交点。同理令

y 0得x a ，即A （ a,0）,

A （a,O ）是椭圆与x 轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段 AA 、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为

2a 和2b , a 和b 分别叫做椭圆的长

平面内与两个定点 F 1、 F 2的距离的和等于常数

2a （大于 厅店2丨）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆

上）。

椭圆的标准方程为:

2 2 x

y 2

,2

a

b

0）（焦点

在

x 轴

上）

2 y_ 2

a 2

x 笃 1 (a b 0)

b 2

（焦点在

注：①以上方程中 a,b 的大小 a b 0,其中b 2

1两个方程中都有a

0的条件，要分清焦点的位置，只要看

x 2 和 y 2 的分

母的大小。例如椭圆 2

y

n

n ）当m n 时表示焦点在x 轴上的椭圆;

2

x ①范围：由标准方程笃 a

2

y

1知|x| a , |y| b ，说明椭圆位于直线 x a , b 所围成的矩形里;

②对称性：在曲线方程里, 若以 y 代替y 方程不变，所以若点（x, y ）在曲线上时, 占 八

（x, y ）也在曲线上,

所以曲线关于x 轴对称，同理，以

x 代替x 方程不变，则曲线关于 y 轴对称。若同时以 x 代替x , y 代替y

③ 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与

x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在Rt OB2F2中，|OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a , 且|OF2 |2 | B2F2 |2 |OB2 |2，即c2 a2 b2；

c

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e 叫椭圆的离心率。：a c 00 e 1，且e越接近1, c就

a

越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,从而b越接近于a，这时

椭圆越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2。

2.双曲线

(1)双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线( || PR I | PF2 II 2a )。

注意：①式中是差的绝对值，在0 2a IRF2I条件下；|PF, | | PF2 | 2a时为双曲线的一支；

|PF2| I PF, I 2a时为双曲线的另一支(含F,的一支)；②当2a |F,F2|时，|| PF, | |PF2|| 2a表示两条射

线；③当2a I F1F21 时，||PF i I IPF2II 2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点, IF1F21叫做焦距。

(2)双曲线的性质

①范围：从标准方程

2 2

务占1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线

a b

x a的外侧。即

2 9

x a , x a即双曲线在两条直线x a的外侧。

2 2

②对称性：双曲线务葺1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点a b

2 2

是双曲线务每1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

a b

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线

2 2

务占1的方程里，对称轴是x,y轴，所a b

2 2

以令y 0得x a，因此双曲线和x轴有两个交点A ( a,0)A2(a,0)，他们是双曲线令— 1的顶点。a b 令x 0,没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点） 端点。

2）实轴：线段 A A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B 2叫做双

曲线的虚轴，它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从

2 2

图上看，双曲线 爲 爲 1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

a b

⑤ 等轴双曲线：

1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

定义式：a b ；

2） 等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y x ；（ 2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。

2 2

b ，则等轴双曲线可以设为：x y （ 0），当 0时交点在x 轴,

0时焦点在y 轴上。

轴也变了。

抛物线的概念

抛物线的焦点，定直线 I 叫做抛物线的准线。

2

方程y 2 px p 0叫做抛物线的标准方程。 注意：它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （卫，0）,它的准线方程是 x

2

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其

他几种形式：

9 9 9

y 2px , x 2py , x 2py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如

F 表:

，双曲线的顶点分别是实轴的两个

3）注意到等轴双曲线的特征

2 2

⑥注意x_ y_

16

9 2

x

16

1的区别：三个量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同，还有焦点所在的坐标

3. 抛物线

平面内与一定点 F 和一条定直线

I 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线

（定点F 不在定直线I 上）。 定点F 叫做